ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;"

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε ότι: P( A ) P( A) α) Δειγματικός χώρος λέγεται το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Ενδεχόμενο λέγεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης. β) Επειδή A A =, δηλαδή τα Α και Α είναι ασυμβίβαστα, έχουμε, σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A A = P A + P A P Ω = P A + P A ( ) ( ) = PA ( ) + P A P A = PA ( ).

2 Ερώτηση θεωρίας α) Έστω AB, δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Αν A B P A P B. να αποδείξετε ότι ( ) ( ) β) Ποιο ενδεχόμενο λέγεται αντίθετο του ενδεχομένου Α; α) Επειδή A Bέχουμε διαδοχικά ( ) N( B) N A ( ) ( Ω) N A N ( ) ( Ω) N B N ( ) P( B) P A. β) Το ενδεχόμενο A που διαβάζεται «όχι Α ή συμπληρωματικό του Α ή αντίθετο του Α» και πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το Α.

3 Ερώτηση θεωρίας α) Έστω AB, δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: ( ) ( ) PA ( B) = P A+ PB PA ( B). β) Πότε δύο ενδεχόμενα AB, ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ξένα μεταξύ τους; α) Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: ( ) ( ) αφού στο άθροισμα N( A) N( B) N( A B) = N A + N B N( A B) () + το πλήθος των στοιχείων του ενδεχομένου A B υπολογίζεται δύο φορές. Είναι N ( Ω) 0, οπότε από την () έχουμε: N( A B) N( A) N( B) N( A B) = + N( Ω) N( Ω) N( Ω) N( Ω) και επομένως PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B). β) Δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ξένα μεταξύ τους όταν η τομή τους είναι το κενό σύνολο, A B=.

4 Ερώτηση θεωρίας. Πότε δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα;. α) Να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α κάποιου δειγματικού χώρου Ω. β) Να δώσετε τις αριθμητικές τιμές των παρακάτω πιθανοτήτων. i. P( Ω ) ii. P( ). Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Να δώσετε τους ορισμούς του βέβαιου ενδεχομένου και του αδύνατου ενδεχομένου.. Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, όταν A B =.. α) Ορίζουμε ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α τον αριθμό: Πλήθ oς ευν o ικών π ριπτ ώσεων N( Ω) PA ( ) = = Πλήθ oς δυνατ ών περιπτ ώσεων N( A) β) P( Ω ) = και P( ) = 0 ( Αφού N( Ω) P( Ω ) = = N( Ω) και 0 P( ) = 0 N( Ω) = ). Βέβαιο ενδεχόμενο λέγεται το ενδεχόμενο το οποίο πραγματοποιείται πάντοτε.(ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης είναι ένα τέτοιο ενδεχόμενο αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει στο Ω). Αδύνατο ενδεχόμενο λέγεται το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης.(το κενό σύνολο είναι αδύνατο ενδεχόμενο).

5 Ερώτηση θεωρίας 5 α) Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: PA ( B) = PA ( ) PA ( B) β) Να δώσετε τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας. α) Είναι: ( A B) ( A B) = () και ( A B) ( A B) = A () Τα ενδεχόμενα A B και A B είναι ασυμβίβαστα (), οπότε σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε: ( ) P( A B) ( A B) = PA ( B) + PA ( B) PA ( ) = PA ( B) + PA ( B) PA ( B) = PA ( ) PA ( B) () β) Έστω Ω= { ω, ω,..., ω ν } ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόμενο { ω i } αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό, που τον συμβολίζουμε με P( ω i ), έτσι ώστε να ισχύουν: 0 P( ω i ) P( ω ) + P( ω ) P( ω ν ) =. Τον αριθμό P( ω i ) ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου { ω i }. Ως πιθανότητα PA ( ) ενός ενδεχομένου A = { α, α,..., ακ} ορίζουμε το άθροισμα P( α) + P( α) P( α κ ), ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ορίζουμε τον αριθμό P( ) = 0. 5

6 ΘΕΜΑ Β Άσκηση Σ ένα σχολείο το 80% των μαθητών έχουν κινητό τηλέφωνο και το 0% έχει φορητό υπολογιστή. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν Κ είναι το ενδεχόμενο: «ο μαθητής έχει κινητό τηλέφωνο» και Υ το ενδεχόμενο: «ο μαθητής έχει φορητό υπολογιστή», τότε: α) Να δείξετε ότι τα ενδεχόμενα Κ και Υ δεν είναι ασυμβίβαστα β) Να δείξετε ότι P( K Y) γ) Αν επιπλέον η πιθανότητα του ενδεχομένου «ο μαθητής έχει μόνο φορητό υπολογιστή» είναι 5%, να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: i. «ο μαθητής έχει μόνο κινητό τηλέφωνο ή μόνο φορητό υπολογιστή» ii. «ο μαθητής δεν έχει κινητό τηλέφωνο ούτε φορητό υπολογιστή». α) Έστω ότι τα ενδεχόμενα Κ και Υ είναι ασυμβίβαστα. Τότε έχουμε K Y = και από τον απλό προσθετικό νόμο P( K Y) = PK ( ) + PY ( ) = 80% + 0% = 0% > (αδύνατο). Άρα τα ενδεχόμενα Κ και Υ δεν είναι ασυμβίβαστα. β) Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύουν οι P( K Y) <b>()</b> και P( K Y) Είναι K Y K, άρα ( ) 5 P K Y PK ( ) = 80% =. 5 () Έστω ότι ισχύει η () δηλαδή, P( K Y) P( K) P( K Y) P( K Y) PK ( ) = = = 0% = PY ( ), που ισχύει διότι K Y Y Από τις () και () συμπεραίνουμε ότι P( K Y) γ) Η πιθανότητα του ενδεχομένου «ο μαθητής έχει μόνο φορητό υπολογιστή» είναι 5%, άρα ( ) ( ) P Y K = 5% PY ( ) P K Y = 5% P( K Y) = PY ( ) 5% = 0% 5% = 5%. 6

7 i. Το ενδεχόμενο «ο μαθητής έχει μόνο κινητό τηλέφωνο ή μόνο φορητό υπολογιστή» είναι το K Y Y K. Από το διπλανό διάγραμμα ( ) ( ) παρατηρούμε ότι τα ενδεχόμενα ( K Y) ( Y K) και είναι ασυμβίβαστα. Από τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) P K Y Y K = P K Y + P Y K = ( ) ( ) = P( K) P K Y + P( Y) P K Y = ( ) = PK ( ) + PY ( ) P K Y = = 80% + 0% 5% = 70% ii. Το ενδεχόμενο «ο μαθητής δεν έχει κινητό τηλέφωνο ούτε φορητό υπολογιστή» είναι το ( K Y ). Άρα έχουμε P K Y = P K Y = P( K) P( Y) + P K Y = ( ) ( ) ( ) 80% 0% + 5% = 5%. 7

8 Άσκηση Σε μια έρευνα που έγινε σε μια πόλη ως προς τον τρόπο που ενημερώνονται οι κάτοικοι για τις ειδήσεις προέκυψε ότι το 0% δεν ενημερώνεται από την τηλεόραση, το 70% δεν ενημερώνεται από το διαδίκτυο και το 0% δεν ενημερώνεται ούτε από την τηλεόραση ούτε από το διαδίκτυο. α) Αν επιλέξουμε έναν κάτοικο τυχαία, να βρείτε την πιθανότητα να ενημερώνεται και από την τηλεόραση και από το διαδίκτυο. β) Αν επιλέξουμε έναν κάτοικο τυχαία, να βρείτε την πιθανότητα να ενημερώνεται από το διαδίκτυο και όχι από την τηλεόραση. γ) Αν επιλέξουμε έναν κάτοικο τυχαία, να βρείτε την πιθανότητα να ενημερώνεται από την τηλεόραση και όχι από το διαδίκτυο. Επιλέγουμε τυχαία έναν κάτοικο της πόλης. Θεωρούμε τα παρακάτω ενδεχόμενα: Α: ο κάτοικος να ενημερώνεται από την τηλεόραση Β: ο κάτοικος να ενημερώνεται από το διαδίκτυο. Από τα δεδομένα που έχουμε συμπεραίνουμε ότι: ( ) ( ) ( ) P A = 0, P A = P A = 0,8 ( ) ( ) ( ) P B = 0, 7 P B = P B = 0, και (( ) ) ( ) ( ) ( ) P A B = 0, P A B = P A B = 0,9 α) Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου A B. Εφαρμόζοντας τον προσθετικό νόμο έχουμε: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = 0,8 + 0, 0,9 = 0,. β) Έχουμε το ενδεχόμενο B A, οπότε P( B A) = P( B) P( B A) = P( B) P( A B) = 0, 0, = 0,. γ) Έχουμε το ενδεχόμενο A B, οπότε P( A B) = P( A) P( A B) = 0,8 0, = 0,6. 8

9 Άσκηση Από το σύνολο {, } επιλέγουμε τυχαία ψηφία και σχηματίζουμε ένα τριψήφιο αριθμό. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: α) ένα τουλάχιστον ψηφίο του αριθμού να είναι β) ακριβώς δύο ψηφία του αριθμού να είναι γ) ένα μόνο ψηφίο του αριθμού να είναι και να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Γ είναι ασυμβίβαστα. Για να υπολογίσουμε το δειγματικό χώρο του πειράματος κατασκευάζουμε δεντροδιάγραμμα Με βάσει το δεντροδιάγραμμα ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι Ω=,,,,,,, { } Άρα N ( Ω ) = 8 α) Έστω Α το ενδεχόμενο «ένα τουλάχιστον ψηφίο του αριθμού να είναι», τότε 7 A = {,,,,,,}, άρα N( A ) = 7 οπότε P( A ) = 8 β) Έστω Β το ενδεχόμενο «ακριβώς δύο ψηφία του αριθμού να είναι», τότε B = {,,}, άρα N( B ) = οπότε P( B ) = 8 9

10 γ) Έστω Γ το ενδεχόμενο «ένα μόνο ψηφίο του αριθμού να είναι», τότε P Γ = 8 Γ= {,,} άρα N ( Γ ) = οπότε ( ) A Γ= {,,} Αφού η τομή των ενδεχομένων Α και Γ δεν είναι το κενό σύνολο, τα ενδεχόμενα Α και Γ δεν είναι ασυμβίβαστα. 0

11 Άσκηση λ λ Δίνεται η συνάρτηση f( x) = x + x + ( λ + 5) x+ 0, x και λ είναι ένας φυσικός αριθμός που καθορίζεται από τη ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων. A = { λ Ω: Η εξίσωση f ( x) = 0 να έχει ρίζες άνισες} B = { λ Ω: Η εξίσωση f ( x) = 0 να έχει ρίζες ισες} Γ = {λ Ω: Η εξίσωση f ( x) = 0 να είναι αδύνατη} ( ) = λ + λ + λ+ 5 για κάθε x και {,,,,5,6} Είναι f x x x λ Ω=. Οι ρίζες της f ( x) = 0 λx + λx+ λ+ 5= 0 καθορίζονται από τη διακρίνουσα Δ αφού είναι εξίσωση ου βαθμού. Έχουμε ( ) ( ) = β αγ = λ λ λ+ 5 = 9λ λ 0λ = ( ) 5λ 0λ 5λ λ =. Αν λ( λ ) > 0 5 > 0 λ < 0 ή λ >, τότε η εξίσωση f ( x) = 0 έχει ρίζες N( A) λ Ω= τότε A = { 5,6} οπότε PA ( ) = = =. N( Ω) 6 άνισες και επειδή {,,,,5,6} = 0 5 = 0 λ = 0 ή λ =, τότε η εξίσωση f ( x) = 0 έχει ρίζες ίσες N( B) λ Ω= τότε B = { } οπότε PB ( ) = =. N( Ω) 6 Αν λ( λ ) και επειδή {,,,,5,6} < 0 5 < 0 0< λ <, τότε η εξίσωση f ( x) = 0 είναι αδύνατη λ Ω= N( Γ) τότε Γ= {,, } οπότε P( Γ ) = = =. N( Ω) 6 Αν λ( λ ) και επειδή {,,,,5,6}

12 Άσκηση 5 Ένα Γενικό Λύκειο έχει 50 αγόρια και κορίτσια. Το 75% των αγοριών και τα 5 των κοριτσιών συμμετείχαν στην μονοήμερη εκδρομή του Σχολείου τους. Επιλέγουμε στην τύχη ένα άτομο. Αν η πιθανότητα να είναι αγόρι και να μη συμμετείχε στην μονοήμερη εκδρομή του Σχολείου του είναι %, να βρείτε: α) Πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχει το Λύκειο. β) Την πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μη συμμετείχε στη μονοήμερη εκδρομή του Σχολείου. α) Έστω x ο αριθμός των αγοριών και y ο αριθμός των κοριτσιών. Με βάση τα δεδομένα έχουμε τον παρακάτω πίνακα. Αγόρια Κορίτσια Συμμετοχή στη μονοήμερη εκδρομή ΝΑΙ ΟΧΙ 75 x x 5 y 5 y Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος έχει 50 στοιχεία, άρα N( Ω ) = 50. Επομένως x+ y = 50. Αφού επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας. Θεωρούμε το ενδεχόμενο: Α: «να είναι αγόρι και να μη συμμετείχε στη μονοήμερη εκδρομή του Σχολείου» Είναι: 5 x N( A) 00 PA ( ) = % = = N( Ω) x= 50 x= Είναι: y = 50 x= 50 0 = 0 Άρα τα αγόρια του Λυκείου είναι 0 και τα κορίτσια του Λυκείου είναι 0.

13 β) Θεωρούμε το ενδεχόμενο: Β: «να είναι κορίτσι και να μη συμμετείχε στην μονοήμερη εκδρομή του Λυκείου» Είναι: 0 N( B) 5 PB ( ) = = = = 0,0 ή0, % N( Ω) 50 5

14 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f( x) = x ln x+, x> 0 και τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, για τα οποία ισχύει AB,, A B και A B. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να δείξετε ότι PA ( ) ln P A P A B > ( ) ( B). γ) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της M P( A) είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y x ( ), ( ), ( ), ( ) P A P B P A B P A B. ( ) 5P B, + ln =, να βρεθεί η διάμεσος των παρατηρήσεων: α) Η παράγωγος της f είναι: x f ( x) = =, x > 0. x x x x> 0 f ( x) = 0 = 0 x = 0 x=. x x x> 0 f ( x) > 0 > 0 x > 0 x>. x Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f: Είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). Είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0, ]. Έχει ελάχιστο το f ( ) = ln+ =.

15 β) Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει A B A P A B P A. ( ) ( ) Επιπλέον A B, άρα P( A B) < P( A). Για τους αριθμούς P( A B), P( A) 0< P( A B) < P( A). Αφού η f είναι φθίνουσα στο ( 0, ], προκύπτει ότι ( ( )) ( ) ( ) f P A B > f P A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) P A B ln P A B + > P A ln P A + ( ( )) ( ) ln P A ln ( P A B ) P( A) P( A B) P( A) ( ) > ( B) ln P A P A B >. ισχύει ότι γ) Αφού η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της 5P( B) M P( A), + ln είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y = x, ισχύει PA ( ) f ( P( A) ) = λ ε = = PA ( ) PA ( ) = PA ( ) PA ( ) =. Το σημείο M P( A) ( ) 5P B, + ln ανήκει στη γραφική παράσταση της f, άρα ( ) P( B) 5P B 5 f( PA ( )) = + ln f = + ln ( ) 5P B ln + = + ln + ln + = 5P( B) + ln PB ( ) =. 5 Επειδή ισχύει A B A A B και A B B A B προκύπτει P( A B) P( A) P( A B) και P( A B) P( B) P( A B). 5

16 Επίσης είναι PA ( ) = < PB ( ) =. 5 Άρα οι παρατηρήσεις τοποθετούνται σε αύξουσα σειρά ως εξής: ( ), ( ), ( ), ( ) P A B P A P B P A B Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι ν = (άριος), άρα η διάμεσος ισούται με το ημιάθροισμα P( A) + P( B + ) των μεσαίων παρατηρήσεων που είναι σε κάθε περίπτωση δ = = 5 =. 0 6

17 Άσκηση Έστω {,,, κλ, } Ω= ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, όπου x + x 9x 9 κ = lim και λ η μέγιστη τιμή που παίρνει η μέση τιμή των αριθμών x x 9, 9x + 6, x όταν το x διατρέχει το. + x 8 x α. Να βρείτε τους αριθμούς κλ,. P( κ) P( λ) β. Αν P( ) = P( ) = P( ) = = να βρείτε τις πιθανότητες P(, ) P(, ) P(, ) P( κ ) και P ( λ ). γ. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου A x x = { µ Ω / + µ + 0, για κάθε } x. ( ) ( ) x + x 9x 9 x x+ 9 x+ α. κ = lim = lim = x x 9 x x 9 lim ( x+ )( x 9) x 9 x x ( ) = lim x + =. Η μέση τιμή των αριθμών x + 8x, 9x 6 +, x είναι ( x + 8x) + ( 9x+ 6) + ( x ) x = = x + x + = + +. x x Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) Παραγωγίζουμε και έχουμε: ( ) ( ) f x = x + x+ = x+. Ισχύει f ( x) = 0 x+ = 0 x= f ( x) > 0 x+ > 0 x< f ( x) < 0 x+ < 0 x> f x = x + x+, x. 7

18 οπότε σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου Από τα παραπάνω έχουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,] και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, + ). Άρα το μέγιστο της συνάρτησης είναι το f ( ) = + + = 5. Επομένως λ = 5. β. Ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P + P + P + P + P 5 = P() + P() + P() + P() + P() = 0 P() = P() =, 0 Οπότε P = = 0 ( ) P( ) P ( ) = 0 = και 5 P ( 5) =. 0 γ. Αφού x + µ x+ 0 για κάθε x, πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύμου να είναι μικρότερη του μηδενός, δηλαδή = β αγ = µ 6 < 0. Η τελευταία ισχύει όταν µ = ή µ = ή µ =. Άρα A = {,, }, οπότε P( A) = P( ) + P( ) + P( ) =. 0 8

19 Άσκηση Ένα κουτί περιέχει Άσπρες(Α) Μαύρες (Μ) και Κόκκινες (Κ) μπάλες. Αν γνωρίζετε ότι η πιθανότητα να επιλεγεί μια άσπρη μπάλα είναι P( A ) =, η πιθανότητα να επιλεγεί μια μαύρη μπάλα είναι P( M ) = και ότι οι κόκκινες μπάλες είναι 0 να βρείτε πόσες μαύρες και πόσες άσπρες μπάλες περιέχει το κουτί. Έστω Α, Μ, Κ τα ενδεχόμενα να επιλέξουμε Άσπρη, Μαύρη, Κόκκινη μπάλα αντίστοιχα. Αν οι N A x N M = y. άσπρες μπάλες είναι x και οι μαύρες μπάλες είναι y τότε ( ) = και ( ) Επιπλέον έχουμε N( K ) = 0. Οπότε N( Ω ) = x+ y+ 0 Για τα ενδεχόμενα Κ, Μ, Α έχουμε: N( K) PA ( ) + P( M) + PK ( ) = + + = N( Ω) x+ y+ 0 = x+ y+ 0 = x+ y+ 0 = x+ y+ 0 = 8 x+ y = 8 Δηλαδή οι μαύρες και οι άσπρες μπάλες είναι συνολικά 8. Επομένως όλες οι μπάλες που περιέχει το κουτί, δηλαδή και οι άσπρες και οι μαύρες και οι κόκκινες μπάλες είναι συνολικά 8+0=8 Αλλά P( A) N( A) = = N( A) = 6 8 Επομένως οι άσπρες μπάλες είναι 6, οπότε οι μαύρες μπάλες είναι 8-6 = 9

20 Άσκηση Α. Να δείξετε ότι για κάθε ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: PA ( ) PA ( ). α) [ ] β) [ PA] [ PA ] ( ) + ( ). Β. Αν για το ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει 0 < PA ( ) < τότε PA ( ) PA ( ) Α. α) Έχουμε PA ( ) 0 [ PA ( )] [ PA ( )] PA ( ). β) Από το (α) ερώτημα έχουμε: 0 [ PA ( )] PA ( ) ( + ) 0 0 [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) 0 PA + PA PA+ PA [ PA ( )] PA ( ) + PA. 0 0 [ PA ( )] [ ( )] Β. Είναι 0 < PA ( ) < και 0 < PA ( ) < PA ( ) PA ( ) PAPA 9 ( ) ( ) + ( ) ( ) 6 ( ) ( ) PA ( ) PAPA PA ( ) PAPA PA ( ) + 9 PA ( ) 6 PAPA ( ) ( ) PA ( ) + 9[ PA ( )] 6 PA ( )[ PA ( )] PA ( ) 9 9 PA ( ) 6 PA ( ) 6[ PA ( )] + 6[ PA ( )] PA ( ) [ PA ( ) ] 0 που ισχύει. 0

21 Άσκηση 5 Έστω { ω, ω, ω, ω, ω } Ω= ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και δύο ενδεχόμενά 5 του A = { ω, ω, ω } και B { ω, ω, ω } =. Αν είναι 5 PA= ( ) και α) Να αποδείξετε ότι B A= A β) Να βρείτε την πιθανότητα PB ( A) γ) Να αποδείξετε ότι PA ( B) = δ) Να αποδείξετε ότι PA ( B) = 0 ε) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. PB ( ) =, τότε: α) Το ενδεχόμενο B A αποτελείται από τα στοιχεία του Β που δεν ανήκουν στο Α, οπότε έχουμε: B A= ω, ω { } 5 Άρα: Το ενδεχόμενο Α αποτελείται από τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α, οπότε έχουμε: A = ω, ω { } 5 B A= A () β) Από τη σχέση ()</b> έχουμε: PB ( A) = PA ( ) = PA ( ) = = γ) Είναι: PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) () PB ( A) = PB ( ) PA ( B) () Από τις σχέσεις () και () έχουμε: PA ( B) = PA ( ) + PB ( A) () Από τις σχέσεις () και () έχουμε: PA ( B) = PA ( ) + PA ( ) PA ( B) = PA ( ) + PA ( )

22 PA ( B) = ος τρόπος: A B { ω ω ω ω ω } P( A B) P( ) =,,,, =Ω = Ω = 5 δ) Είναι: PB ( A) = και PB ( ) = Άρα από τη σχέση () έχουμε: ( ) ( ) 0 = PA B PA B = ε) Είναι: A B= { ω } Άρα τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

23 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση x Θεωρούμε τη συνάρτηση f( x) = e µ,0< µ <. α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τεταγμένη. β) Δίνονται οι παρατηρήσεις. Να βρείτε τις τιμές του ( 0,) f(0), f (0), f (0), µ το εύρος R των παρατηρήσεων να ισχύει 7 R. 8 µ, ώστε για γ) Αν µ =, θεωρούμε το δειγματικό χώρο Ω= κ, f (0), f (0), ενός πειράματος τύχης 8 και για τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων { ω i}, i =,,,ισχύει P ( ωi) = ωi, τότε: i. να δείξετε ότι κ = και 8 ii. να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου A = { α Ω /''η εφαπτομένη του α) M 8α, α ''} ερωτήματος διέρχεται από το σημείο ( ) A x το σημείο επαφής. Τότε ισχύει µ x0 f( x0) = e = µ x0 = 0 που ισχύει για A. α) Έστω (, 0 ) x 0 = 0, αφού 0< µ <. Άρα το σημείο είναι το ( 0,) µ Η παράγωγος της f είναι ( ) x µ f x = e ( µ x) = µ e x. 0 Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι ε : y = λx+ β, όπου λ = f ( x0 ) = f (0) = µ e = µ. Άρα γίνεται ε : y = µ x+ β. Επίσης A( 0,) ε = µ 0 + β β =. Τελικά η εξίσωση της εφαπτομένης είναι ε : y = µ x+. x β) Έχουμε f( x) e, f ( x) µ e = =. µ µ x µ = = και ( ) x µ f x µ e ( µ x) µ e x Άρα οι παρατηρήσεις είναι: f(0) = e =, f (0) = µ e = µ, f (0) = µ e = µ, µ. Για να υπολογίσουμε το εύρος R πρέπει να τις τοποθετήσουμε σε αύξουσα σειρά. Συγκεκριμένα είναι µ µ 0< µ < 0< µ < µ < 0< µ < µ < µ <. Το εύρος είναι η διαφορά της μικρότερης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση και ισούται με =. R µ

24 Έτσι έχουμε 7 7 R µ µ 8 8 8, άρα µ (). Όμως ξέρουμε ότι 0< µ < (). Από τη συναλήθευση των () και () έχουμε τελικά, µ <. γ) Αν µ =, τότε f (0) = και f (0) =. Έτσι ο δειγματικός χώρος είναι i. Τα στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι μη ισοπίθανα, άρα ισχύει ii. P( κ) + P + P + P = κ = κ = Επειδή µ =, η εφαπτομένη του α) ερωτήματος είναι ε : y = x+. 8α Το σημείο M ( 8α,α) ε α = + 6α = 8α + 8α 6α + = 0. Η εξίσωση έχει διακρίνουσα = 6 = και ρίζες Άρα το ενδεχόμενο Α είναι το A =,. α = ή α=. Ω= κ,,, 8. Από τον αξιωματικό ορισμό προκύπτει ότι PA ( ) = P + P = + =.

25 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση ( ) f x = 8x 5x + 9 xx, και έστω ΑΒ, δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν οι πιθανότητες P( A B) και ( ) P A είναι οι τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της f έχει οριζόντιες εφαπτομένες, τότε α. Να βρείτε τις οριζόντιες εφαπτόμενες. β. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f. γ. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες P( A B) και ( ) P A. δ. Να αποδείξετε την ανισότητα: P( B). α. Η γραφική παράσταση της f έχει οριζόντιες εφαπτόμενες εκεί όπου η κλίση είναι μηδέν, άρα στα σημεία όπου η παράγωγος μηδενίζεται. f x = 0 x 0x+ 9 = 0 ( x= ή Έτσι ( ) x = ). Επίσης f 7 = και f 7 =. 6 Στο σημείο A 7, y = 0 x+ β και το σημείο εξίσωση της εφαπτομένης είναι η εφαπτομένη έχει εξίσωση 7 A 7 7, την επαληθεύει, άρα = 0 + β β =, οπότε η 7 y =. η εφαπτομένη έχει εξίσωση y = 0 x+ β και το σημείο 7 B, 7 Στο σημείο B, 6 6 την 7 7 επαληθεύει, άρα = 0 + β β =, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y =. 6 β. Είναι f ( x) = x 0x+ 9 και οι ρίζες της παραγώγου είναι x = ή x =. Με τη βοήθεια του προσήμου του τριωνύμου σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα 5

26 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και γνησίως αύξουσα στα διαστήματα, και, +, οπότε παρουσιάζει στο 7 x = τοπικό ελάχιστο το f = και στο 6 7 x = τοπικό μέγιστο το f =. γ. Επειδή A B A έπεται ότι P( A B) P( A) συμπεραίνουμε ότι P( A B) = και ( ), άρα από το πρώτο ερώτημα P A =. P B. δ. Από τη συνεπαγωγή A B B P( A B) P( B) έπεται ότι ( ) Επίσης P( A B) P( A) P( B) P( A B) + +. ( ) P( B) P B Άρα P( B). 6

27 Άσκηση Μια κονσερβοποιία συσκεύασε μια ποσότητα κομπόστας σε ομοιόμορφα κουτιά. Από τον ποιοτικό έλεγχο που έκανε προέκυψε ότι: Η πιθανότητα ένα τυχαίο κουτί να βρεθεί κανονικό είναι 8%. Η πιθανότητα ένα τυχαίο κουτί να βρεθεί ελαττωματικό ως ελλιποβαρές είναι %. Η πιθανότητα ένα τυχαίο κουτί να βρεθεί ελαττωματικό ως υπέρβαρο είναι 5%. Η πιθανότητα ένα τυχαίο κουτί να βρεθεί ελαττωματικό λόγω κακής συσκευασίας είναι 0%. Να βρεθεί η πιθανότητα κατά τον ποιοτικό έλεγχο το τυχαίο κουτί να βρεθεί i. ελαττωματικό λόγω βάρους. ii. ελαττωματικό. iii. ελαττωματικό και λόγω βάρους και λόγω συσκευασίας. Έστω τα ενδεχόμενα: Α: «το κουτί είναι κανονικό», τότε P( A ) = 0,8 Β: «το κουτί είναι ελαττωματικό ως ελλιποβαρές» τότε P( B ) = 0, 0 Γ : «το κουτί είναι ελαττωματικό ως υπέρβαρο» τότε P ( Γ ) = 0, 05 Δ: «το κουτί είναι ελαττωματικό λόγω κακής συσκευασίας» τότε P( ) = 0, i. Η πιθανότητα το τυχαίο κουτί να είναι ελαττωματικό λόγω βάρους (επειδή είναι ελλιποβαρές ή υπέρβαρο) με τη βοήθεια των συνόλων εκφράζεται ως PB Γ ( ). Επειδή τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα με βάσει τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε: ( ) ( ) PB ( Γ ) = P B + PΓ = 0,0 + 0,05 = 0,08 ii. Η πιθανότητα το τυχαίο κουτί να βρεθεί ελαττωματικό λόγω βάρους ή λόγω κακής συσκευασίας με τη βοήθεια των συνόλων εκφράζεται ως P(( B Γ) ). Η πιθανότητα αυτή είναι ισοδύναμη με την πιθανότητα το τυχαίο κουτί να μην είναι κανονικό, οπότε έχουμε: ( ) ( ) P(( B Γ) ) = P A = P A = 0,8 = 0,6 iii. H πιθανότητα το τυχαίο κουτί να βρεθεί ελαττωματικό και λόγω βάρους και λόγω κακής συσκευασίας με τη βοήθεια των συνόλων εκφράζεται ως P(( B Γ) ) Επειδή τα ενδεχόμενα B Γ και δεν είναι ασυμβίβαστα με βάση τον προσθετικό νόμο έχουμε: P(( B Γ) ) = P( B Γ ) + P( ) P(( B Γ) ) = 0, , 0,6 = 0, 0 7

28 Άσκηση λx y = λ Δίνεται το σύστημα όπου η παράμετρος λ καθορίζεται από τη ρίψη ενός λ x y = λ αμερόληπτου ζαριού. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων. A = { λ Ω: Το σύστημα έχει μοναδική λύση} B = { λ Ω: Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις} Γ = {λ Ω: Το σύστημα είναι αδύνατο} = {λ Ω: Το σύστημα έχει λύση το ζευγάρι (-, -)} Έχουμε λ Ω= {,,,,5,6}. Υπολογίζουμε τις ορίζουσες DD,, D. x y D λ = = λ+ λ = λλ λ ( ), D x λ = = ( λ ) + λ = λ λ D y λ λ = = λ λ ( λ ) = λ ( λ). λ λ Βρίσκουμε τις τιμές της παραμέτρου, για τις οποίες είναι D = 0. Έχουμε D = 0 λλ ( ) = 0 λ= 0 ή λ =. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν D 0 λλ ( ) 0 λ 0 και λ, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση και N( A) 5 επειδή το λ Ω τότε A = {,,,5,6} οπότε PA ( ) = =. N( Ω) 6 Αν D = 0 λλ ( ) = 0 λ= 0 ή λ =, τότε για: λ = το σύστημα γράφεται x y = x y = άρα έχει άπειρο το πλήθος λύσεων και επειδή το λ Ω τότε B = { } οπότε N( B) PB ( ) = = N( Ω) 6 λ = 0 το σύστημα γράφεται 0x y = y = 0x y = 0 y = 0 άρα είναι αδύνατο και 8

29 επειδή το λ Ω τότε Γ= { } οπότε N( Γ) P( Γ ) = = 0. N( Ω) Όταν το σύστημα έχει λύση το ζευγάρι ( xy, ) = (, ) τότε το λ = και επειδή το λ Ω τότε = { } οπότε N( ) P( ) = =. N( Ω) 6 9

30 Άσκηση 5 Ένα κουτί περιέχει κ -κόκκινες και µ -μαύρες μπάλες. Επιλέγουμε τυχαία μία μπάλα. α) Αν η πιθανότητα να είναι η μπάλα κόκκινη είναι, να βρείτε τη σχέση που συνδέει το κ και το µ. β) Στη συνέχεια προσθέτουμε στο κουτί 6 α -άσπρες μπάλες και η πιθανότητα να επιλεγεί άσπρη μπάλα γίνεται. Βρείτε τα κ και µ. γ) Στη συνέχεια, επίσης βρείτε πόσες πράσινες μπάλες πρέπει να ρίξουμε στο κουτί, ώστε η πιθανότητα να επιλέξουμε τυχαία μία πράσινη μπάλα από αυτό να είναι μικρότερη από το και μεγαλύτερη από 7. α) Στο κουτί αρχικά βρίσκονται κ + µ μπάλες. κ ( κ) = = κ = κ + µ κ = µ. () κ + µ Έχουμε P ( ) β) Στο κουτί τώρα βρίσκονται κ + µ + 6 μπάλες. 6 Έχουμε P( α) = = = κ + µ + 6 κ + µ = 6. () κ + µ + 6 Λύνοντας το σύστημα των () και () βρίσκουμε κ = και µ =. γ) Έστω x το ζητούμενο πλήθος από τις πράσινες μπάλες. Άρα, μέσα στο κουτί υπάρχουν + x μπάλες. x Επομένως, η πιθανότητα να επιλέξουμε τυχαία μία πράσινη μπάλα από το κουτί είναι: + x Από την υπόθεση θα έχουμε: < x < με x > 0 και λύνουμε τη διπλή αυτή ανίσωση. 7 + x x 7x x 6x x + x > 7 > + > > και x x x x x + x < < + < < Επειδή όμως ο x είναι θετικός ακέραιος και < x <, τότε x =. 0

31 Άσκηση 6 5 Δίνεται η συνάρτηση f( x) = x + x x + x, x και δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω με PA ( ) < PB ( ). Αν οι πιθανότητες PA ( ) και PB ( ) είναι οι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στα οποία η C f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη, τότε: α) Να βρείτε τις πιθανότητες PA ( ) και PB. ( ) β) Αν η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β είναι i. Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. ii. Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α. iii. Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β. α) Για κάθε x έχουμε: 5 f x = x + x x + x = x + x x+ ( ) 8 5 Η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη σε ένα σημείο της με τετμημένη x o αν και μόνο αν f ( x o ) = 0, οπότε αρκεί να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης f ( x) = 0. Είναι: f ( x) = 0 8x + x 5x+ = 0 () Με τη βοήθεια του σχήματος Horner η εξίσωση () ισοδύναμα γράφεται: ( ) ( ) x+ 8x 6x+ = 0 x+ = 0 ή 8x 6x+ = 0 Η εξίσωση x + = 0 έχει ρίζα τον αριθμό Η εξίσωση 8x 6x+ = 0 έχει διακρίνουσα = ( 6) 8 = > 0, οπότε έχει δύο 6± ρίζες πραγματικές και άνισες τις x= x= ή x =

32 Άρα ρίζες της εξίσωση () είναι: x =, x = και x = Από τις παραπάνω ρίζες δεκτές είναι μόνο οι: x = και x = αφού το ο αριθμός δεν μπορεί να είναι τιμή πιθανότητας. Είναι PA ( ) < PB ( ), οπότε έχουμε PA= ( ) και PB ( ) = β) i. Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β είναι το A B = A B, οπότε έχουμε: ( ) (( ) ) ( ) ( ) P A B = P A B = P A B = P( A) + P( B) P( A B) = + P( A B) = ( B) 0 P A = Άρα τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. ii. Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α είναι το A B, οπότε έχουμε: PA ( B) = PA ( ) PA ( B) = PA ( ) = iii. Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α και Β είναι το ( A B ). Όμως τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. Έχουμε λοιπόν A B=, επομένως ( A B ) P ( A B) = P( Ω ) = = =Ω, οπότε ( ) Ημερομηνία τροποποίησης: 9//0

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ(3)

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1

P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΜΑΡΤΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων : 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : Είναι το πηλίκο f κ A = ν ενδεχόµενου Α σε ν το πλήθος εκτελέσεις του πειράµατος όπου κ το πλήθος των πραγµατοποιήσεων του. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) Οι απαντήσεις και οι λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άσκηση 1102 Δίνονται δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες α) Να υπολογίσετε την (Μονάδες 9) β) i) Να υπολογίσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ 1 0 i) Πρέπει Άρα πεδίο ορισμού της είναι το ii) Αφού η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: 1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10 ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0 Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

P((1,1)), P((1,2)), P((2,1)), P((2,2))

P((1,1)), P((1,2)), P((2,1)), P((2,2)) ΘΕΜΑ Α Α.. ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. Α.. ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. Α.3. ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ.3 Α.4. )Σ )Λ 3)Σ 4)Λ 5)Λ ΘΕΜΑ Β Β.. Ω={(,), (,), (,3), (,4), (,5), (,), (,), (,3), (,4), (,5), (3,),

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται η εξίσωση fx x 4x Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση f x 0 έχει: α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) ρίζες ετερόσημες δ) Αν 3,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 8 ΧΡΟΝΙ ΕΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ ΘΗΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΘΕΤ ΘΕ 1. ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f x g x f x g x, για κάθε x ονάδες 7. Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η

Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η 1 Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ Απρίλης 014 Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος 013-14 του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η Όπως γνωρίζουμε, ο στίβος του κλασσικού αθλητισμού σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β)

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 04 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ονομάζονται ασυμβίβαστα;

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1

1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1 ,, Β,,λ. Δίνονται τα σημεία Β.Αν τα Α,Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y να βρείτε το λ. Β. Βρείτε τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος.

Διαβάστε περισσότερα