ISBN K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔÓ Û ÁÁÚ Ê Â ÙÂÚË Î ÔÛË 1993

Transcript

1

2 2 K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔÓ Û ÁÁÚ Ê Â ÙÂÚË Î ÔÛË 1993 Copyright 1989, 1993,. ËÌËÙÚÔappleÔ ÏÔ - æˆìôappleô ÏÔ ISBN Φωτοστοιχειοθεσία-Eκτ πωση: Bι λιοπωλείο: Π. ZHTH & IA O.E. EK OΣEIΣ ZHTH fiïˆóô AÚÌÂÓÔappleÔ ÏÔ 27 Î È Fax , , ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË

3 3 Πρ λογος Tο βιβλίο αυτ αναφέρεται στη µελέτη των ιαφορικών Mορφών επί του ó n, και περιέχει την λη που διδάσκεται στο µάθηµα επιλογής " ιαφορικές Mορφές" του Στ εξαµήνου του Tµήµατος Mαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης. Στη νέα του έκδοση γίνονται κάποιες προσθήκες στο περιεχ µενο του και µικρές αλλαγές, ώστε να υπάρχει ολοκληρωµένη εικ να των εννοιών που χρησιµοποιο νται και να είναι αυτοτελές. Περιέχει βασικά στοιχεία του Λογισµο των ιαφορικών Mορφών, δηλαδή περισσ τερο τις έννοιες που το συγκροτο ν παρά αποδείξεις πολ πλοκων θεωρηµάτων που άλλωστε είναι ελάχιστα και που παρουσιάζονται σε απλο στερη µορφή. Xρησιµοποιο νται, κυρίως συµβολισµοί µε τη βοήθεια συντεταγµένων που απλουστε ουν τους υπολογισµο ς, ενώ συµβολισµοί χωρίς τη χρήση δεικτών αναφέρονται στην περίπτωση που δίνουν αξιοσηµείωτα αποτελέσµατα. Kάποια στοιχεία Γραµµικής Άλγεβρας και Aνάλυσης παρατίθενται για να εισάγουν έννοιες και αποτελέσµατα απαραίτητα στα επ µενα. Περιλαµβάνει τέσσερα κεφάλαια. Tο πρώτο κεφάλαιο αναφέρει τα εισαγωγικά στοιχεία του Aλγεβρικο Tανυστικο Λογισµο, δηλαδή της θεωρίας διανυσµατικών χώρων που δίνει τεχνικές για την οργάνωση και διατ πωση εννοιών µε σο το δυνατ ν λιγ τερα σ µβολα. Tο δε τερο κεφάλαιο αναφέρεται αποκλειστικά στους τελείως αντισυµµετρικο ς τανυστές και τις πράξεις τους, δηλαδή στην εξωτερική άλγεβρα των τανυστών. Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια των διαφορικών µορφών και γίνεται η µελέτη τους, πάντοτε επί του χώρου ó n, ώστε να µην αναφερθεί κανείς καθ λου σε πολλαπλ τητες, που είναι αντικείµενο µελέτης άλλων µαθηµάτων επ µενων εξαµήνων. Tέλος, το τέταρτο κεφάλαιο αφιερώνεται αποκλειστικά στην ολοκλήρωση των διαφορικών µορφών, αρχικά στον διδιάστατο και τριδιάστατο χώρο, ώστε να αναγνωρίζει κανείς οικείους τ πους που εκφράζονται µε τη βοήθεια διαφορικών µορφών, και να γίνεται ευκολ -

4 4 τερα κατανοητή η γενίκευσή τους στον χώρο ó n, που ακολουθεί. Kαθένα κεφάλαιο συµπληρώνεται µε παραδείγµατα και απλές ασκήσεις. Θεσσαλονίκη, ηµητροπο λου - Ψωµοπο λου

5 5 Περιεχ µενα 1. ΣTOIXEIA TANYΣTΩN Ì ÔÏÈÛÌÔ ÙÔ appleú ÁÌ ÙÈÎÔ È Ó ÛÌ ÙÈÎÔ ÒÚÔ E n AÛÎ ÛÂÈ Ì ÔÏÈÛÌÔ ÙË ÁÚ ÌÌÈÎ appleâèîfióèûë appleú ÁÌ ÙÈÎÒÓ È Ó ÛÌ ÙÈÎÒÓ ÒÚˆÓ Ì ÔÏÈÛÌÔ ÙÔ ÎÔ ÒÚÔ E* n ÙÔ appleú ÁÌ ÙÈÎÔ È Ó ÛÌ ÙÈÎÔ ÒÚÔ E n AÛÎ ÛÂÈ Ì ÔÏÈÛÌÔ ÙÔ ÒÚÔ E** n Ì ÔÏÈÛÌÔ ÈÁÚ ÌÌÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ appleú ÁÌ ÙÈÎÒÓ È Ó ÛÌ ÙÈÎÒÓ ÒÚˆÓ AÛÎ ÛÂÈ Ì ÔÏÈÛÌÔ appleôï ÁÚ ÌÌÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ È Ó ÛÌ ÙÈÎÒÓ ÒÚˆÓ AÛÎ ÛÂÈ Ú ÍÂÈ Ù Ó ÛÙÒÓ AÛÎ ÛÂÈ EÈ ÈÎÔ Ù Ó ÛÙ AÛÎ ÛÂÈ EΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Ì ÔÏÈÛÌÔ ÙˆÓ ÙÂÏ ˆ ÓÙÈÛ ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ Ù Ó ÛÙÒÓ ÙÔ ÒÚÔ E n AÛÎ ÛÂÈ E͈ÙÂÚÈÎ ÌÔÚÊ ıìô q ÙÔ appleú ÁÌ ÙÈÎÔ È Ó ÛÌ ÙÈÎÔ ÒÚÔ E n AÛÎ ÛÂÈ AÓÙÈÛ ÌÌÂÙÚÔappleÔ ËÛË Ù Ó ÛÙÒÓ ÙÔ ÒÚÔ E n AÛÎ ÛÂÈ E͈ÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÓÙÈÛ ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ Ù Ó ÛÙÒÓ ÙÔ ÒÚÔ E n AÛÎ ÛÂÈ EÎÊÚ ÛÂÈ ÙˆÓ q-ìôúêòó Ì ÙË Ô ıâè ÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎÔ ÁÈÓÔÌ ÓÔ AÛÎ ÛÂÈ q AÛÎ ÛÂÈ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ MΟΡΦΕΣ O E ÎÏ ÂÈÔ ÒÚÔ ó n Ó ÚÙ ÛÂÈ ÛÙÔÓ ó n AÛÎ ÛÂÈ EÊ appleùfiìâó È Ó ÛÌ Ù ÙÔ ó n. È Ó ÛÌ ÙÈÎ appleâ Âapple ÙÔ ó n...85

6 È ÊÔÚÈÎ ÙÔ ó n. Ú ÌÌÈÎ È ÊÔÚÈÎ ÌÔÚÊ Âapple ÙÔ ó n AÛÎ ÛÂÈ E͈ÙÂÚÈÎ È ÊÔÚÈÎ ÌÔÚÊ ıìô q q- È ÊÔÚÈÎ ÌÔÚÊ Âapple ÙÔ ó n AÛÎ ÛÂÈ AÓÙ ÛÙÚÔÊË ÂÈÎfiÓ Ì q- È ÊÔÚÈÎ ÌÔÚÊ AÛÎ ÛÂÈ E͈ÙÂÚÈÎ È ÊfiÚÈÛË ÌÈ q- È ÊÔÚÈÎ ÌÔÚÊ AÛÎ ÛÂÈ OÈ ÙÂÏÂÛÙ grad, curl, Î È div ÛÙÔÓ ó OΛOKΛHPΩMATA IAΦOPIKΩN MOPΦΩN ÈappleÏfi ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ 2- È ÊÔÚÈÎ ÌÔÚÊ Âapple ÙÔ ó ÔÏÏ appleïfi ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ n- È ÊÔÚÈÎ ÌÔÚÊ Âapple ÙÔ ó n AÛÎ ÛÂÈ EappleÈÎ Ìapple ÏÈÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ 1- È ÊÔÚÈÎ ÌÔÚÊ ÙÔ ó 2 - T appleô Green AÛÎ ÛÂÈ EappleÈÎ Ìapple ÏÈÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÁÚ ÌÌÈÎ È ÊÔÚÈÎ ÌÔÚÊ ÙÔ ó n EappleÈÊ ÓÂÈ Îfi ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ 2- È ÊÔÚÈÎ ÌÔÚÊ ÙÔ ó 3 - T appleôè Ostrogradsky Î È Stokes AÛÎ ÛÂÈ ÔÏÏ appleïfi ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ q- È ÊÔÚÈÎ ÌÔÚÊ ÙÔ ó n - ÂÓÈÎfi Ù appleô Stokes BÈ ÏÈÔÁÚ Ê