محاسبه میزان تغییرات ثقل بر روی سطح زمین با استفاده از ماهواره گوس

محاسبه میزان تغییرات ثقل بر روی سطح زمین با استفاده از ماهواره گوس سید محمد حسینی 1 داوود زمزم 2 6 دانشجوي کارشناسي ارشد ژئودزي-دانشکده مهندسي نقشه برداري-دانشگاه آزاد اسلامي واحد تفت نشريه علمي- ترويجي مهندسي نقشهبرداري و اطلاعات mohammad.geodesy@gmail.com 2 استاديار گروه مهندسي ژئودزي دانشکده مهندسي نقشه برداري دانشگاه آزاد اسلامي واحد قزوين dzamazm@alumni.ut.ac.ir مکاني )تاريخ دريافت اسفند 6313 تاريخ تصويب مهر 6314( دوره ششم شماره 4 آذر ماه 6314 چکیده همواره محاسبه ثقل و يا پارامترهاي وابسته به ثقل يکي از مهمترين پارامترهاي مهم و مطرح در ژئودزي و ژئوفیزيک بوده يکي از روشهاي محاسبه کمیت ثقل استفاده از داده ها يا به عبارتي ديگر استفاده از ماموريتهاي فضايي ثقل سنجي است. در اين مقاله با استفاده از ضرايب هارمونیک کروي حاصله از ماهواره گوس تا درجه و مرتبه 252 وبا تاکید بر هندسه کروي به بازيابي انامولي ثقل پرداخته و در نهايت با محاسبه میدان ثقل نرمال و میزان تغییرات آن که همواره تابعي از عرض جغرافیايي ميباشد مي توان به بازيابي تغییرات ثقل بر روي سطح زمین رسید تا بتوان ثقل روي زمین را با بالاترين حد جامعه اماري از لحاظ پوشش منطقه مطالعاتي محاسبه نمود که با برآورد تغییرات ثقل روي سطح زمین با بالاترين حد جامعه اماري ميتوان پارامتر هاي مهم ديگري مانند تغییرات ثقل در عمق پوسته )با تکنیک پوانکره پري( و يا محاسبه مولفه هاي انحراف قائم در سطح که نیازمند پژوهش هاي بیشتر است را محاسبه نمود. واژگان کلیدی: تغییرات ثقل ماموريت فضايي ماهواره گوس آنامولي ثقل نويسنده رابط 16

1- مقدمه محاسبه میزان تغییرات ثقل بر روي سطح زمین با استفاده از ماهواره گوس يکي از کاربردهاي مهم و ارزشمند ژئودزي فضايي بررسي میدان گرانش زمین و تغییرات مربوط به آن از راه تجزيه و تحلیل مدار ماهواره به صورت عام و ماهواره هاي ثقل سنجي به صورت خاص است.تعیین میدان ثقل زمین از فضا موضوع کاملا شناخته شدهاي است و اغتشاشات مداري با کاربردش در ژئودزي ماهوارهاي يکي از مهمترين شاخهها در اين زمینه ميباشد که در روش کلاسیک مورد انالیز قرار مي گیرد. مدل سازي میدان ثقل حاصل از مدلسازي دو میدان گريز از مرکز و میدان شتاب جاذبه مي باشد کهپس از برآورد اين دو مولفه میدان ثقل امکان مدلسازي میدان ثقل زمین نیز وجود خواهد داشت. براي بازيابي طول موجهاي بلند از میدان ثقل بايستي دادههايي با پوشش جهاني داشته باشیم و علاوه برآن اين دادهها بايستي با کیفیت يکساني جمع آوري شوند. بدين جهت امروزه ماهوارههايي با ارتفاع کم به منظور مدلکردن میدان ثقل طراحي و بهرهبرداري شدهاند که به ماموريتهاي فضايي موسوم هستند. اغلب ماموريت فضايي ماهوارههاي فضايي ثقلسنجي در مدار هاي پايین قرار ميگیرند تا تاثیرات میدان ثقل را بیشتر درک کنند و لذا بررسي و مدل سازي میدان ثقل زمین از روي اطلاعات مداري آنها با دقت بیشتري صورت ميگیرد. اين ماموريتها از تکنولوژي جديد ماهوارهاي براي بازيابي میدان ثقل استفاده مي کنند که يکي از اين ماموريتهاي فضايي به ماموريت فضايي ماهواره گوس موسوم است. که در اين زمینه تحقیقاتي توسط ساير محققین انجام گرفته است از جمله اوبنسون) 6192 ( از اولین اشخاصي بود که به فکر تعیین انامولي جاذبه از طريق اغتشاشات مداري ماهواره افتاد وي اين اناموليهاي جاذبه را به طور جهاني و 6 اغتشاشات مداري بدست به کمک معادلات حرکت گوسي آورد. پس از او ريید )6193( از دادههاي گراديومتري و مشاهدات مشتقات دوم میدان ثقل به فکر تعیین آنامولي جاذبه افتاد و دستگاه معادلاتي را از طريق گسستهسازي انتگرالها بدست آورد و آنها را حلنمود. همچنین زيلینسکي) 6195 ( با استفاده از روش کولوکیشن و رومل) 6191 ( نیز بحث تعیین انامولي جاذبه را به طريق داده- هاي دريايي ماهوارهاي و گراديومتري به دو روش انتگرالي و کولوکیشن بررسي نمود ون گلدرن و رومل) 2222-2226 ( ازحلمسئله مقدارمرزي گراديومتري براي تعیین میدان ثقل استفاده نمودند. همچنین شوبرگ و اسحاق )2266( يک تئوري براي ترکیب دادههاي گراديومتري مدل جاذبه جهاني و داده هاي زمیني را براي تعیین محلي ژئوئید ارائه نمودند. در حقیقت در اين مقاله با استفاده از ضرايب هارمونیک کروي حاصل از ماموريت گوس و با توجه به مجموعه روابط مطرح شده به محاسبه انامولي ثقل پرداخته که با استفاده از اين کمیت محاسبه شده بتوان میزان تغییرات ثقل در سطح زمین را براي هرنقطه محاسبه نمود در اين روش از محاسبات روابط انتگرالي موجود در محاسبه کمیتهاي ثقل کاربردي ندارد به دلیل آنکه اين روابط بیشتر براي بازيابي يا به عبارت ديگرمدل سازي محلي میدان ثقل در يک محدودههاي کوچک استفاده ميشود. منطقه مطالعاتيدر اين مقاله منطقه ايران با طول و عرض جغرافیايي 65 λ 40 و 45 φ 25 مي باشد که گامبندي منطقه مطالعاتي در جهت طول و عرض منطقه مطالعاتي در حدود يک کیلومتر در يک کیلومتر ميباشد 2- پتانسیل ثقل پتانسیل يک کمیت اسکالر يا يک تنسور از مرتبه صفر است. با تئوري پتانسیل از پتانسیل ثقل در نقطهp در يک سیستم مختصات کارتزين در توزيع جرم در نقطه (x,y,z) 2 موجود به علت ربايش Q(x',y',z') ρ(x',y',z') 'v و حجم حجم را به صورت زير نوشت: )6( که در آن با تابع چگالي میتوان در حالت عمده انتگرال V = G ρ r dv r = (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 نشان دهنده فاصله بین نقطه محاسبه المان)يکپارچه( p(x,y,z) Q(x',y',z') ونقطه شناخته شده است که علاوه بر آن به عنوان فاصله هندسي )اقلیدوسي( در يک سیستم مختصات کارتزين محلي که در آنρ نشان دهندهچگالي و dv = dx dy dz که به عنوان المان حجم معروف است تعريف شده است و همچنین G نیز به عنوان ثابت نیوتون در 2 attractive 1 Gaussian equation 12

نظر گرفته شده است. در يک تعريف ديگر بردار نیروي ثقل F نیز به عنوان گراديان پتانسیل ثقل که در رابطه )2( نشان دادهشده است تعريف شده است. شکل 6 - پتانسیل ثقل از يک جسم صلب نشريه علمي- ترويجي مهندسي نقشهبرداري و اطلاعات مکاني دوره ششم شماره 4 آذر ماه 6314 F = (X, Y, Z) = ( ) U V = [ x U y T U z ] )2( پتانسیل ثقل( V(x,y,z در سرتا سر فضا پیوسته است و در بینهايت از لحاظ عددي به سمت صفر میل مي کند وهممواره تابعي از 1 r مي باشد که براي مقادير بسیار بالايي از r جسم به صورت يک جرم نقطه اي عمل ميکند. شده اساس نظريه گراديومتري ثقل بر اساس نظريه مطرح (rummel 1986) که است ثقل از مشتقات دوم از پتانسیل ثقل ميتوان گفت V گراديان ناشي شده است. که 1 مولفه از تنسور گراديانثقل )که به عنوان مولفههاي تنسور ماروسي قطري شناخته مي شوند( عبارت اند از: است که چگالي صفر نشان دهنده آن است که تنسور گراديان در معادله لاپلاس صدق ميکند و از اين رو جمع عناصر قطر اصلي تنسور برابر صفر است. V XX + V YY + V ZZ = 0 )5( بنابراين با توجه به تقارن تايید شده معادله لاپلاس توسط معادله )5( تنسور گراديان مستقل است به دلیل اينکه باشد. همواره نیروي ثقل يک ترم آشنا تنها شامل پنج مولفه V ZZ = ( V XX + V YY ) بوده که مي اين ترم همواره بیان کننده جمع برداري نیروي جاذبه ونیروي گريزاز مرکز است که با ترکیب اين دو نیرو بر روي يک جسم به جرم واحد و يا مشخص توسط رابطه )1( نیز نشان داد. )1( ميتوان بردار ثقل g را g= (g x, g y, g z ) = W = [ W X, W Y, W Z ] و گراديان ثقل )مشتق دوم از پتانسیل ثقل( يک تنسور ايجاد شده توسط مقادير فوق است. در کاربردهاي ژئوفیزيکي يک بیضوي دوراني براي تقريب شکل زمین در نظر گرفته مي شود. که آن را نیز به عنوان يک سطح هم پتانسیل فرض کرده که پتانسیل ثقل نرمال بر روي اين سطح را با U اختلاف بین پتانسیل زمین )ژئوپتانسیل( ثقل نرمال بر روي اين سطح نمايش ميدهند. که W U )T( 6 تعريف مي شود : آشفتگي )9( و پتانسیل را به عنوان پتانسیل T = W U که گراديانهاي پتانسیل آن را به صورت زير نمايش ميدهند: X 2 T ij = 2 T Y X ( Z X X Y Y 2 Z Y X Z T xx T xy T xz = ( T yx T yy T yz ) Y Z zx T zy T zz T Z 2 ) )8( V ij = F = V = ( X 2 x y x z y x Y 2 y z z x z y Z 2 ) V 11 V 12 V 13 = ( V 21 V 31 V 22 V 32 V 23 ) V 33 V xx V xy V xz = ( V yx V yy V zx V zy V yz ) V zz )3( 1 Disturbing potential 13 V = 4πGρ V )4( تنسور يک ماتريس 3 3 V متقارن است. بنابراين يک میدان برداري دوراني در فضاي خالي )خلاء( است که در نتیجه ميتوان گفت چگالي برابر با صفر )0 =ρ( همواره پتانسیل ثقل را ميتوان در دو هندسه منشوري و کروي بررسي نمود.

T y (P) = G P z ln(x + r) zx 1 + x ln(z + r) y tan yr )63( محاسبه میزان تغییرات ثقل بر روي سطح زمین با استفاده از ماهواره گوس شکل 2 - نشان دهنده منشور قائم و سیستم مختصات کارتزين نقطه محاسبه) P (و نقطه المان) Q ( پتانسیل اغتشاش در نقطه( P(X,Y,Z در فضاي R 3 با توجه به منشور توسط معادله )6( معلوم است که آن را ميتوان به صورت زير نوشت: علاوه بر آن در صورتي که مشتق دوم از پتانسیل اغتشاش وجود داشته باشد آنها را نیز ميتوان برآورد نمود. که اساس محاسبات فوق با توجه به شکل 2 هندسه منشوري است. اساس هندسه کروي بر اساس اما در محاسبه پتانسیل ثقل بر )شکل 3 ( ميتوان يک تسرويید با آرايش مکاني شش وجه کراندار که توسط خطوط جغرافیايي بر روي سطح مرجع کروي شکل و ارتفاع کروي ثابت تعريف نمود که در آن حدودها توسط يک جفت از صفحات نصفالنهاري موازي و و λ 1 λ 2 و φ 1 φ 2 ثابت و يک جفت صفحات ثابت و يک جفت سطوح منحني کروي r 1 r 2 است. که در يک منشور کروي ثابت بوده تشکیل شده X2 Y2 Z2 T P = G P dx dy dz r X1 Y1 Z1 )1( انتگرال موجود در معادله )1( را مي توان با استفاده از مقادير حجم منشور محاسبه نمود که نتیجه آن برابر خواهد بود با: T(P) = G P xy ln(z + r) + yz ln(x + r) + zx ln(y + r) x2 yz tan 1 2 xr y2 zx tan 1 2 xr z2 2 tan 1 xy zr )62( با در نظر گرقتن اين شرط که اغتشاش همواره در فضاي R 3 گراديان پتانسیل پیوسته است. بنابراين مي توان مولفههاي قائم را با تفاضلگیري از معادله )62( z نسبت به )66( برآورد کرد. T Z (P) = G P x ln(y + r) xy 1 + y ln(x + r) z tan zr که دو مشتق باقیمانده T x و T Y ميتوانند از معادله 6 محاسبه و مشخص شوند. توسط دوره جايگشت شکل 3 - هندسه اي از تسرويید کروي و سیستم مختصات کروي که به محاسبه نقطه p و نقطه المان Q مي پردازد که در نتیجه ميتوان گفت در اين هندسه پتانسیل ثقل توسط معادله )64( مشخص شده است. )64( ميباشد V(r, φ, λ) = Gρ r 2 cos φ dr dφ dλ l که در رابطه )64( مقدار λ 2 λ 1 φ 2 φ 1 l = r 2 + r 2 2rr cos Ψ r 2 r1 که با در نظر گرفتن هندسه مربوطه براي آنالیزهايي از میدان ثقل پتانسیل اغتشاش )T( در هر T z T x (P) = G P y ln(z + r) 1 Cyclic permutation yz 1 + z ln(y + r) x tan xr )62( 14

نقطه مي تواند توسط سري هارمونیک کروي نشان داده شود. نشريه علمي- ترويجي مهندسي نقشهبرداري و اطلاعات مکاني دوره ششم شماره 4 آذر ماه 6314 L T(r, φ, λ) = GM a (a r )l+1 [C lm cos mλ l l=2 m=0 + S lm sin mλ]p lm (cos φ) )65( از طرفي ديگر ميتوان گفت که انامولي ثقل که يکي از مهمترين کمیت ها در ژئودزي و ژئوفیزيک بوده را ميتواند بصورت بیان شود: g = g 0 γ 0 = T h + 1 γ 0 γ h T )61( که در رابطه فوق مي توان g را بر اساس مشتقات خطي از پتانسیل اغتشاش به صورت زير بیان ميشود: g= T r 2 a T )69( که براساس ضرايب هارمونیک کروي مي توان در يک سري هارمونیک کروي مقدار داد: L l Δg )68( را به صورت زير نمايش نوع بکارگیري توابع لژاندر به صورت صورت P lm (cos φ) P lm (sin φ) ويا به تعريف ميشوند که ميتوان نوشت : P lm (t) = 1 2 l l! (1 t2 ) m 2 dl+m dt l+m )61( و در روابط اشاره شده حالتي که در آن مرتبه برابر با صفر بوده )0=m( تابع ساده تر به صورت لژاندر P l0 (t) P l (t) به صورت زير بیان مي شود: را اغلب به صورت نشان داده مي شود. و رابطه )61( d l P l (t) = P l0 (t) = 1 2 l l! dt l (t2 1) l )22( که در يک حالت سادهتر معادله )22( را معمول ا به فرم زير نیز نمايش ميدهند: P l (t) = l 1 l P l 2 (t) + 2l 1 + P l l 1 (t) )26( و در صورتي که m=0 m=0,1,2,3 l نباشد يعني براي 6 نامیده ميشوند. اين توابع لژاندر وابسته توابع ميتوانند به چند جمله اي هاي لژاندر به کمک روابط زير تبديل شوند. P lm (t) = (1 t 2 ) m 2 dm P l (t) )22( Δg(r, φ, λ) = GM l+1 a (a r ) ( l 1 r )[C lm cos mλ l=2 m=0 + S lm sin mλ]p lm (sin φ) کروي که در روابط مطروحه بر اساس سري هارمونیک هاي r, φ, λ به ترتیب از چپ به راست بیان کننده فاصله ژئوسنتريک عرض و طول جغرافیايي ژئوسنتريک و همچنین علاوه بر آن و GM a m و l نیز بیان کننده ثابت گرانشي مي باشد و نیز برابر با نصف قطر اطول بیضي مرجع و L نیز از راست به چپ به ترتیب بیان کننده حداکثر درجه و حداقل درجه و مرتبه از هارمونیک هاي کروي است که در مقاله حداکثر درجه و مرتبه مذکور 252 مي باشد و همچنین C lm و S lm ژئوپتانسیل نرمالیزه شده کامل و بیان کننده ضرايب بیان کننده توابع P lm لژاندر نرمالیزه شده است که همواره بايد مقادير فوق را محاسبه و در محاسبات اعمال نمود. 3 -توابع لژاندر در حل معادلات )68( و )65( نیازمند آشنايي و به کار گیري معادلات ديفرانسیل لژاندر بوده که معمولا با توجه به dt m بنابراين توابع لژاندر وابسته بر حسب چندجملهايهاي لژاندر با درجه يکسان بیان مي شوند. l اما همواره علاوه بر روابط بالا يک فرمول صريح براي هر تابع لژاندر وجود دارد که به شرح زير است: P lm (t) r = 2 l (1 t 2 ) m 2 ( 1) k (2l 2k)! k! (l k)! (l m 2k)! tl m 2k k=0 )23( که در آن r بزرگترين عدد صحیحي است کهکوچکتر يا l -( و يا برابر است با /2 ) l -m( /2 مساوي / 2 -m( ) l است. يعني r برابر است با )m-1 ميشود(. )هرکدام از اين دو که عدد صحیحي باشد استفاده در حالت کلي مي توان گفت که اين فرمول براي برنامه نويسي و محاسبه بسیار آسان است. 1 Associated legenre functions 15

محاسبه میزان تغییرات ثقل بر روي سطح زمین با استفاده از ماهواره گوس توابع لژاندر P lm (t) در حالت هاي مختلف با روابط خاص خود که معمولا بر اساس درجه و مرتبه ساده سازي شده است استفاده ميشود اما نکته اي که بسیار مهم است طبق آنچه که در روابط ) 65 و 68 ( مشخص است آنچه که مد نظر است توابع لژاندر نرمالیزه شده است که ميتوان گفت که اين توابعدرنهايت به صورت زير محاسبه ميشوند: 2(2l + 1)(l m)! P lm (cos φ) = c lm P )24( (l + m)! lm (cos φ) و همچنین در ارتباط با ضرايب نرمالیزه شده s lm و مي توان نوشت که مقادير نرمالیزه شده دو کمیت برابر است با: )25( همانگونه که مشاهده ميشود ماکزيمم و مینیمم تغییرات انامولي ثقل در حدود 462 تا 619- میليگال است. از طرفي نیز با محاسبه میدان ثقل نرمال ويا به عبارتي شتاب ثقل نرمال که همواره تابعي از عرض جغرافیايي است که اين وابستگي به عرض جغرافیايي را ميتوان در شکل) 5 ( مشاهده نمود. ] = (l + m)! s lm 2(2l + 1)(l m)! [c lm [ c lm slm ] 4 -نتایج منطقه مطالعاتی با مطالعه و شناخت مجموعه روابط حاکم بر محاسبات و براساسمعادلات تا مبنايي )68 25( و با محاسبه ضرايب هارمونیک کروي نرمالیزه شده تا درجه و مرتبه 252 بر اساس ضرايب هارمونیک کروي حاصله از ماهواره گوس و با گام بندي منطقه مطالعاتي در حدود 6 6 کیلومتر در جهت طول و عرض منطقه مطالعاتي و بر اساس معادله )68( توانسته شد میزان تغییرات انامولي ثقل را در منطقه مطالعاتي )ايران( براساس ضرايب هارمونیک ماهواره گوس را محاسبه کرده که ميتوان نتايج اين محاسبات را در شکل )4( مشاهده کرد: در شکل 5 - تغییرات يک میدان ثقل نرمال نتیجه باتوجه به در دسترس بودن انامولي ثقل محاسبه شده با استفاده از ضرايب هارمونیک کروي و همچنین باتوجه به در دسترس بودن میزان تغییرات يک میدانثقل نرمال روي بیضوي به سادگي مي توان تغییرات ثقل بر روي سطح زمین را محاسبه کرده که در شکل 1 ميتوان اين تغییرات را مشاهده کرد. 11 شکل 4 - نقشه تغییرات انامولي ثقل) mgal ( شکل 1 - تغییرات ثقل بروي سطح زمین با توجه به شکل 1 ميتوان گفت که کمترين مقدار شتاب ثقل مشاهده شده در اين روش در مناطق جنوبي کشور و ماکزيمم تغییرات ثقل در مناطقي از استان اردبیل و آذربايجانشرقي است.

اما براي آشکار شدن و قابل فهم شدن موضوع ميتوان همانگونه که در شکل 9 ملاحظه ميشود ميتوان اين محدوده تغییرات را بر روي يک پروفیل مشاهده نمود. تغییرات ثقل بر روي سطح زمین را مشخص کرد که نمودار عمودي در شکل فوق بیان کننده میزان تغییرات ثقل در سطح زمین بوده و نمودار افقي نیز کل منطقه تحت پروفیل را به بیست قسمت مساوي تقسیم نمودهاست. اما همانگونه که در شکل فوق و بر روي پروفیل مذکور مي توان مشاهده نمود نمايش تغییرات ثقل بروي پروفیل فوق داراي نويز هاي زيادي هستند يا به عبارتيديگر بر روي پروفیل نمايش داده شده در شکل 9 تغییرات کوچک ثقل را نیز ميتوان حس نمود در نتیجه با اعمال يک فیلتر پايین گذر اثرات نويزهاي پايیني )ثقل( را ميتوان مدل نموده که در نتیجه مي توان با اعمال اين فیلتر پايین گذر تغییرات ثقل را از يک ايستگاه شکل 9- تغییرات ثقل بر روي سطح زمین بر روي يک پروفیل g0 به ايستگاه ديگر مشاهده نمودکه نتیجه را مي توان شکل 8 مشاهده نمود. نشريه علمي- ترويجي مهندسي نقشهبرداري و اطلاعات مکاني دوره ششم شماره 4 آذر ماه 6314 g0 rate mgal 980600 980400 980200 980000 979800 979600 979400 979200 979000 978800 0 2 4 6 8 10 12 14 point profile شکل 8 - تغییرات ثقل بررويسطح زمین با اعماليک فیلتر پايین 5- نتیجه گیری با بررسي هاي صورت گرفته و ارزيابيهاي نتايج مي توان گفت در مدل سازي محلي میدان ثقل همواره ازعناصر گراديانهاي گرانشي بدست آمده از ماموريتهاي فضايي گوس استفاده ميشود. در صورتي که با استفاده از ضرايب هارمونیک کروي تا درجه و مرتبه مورد نظر همانگونه که مشاهده شد ميتوان تغییرات ثقل را در سطح زمین و در يک منطقه وسیعتر و با دقت بهتري محاسبه نموده و در ارتباط با ماموريتهاي فضايي نظیر گوس ميتوان گفت که با استفاده از اين ماموريت فضايي ميتوان تغییرات ثابت ثقل را محاسبه نمود. و علاوه برآن از ويژگيهاي استفاده از ضرايب هارمونیک کروي در محاسبه و مدلسازي میدان ثقل در اين مقاله اين است که گامبندي منطقه مطالعاتي را مي توان بر حسب دقت تعیین کرد. و همچنین از ديگر نتايج حاصله در اين مقاله ميتوان نتیجه گرفت که استفاده از ضرايب هارمونیک کروي در بحث تعیین پارامتر ثقل قابلیت سازگاري با داده هاي محلي میدان ثقل را داراست. و همچنین استفاده از اين سبک از روش مدلسازي میدان ثقل کاربردهاي 19

محاسبه میزان تغییرات ثقل بر روي سطح زمین با استفاده از ماهواره گوس ژئوفیزيکي و ژئودينامیکي فراواني داشته. و علاوه بر آن با محاسبه تغییرات ثقل بر روي سطح زمین ميتوان تغییرات ثقل در عمق پوسته را که از ديگر اهداف و نتايج مورد علاقه ژئودزينها و ژئوفیزيکدانهاست را ميتوان با دقت قابل قبولي برآورد نمود.که اين امر نیازمند پژوهش و مطالعات بیشتري ميباشد علاوه بر آن اين سبک از مدلسازي میدان ثقل )مدلسازي بااستفادهاز ضرايب هارمونیکي( چه در سطح زمین و چه در عمق پوسته براي مناطق خارج از دسترسکه امکان دسترسي به اينگونه مناطق مشکل است و همچنین براي مطالعه و بررسي مراجع رفتار و تغییرات شکل زمین بسیار مناسب و قابل اطمینان است. سپاسگزاری از کلیه عزيزان در پژوهشگاه سازمان فضايي اروپا واز رئیس سازمان فضايي اروپا جناب آقاي ژان دودين جهت همکاري ارزشمندشان و از کلیه عزيزان در نشريه علوموفنون نقشهبرداري جهت همکاري بيدريغشان صمیمانه تشکر و قدرداني مينمايیم. [1] Abd-Elmotaal H (1998) Gravity reduction techniques and their comparisons applied to the gravity field in Egypt. Second continental workshop on the geoid in Europe. Budapest, Hungary, March 10-14, 1998. [2] Bajracharya S, Kotsakis C, Sideris MG (2002) Aliasing effects on terrain correction computation. International Geoid Service, Bulletin N. 12, April, 2002 [3] Bajracharya S, Sideris MG (2002) The Rudzki inversion gravimetric reduction scheme in geoid determination. Accepted by Journal of Geodesy. [4] Biagi L, De Stefano R, Sanso F, Sciarretta C (1999) RTC and density variations in the estimation of local geoids. Bolletino Di GeofisicaTeoricaedApplicata. Vol.40, N.3-4, pp 589-595 [5] Biagi L, Sanso F (2001) TcLight: a New technique for fast RTC computation. IAG Symposia, Vol. 123 Sideris (ed.), Gravity, Geoid, and Geodynamics 2000, Springer - Verlag Berlin Heidelburg 2001, pp 61-66. [6] Blais JAR, Ferland R (1984) Optimization in gravimetric terrain correction in western Canada. Canadian Journal of Earth Sciences, Vol.20, pp 259-265. [7] Edward GA (1976) The effect of topography on solution of Stokes s problem. Unisurvreport # S14, 1976. University of New South Wales, Kensington. N.S.W. Australia. [8] Ferland R (1984) Terrain corrections for gravity measurements. M.Sc. Thesis, Department of Surveying Engineering, The University of Calgary, Calgary, Alberta, Canada. [9] Heiskanen WA, VeningMeinesz FA (1958) The earth and its gravity field. Mcgraw-Hill Book Company, Inc. New York, Toronto, London. [10] Heck B (1993) A revision of Helmert s second method of condensation in geoid and quasigeoid determination. In: Montag H, Reigber C (eds) Geodesy and Physics of the Earth. IAG Symp no. 112. Springer, Berlin Heidelburg New York, pp 246-251. ]66[ صفري ع شريفي م. 6388.موجک ها با کاربرد در ژئودزي و ژئودينامیک. تهران. انتشارات دانشگاه تهران.382 صفحه. 18