یک مدل ریاضی براي حل همزمان مسي له زمانبندي پروژه و تخصیص نیروي انسانی

Transcript

1 5 نشریه تخصصی مهندسی صنایع دوره 8 سال 9 ویژه نامه دهمین کنفرانس بین المللی مهندسی صنایع از صفحه 5 تا 5 مقدمه یک مدل ریاضی براي حل همزمان مسي له زمانبندي پروژه و تخصیص چکیده نیروي انسانی * عرفان مهمانچی و شهرام شادرخ کارشناسی ارشد مهندسی صنایع- دانشگاه صنعتی شریف دانشیار دانشکده مهندسی صنایع- دانشگاه صنعتی شریف تخصیص نیروي انسانی به فعالیتهاي پروژه براي زمانبندي آنها یکی از نزدیکترین حالات به شرایط واقعی مساي ل زمانبندي است اما با توجه به تازگی و تعلق این مسي له به دسته مساي ل غیر چندجملهاي سخت تا کنون روشهاي دقیق فقط قادر به حل مساي ل با اندازه کوچک بودهاند. در این مسي له منابع تجدیدپذیر از نوع ستادي بوده به طوري که هر فرد با مهارتهاي چندگانه فقط قادر است یکی از مهارتهاي مورد نیاز فعالیتها را در زمان مشخص برآورده کند. در این مقاله با تعریف مفهوم کارآیی براي اعضاي پروژه یک مدل برنامهریزي ریاضی براي حل همزمان دو مسي له بالا اراي ه میشود. از آنجا که این مسي له جزو مساي ل غیر چندجملهاي سخت طبقهبندي میشود براي حل آن یک الگوریتم فراابتکاري تکامل دیفرانسیلی توسعه داده شده است. نتایج حاصل بیانگر کارآیی این الگوریتم فراابتکاري در حل همزمان دو مسي له زمانبندي پروژه و تخصیص نیروي انسانی است. واژههاي کلیدي: زمانبندي پروژه تخصیص نیروي انسانی کارآیی الگوریتم فراابتکاري یکی از مهمترین شاخههاي حوزه دانشی زمانبندي پروژه مسي له زمانبندي با منابع محدود است که با نام RCPSP نیز شناخته میشود. این مسي له با توجه با ماهیت غیر چندجملهاي سختی که دارد یکی از دشوارترین و پیچیدهترین مساي ل تحقیق در عملیات به شمار میرود. با گسترش RCPSP یک فعالیت میتواند از چندین راه یا حالت انجام پذیرد که هر یک از این حالات منعکسکننده ترکیبی از زمان لازم و منابع مورد نیاز براي انجام فعالیت مورد نظر هستند این مفهوم جدید []. سبب توسعه یکی از عمومیترین حالتهاي مساي ل زمانبندي با عنوان زمانبندي پروژه با منابع محدود چند حالته یا MRCPSP شده است که بسیاري از مساي ل واقعی را با استفاده از آن میتوان مدلسازي کرد. با این حال MRCPSP به عنوان مسي لهاي مهم و سخت شناخته شده است زیرا بلازویک و همکاران [] اثبات کردهاند که یک مسي له RCPSP عمومیتر آن یعنی خواهد بود. جامع NP-hard است و در نتیجه حالت NP-hard نیز یک مسي له MRCPSP ترین مطالعه و دستهبندي در زمینه مسي له زمانبندي پروژه با منابع محدود و زیرشاخههاي گسترش یافته آن را میتوان در [ ] جستجو کرد. در طی سالهاي اخیر MRCPSP نسخه جدیدي از مسي له در ادبیات مطرح شده است که شامل حل همزمان دو مسي له زمانبندي پروژه و تخصیص نیروي انسانی است که گاهی با نام مسي له زمانبندي پروژه چندمهارته یا MSPSP نیز شناخته میشود. این مسي له در حالت استاندارد عبارت است از تعیین یک زمانبنديشدنی براي فعالیتها با توجه به روابط پیشنیازي و محدودیت انسانی با مهارته يا هر فقط منابع که از نوع نیروي چندگانه در نظر گرفته میشوند. در این مسي له هر فعالیت به تعدادي نیروي انسانی براي انجام یک از مهارتهاي خود نیاز دارد که باید توسط زیرمجموعهاي از اعضاي پروژه که از تخصص لازم براي انجام مهارت برخوردارند برآورده شود. علاوه بر این افراد نمیتوانند در زمان واحد روي دو فعالیت یا حتی دو مهارت اشتغال داشته باشند و در صورت اختصاص به یک مهارت تا اتمام کامل فعالیت در اختیار آن خواهند بود. نتایج گذشته حاکی از آن است که چند مهارتهبودن باعث افزایش بهرهوري کیفیت و پیوستگی کار میشود و به مدیران انعطافپذیري بیشتري در تخصیص میبخشد. کارها Mehmanchi@ie.sharif.edu تلفن: 0950 * نویسنده مسي ول:

2 نشریه تخصصی مهندسی صنایع دوره 8 سال 9 ویژه نامه دهمین کنفرانس بین المللی مهندسی صنایع 6 در این مسي له با توجه به نیاز فعالیتها به مهارتهاي مختلف و همچنین تخصص اعضاي پروژه در مهارته يا گوناگون بدیهی به نظر میرسد که میتوان هر فعالیت را با تعداد حالات متنوعی از نظر تخصیص نیروي انسانی انجام داد که امکان دارد تعداد آنها فقط براي یک فعالیت به بیش از چند 0 حالت برسد. در نتیجه در مقایسه با MRCPSP این مسي له پیچیدگی به مراتب بالاتري دارد. با توجه به این موضوع حل همزمان زمانبندي پروژه و تخصیص نیروي انسانی حتی در اندازههاي متوسط نیز توسط روشهاي ارایه شده براي RCPSP و MRCPSP که اکثرا بر اساس شمارش کامل هستند قابل حل نیست.[ 5] MSPSP مسي له جدیدي در حوزه زمانبندي پروژه به شماره میرود به طوري که حتی در جامعترین هندبوكهاي زمانبندي پروژه مانند [] نیز نامی از این مسي له برده نشده است. بلنگوي ز در خلاصه رساله دکتراي خود روشهاي حل MSPSP را در سه دسته کلی روشهاي حدود پایین شاخه و کران و ابتکاري و فراابتکاري تقسیمبندي کرده است [5]. البته به این دستهبندي میتوان روش برنامهریزي آرمانی را نیز اضافه کرد [7 6]. از آنجا که استفاده از برنامهریزي محدودیتها و صفحات برش براي یافتن حدهاي مناسب براي مسي له MSPSP دشوار و زمانبر است بلنگوي ز و نرون [] با چندسطحی در نظر گرفتن هر مهارت روش حد پایینی را براي حل MSPSP اراي ه دادند که میتواند به عنوان یک روش کارآ براي استفاده در هر گره روش شاخه و کران مورد استفاده قرار بگیرد. تحقیقات دیگري نیز بر همین مبنا و با استفاده از روش حد پایین انجام شده است که براي نمونه به کار نرون و همکاران [8] میتوان اشاره کرد. در مورد روشهاي شاخه و کران نیز میتوان از کار بلنگوي ز و نرون [9] در سال 007 نام برد. کاظمیپور و همکاران [0] نیز یک مدل MINLP را براي حل مسي له MSPSP اراي ه دادند اما از آنجا که حل این مسي له در ابعاد واقعی بسیار زمانبر بود نویسندگان با اراي ه یک الگوریتم شبیهسازي تبرید اقدام به حل مسي له کردند. در مورد سایر روشهاي فراابتکاري به کار رفته در حل MSPSP نیز میتوان به روش جستجوي ممنوع اشاره کرد که همراه با یک جستجوي محلی قوي توسط کادرو و ناجید [] در سال 006 مورد استفاده قرار گرفت. آنها براي اثبات کارآیی الگوریتم خود یک حد پایین براي مسي له نیز یافتند و به مقایسه الگوریتم خود با این حد یافت شده پرداختند. بسیاري از تحقیقات اگر چه به حل همزمان دو مسي له زمانبندي پروژه و تخصیص نیروي انسانی پرداختهاند اما با تکمهارته فرض کردن نیروي انسانی حالت بسیار سادهاي از زمانبندي پروژه چندمهارته را بررسی کردهاند. به عنوان نمونه آلفارز و بیلی [] با هدف زمانبندي پروژه و حداقل کردن هزینه آن مسي له تخصیص نیروي انسانی تکمهارته را در مطالعات خود گنجاندهاند و براي آن یک مدل ریاضی به همراه حل فراابتکاري با استفاده از برنامهریزي پویا اراي ه کردهاند. تحقیق وو و سان [] نیز مثال دیگري از نوع تکمهارته به شمار میرود. در تحقیق پیش رو در ابتدا با در نظر گرفتن محدودیتهاي کاربردي به دنبال تعریف گسترشی از مسي له MSPSP هستیم تا بدین ترتیب آن را هر چه بیشتر به شرایط دنیاي واقعی نزدیک کنیم. بدین منظور بر خلاف آنچه که اغلب در ادبیات مسي له مطرح شده است فرض میشود مهارت افراد فقط به دو سطح تخصص و تخصصنداشتن براي انجام مهارت خلاصه نمیشود و با در نظر گرفتن توانایی افراد در مهارتهاي مختلف کارآیی آنها را در هر مهارت به صورت عددي حقیقی در بازه [0 ] تعریف میشود. با بهره بردن از این ویژگی و از آنجا که منابع مورد استفاده در مسي له MSPSP از نوع نیروي انسانی هستند و یادگیري و فراموشی جزو جداییناپذیري از مهارتهاي انسانی است عامل منحنی یادگیري و فراموشی نیز به شرایط مسي له اضافه میشود. در این حالت به ازاي هر واحد زمانی اشتغال افراد در مهارتی (یادگیري) کارآیی آنها در آن مهارت به صورت نمایی افزایش یافته و در صورت اشتغال نیافتن در آن کارآیی آنها با ضریب کمتري نسبت با حالت یادگیري کاهش مییابد. با توجه به این فرض بیشینهکردن کارآیی افراد در پایان پروژه علاوه بر در نظر گرفتن تابع هدف متداول یعنی کمینهسازي زمان اجراي پروژه به عنوان هدف ثانویه به مسي له افزوده میشود. از تحقیقاتی که به تا ثیر «یادگیري» و «یادگیري و فراموشی» در حل همزمان مساي ل زمانبندي پروژه و تخصیص نیروي انسانی پرداختهاند میتوان به مطالعات وو و سان [] و همچنین گاتجاهار و همکاران [] اشاره

3 7 یک مدل ریاضی براي حل... اگر کرد. چه تحقیق وو و سان جزو مساي ل تکمهارته طبقبندي میشود اما آنها اولین کسانی بودند که در 006 سال فراموشی) تخصیص افراد کردند. 008 بحث تا ثیر یادگیري (بدون در نظر گرفتن را وارد ادبیات موضوع مسي له زمانبندي و این بار اما یادگیري و فراموشی را همزمان مسي له MSPSP گاتجاهار و همکاران در سال مسي لهاي را در نظر گرفتند که تا ثیر روي مهارت افراد در بررسی میکرد ولی آنها نیز مانند وو و سان با در نظر گرفتن بازه زمانی براي انجام فعالیتها به سادهسازي مسي له پرداختند و علاوه بر آن شرط پیوسته بودن فعالیتها را نیز در مدل خود رعایت نکردند. به همین دلیل این دو مطالعه تفاوتهاي اصلی با مسي له مورد نظر این تحقیق دارند. حاصل مسي له مطرح شده در این مقاله یک مدل برنامهریزي عدد صحیح مختلط غیرخطی است که با توجه به NP-hard بودن مسي له MSPSP و امکان نداشتن حل دقیق آن در ابعاد واقعی و در مدت زمان قابل قبول راهی جز استفاده از الگوریتمها فراابتکاري براي این دسته از مثالها امکانپذیر نیست. بنابراین با استفاده از مقادیر حل دقیق مسي له براي مثالهاي با ابعاد کوچک در [6 5] 5 الگوریتم فراابتکاري تکامل دیفرانسیلی (DE) را براي مسي له مطرح شده در این مقاله گسترش میدهیم. از جدیدترین تحقیقاتی که از الگوریتم تکامل دیفرانسیلی براي حل دسته مساي ل زمانبندي پروژه با منابع محدود استفاده کردهاند داماك و همکاران در سال [7] میتوان به تلاشهاي 009 براي حل MRCPSP اشاره کرد. نتایج تحقیقات آنها نشاندهنده DE کارآیی براي حل مسي له استاندارد در MRCPSP مقایسه با نتایج ثبت شده در کتابخانه زمانبندي پروژه است. [8] کاظمیپور [6] نیز در رساله دکتراي خود نشان داده است که الگوریتم تکامل دیفرانسیلی در مقایسه با سه الگوریتم فرا ابتکاري جستجوي ممنوع شبیهسازي تبرید و جستجوي پراکنده از کارآیی بیشتري در حل MSPSP و حالت سبد پروژه آن برخوردار است. تعریف مسي له از یک منظر مسي له MSPSP را میتوان ترکیبی از دو مسي له زمانبندي پروژه و تخصیص افراد در نظر گرفت که براي حل آن هر دو زیرمسي له را باید به طور همزمان در نظر داشت زیرا حل جداگانه هر یک لزوما به حل بهینه MSPSP MSPSP منجر نخواهد شد. از منظري دیگر هر مسي له را میتوان متشکل از سه مجموعه فعالیتها افراد و مهارتها دانست که در آن هر فعالیت براي اجراییشدن به یک یا چند مهارت نیاز دارد که توسط نیروي انسانی در اختیار پروژه باید برآورده شوند. علاوه بر موارد اشاره شده در این مقاله با استفاده از مفهوم یادگیري و فراموشی شرایطی را در نظر میگیریم که انجام هر مهارت با کارآیی فرد در آن مهارت به ازاي هر واحد زمانی افزایش و در صورت اشتغال نداشتن در آن به هر دلیلی مانند مرخصی تخصیصنیافتن و یا اشتغال در مهارت دیگر کارآیی وي کاهش خواهد یافت. براي شرح مدل ریاضی پروژهاي را در نظر بگیرید که از مجموعهاي از فعالیتها j {,. J} تشکیل شده است و هر فعالیت به یک یا چند مهارت {K k,}, نیاز دارد. مهارتهاي فعالیت با تعداد کارمند مورد نیاز براي انجام هر یک از y jk نمایش داده میشود که بسته به حداقل کارآیی مورد نیاز فعالیت در مهارت مربوطه توسط زیرمجموعهاي از کارمندان میشود. در این مدل متغیر تصمیم z jk I} i {,. برآورده x ijkt برابر یک خواهد بود اگر فرد i روي مهارت k فعالیت j در دوره زمانی t کار ψ مقدار کند و در غیر این صورت برابر صفر خواهد بود. یک را خواهد گرفت اگر فعالیت j در زمان t و یا قبل از آن شروع شده باشد و در غیر این صورت صفر خواهد بود. همچنین ψ برابر یک خواهد بود زمان t هنوز تمام نشده باشد. متغیر باینري اگر این فعالیت در نیز بیانگر C تخصیص فرد i به مهارت k فعالیت j است. همچنین S ikt مقدار کارآیی فرد i در مهارت k در زمان t پروژه را نشان میدهد که بسته به تعداد دفعات انجام مهارت توسط فرد و با توجه به ضرایب یادگیري η شده براي مهارت مقدار آن در بازه میکند. و فراموشی β [0 ] ρ تعیین تغییر پیدا نیز میزان کارآیی فرد در مهارت مربوطه درست در زمان پایان پروژه است که مقدار آن از به S ikt دست میآید. مدل ریاضی مسي له گسترش یافته MSPSP را به صورت روابط () الی (7) میتوان بیان کرد: s.t. Min t. x λ ρ ()

4 نشریه تخصصی مهندسی صنایع دوره 8 سال 9 ویژه نامه دهمین کنفرانس بین المللی مهندسی صنایع 8 ψ M x Mψ x ψ M x j, t j, t j, t Mψ x j, t, ψ ψ x y M ψ j, j : j j, (j, j ) E M ψ x y + M ψ + M ψ x d M C x d + M C x MC 0 j, k, t j, k, t i, j, k i, j, k i, j, k C = y j, k x S = S + ( S ) ( i, t e ( ( )) ) i, k, t s x M ρ x M + S i, k, t s z x M i, j, k, t C, x, ψ, ψ {0,}, s, ρ [0,], t = 0,,, T () () () (5) (6) (7) (8) (9) (0) () () () () (5) (6) (7) همچنین در این مدل E مجموعه روابط پیشنیازي d j فعالیتها بزرگ است. مدت زمان فعالیت j طبق تعریفی که از و M یک عدد مثبت مسي له مورد بررسی شد هدف حداقلکردن زمان اتمام پروژه ضمن حداکثرکردن کارآیی افراد در مهارتهاي مختلف در پایان پروژه با توجه به درجه اهمیت مهارتها ) λ) است زیرا براي بسیاري از سازمانهاي پروژهمحور یکی از نکات پر اهمیت افزایش توانایی نیروي انسانی براي انجام پروژههاي مشابه بعدي و همچنین بهبود کیفیت کار است. این دو هدف را در رابطه () و به صورت یک عبارت با اضافه کردن مجموع کارآیی افراد با ضریب منفی به رابطه حداقلکردن زمان محاسبه میشود. باید توجه داشت براي آنکه کل تابع هدف معنیدار باشد مقدار λ باید طوري تعیین شود که متناسب با زمان باشد. براي تعیین زمان شروع هر فعالیت از روابط () و () و براي تعیین زمان پایان آن از () و (5) استفاده میشود. با دانستن زمان شروع و پایان فعالیتها میتوان روابط پیشنیازي بین آنها را با استفاده از رابطه (6) لحاظ کرد []. همچنین براي آنکه با شروع یک فعالیت همه مهارتهاي آن به طور همزمان آغاز شوند و فعالیت منقطع نباشد از روابط (7) و (8) استفاده میشود. روابط (9) و (0) سبب میشوند تا اگر فرد i به فعالیت j اختصاص پیدا کرد به طور دقیق برابر مدت زمان فعالیت ) j d) مشغول انجام آن باشد و در این بازه زمانی به فعالیت دیگري تخصیص پیدا نکند. با استفاده از رابطه () اطمینان حاصل میشود که اگر فردي براي انجام هیچ یک از مهارتهاي مورد نیاز فعالیتی اختصاص پیدا نکرد (0= ijk C) متغیر مربوط به x ijkt آن نمیتواند در هیچ زمانی مقدار یک بگیرد. تساوي () سبب میشود تا به طور دقیق به تعداد مورد نیاز یک فعالیت در یک مهارت به آن نیروي انسانی تخصیص داده شود. با استفاده از () میتوان اطمینان حاصل کرد که هر فردي در هر زمانی حداکثر میتواند روي یک فعالیت و آن هم فقط روي یک مهارت کار کند. براي پیادهسازي تا ثیر یادگیري و فراموشی بر کارآیی افراد با توسعه منحنی یادگیري نمایی که توسط مازور و هستیه [9] اراي ه شده و گسترش آن با در نظر گرفتن تا ثیر فراموشی رابطهاي همانند () به دست میآید که در آن S ikt کارآیی مهارت η و β ضرایب k فرد i در زمان S ik0 t کارآیی اولیه فرد و یادگیري و فراموشی هستند. از آنجا که یکی از اهداف حداکثرکردن کارآیی در زمان پایان پروژه است و از سویی دیگر زمان دقیق پایان پروژه مشخص نیست پس باید با اضافه کردن رابطه (5) شرایطی را فراهم کنیم تا بتوان کارآیی افراد را به طور دقیق در زمان پایان پروژه به دست آورد. همچنین براي

5 9 یک مدل ریاضی براي حل... آنکه افراد تخصیص یافته به مهارت یک فعالیت حداقل کارآیی مورد نیاز آن فعالیت در زمان تخصیص را داشته باشند از رابطه (6) استفاده میشود. در نهایت (7) نیز نوع متغیرها و مقادیر ممکن براي آنها را نمایش میدهد. مجموعه روابط الی () (7) یک مدل برنامهریزي عدد صحیح غیر خطی را براي مسي له ایجاد میکنند. حل مسي له دانستن این موضوع که حل همزمان زمانبندي پروژه و تخصیص نیروي انسانی یک مسي له NP-hard است باعث میشود تا جز مساي ل با ابعاد کوچک از حل بهینه مثالهاي با ابعاد واقعی صرف نظر کنیم. از این رو در این بخش ضمن توسعه الگوریتم فراابتکاري تکامل دیفرانسیلی براي حل مسي له در MSPSP مورد بحث در این مقاله به بررسی کارآیی آن در مقایسه با نتایج حاصل از حل دقیق به دست آمده براي مثالهاي در ابعاد کوچک که آنها را [6 5] 8 9 میتوان جستجو کرد و همچنین مثالهاي تصادفی تولید شده در ابعاد بزرگ میپردازیم. در MSPSP براي یافتن جواب بهینه باید دو مسي له زمانبندي و تخصیص افراد را به طور همزمان در نظر گرفت. بدین منظور در این تحقیق براي نمایش جواب در الگوریتمهاي فرا ابتکاري از دو ساختار استفاده میشود. ساختار اول مطابق جدول () شامل یک بردار است که اندازه آن برابر تعداد فعالیتهاي پروژه و عناصر نظیر هر فعالیت بیانگر اولویت انجام آنها در طرح زمانبندي سري رو به جلو هستند. مطابق جدول () ساختار دوم متشکل از یک ماتریس سهبعدي است که بعد اول آن مربوط به فعالیتهاي مسي له بعد دوم برابر تعداد کارمندان و بعد سوم براي مهارتهاي مورد نیاز انجام فعالیتها است. عناصر این ماتریس نیز بیانگر اولویت فرد مربوطه براي انجام مهارت مورد نیاز فعالیت متناظر با آن عنصر است. لازم به ذکر است که مقادیر عناصر این دو ساختار در DE به طور تصادفی تولید میشوند جدول : نحوه نمایش اولویت انجام فعالیتها فعالیت الگوریتم تکامل دیفرانسیلی توسعه یافته الگوریتم تکامل دیفرانسیلی با کمک عملیاتی که توسط استورن و مرحله پرایس در سال [0 997 [ معرفی شد به اجرا درآمد. براي توسعه الگوریتم تکامل دیفرانسیلی در حل مسي له MSPSP این روش را مطابق با نظریه استورن و پرایس طبق مراحل زیر اجرا میکنیم تا در بپردازیم. بخش نتایج محاسباتی به بررسی کارآیی آن 6 ایجاد جمعیت اولیه در این تحقیق از طرح زمانبندي سري و لیست اولویت تصادفی مطابق ساختار اول و ماتریس تصادفی تخصیص افراد مطابق ساختار دوم براي ایجاد جواب هاي اولیه استفاده میشود. اندیسهاي C به ترتیب نسل و i و g جمعیتی را که بردار به آنها تعلق دارد نشان میدهند. به که طوري i [0,N P -] نشاندهنده N p و در آن اندازه جمعیت است. مراحل اصلی الگوریتم DE را در چهار فاز جهش جابهجایی و انتخاب میتوان به صورت زیر بیان کرد که باید براي هر عضو جمعیت و به تعداد از پیش تعیین شدهاي براي کل جمعیت تکرار شوند. 7 جهش مشابه الگوریتم ژنتیک الگوریتم تکامل دیفرانسیلی نیز از دو والد C C C و ) C و C دو جواب غیر همسان هستند که به طور تصادفی انتخاب شدهاند) براي ایجاد فرزند M rand, استفاده میکند. بدین منظور از بردار که درایههاي آن یک عدد تصادفی در بازه [0 ] هستند استفاده میشود. j نیز اندیس هر یک از عناصر موجود در بردار جواب است. رابطه (8) نشان میدهد که چگونه سه جواب مختلف با یکدیگر ترکیب میشوند تا A ایجاد شود. در این رابطه عامل M بردار جهش یافتهي یک عدد مثبت از قبل انتخابشده است که نرخ تکامل جمعیت را تحت کنترل دارد: M g j,i = C g j,i + A rand j,i g g Cj, g C j, (8) 5 اولویت

6 نشریه تخصصی مهندسی صنایع دوره 8 سال 9 ویژه نامه دهمین کنفرانس بین المللی مهندسی صنایع 50 جدول : نحوه نمایش اولویت تخصیص نیروي انسانی براي انجام مهارتهاي مورد نیاز هر فعالیت مهارت دوم کارمند کارمند کارمند مهارت اول کارمند کارمند کارمند فعالیت کارمند کارمند 8 جابهجایی با ساختهشدن بردار جهش M آن را با جواب C ترکیب کرده و سپس عملیات جابهجایی توسط روش تکامل دیفرانسیلی روي آنها انجام میگیرد. در نتیجه آن بردار آزمایشی میشود: T, با اعمال فرآیند رابطه (9) (9) تصادفی حاصل T, = M, if (r, Cr or j = j ) otherwise براي تعیین عناصر موجود در C, T, چنانچه عدد r, کوچکتر یا مساوي با مقدار عامل جابهجایی M Cr [0,] باشد مقدار عنصر متناظر از بردار جهشی به ارث برده میشود در غیر این صورت عامل بالا از جواب ( C کپی خواهد شد. فعلی ) انتخاب در گام انتخاب مطابق رابطه (0) بردار آزمایشی بر مبناي مقدار تابع هدف با T C مقایسه میشود. هر یک از این دو جواب که برازندگی بهتري داشته باشد به عنوان C به جمعیت نسل بعد انتقال مییابد و جواب جدید دیگري حذف میشود [7]: C = T if f(t ) f(c ) C otherwise (0) براي استفاده از این الگوریتم توسعهیافته در حل مسي له MSPSP هر دو ساختار اولویت انجام فعالیتها و ماتریس تخصیص اولویت افراد باید طی مراحل بالا و به طور همزمان براي یافتن یک جواب شدنی جدید محاسبه شوند. در شکل () مراحل الگوریتم فراابتکاري DE نمایش داده شده است. شکل : مراحل الگوریتم تکامل دیفرانسیلی

7 یک مدل ریاضی براي حل... نتایج محاسباتی پارامترهاي موجود در یک الگوریتم فراابتکاري بر عملکرد آن تا ثیر مستقیم میگذارند. انتخاب مقادیر درست براي این پارامترها باعث گسترش جستجو و جلوگیري از همگرایی زودرس میشود. در این میان هر یک از این پارامترها مقادیر مختلفی میتوانند به خود بگیرند. سطوح ممکن براي مقادیر این پارامترها را گاهی میتوان مطابق با استفاده از ادبیات موضوع و یا ویژگیهاي مسي له تعیین کرد. الگوریتم تکامل دیفرانسیلی مورد استفاده در این مقاله نیز داراي چهار پارامتر اندازه جمعیت N P عامل مقیاس A عامل جابهجایی براي بردار اولویت فعالیتها Cr a و عامل جابهجایی براي ماتریس اولویت تخصیص کارمندان Cr s است. براي تعیین کارآیی الگوریتم تکامل دیفرانسیلی در حل مسي له MSPSP توصیف شده در این مقاله ابتدا مقادیر این پارامترها با استفاده از روش تاگوچی (آرایه (L 5 به صورت A=0.9, N P =00, 0.= s Cr a,0.= Cr تعیین شد. سپس با به دست آوردن نتایج الگوریتم DE در حل هشت مثال در ابعاد کوچک که مقادیر حاصل از حل دقیق آنها با استفاده از نرمافزار CPLEX در [6 5] موجود است کارآیی آنها مطابق جدول () مورد ارزیابی قرار گرفت. لازم به ذکر است که الگوریتم با استفاده از نرمافزار MATLAB(R009a) در 5 یک کامپیوتر شخصی با گیگابایت رم و, گیگاهرتز سی پی یو کد شده است. همان طور که در جدول () مشاهده میشود الگوریتم تکامل دیفرانسیلی هم از نظر کیفیت جوابها و هم از نظر زمان محاسباتی کارآیی مناسبی دارد. اما از آنجا که امکان حل دقیق این مسي له در ابعاد بزرگ وجود ندارد در نتیجه براي مقایسه و تعیین کارآیی الگوریتم بالا از 0 مثال که به طور تصادفی ایجاد شدهاند استفاده شد. در تولید این مثالها براي رعایت پیچیدگیها و پوشش مطلوب فضاي مسي له و نبود تولید مثالهاي با ویژگیهاي یکسان از نرمافزار [8] ProGen براي تولید شبکه پروژهها استفاده شده است. همچنین در انتخاب بازه هر پارامتر از جنبه تعداد فعالیتها مهارتها کارکنان و... سعی شده است تا بر اساس ادبیات موضوع [ 6 ] حداکثر بازه ممکن در نظر گرفته شود. از هر دسته تعداد فعالیت 70,50,0,0,0 و 90 تایی پنچ مثال تولید و هر مثال براي سه مرتبه الگوریتم تکامل دیفرانسیلی اجرا شد (در مجموع 90 اجرا). مقدار تابع هدف یافت شده توسط الگوریتم به همراه میانگین زمان محاسباتی براي هر مثال در جدول () نمایش داده شده است. جدول : بررسی کارآیی DE در مثالهاي کوچک (مهارت کارمند فعالیت) مثال CPLEX DE انحراف زمان (s) انحراف زمان (h) ( ).5 9 ( ) 5 (8 ) >0 8 (0 ) > 5 ( 6 ) >0 5 % 6 ( 6 ) >5 5% 7 (8 6 ) >8 95 % 8 (0 6 ) >0 0 %

8 نشریه تخصصی مهندسی صنایع دوره 8 سال 9 ویژه نامه دهمین کنفرانس بین المللی مهندسی صنایع 5 جدول : بررسی کارآیی الگوریتم تکامل دیفرانسیلی در مثالهاي بزرگ مثال تابع هدف 0, 9,6 8,0,8, زمان اجرا (s) مثال تابع هدف 5,66 86,6, 0,6 6,85 زمان اجرا (s) ,6 6,09 8,,5 56, 75,6 86, 9,8,8 5, ,5 58,7 5,80 5,0 66,7 6,6 69,5 68,8 58,5 68, نتیجهگیري هدف از این تحقیق اراي ه رویکردي براي حل همزمان دو مسي له زمانبندي پروژه و تخصیص نیروي انسانی به فعالیتها با توجه به روابط پیشنیازي و محدودیت منابع با مهارتهاي چندگانه بود. در این مقاله با هدف حداکثرسازي کارآیی اعضاي پروژه ضمن کاهش مدت زمان پروژه مدل توسعه یافتهاي از این مسي له با در نظر گرفتن تا ثیرات یادگیري و فراموشی مطرح شد که حاصل آن یک مدل برنامهریزي ریاضی عددصحیح مختلط غیرخطی بود. براي حل این مدل در ابعاد واقعی نیز یک الگوریتم تکامل دیفرانسیلی توسعه داده شد. بررسی نتایج نشاندهنده کارآیی الگوریتم DE در حل MSPSP با ابعاد گوناگون است. بر اساس مطالعات انجام شده تا کنون هیچ تحقیقی اقدام به لحاظ منابع تجدیدناپذیر در مسي له MSPSP نکرده است. این موضوع خود میتواند به عنوان یک فرض عملیاتی براي هر چه نزدیکتر کردن مسي له به شرایط واقعی در نظر گرفته شود. پیشنهاد نگارندگان مبتنی بر شرایطی است که در آن میزان مصرف منابع تجدیدناپذیر در هر مهارت ارتباط معکوسی با کارآیی فرد انجام دهنده آن دارد. به عبارت دیگر هر چه کارآیی فرد بالاتر (با تجربهتر) باشد میزان مصرف منابع کمتر و هر چه کارآیی وي کمتر باشد میزان مصرف وي از منابع تجدیدناپذیر بیشتر خواهد بود. از دیگر پیشنهادهایی که براي گسترش مسي له MSPSP میتوان در نظر گرفت یافتن حد بالا و پایین براي تعیین مناسبتر کارآیی الگوریتمهاي فراابتکاري و همچنین حل دقیق مسي له در ابعاد بزرگتر است. مراجع - Hartmann, S. and Briskorn, D. (00). A survey of variants and extensions of the resource-constrained project scheduling problem. European Journal of operational research,vol. 07, No., PP Blazewicz, J., Lenstra, J.K. and Kan, A. H. G. (98). Scheduling subject to resource constraints : classification and complexity. Discrete Applied Mathematics, Vol. 5, No., PP Demeulemeester, E.L. and Herroelen, W. (00). Project scheduling: a research handbook. Kluwer Academic Pub.

9 5 یک مدل ریاضی براي حل... - Bellenguez, O. and Néron, E. (005). Lower bounds for the multi-skill project scheduling problem with hierarchical levels of skills. Practice and Theory of Automated Timetabling V, PP Bellenguez-Morineau, O. (008). Methods to solve multi-skill project scheduling problem. OR: A Quarterly Journal of Operations Research, Vol. 6, No., PP Kazemipoor, H. (0). Solving a new mathematical programming model for a multi-skill project portfolio scheduling problem by a scatter search method. PhD thesis, Department of industrial engineering, Islamic Azad University. 7- Kazemipoor, H., Tavakkoli-Moghaddam, R., Shahnazari-Shahrezaei, P. and Azaron, A. (0). A differential evolution algorithm to solve multi-skilled project portfolio scheduling problems. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, Vol. 6, No. 5-8, PP Néron, E., Baptiste, P. and Gupta, J.N.D. (00). Solving hybrid flow shop problem using energetic reasoning and global operations. Omega, Vol. 9, No. 6, PP Bellenguez-Morineau and O. and Néron, E. (007). A branch-and-bound method for solving multi-skill project scheduling problem. RAIRO-Operations Research, Vol., No., PP Kazemipoor, H., Tavakkoli-Moghaddam, R. and Shahnazari-Shahrezaei, P. (00). Solving a mixed-integer linear programming model for a multi-skilled project scheduling problem by simulated annealing. Management Science Letters, Vol., No.. PP Kadrou, Y. and Najid, N.M. (006). Tabu Search Algorithm for the MRCPSP with Multi-Skilled Labor. Proc., Computational Engineering in system application, IMACS Multi conference, PP Alfares, H.K. and Bailey, J.E. (997). Integrated project task and manpower scheduling. IIE transactions 9, PP Wu, M.C. and Sun, S.H. (006). A project scheduling and staff assignment model considering learning effect. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. Vol. 8, No., PP Gutjahr, W.J., Katzensteiner, S., Reiter, P., Stummer, C. and Denk, M. (008). Competence-driven project portfolio selection, scheduling and staff assignment. Central European Journal of Operations Research, Vol. 6, No.. PP Mehmanchi, E. and Shadrokh, S. (0). Solving a New Mixed Integer Non-Linear Programming Model of the Multi-Skilled Project Scheduling Problem Considering Learning and Forgetting Effect on the Employee Efficiency. Proc., IEEE International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management, Bangkok, Thailand. 6- Mehmanchi, E. (0). Exact and Metaheuristic Solutions of the Multi-Skilled Project Scheduling Problem Considering Learning and Forgetting Effects on the Performance of Project Members.M.Sc. thesis, Department of industrial engineering, Sharif University of technology. 7- Damak, N., Jarboui, B., Siarry, P. and Loukil, T. (009). Differential evolution for solving multi-mode resource-constrained project scheduling problems. Computers & Operations Research, Vol. 6, No. 9, PP Kolisch, R. and Sprecher, A. (997). PSPLIB - A project scheduling problem library: OR Software - ORSEP Operations Research Software Exchange Program. European Journal of operational research, Vol. 96, No., PP

10 نشریه تخصصی مهندسی صنایع دوره 8 سال 9 ویژه نامه دهمین کنفرانس بین المللی مهندسی صنایع 5 9- Mazur, J.E. and Hastie, R. (978). Learning as Accumulation: A Reexamination of the Leanring Curve. Psychological Bulletin, Vol. 85, No. 6. PP Storn, R. and Price, K. (997). Differential evolution a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces. Journal of global optimization, Vol., No., PP Resource-Constrained Project Scheduling Problem -NP-hard -Multi-mode Resource-Constrained Project Scheduling Problem -Multi-Skilled Project Scheduling Problem 5-Differential Evolution 6-Initial Population 7-Mutation 8-Crossover واژههاي انگلیسی به ترتیب استفاده در متن