ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ(ΟΜΑΔΑΣ Β )

Transcript

1 A. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ(ΟΜΑΔΑΣ Β Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 5. A. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδα. A. Η σχετική συχνότητα f i μιας τιμής των παρατηρήσεων με τιμή ίση με A. α Λ β Λ γ Σ δ Λ ε Σ B. Α: «η μπάλα είναι άσπρη» Κ: «η μπάλα είναι κόκκινη» Μ: «η μπάλα είναι μαύρη» P(M = P(A = λ, λ R 7 P(K = 5λ + x i ενός δείγματος εκφράζει το ποσοστό x. 0 λ 0 P(A Πρέπει : 7 0 P(K 0 5λ + λ λ 7 7 5λ λ λ, ( < Ν(Ω < 7 ( i

2 B. Ισχύει: N(M N(M P(M = = N(Ω N(Ω Ν(Ω = Ν(Μ, Ν(Ω,Ν(Μ ℵ * Άρα Ν(Ω είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του. Αφού ισχύει: 6<Ν(Ω<7 6<Ν(Ω< 8, το μοναδικό ακέραιο πολλαπλάσιο του είναι το 7=68. Άρα Ν(Ω=68 B. P(M + P(A + P(K = 7 + λ 5λ + = λ 5λ + = 0 Δ = 5 6 = 9, απορ. λόγω ( 5± λ, = = 8 Για λ = : P(A = = 6 7 P(K = 5 + = = P(M = B. N(A P(A = N(A = P(A N(Ω = 68 N(Ω N(A = 7 P(M = P(A N(M = N(A N(M = 7 N(K P(K = N(K = P(K N(Ω = 68 N(Ω N(K =

3 B. Α Μ:"η μπάλα είναι άσπρη ή μαύρη" Α Μ =, άρα ισχύει απλός προσθετικός νόμος: P ( Α Μ = P(A + P(M = + = = Γ. Χ: πωλήσεις(σε χιλιάδες ευρώ f i 0 0 B Γ Ζ Α(8, 0 Β(0, 0 Γ(, 0 Δ(, y Δ Ε(6, y Ε Ζ(8, 0 Η(0, 0 A Πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ Η

4 Γ. Τα σημεία Β, Γ, Δ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων του ιστογράμματος σχετικών συχνοτήτων και τα σημεία Α, Η είναι τα μέσα των δύο υποθετικών κλάσεων, με μηδενική σχετική συχνότητα, στην αρχή και στο τέλος του ιστογράμματος αντίστοιχα. Άρα οι τετμημένες των σημείων Β, Γ, Δ, Ε, Ζ είναι οι κεντρικές τιμές των κλάσεων και οι τεταγμένες είναι οι σχετικές συχνότητες f i % των κλάσεων. Επομένως έχουμε 5 κλάσεις ίσου πλάτους. Αφού ΔΕ//x x yδ = y E ( x =, χιλιάδες ευρώ x = xf ( y Δ 6 yε Γνωρίζουμε ότι, = 0 0, + 0, , 00 00, =,0 +, + 0, y +,8, = 5, + 0, yδ 9 = 0, yδ y = 0 = y Άρα Δ(, 0 και Ε(6, 0 Δ Ε Δ Γ. Για να κατασκευάσουμε το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων ενώνουμε τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ,Η με τεθλασμένη γραμμή. Οπότε έχουμε το ακόλουθο σχήμα: 5 i= ii f i % 0 Δ Ε 0 Γ 0 B Ζ A Η Πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ

5 Γ. Αν το πλάτος των κλάσεων είναι c, τότε οι κλάσεις θα είναι της μορφής: x, x + c x + c, x + c x + c, x + c x + c, x + c x + c, x + 5c Ισχύει: x + x + c x + c x = 0 = x + c = 0 ( x + c + x + c x + c x = = x + c = ( ( ( c = c = ( x + = 0 x = 8 x = 9 Άρα ο πίνακας σχετικών συχνοτήτων είναι: Γ. Κλάσεις x i f% i 9, 0 0, 0, 5 0 5, , Σύνολο - 00 Το ποσοστό των πωλητών με τουλάχιστον 5 χιλιάδες ευρώ ετήσιες πωλήσεις από τον πίνακα σχετικών συχνοτήτων του ερωτήματος Γ είναι: f % + f 5% = 0% + 0% = 0% Γ5. Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων ισούται με το ν, άρα ν = 80 πωλητές. 5

6 Αφού από (Γ το ποσοστό των πωλητών με τουλάχιστον 5 χιλ. ευρώ ετήσιες πωλήσεις είναι 0% τότε το αντίστοιχο πλήθος των πωλητών που 0 δικαιούνται εφάπαξ είναι: 80 = πωλητές. 00 x+ 0 5 Δ. f(x = e,x R Δ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R, ως σύνθεση παραγωγισίμων στο R συναρτήσεων με: 0 5 f(x = e = e x x + x = e x x όπου e > 0, x R f(x = 0 x = x x + = 0 Δ = 0 = 6 = = ± x, = < = = 0 5 f(x > 0 x > x,, + 5 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, και στο, + 5 6

7 f(x < 0 x, 5 άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, 5 x f(x f(x 7

8 Δ. Η f παρουσιάζει: τοπικό μέγιστο στο x =,το f( τοπικό ελάχιστο στο x =,το f( 5 5 A B άρα P(A P(B, όπου P(A,P(B οι θέσεις των τοπ. ακροτάτων της f, άρα: 5 6 P(A = = και P(B = = αφού A B ισχύει A B = A, άρα: P(A B = P(A P(A B = ( P(A B = P(A P(A B P(A B = 0 ( αφού A B ισχύει A B = B, άρα: Ρ( Α Β = P( B = 5 P(B A = P(B P(A B ( 6 5 = P(B A = ( 8

9 Δ. x x x 5 h(x = e, x R x x x α f(x = h(x, x R e = e x e:" " x x + = x x x x x x x = x 5x 6 x = 0 ή + = 0 x 5x + 6 = x = ή x= β x < x < x άρα: x = 0, x =, x = τότε: ν = 0+ ν = ν = + ν = 5 ν = + ν = 7 Αφού γνωρίζουμε τις τιμές x,x,x των παρατηρήσεων και τις αντίστοιχες συχνότητες, ο τύπος της μέσης τιμής είναι : xv i i i= x = = = v + v + v