ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου

Transcript

1 ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου

2 ΧΡΗΣΗΤΟΥ ΤΟΥΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ SALSAJ ΓΙΑΤΟΝ ΤΟΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣΜΑΖΑΣ ΜΑΖΑΣΤΟΥ ΙΑ

3 ΣΤΟΧΟΣΤΗΣ ΤΗΣΑΣΚΗΣΗΣ Οι µαθητές µε τη χρήση του λογισµικού, αναλύοντας εικόνες του ία και των δορυφόρων του, πρέπει: Να διαπιστώσουν την ύπαρξη των δορυφόρων Να υπολογίσουν την ακτίνα και την περίοδο περιφοράς τους γύρω από το ία Να υπολογίσουν την µάζα του ία.

4 ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣΓΝΩΣΕΙΣ Χρησιµοποιούµε γνώσεις της Α Λυκείου και συγκεκριµένα τον νόµο της Παγκόσµιας Έλξης, της Κεντροµόλου ύναµης και σχέσεις από την οµαλή κυκλική κίνηση Έτσι όταν γνωρίζουµε ότι ένα σώµα περιστρέφεται γύρω από ένα άλλο πολύ µεγαλύτερης µάζας, µπορούµε να ισχυριστούµε ότιη τροχιά του είναι σχεδόν κυκλική µε κέντρο το µεγαλύτερο.

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣΣΧΕΣΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣΠΟΥ Τη σχέση για την παγκόσµια έλξη: ΧΡΕΙΑΖΟΜΑΣΤΕ M Jm F = G r 2 S Τη σχέση της κεντροµόλου δύναµης: F k = m v S r 2 Εξισώνουµε τις δύο σχέσεις: M m F = FK G = r m v J S S 2 r 2

6 Επιλύουµε την παραπάνω εξίσωση ως προς την µάζα του ία και καταλήγουµε στη µαθηµατική σχέση που θα µας βοηθήσει στον υπολογισµό της µάζας του: M J 2 G v M J r = = 2 v r G Όπου rηακτίνα περιστροφής του δορυφόρου,v η ταχύτητά του δορυφόρου και G ηπαγκόσµια σταθερά του Newton.

7 Γνωρίζοντας ότιη σχέση µεταξύ γραµµικής και γωνιακής ταχύτητας είναι: Και ότι : v =ωr 2π ω= Τ Η τελική σχέση παίρνει την µορφή: M J = 4π r GT Αν προσδιορίσουµε την ακτίνα της τροχιάς και την περίοδο ενός από τους δορυφόρους του ία µπορούµε να υπολογίσουµε και την µάζα του

8 ΤΙΠΡΕΠΕΙ ΠΡΕΠΕΙΝΑΚΑΝΟΥΜΕ Για να προσδιορίσουµε την ακτίνα και την γωνιακή ταχύτητα ενός από τους δορυφόρους, πρέπει να µετρήσουµε τη γωνιακή απόσταση των δορυφόρων από τον ία σε διαδοχικές φωτογραφίες και να γνωρίζουµε το χρονικό διάστηµα µεταξύ των φωτογραφιών. Αυτό θα ήταν ευκολότερο εάν συγκεντρώναµε όλες τις πληροφορίες από τις διαφορετικές θέσεις των δορυφόρων σε µια εικόνα. Πράγµα που µπορούµε να καταφέρουµε αφαιρώντας και προσθέτοντας εναλλάξ τις εικόνες µεταξύ τους.

9 ΕΙΚΟΝΕΣ Για να πετύχουµε τον στόχο µας θα χρησιµοποιήσουµε έξι εικόνες του ία και των δορυφόρων του που θα τις επεξεργαστούµε µε το πρόγραµµα SalsaJ. Ανοίγω τις 6 εικόνες µε το SalsaJ Επιλέγω: Εικόνα > προσαρµογή>brightness/contrast ώστε να µπορώ να µπορώ να διακρίνω τους δορυφόρους (Προτείνω να επιλέξετε «αυτόµατα)

10 Επιλέγω: Χειρισµοί> Υπολογιστής εικόνων για να αφαιρέσω την εικόνα Jup 6από την εικόνα Jup 5 µετά στο αποτέλεσµα προσθέτω την εικόνα Jup 7, αφαιρώ την εικόνα Jup 8,προσθέτω την εικόνα Jup 9 και τέλος αφαιρώ την εικόνα Jup 10. Είναι σηµαντικό να προσέξουµε κατά την διάρκεια της διαδικασίας ο ίας να είναι στην ίδια θέση σε όλες τις εικόνες.

11 ΟΛΕΣΟΙ ΟΙΕΙΚΟΝΕΣΣΕΜΙΑ Ξεκινώντας την διαδικασία µε την αφαίρεση της Jup 5 από την Jup 6 προκύπτει µια εικόνα µε τίτλο µε τίτλο:result of Jup5.fits. Από το αποτέλεσµα της εικόνας διαπιστώνουµε ότι οι δύο εικόνες ήταν σωστά τοποθετηµένες. Στην εικόνα διακρίνουµε τους «άσπρους δορυφόρους» από την Jup 5 και τους «µαύρους δορυφόρους» από την Jup 6 ιαπιστώνουµε ότι οι δύο δορυφόροι αριστερά κάτω καιο κοντινότερος από δεξιά επάνω αποµακρύνονται από τον ία ενώο άλλος πλησιάζει.

12 Για κάθε εικόνα καταγράφουµε τον χρόνο λήψης της. Αυτό γίνεται ως εξής: Επιλέγω: Εικόνες> Εµφάνιση πληροφοριών> Ψάχνω UT (Universal Time) Στην συνέχεια προσθέτω στο Result of Jup 5 την εικόνα Jup 7. Η νέα εικόνα ονοµάζεται Result of Result. Φροντίζω καισ αυτή την εικόνα να ρυθµίσω την αντίθεση ώστε οι δορυφόροι να έχουν διαφορετικό χρώµα Jup 5 (άσπροι), Jup 6 ( µαύροι), Jup 7 (άσπροι). Προσοχή µη ξεχνάτε να καταγράφεται τον χρόνο κάθε φωτογραφίας.

13 Συνεχίζουµε την διαδικασία αφαιρώντας την Jup 8 από το προηγούµενο αποτέλεσµα, προσθέτοντας την Jup 9, στο καινούργιο αποτέλεσµα και τέλος αφαιρώντας την Jup 10. Προτείνετε να σώσετε τις εικόνες που προκύπτουν από την επεξεργασία των εικόνων µε άλλο όνοµα για να µπορείτε να επιλέγετε εύκολα αυτή που θέλετε κάθε φορά.

14 Προσοχή: όταν σώζετε εικόνες ακολουθήστε την διαδικασία: Εικόνα > Μορφή> > 16 ΒΙΤ. Και στην συνέχεια ακολουθούµε την κλασική διαδικασία της αποθήκευσης Αρχείο> Αποθήκευση ως> FITS µε το όνοµα που θέλετε (πχ Jup 56.FITS). Στην τελική εικόνα που προκύπτει ρυθµίζουµε την φωτεινότητα / αντίθεση ώστε να είναι σαφής η διαδροµή που ακολούθησε κάθε δορυφόρος.

15 Εντοπισµόςδορυφόρων Αναλύουµε τις κινήσεις των δορυφόρων. Κατατάσσουµε τους δορυφόρους αρχίζοντας από τον κοντινότερο στον ία. Υπολογίζουµε την ταχύτητά τους έχοντας υπ όψιν µας ότι οι φωτογραφίες έχουν ληφθεί µε µία ώρα διαφορά.

16 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΟΡΥΦΟΡΩΝ Ο δορυφόρος φαίνεται να φτάνει στο σηµείο αναστροφής, έχοντας τη µικρότερη τροχιά. Υποθέτουµε λοιπόν ότι είναιηιώ Ιώ. Κατατάσσοντας τις ταχύτητες των δορυφόρων έχουµε: ταχύτητα δορυφόρου Β > ταχύτητα δορυφόρου Γ > ταχύτητα δορυφόρου Α Αν αναλογιστούµε ότι ο κοντινότερος δορυφόρος στο ία έχει την µεγαλύτερη ταχύτητα, τότε Ο δορυφόρος Α είναι ηκαλλιστώ Ο δορυφόρος Β είναι ηευρώπη Ο δορυφόρος Γ είναι ογανυµήδης Ο δορυφόρος είναιηιώ Σηµείωση: ο δορυφόρος, αν και δεν φαίνεται, είναι οταχύτερος. Κι αυτό γιατί είναι κοντά στο σηµείο αναστροφής και ηταχύτητά του είναι σχεδόν κάθετη σε µας. Οι άλλοι δορυφόροι δεν είναι σε τέτοια θέση.

17 ΑΝΑΛΥΟΝΤΑΣΤΗΝ ΤΗΝΙΩ Εκµεταλλευόµαστε το γεγονός ότι ο δορυφόρος είναι κοντά στο σηµείο αναστροφής για να υπολογίσουµε την ακτίνα της τροχιάς του σε pixels. Η µέγιστη απόσταση του δορυφόρου από τον ία είναι, µε µεγάλη προσέγγιση, ίση µε την ακτίνα του. Χρησιµοποιούµε τις διαφορετικές αποστάσεις από τον ία για να υπολογίσουµε την ταχύτητα. Σε ένα φύλλο του Excel, κάνουµε τον παρακάτω πίνακα: χρόνος συντεταγµένη Χ συντεταγµένη Ψ Απόσταση από ία θ θ ίας Ιώ Jup 5 Ιώ Jup 6 Ιώ Jup 7 Ιώ Jup 8 Ιώ Jup 9 Ιώ Jup 10

18 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΟΡΥΦΟΡΟΥ Για να βρούµε την γωνιακή ταχύτητα, θεωρούµε το παρακάτω σχήµα. Σε χρονικό διάστηµα t µεταξύ των εικόνων Jup5 και Jup6, ηιώ µετατοπίστηκε κατά θ=θ 2 -θ 1 ακτίνια, έτσιη γωνιακή της ταχύτητα είναι θ ω 1 = t θ 2 θ 1 d 1 d 2 d 5 Ι 0 ΙΑΣ Τροχιά Ιούς

19 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣΤΟΥ ΤΟΥ ΙΑΚΑΙΤΗΣ ΙΟΥΣ Για να προσδιορίσουµε την θέση του ία χρησιµοποιούµε την γραµµική επιλογή Χ συντεταγµένες : σχεδιάζουµε µια οριζόντια γραµµή που τέµνει τον ία.( πιέζουµε το το SHIFT καθώς σχεδιάζουµε για να γίνει οριζόντια). Τοποθετούµε τον δείκτη στην αρχή της γραµµής και σηµειώνουµε την συντεταγµένηχ 1, όπως αυτή φαίνεται στην εικόνα:

20 Πηγαίνουµε: Ανάλυση > Γράφηµα κατανοµής και προσδιορίζουµε το πλάτος του ία όπως φαίνεται στην εικόνα: Υπολογίσουµε τη θέση του κέντρου του ία από την αρχή της εικόνας: ιαιρούµε το πλάτος του ία διά δύο, προσθέτουµε την συντεταγµένη χ 1 που έχουµε σηµειώσει και το πρώτο νούµερο από τον υπολογισµό του πλάτους του ία = X = = 256 2

21 Μπορούµε να επαναλάβουµε την διαδικασία αυτή µερικές φορές ώστε να έχουµε σωστές συντεταγµένες Χ Κάνουµε το ίδιο(µε τις ανάλογες προσαρµογές) για να υπολογίσουµε τις συντεταγµένες Ψ. Επαναλαµβάνουµε την διαδικασία για να υπολογίσουµε και τις συντεταγµένες Χ,Ψκαι για τον δορυφόρο σε διαφορετικές θέσεις (εικόνες Jup5, Jup6,....). Θυµηθείτε ότι µπορούµε να µεγενθύνουµε τις εικόνες για µεγαλύτερη ακρίβεια. Συµπληρώνουµε τα δεδοµένα στο φύλλο Excel.

22 ΑΠΟΣΤΑΣΗΑΠΟΤΟΝ ΙΑΣΕ PIXELS Υπολογίζουµε την απόσταση, σε pixels, µεταξύ τηςιούςκαιτου ίασεκάθεεικόνα. Χρησιµοποιούµε την σχέση: D= ( χ) + ( ψ ) = ( χιώ χ ία ) + ( ψιώ ψ ία ) ΌπουτιςτιµέςΧ Ιώ,Χ ία,ψ Ιώ,Ψ ία τιςπαίρνουµε από τον πίνακα Excel που έχουµε συµπληρώσει

23 Με βασικούς τριγωνοµετρικούς τύπους βρίσκουµε ότι θ 1 =arcsin( arcsin(d 1 /d 5 ), θ 2 =arcsin( arcsin(d 2 /d 5 ). Κατά τον ίδιο τρόπο υπολογίζουµε όλες τις γωνιακές ταχύτητες. Επειδή το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο εικόνων είναι το ίδιο, µία ώρα, η γωνιακή ταχύτητα είναι ω= θ rad/h. Υπολογίζουµε την µέση γωνιακή µετατόπιση και έχουµε την µέση γωνιακή ταχύτητα σε rad/h. Εκφράζουµε την µέση γωνιακή ταχύτητα σε rad/days, χρησιµοποιούµε την σχέση Τ=2π/ω και βρίσκουµε την περίοδο (Τ) σε ηµέρες. ΧΡΟΝΟΣ (h) ΣΥΝΤΕΤΑΓΝΕΝΗ Χ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΗ Ψ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟΝ ΙΑ ΣΕ PIXELS θ (rad) θ (rad) ω= θ/ t (rad/days) T=2π/ω (days) ΙΑΣ Ιώ Jup5 0: ,6 0, Ιώ Jup6 1: ,7 1, , Ιώ Jup7 2: ,7 1, , Ιώ Jup8 3: ,5 1, , Ιώ Jup9 4: ,5 1, , Ιώ Jup10 5: ,2 1, , Μέσος όρος θ= 0, , ,

24 ΑΚΤΙΝΑΤΡΟΧΙΑΣ ΤΡΟΧΙΑΣΙΟΥΣΙΟΥΣ Έχουµε υποθέσει ότι το σηµείο στροφής της Ιούς είναι αυτό στην εικόνα Jup10, έτσι έχουµε την ακτίνα της τροχιάς σε pixels. Πρέπει να µετατρέψουµε τα pixels σε πραγµατική απόσταση. Στο µενού Εικόνα > εµφάνιση πληροφοριών. δεν µας δίνει την κλίµακα αλλά πρέπει να είναι 0,67 / pixel Μετατρέπουµε την ακτίνα από pixel σε µοίρες και στην συνέχεια σε ακτίνια. Χρησιµοποιούµε την γνωστή απόσταση Γης ία, D ΓΗΣ- ΙΑ ΙΑ=7,8*10 11 m, και µετατρέπουµε τα ακτίνια σε µέτρα.

25 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ o '' 1 ' 1 π r a d r = p i x = r a d o 1 p i x 6 0 '' 6 0 ' r = = m 2 4 h s T = d = s 1 d 1 h M J π r 4 π ( m) = = = GT m s kg ( s) 27 kg

26 ΣΥΓΚΡΙΣΗΜΕ ΜΕΤΑΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ R (IOYΣ) (m) T (ΙΟΥΣ ΙΟΥΣ) (s) M ( ΙΑ ΙΑ) (kg) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ 4.2x x x10 27 ΙΚΑ ΜΑΣ 4.8x x x10 27 ΣΦΑΛΜΑ % 5.07 % %