Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler

Transcript

1 ΦΥΣ Διαλ.29 1 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Keple! Θα υποθέσουµε ότι ο ήλιος είναι ακίνητος (σχεδόν σωστό αφού έχει τόσο µεγάλη µάζα και η γη δεν τον κινεί).! Οι τροχιές των πλανητών µοιάζουν κάπως σα τις παρακάτω ελλείψεις Θέλουµε να ξέρουµε το συναρτήσει της γωνίας θ. Η συνάρτηση αυτή θα µας δώσει το σχήµα της τροχιάς του πλανήτη. θ ήλιος! = d dt Ο υπολογισµός είναι αρκετά πολύπλοκος και δεν θα τον προχωρήσουµε µέχρι το τέλος Άρα η στροφορµή του συστήµατος διατηρείται: mv = L m dθ και!θ = dθ dt = L m 2!θ = L = σταθ dt = ω Επίσης η ενέργεια του συστήµατος διατηρείται, και έχουµε: 1 2 mv2 +V ( ) = E 1 2 mv mv 2 θ GMm = E 1 2 m! m ( θ! ) 2 GMm Η βαρύτητα είναι κεντρική δύναµη και εποµένως δεν δηµιουργεί ροπές (σχετικά µε τον ήλιο) = E 1 2 m! 2 + L2 2m GMm = E 2

2 ΦΥΣ Διαλ.29 2 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Keple 1 Καταλήξαµε στην: 2 m! 2 + L2 2m GMm = E 2 Από την τελευταία µπορούµε να γράψουµε: d dt 2 = 2Em L2 Αλλά!θ = L m dθ 2 dt d dθ 2 = d dt dθ dt 2 = 2Em 4 m GM 2 = L2 m 2 4 L GM 2 m 2 3 Τις διαιρούµε για να διώξουµε την εξάρτηση από t L 2 F( ) d Με χωρισµό µεταβλητών έχουµε: = dθ F( ) Αυτή η τελευταία σχέση µπορεί να ολοκληρωθεί για να δώσει τη θ συναρτήσει του και κατόπιν να αναστραφεί για να πάρουµε το συναρτήσει του θ. Ο υπολογισµός είναι πολύπλοκος. Τελικό αποτέλεσµα: η εξίσωση της τροχιάς, (θ), είναι έλλειψη µε τον ήλιο σε µια εστία της.

3 Διάγραµµα ενέργειας ΦΥΣ Διαλ.29 3 Είδαµε ότι από: E = 1 E = 1 2 m 2 + L2 2m GMm = m 2 + U ενεργο 2 mv2 GMm πήραµε U( ) L 2 2m 2 GMm E = 0 E < 0 E = E min U( ) U ενεργο ( ) L 2 " για L 0 o όρος 2m 2 υπερισχύει για µικρά " o όρος GMm υπερισχύει για µεγάλα Διαγράµµατα ενέργειας: (i) E > 0 Μή δέσµια τροχιά. Tο σώµα πλησιάζει µέχρι κάποιο min (Ε = U ενεργό ) όπου Ε κιν =0 και µετά! = ± 2 επιστρέφει εκεί απ όπου ήρθε U( ) m E U ( ) ενεργο H τροχιά είναι υπερβολή E > 0 (ii) E = 0 Παρόµοια µε την περίπτωση (i) αλλά στο όριο µεταξύ δέσµιας και µή δέσµιας τροχιάς min max H τροχιά είναι παραβολή (iii) E < 0 (iv) E = Ε min H κίνηση περιορίζεται µεταξύ min και max H τροχιά είναι έλλειψη H κίνηση επιτρέπεται για µια µόνο τιµή του H τροχιά είναι κυκλική ( )

4 Ταχύτητα διαφυγής Oρισμός: Ταχύτητα διαφυγής είναι η ταχύτητα που πρέπει να αποκτήσει ένα σώμα ώστε να φθάσει στο άπειρο (= ) με ταχύτητα 0. Ποια αρχική ταχύτητα v 0 απαιτείται ώστε ένα σώμα να ξεφύγει από την βαρυτική δύναμη της γης; Η μηχανική ενέργεια διατηρείται, και επομένως: i E µηχ f = E µηχ U i + K i = U f + K f (1) Σύμφωνα με τον ορισμό της ταχύτητας διαφυγής: υ f = 0.0m/ s Αλλά ξέρουμε ακόμα ότι: U( = )= 0 = U f Αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε: 1 2 mv 2 GmM Γη = 0+0 v 0 0 = 2GM Γη Γη Γη Η ταχύτητα είναι ανεξάρτητη της μάζας του σώματος. ΦΥΣ Διαλ.29 4

5 Κυκλικές τροχιές Η µηχανική ενέργεια για δορυφόρο που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R κοντά στην γη θα είναι: E µηχ = U g + K E µηχ = 1 2 m δυ 2 G M Γ m δ R Αλλά για κυκλική τροχιά η βαρύτητα προσφέρει τη κεντροµόλο δύναµη: F g = F κεντρ. G M m Γ δ υ 2 = m R 2 δ R υ 2 = G M Γ (2) R Αντικαθιστώντας (2) στην (1) έχουµε: (1) ΦΥΣ Διαλ.29 5 E µηχ = 1 2 m δ GM Γ R G M Γ m δ R E µηχ = 1 2 m δ GM Γ R E µηχ = 1 2 U g = E κιν Η τελευταία σχέση ισχύει για όλες τις κυκλικές τροχιές

6 ΦΥΣ Διαλ.29 6 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Keple! Τρεις οι νόµοι του Keple: " Oι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές µε τον ήλιο σε µια εστία τους. " Η επιβατική ακτίνα ενός πλανήτη διαγράφει ίσα εµβαδά σε ίσους χρόνους " Το τετράγωνο της περιόδου ενός πλανήτη είναι ανάλογο του κύβου του µέγιστου ηµιάξονα της ελλειπτικής τροχιάς του µε µια σταθερά αναλογίας που δεν εξαρτάται από την µάζα του πλανήτη: T 2 = 4π 2 GM a3

7 ΦΥΣ Διαλ.29 7 Σχετικά µε ελλείψεις " F 1 και F 2 είναι οι εστίες της έλλειψης Είναι σε απόσταση c από το κέντρο " Η µεγαλύτερη απόσταση διαµέσου του κέντρου ονοµάζεται κύριος άξονας της έλλειψης Ο α είναι ο µεγάλος ηµιάξονας. " Η µικρότερη απόσταση διαµέσου του κέντρου ονοµάζεται δευτερεύων άξονας της έλλειψης Ο b είναι ο µικρός ηµιάξονας. " Η εκκεντρότητα της έλλειψης ορίζεται ως: Για κυκλική τροχιά: e = 0 e = Η εκκεντρότητα παίρνει τιµές στο διάστηµα: 0 < e < 1 " Η εκκεντρότητα µιας παραβολικής τροχιάς (Ε = 0) είναι: e = 1 " Η εκκεντρότητα µιας υπερβολικής τροχιάς (E > 0) είναι: e > 1 c a

8 ΦΥΣ Διαλ.29 8 Σχετικά µε ελλειπτικές τροχιές πλανητών " Ο ήλιος είναι σε µια εστία της έλλειψης Η άλλη εστία είναι κενή " Αφήλιο ονοµάζεται το πιο αποµακρυσµένο από τον ήλιο σηµείο της έλλειψης. Η απόσταση του αφηλίου είναι: α + c Για µια τροχιά γύρω από την γη το σηµείο αυτό ονοµάζεται απόγειο. περιήλιο ήλιος αφήλιο " Περιήλιο ονοµάζεται το πιο κοντινό στον ήλιο σηµείο της έλλειψης Η απόσταση του περιηλίου είναι: α - c Για µια τροχιά γύρω από το γη το σηµείο αυτό ονοµάζεται περίγειο

9 ΦΥΣ Διαλ.29 9 Ο 1 ος νόµος του Keple " Μια κυκλική τροχιά είναι ειδική περίπτωση της γενικής ελλειπτικής τροχιάς. " Είναι αποτέλεσµα της εξάρτησης από το -2 της βαρυτικής δύναµης " Ελλειπτικές (και κυκλικές) τροχιές επιτρέπονται για δέσµια σώµατα Ένα σώµα είναι δέσµιο όταν περιφέρεται γύρω από το κέντρο έλξης Ένα σώµα µη δέσµιο θα περάσει αλλά δε θα επιστρέψει # Αυτά τα σώµατα θα έχουν τροχιές που είναι παραβολές (e = 1) ή υπερβολές (e > 1) κύκλος έλλειψη παραβολή υπερβολή

10 ΦΥΣ Διαλ Ο 2 ος Νόµος του Keple! Είναι αποτέλεσµα της διατήρησης της στροφορµής! Η βαρυτική έλξη δεν προκαλεί ροπή $ L = σταθ. Ηλιος! Μπορούµε να τον αποδείξουµε εύκολα: Ήλιος κινείται πιό αργά εδώ Σε χρόνο dt, η ακτίνα σαρώνει το εµβαδό da! που είναι το µισό του παραλληλογράµµου: d! Αλλά d! =! υdt = dθ da = 1 2 ( dθ ) da dt = 1 2 dθ 2 dt da dt = 1 2 2!θ = m 2!θ 2m = L 2m da L = σταθ. dt = σταθ. κινείται πιο γρήγορα εδώ εµβαδική ταχύτητα = σταθ. Ο 2 ος νόµος του Κeple ισχύει για οποιαδήποτε κεντρική δύναµη ανεξάρτητα από το αν ακολουθεί το νόµο -2.

11 ΦΥΣ Διαλ Ο 3 ος Νόµος του Keple! Μπορεί να προβλεφθεί από το νόµο της παγκόσµιας έλξης και το 2 ο νόµο του Newton: G M m Hλιου πλανητη υ 2 = m 2 πλανητη υποθέτοντας κυκλική τροχιά! Η βαρυτική δύναµη προκαλεί κεντροµόλο δύναµη και εποµένως! Λύνοντας ως προς Τ θα έχουµε: T 2 = 4π 2 GM Hλιου 3 = K H 3 υ = 2π T Η σταθερά Κ Η εξαρτάται από τη µάζα του ήλιου και όχι του πλανήτη! Τα παραπάνω µπορούν να επεκταθούν και για ελλειπτικές τροχιές αντικαθιστώντας µε α (το µεγάλο ηµιάξονα της έλλειψης) T 2 = 4π 2 GM Hλιου a3 = K H a 3 " Από την απόσταση ήλιου-γης και την περίοδο της γης βρίσκουµε Μ ήλιου

12 Παράδειγµα Ένας πλανήτης κινείται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον ήλιο. Εάν γνωρίζετε την ταχύτητά του στο σηµείο του περιήλιου, υ π, υπολογίστε την ταχύτητά του στο σηµείο του αφήλιου, υ α. ΦΥΣ Διαλ περιήλιο ήλιος αφήλιο Η στροφορµή του πλανήτη σε σχέση µε τον ήλιο διατηρείται. Η στροφορµή δίνεται από τη σχέση L = m πλανητη υ Στα σηµεία του περιηλίου και αφηλίου η ακτίνα είναι κάθετη στην ταχύτητα: L π = m πλανητη π υ π L α = m πλανητη α υ α L π = L α m πλανητη π υ π = m πλανητη α υ α υ α = π α υ π

13 Μελανές Οπές Black Holes ΦΥΣ Διαλ.29 13! Μελανή οπή είναι το αποµεινάρι ενός αστέρα που συνεθλίβει κάτω από το δικό του βαρυτικό πεδίο! Είδαµε ότι η ταχύτητα διαφυγής δίνεται από την σχέση: v 0 = 2GM R " Η ταχύτητα διαφυγής για την περίπτωση µιας µελανής οπής είναι πολύ µεγάλη εξαιτίας της µεγάλης συγκέντρωσης µάζας µέσα σε µια σφαίρα πολύ µικρής ακτίνας. Αν η ταχύτητα διαφυγής ξεπεράσει την ταχύτητα του φωτός τότε ακτινοβολία δεν µπορεί να διαφύγει και εµφανίζεται σα µελανό σώµα. " Από στη σχέση της ταχύτητας διαφυγής αντικαταστήσουµε όπου v 0 = c τότε παίρνουµε: R S = 2GM c 2 ακτίνα Schwazchild (1916) Για Μ ~ 3M Ήλιου ένας αστέρας µπορεί να γίνει µελανή οπή. Στην περίπτωση αυτή R s = 9 km Η πυκνότητα αυτής της µελανής οπής είναι: σ = 2M Hλιου = 2M Hλιου V 4π 3 R 3 S σ = kg /m 3

14 Μελανές οπές και Γαλαξίες ΦΥΣ Διαλ Υπάρχουν ενδείξεις ότι µελανές οπές πολύ µεγάλης µάζας υπάρχουν στο κέντρο των γαλαξιών Η θεωρία προβλέπει ότι πίδακες ύλης (jets) πρέπει να είναι ανιχνεύσιµοι κατά µήκος του άξονα περιστροφής της µελανής οπής Φωτογραφία του γαλαξία Μ87 από το τηλεσκόπιο Hubble. Ο πίδακας ύλης θεωρείται σαν ένδειξη ότι υπάρχει µια πολύ µεγάλης µάζας µελανή οπή Να σηµειώσουµε εδώ ότι οι σχέσεις που βρήκαµε στηρίζονται στους νόµους του Newton που δεν έχουν εφαρµογή σε ταχύτητες κοντά στην ταχύτητα του φωτός. Ωστόσο είναι από τις λίγες περιπτώσεις που τα αποτελέσµατα της σχετικιστικής δυναµικής συµφωνούν µε αυτά της κλασικής