نيروی برشی و لنگر خمشی : روابط تعادل دريك تير برای تعيين نيروهای داخلی در آن : ////////////////////////// ( شكل - m m β //// p حاالت مختلفی از بارگذاری تيرها ممكن است: تعادل قطعه N=Cosβ V=- Sinβ =Sinβ N V β p //// ////////////// q p ( شكل - ( شكل R
قرارداد عالمت برای نيروی محوری - نيروی برشی لنگر خمشی: مثال: آوريد نيروی برشی و لنگر خمشی را برای تير زير در مقاطع مختلف بدست حل: ابتدا دياگرام آزاد تير را رسم می كنيم: R //// p / / / p 0 0 R ( شكل ( الف( N V + ( شكل V N
پ R V 0 V = R - = R ( / + و سپس روابط تعادل را می نويسيم ونيروهای تكيه گاهی را بدست می آوريم: F =0 => = R + R =0 => R= ¾ - / -/ - + R = 0 => R = / + / 0 0 0 حال از روش مقطع زدن استفاده می كنيم: R ب ت, 0< < / R V = R - = -R V = R ( / + ( / + + 0, 0 < < / V V = R = R 0 < X < /
ج چ رابطه بين نيروی برشی ولنگر خمشی در يك تير : p 0 q ( شكل 5 بار گسترده با شدت q: q ث( الف( R / / / R //// d ( الف V + d V + d V d R + _ -R نمودار نيروی برشی بر حسب طول ميله تعادل نيروها در امتداد قائم : F = 0 => V - ( V +dv - q d = 0 => dv / d = - q R / + R / نمودار لنگر خمشی بر حسب طول ميله البته اگر q بطرف باال باشد خواهيم داشت: dv / d = q و چنانچه 0= q باشد نيروی برشی ثابت می ماند
F = 0 => V = تعادل لنگرها حول سمت چپ : معادالت تعادل : يعنی نيروی برشی جهش می كند ( لنگر خمشی تغيير شيب می دهد( = 0 => + qd ( d / + ( V + dv d - ( + d = 0 0 0 => d /d = V يعنی شدت تغييرات لنگر خمشی نسبت به برابر با مقدار جبری نيروی برشی است ج( ممان متمركز: //// لنگر متمركز + + Vd ( + = 0 V V + d V + //// p ب بار متمركز V p V + V ب( بار متمركز: المانی از تير زير در محل اعمال بار متمركز را درنظر می گيريم: ج d => = 0 0 يعنی لنگر خمشی جهش می كند d + d 5
R q b c ( الف R ( 0 < < => V= R = R رسم نمودارهای نيروی برشی و لنگر خمشی : الف( استفاده از معادالت تعادل يا بصورت رياضی( روش مقطع زدن R + m + _ -R ( شكل 6 //// q ب( كاربرد روش ترسيمی ( سريع مثال: روش جمع زدن b c R = qb (c + b/ / R = qb ( + b/ / با استفاده از روش مقطع زدن و نوشتن روابط تعادل در هرحالت می توان معادالت زير را بدست آورد و نمودارهای نيروی برشی و لنگر خمشی تير را رسم كرد ب ج ( < < + b => V= R - q( = R - q(- / ( + b < < => V= -R = R (- شكل 6- الف( دياگرام آزاد تير ب( نمودار نيروی برشی ج( نمودار لنگر خمشی 6
ج تنش های خمشی : خمش خالص : تيری را كه تحت دو بار متمركز مطابق شكل ( قرار دارد در نظرمی گيريم در ناحيه مركزی اين تير نيروی برشی وجود ندارد و اين ناحيه تنها تحت لنگر خمشی ثابتی برابر با قرار گرفته است اين حالت لنگر خمشی ثابت موسوم به خمش خالص می باشد p p - - - _ b /////////////////////// ب مثل برش خالص كه فقط تنش برشی محض در تير بوجود می آيد بيشتردراتصاالت برش خالص بوجود می آيد( ( الف مثال : //// ( شكل ( شكل 7 - _ - - b 7
برای تعيين توزيع تنش های داخلی در حالت خمش خالص بايست ابتدا تغيير شكل تير را مطالعه كنيم اگر صفحه يك صفحه تقارن تير باشد و بارها در همين صفحه وارد شوند تغيير شكل ناشی از خمش نيز در همين صفحه خواهد بود فرض می شود مقاطع تير پس از خمش نيز بصورت مسطح باقی می مانند اصل برنولی( كه از نظر تئوری و تجربی اثبات شده است اگر طول جسم ( تير محور دوران باشد در آنصورت مقطع تحت تاثير پيچش قرار گرفته است ولی در اينجا عرض مقطع بعد عمود بر صفحه نمايش کل تير( محور دوران است V + _ - ( شكل + 8
تار خنثی طول تير تار باال تار خنثی X تار پايين اليه ای وجود دارد كه نه كشش دارد و نه فشار و تحت تاثير خمش وارده هيچ تنش خمشی كششی يا فشاری ندارد ( ولی در آنجا می تواند تنش برشی ناشی از خمش داشته باشد كه به آن تار خنثی مقطع گويند صفحه خنثی : تار خنثی را دربرگرفته و در آن هيچ تنش فشاری يا كششی ناشی از خمش بوجود نمی آيد افزايش طول تار در فاصله : ε = : K K - KK K K - KK KK = ( ρ + dα ρ dα ρ dα = ρ σ = Ε ε σ / Ε = / ρ كرنش خمشی مربوطه K C K X مركز دوران dα ρ شعاع انحنا K K K K C C 9
σ d همچنين شعاع انحنا مقطع را می توان برحسب خيز تير نيز بدست آورد: چون نيروی عمودی برآيندی در مقطع عرضی ندارد پس انتگرال سطح مقطع بايد صفر باشد پس : روی تمام σ d = E / ρ d = 0 => d = 0 d d /ρ = [ + ( d / d ] / معموال < /00 d/d شيب يعنی گشتاور و ممان اول سطح ممان استاتيك مقطع عرضی نسبت به محور خنثی برابر صفر است ( نسبت به محور z /ρ d d = EI اثبات در اساليد بعدی σ است d حول محور خنثی برابر σ لنگر نيروی خيلی كوچك d انتگرال همه اين لنگرهای نيروهای كوچك روی تمام سطح مقطع عرضی برابر با لنگر خمشی می باشد = σ d = E / ρ d = EI /ρ σ σ = E ρ σ = / I σ m = c / I = / s ( s = مدول مقطع = I/c ( 0
- تيری با مقطع متقارن عمقی برابر با 00 mm و ممان اينرسی I = 900 cm مفروض است اين تير با طول دهانه 8 متر روی دو تكيه گاه ساده قرار گرفته است در صورتيكه تنش مجاز خمشی برابر با 00 kg / cm باشد محاسبه نماييد: الف بار گسترده يكنواختی كه اين تير می تواند تحمل نمايد ب بار متمركز در وسط دهانه كه تير می تواند تحمل نمايد σ m = c / I σ llow * 0 900 = 00 r = 58000 ĸg cm //// w تنش کششی σ = c / I = / s m تنش فشاری σ = - c / I = - / s min فشاری كششی فشاری تار خنثی c c / 8 ( m = w الف / / c 58000 = w* (800 8 w = 75 ĸg/cm = 75 ton/m m = w + /8 كششی c
0 mm 80 mm 0 mm ₁ ₂ E ₃ C تار خنثی / = ب m 58000 = * 800 //// / / 0 mm 0 mm = 5790 ĸg = 579 ton + ₁ ₂ ₃ 0 * 0 = 600 0 * 0 = 800 0 * 0 = 600 *0 i mm i mm i i mm 60 0 60 60 * 600 0 * 800 60 * 600 58*0 - در شكل مقابل = 5 кn m می باشد تنش ها را در نقاط C و E محاسبه نماييد 0 mm 0 mm 80 mm 0 mm E = / m C 0 mm مقطع -
σ = I = i i i = i i i σ = C 6 5*0 * 888 * 0 = 79 58*0 = = mm *0 I = ( I + ( I + ( I = ( I + ( I σ =- 6 5*0 * ( 0 888 * 0 = - 68 6 σ = 5*0 * ( 0 = 7 E 888 * 0 ( I = 0 * 0 / + 0*0*( 60 = 56*0 mm ( I = 0 * 0 / + 0*0*( 0 = 08*0 mm I = * 56 *0 + 08 *0 = 888 *0 mm
تنش های برشی در تیرها با مقطع مستطیل - تيری با مقطع مربعی شكل به اضالع b مفروض است لنگر مقاوم مقطع را بر اساس نحوه قرار گرفتن مقطع در شكل های زير مقايسه كنيد هنگامی که تیری تحت تاثیر بارهای جانبی قرار دارد در هر مقطع عرضی آن لنگر خمشی V و نیروی برشی اثر میکند b b/ b لغزش تارها b b b σ = m c I => = σ llow = σ llow I c مدول مقطع يا اساس مقطع تنش برشی بین دو الیه به وجود می آید
تنش برشی مماسی نیروی تنش افقی را میتوان از تعادل بدست آورد h در هر نقطه از مقطع عرضی برابر با تنش افقی در همان نقطه میباشد المان pnn p در که از قسمتی به طول d از تیر بریده شده اگر لنگرهای خمشی در مقاطع mn و m n برابر باشد تیر در خمش خالص باشد( تنش های عمودی δ صفر( نیز در اضالع np و n p مساوی بوده و عنصر مزبور در حال تعادل است تنش برشی در حالت کلی که لنگر خمشی در طول تیر تغییر میکند میتوان ΣF=0 را برای جزء کوچک : نیروی عمودی بر روی مساحت d در لبه چپ نوشت : Xd d I : مجموع تمام این نیروها این در وجه pn d I : مجموع تمام نیروهای عمودی در وجه n p h h n npp ( d d I m m p n p n d d p n +d h b c d z 5
پس نیروی برشی افقی در وجه فوقانی pp که bd می باشد به صورت زیر است : b d d d h ( Ib ( d d I تنش برشی در فاصله تار خنثی از برای مقطع مستطیل b h Q ( V h ( I Vh V m 5 8I b c ve h d V Ib VQ Ib h h d I d V Ib Q 6
6 0 0 0 06(0 08 50cm 0 06 bh 0 0 I 0 (50 6 6 0(696 598cm مثال( ماکزیمم شدت بار قابل تحمل توسط تیر را بدست آورید به شرطی که تنش های خمشی مجاز در کشش و برش 00kg/cm و 000kg/cm باشد دیاگرام نیروی برشی لنگر خمشی و نیز تنش های عمودی و برشی را رسم کنید 0cm 000kg 000kg 000kg 6cm q=? 0cm m 5m 5m m cm تار خنثی 7
در تکیه گاه جایی که v حداکثر میشود تنش برشی نیز حداکثر میشود که بحرانی ترین شرایط آن در محل تار خنثی است ql Vm 500 V Q 000 I t مقدار قابل قبول 50 500 5q Q q 0 kg m m q 50 kg m m پس همان مقدار قبلی حاکم می شود V 500 50 ql m 50 8 c 00 I 00 V 50 5q q 50 kg m m ( kg m 50 5q 0050 598 8
6 69 نمودار تنش های خمشی عمودی 000 000 000 q=50kg/m 75 75 9 مقطع 00 مقطع b 75 05 05 500 رسم دیاگرام تنش برشی -75 Kg cm 65 65 Kg cm Kg 78 cm ممان دیاگرام 00 b 9
پیچش گشتاور حول محور طولی جسم است که تنش برشی ایجاد می کند با اعمال کوپل پیچشی به انتهای آزاد میله انتظار زاویه دوران پیچشی در میله و در نتیجه تنش های برشی در مقطع میله خواهیم داشت حداکثر لنگر پیچشی داخلی سبب ایجاد حداکثر تنش و در نتیجه شرایط بحرانی می گردد مقطعی که در آن حداکثر لنگر پیچشی ایجاد شود مقطع بحرانی می باشد رابطه توان انتقالی با کوپل پیچشی یک اسب بخار, hp در هر ثانیه Nm 766 کار انجام می دهد زاویه چرخش رادیان( توان = لنگر پیچشی زمان برای محوری که N دور در دقیقه میزند زاویه چرخش πn rd/min میباشد پس اگر محوری یک لنگر پیچشی (Nm(T را انتقال دهد کار انجام شده در هر دقیقه πnt می باشد با تساوی کارها : N m N m H(766(60 NT min min (Nm( پیچشی Tلنگر 70 H N 76 ( kg m t H N :H توان منتقل شده اسب بخار( N: تعداد دور در دقیقه T 0
فرضیات اساسی : مقاطع مسطح و صفحه ای عمود بر محور میله استوانه ای صفحه ای باقی می ماند بدون اعوجاج( کرنش برشی بطور خطی از محور مرکزی تغییر می کند تنش برشی متناسب با کرنش برشی می باشد قانون هوک ( G رابطه پیچش چون تنش با کرنش متناسب است پس تنش نیز به صورت خطی از مرکز تغییر خواهد کرد تنش هایی که توسط تغییر شکل های مفروض تولید می شوند تنش های برشی بوده و در صفحه ای به موازات مقطع عمود بر محور میله قرار دارند c o ρ m در هر نقطه دلخواه به فاصله ρ از مرکز دایره میزان تنش برشی برابر با c می شود با معلوم بودن توزیع تنش روی یک مقطع میتوان مقاومت مقطع در مقابل لنگر پیچشی را بر حسب تنش پیدا کرد تنش برشی ناشی از کوپل پیچشی m m c
T c m لنگر پیچش مقاوم بایستی معادل مجموع لنگرهای پیچشی داخلی مقطع باشد df, df d T ( m d c d T & اینرسی قطبی پیچشی مقطع d J برای یک مقطع c دایره ای c d J d d ( d d رابطه پیچش برای میله های استوانه ای 0 Tc m J نیرو تنش یک شکل عمومی تر برای تعیین تنش برشی در هر نقطه دلخواه به فاصله ρ از مرکز هندسی سطح J برای مقطع دایره ای تو خالی d d c m d T J c b t 0 J c t c b مقطع دایره ای بصورت زیر درمی آید : c d b
رابطه کلی لنگر یا کوپل پیچشی با تنش برشی و زاویه دوران پیچشی مثال کوپلینگی به صورت زیر داریم فاصله پیچها ازهم cm و قطر هر پیچ cm می باشد در صورتیکه 00 دور در دقیقه بزند قدرت انتقال آنرا بر حسب اسب بخار بدست آورید اگر حداکثر تنش برشی به 00 Kg/cm محدود شود قطر داخلی لوله را بدست آورید : نیروی هر پیچ 7cm d F 00 87 kg t 8 87 7 kg m 00 76 T N اسب بخار H H 757 9 γ θ G T J l G l G l
مثال برای مخروط ناقص شکل زیر که تحت لنگر پیچشی قرار گرفته است زاویه d R 0 td G J T r 00 j 7 700 00 7 d d 5cm m در حالت مرزی پیچش را بدست آورید R
5 0 0 0 ( ( ( ( ( G l G d G G d J t t t t rd G t 058 هدافتسا یریگ لارگتنا یاج هب طسوتم عاعش زا هکیتروص رد هدراو یاطخ دصرد رادقم دیروآ تسدب ار دوش 8 ( G G t t m = اطخ دصرد % 00 058 0 058 دوش یم هداد بیرقت نیا رثا رد هک ییاطخ دشاب رتمک نیفرط رطق رد فلاتخا هچ ره دوب دهاوخ رتکچوک
6 لاثم هناوتسا یرپوت هب 0cm رطق لوط و میراد هک تحت کی لپوک یشچیپ رارق هتفرگ تسا هناوتسا یا یلاخوت زین هب لوط و رطق 5cm یجراخ و رطق یلخاد d تحت ریثات نامه لپوک یشچیپ رارق هتفرگ تسا رطق یلخاد d ار یروط نییعت دینک هک شنت یشرب ممیزکام رد ودره ربارب دوش تارییغت θ روطچ تسا دصرد هفرص حلاصم ییوج ار زین تسدب دیروآ ( d J J l t G J d J r 0, cm d d 7 5 5 0 d 6% 00 هب یزاین دنربارب اهلوط نوچ تسین مجح یسررب ییوج هفرص دصرد ( m m d ( d d
=0cm =65cm G=85 0 C =5cm G 0 G 0 G درصد کاهش زاویه پیچش مثال در شکل زیر دوران چرخشی نسبت به را بدست بیاورید کوپل پیچشی که به میله باالیی وارد میشود =5cm =90cm =5cm G=5*0 0 kgm 0 F t F 00kg 005 005 5000kgcm 50kg m 5 7 G 98 0 0 98 % 7
R t l 50000 0 0rd G J 850 65 R 5 5 00 007rd 00090 0rd 50 5 007 0 07rd طول طی شده در اثر چرخش روی هر یک از دو دیسک برابر است :, چون شعاعش کمتر است بیشتر می چرخد خيز تيرها کاربرد مقاومت مصالح در طراحی مهندسی( روشهای تعيين تغييرمکانخيز(تيرها: حل معادله ديفرانسيل مرتبه دوم حل معادله ديفرانسيل مرتبه چهارم ( روش انتگرال گيری مستقيم ( روش کاربرد توابع استثنايی ( روش ممان سطح ( روش تير فرضیروشهای انرژی( بارانتگرال گيری + EI // + EI ( q بارانتگرال گيری 8
d d EI EI // - // EI d d C d EI dd C EI C + - ρ EI d d ρ d d (انتگرال گيری مستقيم / دربحث خمش تيرها ديديم که انحنای تير ( تقعرتير( ولی اگر ها بطرف پايين باشد: با دوبار انتگرال گيری داريم : // ( / / // d d q EI + d d // EI مثبت ها به طرف باال فرض شده است( و در روش حل معادله ديفرانسيل مرتبه چهارم داريم: که ازاين رابطه بايد بارانتگرال گيری نمود تا به معادله خيزتير رسيد 9
قرار مثال : تير طره ای دارای سطح مقطع يکنواخت بوده واز انتهای آزاد خود تحت بار گرفته است مطلوب است تعيين معادله منحنی االستيک خيز وشيب در نقطه V d EI d EI 6 C C C d EI d با توجه به شکل ميتوان نوشت : شرايط مرزی EI 6 6EI ( EI, d d 0, 0 C C با جاگذاری 0= در معادالت باال خيز وشيب نقطه محاسبه ميشود:, d d EI C 0
5 5 5 50 5 I 5 50 d EI d d d EI d C 0 E = - d C 5 5 5 + =5 ton =5 ton 5 cm 70 cm 5 Kg E 0 cm مثال : تيری مطابق شکل زير نشان داده شده است تغييرمکان انتهای آزاد تير را بدست آوريد 50 cm =5 ton 5 cm 0 cm N
d d d 8ln 5 E 0 5 007 C d d E 5 5 0 5 5 E 8 d d C C 5 0 d 5 شرط خيزبرابرباصفر 0 50 cm C 67 E 8 5 0 5 C 0 لذا معادله خيزتير بدست آمده است واگر 0= گذاشته شود خيز انتهای آزاد تير بدست می آيد: Δ cm درتکيه گاه تير : شيب صفر است d 0 d 50 C بدست می آيد : C 007 حال با اعمال شرايط مرزی ضريب
'' q EI R ' R q EI 6 EI C R 6 q Q R q 0 C t m q ( 0 08 t 6 مثال : يک تير چوبی بامقطع مستطيلی h 0b روی تکيه گاههای ساده به دهانه 6 متر 5 cm اعمال شده است خيز وسط تير حال معادالت ديفرانسيلی را تشکيل داده وانتگرال گيری می کنيم: شدت بارگسترده عکس العمل ها R q 0 6 0 t EI R EI EI '' R ' C R 6 C قراردارد بارگسترده يکنواخت به ميزان t درطول = m وخيزحداکثر را بدست آوريد q C
0 EI 08 60 EI 6 8 tm 80 Kgcm 0 5 I 0 cm 5 9 EI 0 0 0 Kgcm با استفاده از رابطه اول و با درنظرگرفتن : m 6 80 0 Center 9 : m 8cm در 0 0 در 0 C C θ R b 6 R b q ( b ( b tm R b برای تعيين مقادير ثابت ازشرايط حدی وپيوستگی استفاده می کنيم: ب(برای تعيين واضح است که خيز حداکثر ( شيب صفر درمحدوده 0 رخ می دهد پس ازمعادله ' مربوط به استفاده ميکنيم : d ' R q 0 EI C 0 d 6 m 88 ( cm 889 m 0 ' ' c C C δc R b 6 R R 6 q 8 q 6 ( b 867 tm 0 R ( q R ( C 6 C b
مسئله : معادله خيزتير را بدست آوريد O knm 05 kn/m R 5 m R 5 m m 5