ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος
ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο, μεταβάλλονται εν γένει, κατά τη διάρκεια του έτους. Υπάρχουν περιοχές της Γης όπου αυτά δεν μεταβάλλονται;
Περιφορά της Γης γύρω από τον Ήλιο Εξαιτίας της λόξωσης της εκλειπτικής, η γωνιώδης απόσταση από τον ουράνιο ισημερινό, του σημείου της ουράνιας σφαίρας στο οποίο προβάλλεται ο Ήλιος, μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια ενός έτους μεταξύ +23,5 ο και 23,5 ο.
Ο κύκλος απόκλισης που αντιστοιχεί στην ημερήσια τροχιά του Ήλιου, τέμνει τον ορίζοντα ενός τόπου γ.π. φ, σε διαφορετικό ζεύγος σημείων κατά τη διάρκεια ενός έτους. Το αζιμούθιο Α (οριζόντιες συντεταγμένες) των σημείων αυτών (ανατολή και δύση του Ήλιου), μετράται επί του ορίζοντα του τόπου και συνεπώς μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του έτους.
Οι μόνες περιοχές για τις οποίες η παραπάνω πρόταση δεν έχει νόημα, είναι οι πόλοι της Γης. Στους πόλους (φ = 90 ο, παράλληλη μορφή ουράνιας σφαίρας), ο Ήλιος ανατέλλει και δύει μια φορά κατά τη διάρκεια του έτους, κατά το φθινοπωρινό και το εαρινό ισημερινό σημείο αντίστοιχα. Η μόνη σχετική παρατήρηση που μπορεί να γίνει, είναι ότι (αγνοώντας τη μετάπτωση και την κλόνιση του άξονα περιστροφής της Γης), το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσης του Ήλιου στους πόλους είναι το ίδιο, κάθε έτος.
(β) Βρίσκεστε σε κάποιο σημείο της επιφάνειας της Γης. Περπατάτε 5 χιλιόμετρα προς το Νότο. Στρίβετε αριστερά. Περπατάτε 5 χιλιόμετρα προς ανατολάς. Στρίβετε αριστερά. Περπατάτε 5 χιλιόμετρα προς βορρά και βρίσκεσθε στο σημείο από όπου ξεκινήσατε. Τι καιρό κάνει ;
Το μόνο σημείο της επιφάνειας της Γης από το οποίο είναι δυνατό να ξεκινήσει κανείς και ακολουθώντας τις παραπάνω οδηγίες να καταλήξει στο σημείο από ξεκινώντας όπου ξεκίνησε, από κάποιο είναι ο βόρειος σημείο της πόλος επιφάνειας της Γης. της Γης... και ακολουθώντας την παραπάνω διαδρομή... Ο καιρός γενικά θα είναι κρύος. ποιός Αν ξέρει η διαδρομή πού θα καταλήξουμε αυτή γίνει χειμώνα,... η θερμοκρασία θα είναι περίπου 34 ο C και τι καιρό θα κάνει... και αν γίνει καλοκαίρι, περίπου 0 o C.
ΑΣΚΗΣΗ 2 η Το χωριό Viganella στις ιταλικές Άλπεις είναι χτισμένο στον πυθμένα μιας βαθιάς κοιλάδας. Στη νότια πλευρά της κοιλάδας υπάρχει ένα βουνό, η κορυφή του οποίου απέχει, σε οριζόντια διεύθυνση, 3km από το χωριό. Οι ακτίνες του Ήλιου δεν φθάνουν στο χωριό κατά το διάστημα από 11 Νοεμβρίου μέχρι 2 Φεβρουαρίου. Να υπολογιστεί το ύψος του βουνού από τον πυθμένα της κοιλάδας. Δίνεται το γ.π. του χωριού Viganella, φ=46 ο, καθώς και η απόκλιση του Ήλιου στις 11 Νοεμβρίου και στις 2 Φεβρουαρίου, δ= 17 ο.
Μεταξύ των δυο αυτών ημερομηνιών, οι κύκλοι απόκλισης που διαγράφει ο Ήλιος ημερησίως, έχουν απόκλιση oο 23,5δ 17. Θεωρούμε ότι ο κύκλος απόκλισης του Ήλιου αυτές τις δύο ημέρες, είναι κατά προσέγγιση ο ίδιος (δ= 17 ο ), λόγω του ότι ο αριθμός ημερών μεταξύ αυτών και της 22 Δεκεμβρίου είναι περίπου ίδιος.
Η σκιά του βουνού κατά την 11 η Νοεμβρίου και τη 2 η Φεβρουαρίου, θα είναι η ελάχιστη για την οποία οι ακτίνες του Ήλιου δεν φθάνουν στο χωριό Viganella. Το μήκος της θα είναι 3km (όση η οριζόντια απόσταση μεταξύ του χωριού και της κορυφής του βουνού).
Οι δυο ισοδύναμες θεωρήσεις του προβλήματος όπως παριστάνονται στα σχήματα, οδηγούν στις σχέσεις μέσω των οποίων υπολογίζεται το ύψος h του βουνού : θ = φ δ 3 km tanθ = h h = tanφ 3 km ( δ ) h = 3 km o o ( ) tan 46 ( 17 ) h 1530 m.
ΑΣΚΗΣΗ 3 η Ως αστρονομικό λυκόφως (οπότε ο ουρανός είναι αρκετά σκοτεινός, ώστε να είναι δυνατό να γίνουν αστρονομικές παρατηρήσεις) ορίζεται το χρονικό διάστημα από τη δύση του Ήλιου έως ότου αυτός αποκτήσει ύψος υ= 18 ο (αντιστοίχως ορίζεται και το λυκαυγές περί την ανατολή του Ήλιου). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της επιφάνειας της Γης, για τον οποίο, κατά το θερινό ηλιοστάσιο, υπάρχει αστρονομικό λυκόφως κατά τη διάρκεια της νύχτας.
Προκειμένου σε ένα τόπο γ.π. φ, το αστρονομικό λυκόφως να διαρκεί όλη τη νύχτα (ανεξάρτητα από το ποια είναι αυτή η διάρκεια), θα πρέπει τα σημεία της τροχιάς του Ήλιου που βρίσκονται κάτω από τον ορίζοντα του τόπου να έχουν ύψος oο 18υ 0. < Στην περίπτωση που το ύψος αυτών των σημείων είναι : υ < 18 ο, τότε θα υπάρχει κάποιο χρονικό διάστημα κατά το οποίο θα είναι νύχτα (και όχι λυκόφως), υ > 0 ο, οπότε ο Ήλιος θα είναι αειφανής και δεν θα υπάρχει καν λυκόφως.
Η ουράνια σφαίρα σχεδιάζεται διαδοχικά, για τις δυο ακραίες περιπτώσεις, όπου υ= 18 ο και υ=0 ο. Το δεδομένο, είναι ο κύκλος απόκλισης (δ =+23,5 ο ) του Ήλιου κατά το θερινό ηλιοστάσιο.
Έχοντας σχεδιάσει την ουράνια σφαίρα για τις δυο οριακές περιπτώσεις όπου υ= 18 ο και υ=0 ο, προσδιορίζουμε οι αντίστοιχες οριακές τιμές του γ.π. φ, που θα οριοθετήσουν τον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο της επιφάνειας της Γης. + = ο ο φ υ 23,5 90 φ = 90 23,5 18 φ = 48,5 ο ο ο ο + = ο ο φ υ 23,5 90 φ = 90 23,5 0 φ = 66,5 ο ο ο ο
Ο γεωμετρικός τόπος της επιφάνειας της Γης, για τον οποίο κατά το θερινό ηλιοστάσιο υπάρχει αστρονομικό λυκόφως κατά τη διάρκεια της νύχτας, είναι η ζώνη που σχηματίζεται μεταξύ δυο μικρών κύκλων παράλληλων προς τον ισημερινό της Γης με γ.π. φ=48,5 ο και φ=66,5 ο.
ΑΣΚΗΣΗ 4 η Οι ουρανογραφικές συντεταγμένες τους αστέρα ΙΙ Peg είναι : α=23 h 52 m 30 s, δ=+28 o 21 18. (α) Ποιά εποχή του χρόνου μπορούμε να τον παρατηρήσουμε από το αστεροσκοπείο του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης (φ=40 ο 37 ), περί το Σεπτέμβριο ή περί το Μάρτιο ;
Ένας αστέρας μπορεί να παρατηρηθεί από έναν τόπο, εφόσον περνάει κάποιο χρόνο της ημερήσιας τροχιάς του επάνω από τον ορίζοντα του τόπου, ενώ ο Ήλιος κατά το ίδιο χρονικό διάστημα, βρίσκεται κάτω από αυτόν. Δεδομένης της ορθής αναφοράς α του αστέρα ΙΙ Peg, η σχετική θέση της προβολής του στον ουράνιο ισημερινό ως προς τα σημεία γ και γ, είναι πλήρως καθορισμένη. Η θέση του Ήλιου επί της εκλειπτικής περί το Μάρτιο και περί το Σεπτέμβριο είναι το εαρινό ισημερινό σημείο γ και το φθινοπωρινό ισημερινό σημείο γ Ο αστέρας ΙΙ Peg μπορεί να παρατηρηθεί από τη Θεσσαλονίκη το Σεπτέμβριο, αντίστοιχα. οπότε ο Ήλιος και ο αστέρας δεν βρίσκονται ταυτόχρονα από την ίδια πλευρά του ορίζοντα της Θεσσαλονίκης.
(β) Ποιό θα είναι κατά προσέγγιση του ύψος του αστέρα κατά το μέσο μεσονύκτιο της ημέρας παρατήρησης;
Θέση του αστέρα στην ουράνια σφαίρα, κατά το μέσο μεσονύκτιο μιας ημέρας περί της 22 ης Σεπτεμβρίου. Από το τρίγωνο θέσης του αστέρα και με τη χρήση του νόμου του συνημιτόνου, Θεωρούμε ότιπροσδιορίζουμε η θέση του μέσου το ύψος Ήλιουτου συμπίπτει υ, κατά κατά τη χρονική προσέγγιση στιγμή μετης παρατήρησης. φαινόμενη θέση του Ήλιου εκείνη τη χρονική στιγμή.
Μετατροπή διδόμενων γωνιών σε μοίρες ( ο ) = = ο o φ 40 37 ' 40,616 = = ο o δ 28 21'18" 28,355 α = 23 52 30 = 358,125 h m s o o o o o o o ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) cos 90υ cos 90 φ cos 90 δ sin 90 φ sin 90 δ cos 360 α oο ο ο ο o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 90υ cos= 49,38 cos 61,65 sin+ 49,38 sin 61,65 co s 1, 88 o ( ) cos 90υ 0,651 = 0, 475 0,759 + 0,880 0,999 = o 90υ arc cos 0,976 = oο 90υ 12,578 ( ) ο ο υ = 77, 423 ή υ = 77 25 ' 23"
ΑΣΚΗΣΗ 5 η Αστέρας δύει συγχρόνως με τον Ήλιο κατά μια μέρα σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ. Πόσο χρόνο μετά τον αστέρα θα δύσει ο Ήλιος την επόμενη μέρα, αν κατά το διάστημα αυτό το εκλειπτικό μήκος του Ήλιου αυξηθεί κατά Δλ ;
Αναδεικνύουμε τα σφαιρικά τρίγωνα που οδηγούν στην επίλυση του προβλήματος, επιλέγοντας το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου έτσι, ώστε η δύση του Ήλιου (εκλειπτικού μήκους λ) στον τόπο αυτό, να συμπίπτει με το σημείο τομής της εκλειπτικής με τον κύκλο απόκλισής του Ήλιου. Αν η δύση του Ήλιου και του αστέρα την πρώτη ημέρα, σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ, συμβαίνει σε αστρικό χρόνο ST, τότε ο αστέρας την επόμενη ημέρα θα δύσει στον ίδιο τόπο πάλι σε αστρικό χρόνο ST (θεωρείται μακρινός οπότε δεν αλλάζει κύκλο απόκλισης κατά τη διάρκεια του έτους), ενώ ο Ήλιος σε αστρικό χρόνο ST, που θα διαφέρει από αυτόν της δύσης του αστέρα κατά d(st).
Δεδομένου ότι ο αστρικός χρόνος δίνεται στη συγκεκριμένη περίπτωση από τη σχέση διάστημα ST = H + α 24 h, διαφορίζοντας έχουμε το ζητούμενο χρονικό d(st) = dh + dα (1) Οι μεταβολές dh και dα, επιβάλλονται από τη μεταβολή dλ που υφίσταται το εκλειπτικό μήκος του Ήλιου λόγω της περιφοράς της Γης γύρω από αυτόν και συνεπώς αυτό που πρέπει να βρεθεί είναι οι σχέσεις μέσω των οποίων συμβαίνει αυτό.
Από το τρίγωνο θέσης της δύσης του αστέρα και του Ήλιου (πρώτη ημέρα), με εφαρμογή της σχέσης του συνημιτόνου, έχουμε : ( ) ( ) ( ) ( ) cos 90 o = cos φ cos 90 o 90 δ sin o 90 + φ sin o 90 δ cos o H cosh = -tanφtanδ (2)
Για το σφαιρικό τρίγωνο που σχηματίζεται μεταξύ ουράνιου ισημερινού, εκλειπτικής και μεσημβρινού της δύσης του αστέρα και Ήλιου (πρώτη ημέρα), εφαρμόζουμε διαδοχικά, τις σχέσεις : σχέση του συνημιτόνου cos α = cos β cos γ + sinβ sin γ cos Α σχέση του ημιτόνου σχέση των τεσσάρων διαδοχικών στοιχείων sinα sinβ sin γ = = sinα sinβ sinγ β cos Γ sinβ = cot α sinγ + cot Α
από τη σχέση του συνημιτόνου, προκύπτει η σχέση : ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) cos 360λ cos 360 α cos δ sin 360 α sin δ cos 90 ο ο ο ο cosλ = cosαcosδ (3) από τη σχέση του ημιτόνου, η σχέση : ( o ) sinδ( ) sin 360λ sin 90 ο = sin23,5 ο sinδ = sin23, 5 sinλ (4) ο και από τη σχέση των τεσσάρων διαδοχικών στοιχείων, η σχέση : ( ) ( ) ( ) cos 360α cos 23,5 sin= 360 α cot 360 λ sin23,5 + cot 90 ο o ο ο o ο ( ) ( ) o αcos cos 23,5 sin α co tλ = o tanα = cos23, 5 tanλ (5).
Διαφορίζοντας τις σχέσεις (2) και (4), θεωρώντας τις γωνίες φ και +23,5 ο σταθερές, παίρνουμε tanφ dh = δ (6.a) d 2 sinhcosδ dδ = o sin23,5 cos λ cosδ dλ (6.b) o tan 23,5 tanφ cos λ dλ dh = (6) sinhcosδ 2 cosδ ενώ διαφορίζοντας τη σχέση (5) και χρησιμοποιώντας τη σχέση (3), 2 o cosα dα = cos 23,5 dλ (7.a) 2 cosλ 2 2 cosλ α (7.b) 2 (3) cos = cosδ o cos 23,5 dα = dλ (7) 2 cosδ
Το σύστημα των εξισώσεων που χρησιμοποιήθηκε και οι σχέσεις στις οποίες καταλήξαμε, είναι τα εξής : d(st) = dh + dα (1) d(st) = dh + dα (1) cosh = φtanδ (2) cosλ = cosαcosδ (3) dh o tan 23,5 tanφ cos λ dλ = sinhcosδ 2 cosδ (6) ο sinδ = sin23,5 sinλ (4) o tanα = cos23,5 tanλ (5) o cos 23,5 dα = dλ (7) 2 cosδ Το χρονικό διάστημα d(st) κατά το οποίο θα καθυστερήσει η δύση του Ήλιου σε σχέση με τη δύση του αστέρα τη δεύτερη ημέρα, σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ, δίνεται από τη σχέση : o 1 φcosλ o tan23, 5 tan d(st) = 2 cos23, λ 5 + d cosδ sinhcosδ
ΑΣΚΗΣΗ 6 η (α) Σε ποιες περιοχές της Γης ο γαλαξίας Μ51 (α=13 h 28 m, δ=+47 o 27 ) είναι αειφανής ;
Οι κύκλοι απόκλισης αστέρων που είναι παραπόλιοι, αειφανείς, αμφιφανείς και αφανείς σε έναν τόπο γεωραφικού πλάτους φ, περιλαμβάνονται σε ζώνες της ουράνιας σφαίρας που οριοθετούνται από μικρούς κύκλους, παράλληλους στον ουράνιο ισημερινό.
Ο γαλαξίας Μ51 έχει πολική απόσταση : P = δ90 P 90 = 47, 45 P 42,55 = ή P 42 33'. = o o o o o Σε έναν τόπο γ.π. φ > 45 ο, ο Μ51 θα είναι : παραπόλιος oο 45φ< 47< 27 ' αειφανής ο 47 27 'φ 90 < < ο Σε έναν τόπο γ.π. φ < 45 ο, ο Μ51 θα είναι : αειφανής παραπόλιος ο 42 33'φ 45 < < ο
Η συνθήκη για την οποία ο γαλαξίας Μ51 είναι παραπόλιος ή αειφανής σε έναν τόπο γεωγραφικού πλάτους 0 ο < φ < 90 ο (δηλαδή χωρίς χωρισμό των διαστημάτων στις 45 ο ), μπορεί να προκύψει σχηματικά. Σε έναν τόπο γ.π. φ, ο Μ51 θα είναι : παραπόλιος oο 42 33'φ < 47< 27 ' αειφανής ο 47 27 'φ 90 < < ο
(β) Βρίσκεστε σε ένα έρημο νησί με μοναδικό εφόδιο ένα ξύλινο κοντάρι. (β1) Είναι δυνατό να υπολογίσετε τη διεύθυνση βορρά νότου και πώς ; (β2) Είναι δυνατό να υπολογίσετε ποιά μέρα είναι το θερινό ηλιοστάσιο και πώς ;
Θεωρώντας ότι το νησί βρίσκεται στο βόρειο ημισφαίριο της Γης και σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ τέτοιου ώστε 23,5 ο < φ <90 ο, είναι γνωστό ότι: Ο Ήλιος, κάθε ημέρα του έτους, φθάνει στο ζενίθ του τόπου, όντας πλησιέστερα στο νότο από ότι στο βορρά, επί του μεσημβρινού του τόπου. Κατά την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου, σε σύγκριση με τις υπόλοιπες ημέρες του έτους, ο Ήλιος φθάνει στο ζενίθ του τόπου, έχοντας τη μέγιστη γωνιώδη απόσταση από τον ορίζοντα.
Προσδιορισμός της διεύθυνσης βορρά νότου Κατά τη διάρκεια μιας οποιασδήποτε ημέρας του έτους, η σκιά ενός κονταριού τοποθετημένου κατακόρυφα στο έδαφος, έχει μεταβλητό μήκος και περιστρέφεται γύρω από το κοντάρι κατά την ανάδρομη φορά. Τη χρονική στιγμή που το μήκος της σκιάς γίνει ελάχιστο, η κατεύθυνσή της θα συμπίπτει με την κατεύθυνση βορρά νότου. Ο βορράς θα είναι προς το πλέον απομακρυσμένο από το κοντάρι, άκρο της σκιάς.
Προσδιορισμός της ημέρας του θερινού ηλιοστασίου Σημειώνουμε με κάποιο τρόπο το ελάχιστο μήκος της σκιάς του κονταριού, κάθε ημέρα του έτους (είναι σύμφωνα με το ερώτημα (β1) το μήκος που έχει όταν ημερησίως γίνεται παράλληλη προς την κατεύθυνση βορρά νότου). Η ημέρα στην οποία το ελάχιστο μήκος της σκιάς θα εμφανίσει ελάχιστο σε σύγκριση με τις υπόλοιπες ημέρες του έτους (αρκούν δυο ή τρείς ημέρες εκατέρωθεν της εν λόγω ημέρας), είναι η ημέρα του θερινού ηλιοστασίου.