Θέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος δίνεται από τη σχέση:

Transcript

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ((ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ)) Θέμα 1 ο α. γ 3. β 4. γ 5. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Λ 1. Α. ΣΣωωσσττόό ττοο αα.. Θέμα ο Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος δίνεται από τη σχέση: f 0 = 1 D D = k 1 k f 0 = π m π m. Όταν τετραπλασιάσουμε τη μάζα του ταλαντωτή η ιδιοσυχνότητα του συστήματος θα γίνει: ' 1 k 1 1 m f 0 = = π 4 m π k ' f 0 = f0. Β. ΣΣωωσσττόό ττοο ββ.. Όταν η συχνότητα του διεγέρτη f είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα f 0 του συστήματος, το σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με μέγιστο πλάτος. Όταν υποδιπλασιαστεί η ιδιοσυχνότητα του συστήματος θα είναι f οπότε το σύστημα θα πάψει να βρίσκεται σε συντονισμό και το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα ελαττωθεί. ' f 0

2 . α. Η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης που το πλάτος της μεταβάλλεται συνημιτονοειδώς με το χρόνο δίνεται από τη σχέση: χ = συν ω1- ω t ημ ω 1+ ω t Αντιπαραβάλλοντας την εξίσωση αυτή με την εξίσωση της ταλάντωσης που μας δίνεται: χ = 0,6 συν(4πt) ημ(500πt) (SI) παίρνουμε: Α = 0,6 m = 0,3 m ω1- ω t = 4π t ω 1 ω = 8π rad/s (1) και ω 1+ ω t = 500π t ω 1 + ω = 1000π rad/s () (1) + () ω 1 = 1008π ω 1 = 504π rad/s και ω = 1000π 504π = 496π rad/s Άρα οι εξισώσεις των απλών αρμονικών ταλαντώσεων από τις οποίες προέκυψε η παραπάνω κίνηση είναι: χ 1 = 0,3 ημ(504π t) (SI) και χ = 0,3 ημ(496π t) (SI) β. Από την εξίσωση της ταλάντωσης που μας δίνεται: χ = 0,6 συν(4πt) ημ(500πt) (SI) παίρνουμε: ω = 500π rad/s π Τ = 500π rad/s Τ = π 500π s T = 1 50 s H συχνότητα με την οποία μηδενίζεται το πλάτος της ταλάντωσης (συχνότητα ω1 διακροτήματος) είναι: f δ = f 1 f = π - ω π f ω 1 - ω δ = = 4 Hz. π 3. Σωστό το α. Από το διάγραμμα q t που μας δίνεται συμπεραίνουμε ότι: π Ι1 ω 1 Q1 Τ1 Τ Q 1 = Q και T = T 1 άρα = = = Ι ω π Q Τ1 Τ 4. α. Λάθος 1 Ι Ι =

3 Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση: k = 0 e -Λt, όπου t = k T, (k = 0, 1,..) β. Σωστό Το χρονικό διάστημα t που απαιτείται για να μειωθεί οποιαδήποτε τιμή του πλάτους στο μισό της είναι: Α κ = Α 0 e - Λ t 0 = Α 0 e - Λ t 1 = e- Λ t ln 1 = ln (e- Λ t ) - ln = - Λ t t = ln Λ = σταθερό γ. Σωστό Ο λόγος των διαδοχικών πλατών στην ίδια διεύθυνση, είναι: κ = - Λ κ Τ 0 e - Λ (κ+1) Τ κ+1 0 Α Α e = e Λ κ Τ + Λ (κ+1) Τ = e Λ κτ + Λ κτ + ΛΤ Α κ κ+1 = e ΛT = σταθερός Θέμα 3 ο a. Οι δύο ΑΑΤ που εκτελεί ταυτόχρονα το σώμα έχουν: πλάτη: Α 1 = 3 cm και Α = 4 cm, κυκλικές συχνότητες: ω 1 = ω = 3π rad/s, διαφορά φάσης: φ φ 1 = 3πt (3π t + 5π 6 ) φ = 5π 6 rad. Επειδή οι δύο αρμονικές ταλαντώσεις που εκτελεί το σώμα γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω από το ίδιο σημείο και έχουν τις ίδιες συχνότητες η συνισταμένη κίνηση που εκτελεί το σώμα θα είναι ΑΑΤ με: κυκλική συχνότητα ω = 3π rad/s, πλάτος: Α = 3 Α 1 + Α + Α 1 Α συνφ = = 4 Α = cm, γωνία θ που προηγείται της ταλάντωσης με τη μικρότερη φάση:

4 Α ημφ εφθ = Α + Α συνφ = θ = π 1 rad 5π 4 ημ 6 = 5π συν εφθ = Άρα η εξίσωση της συνισταμένης ΑΑΤ θα είναι: χ = ημ(3π t + π ) (χ σε cm). β. Για t = s η ταχύτητα και η επιτάχυνση της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα μάζας m είναι: χ = ημ(3π + π ) = ημ(6π + π ) χ = cm = 10- m u = ω Α συν(3π + π ) = 3π συν(6π + π ) u = 0 α = - ω Α ημ(3π + π ) = - 9π ημ(6π + π ) α = cm/s = 1,8 m/s γ. Εφαρμόζω Α ΕΤ για την ΑΑΤ του σώματος μάζας m: K = 3 U Κ + U = Ε ολ 3U + U = Ε ολ 4 1 D χ = 1 D Α χ = χ = ± = ± 1 cm. 4 Θέμα 4 ο α. Το σώμα Σ 1 κάνει ΑΑΤ με D = k = M ω1 ω 1 = k M = 5 rad/s, περίοδο Τ 1 = π Μ k = π 5 s και πλάτος Α 1 = d = π m οπότε για να φθάσει από την θέση που 0 αφήνεται ελεύθερο (ακραία θέση) στη θέση ισορροπίας του θα χρειασθεί χρόνο: t 1 = Τ 1 4 = π 10 s.

5 Για να συναντηθούν τα δύο σώματα στην θέση ισορροπίας του Σ 1 θα πρέπει το Σ κάνοντας ελεύθερη πτώση να διανύσει το ύψος h σε χρόνο t 1. Άρα: h = 1 g t 1 = 1 10 π 100 h = 0,5 m. β. Οι ταχύτητες των σωμάτων Σ 1 και Σ αμέσως πριν την πλαστική κρούση στην θέση ισορροπίας του Σ 1 είναι ίσες με: π u 1 = u max = ω 1 Α 1 = 5 0 u 1 = π 4 u = g t 1 = 10 π 10 u = π m/s. m/s και (Β) u 0() = 0 Θ.Φ.Μ. F ελ h (+) Θ.Ι.Τ. (Σ 1 ) Δl 0 Μg d = Α 1 u 1 u V χ F ελ Θ.Ι.Τ. συσσωματώματος u 0(1) = 0 V = 0 (Μ + m)g Ακραία θέση της ΑΑΤ του Σ 1 Ακραία θέση της ΑΑΤ του συσσωματώματος Εφαρμόζουμε την Α..Ο. για την πλαστική κρούση rσυστ rσυστ p = p Μ u 1 m u = (Μ + m) V 4 π 4 - π = 5 V V = 0 αρχ τελ άρα το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση ακινητοποιείται στιγμιαία. γ. Εφαρμόζουμε συνθήκες ισορροπίας στην θέση ισορροπίας (ΘΙΤ) του Σ 1 και στη θέση ισορροπίας (ΘΙΤ) του συσσωματώματος για να υπολογίσουμε την απόσταση χ ανάμεσα στις δύο θέσεις.

6 Σ r F = 0 F ελ = Mg k l 0 = M g l 0 = M g k = 0,4 m Σ r F = 0 F ελ = (M + m)g k ( l 0 + χ) = (M + m) g χ = χ = 10 χ = 0,1 m. Το συσσωμάτωμα μετά την κρούση θα κάνει ΑΑΤ με D = k = (M + m)ω και πλάτος Α = χ = 0,1 m γιατί η θέση κρούσης (ΘΙΤ Σ 1 ) είναι ακραία θέση της ΑΑΤ του συσσωματώματος αφού η ταχύτητα του αμέσως μετά την κρούση μηδενίζεται στιγμιαία. δ. Η μέγιστη τιμή της δύναμης του ελατηρίου που δέχεται το συσσωμάτωμα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του μετά την κρούση είναι: max F ελ = k l max = k ( + Α + l 0 ) = 100 (0, + 0,4) max F ελ = 60 Ν