NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ

Transcript

1 Έστω µάζα m. Στη µάζα κάποια στιγµή ασκούνται δυο δυνάµεις. ( Βλ. σχήµα:) Ποιά η διεύθυνση και ποιά η φορά κίνησης της µάζας; F 1 F γ m F 2 ιατυπώστε αρχή επαλληλίας. M την της Ποιό φαινόµενο ονοµάζουµε συµβολή κυµάτων; εν υπακούουν όλα τα κύµατα στην αρχή της επαλληλίας. Αυτά που δεν υπακούουν είναι τα µη γραµµικά κύµατα. Η µάζα θα κινηθεί στη διεύθυνση και τη φορά τη συνισταµένης δύναµης F. εν θα κινηθεί ούτε στη διεύθυνση της δύναµης F 1 ούτε στη διεύθυνση της άλλης δύναµης, F 2. ( Το τελικό όµως αποτέλεσµα είναι ακριβοδίκαιο. Η τελική κίνηση της µάζας θα περιέχει την επίδραση και των δυο δυνάµεων ). Έστω τώρα ότι σ' ένα µέσο, Μ, διαδίδονται δυο ή παραπάνω κύµατα. Ποιά η συνολική διαταραχή σ' ένα σηµείο του µέσου. Από ποιά σχέση θα προκύπτει η συνολική αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας µιας στοιχειώδους µάζας ελαστικού µέσου, στην περίπτωση που έχουµε τη διάδοση σ αυτό περισσότερων του ενός εγκάρσιων κυµάτων; Ποιά είναι η ένταση του συνιστάµενου ηλεκτρικού πεδίου, στην περίπτωση που οι διαταρχές που προστίθενται είναι ηλεκτροµαγνητικά Την απάντηση στο παραπάνω ερώτηµα µας δίνει η αρχή της επαλληλίας, η οποία ορίζει. "Η συνολική διαταραχή, κάθε χρονική στιγµή, θα βρεθεί αν προσθέσουµε τις διαταραχές που θα είχαµε στο σηµείο αυτό εάν κάθε κύµα θα διαδίδετο στο µέσο µόνο του, χωρίς την παρουσία των υπολοίπων". ( Εάν έχουµε τη διάδοση δυο εγκάρσιων κυµάτων σ' ένα µέσο η συνολική µετατόπιση θα προκύψει από τη διανυσµατική πρόσθεση των µετατοπίσεων που κάθε κύµα θα προκαλούσε στη στοιχειώδη µάζα αν µόνο αυτό διαδιδόταν στο χώρο). Το αποτέλεσµα της πρόσθεσης κυµάτων που διαδίδονται στο ίδιο µέσο, λέγεται συµβολή των κυµάτων. (Τα κύµατα είναι της ίδιας φύσης ). ( Η συµβολή είναι φαινόµενο που παρηρείται στα µηχανικά και στα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα).

2 Ας δούµε το µηχανισµό διάδοσης ενός εγκάρσιου κύµατος. Κάθε έγκάρσιο ή γενικώτερα µηχανικό κύµα, επιτυχγάνει τη διάδοσή του µε την επιβολή δύναµης σε κάθε δοµική µονάδα του µέσου. Στη περίπτωση διάδοσης δυο ή περισσοτέρων κυµάτων στο ίδιο µέσο αυτό σηµαίνει, ότι λόγω του κάθε κύµατος, η δοµική µονάδα του µέσου, m, δέχεται και διαφορετική δύναµη. Η δοµική µονάδα θα κινηθεί στη διεύθυνση και τη φορά της συνισταµένης των δυνάµεων που ασκούνται. F 1 m F 2 Συµβολή κυµάτων που διαδίδονται στο ίδιο µέσο και έχουν: Την ίδια διεύθυνση διάδοσης, την ίδια συχνότητα, το ίδιο πλάτος, αλλά αντίθετη φορά διάδοσης. x O = 0 x O x K 1 K 2 Έστω η ευθεία x'x. Πάνω στην ευθεία διαδίδονται δυο κύµατα Κ 1, Κ 2 που διαφέρουν µόνο στη φορά διάδοσης. Θεωρούµε ότι το σηµείο O, είναι σηµείο συνάντησης των δυο κυµάτων τη χρονική στιγµή t=0. Σε σηµείο Α της ευθείας y 1 θα ήταν η αποµάκρυνση λόγω του κύµατος Κ 1 και y 2 η αποµάκρυσνη λόγω του κύµατος Κ 2. Η τελική αποµάκρυνση του σηµείου θα προκύψει από τη σχέση: y = y 1 + y 2. y 1 = y o ηµ2π t T x λ y 2 = y o ηµ2π t T + x λ y = y 1 + y 2 y = y o ηµ2π t x T λ +ηµ2π t + x T λ ηµ +ηµ = 2 ηµ + 2 συν 2 Εξίσωση στάσιµου κύµατος: y = 2y o συν 2π x λ ηµ 2π t T

3 Εξίσωση στάσιµου κύµατος: y = 2y o συν 2π x λ ηµ 2π t T K K Πώς προκύπτει το στάσιµο κύµα; Y = 2y o συν 2π x λ Ποιά σηµεία του στάσιµου κύµατος λέγονται δεσµοί. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: α) Η συµβολή δυο κυµάτων, που έχουν το ίδιο πλάτος ταλάντωσης, την ίδια συχνόντητα ν, που διαδίδονται στην ίδια διεύθυνση και διαφέρουν µόνο στη φορά διάδοσης, δηµιουργεί το στάσιµο κύµα. Το στάσιµο δεν είναι κύµα, απλά σηµαίνει ταλάντωση των σηµείων του µέσου. β) Τα σηµεία του µέσου εκτελούν αρµονική ταλάντωση που το πλάτος Υ, τους είναι συνηµιτονοειδής συνάρτηση του x, της απόστασης δηλ. από την αρχή των µετρήσεων Ο. γ) Υπάρχουν σηµεία που µένουν ακίνητα, αυτά τα σηµεία λέγονται δεσµοί,, του στάσιµου κύµατος. Πράγµατι όταν: Y = 2y o συν 2π x λ = 0 συν 2π x λ = 0 2π x λ =κπ+ π 2 x = (2κ+1) λ, κ=0, 2, 3,... 4 Ποιά σηµεία του στάσιµου κύµατος λέγονται κοιλίες. δ) Υπάρχουν σηµεία που ταλαντώνονται µε µέγιστο πλάτος και ονοµάζονται κοιλίες, Κ, του στάσιµου κύµατος.τα σηµεία αυτά ικανοποιούν την εξής σχέση: Y = 2y o συν 2π x λ συν 2π x λ =±1 Y = 2y o 2π x λ =κπ x = 2κ λ, κ=0, 2, 3,... 4 ε) Όλα τα υπόλοιπα σηµεία που δεν είναι ούτε δεσµοί ούτε κοιλίες, ταλαντώνονται µε σταθερό πλάτος που έχει τιµή µεγαλύτερο από µηδέν και µικρότερο από την τιµή 2y o.( 0<Υ<2y o )

4 Ποιά η απόσταση µεταξύ δυο διαδοχικών δεσµών ενός στάσιµου ζ) Έστω οι διαδοχικοί δεσµοί Α,Β του στάσιµου κύµατος. Ισχύει: Εάν: x = (2κ+1) λ 4 d = x x Τότε: x = [2(κ+1) + 1] λ 4 d = 2κ λ λ 4 2κ λ 4 λ 4 = 2 λ 4 = λ 2 ηλαδή δυο διαδοχικοί δεσµοί ενός στάσιµου κύµατος απέχουν απόσταση που είναι ίση µε το µισό µήκους του κύµατος. λ 2 Γ Ποιά η απόσταση µεταξύ δυο διαδοχικών κοιλιών ενός στάσιµου Εάν: x = 2κ λ Γ 4 λ 2 ζ) Έστω οι διαδοχικές κοιλίες Γ, του στάσιµου κύµατος. Ισχύει: Τότε: x = 2(κ+1) λ 4 d = x x Γ d = 2κ λ λ 4 2κ λ 4 = 2 λ 4 = λ 2 ηλαδή δυο διαδοχικές κοιλίες ενός στάσιµου κύµατος απέχουν απόσταση που είναι ίση µε το µισό µήκους του κύµατος. Σηµείωση: Τα στάσιµα κύµατα παρατηρούνται στα εγκάρσια και διαµήκη µηχανικά κύµατα αλλά και στα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Στάσιµα κύµατα δεν δηµιουργούν τα µη γαρµµικά κύµατα τα οποία εξ' άλλου δεν υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας.

5 Στάσιµα κύµατα σε χορδή. 1. Όταν η χορδή έχει σταθερά και τα δυο άκρα της. = L L θεµελιώδης συχνότητα δεύτερη αρµονική τρίτη αρµονική ιεγείρουµε τη χορδή, αποµακρύνοντας ένα τµήµα της από τη θέση ισορροπίας. Το κύµα που παράγεται, ανακλάται στα σταθερά σηµεία κι' έτσι έχουµε κάποια στιγµή στη χορδή τη διάδοση δυο κυµάτων: του αρχικά δηµιουργηµένου και του ανακλώµενου. Το αποτέλεσµα της συµβολής των δυο αυτών κυµάτων είναι στάσιµο κύµα, αφού τα δυο αυτά κύµατα έχουν την ίδια συχνότητα, το ίδιο πλάτος, την ίδια διεύθυνση διάδοσης αλλά αντίθετη φορά. Αυτό που παρατηρούµε τελικά είναι: 1.Τα ακλόνητα σηµεία της χορδής είναι δεσµοί. 2. Η συχνότητες ταλάντωσης της χορδής µε σύγχρονη παραγωγή στάσιµων κυµάτων δεν µπορεί να είναι άπειρες. Η χορδή µπορεί να ταλαντωθεί µόνο µε ορισµένες συχνότητες που λέγονται ιδιοσυχνότητες, αρµονικές, της χορδής. Οι ιδιοσυχνότητες ν, της χορδής συνδέονται µε το µήκος του νήµατος L και την ταχύτητα U, διάδοσης του κύµατος µε τη σχέση. ( Η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος είναι σταθερή για συγκεκριµένη χορδή, εξαρτάται δε, από τη δύναµη µε την οποία είναι τεντωµένη και από την γραµµική της µάζα ). ν κ = κ U, κ=1, 2, 3,... 2 L 2. Όταν η χορδή έχει σταθερό µόνο το ένα άκρο της. α) Στην περίπτωση αυτή το σταθερό άκρο είναι δεσµός ενώ το ελεύθερο άκρο κοιλία. β) Το µήκος της χορδής L, είναι πάντα περιττό πολλαπλάσιο του ενός τετάρτου του κύµατος λ. ηλ. L = n λ, n = 1, 3, 5,... 4

6 Ένα στάσιµο κύµα µεταφέρει ενέργεια; Εκείνο που κύρια διαφοροποιεί το στάσιµο κύµα από τα τρέχοντα κύµατα, εκείνη η ιδιότητα που µας επιτρέπει να λέµε ότι το στάσιµο κύµα καταχρηστικά ονοµάζεται κύµα, είναι το γεγονός ότι αυτό δε µεταφέρει ενέργεια. Η ενέργεια δεν µπορεί να διαδοθεί αφού η παρουσία των δεσµών, που είναι συνεχώς ακίνητοι, δεν επιτρέπουν τη µεταφορά ενέργειας. Η ενέργεια ταλάνωσης κάθε σωµατιδίου, στο στάσιµο κύµα, παραµένει σταθερή αφού το πλάτος ταλάντωσης κάθε σωµατιδίου είναι σταθερό. Η ενέργεια παραµένει στάσιµη µέσα στο χώρο του στάσιµου κύµατος και το µόνο που παρατηρούµε είναι τις εναλλαγές της από δυναµική σε κινητική και το αντίστροφο, όπως αυτό συµβαίνει στις ταλαντώ- σεις. Ποιές οι ιδιότητες ενός στάσιµου κύµατος; Ιδιότητες στάσιµου κύµατος. 1. Όλα τα σηµεία του µέσου διάδοσης που βρίσκονται µεταξύ δυο δεσµών, πχ.α,β, κινούνται όλες τις χρονικές στιγµές µε ταχύτητα ίδιας φοράς. 2. Τα παραπάνω σηµεία φθάνουν ταυτόχρονα στις θέσεις µέγιστης αποµάκρυσνης και ταυτόχρονα περνάνε από τη θέση ισορροπίας. 3. Επειδή συµβαίνουν τα παραπάνω αυτό σηµαίνει ότι όλα τα σηµεία µεταξύ δυο δεσµών βρίσκονται σε συµφωνία φάσης. 4. ύο σηµεία που βρίσκονται εκετέρωθεν του ίδιου δεσµού, π.χ.α, κινούνται όλες τις χρονικές στιγµές µε αντίθετη φορά. ( Η διεύθυνση κίνησής τους είναι πάντα ίδια). 5. Τα σηµεία που βρίσκονται εκετέρωθεν ενός δεσµού, φθάνουν ταυτόχρονα στα σηµεία µέγιστης αποµάκρυνσης και ταυτόχρονα περνάνε από τη θέση ισορροπίας. 6. Επειδή ισχύουν οι παρατηρήσεις 4,5, λέµε ότι τα σηµεία που είναι εκετέρωθεν ενός δεσµού βρίσκονται σε αντίθεση φάσεως. 7. Με βάση τις παρατηρήσεις, για δυο σηµεία του µέσου µπορεί να ισχύει ένα από τα παρακάτω: α) Είναι ακίνητα, αν και τα δυο είναι δεσµοί. β) Βρίσκονται σε αντίθεση φάσεως. γ) Βρίσκονται σε συµφωνία φάσεως. 8. Στο στάσιµο κύµα δεν έχουµε µετάδοση ενέργειας. Η ενέργεια που δίνει η πηγή - παραγωγός τους κύµατος, µοιράζεται σ' όλα τα σηµεία του µέσου και στη συνέχεια κάθε σηµείο διατηρεί την ενέργειά του.

7 Ποιές οι διαφορές ενός στάσιµου και ενός τρέχοντος κύµατος; Οι διαφορές ενός στάσιµου και ενός τρέχοντος κύµατος είναι: 1. Το τρέχον κύµα µεταφέρει ενέργεια ενώ το στάσιµο όχι. 2. Στο τρέχον κύµα δεν υπάρχουν σηµεία στα οποία η διατραχή είναι κάθε χρονική στιγµή µηδέν. Η αλλιώς στο τρέχον κύµα δεν υπάρχουν σηµεία του µέσου που παραµένουν συνεχώς ακίνητα. Στο στάσιµο κύµα υπάρχουν σηµεία που η διαταραχή είναι µηδέν κάθε χρονική στιγµή. ( Ακίνητα σηµεία του µέσου, αν πρόκειται για µηχανικό κύµα, ένταση ηλεκτρικού πεδίου ε=0, αν πρόκειται για στάσιµο ηλεκτροµαγνητικό κύµα ). 3. Στο τρέχον κύµα έχουµε τη διάδοση µιας διαταραχής, σαν κύµα που είναι. Το στάσιµο κύµα καταχρηστικά λέγεται κύµα αφού δεν µεταφέρεται κάποια διαταραχή. 4. Στο τρέχον κύµα σηµεία που απέχουν απόσταση µικρότερη του µήκους κύµατος δεν µπορεί να βρίσκονται σε συµφωνία φάσης. Αντίθετα στο στάσιµο κύµα σηµεία που απέχουν απόσταση µικρότερη του µήκους κύµατος λ, σηµεία µεταξύ δυο δεσµών, βρίσκονται σε συµφωνία φάσης. 5. Η διαταραχή, αποµάκρυνση, παίρνει την τιµή µηδέν σε διαφορετικές στιγµές στο τρέχον κύµα ενώ αυτό συµβαίνει ταυτόχρονα για όλα τα σηµεία στο στάσιµο κύµα. 6. Στο τρέχον κύµα, τα σηµεία φθάνουν στη µέγιστη αποµάκρυνση, ή αλλιώς η διαταραχή παίρνει τη µέγιστη τιµή της, σε διαφορετικές χρονικές στιγµές. Αντίθετα στο στάσιµο κύµα ταυτόχρονα όλα τα σηµεία έχουν µέγιστη κατά µέτρο αποµάκρυσνη, ή αλλιώς η διαταραχή παίρνει τη µέγιστη κατά µέτρο τιµή της σε όλα τα σηµεία του στάσιµου κύµατος. Y = 2y o συν 2π x λ 7. Στο τρέχον κύµα όλα τα σηµεία του µέσου διάδοσης έχουν το ίδιο πλάτος ταλάντωσης. Αντίθετα στο στάσιµο κύµα το πλάτος ταλάντωσης των σηµείων του µέσου παίρνει τιµές από µηδέν, δεσµός, µέχρι την τιµή 2y o, κοιλία και εξαρτάται από τη θέση τους.