ΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης"

Πλούτων Στεφανόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΦΥΣ - Διαλ.4 Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης

2 Κυκλική κίνηση ΦΥΣ - Διαλ.4 Ορίζουµε τα ακόλουθα µοναδιαία διανύσµατα: ˆ βρίσκεται κατά µήκος του διανύσµατος της ακτίνας θˆ είναι εφαπτόµενο του κύκλου Μετρούµε την γωνιακή θέση σε ακτίνια (ad): π (ad) = Χρησιµοποιώντας ad, το µήκος τόξου είναι: θr Ορίζουµε σα γωνιακή ταχύτητα ω, ένα διάνυσµα το µέτρο του οποίου είναι ίσο µε το ρυθµό µεταβολής της γωνιακής συντεταγµένης του σώµατος. ω(t) = dθ(t) Η φορά του διανύσµατος ω ορίζεται σύµφωνα µε το κανόνα δεξιόχειρης κυκλικής κίνησης: Ο αντίχειρας δείχνει τη διεύθυνση του διανύσµατος ω. Είναι κάθετο στο επίπεδο της κίνησης και κατά µήκος του άξονα που περνά από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. ˆ dθ ( t) ω = ωzk ωz =

3 Κυκλική κίνηση - ταχύτητα Μπορούµε να γράψουµε το διάνυσµα της θέσης = x t ( )î + y t ( ) ĵ = Rcosθ ( t) ( ) î + Rsinθ t ĵ ΦΥΣ - Διαλ.4 3 Προσοχή η θ µεταβάλλεται µε χρόνο Άρα η ταχύτητα του σώµατος θα είναι: ( ) = d t = d Rcosθ ( t)î + Rsinθ ( t) ĵ d Από παραγώγους: cos θ t ( ( )) = d cos( θ) dθ dθ = R sinθ t ( ) dθ ( t) î + cosθ t ( ) dθ ( t) ĵ Το µέτρο της ταχύτητας δίνεται από τη σχέση: = = x + y dθ(t) = R sin θ dθ = R + cos θ dθ dθ t = R = R dθ ( t) = R ω t ( ) Το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας, ω, είναι κάθετο στο επίπεδο της τροχιάς και εποµένως στην ακτίνα R Το διάνυσµα της γραµµικής ταχύτητας,, είναι κάθετο στην ακτίνα R ( cos θ + sin θ) ( ) = ω ( t) R

4 ΦΥΣ - Διαλ.4 4 Κυκλική κίνηση - επιτάχυνση Μπορούµε να βρούµε την επιτάχυνση από τη σχέση: = ω α = d (t) = d = d ω + ω d ( ω ) α = d ω + ω () Ορίζουµε σα γωνιακή επιτάχυνση a, το διάνυσµα που δίνει το ρυθµό µεταβολής της γωνιακής ταχύτητας ω. a = d ω Η () γράφεται Η διεύθυνση του είναι παράλληλη µε αυτή του ω α = a + ω Εφαπτοµενική επιτάχυνση Κεντροµόλος επιτάχυνση Για οµαλή κυκλική κίνηση ω=σταθ. και a=0 α = ω = ω a b c ( ) = b a c ( ) c a b α = ω ( ω ) = ω ( ω ) ( ω ω ) ( ) α = ω κεντροµόλος επιτάχυνση

5 Κυκλική κίνηση ΦΥΣ - Διαλ.4 5 Γωνιακή µετατόπιση: Δθ = θ θ Πόσο έχει περιστραφεί Γωνιακή ταχύτητα: ω = dθ Πόσο γρήγορα περιστρέφεται Μονάδες µέτρησης ad/sec - π ad = περιστροφή Γωνιακή επιτάχυνση: α = dω Ρυθµός µεταβολής της γωνιακής ταχύτητας Περίοδος = /συχνότητα Τ = / f = π ω Χρόνος για να συµπληρώσει µια περιστροφή Από κυκλική κίνηση σε γραµµική Μετατόπιση: S = RΔθ (η γωνία µετράται σε ακτίνια) Γραµµική ταχύτητα: = ds = drθ = R dθ = ω R Διεύθυνση της ταχύτητας εφαπτόµενη στη τροχιά

6 ΦΥΣ - Διαλ.4 6 Αναλογία γραµµικής και κυκλικής κίνησης Κυκλική Γραµµική α=σταθ. a=σταθ. ω = ω 0 + αt θ = θ 0 + ωt + αt = 0 + αt x = x t + αt Όλα τα σηµεία σε ένα σώµα που περιστρέφεται έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση

Kυκλική κίνηση ΦΥΣ - Διαλ.4 7 Δυο τροχοί A και Β συνδέονται µεταξύ τους µε ένα ιµάντα C όπως στο σχήµα. Ο τροχός Α περιστρέφεται µε συχνότητα 300 στροφές/min (pm).

Ποια η γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β; Ποια η γραµµική ταχύτητα του ιµάντα; Εφόσον οι τροχοί συνδέονται µε τον ιµάντα όλα τα σηµεία στην περιφέρεια των τροχών έχουν την ίδια ταχύτητα

7 Kυκλική κίνηση ΦΥΣ - Διαλ.4 7 Δυο τροχοί A και Β συνδέονται µεταξύ τους µε ένα ιµάντα C όπως στο σχήµα. Ο τροχός Α περιστρέφεται µε συχνότητα 300 στροφές/min (pm). Η ακτίνα του τροχού Α είναι R A = 50cm ενώ η ακτίνα του τροχού Β είναι R B =8cm. Ποια η γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β; Ποια η γραµµική ταχύτητα του ιµάντα; Εφόσον οι τροχοί συνδέονται µε τον ιµάντα όλα τα σηµεία στην περιφέρεια των τροχών έχουν την ίδια ταχύτητα (γραµµική) µε αυτή του ιµάντα. Εποµένως: υ Α = υ Β = υ C ω A R A = ω B R B ω B = ω R A A R B Αλλά: ω A = π = π f = 300pm T Από τις δυο τελευταίες σχέσεις έχουµε: ω B = ω R A A = ( 300pm) ( 50cm) ω R B ( 8cm) B = 833.3pm H ταχύτητα του ιµάντα θα είναι: υ c = ω A R A = 300 περ. ad min π 0.5m = 5.7 m s min περ. 60s

8 Οµαλή κυκλική κίνηση ΦΥΣ - Διαλ.4 8 Δ Στην περίπτωση της οµαλής κυκλικής κίνησης =σταθ. αλλά τo διάνυσµα αλλάζει διεύθυνση Όμοια τρίγωνα Δθ Δθ = = Τι συμβαίνει όταν Δt0 = a = d Επιτάχυνση Δ = Δ Δ Δt Δ = lim Δ Δt 0 Δt a = Δ = lim Δ Δt 0 Δt = Δ Δt Κεντρομόλος επιτάχυνση // a //Δ a Δ d = d a Η α είναι ακτινική με διεύθυνση προς το κέντρο

9 Οµαλή κυκλική κίνηση ΦΥΣ - Διαλ.4 9 Έστω ένας δορυφόρος που γυρνά γύρω από την γη σε ύψος 00km µε σταθερή ταχύτητα. Γιατί ο δορυφόρος δεν πέφτει στην γη; Στην πραγµατικότητα πέφτει Εξαιτίας της ορίζοντιας ταχύτητας συνεχώς όμως δεν βρίσκει την γη Αν ο δορυφόρος δεν είχε επιτάχυνση τότε μετά από χρόνο t, θα βρίσκονταν στην θέση P έχοντας μετατόπιση P P =υt. Ωστόσο εξαιτίας της κυκλικής κίνησης βρίσκεται στη θέση Πέφτει λοιπόν κατά το διάστημα h = P P P P Για μικρό χρονικό διάστημα t, τα και έχουν την ίδια ακτινική διεύθυνση Από το ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές, υt και +h έχουμε: ( h + ) = + ( υt) h + + h = + ( υt) h( h + ) = υ t Για πολύ μικρό χρονικό διάστημα, h<< και επομένως ( h + ) h υ t h υ t Από κινηματική έχουμε: h = at Άρα: a = υ P

Σχετικά έγγραφα

Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; F N

Παράδειγµα roller coaster ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 1 Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; y-διεύθυνση: