הסיכום סוכם, עובד והוקלד ע"י דינה זליגר מבוסס על הרצאותיו של שמואל ברגר ותרגוליו של איתי קפלן סמסטר ב' תשס"ז
תנאי שימוש Please read the ollowg mportat legal ormato beore readg or usg these otes The use o these otes costtutes a agreemet to abde by the terms ad codtos below, just as you had sged ths agreemet A THE SERVICE The ollowg otes ("The servce" are provded by DaZl's Notes-Heave ("Notes-Heave" B DISCLAIER OF WARRANTIES; LIITATION OF LIABILITY Notes-Heave does ot edorse cotet, or warrat the accuracy, completeess, correctess, tmeless or useuless o ay opos, advce, cotet, or servces provded by the Servce YO AGREE THAT SE OF THE SERVICE IS ENTIRELY AT YOR OWN RISK THE SERVICE PROVIDED IS PROVIDED "AS IS," WITHOT WARRANTY OF ANY KIND NOTES-HEAVEN EXPRESSLY DISCLAIS ALL WARRANTIES OF ANY KIND, WHETHER EXPRESS OR IPLIED, INCLDING WITHOT LIITATION: ANY WARRANTIES CONCERNING THE ACCRACY OR CONTENT OF INFORATION OR SERVICES NOTES-HEAVEN AKES NO WARRANTY THAT THE SERVICE WILL EET YOR REQIREENTS, OR THAT THE SERVICE WILL BE ERROR FREE; NOR DOES NOTES- HEAVEN AKE ANY WARRANTY AS TO THE RESLTS THAT AY BE OBTAINED FRO THE SE OF THE SERVICE OR AS TO THE ACCRACY OR RELIABILITY OF ANY INFORATION OBTAINED THROGH THE SERVICE YO NDERSTAND AND AGREE THAT ANY DATA OBTAINED THROGH THE SE OF THE SERVICE IS DONE AT YOR OWN DISCRETION AND RISK AND THAT YO WILL BE SOLELY RESPONSIBLE FOR ANY DAAGE TO YOR GPA NEITHER NOTES-HEAVEN NOR ANY OF ITS PARTNERS, AGENTS, AFFILIATES OR CONTENT PROVIDERS SHALL BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL OR CONSEQENTIAL DAAGES ARISING OT OF SE OF THE SERVICE OR INABILITY TO GAIN ACCESS TO OR SE THE SERVICE OR OT OF ANY BREACH OF ANY WARRANTY C INDENIFICATION You agree to demy ad hold Notes-Heave, ts parters, agets, alates ad cotet parters harmless rom ay dspute whch may arse rom a breach o terms o ths Agreemet You agree to hold Notes-Heave harmless rom ay clams ad expeses, cludg reasoable attorey's ees ad court costs, related to your volato o ths Agreemet D OWNERSHIP RIGHTS The materals provded by the Servce may be dowloaded or reprted or persoal use oly You ackowledge that the Servce cotas ormato that s protected by copyrghts, trademarks, trade secrets or other propretary rghts, ad that these rghts are vald ad protected all orms, meda ad techologes exstg ow or hereater developed You may ot mody, publsh, trasmt, partcpate the traser or sale, create dervatve works, or ay way explot, ay o the Cotet, whole or part You may ot upload, post, reproduce or dstrbute Cotet protected by copyrght, or other propretary rght, wthout obtag permsso o the ower o the copyrght or other propretary rght E NO COPYING OR DISTRIBTION You may ot reproduce, copy or redstrbute the desg or layout o ths servce, dvdual elemets o the desg, Notes-Heave logos or other logos appearg o ths servce, wthout the express wrtte permsso o Notes-Heave, Ic Reproducto, copyg or redstrbuto or commercal purposes o the servce s strctly prohbted wthout the express wrtte permsso o Notes-Heave, Ic I you have ay questos about ths statemet or the practces o ths servce you ca cotact Da Zelger daweb@gmalcom
תורת הרקורסיה קבוצות רקורסיביות וניתנות למניה רקורסיבית A = אחרת, נאמר ( { } { } : נאמר ש- : A ותהי הגדרה: תהי A עבור שהיא פונקציה חלקית לכל פונקציה חלקית אשר מרחיבה אותה לכל ה- -יות ומוגדרת באופן הבא: פונקציה שלמה אם : A נתאים פונקציה שלמה ( x ( x x A = else dom = x : x כעת ניתן להגיר תחום של פונקציה ע"י } ( { ובאופן שקול פונקציה היא שלמה אם dom = χ R ( x = χ R ( x = R x ( ( R x : יחס R הוא פונקציה שלמה היא הפונקציה המציינת של כך שמתקיים כאשר R, : בהינתן פונקציה λx x צ'רץ' כאשר נרצה להתייחס אליה כאל פונקציה ולא כאל ערך נשתמש בסימון λ של ( 2 {(, : } A= x y x y כאשר נרצה ( xy, = x דוגמה: y להתייחס ל- היא פונקציה חלקית ומוגדרת רק על λxy x כאל פונקציה נקרא לה (y ( הגדרה: אלגוריתם הוא סדרה סופת של סימנים פונקציה חשיבה היא פונקציה אשר קיים אלגוריתם שמחשב אותה נשים לב שיש מספר בן מניה של אלגוריתמים ולכן מספר בן מניה של פונקציות חשיבות אך יש מספר לא בן : ולכן קיימות פונקציות שאינן חשיבות מניה של פונקציות הגדרה: פונקציות רקורסיביות יסודיות: Z x = אינסוף פונקציות אפס בכל מספר (כולל אפס של משתנים ( ( = x+ פונקצית העוקב במשתנה אחד S x
( I,,, אינסוף פונקציות הטלה בכל מספר משתנים ועל כל אחד מהרכיבים x x = x ולכל לכל 3 סכמות מעבר: א,, : k H Hk עבור אזי סכמת ההרכבה הרכבה: אם G : עבור k ו- W ( x = G H ( x,, Hk נותנת פונקציה W : המוגדרת ע"י x ( ( + עבור G : ב רקורסיה פרימיטיבית: אם נותנת פונקציה ו- F : המוגדרת באופן הבא: F( x, = G( x F x, y+ = H x, y, F x, y H : אזי רקורסיה פרימיטיבית μ yg x y כך שלכל (, (, > y G x אם ( ( ( + ג G : עבור אזי סכמת המזעור נותנת פונקציה מזעור: אם + y< a ולכל ( xa, = הוא המספר היחיד כך ש- a = μ yg( x, y x μ yg x, אל קיים a כזה אז = y ( קבוצת הפונקציות הרקורסיביות היא המחלקה המינימאלית שמכילה את הפונקציות הרקורסיביות היסודיות והיא סגורה לפעולות סכמות המעבר פונקציה רקורסיבית היא פונקציה השייכת למחלקה זו פונקציה פרימיטיב-רקורסיבית (להלן פ"ר היא פונקציה המתקבלת ללא ימוש במזעור נשים לב שכל χr היא רקורסיבית R הוא רקורסיבי (בהתאמה פ"ר אם הפונקציה הפונקציות הפ"ר הן שלמות יחס (בהתאמה פ"ר התזה של צ'רץ': הפונקציות הניתנות לחישוב הן בדיוק הפונקציות הרקורסיביות דוגמאות: א ב x ( עבור כלשהו נוכיח כל פונקציה קבועה היא פ"ר פונקציה קבועה היא מהצורה = באינדוקציה על ש- היא פ"ר עבור = זה ברור כי פונקצית האפס Z ( x היא פונקציה רקורסיבית יסודית g ( x = S( ( x (x ( היא פ"ר ונראה ש- + g ( (x = היא פ"ר נשים לב שמתקיים נניח ש- =, כלומר g התקבלה ע"י שימוש בסכמת ההרכבה משתי פונקציות פ"ר לכן g היא פ"ר פונקצית הזהות במשתנה אחד היא כמובן פ"ר שהרי x = I x ( (, { } ( x = x G : פונקציה רקורסיבית יהיו k תהי ג x,, x x,, x לא בהכרח שונים זה מזה אזי (,, (,, = k (,,,, F : המוגדרת ע"י F x x G x x היא פונקציה פרימיטיבית, שכן היא מוגדרת ע"י סכמת ההרכבה ע"י F x = G I x I x ( x G x,, ( ( ( k p: {,, } {,, } (,, = (,, p p( F ( xy, = Gxyx (,, F ( xy, = Gx ( יש פה כמה מקרים פרטיים: פרמוטציה של משתנים: תהי פונקציה רקורסיבית אז פרמוטציה אם פונקציה רקורסיבית ( F x x G x x זיהוי של משתנים: למשל, שימוש במשתני סרק: למשל,
( = G( x, a G x y פונקציה רקורסיבית אזי ד קבוע ותהי, ( ה ו ז ח ט י יא יהי F x פונקציה רקורסיבית שהרי היא מתקבלת ע"י הרכבה של פונקצית הזהות ופונקציה קבועה על פונקציה רקורסיבית +x λ xy( היא פ"ר ומתקבלת ע"י רקורסיה פרימיטיבית והרכבה באופן הבא: y (, (, ( ( ( ( ( ( ( ( ( x λxy( היא פ"ר ומתקבלת ע"י רקורסיה פרימיטיבית והרכבה באופן הבא: y x = F( x, = G( x = Z( x = x ( y+ = F( xy, + = H( xyf,, ( xy, = F( xy, + x= x y+ x x+ = F x = G x = I x = x x+ y+ = F x, y+ = H x, y, F x, y = S F x, y = F x, y + = x+ y + הפונקציה הפונקציה והרי כבר ראינו שהחיבור היא פונקציה פ"ר הפונקציה y x λ xy( היא פ"ר ומתקבלת ע"י רקורסיה פרימיטיבית והרכבה באופן הבא: (, ( ( (, (,, (, (, x = F x = G x = S = y+ y x = F x y+ = H x y F x y = F x y x = x x והרי כבר ראינו שהכפל היא פונקציה פ"ר פונקציית העצרת!x λx( היא פ"ר שכן היא מתקבלת ע"י רקורסיה פרימיטיבית:! = ( x+! = x! ( x+ { } x x y = max פונקציה זו היא פ"ר משום שהיא מתקבלת נגדיר חיסור מקוצץ ע"י,y ברקורסיה פרימיטיבית באופן הבא: x = x x ( y+ = ( x y λx( x מוגדרת ברקורסיה פרימיטיבית כך: כאשר ( = ( x + = x מחלקת היחסים הרקורסיביים (בהתאמה הפ"ר סגורה תחת הקשרים הלוגיים יהיו RS, שני χr הן רקורסיביות (בהתאמה פ"ר יחסים רקורסיביים (בהתאמה פ"ר אזי הפונקציות, χs T( x R( x χt וזאת = = = ( χ נסתכל על T = R אזי R T( x R( x פונקציה הרכבה של פונקציה פרימיטיבית (בהתאמה פ"ר עם פונקציה פ"ר ולכן היא פרימיטיבית (בהתאמה פ"ר R T = אזי נסתכל על S T( x R( x S( x χ = ( ( T = = χ χ T( x R( x S( x R S ומאחר שמכפלה היא פונקציה פ"ר נקבל את הדרוש ( ( χ = λxy y x והיחס הוא פ"ר < ( y x 2 היחסים הבאים ב- הם פ"ר:, לכן x < y אמ"מ = : < > : מתקבל ע"י פרמוטציה של המשתנים מ- < : מתקבל ע"י שלילה של > : מתקבל ע"י שלילה של < = : מתקבל ע"י גימום של ו- : מתקבל ע"י שלילה של =
יב יג יד טו טז יז F : המוגדרת + פונקציה רקורסיבית (בהתאמה פ"ר אזי G : סכומים: תהא +,x F (,x (y = G היא רקורסיבית (בהתאמה פ"ר שהרי נוכל להגדיר ברקורסיה ע"י (z F x F x y F x y G x y (, = (, + = (, + (, z< y פרימיטיבית: F : המוגדרת + פונקציה רקורסיבית (בהתאמה פ"ר אזי G : מכפלות: תהא +,x F (,x (y = G היא רקורסיבית (בהתאמה פ"ר שהרי נוכל להגדיר ברקורסיה ע"י (z F x F x y F x y G x y (, = (, + = (, (, z< y פרימיטיבית: + מחלקת היחסים הרקורסיביים (בהתאמה פ"ר סגורה תחת כמתים חסומים יהי P יחס רקורסיבי (בהתאמה פ"ר אזי הפונקציה χp היא רקורסיבית (בהתאמה פ"ר χ x, y = χ שהרי x, z אזי Q x, y = z < yp x, נסתכל על y z < y כך Q ( ( P( z< y ( ( x, P( והרי y כך ש- z < y אמ"מ קיים Q( x, y אמ"מ, = =, χ xz, כלומר אמ"מ קיים P =, אמ"מ קיים כך ש- ( R x y z y P x y מאחר שמחלקת (, < ( (, χ ( x y Q ( χp ( xz z< y P( x, ש- (y נסתכל על R x y z yp x y (, = < (, היחסים הפרימיטיביים (בהתאמה פ"ר סגורה תחת קשרים לוגיים נקבל את הטענה y+ z < ( ו- P( x, y עבור z yp( x, y ו- z yp( x, נשתמש בקיצורים (y y+ z < ( בהתאמה P( x, y x, m z < yp( את הפונקציה מזעור חסום: בהינתן יחס רקורסיבי (בהתאמה פ"ר נסמן ב- (y y כנ"ל ערך הפונקציה הוא a אם לא קיים P,x (a הראשון שמקיים >a שערכה הוא המספר y z m z < yp( x, y = μ הפונקציה כמובן שלמה והיא ( ( z < y P( x, z ( z = y כלומר, m z < yp x, y = v< zp x, רקורסיבית (בהתאמה פ"ר כי מתקיים v,x q ( המנה של חלוקת y ( ( z< y m z < y+ P x, y x, m z yp( עבור ( ( y x = q ( xy, y+ נניח ש-, xy rm ( נשתמש בקיצור חילוק עם שארית: היא השארית אזי q ו- rm הן פונקציות פ"ר: כאשר x ב- y ו- ( ( rm x, = x q x, = x אבל p ( x y = z < x( ( z+ y > x ( xy = x ( xy y ( m q (, וגם q, m rm, q, rm ( x, y נשים לב שאם = y אז x = z < x > x = x במקרה ש- > y אלה הם המנה והשארית הרגילים p ו- λxp x כאשר = 2 סדרת המספרים הראשוניים פ"ר ניתן להגדיר אותה באופן הבא: הוא המספר הראשוני הבא אחרי היא p = 2 p + p + (( ( ( ( p = m z p z > p v< z v rm z, v > לכל x px p p! + + יש כאן שימוש בטענה ידועה מתורת המספרים ש- p x x x
ללא שארית לכל x k,, k y ( z = m y < z( rm ( z, p + x > x y p x מתחלק ב- λzx( z x באופן הבא: יח יט כ כא נגדיר פונקציה פ"ר ( z x > z אז ( כעת, אם = x נשים לב שאם מתקיים הוא ה- y המקסימלי כך ש- z < k ומתקיים z = p עבוד סדרה סופית אז לכל z במקרה זה נאמר ש- ( z = x z > ( z = kx x x < מתקיים ולכל x מתקיים מצפין את ( lh ועבור = ( z x z lh ( מתקיים = m y < z px = z x< y z : λz lh ( נגדיר k,, k פונקציית האורך (z lh ( הוא אורך הסדרה הקצרה ביותר שמוצפנת ע"י z זאת כמובן פונקציה פ"ר x, ( נמנה אותם y 2 z > פונקציית הזיווג: של קבוצה בת מניה ולכן ניתן למנות את כל הזוגות הסדורים בסדר עולה של הסכום x + y ועבור קבוצת זוגות בעלת סכום זהה נמנה את איבריה לפי סדר עולה ( ( x, המספר הסידורי של (y באותה מנייה כאשר =, J ברור שמתקיים x, ( לכל סכום y x, ( קיימים y J ( x, y הוא מספר הזוגות שנמצאים במנייה לפני w קיימים + w זוגות בעלי לכן, עבור זוג y יהי J ( x, ש- (y ( w,,( w,,(, w ( x+ y( x+ y+ ( x y סכום זה - x + y ורכיבם השני קטן מ- y לכן = + + + 2 + זוגות בעלי סכום קטן מ- x + y יש y זוגות שסכומם ( (( ( J x, y = q x+ y x+ y+,2 + y והיא פונקציה פ"ר כפי שהגדרנו אותה היא חח"ע ועל ולכן קיימת לה פונקציה הופכית (L (,K כך ( ( x y, J L קל לוודא שניתן להגדיר: ( z = x z y z( ( x y = z ( ( ( K m J, ( ( x y K J, 2 2 J: = x שמתקיים ו- = y ( ( ( ( ( L z = m y z x z J x, y = z = m y z J K z, y = z ומכאן שגם הפונקציות ההופכיות הן פ"ר פונקציות רקורסיביות (בהתאמה פ"ר ושלמות ב- G ( (x,, Gk הגדרה לפי מקרים: תהיינה (x ( R ( (x,, Rk יחסים רקורסיביים (בהתאמה פ"ר וזרים בזוגות ב- משתנים אז משתנים ויהיו (x ( הפונקציה G( x R( x F( x = G x R x ( ( = ( χ R ( F x G x x = k ( ( k גם היא רקורסיבית (בהתאמה פ"ר שהרי מתקיים האינדקס { R : > } r אם אוגר מאחסן את הגדרה: מכונת RI היא מכונה דימיונית שיש בה סדרה אינסופית של אוגרים נאמר R הוא לאחסן מספר טבעי R תפקיד האוגר נקרא הכתובת של האוגר שהוא ריק נוסף על האוגרים יש למכונה מונה פקודות K הפקודה העומדת להתבצע בשלב הבא האוגרים ריקים שמחזיק בתוכו מספרים טבעיים והוא מציין את בכל רגע נתון משתמשים במכונה במספר סופי של אוגרים ושאר
סוגי הפקודות: K ב- R Z פקודות : Z לכל < פקודות פקודות - - הפקודה הפקודה מאפסת את האוגר מגדילה את האוגר ומגדילה את R ב- ומגדילה את K ב- S J, j, k אומרת את הדבר הבא: < לכל : S : J הפקודה אם r = r מאחסנים את k ב- K במקום הערך שהיה שם קודם K ב- אחרת מגדילים את j c k J, j, k k k < h תוכנית היא סדרה סופית (אולי ריקה של פקודות היא הפקודה ה- k תכנית לא ריקה מתחילה תמיד בפקודה =P אורך התכנית הוא h ולכל c,, ch לכל פקודה מהצורה h אם c k h בתכנית באורך c מתקיים k h אם ברגע מסויים רשום k ב- K ו- h k < המכונה עוצרת אז המכונה מבצעת את הפקודה R P, j דוגמה: יהיו, מספרים טבעיים כלשהם נבנה תוכנית j במקום מה שהיה רשום בו קודם שמעתיקה את המספר המאוחסן ב- לאוגר P j J,, = אם j אין צורך לעשות כלום אז התכנית היא P = Z, J, S, J תכנית זו בעצם מייצגת את תרשים הזרימה הבא:, j j, j,4 j,, אחרת, התכנית היא Start Z j? r = r j Yes Halt No S j R R j מה שקורה כאן הוא שתכנית מגדילה את בכל שלב עד שהערך שלו זהה לערך של P = J, Z, J, S, J, j, j,5 j, j,5 j,,2 את שני המקרים שראינו ניתן למעשה להגדיר בצורה אחידה ע"י הגדרה: אם P הפקודות של תכנית באורך h ו- Q תכנית באורך כלשהו, השרשור PQ הוא תכנית שמתקבלת מביצוע J, j, k לפי הסדר כמו שהן ולאחר מכן ביצוע הפקודות של Q לפי סדרן אלא שכל פקודה של ברור שפעולת השרשור היא אסוציאטיבית J, j, k+ h P Q מוחלפת ב-
m ( m P הגדרה: לכל תכנית P ב- P התכנית היא התכנית המתקבלת מ- P ע"י הוספת לכל הכתובות שמופיעות a,, a באופן הבא: נניח ש- P הגדרה: תהי P תכנית ויהי מספר טבעי כלשהו נגדיר את הפונקציה,, R ויתר הרגיסטרים ריקים במצב זה נפעיל את התכנית P אם אחרי מספר סופי של מאוחסנים ב- R P אם המכונה לא עוצרת לעולם נגדיר ( a = b נגדיר b רשום המספר R צעדים המכונה עוצרת וברגיסטר P a = a P ( (כלומר ערך הפונקציה לא מוגדר על במקרה זה נאמר ש- P מחשבת את פונקציה נקראת חשיבה אם קיימת תכנית שמחשבת אותה J2,3,4, S, S3, J,, ( y דוגמה: פונקציית החיבור +x λ xy היא חשיבה ע"י התכנית Start r? = r 2 3 Yes Halt No S, S3 משפט: כל פונקציה רקורסיבית היא חשיבה הוכחה: נוכיח באינדוקציה על הבנייה של הפונקציה Z ראשית, נראה שכל הפונקציות הרקורסיביות היסודיות הן חשיבות: פונקציה מהצורה = x Z( הפונקציה ניתנת לחישוב ע"י התכנית P, S ניתנת לחישוב ע"י תכנית I ( = x+ ( x S x, פונקציה מהצורה ניתנת לחישוב ע"י התכנית שראינו קודם 3 כעת, נראה את הנכונות עבור סכמות המעבר,, Q תכניות Qk H,, סכמת ההרכבה: נניח ש- Hk פונקציות חשיבות ב- משתנים ותהיינה R תכנית שמחשבות אותן בתאמה נניח כמו כן ש- G פונקציה חשיבה ב- k משתנים ותהי R,, R זוהי תכנית שמעתיקה את תוכן האוגרים = P P,, P שמחשבת אותה נגדיר תכנית m,, m 2, m+ m, + R, R,, R m m+ m+ a Q לאוגרים לכל תכנית תהי Q משתמשת בה כתובת האוגר המקסימלית ש-
: R,, x R כאשר רשום באוגרים G H x H x התכנית שמחשבת את ההרכבה ( k,, ( ( ( a ( a+ + ak a, + a, + + a + 2 k a+,2 a+ + a +, k k+ a+ + a + QQ Q P P Z Z R k k k k ל- R,, התכנית פועלת כך: ראשית, היא מעתיקה את הקלט R מקומות נוספים על הסרט כך,, Q נשים לב שבסוף ההעתקה, מלבד k העותקים של שהם לא יתנגשו עם פעולת התכניות Qk,, Q, כל אחת על הקלט כל שאר האוגרים נשארים ריקים לאחר מכן התכנית מפעילה את Qk עותק נפרד של הקלט לפי הבחירה של המיקום החישובים לא מתנגשים זה בזה לבסוף R, R בהתאמה את תוצאות אלה התכנית +,, R + + Q ( x,, Qk רשומים באוגרים ( x R אבל המהלך a a a k R,, מעתיקה לאוגרים הראשונים Rk כדי שאפשר יהיה להפעיל עליהם את החישובים הקודמים יכול להיות שהיה שימוש באוגרים נוספים בסרט ולכן לפני תחילת החישוב התכנית מאפסת את כל האוגרים שיכול להיות שהיה שימוש בהם לבסוף R פועלת וערך ההרכבה R נשאר ב- נשים לב שאם אחד החישובים לא נעצר אף פעם אז התכנית כולה לא עוצרת אף פעם והפלט אינו מוגדר, כפי שאמור להיות רקורסיה פרימיטיבית: תהי G פונקציה חשיבה ב- משתנים ותהי P תכנית שמחשבת אותה תהי תכנית שמחשבת אותה נראה ש-הפונקציה ב- + Q משתנים ותהי + 2 פונקציה חשיבה ב- H P + 3, משתנים F המוגדרת ברקורסיה פרימיטיבית באופן הבא: F( x, = G( x F ( x, y+ = H( x, y, F( x, y גם היא חשיבה נטען שהתכנית הבאה מחשבת את : F ( + 2 ( + 2, + 3P J+, + 2, m P + 3,2+ 4P+ 2,2+ 3P, + 3Z2+ 5 ZkQ S+ 2 J,, mp + 3, כאשר: m הוא המספר הסידורי בתכנית של הפקודה הראשונה בהופעה של התת תכנית - - הוא המספר הסידורי של הפקודה ( Q + J +, + 2, m 2 - k הוא המקסימום בין + 5 2 לכתובת הרחוקה ביותר המופיעה ב- נסביר את מהלך התכנית הרעיון הוא להשתמש במונה כדי לחשב את, x F ( R,, + 3,, R2+ 2 הדרוש ראשית, התכנית מעתיקה את הקלט R R לאוגרים עד שנגיע ל- R נשאר + 2 האוגר y אם = F ( x, נרשם הערך R + 3 ריק והוא יתפקד כמונה לאחר מכן מתבצעת P ובאוגר R והתכנית נגמרת אחרת, מעבירים את הקלט ל- Q לאוגרים הערך נרשם ב- R רשומים F ( x + 4,, R2+ רשום כעת (, וב- 2 R + 3 3, R2+ R+ 3,, R2+ 2, נזכור שב- R2+ 4 + 2 R x,, ל-, R את המונה מ- + 3 x ל- בהתאמה לכן כל מה שנותר לעשות הוא להעביר את 2 x R (כמובן, צריך לבצע שלב זה ראשון כדי לא לאבד 2 R ל- 4 + + 3 R ואת תוצאת השלב הקודם מ- 2 + 3 את הערך שחושב כעת ניתן להריץ את Q בסוף הריצה התכנית מעדכנת את המונה, משווה אותו ל- y הרצוי וחוזרת על התהליך אם צריך נשים לב שאם באיזשהו שלב אחד החישובים לא נגמר כל התכנית כולה לא תסיים לרוץ לעולם וערך הפונקציה לא יהיה מוגדר, כפי שצריך להיות סכמת מזעור: תהי G פונקציה חשיבה ב- + משתנים ותהי P תכנית שמחשבת אותה אזי : μ yg x, התכנית הבאה מחשבת אתה מזעור y P +, ( 2 P + ( ( + +, + 2 + 3 +, + 2, m + 2+ 2 k,, +, P Z J S Z Z J P הוא המספר הסידורי של הפקודה הראשונה בהופעה של הוא המקסימום בין לכתובת הרחוקה ביותר המופיעה ב- בתכנית 2 + 2 m m k כאשר: - - 3
G x y שוב ושוב עד שנקבל את הערך כמו ברקורסיה פרימיטיבית הרעיון הוא שתכנית תחשב את, ( הרצוי אם לא קיים כזה התכנית לא תעצור לעולם,, R בכל שלב התכנית מעתיקה את הקלט לאוגרים לכל אורך הריצה הקלט נמצא באוגרים R R 2 + 2 R + כאשר ו- מכילים את ה- y שנבדק כרגע אם התוצאה מתאפסת התכנית R,, R + 2 2+ מ- R ל- R אחרת היא מגדילה את y וממשיכה לבדוק נשים לב שאם באיזה + מעבירה את y μ y x, y לא מוגדר אז התכנית לא מסיימת לרוץ ו- = G x, שלב y ( ( משפט: כל פונקציה חשיבה היא רקורסיבית הוכחה: ראשית, נשים לב שאנחנו נמצאים בבעיה משום שמושג הפונקציה החשיבה לא הוגדר במונחים מתמטיים לשם כך, נצפין את התכניות ע"י מספרים טבעיים באופן הבא: #C לכל פקודה C נתאים מספר באופן הבא: Z 2 S 3 J, j, m 57 j m בגלל יחידות # Ck # P pk k< h = P = C,, Ch לכל תכנית נתאים מספר הפירוק לגורמים ראשוניים ההתאמה P # P הקוד שלך התכנית הריקה הוא היא פונקציה חח"ע מקבוצת התכניות ל- נגדיר תכונה של מספרים טבעיים (z Prog ( שמתקיים שאומרת ש- z הוא קוד של תכניות לא ריקה כלשהי נשים לב ( u + u + u + v + w ( z [ z ] x ( z u z v z w z ( z ( z ( z Prog = > < lh < < < = 2 = 3 = 5 7 x x x לכן Prog הוא יחס פ"ר zˆ λz ( באופן הבא: כעת נגדיר את הפונקציה z Prog zˆ = Prog ( z ( z ẑ היא פונקציה פ"ר נשים לב ש- λz ( ˆz נסמן ב- {z { זוהי הגדרה לפי מקרים ולכן של התכנית ש- z מקודד או של התכנית הריקה הוא תמיד קוד של תכנית כלשהי או { } = ˆ # z z zˆ lh ( בהינתן, ẑ כלומר נשתמש בסימון גם עבור הפונקציה את התכנית שמקודד הוא < { z} ולכל המספר המאוחסן } {z ברור שמתקיים שאורך התכנית ( u אן המספר במונה הפקודות הוא { z} u נאמר שהמכונה נמצאת במצה u > R באוגר הוא ( (u מאחר שבהגדרת מכונת RI בכל רגע נתון כמעט כל הרגיסטרים ריקים אכן ניתן לתאר ( u lh ( zˆ < u הוא מצב עצירה אם u u כנ"ל {z } נאמר שהמצב את כל מצב של המכונה ע"י מספר טבעי כעת, נניח שהמכונה מריצה את התכנית ו- זה מתאים להגדרה שהמכונה עוצרת אם במונה הפקודות מופיע מספר שגדול מאורך התכנית לכל מצב u יש
מצב יחיד, uz Nex ( שנקרא המצב הבא אם u מצב עצירה אז המצב הבא הוא u הוא המצב שבו תהיה המכונה מיד אחרי שהמכונה תבצע את הפקודה בתכנית עצמו אחרת, המצב הבא {z } כדי ש- Nex תהיה ( u ( שלמה נגדיר = z Nex, ( u z k', ( ( ( u uzx,, (,, = q, (,, u z x u p uzx (,,4 ( ( = ( uz,,2 uz (,,3 ( + else u z u u = k u נראה ש-,u λuz Nex ( פונקציה פ"ר לשם כך, נגדיר כמה פונקציות עזר: z 3 4 ( = ( u k u ( (,, = ( zˆ k ( u u z x x ארבע פונקציות אלה הן כמובן פ"ר אם המכונה נמצאת במצב > u שאינו מצב עצירה אז (u k ב- K הפקודה שהמכונה עומדת לבצע היא הפקודה ה- (u k בתכנית הוא המספר,z,u הוא הרכיב ה- x של x הפקודה הזאת כעת יש שלוש אפשרויות: וב- K Z uz (,, S uz (,, K uz (,,2, uz (,,3, uz (,,4 (, z,u אז המכונה תבצע את הפקודה > (, z,u אז המכונה תבצע את הפקודה > (2, z,u אז המכונה תבצע את הפקודה > אם אם אם יאוחסן המספר ( u z k', R uzx (,, ( uzx,, u המצב,, uzx ( הוא זהה למצב פרט לכך שב- האוגר הוא ריק כעת נוכל להגדיר את, uz Nex ( באופן הבא: x,, x ( uz Nex, ( ( ( ˆ ( ( ( ( ˆ uz,, ( 2 u, z, u > k 2 < lh z u, z, > 2p u u > k 2 < lh z u, z, > = k' ( u, z k( u 2 q ( u,2 u > k( 2 < lh ( zˆ ( u, z,2 > u else u {z } המכונה מתחילה במצב מההגדרה מקבלים שהפונקציה היא אכן פ"ר כעת, נניח שהמכונה מתחילה לבצע את התכנית נמצאים באוגרים בהתאמה ושאר האוגרים ריקים אזי מתקיים לפי ההגדרה שבו המספרים u = p p אם x x u = + ( u z Nex, u R,, R u בהינתן מצב אז = יהי המצב הבא = נבחן שני מקרים: u t t שעבורו המצב { z}( אם x אז קיים הוא מצב עצירה יהי h המינימלי כך ש- t h p u t t להיות המספר u t z, נגדיר את קוד החישוב של x t שעבורו המצב ( u lh ( zˆ t אם = x { z}( אז לא קיים הוא מצב עצירה במקרה זה קוד החישוב של,z אינו מוגדר כלומר, קוד החישוב במקרה זה הוא x
T באופן הבא : + 2 -מקומי לכל נגדיר יחס ( ( ( ( ( x T( z, x, y = ( y p ( lh( ( Nex (, t y y y z = < = t+ t = (( ( ˆ ( t ( y ( ( ˆ lh t < lh y y < lh z y lh z z, x y T ( z, x, y ברור שיחס הוא פ"ר נטען שלכל, xy,z מתקיים היחס אמ"מ הוא קוד חישוב ל- t < h ולכל u = p p x x t h p u t t מההגדרה של היחס רואים שהוא מתקיים אמ"מ y הוא מהצורה כאשר u h { z} u t ( u z +t u = ו- אינו מצב עצירה לתכנית Nex t, z, שאומרים ש- y הוא קוד חישוב ל- x ואילו מצב עצירה אלה הם בדיוק התנאים { z}( x = ( μ yt( z, x, y ( ( = ( ( y y y הפונקציה כמובן פ"ר נראה ש- lh נגדיר כעת את הפונקציה, x נניח שהמכונה פועלת לפי התכנית {z { ממצב התחלתי שבו המספרים,, x נמצאים x בהינתן z ו-,z הוא x הוא קוד חישוב ל- μ yt ( z, x, y בהתאמה ויתר האוגרים ריקים ראינו ש- R,, באוגרים cr,x μ yt,z מוגדר אז הוא הרכיב הראשון של הרכיב החיובי האחרון של מוגדר אמ"מ x z אם y { z}( x R ( ( { }( קוד החישוב הזה אבל זה בדיוק המספר שמופיע באוגר כשהמכונה עוצרת, כלומר { z}( x היא רקורסיבית (לא בהכרח פ"ר כי השתמשנו במזעור ולכן ( μ yt( z, x, y הפונקציה רקורסיבית אבל כל פונקציה חשיבה היא מהצורה ולכן כל פונקציה חשיבה היא רקורסיבית { z}( x + 2 ב- T משפט הצורה הנורמלית: קיימת פונקציה פ"ר חד-מקומית כך שלכל קיים יחס פ"ר z x = μ yt z, x, משתנים כך שלכל מספר z ולכל x מתקיים y { }( ( ( ב- + 2 משתנים כך שלכל x T ניסוח שקול: קיימת פונקציה פ"ר במשתנה אחד ולכל קיים יחס פ"ר פונקציה רקורסיבית ב- משתנים יש מספר טבעי e כך שמתקיים לכל x = μ yt e, x, y ( ( ( F ( zx, ניסוח שקול: לכל קיימת פונקציה רקורסיבית ב- + משתנים בעלת התכונה הבאה: לכל ערך,e G x = F היא פונקציה רקורסיבית ב- משתנים יתר על כן, כאשר עוברים על כל טבעי e הפונקציה x ( ( הערכים האפשריים של אנו מקבלים את כל הפונקציות הרקורסיביות ב-, z משתנים { λ xf ( e, x ניסוח שקול: } : e זו מנייה (עם חזרות של כל הפונקציות הרקורסיביות ב- משתנים T אם ברור מה ה- הרלוונטי נרשום רק
הוכחה: נסתכל בפונקציה פונקציה חשיבה ב- F( z, x = ( μ yt( z, x, y (, = ( μ (,, F ( ex, משתנים היא מהצורה חשיבה ולכן כל פונקציה רקורסיבית היא מהצורה זו פונקציה רקורסיבית ב- + משתנים ראינו שכל, F e x yt e x y אבל כל פונקציה רקורסיבית היא שהיא פונקציה רקורסיבית ב- משתנים דוגמה: פונקציית האלכסון במשתנה יחיד פונקציה רקורסיבית וע"י הצבת λ xy( { x}( y x λ x ({ x}( היא פונקציה רקורסיבית, שהרי x נקבל שפונקציית האלכסון רקורסיבית נניח ש- g היא הרחבה של פונקציית האלכסון הראה ש- g לא יכולה להיות גם רקורסיבית וגם שלמה אז נניח ש- g הרחבה רקורסיבית של x λ x ({ x}( אזי גם הפונקציה ( ( + x λ x g רקורסיבית לכן קיים מספר e כך שלכל x dom g ( + = { }( g x e x מוגדר אזי גם (שהרי ראינו שכל פונקציה רקורסיבית מתקבלת ע"י תכנית כלשהי נניח בשלילה ש-( e g ( ( + = { }( g e e e מוגדר אבל g היא הרחבה של ( = { }( x λ x ({ x}( ולכן g e e e קיבלנו ( + = { }( = ( g e e e g e וזאת סתירה לכן להיות גם רקורסיבית וגם שלמה בפרט g ( e ({ }( אינו מוגדר ו- g אינה שלמה קיבלנו ש- g אינה יכולה λ x x e עצמה אינה שלמה דוגמה: נסתכל על פונקציית האלכסון (x λ x } {x נטען שתחום ההגדרה שלה אינו רקורסיבי פירוש הדבר שאין אלגוריתם שיכול לומר לנו אם מספר מסויים נמצא בתחום ההגדרה של הפונקציה או לא, כלומר אם התכנית שמחשבת את הפונקציה עוצרת על מספר זה או לא בעיה זו נקראת בעיית העצירה נניח בשלילה שהיחס P( x שמגדיר את תחום ההגדרה של הפונקציה הוא רקורסיבי נסתכל אז על הפונקציה הבאה: ( g x = { x}( x P( x P( x לפי ההנחה זוהי פונקציה רקורסיבית והיא כמובן הרחבה של פונקציית האלכסון לכן אינה יכולה להיות שלמה אבל היא שלמה לפי הגדרתה, בסתירה לכן לא יכול להיות ש- P( x רקורסיבי הגדרה: יחס -מקומי R הוא ניתן למניה רקורסיבית (להלן נל"ר הוא יחס המתקבל מיחס רקורסיבי R z = P z, מקומי ע"י כמת קיום כלומר, קיים יחס y P - + כך ש- ( ( P x y P x y y ( = ( ( = ברור שיחס רקורסיבי הוא נל"ר שכן, אם P רקורסיבי אז למה: מחלקת היחסים הנל"ר סגורה תחת הפעולות הבאות: איווי 4 הרכבה על פונקציות רקורסיביות שלמות כמת קיום חסום 5 כמת קיום 2 כמת כולל חסום 6 גימום 3 הערה: מחלקת היחסים הנל"ר אינה סגורה תחת כמת כולל לא חסום
הוכחה: -,, k ותהיינה -מקומי k יחס נל"ר R( x = yp( x, y R( ( x,, k ( x = yp( ( x,, k ( x, y ( (,, k ( היא רקורסיבית ולכן P( ( x,, k ( x, y יהי מקומיות אזי ההרכבה פונקציות רקורסיביות שלמות אבל בגלל ש- P רקורסיבי גם נל"ר לפי ההגדרה u ואז למעשה R x x ( yz, R x ניתן לזווג את ( = y zp( x, y, z R( x = up( x,k ( u,l( u נסתכל על ולהצפין את הזוג ע"י אם P רקורסיבי אז R נל"ר x, Q( x = yt( יחסים נל"ר מתקיים y ו- R( x = yp( x, יהיו (y x, R( x Q( x = y z( P( x, y Q( ולפי הסעיף הקודם יחס זה הוא נל"ר משום ש- z x, P( x, y Q( רקורסיבי z x, Q( x = yt( יחסים נל"ר מתקיים y ו- R( x = yp( x, יהיו (y x, P( x, y Q( רקורסיבי z ויחס זה הוא נל"ר משום ש- R( x Q( x = y( P( x, y Q( x, z y, z < u yp x, y, z = z y z < u P x, מאחר ש- z מתקיים z < u yp x, y, נסתכל על z ( ( ( w< w< u yp( x, w, y = z ומאחר up x, w, ( z w ( ( < יחס רקורסיבי נקבל את הטענה w, w< u yp x, מתקיים נסתכל על y ( שהיחסים הרקורסיביים סגורים תחת כמת חסומים נקבל את הטענה 3 4 5 6 {( x, ( x : x dom } הגרף של הגדרה: תהי פונקציה למעשה הגרף הוא היחס -מקומית עבור הוא הקבוצה λ xu x = u ( ( A משפט: יהי A הגרף של נל"ר אמ"מ רקורסיבית הוכחה: P A xu (, = yp( xuy,, נל"ר אזי כאשר יחס רקורסיבי נשתמש בפונקציית הזיווג ונקבל ( נניח ש- A x zp x z z ( ( = K μ (,K(,L( ( אם רקורסיבית אז לפי משפט הצורה הנורמלית קיים e כך שלכל x מתקיים T e, x, y y = u אבל yt exy,, y = u אמ"מ x, u A לכן x = μ yt e, x, y ( ( ( ( ( (, ( ( ( ( ( נל"ר A רקורסיבי ולכן x u A x = u רקורסיבית כי שלמה אז A נשים לב שאם
משפט: יחס הוא רקורסיבי אמ"מ הוא ושלילתו נל"ר הוכחה: R רקורסיבי, אזי גם R רקורסיבי אבל יחס רקורסיבי הוא נל"ר ולכן ושלילתו נל"ר ( נניח ש- R = x R כאשר P ו- Q רקורסיביים ( yq( x, y R x ו- ( = yp( x, ( נניח ש- R ו- R נל"ר אזי y y אז קיים P( x, μ y( P( x, y Q( x, y x, R( x = P( x, μ y( P( x, y Q( אם y נטען שמתקיים (( x, P( ולכן R( x אחרת, אם y זה מתקיים y עבור P( x, y Q( x, מינימלי כך ש- (y P( x, y לא מקיים את P( x, y Q( x, y המינימלי שמקיים את y אז ה- P( x, μ y( P( x, y Q( x, y,x Q ומכאן ש- ולכן הוא מקיים את y R( x ( מסקנה: קבוצת היחסים הנל"ר אינה סגורה לשלילה כי אם הייתה סגורה לשלילה אז כל היחסים היו רקורסיביים וזה לא נכון משפט: תהי A אזי התנאים הבאים שקולים: נל"ר A היא התחום של פונקציה רקורסיבית ב- משתנים A A נמנית ע"י -יה של פונקציות פ"ר במשתנה אחד או = A A נמנית ע"י -יה של פונקציות רקורסיביות במשתנה אחד 3 4 הוכחה: λx זאת כמובן ( μyr ( x, y R A x כאשר רקורסיבי נסתכל על הפונקציה A ( = yr( x, 2 ( נניח ש- y פונקציה רקורסיבית והתחום שלה הוא 3 ( תהי פונקציה רקורסיבית כך ש- dom = A לפי משפט ההצגה הנורמלית קיים e כך ש- 2 a נגדיר פונקציות פ"ר חד- A יהי A נניח ש- A x = yt e, x, y ולכן x = μ yt e, x, y ϕ ( t ( ( ( ( t T e, ( t,, ( t, ( t = a else ( ( (,, ϕ באופן הבא: מקומיות ϕ A ( ϕ ϕ,, נראה ש- מונה את (( ( t,, t A yt ( e, ( t,,( t, y ולכן ( ϕ,, ϕ (,, ( ( לכן יהי t כך ש- T e t t t אזי מונה תת קבוצה של אם לא מתקיים A כלומר קיים b כך ש- T e c b נסתכל על A (,, ולכן ϕ ( ϕ מונה את כל,, ϕ t ϕ t = a A, yt ( e, c, y ( ϕ ( t,, ϕ ( t = c (,(,,(,( אז T( e, ( t,,( t,( t c אז מתקיים מצד שני, אם A קל לראות ש- b c c t = p p 2
(,, ( = μ ( + = + + נסתכל על t y t y t y אז = dom ולכן מונה את 4 ( אם = A 3 = A ואילו אם A אינה ריקה ונמנית ע"י פונקציות פ"ר במשתנה יחיד בוודאי היא נמנית ע"י פונקציות רקורסיביות במשתנה יחיד, שהרי פונקציה פ"ר היא בפרט רקורסיבית B לכל A (,, ( = ((, (, -יה של פונקציות רקורסיביות המונה את יהי הגרף של A x t t x B t x B כל ( תהי 4 אז מתקיים למה קודמת נל"ר היא רקורסיבית ולכן הגרף שלה נל"ר לכן לפי A dom { e} מסקנה: הקבוצות הנל"ר ה- -ממדיות הן בדיוק הקבוצות - התחומים של הפונקציות הרקורסיביות dom נשים לב שאינדקס של קבוצה { e} הגדרה: נאמר ש- e הוא אינדקס של הקבוצה הנל"ר ה- -ממדית הוא לא יחיד משום שאותה פונקציה יכולה להיות מוצפנת ע"י שני מספרים שונים x λ xz( הוא נל"ר ומתלכד עם y yt ( z, x, ולכן כל יחס נל"ר dom{ z} מסקנה: היחס ה- + -מקומי x, x dom e = yt e, והרי T יחס פ"ר ו- dom e הם מתקבל ע"י כימות ישי מיחס פ"ר משום ש- y { { } } { } ( כל היחסים הנל"ר { ( }( g y = כך ש- y g טענה: קיימת פונקציה חשיבה g ( y g ( 3 g y = p < y הוכחה: נגדיר התכנית בוודאי רקורסיבית ולכן חשיבה נשים לב ש- ריק בסופה הוא מכיל את למעשה מקודדת את y R S,, S ולכן אם התכנית מתחילה בכך שהאוגר y tmes { x}, כלומר }, xy { g ( { g ( xy, } = { x}{ y} g טענה: קיימת פונקציה חשיבה כך ש- היא השרשור של ו- { y} g ברור ש- z * ( z ( z + lh ( x ( z = q, ( * = + הוכחה: נגדיר היא עושה ראשית, נסתכל על lh y ( y x g ( x, y = x plh( כאשר חשיבה נבין מה q הוא מספר שהפירוק שלו לראשוניים זהה לזה של z אלא ( lh ( z + x q ( ( z, z ( ( z, z * z שלא מופיע בו אז כאשר כופלים את מהצורה ב- מקבלים את אותה הפקודה אלא שאם היא { x} שהוא האורך של התכנית lh ( x אז הכתובת גדלה ב- J, j, k
{ y} { x} g ( xy, ב- (x, lh ( כלומר זהו בדיוק הקידוד של לכן סה"כ היא הקידוד של התכנית שקודם מבצעת את ואח"כ את עם כל הכתובות מוזזות { x}{ y} ( m P g ( xm 2, P x g 2 טענה: קיימת פונקציה חשיבה כך שאם מקודד את התכנית אז מקודדת את z * ( z ( z + m ( z = q, lh( x * ( x = g2 ( xm = p, הוכחה: בדומה לטענה הקודמת נגדיר כאשר { g ( y }( x = F( x, y g F xy למה: לכל פונקציה חשיבה, ( קיימת פונקציה חשיבה כך ש- אז g ( y y = ( y,, ו-( yk x = x x (,, m הוכחה: נניח ש- z הוא הקוד של F וש- הוא הקוד של השרשור זאת כמובן פונקציה חשיבה וברור שהיא מקיימת את הדרוש { ( } ( m+ { ( } ( m+ k g y g yk {} z F x y z משפט הרקורסיה המוכלל: תהי,, ( ϕ z x = F x, ϕ z, z פונקציה חשיבה אזי קיימת פונקציה חשיבה ϕ כך ש- { ( }( ( ( הוכחה: ע"י הפעלת הלמה על, xy F ( xy, = { y}( נקבל שקיימת פונקציה σ חשיבה כך ש- x, σ y x = y ע"י הפעלת הלמה על G x, y, z = F x, σ y, z נקבל שקיימת פונקציה חשיבה y ( ( ( { ( }( { }( { ψ ( z }( x, y = F( x, σ ( y, z כך ש- ψ ϕ אז מתקיים: ( z = σ ( ψ ( z כעת נגדיר ϕ z z = σ ψ z x = ψ z x, ψ z = F x, σ ψ z, z = F x, ϕ z, z { ( }( { ( ( }( { ( }( ( ( ( ( ( ( {}( e x = F( x, e e F xy משפט הרקורסיה: אם, ( חשיבה אז קיים כך ש- הוכחה: נגדיר, xy F '( xyz,, = F( לפי משפט הרקורסיה המוכלל קיימת פונקציה חשיבה ϕ כך ש- e x = F' x, e, = F x, e נקבל z אזי עבור = e = ניקח ϕ ϕ z z = F' x, ϕ z, z { }( ( ( ( { ( }( ( (
x { σ ( e }( x = { e}( x משפט נקודת השבת: תהי σ פונקציה חשיבה שלמה אזי קיים e כך ש- לכל, G x e e x כלומר (, = { }( e G x y y x לפי משפט הרקורסיה קיים הוכחה: נסתכל על }( ( σ { =, ( כך ש- { σ ( e }( x = { e}( x A' A טענה: אם A נל"ר אינסופית אז יש רקורסיבית הערה: הטענה הזאת נכונה גם לקבוצת מכל ממד, אך נוכיח אותה רק למקרה פרטי של קבוצה חד-ממדית g ' נגדיר פונקציה g ( g הוכחה: A נל"ר ולכן יש פונקציה פ"ר כך ש- = A באופן הבא: ( = g( ( + = μ ( ( > ( g' ( g ' g y g y g' ' = g'( נסמן g ( אמ"מ '( ( למעשה g '( היא תת סדרה עולה ממש של אמ"מ A ברור שלכל מתקיים y x g y = x וזה יחס רקורסיבי ( '( y g y = x x A' g לכן '( מכונות טיורינג T = Q, Σ, q, δ כאשר: הגדרה: מכונת טיורינג היא רביעייה Q קבוצה סופית של מצבים Σ קבוצה סופית של אותיות q Q מצב התחלתי ( { } L, δ : Σ Q Σ פונקציית מצבים R Q 3 4 למכונת טיורינג יש סרט אינסופי וראש קורא בכל שלב המכונה קוראת את מה שיש מתחת לראש הקורא, וזזה ימינה או שמאלה או כותבת אות אחרת באותו מקום ועוברת מצב התאם לפונקציית המצבים המכונה מתחילה לפעול תמיד מהמצב ההתחלתי (,, q קונפיגורציה של T היא שלשה כאשר: מקום בסרט : Σ תוכן הסרט q Q המצב שבו במכונה נמצאת 3
( (, q ( x, q' = δ המצב העוקב לו הוא = (,, אם המכונה נמצאת במצב (q כאשר: אז אם ( T = ( mg,, p ( g + x = R m= x = L x Σ p= q' x = x Σ = ( else 3,,, k מסע (או ריצה של T הוא סדרה כך ש- עבור פונקציה : Σ כלשהי = (,, q < k לכל = + ( T T כך שאם מריצים את המכונה על נאמר שהמסע מסתיים אם אין פקודה שמתייחסת לקונפיגורציה האחרונה : פונקציה הסרט נקראת חשיבה טיורינג אם יש מכונת טיורינג מספר ה- -ים על הסרט בסוף הריצה הוא 2 x + x + x + (בפרט המסע אמור להסתיים ( x,, x קבוצת מילים Γ מעל א"ב Σ נקראת כריעה (או רקורסיבית אם קיימת מכונת טיורינג שהריצה שלה על כל מילה ב- Γ מחזירה ועל כל מילה מחוץ ל- Γ היא מחזירה Γ ניתנת למניה רקורסיבית אם יש מכונת טיורינג שרצה על הסרט הריק ומדפיסה את כל המילים מ- Γ ורק אותן (אולי עם חזרות עם סימן הפרדה ביניהן משפטים שלא נוכיח: המושג נל"ר שהגדרנו קודם מתלכד עם קבוצות נל"ר לפי מכונות טיורינג וכנ"ל עבור קבוצות רקורסיביות (, = ( קיימת מכונת טיורינג אוניברסאלית כך ש- T w T w כאשר קוד של מכונת טיורינג קוד של מילה T w כלומר, מריצה את T על w ומחזירה את התוצאה (אם הריצה נגמרת קיימת מכונת טיורינג ( T, w, אשר מריצה את T על w בדיוק צעדים נשים לב שמכונה זו תמיד עוצרת אחרי צעדים 3
סימונים: T הפונקציה מוגדרת באופן הבא: בהינתן קלט -מקומית כל מכונת טיורינג T מגדירה פונקציה x ערך הפונקציה x הוא מספר ה- -ים המופיע על סרט המכונה בריצה שלה על הסרט T ( 2 x + x + x + P לכל תכנית P במכונת RI נסמן ב- את הפונקציה ה- -מקומית שמגדירה התכנית טענה: T T = = P P T לכל לכל ותכנית P יש מכונת טיורינג ומכונת טיורינג T יש תכנית כך ש- P כך ש- הוכחה: : P P במכונת RI נתאר איך פועלת מכונת טיורינג T אשר מחשבת את 2 x + x + x + תהי תכנית בהתחלה הסרט של המוכנה נראה כך צעד ראשון:
תורת המספרים הגדרה: שפת תורת המספרים מורכבת מהסימנים הבאים: הסימנים הלוגיים הרגילים הסימנים הלא לוגיים: קבוע אישי קבוע פעולה חד-מקומי s קבועי פעולה דו-מקומיים, מתפרש כ-, N = המבנה לשפה זו שנעסוק בו הוא מבנה המספרים הטבעיים, +, s,, ובו מתפרשת כפעולת העוקב s ו- ו- מתפרשים כחיבור וככפל בהתאמה s k לכל מספר k נגדיר את שם העצם הקבוע באופן הבא: = ( k + = s k k ל- k k במבנה N כל שם עצם מתפרש כמספר הטבעי נקרא שם מספר k x,, אם ϕ נוסחה עם משתנים חופשיים x N אמ"מ N ϕ k x ו- σ השמה שנותנת ל- את הערך קל לראות ש- ϕ ( k נסמן ב- Ω את התורה מסדר ראשון Ω Th( N מסדר ראשון ידוע שכל המבנים האיזומורפיים ל- N היא תורה שלמה ונקראת האריתמטיקה השלמה הם מודלים ל- Ω D קבוצה חלקית לעולמו של המבנה נאמר הגדרה: תהי L שפה ויהי A מבנה לשפה תהי A ש- D גדירה במבנה אם קיימת נוסחה ϕ ב- L אם משתנה חופשי אחד x כך ש- { : A [ ]} D = a A ϕ a במקרה זה נאמר ש- ϕ מגדירה את D תהי A גדירה ב- D נאמר ש- D A אם קיימת נוסחה ϕ עם משתנים חופשיים כך ש- {(,, : [,, ] } D = a a A A ϕ a a { a} A a איבר A נקרא גדיר אם גדירה פעולה -מקומית במבנה נקראת [,,, ] (,, A ϕ a a a a b גדירה אם יש נוסחה ϕ עם + משתנים חופשיים כך ש- N יחס -מקומי נקרא אריתמטי אם הוא גדיר ב- ע"י נוסחה מסדר ראשון פונקציה נקראת אריתמטית אם הגרף שלה הוא יחס אריתמטי
ℵ ℵ נשים לב שמאחר שיש נוסחאות אך קבוצות חלקיות של, יש קבוצות שאינן גדירות דוגמה: נסתכל על מבנה המספרים הטבעיים קבוצת המספרים הזוגיים גדירה ע"י הנוסחה ψ x = ϕ x x ϕ ( x = y( y y וקבוצת המספרים האי זוגיים גדירה ע"י הנוסחה ( ( ( x, y y s( x ϕ = הקבוצה } {(, + : גדירה ע"י הנוסחה הגדרה: פונקציית β של גדל היא פונקצית תלת-מקומית המוגדרת ע"י ( xyz,, rm ( xy, ( z β = + + d = d = + d,, משפט השאריות הסיני: יהיו d אז לכל סדרה מספרים טבעיים חיוביים וזרים בזוגות יהי ( c d r = rm, כך שלכל c< קיים מספר d מתקיים { r : r < d } d יש בדיוק r < d { r : } הוכחה: סדרה תיקרא טובה אם לכל מתקיים אפשרויות לכל מספר c יש סדרה טובה כאלה d משוום שעבור האיבר ה- בסדרה יש { rm ( cd, : } { rm ( c, d : } { rm ( c', d : } c< c' נראה שלכל < d מתקבל בצורה הנ"ל מאיזה ונקבל שכל סדרה טובה c< d c c' ( cd = ( c d rm, rm ', c< c' ואכן, אם < d םי- ולכל אבל הם זרי בזוגות ולכן מתקיים מתחלק במכפלה שלהם אז, d בסתירה לכך ש- מתחלק בכל אחד c c' < d c c' d מה- { r : r < d } >c ולכן בהינתן סדרה לכן יש d סדרות טובות שמתאימות לכל המספרים d >c כדרוש קיים d c ו- a r,, משפט: יהיו r מספרים טבעיים אזי קיימים מספרים כך שלכל מתקיים ( ca β,, = r ( יהי + + d = a ברור שלכל d a= s! יהי r הוכחה: יהי s מספר הגדול מ- מכל ולכל,, d זרים בזוגות נניח בשלילה ש- p ראשוני מחלק הן את d נראה ש- r < d והם ( כלומר הוא מחלק את, d j d את d j אזי הוא מחלק גם את מחלק את או הוא מחלק את לא מחלק את a j אבל p ראשוני ולכן הוא d ( כי הוא מחלק את + + = a a לכן קיבלנו a s! = a p אבל a j j j והוא גם לא מחלק את סתירה ו- כי זרים בזוגות מחלק את וראינו ש- p לא מחלק את d,, d
( ca β,, = r לפי משפט השאריות הסיני קיים מספר c כך לכל rm למה: היחסים < ו- והפונקציות ו- β הם אריתמטיים ( x y z x+ z = y x< y x+ y ( x y = z ( y = z = x ( z < y u( x = yu+ z ( xyz,, = rm ( xy, ( z+ + rm, β הוכחה: הטענה ברורה מהזהויות הבאות: x + טענה: כל פונקציה פ"ר היא אריתמטית הוכחה: נראה באינדוקציה על בניית הפונקציה ראשית, נוכיח עבור הפונקציות הרקורסיביות היסודיות ( x,, + מוגדרת ע"י הנוסחה Z x x פונקציית האפס = 2 פונקציית העוקב x+ S x = מוגדרת ע"י הנוסחה x sx x 2 ( (,, I מוגדרת ע"י הנוסחה, 3 פונקציית ההטלה x x = x כעת נראה עבור סכמות המעבר: ( ϕ x,, xk, xk+ G פונקציה רקורסיבית ב- k משתנים הגדירה ע"י סכמת ההרכבה: תהי,, H פונקציות רקורסיביות ב- משתנים הגדירות ע"י Hk ותהיינה x ϕ( x,, x x+,, ϕk ( x,, אזי הגרף של הפונקציה המורכבת x+ ϕ( ϕ( x,, ϕ ( x, x+ G( H ( x,, Hk מוגדר ע"י ( x רקורסיה פרימיטיבית: נניח ש- G( x פ"ר ו-,, xyz H ( פ"ר ו-, xy F ( מוגדרת ברקורסיה פרימיטיבית ע"י: F( x, = G( x F ( x, y+ = H( x, y, F( x, y אזי נשתמש בפונקציית גדל כדי להצפין את הסדרה שבעזרתה מחשבים את, x F ( r ולכל,, F ( x, = y אמ"מ קיימת סדרה של מספרים r r כך ש- x = G( מתקיים r את הסדרה הנ"ל ניתן להצפין באמצעות פונקציית גדל לכן + H( x,, r < אמ"מ מתקיימת הנוסחה הבאה: F ( x, = y c a ( = β( a, c, G( x ( < β( a, c, + H( x,, β( a, c, מאחר שהנחנו ש- G ו- H אריתמטיות והוכחנו סגירות להרכבה נקבל ש- F אריתמטית
P xp x מסקנה: כל יחס נל"ר הוא אריתמטי שהרי יחס נל"ר הוא מהצורה ( כאשר פ"ר מסקנה: כל פונקציה רקורסיבית היא אריתמטית שהרי ראינו שאם פונקציה רקורסיבית אז הגרף שלה נל"ר ולכן הוא אריתמטי מסקנות: א ב כל יחס פ"ר ב- הוא אריתמטי כל יחס נל"ר ב- הוא אריתמטי טענה: מחלקת היחסים האריתמטיים היא המחלקה המינימאלית שמכילה את כל היחסי הרקורסיביים וסגורה תחת כל הפעולות הלוגיות (גם קשרים וגם כמתים א הגדרה: נניח שהקשרים היחידים בשפה הם ו- ושאר הקשרים הם רק קיצורים של ביטויים מורכבים יותר כמו כן, נניח שהכמת הכולל הוא הכמת היחיד בשפה והכמת הישי הוא קיצור לסימון ארוך יותר לכל שם עצם בשפה t נגדיר את מספר גדל שלו t# באופן הבא: # r,# t # x 3 = x שמות עצם עם מספרי גדל #= ב ג לכל משתנה יהיו, rt בהתאמה # ( # s r = 2 3 r # r # ( r t = # 4 3 5 # # ( rt = r # 8 3 5 t t לכל נוסחה ϕ בשפה נתאים מספר גדל ϕ# באופן הבא: # r # ( r = t = # 6 3 5 t עבור נוסחאות אטומיות: בהינתן שמות עצם, rt,ϕ נוסחאות בשפה ψ # ( ϕ = # 32 3 ϕ # ϕ # ( ϕ ψ = # 62 3 5 6 + # ( ϕ = # 2 3 x ψ ϕ תהיינה # = p ϕ 3 = # ϕ,, ϕ + עבור סדרה סופית של נוסחאות נצפין אותה ע"י
ז( טענה: הקבוצות הבאות הן רקורסיביות: קבוצת מספרי גדל של שמות עצם קבוצת מספרי גדל של נוסחאות קבוצת מספרי גדל של פסוקים קבוצת מספרי גדל של סדרות סופיות של פסוקים 3 4 טענה: תהי Γ קבוצה כריעה של פסוקים בשפה אזי הקבוצות הבאות כריעות: y Γ קבוצת מספרי גדל של סדרות הוכחה מתוך Γ היחס האומר ש- y מספר גדל של פסוק ו- x מספר גדל של הוכחה של pr ( x, y הגדרה: פונקציית האלכסון המשתנה אחד d מוגדרת באופן הבא: # ϕ # ϕ k = # ϕ = k else ( ( d k ברור ש- d רקורסיבית משום ש- ϕ ( רקורסיבית ו- d היא הגדרה לפי מקרים # ϕ # אינה אריתמטית כלומר, אם (k T פירושו k = # ϕ עבור משפט טרסקי: קבוצת מספרי גדל של Ω ϕ Ω אזי T אינו אריתמטי הוכחה: פונקציית האלכסון היא רקורסיבית ולכן אריתמטית נניח כעת בשלילה ש- T אריתמטי אזי T אריתמטי ולכן (x λ x T d אריתמטית תהי ψ נוסחה בשפה שמגדירה את ( ( x λ x ( T( d( ב- N כלומר, לכל x מתקיים x T( d( נסתכל על ψ ( x Ω אמ"מ ( ( (# ψ T # ψ (# ψ = d T אבל לפי הגדרת T פירוש הדבר ש- ψ אמ"מ (# ψ Ω אזי x = # ψ ψ בסתירה (# ψ Ω N מסקנה: קבוצת מספרי גדל של Ω כריעה אינה כריעה, כלומר קבוצת הפסוקים האמיתיים ב- אינה משפט אי השלמות של גדל: תהי Γ Ω קבוצה כריעה של אקסיומות אזי כלומר, קיים פסוק ב- Ω שאינו ניתן להוכחה מ- Γ "א קיים פסוק אמיתי ב- (Γ Th( אינה שלמה N שאינו ניתן להוכחה
הוכחה א: כל פסוק יכיח במבנה הוא אמיתי וקבוצת מספרי גדל של הפסוקים היחיכים מקבוצת אקסיומות היא כמובן נל"ר נניח בשלילה שכל פסוק אמיתי הוא יכיח אזי קבוצת הפסוקים האמיתיים היא קבוצת הפסוקים היחידים מהאקסיומות ולכן קבוצת מספרי גדל של הפסוקים האמיתיים במבנה היא נל"ר ולכן אריתמטית, בסתירה למשפט טרסקי הוכחה ב: תהי Σ ( k נגדיר את התכונה Σ = Th ( Γ T האומרת ש- k = # ϕ עבור יכיח מ- Γ תכונה זו היא נל"ר ולכן אריתמטית תהי ψ נוסחה בשפה שמגדירה את λ x ( TΣ ב- N לכל x מתקיים ( d( x ϕ כלומר,ϕ Σ T נסתכל על x = # ψ אז Σ T Σ ( d( x ψ ( x Ω אמ"מ ( ( (# ψ Σ # ψ (# ψ T d = T, אבל לפי הגדרת Σ ψ אמ"מ (# ψ Ω יכיח מ- Γ ואילו זה נכון אמ"מ ψ אינו (# ψ ψ פירושו שהפסוק נכון לא ייתכן שהפסוק שקרי משום שאז היינו מקבלים (# ψ Ω שהוא יכיח בסתירה לכן הפסוק אמיתי ולכן אינו יכיח כלומר, מצאנו פסוק אמתי במבנה שאינו נמצא ב- Σ ולכן Σ אינה שלמה Γ הגדרה: תורה Σ נקראת אקסיומטית אם קיימת קבוצה כריעה של אקסיומות כך ש- Σ= Th ( Γ טענה: תורה אקסיומטית היא נל"ר ( Σ = Th תורה אקסיומטית לפי משפט השלמות של גדל Σ היא קבוצת הפסוקים הוכחה: תהי Γ היחיכים מ- Γ לכן k הוא מספר גדל של פסוק ב- Σ אמ"מ קיים l שהוא מספר גדל של הוכחה של הפסוק המוצפן ע"י k אבל התכונה ש- l מצפין הוכחה של k מ- Γ היא רקורסיבית לכן קבוצת מספרי גדל של פסוקי Σ היא נל"ר את קבוצת הנוסחאות בשפה עם Φ הגדרה: בהינתן שפה L נסמן ב- היא קבוצת הפסוקים בשפה משתנים חופשיים למל, Φ הגדרה: תהי Σ תורה בשפת תורת המספרים ויהי P יחס -מקומי על חלש את P ב- Σ אם מתקיים התנאי הבא: לכל ϕ ( x Σ x אמ"מ ש- P מיוצג חלש ע"י ϕ ו- P ניתן לייצוג חלש ב- Σ ϕ Φ מייצגת נוסחה P( x במקרה זה נאמר P( x x ϕ מייצגת חזק את P אם מתקיים התנאי שלכל ϕ x Σ במקרה זה נאמר ש- P מיוצג חזק אז P( x אם אז ϕ Σ ואם ( x ע"י ϕ ו- P ( ניתן לייצוג חזק ב- Σ
אם P ניתן לייצוג חלש ב- Σ אז הוא ניתן לייצוג חזק בכל תורה המכילה את Σ אם Σ עקבית ו- ϕ מייצגת חזק את P אז ϕ מייצגת חלש את P P P מייצגת חלש את ϕ שלמה ו- Σ טענה: 3 4 5 הוכחה: אם אז ϕ מייצגת חזק את בתורה עקבית ושלמה ייצוג חזק וייצוג חלש הם שקולים בתורה Ω יחס P ניתן לייצוג אמ"מ הוא אריתמטי ϕ Σ Γ ( x ( x P( x x P נניח Σ Γ ואם ונניח אז מיוצג חזר ע"י ϕ ב- Σ אזי לכל אז אם ϕ Σ ואם P( x x ϕ Σ Γ ( x P( x נניח Σ עקבית ו- P מיוצג חלש ע"י ϕ אזי לכל אז ϕ Σ מהעקביות של Σ נובע שאם אז אם אז לא יכול להיות ש- ϕ Σ כלומר אם ( x P( x P( x x P( x אמ"מ ϕ ( x ( x P( x Σ ולכן ϕ Σ ( x נניח Σ אז שלמה ו- P מיוצג חזק ע"י ϕ אזי לכל אז לא נכון ש- Σ אמ"מ ϕ אבל מהשלמות נובע ש- ( x P( x ϕ Σ כעת, אם ( x P( x ϕ Σ זאת מסקנה ישירה משני הסעיפים הקודמים Ω היא שלמה ועקבית ולכן אם יחס P ניתן לייצוג אז הוא ניתן לייצוג חלש כלומר, קיימת P( x x אמ"מ, ϕ ( x Ω כלומר P( x אמ"מ N ϕ x וזה נוסחה ϕ כך שלכל בדיוק אומר ש- P אריתמטי מצד שני, אם הוא אריתמטי אז קיימת נוסחה ϕ כך שלכל,N ϕ x כלומר P( x אמ"מ ϕ ( x Ω וזה אומר ש- P ניתן לייצוג P( x x אמ"מ ( x 3 4 5 משפט: תהי Σ תורה אקסיומטית בשפת תורת המספרים כל יחס הוא נל"ר Σ הניתן לייצוג חלש ב- -מקומי ϕ Φ נסתכל על הפונקציה x ( x = # ϕ ( הפונקציה הוכחה: נניח ש- P ניתן לייצוג חלש ע"י היא בוודאי רקורסיבית ומתקיים P x = T x שהרי אם אז ϕ x Σ ולכן P( x ולכן ϕ ( ( x P( x Σ כלומר T Σ (# ϕ ( x ( Σ ( ( T x אז Σ ( ( (# ϕ ( = Σ ( ( T x T x מצד שני, אם Σ אבל P הוא נל"ר משום ש- T Σ נל"ר רקורסיבית ו- משפט: כל יחס רקורסיבי -מקומי הניתן לייצוג חזק בתורה אקסיומטית ועקבית בשפת תורת המספרים הוא
P הוכחה: אם P ניתן לייצוג חזק ע"י ϕ אז היחסים ניתנים ייצוג חלש משפט הקודם ניתן לייצוג חזק ע" ϕ התורה עקבית ולכן שנח הם נל"ר ולכן P כריע P ו- P הגדרה: תורה אקסימטית-סופית היא תורה הנובעת מקבוצה סופית שלאקסיומות בפרט, זו תורה אקסיומטית משפט: קיימת תורה אקסיומטית-סופית החלקית ל- Ω שכל יחס רקורסיבי ניתן לייצוג חזק בה Γ Π = Th הוכחה: נגדיר (Γ ( כאשר היא קבוצת האקסיומות הבאות: x( s ( x / ( ( ( x x s x s x x x 2 2 2 x( x x x x2( x s ( x2 s ( x x2 x( x x x2( xs ( x2 ( xx2 x x( x x ( ( ( x x x s x x x x s x 2 2 2 2 ( x x x x x x 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 כאשר הסימון x y הוא קיצור ל- y z ( x z = נראה שכל יחס רקורסיבי ניתן לייצוג חזק ב- Π Π משפט: אם Δ רקורסיבי תורה אקסיומטית עקבית המכילה את אז כל יחס ניתן לייצוג חזק ב- Δ אמ"מ הוא הוכחה: יחס ניתן לייצוג חזק ב- Δ לפי משפט קודם הוא רקורסיבי ( אם P Π רקורסיבי הוא ניתן לייצוג חזק ב- Π ובגלל ש- Δ מכילה את הוא ניתן לייצוג חזק גם ( אם P ב- Δ T Σ משפט: אם Σ תורה שבה כל יחס רקורסיבי ניתן לייצוג חלש, אז אינה רקורסיבית
T Σ רקורסיבית אזי התכונה הוכחה: נניח בשלילה ש- ניתנת לייצוג חלש ב- Σ ע"י נוסחה כלשהי ( Σ ( ( λ x T d x גם היא רקורסיבית ולכן x כלומר לכל,ϕ Φ מתקיים Σ ( d( x Σ ϕ אמ"מ # ( # ( (# ϕ Σ אז x = # ϕ בפרט זה נכון עבור ϕ ( x Σ אמ"מ ϕ בסתירה (# ϕ Σ T אמ"מ T ϕ ϕ ולי ההגדרה זה נכון T Σ מסקנה: אם Σ תורה עקבית שבה כל יחס רקורסיבי ניתן לייצוג חזק, אז אינה רקורסיבית הוכחה: בגלל שהתורה עקבית, אם יחס ניתן לייצוג חזק אז הוא ניתן לייצוג חלש ולכן זה נובע מיידית מהמשפט הקודם T Σ Π מסקנה: אם Σ תורה עקבית המכילה את אז אינה רקורסיבית הוכחה: ראינו שבכל תורה עקבית המכילה את Π כל יחס רקורסיבי ניתן לייצוג חזק T Σ משפט: אם Σ תורה כך ש- Σ Π עקבית, אז אינה רקורסיבית { } =Δ ϕ Φ : ϕ זאת קבוצת הפסוקים שנובעים מ- Σ Π Π מתקבלת ע "י הוכחה: נסמן Σ Π מספר סופי של אקסיומות אזי יהי π הגימום של כל האקסיומות הללו אז מתקיים { ϕ π ϕ } π ϕ לכן Σ אמ"מ ϕ Δ לכן Σ π ϕ אמ"מ Σ,π ϕ אבל Δ= Φ :, Σ # π T ( x T ( 64 3 5 x ומכאן שאם T רקורסיבית אז גם T רקורסיבית אבל Δ היא תורה עקבית Δ Σ Δ = Σ שמכילה את Π ולכן T Δ אינה רקורסיבית לכן T Σ אינה רקורסיבית מסקנה: כל תורה חלקית ל- Ω אינה רקורסיבית Σ T Σ הוכחה: תהי Σ Ω אזי Σ Π Ω עקבית לכן אינה רקורסיבית ולכן אינה רקורסיבית משפט צ'רץ': קבוצת הפסוקים האמיתיים לוגית בשפת תורת המספרים אינה רקורסיבית הוכחה: קבוצת הפסוקים האמיתיים לוגית בשפת תורת המספרים היא קבוצה חלקית ל- Ω רקורסיבית ולכן אינה
דוגמה: נסתכל על המבנה, +, A = לכאורה הוא דל יותר מ- N אך למעשה הם שקולים משום שכל הפריטים החסרים מ- N גדירים ב- : A גדיר ע"י הנוסחה x + x x ( x x x y גדיר ע"י הנוסחה גדיר ע"י s ( = x+ s x N אז A שקול ל- ולכן גם קבוצת הפסוקים האמיתיים לוגית ב- A אינה כריעה משפט: בכל שפה המכילה שני קבועי פעולה דו-מקומית קבוצת הפסוקים האמיתיים לוגית אינה כריעה הוכחה: נניח בשלילה שקבוצת הפסוקים האמיתיים לוגית ב- A L היא כריעה נסתכל על שני קבועי,g קבוצת פסוקי השפה שלא מופיעים פעם קבועי פעולה פרט ל- g2,g היא מעולה דו-מקומית g2 כמובן כריעה ולכן החיתוך של A עם קבוצה זו הוא כריעה אבל חיתוך זה הוא בדיוק קבוצת הפסוקים האמיתיים לוגית בשפת המבנה, +, וזו סתירה למה שראינו קודם דוגמה: תסכל במבנה B =, E E כאשר y x = xey במבנה B מוגדרות גם פעולת החיבור וגם פעולת הכפל: z x y ( ( z x y ( z = x y w w w z = x+ y w w = w w היא פונקציית החזקה מורחבת כך ש- = E נסמן לכן B שקול ל- A מהדוגמה הקודמת וקבוצת הפסוקים הנכונים לוגית ב- B אינה כריעה משפט צ'רץ' המתוגבר: קבוצת הפסוקים האמיתיים לוגית בשפה המכילה קבוע פעולה דו-מקומית אחד אינה כריעה, +, הוכחה: בדומה למשפט הקודם אז בשימוש במבנה, E במקום משפט נקודת השבת של גדל: תהי Σ האלכסון ניתנת לייצוג חזק בה אז לכל תורה עקבית בשפת תורת המספרים אשר פונקציית # ϕ נמצא ב- ψ ψ כך שהפסוק ψ קיים פסוק ϕ Φ Σ
δ נוסחה עם שני משתנים חופשיים שמייצגת חזק את ( x = y( ( x, y ( y χ δ ϕ נגדיר (# ב- Σ מספיק ( x, y נוסחה נניח ש- ϕ Φ הוכחה: תהי פונקציית האלכסון d ב- Σ נסתכל על הנוסחה במשתנה אחד ϕ ψ ψ נראה ש- ψ = δ χ ϕ Σ y ( ( #, y ( y פסוק χ, ψ = χ( # כלומר להראות ש- ψ Σ { ψ } ϕ( # וש- ψ ( ψ ϕ( #, שהרי הפסוק מימין שקול נסמן ואכן, δ ψ נקבל Σ { ψ} y ( δ (# χ, y ( ϕ( y ψ : Σ { ψ } ϕ( # ברור ש- α = y( δ (# χ, y ( ϕ( y (( ל- ψ נסמן Σ y( δ ( χ, y y = d( # χ d לכן δ מייצגת ב- Σ את פונקציית האלכסון β = y( δ ( χ, y y = d( # χ כך ש- χ,y δ (# וגם y ϕ ( ומ- β נובע ש-( y = d( # χ לכן y מ- α נובע שקיים χ α, β ϕ( # χ( # או ψ α, β ϕ( # ולכן χ, α, β ϕ( d ( כלומר Σ { ψ } ϕ( # ψ Σ { y ( δ ( χ, ϕ( y } ϕ( # ψ מספיק להראות ש- : Σ ( ψ ϕ( # ψ ( ( δ Σ לכן # χ,# χ # χ מייצגת ב- Σ את פונקציית האלכסון ולכן ( ( ( ( } ( ( δ Σ { y( לפי ההגדרה של # χ, y ϕ y δ # χ,# χ # χ ϕ # χ # χ y Σ { y( δ (# χ, y ϕ( לכן } δ (# χ,# χ( # χ ש- ψ ϕ( # χ Σ ( ψ δ (# χ,# χ( # בגלל ש-(( ( ( δ Σ נקבל ש- χ,# χ # χ ϕ( # ψ Σ ( ψ ϕ( # ψ משפט טרסקי המוכלל: תהי Σ תורה עקבית בשפת תורת המספרים שבה פונקציית האלכסון d ניתנת לייצוג חזק אזי קבוצת מספרי גדל של הפסוקים ב- Σ אינה ניתנת לייצוג חזק ב- Σ הוכחה: תהי A קבוצת מספרי גדל של הפסוקים ב- Σ נניח בשלילה שהנוסחה ϕ מייצגת חזק את # נמצא ב- Σ מתקיים אחד ϕ ψ ψ כך ש- ψ לפי משפט נקודת השבת של גדל קיים פסוק A מהשניים: ψ Σ או ψ Σ Σ אינו ב- ϕ (# ψ ובגלל ש- Σ עקבית בסתירה להנחה ש- ϕ מייצגת Σ ב- ϕ (# אם ψ Σ אז ψ חזק את A A אם ϕ Σ אז ψ# אינו מספר גדל של פסוק ב- Σ ולכן אינו ב- A אבל ϕ מייצגת חזק את ולכן (# ψ ϕ Σ ומכאן ש- ψ Σ בסתירה בכל מקרה קיבלנו סתירה ולכן A אינה ניתנת לייצוג חזק ב- Σ
Σ משפט אי השלמות המוכלל של גדל: תהי Σ תורה אקסיומטית עקבית בשפת תורת המספרים המכילה את Π אז Σ אינה שלמה, כלומר קיים פסוק σ בשפה שהוא ושלילתו אינם ב- Σ T Σ הוכחה: תהי T Σ נל"ר תהי קבוצת מספרי גדל של הפסוקים ב- Σ ידוע ש- { : ϕ (# ϕ }, A = Φ כלומר קבוצת המספרים שאינם מספרי גדל של פסוקים תהי כלומר קבוצת המספרי גדל של פסוקים ששלילותיהם נמצאות ב- Σ אם T Σ c A { Σ ( }, B = : T 32 3 A c A c T A B שלמה, אז = Σ ולכן היא כמובן רקורסיבית ולכן גם נל"ר מכאן ש- B נל"ר ולכן גם רקורסיביות ובפרט הן נל"ר נל"ר c T = Σ נל"ר קיבלנו ש- T ומשלימתה נל"ר A Σ B Σ היא לא רקורסיבית לכן Π { : T ( 32 3 } Σ T Σ ולכן אינה שלמה רקורסיבית אבל תורה אקסיומטית ועקבית שמכילה את משפט האי שלמות השני של גדל (ללא הוכחה: אם Σ תורה אקסיומטית עקבית בשפת תורת ( Σ = T Σ ( ( / co # co ( Σ Σ המספרים המכילה את Π אז כאשר
תורת המודלים F 2 A הגדרה: תהי A הבאים: קבוצה תת קבוצה לא ריקה תיקרא פילטר (מסנן אם מתקיימים התנאים אז A B F B C אז ו- C F A, B F B F F F סגורה לחיתוך: אם F סגורה להרחבות: אם 3 ברור מההגדרה שלא יכולות להיות במסנן קבוצות זרות, שכן אם =B A היינו מקבלים ש- F B B A באינדוקציה קל להראות ש- F סגורה לחיתוכים סופיים F משום שלכל A כמו כן, F דוגמאות: לכל קבוצה תהי הקבוצה A { A} היא מסנן { : } F = C B C A היא מסנן על A ברור C B אז קבוצת כל ההרחבות שלה A E וגם C D אז D, E ש- F משום / ש- B אם F D E F ובוודאי F סגורה להרחבות לפי ההגדרה נשים לב שהפילטר הזה סגור גם לחיתוכים אינסופיים שהרי אם Bα F ולכן C B α לכן בוודאי C D E B α F לכל α I α I α I אז ו- אז לפי ההגדרה תהי A קבוצה אינסופית אזי קבוצת כל תתי הקבוצות בעלות משלים סופי היא פילטר ברור ש- אינה בעלת משלים סופי שהרי המשלים הוא A כעת, אם, BC בעלות משלים סופי ( c c c B C = B C וזאת קבוצה סופית ומכאן ש- B C בעלת משלים סופי ובוודאי שאם B בעלת משלים סופי ו- A B C אז C בעלת משלים סופי תהי a נקודה במרחב טופולוגי X קבוצת כל הסביבות של a היא פילטר על X 3 4 { C: B C A} הגדרה: בהינתן A ו- A B הפילטר נקרא פילטר ראשי דוגמה: קיימים גם פילטרים לא ראשיים תהי A קבוצה אינסופית כלשהי קבוצת תתי הקבוצות של A בעלות משלים סופי F אינה פילטר ראשי תהי A סדרה אינסופית של איברים שונים נסתכ על הקבוצות ( a \{ } A = A a לכל A F ברור ש- משום שלכל מתקיים A c = { a } A ומצד שני, F משום שהמשלים שלה אינו סופי ומכיל את כל ( a עוד דוגמה לפילטר לא ראשי היא קבוצת כל הסביבות של נקודה ב-, שהרי לא קיימת סביבה שמוכלת בכל הסביבות
F F' F ' הגדרה: פילטר F נקרא אולטרה-פילטר אם הוא מקסימלי, כלומר אין פילטר כך ש- B F B A F טענה: יהיו A c B F קבוצה ו- F פילטר עליה אזי אולטרה-פילטר אמ"מ לכל או או הוכחה: B נסתכל על c B ( נניח ש- F אולטרה-פילטר תהי B A אם גם F B וגם F בה"כ, F ' = F { C: B C A} C : כלומר זוהי ( C F B C A הקבוצה = הרחבה של F לפילטר שמכיל את B אבל F מקסימלי ו- 'F F בסתירה B לכן c F B F או או B A אבל לפי ההנחה לכל B F'\ ( נניח ש- F' F אזי קיימת F c B F ולכן ' בסתירה c B F a A A טענה: פילטר F על הוא ראשי אמ"מ קיים F = { B: כך ש-{ A a B הוכחה: ( ( ברור מההגדרה של פילטר ראשי A טענה: אם A קבוצה סופית ולא ריקה אז כל פילטר על הוא פילטר ראשי B מצד שני, לפי F B כך ש- C הוכחה: יהי F פילטר על A נסתכל על B = C זהו חיתוך סופי ולכן C A C F B הגדרת B נובע ש- C C F סגור להרחבות ולכן לכל לכל F מתקיים { : } F = C B C A לכן C F A טענה: תהי A קבוצה אינסופית אולטרה-פילטר F שמשלימתה סופית על הוא לא ראשי אמ"מ הוא מכיל כל קבוצה הוכחה: ( (
מסקנה: אם F הוא הפילטר על A שאיבריו הם הקבוצות בעלות משלימים סופיים אז כל אולטרה- פילטר שמכיל את F הוא לא ראשי משפחת התת קבוצות הסופיות של A לכל α I נסמן I { : α ( α } I טענה: תהי A קבוצה אינסופית תהי F = B I I X B הקבוצה F היא פילטר על { I : } Xα = β α β תהי F כך ש- A על יש אולטרה-פילטר A משפט: יהי F פילטר על קבוצה לא ריקה D כמובן, D F הוכחה: תהי D קבוצת כל הפילטרים על A אינה ריקה כי F D שמכילים את הוא סדר חלקי על 2 תהי C שרשרת ב- D קל לראות שאיחוד איברי C הוא פילטר שמכיל את F והוא חסם מלעיל ל- C 3 אז לכל שרשרת ב- D יש חסם מלעיל ב- D ולכן לפי הלמה של צורן יש ב- D איבר מקסימלי הוא פילטר שמכיל את F ואינו מוכל באף פילטר אחר (כי אחרת הוא לא היה מקסימלי לכן הוא אולטרה-פילטר שמכיל את F I L { : הגדרה: תהי {I סדרת מבנים לשפה כאשר קבוצת אינדקסים כלשהי ו- הוא I אולטרה-פילטר על יהי העולם של קבוצה זו ( I : I היא קבוצת הפונקציות מהצורה מתקיים כך שלכל I באופן הבא: ~ g I אינה ריקה בגלל אקסיומת הבחירה נגדיר יחס ~ על אמ"מ I { : ( (} I = g ברור שזהו יחס שקילות: g ~ ~ ולכן { I : ( = ( } = I ~ g ולכן אם { I : ( = g( } = { I : g( = ( } { I : ( = g( וגם } אז g ~ ו- ~ g אבל } ( ( : { } ( = ( : { ולכן ~ h רפלקסיביות: סימטריות: טרנזיטיביות: אם אז { : ( (} I g = h A B I = h ומהסגירות A בגלל סגירות לחיתוך נקבל ש- B להרחבות I h I היא קבוצת מחלקות השקילות לפי היחס ~ על = I תת קבוצה סדורה לינארית תהי A קבוצה סדורה חלקית שלכל שרשרת בה יש חסם מלעיל ב- A אזי יש ב- A איבר מקסימלי 2 3