Α = 0,6 m A = 0,3 m ω - ω t = 4π t ω ω = 8π rad/s () και ω + ω t = 500π t ω + ω = 000π rad/s () () + () ω = 008π ω = 504π rad/s και ω = 000π 504π = 49

Transcript

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΕΙΙΣ ΣΤΟ ΙΙΑΓΓΩΝΙΙΣΜΑ ΦΥΥΣΙΙΚΚΗΣ ΚΚΑΤΕΕΥΥΘΥΥΝΣΗΣ Σ ΓΓ ΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΥΥ Θέµα ο. δ. γ 3. α 4. γ 5. β ΚΚυυρρι ιιαακκήή 33 ΙΙααννοουυααρρί ίίοουυ 0033 Θέµα ο. Α) Σωστή απάντηση: (β) Αφού ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει έχουµε: υ cm = ω R υ cm = 0, 0 υ cm = m/s. Β) Σωστή απάντηση: (β) Από την κλίση στο διάγραµµα ω - t βρίσκουµε ότι: a γων = ω t = a γων = 5 rad/s. Γ) Σωστή απάντηση: (a) Επειδή ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ισχύει: α cm = α γων R = 5 0, α cm = m/s. O δίσκος εκτελεί οµαλά άρα: S = α cm t = 4 S επιταχυνόµενη κίνηση (και µεταφορικά αλλά και περιστροφικά), = m.. α. Περιοδική κίνηση (ταλάντωση) της οποίας το πλάτος µεταβάλλεται συνηµιτονοειδώς µε το χρόνο. β. Η εξίσωση της συνισταµένης ταλάντωσης που το πλάτος της µεταβάλλεται συνηµιτονοειδώς µε το χρόνο δίνεται από τη σχέση: χ = A συν ω - ω t ηµ ω + ω t Αντιπαραβάλλοντας την εξίσωση αυτή µε την εξίσωση της ταλάντωσης που µας δίνεται: χ = 0,6 συν(4πt) ηµ(500πt) (SI) παίρνουµε:

2 Α = 0,6 m A = 0,3 m ω - ω t = 4π t ω ω = 8π rad/s () και ω + ω t = 500π t ω + ω = 000π rad/s () () + () ω = 008π ω = 504π rad/s και ω = 000π 504π = 496π rad/s Άρα οι εξισώσεις των απλών αρµονικών ταλαντώσεων από τις οποίες προέκυψε η παραπάνω κίνηση είναι: χ = 0,3 ηµ(504π t) (SI) και χ = 0,3 ηµ(496π t) (SI) γ. Από την εξίσωση της ταλάντωσης που µας δίνεται: χ = 0,6 συν(4πt) ηµ(500πt) (SI) παίρνουµε: ω = 500π rad/s π Τ = 500π rad/s Τ = π 500π s T = 50 s H συχνότητα µε την οποία µηδενίζεται το πλάτος της ταλάντωσης (συχνότητα ω διακροτήµατος) είναι: f δ = f f = π - ω π f ω - ω δ = = 4 Hz. π 3. Σωστή απάντηση: (β) Το πλάτος του (Σ) µετά τη συµβολή των κυµάτων ισούται µε: r - r u t - u t Α Σ = Α συνπ = Α συνπ λ λ Α Σ = Α λ f t συνπ λ = Α u (t ) - t συνπ λ = A συνπ f t = A συνπ T = A συνπ Α Σ = Α. T Η µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σηµείου (Σ) µετά τη συµβολή των κυµάτων σε αυτό είναι: u max = ω Α u max(σ) = ω Α Σ = ω A u max(σ) = u max όπου u max = ω Α η µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των πηγών. Θέµα 3 ο a) α ) Έστω φ η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων. Το πλάτος της συνισταµένης ταλάντωσης δίνεται από τον τύπο: Α = A = A = A Α + Α + Α Α συνφ Α = Α + Α + Α Α συνφ

3 A = A + A συνφ A συνφ = - A συνφ = - φ = π 3. α ) Η αρχική φάση θ της σύνθετης ταλάντωσης, βρίσκεται από τον τύπο: Α ηµφ εφθ = Α + Α συνφ π Α ηµ οπότε µε αντικατάσταση προκύπτει: εφθ = 3 = π Α + Α συν 3 θ = π 3 rad. 3 εφθ = 3 β) Εφόσον οι δύο ταλαντώσεις έχουν την ίδια συχνότητα και η συνισταµένη ταλάντωση θα έχει την ίδια συχνότητα. Άρα κάθε ταλάντωση θα έχει την ίδια σταθερά D, αφού D = m ω. Ισχύει: F επ,max = D A D = F επ,max A () E = D A () A = 0, m. E = F επ,max A A E = F επ,max A 0, J = A Η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης θα υπολογιστεί από την σχέση (): D = 0 N/m. Η γωνιακή συχνότητα είναι: ω = D m = 0 0, = 00 ω = 0 rad/s. Άρα οι εξισώσεις αποµάκρυνσης των δύο αρχικών ταλαντώσεων είναι: χ = A ηµωt χ = 0, ηµ0t και χ = A ηµ(ωt + φ) χ = 0, ηµ(0t + π 3 ) (S.I.) γ) Η εξίσωση της επιτάχυνσης χρόνου για την συνισταµένη ταλάντωση είναι: α = ω Α max α = - α max ηµ(ωt + θ) α = - 0 ηµ(0t + π 3 ) (SI) δ) Η ταχύτητα ταλάντωσης για τη συγκεκριµένη χρονική στιγµή που ισχύει U = 3K, θα υπολογιστεί από την αρχή διατήρησης της ενέργειας:

4 U = 3K Κ + U = Ε Κ + 3Κ = Ε 4 m u = E m u = E u = E 0, = u = 0,5 = 0,5 m/s. m 0, Θέµα 4 ο α) Από το σχήµα φαίνεται ότι η φάση της ταλάντωσης των σηµείων του ελαστικού µέσου διάδοσης του κύµατος µειώνεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Αυτό σηµαίνει ότι το κύµα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα, εποµένως, η εξίσωση του κύµατος είναι της µορφής: ψ = A ηµπ t - χ T λ Η εξίσωση φάσης για αυτό το κύµα δίνεται από τον τύπο: φ = π t χ - T λ Από τα δεδοµένα του σχήµατος έχουµε ότι για χ = 0 και t = 4 s: φ = 4π rad/s. Αντικαθιστώντας τις τιµές στην εξίσωση φάσης, έχουµε: 4π = π 4 Τ Τ = s και ω = π Τ = π rad/s. Η εξίσωση φάσης παίρνει τη µορφή: φ = π t χ - λ (SI) Από τα δεδοµένα του σχήµατος έχουµε ότι για χ = m και t = 4 s: φ = 0 rad/s. Αντικαθιστώντας τις τιµές στην εξίσωση φάσης, έχουµε: 0 = π 4 Τ - π λ λ = 4 λ = m. Τελικά, η εξίσωση του κύµατος παίρνει τη µορφή: ψ = 0, ηµπ t - χ (S. I.) β) Η µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των µορίων του ελαστικού µέσου υπολογίζεται από τον τύπο: u max = ω Α u max = 0,π m/s. Με αντικατάσταση στην εξίσωση της ταχύτητας, έχουµε: V = 0,π συνπ t - χ (S. I.)

5 γ) Για να βρούµε τις χρονικές στιγµές t Κ και t Λ στις οποίες τα σηµεία Κ και Λ ξεκινούν την ταλάντωση τους µηδενίζουµε τη φάση της ταλάντωσης τους, δηλαδή: φ Κ = π Κ - χ Κ = 0 tk - = 0 t Κ = s. φ Λ = π Λ - χ Λ = 0 tλ -,5 = 0 t Λ = 3 s. δ) Η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των σηµείων Κ και Λ του ελαστικού µέσου την ίδια χρονική στιγµή είναι: φ = φ Κ φ Λ = π t - - π -,5 = π t π π t + 3 π φ = π rad ε) Για τη χάραξη της γραφικής παράστασης φ = f(t) για το σηµείο Λ, θέτουµε x Λ =,5 m στην εξίσωση της φάσης: φ(rad) χ Λ =,5 m φ Λ = π - χ Λ = πt 3π (S. I.) µε t 3 s. Η εξίσωση που προκύπτει είναι πρώτου βαθµού ως προς t, η γραφική παράσταση της οποίας φαίνεται στο σχήµα. Ο -3π 3 t (s) στ) Για τη χάραξη της γραφικής παράστασης ψ = f(t) για το σηµείο Λ, θέτουµε χ Λ =,5 m στην εξίσωση του κύµατος: ψ Λ = 0, ηµπ - χ Λ = 0, ηµ(πt 3π) (S. I.) Η εξίσωση που προκύπτει είναι αρµονική συνάρτηση από τη στιγµή t = 3 s και έπειτα. Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήµα: ψ(m) 0, t(s) - 0, ζ) Για την εύρεση της φοράς κίνησης του σηµείου Λ θέτουµε χ = χ Λ =,5 m και t = 4 s στην εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης των σηµείων του ελαστικού µέσου: V Λ = 0,π συνπ t - χ = 0π συν(4π 3π) = 0,π συνπ = - 0,π m/s.

6 Το αρνητικό πρόσηµο της ταχύτητας δηλώνει ότι το συγκεκριµένο σηµείο κινείται προς τα αρνητικά, δηλαδή προς τα κάτω. η) Τη χρονική στιγµή t = 8 s το κύµα έχει φθάσει στο σηµείο που απέχει: χ = u t = λ f t = 8 = 4 m από την πηγή. Η εξίσωση του κύµατος την παραπάνω χρονική στιγµή γράφεται: ψ = 0, ηµπ - χ = 0, ηµ(8π πχ) µε χ 4 m Η σχέση αυτή δίνει την αποµάκρυνση όλων των σηµείων του µέσου, από την πηγή έως το σηµείο που απέχει χ = 4 m από την πηγή, την χρονική στιγµή t = 8 s. Για χ = 0 m ψ = 0 m για χ = λ = = 0,5 m 4 4 ψ = - 0, m Το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t = 8 s είναι: ψ(m) 0, 0-0, 0,5,5,5 3 3,5 4 χ(m)