کنترل ربات موازي 3-PRR با استفاده از روش گشتاور محاسبه شده 2 1* حمیدرضا کردجزي علیرضا اکبرزاده توتونچی 1- دانشجوي کارشناسی ارشد دانشکده مهندسی گروه مکانیک دانشگاه فردوسی مشهد Kordjazi@gmail.com 2- استادیار دانشکده مهندسی گروه مکانیک دانشگاه فردوسی مشهد چکیده مطالعه بر روي رباتهاي موازي شامل زمینههایی همچون سینماتیک تکینگی دینامیک و کنترل میگردد. کنترل حرکت یکی از مهمترین بخشهاي یک سیستم رباتیک است. دقت ربات به عوامل مختلفی از جمله دقت سنسورهاي حرکتی لقی مفاصل قابلیت ارتجاعیت لینکهاي ربات و دقت کنترل کننده بستگی دارد. در این میان دقت و کارایی 1 کنترل کننده مهمترین سهم را در دقت ربات دارد. روش کنترل گشتاور محاسبه شده حالت خاصی از روش خطی سازي فیدبک سیستمهاي غیر خطی میباشد که در روشهاي کنترلی دیگر مانند کنترل پایدار کنترل تطبیقی و... نیز کاربرد دارد. در این مقاله ابتدا روش کنترل گشتاور محاسبه شده معرفی و روشی جهت تنظیم بهرهها در کنترلکنندهي گشتاور محاسبه شده اراي ه میگردد. سپس این کنترلکننده براي ربات هاي پله و شیب مقایسه شده است. موازي 3-PRR پیادهسازي و با کنترلر PID براي ورودي- واژههاي کلیدي: ربات موازي- کنترل- گشتاور محاسبه شده- خطی سازي فیدبک- متعامد تکمیلی طبیعی 1- مقدمه رباتهاي موازي به علت مزایایی که نسبت به رباتهاي سري دارند از جمله دقت بالا و قابلیت کار در سرعتهاي بالا مورد توجه قرار گرفتهاند و راه خود را در مواردي مانند ماشین ابزارهاي دقیق شبیهساز حرکت مکانیزمهاي میکرو دستگاههاي نوري و غیره کاربرد دارند. بدلیل روابط سینماتیکی و دینامیکی پیچیدهي رباتهاي موازي کنترل آنها کاري بسیار دشوار است. برخلاف رباتهاي سري تاکنون تحقیقات بسیار کمی بر روي کنترل رباتهاي موازي صورت گرفته است. با استفاده از یک سیستم کنترلی میتوان ربات را در مسیر موردنظر حرکت داد. دقت در موقعیتدهی یکی از مساي ل مهم در رباتیک است. یک کنترلکننده حرکت مناسب علاوه بر کنترل دقیق ربات در راستاي مسیر مورد نظر میتواند اثرات اغتشاشات و عوامل کاهش دقت ربات از جمله لقی مفاصل و ارتجاعیت لینکها و یا مفاصل را از بین ببرد. روشهاي کنترل ربات را با توجه به نوع طراحی میتوان به دو دسته اصلی تقسیم کرد: کنترل برپایه مدل که به مدل دینامیکی ربات نیازمند است و کنترل بر پایه کارایی[ 1 و 2 ]. کنترل به روش گشتاور محاسبه شده متعلق به دستهي کنترل بر پایه مدل است[ 3 و 4 ]. از جمله مزیتهاي روش گشتاور محاسبه شده میتوان به دقت آن در رهگیري مسیر موردنظر اشاره نمود. کنترل کننده PID و کنترل کننده تطبیقی از دسته کنترلرهاي بر پایه کارایی میباشند زیرا پارامترهاي طراحی در آنها با توجه به خطاي رهگیري تنظیم میشوند. اما این دو نوع استراتژي کاملا مخالف یکدیگر نیستند. به منظور افزایش کارایی کنترل کنندهها معمولا آنها را با هم ترکیب میکنند. مثلا 1 Computed Torque Control
میتوان به ترکیب کنترل تطبیقی با کنترل به روش گشتاور محاسبه شده اشاره کرد [5 و 6 ]. 2- کنترل به روش گشتاور محاسبه شده مفهوم کنترل به روش گشتاور محاسبه شده در سال 1972 توسط پاول پیشنهاد شد [7]. کنترل به روش گشتاور محاسبه شده یک روش کنترل بر پایه مدل است زیرا از دینامیک ربات در حلقه فیدبک براي خطی سازي و خنثی سازي دینامیک سیستم استفاده میشود. اگر ربات دقیق مدل شده باشد در آن صورت روش گشتاور محاسبه شده میتواند تمامیاتصالات را با استفاده از فیدبک خطی دکوپله کند در نتیجه رهگیري دقیق مسیر امکانپذیر خواهد بود. روش گشتاور محاسبه شده یک کاربرد خاص از خطیسازي فیدبک سیستمهاي غیر خطی است که در آن سیستم غیرخطی در طول یک مسیر کنترل میشود. روش گشتاور محاسبه شده CTC) ( به صورت زیر اراي ه شد [8]: τct = M ( q)[ Kpe + KDe& ] + τfd ( 1) که در آن τگشتاور ct محاسبه شده τ fd گشتاور به دست آمده از دینامیک معکوس ربات موازي e خطاي رهگیري K p گین تناسبی و K D گین مشتقی است (شکل 1). شکل 1 دیاگرام کنترل کننده به روش گشتاور محاسبه شده روش گشتاور محاسبه شده خطاي دینامیکی را به صورت یک معادلهي مرتبه 2 خطی با ضرایب ثابت بیان مینماید. از آنجا که ماتریسهاي K D و K P کلی دینامیک معکوس ربات عبارتست از: ماتریسهاي متقارن مثبت معین میباشند پاسخ مقدار e به صورت نمایی به صفر میل میکند. معادله a a M ( qq ) & + C ( qqq, && ) + G ( q) = v ( 2) مسي له کنترل سیستم پیچیدهاي مانند ربات را میتوان با تغییر متغیري مانند زیر به مسي لهاي ساده تبدیل نمود: u = αu + β ( 3) 1 n بردار u که در آن ورودي ربات میباشد و u برداري n 1 میباشد که از معادله 3 تعریف میشود و داریم: α = M ( q) ( 4) a β = C ( qqq, && ) + G ( q) ( 5) در حقیقت انجام تغییر متغیر غیر خطی یک مسي له کنترلی پیچیده غیر خطی را به یک مسي له خطی ساده که شامل n (تعداد مفصلها) معادله خطی دکوپله شده میباشد تبدیل مینماید. اگر یک کنترل PD براي کنترل این سیستم خطی شده در نظر بگیریم خواهیم داشت: a u = q& d + KDe& + Kpe ( 6)
که در آن q a d به صورت قطري موقعیت زاویهاي دلخواه مفصلها و e بردار خطا میباشد. معمولا براي ربات با درجه آزادي n ماتریسهاي بهره n n میباشند یعنی: KP = diag( kpi ) KD = diag( kdi ) ( 7) همچنین مقدار خطا برابر است با: a a e = q d q ( 8) زمانی که پارامترهاي مدل دینامیکی دقیق نباشند (براي مثال اگر مقدار ماتریس M خطا داشته باشد) و یا در زمان حضور دینامیکهاي مدل نشده همچون نیروي اصطکاك روش گشتاور محاسبه شده میتواند ناپایدار باشد[ 9 ]. علاوه بر این روش گشتاور محاسبه شده نیازمند محاسبهي مدل دینامیکی ربات است و از آنجا که این محاسبات حجیم و زمانبر هستند و کنترلکننده باید به صورت همزمان با کنترل ربات این محاسبات را نیز انجام دهد درنتیجه پیاده سازي این کنترل کننده در مواقعی مشکل میگردد. در پروسهي کنترل رباتها ابتدا باید مسیر مطلوب در فضاي مفاصل محرك به ربات داده شود. اما معمولا مسیر مطلوب که توسط کاربر درنظر گرفته میشود در فضاي کارتزین (فضاي پلتفرم ابزار) ربات میباشد. به این دلیل براي ایجاد مسیر مناسب براي ربات باید با استفاده از سینماتیک معکوس مسیر موجود در فضاي کارتزین را به فضاي مفاصل ببریم. محركها میتوانند از نوع گشتاور مستقیم و یا از نوع جعبه دندهاي باشند. در نوع گشتاور مستقیم موتورها مستقیما به مفاصل متصلند و به همین دلیل تا ثیر دینامیک ربات بر روي آنها قابل توجه است. اما در مواردي که محركها گشتاور مستقیم هستند و یا سرعتها و شتابها به قدري بالا است که دینامیک ربات تا ثیر زیادي برروي محركها دارد استفاده از روشهاي بر پایهي مدل همچون روش گشتاور محاسبه شده بهتر میباشد. 3- تنظیم بهرهها در کنترل کنندهي گشتاور محاسبه شده مدل کنترلی ربات خطیشده در روش گشتاور محاسبه شده به صورت معادله 6 میباشد. این معادله یک معادلهي دیفرانسیلی درجهي دو میباشد. شکل استاندارد چند جملهاي مشخصه درجه دو به صورت زیر است: 2 2 P( s) = s + 2ξωns+ ωn ( 9) که در آن ξ نسبت میرایی و ω n گینهاي PD به صورت زیر به دست آید: فرکانس طبیعی هستند. بنابراین بازدهی مطلوب در هر عنصر خطا میتواند با انتخاب 2 kpi = ωn, kdi = 2 ξωn ( 10) که در آن ξ و ω n نسبت میرایی و فرکانس طبیعی مطلوب براي خطاي مفصل i ام است. از آنجایی که معمولا فراجهش مطلوب نمیباشد معمولا گینهاي PD را براي حالت میرایی بحرانی 1= ξ تنظیم میکنند. در این حالت داریم: kdi = 2 kpi ( 11) با توجه به معادلهي 10 و با دانستن مقدار یعنی با دانستن یکی از بهرههاي ξ مسي له طراحی دو متغیر K P و K D یا K P بدانیم و با استفاده از معادلهي 11 مقدار هر دو بهره به دست میآید. مینماید. اما بعضی محدودیتها براي حد بالایی انتخاب به مسي لهاي یک متغیره تبدیل میشود. K D مقدار بهرهي دیگر به دست میآید. حال اگر فرکانس کنترل کننده یعنی فرکانس ω n را ω n ω n سرعت پاسخ را در هر عنصر خطا مشخص وجود دارد. محدودیت دیگر مقدار گشتاور اشباع میباشد. از آنجا
u که مقدار گشتاور متناسب با مقدار u است نمیتوان از معادلات سیستم خطی شده استفاده کرد. براي بدست آوردن مقدار بیشینه باید کنترل کننده شبیهسازي شود. بنابراین براي اینکه محدودیت گشتاور را اعمال کنیم باید از روش آزمون و خطا و یا روشهاي بهینه سازي استفاده کنیم. 4- کنترل کننده PID روش کنترل PID که به علت سادگی بر روي اکثر رباتها قابل پیادهسازي است در برخی موارد روشی کاراست. در این روش براي هریک از موتورهاي ربات کنترل کنندهاي جداگانه در نظر گرفته میشود. براي تنظیم گینهاي این کنترل کنندهها از روشهاي مختلفی همچون خطی سازي مدل دینامیکی ربات روشهاي بهینهسازي روشهاي تجربی و روشهاي آزمون و خطا استفاده میشود. 5- مثال عددي براي کنترل ربات در این قسمت دو کنترل کنندهي گشتاور محاسبه شده و PID را بر روي ربات موازي 3-PRR براي وروديهاي پله و شیب مقایسه مینماییم. براي تنظیم گینهاي کنترلکنندهها باید خواستهها و محدودیتهاي موجود را در نظر گرفت. ازجمله محدودیتهاي موجود در زمینهي کنترل ربات گشتاور اشباع موتور و فرکانس طبیعی ساختار ربات میباشند. براي مسیر پله خواستههاي ما شامل زمان اوج بیشینهي فراجهش و زمان نشست میباشد. براي مسیرهایی غیر از مسیر پله خواستههاي مورد نظر را میتوان بیشینهي خطا در طول مسیر و انتگرال خطا در طول مسیر و انرژي مصرف شده درنظر گرفت. 1-5- معرفی ربات 3-PRR ربات سه درجه آزادي 3-PRR داراي یک صفحه ثابت یک صفحه متحرك و سه لینک میباشد که هر یک داراي یک مفصل 2 1 انتقالی (رفت و برگشتی) است که بطور متوالی داراي دو اتصال چرخشی میباشند (شکل 2). تنها مفاصل انتقالی تحریک میشوند. مشخصات جرم و اینرسی ربات 3-PRR در جدول 1 آورده شده است. دینامیک ربات با استفاده از روش متعامد 3 تکمیلی طبیعی (NOC) به همراه کنترل کنندهي اعمال شده به آنها در محیط Simulink از نرمافزار Matlab شبیهسازي شدهاند. مدلهاي کنترلر در شکلهاي 3 و 4 نشان داده شدهاند. همچنین اندازههاي مشخص شده روي شکل 2 عبارتند از: l1= 0.3 m, l2 = 0.15 m, l3 = 1m (12) 1 Prismatic 2 Revolute 3 Natural Orthogonal Complement
شکل 2 ربات موازي 3-PRR شکل 3 مدل کنترل ربات در محیط Simulink شکل 4 مدل کنترلر گشتاور محاسبه شده در محیط Simulink
جدول 1- مشخصات جرم و اینرسی ربات 3-PRR ( gr mm ممان اینرسی ) 2 جرم ) gr ( شماره جرم 0,0171 137,16 1 0,606 520,07 2 5,076 1419,51 3 2-5- ورودي پله براي مقایسهي دو کنترلر ابتدا ورودي پله به ربات داده شده است. نمودار ورودي و خروجی (موقعیت مفاصل محرك) براي کنترلر گشتاور محاسبه شده براي تابع پله واحد در شکل 5 نشان داده شده است. نمودارهاي خطا در طول مسیر براي تابع پله واحد به ترتیب براي کنترلکنندههاي CTC و PID در شکلهاي 6 و 7 نشان داده شده است. مقدار بزرگترین انتگرال قدر مطلق خطا در بین مفاصل محرك را میتوان به عنوان معیاري براي اندازهگیري خطا در نظر گرفت. شکل 5 موقعیت مفاصل محرك براي کنترلر گشتاور محاسبه شده براي تابع پله واحد شکل 6 نمودار خطا براي کنترلر گشتاور محاسبه شده براي تابع پله واحد
شکل 7 نمودار خطا براي کنترلر PID براي تابع پله واحد 3-5- ورودي شیب نمودار ورودي و خروجی (موقعیت مفاصل محرك) براي کنترلر گشتاور محاسبه شده براي تابع شیب در شکل 8 و نمودارهاي خطا در طول مسیر براي تابع شیب در شکلهاي 9 و 10 نشان داده شده است. شکل 8 موقعیت مفاصل محرك براي کنترلر گشتاور محاسبه شده براي تابع شیب شکل 9 نمودار خطا براي کنترلر گشتاور محاسبه شده براي تابع شیب
شکل 10 نمودار خطا براي کنترلر PID براي تابع شیب 6- نتیجهگیري در این مقاله کنترل به روش گشتاور محاسبه شده براي کنترل ربات موازي 3-PRR اراي ه شد و با کنترل به روش PID مقایسه شد. همانطورکه بیان شد کنترل کننده PID از دسته کنترلکنندههاي بینیاز از مدل دینامیکی میباشد ولی کنترل کنندهي گشتاور محاسبه شده از دسته کنترل کنندههاي برپایهي مدل دینامیکی است. نتایج نشان دهندهي برتري کنترل کننده گشتاور محاسبه شده نسبت به کنترل کننده PID میباشد و در مقابل آن کنترل کننده PID بسیار سادهتر از کنترل کننده به روش گشتاور محاسبه شده است. کنترل به روش گشتاور محاسبه شده نیازمند محاسبات طولانی و زمانبر است که پیادهسازي آن را در برخی موارد با مشکل مواجه میکند. علاوه بر آن این کنترل کننده بر اساس مدلی دینامیکی ایدهآل ربات طراحی شده است و در صورتی که مدل واقعی ربات با مدل در نظر گرفته شده متفاوت باشد این کنترل کننده ممکن است خطاي زیادي داشته باشد و یا حتی ناپایدار شود. با ترکیب روشهاي کنترل مقاوم با روش گشتاور محاسبه شده میتوان ضعف نامقاوم بودن این کنترل کننده را برطرف کرد. مراجع 1- I. Davliakos, E. Papadopoulos, "Model-based control of a 6-dof electrohydraulic Stewart-Gough platform", Mechanism and Machine Theory, Vol. 43, pp. 1385-1400, 2008. 2- G. Rigatos, "Model-based and model-free control of flexible-link robots: A comparison between representative methods", Applied Mathematical Modelling, vol. 33, pp. 3906 3925, 2009. 3- Y. Zhiyong, W. Jiang, M. Jiangping, "Motor-mechanism dynamic model based neural network optimized computed torque control of a high speed parallel manipulator", Mechatronics, vol. 17, pp. 381 390, 2007. 4- W. Shang, S. Cong, "Nonlinear computed torque control for a high-speed planar parallel manipulator", Mechatronics, vol. 19, pp. 987 992, 2009. 5- Z. Song, J. Yi, D. Zhao, X. Li, " A computed torque controller for uncertain robotic manipulator systems: Fuzzy approach ", Fuzzy Sets and Systems, vol. 154, pp. 208 226, 2005. 6- He, J.F., Jiang, H.Z., Cong, D.C., Ye, Z.M., and Han, J.W., A Survey On Control Of Parallel Manipulator, Key Engineering Materials, Trans Tech Publications, 2007. 7- Paul, R.P., Technical Report AIM-177, Stanford Artificail Intelligence Laboratory 1972. 8- Husty, M.L., An algorithm for solving the direct kinematics of general Stewart-Gough platforms, Mech. and Mach. Theory, Vol.31(4), p.365-380, 1996. 9- Sjirk, K., Model Based Control of a Flight Simulator Motion System. PhD thesis, Delft: Delft University of Technology, 2001.