Διακριτά Μαθηματικά Ι

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διακριτά Μαθηματικά Ι"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2 MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Θεωρία Συνόλων -- ΕΡΡ: Κεφάλαιο 5 -- ROSEN: Κεφάλαιο 2 Αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού 4 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Σύνολα Georg Cantor: «Σύνολο είναι μια συλλογή συγκεκριμένων και διαφορετικών αντικειμένων της διαίσθησης ή της σκέψης μας που συγκροτούν μια ολότητα.» Συμβολισμοί: Ένα σύνολο αποτυπώνεται: gcantor.jpg Με καταγραφή (ψευδωνύμων) δ ύ των στοιχείων του: Σ = { α, β, γ }. Περιγραφικά (δηλαδή, με αποτύπωση μιας επιθυμητής ιδιότητας) από ένα (ήδη γνωστό) σύμπαν: Α = { κ Ν : κ 7 } B = «πρωτοετείς φοιτητές του CS.UOI» Ως επιφάνεια του επιπέδου, το οποίο αναπαριστά κάποιο σύμπαν που θεωρούμε (διάγραμμα Venn). α Σ, β Σ ή { }: Κενό σύνολο (δεν περιέχει κανένα αντικείμενο). 2 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

3 Παρατηρήσεις Για κάθε σύνολο Σ και κάθε στοιχείο α, ισχύει ότι είτε το α ανήκει στο Σ, ή το α δεν ανήκει στο Σ (όχι και τα δυο). Σε ένα σύνολο Σ, κάθε αντικείμενο α που περιλαμβάνεται στο Σ συνήθως έχει μια ιδιότητα Ρ (που χαρακτηρίζει το Σ). Πχ, το σύνολο Z των ακέραιων αριθμών, το { z Z : PRIME(z) = A } των πρώτων (ακέραιων) αριθμών, κ.λπ. εν έχει νόημα η επανάληψη των εμφανίσεων ενός στοιχείο στο Σ. Πχ, τα σύνολα { α, β, γ, α }, { α, β, γ } ταυτίζονται!!! Θεωρούμε τα σύνολα ως μη διατεταγμένες συλλογές αντικειμένων: Πχ, τα { α, β, γ }, { α, γ, β }, { β, α, γ }, { γ, α, β }, { β, γ, α } και { γ, β, α } αναπαριστούν το ίδιο σύνολο. Ένα σύνολο μπορεί να περιέχει ως στοιχεία του οποιαδήποτε διακεκριμένα ρμ αντικείμενα. Πχ: Α = { α, {δ,ε}, β, }, Β = { α, { α }, { { α } } }. 3 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μια Πρακτική «Θεώρηση» των Συνόλων Τι είναι ακριβώς τα... { α, β, γ }? β β α γ α γ { { α, β } }? α β α β {{{{ { α }, β }}}? α β α β 4 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

4 Υποσύνολα ΟΡΙΣΜΟΣ Σ.1: Για δυο οποιαδήποτε σύνολα Α, Β: Το Α είναι υποσύνολο του Β ( Α Β ), ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ κάθε στοιχείο του Α ανήκει και στο Β: Α Β Χ( Χ Α Χ Β ) Το Α δεν είναι υποσύνολο του Β ( Α Β ), ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ υπάρχει στοιχείο του Α που ΕΝ ανήκει στο Β: Α Β Χ( Χ Α Χ Β ) Το Α είναι γνήσιο υποσύνολο του Β ( Α Β ) ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ το Α είναι υποσύνολο του Β ΚΑΙ το Β δεν είναι υποσύνολο του Α: Α Β Α Β Β Α 5 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μερικά Παραδείγματα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.1: Εξετάστε αν ισχύουν τα εξής: 1. {α,β} { α, β, γ, δ, ε }? 2. {α,β} { α, { β, γ, δ }, ε }? ΝΑΙ ΟΧΙ 3. {α,β} {{ α, β }, γ, δ, ε }? ΟΧΙ 4. {α,β} { { α, β }, γ, δ, ε }? ΝΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.2: Είναι δυνατόν να ισχύει για δυο σύνολα Α,Β ότι: 1. Α Βκαι Α Β? ΝΑΙ: Πχ, Α = { α }, Β = { α, {α} } 2. Α Βκαι Β Α? ΟΧΙ 3. Α Βκαι Β Α? ΝΑΙ: Πχ, Α = { α }, Β = { α } ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.3: Για τα σύνολα Ζ, Q, R των ακέραιων, ρητών και πραγματικών αριθμών, εξηγείστε ποιο είναι (γνήσιο ή μη) υποσύνολο ποιου συνόλου. 6 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

5 Ταύτιση Συνόλων και υναμοσύνολα ΟΡΙΣΜΟΣ Σ.2: Για δυο οποιαδήποτε σύνολα Α, Β : Τα Α και Β ταυτίζονται ( Α Β ) όταν οποιοδήποτε στοιχείο ανήκει στο Α ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ ανήκει και στο Β: Α Β Χ( Χ Α Χ Β ) Το δυναμοσύνολο Ρ(Α) ( ) (ή 2 Α ) του συνόλου Α, είναι το σύνολο ΟΛΩΝ των υποσυνόλων του Α: Χ( Χ Ρ(Α) Χ Α ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.4: Ποιο είναι το δυναμοσύνολο του συνόλου Α = { α, β, γ }? ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ρ(Α) ={, {α}, {β}, {γ}, {α,β}, {α,γ}, {β,γ}, {α,β,γ} β }. 7 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Πληθάριθμος υναμοσυνόλου ΑΣΚΗΣΗ Σ.1: Πόσα στοιχεία έχει το δυναμοσύνολο Ρ(Α) ενός συνόλου Α με Ν στοιχεία (πχ, Α = { 1, 2,..., Ν })? ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Για κάθε στοιχείο του Α, ακριβώς ΥΟ επιλογές: Να το συμπεριλάβω στο υποσύνολο, ή να το παραλείψω. Πχ, για Α = { a,b,c} έχουμε: Ρ(Α) = Πλήθος φύλλων = 2 Α ΕΝΑΛΛ. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Κάθε υποσύνολο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα μοναδικό στοιχείο από ένα σύνολο διαδοχικών φυσικών αριθμών. { } (000) 2 = 0 {α} (100) 2 = 4 {β} (010) 2 = 2 {γ} (001) 2 = 1 {α,β} (110) 2 = 6 {α,γ} (101) 2 = 5 {β,γ} (011) 2 =3 {α,β,γ} (111) 2 = 7 8 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

6 ΠΡΟΤΑΣΗ Σ.1: Μερικές Ιδιότητες Υποσυνόλων Για δυο οποιαδήποτε σύνολα Α,Β ισχύουν τα εξής: 1. Α Α 2. Α 3. Α Β αν και μόνο αν Α Β και Β Α ΑΠΟ ΕΙΞΗ: 1. Α Α = Χ( Χ Α Χ Α ) (έγκυρος τύπος) 2. Α = Χ( Χ Χ Α ) (έγκυρος τύπος: το Χ είναι αντίφαση) 3. Α Β = Χ( Χ Α Χ Β ) Χ[ (Χ Α Χ Β) (Χ Β Χ Α) ] Χ(Χ Α Χ Β) Χ(Χ Β Χ Α) Α Β Β Α 9 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Ελέγχου Ταύτισης Συνόλων (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.5: Ποια από σύνολα Α, Β, Γ ταυτίζονται? Α = { ρ : το ρείναι άρτιος μεταξύ του 1 και του 10 } Β = { ρ : ρ σ + τ σ { 1, 3, 5 } τ { 1, 3, 5 } } Γ = { 2, 4, 6, 8, 10 } ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.6: Στο σύμπαν Ζ των ακέραιων αριθμών, τα υποσύνολα Α, Β, Γ, ορίζονται ως εξής: Α = { ρ : σ( ρ 2*σ ) } Β = το υποσύνολο των άρτιων ακεραίων. Γ = { ρ : σ( ρ 2*σ 2)} = { ρ : σ( ρ 3*σ + 1 ) } Τι από τα ακόλουθα ισχύει? (1) Α Β. (2) Α. (3) Α Γ. ΝΑΙ (???) (???) 10 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

7 Παραδείγματα Ελέγχου Ταύτισης Συνόλων (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.6 (συνέχεια): (2) ΟΧΙ: Αν ίσχυε η ταύτιση των Α, τότε θα έπρεπε να αληθεύει ότι Α : Κάθε άρτιος ακέραιος γράφεται σαν ο επόμενος κάποιου ακέραιου πολλαπλάσιου του 3. ηλαδή: σ( ρ 2*σ ) τ( ρ 3*τ+1 ) }. Όμως η συγκεκριμένη πρόταση διαψεύδεται για σ = 4 γιατί θα έπρεπε να ισχύει ότι τ =(2*4 1)/3 = 7/3 (ΑΤΟΠΟ) (3) ΝΑΙ: Θδο Α Γ και Γ Α. Α Γ = ρ( ( ρ Α ρ Γ ) ρ[ σ( ρ 2*σ ) τ( ρ 2*τ 2 ) ] ρ σ τ[ (ρρ 2*σ σ ) ( ρ 2*τ τ 2)] Για τυχόντα ρ,σ Ζ, (αφού αφορούν καθολικούς ποσοδείκτες), επιλέγουμε (γιατί αφορά υπαρξιακό ποσοδείκτη) το τ = σ+1 Ζ. Γ Α = ρ( ρ Γ ρ Α ) ρ[ τ( ρ 2*τ 2) σ( ρ 2*σ ) ] ρ τ σ[( ρ 2*τ τ 2) ( ρ 2*σ σ )] Για τυχόντα ρ,τ Ζ, επιλέγουμε το σ = τ 1 Ζ. 11 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ΟΡΙΣΜΟΣ Σ.3: Πράξεις Συνόλων (Ι) Για δυο οποιαδήποτε σύνολα Α,Β και σύμπαν Ω: 1. Ένωση Α Β των Α και Β λέγεται το σύνολο που περιλαμβάνει ΟΛΑ τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Α ή στο σύνολο Β (ή και στα δυο). 2. Τομή Α Β των Α και Β λέγεται το σύνολο που περιλαμβάνει ΟΛΑ τα στοιχεία που ανήκουν και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β. ΣΧΗΜΑΤΙΚΑ (με διαγράμματα Venn): Α, Β, Ω Α Β, Ω Α Β, Ω 12 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

8 Ιδιότητες Ένωσης και Τομής Συνόλων (Ι) ΕΝΩΣΗ Α Α Α Α Α Α Β Β Α ΑΝ Β Α ΤΟΤΕ Β Α Α ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ Ι ΙΟΤΗΤΑ ΤΟΜΗ Α Α Α Α Α Β Β Α ΑΝ Β Α ΤΟΤΕ Β Α = Β Α (Β Γ) (Α Β) Γκαι Α (Β Γ) (Α Β) Γ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ Ι ΙΟΤΗΤΑ Α (Β Γ) (Α Β) (Α Γ) και Α (Β Γ) (Α Β) (Α Γ) Εξήγηση Επιμεριστικότητας: για τυχόν στοιχείο του σύμπαντος, α Ω, α Α (Β Γ) α Α α Β Γ α Α ( α Β α Γ ) Ορισμός των, ( α Α α Β ) ( α Α α Γ ) Επιμεριστικότητα, ( α Α Β ) ( α Α Γ ) Ορισμός του α (Α Β) (Α Γ) Ορισμός του 13 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Ιδιότητες Ένωσης και Τομής Συνόλων (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.7: Εφαρμόζοντας κατ επανάληψη την επιμεριστική ιδιότητα, μπορούμε να δείξουμε ότι: Α (Β 1 Β 2... Β κ ) (Α Β 1 ) (Α Β 2 )... (Α Β κ ) Α (Β 1 Β 2... Β κ ) (Α Β 1 ) (Α Β 2 )... (Α Β κ ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Με επαγωγή στο πλήθος κ των συνόλων Β κ. ΒΑΣΗ: Α (Β 1 Β 2) (Α Β 1) (Α Β 2) Επιμεριστική Ιδιότητα ΕΠ. ΥΠΟΘΕΣΗ: Έστω για κάποιο κ 2 ότι Α (Β 1 Β 2... Β κ ) (Α Β 1 ) (Α Β 2 )... (Α Β κ ) ΕΠ. ΒΗΜΑ: Α (Β 1 Β 2... Β κ Β κ+1 ) Α [(Β 1 Β 2... Β κ ) Β κ+1 ] Προσεταιριστικότητα [ Α (Β 1 Β 2... Β κ ) ] (Α Β κ+1 ) Επιμεριστικότητα [(Α Β 1 ) (Α Β 2 )... (Α Β κ )] (Α Β κ+1 ) Επαγ. Υπόθεση (Α Β 1 ) (Α Β 2 )... (Α Β κ ) (Α Β κ+1 ) Προσεταιριστικότητα 14 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

9 Πράξεις Συνόλων (ΙΙ) ΟΡΙΣΜΟΣ Σ.4: Για δυο σύνολα Α,Β, και σύμπαν Ω: 1. Τα Α,Β ονομάζονται ξένα σύνολα ΑΝΝ Α Β. 2. ιαμέριση του συνόλου Α ονομάζεται μια συλλογή { Γ 1 1,,Γ 2,...,Γ, κ } Ρ(Α) ( ) μη κενών υποσυνόλων του Α τ.ώ.: Γ 1 Γ 2... Γ κ Α ΚΑΙ ΓΙΑ ΚΑΘΕ α,β {1,2,...,κ}, {,,, ΑΝ α β ΤΟΤΕ Γ α Γ β 3. ιαφορά Α Β, ή Α \ Β, των Α και Β λέγεται το σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία του Α που ΕΝ ΑΝΗΚΟΥΝ στο Β. ΣΧΗΜΑΤΙΚΑ: ΞΕΝΑ ΣΥΝΟΛΑ Α,Β ΙΑΜΕΡΙΣΗ του Α ΙΑΦΟΡΑ Α Β 15 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ΟΡΙΣΜΟΣ Σ.5: Πράξεις Συνόλων (ΙΙΙ) Για οποιαδήποτε σύνολα Α,Β, και σύμπαν Ω: 1. Συμμετρική διαφορά Α Β των Α,Β είναι η ένωση των διαφορών τους: Α Β = (Α Β) (Β Α). 2. Συμπλήρωμα ΝΟΤ(Α) ή Α c του συνόλου Α είναι η διαφορά του σύμπαντος από το Α : ΝΟΤ(Α) ( ) = Ω Α. 3. Πληθάριθμος Α (πεπερασμένου) συνόλου Α είναι το πλήθος των στοιχείων που περιλαμβάνει το Α. ΣΧΗΜΑΤΙΚΑ: Α, Β, Ω Α Β, Ω Α c A ΝΟΤ(Α) ή Α c Α 16 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

10 Ιδιότητες ιαφοράς Συμπληρώματος Πληθάριθμου ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΙΑΦΟΡΑ Α Β Β Α ΠΛΗΘΑΡΙΘΜΟΣ Α B Α + B Α Β (Α Β) (Α B) Πώς αποδεικνύεται??? (α) (Α Β) (Β Α) (Α Β) (Α B) (β) (Α Β) (Α B) (Α Β) (Β Α) (βλ. επόμενη διαφάνεια) Α B MIN{ Α, B } Α B Α B Α Β = Α + Β - 2 Α Β ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ (Κανόνες De Morgan) (A B) c A c B c Α Β (Α B)c B Α Α c c Β Bc (A B) c A c B c 17 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μεθοδολογία Απόδειξης Υποσυνόλων (Ι) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Πράξεις συνόλων έχουν μεγαλύτερη προτεραιότητα από τελεστές σύγκρισης συνόλων,, που έχουν μεγαλύτερη προτεραιότητα από λογικούς συνδέσμους. Πχ, Α B Γ α Β [ (Α B) Γ ] (α Β) ΤΡΟΠΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΥΠΟΣΥΝΟΛΩΝ Έστω ότι θέλουμε νδο Α Β (Α Β) (Α B). Αρκεί νδο (α) (Α Β) (Β Α) (Α Β) (Α B) (β) (Α Β) (Α B) ( ) (Α Β) (Β Α) ( ) Αποδεικνύουμε το (α) ως εξής (ίδιος τρόπος και για το (β)): ΒΗΜΑ [α.1] Θεωρούμε αυθαίρετο (δηλαδή, συγκεκριμένο αλλά απροσδιόριστο) στοιχείο α (Α Β) (Β Α). ΒΗΜΑ [α.2] Αποδεικνύουμε ότι α (Α Β) (Α B). 18 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

11 Μεθοδολογία Απόδειξης Υποσυνόλων (ΙΙ) Απόδειξη ΒΗΜΑΤΟΣ [α.2] ΕΣΤΩ α (Α Β) (Β Α) ΤΟΤΕ α Α Β α Β Α Ορισμός ένωσης ιερευνούμε τις εξής (αμοιβαία αποκλειόμενες) περιπτώσεις: [α.2.1] ΕΣΤΩ α Α Β ΤΟΤΕ α Α α Β Ορισμός διαφοράς συνόλων ΟΜΩΣ ΑΝ α Α ΤΟΤΕ α Α Β Α Α Β ΚΑΙ ΑΝ α Β ΤΟΤΕ α Α Β Α Β Β ΑΡΑ: [α.2.2] ΕΣΤΩ α Α Β α Α Β Λ : α (Α Β) (Α Β) Ορισμός διαφοράς συνόλων α Α Β ΤΟΤΕ α Β Α ΤΟΤΕ... Όπως και στο [α.2.1] ΑΡΑ: α (Β Α) (Β Α) Λ : α (Α Β) (Α Β) Αντιμεταθετική Ιδιότητα, 19 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μεθοδολογία Απόδειξης Υποσυνόλων (ΙΙΙ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Βασικό τέχνασμα για απόδειξη ιδιοτήτων (πράξεων) συνόλων είναι η μετάβαση από τις πράξεις συνόλων στις αντίστοιχες περιγραφές τους (βάσει ορισμών) και στη συνέχεια η αξιοποίηση των νόμων της ΚΛ. Επιστρέφουμε κατόπιν και πάλι σε πράξεις συνόλων, αξιοποιώντας για μια ακόμη φορά τους ορισμούς. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Νδο (A B) c A c B c χωρίς διαγράμματα Venn. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (A B) c A c B c ΑΝΝ Χ[ Χ (A B) c Χ A c B c ] ΑΝΝ Χ[ (Χ A B ) (Χ A c ) (Χ B c )] ΑΝΝ Χ{ { [(Χ A) (Χ B)] (Χ A) ( ) (Χ B) ( ) } Το τελευταίο προφανώς ισχύει (N. De Morgan της ΠΛ). ΑΣΚΗΣΗ: Κατασκευάστε την απόδειξη του (β) (που λείπει) λί ) για την ιδιότητα Α Β (Α Β) (Α B). 20 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

12 Ταυτότητες Συνόλων 1. (α) Α Β Β Α (β) Α Β Β Α 2. (α) (Α Β) Γ Α (Β Γ) (β) (Α Β) Γ Α (Β Γ) 3. (α) (Α Β) Γ (Α Γ) (Β Γ) (β) (Α Β) Γ (Α Γ) (Β Γ) 4. (α) Α Α (β) Ω Α Α 5. (α) Α Α c Ω (β) Α Α c 6. (Α c ) c Α 7. (α) Α Α Α (β) Α Α Α 8. (α) Ω Α Ω (β) Α 9. (α) (A B) c A c B c (β) (A B) c A c B c 10. (α) Α (Α Β) Α (β) Α (Α Β) Α 11. (α) Ω c (β) c Ω Α Β Α Β c Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Απόδειξη Ταυτολογιών ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.8: Να δειχθεί (δίχως διαγράμματα Venn) ότι ισχύουν οι νόμοι De Morgan για σύνολα: (α) (Α Β) c Α c Β c (β) (A Β) c Α c Β c ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αποδεικνύουμε το (α), ανάλογη η απόδειξη και για το (β). (Α Β) c Α c Β c ΑΝΝ [α.1] (Α Β) c Α c Β c ΚΑΙ [α.2] Α c Β c (Α Β) c [α.1] ΕΣΤΩ αυθαίρετο α (Α Β) c ΤΟΤΕ α Α Β ΤΟΤΕ [ α Α α Β ] ΤΟΤΕ (α ( Α) (α ( Β) ΤΟΤΕ α Α c α Β c ΤΟΤΕ α Α c Β c [α.2] ΕΣΤΩ αυθαίρετο α Α c Β c ΤΟΤΕ α Α c α Β c ΤΟΤΕ (α Α) (α Β) ΤΟΤΕ [ [ α Α α Β ] ΤΟΤΕ [ α Α B] ΤΟΤΕ α (Α B) c ΑΡΑ: (Α Β) c Α c Β c 22 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

13 Παρένθεση ως προς τη χρήση της ΚΛ Πολλές φορές στη θεωρία συνόλων εξυπηρετεί η χρήση ενός σύμπαντος που περιλαμβάνει ΚΑΙ τα αντικείμενα του Ω ΚΑΙ τα υποσύνολα ολα του Ω: Α = Ω Ρ(Ω). Προκειμένου να ελέγξουμε μια ιδιότητα δό φ(χ) για ΟΛΑ, ή για ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑ αντικείμενο του Ω, μπορούμε να γράψουμε: Χ[ Χ Ω φ(χ) ] ή Χ[ Χ Ω φ(χ) ] Προκειμένου να ελέγξουμε μια ιδιότητα ψ(χ) για ΟΛΑ ή για ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑ υποσύνολο του Ω, μπορούμε να γράψουμε: Χ[ [ Χ Ω ψ(χ) )]ή ή Χ[ [ Χ Ω ψ(χ) )] Ισοδύναμα: Χ[ Χ Ρ(Ω) ψ(χ) ] ή Χ[ Χ Ρ(Ω) ψ(χ) ] 23 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μοναδικότητα Κενού Συνόλου ΠΡΟΤΑΣΗ Σ.2: Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου. ηλαδή: Α(Α Ω Α), όπου Ω το σύμπαν που θεωρούμε. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Για χάρη της απαγωγής σε άτοπο, έστω ότι Α( Α Ω Α ) Α[ Α Ω Χ( Χ Χ Α ) ] Α Χ[ Α Ω Χ Χ Α c ] (ΑΤΟΠΟ) ΠΡΟΤΑΣΗ Σ.3: ΑΝ ένα σύνολο Ε είναι υποσύνολο κάθε συνόλου Α Ω ΤΟΤΕ Ε. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Για χάρη της απαγωγής σε άτοπο, έστω ότι Ε{ Ε Ω Α[ Α Ω Ε Α ] ( Ε ) } Ε Α{ Ε Ω [ Α Ω Ε Α ] [Ε Ε ]} Η τελεταία ιδιότητα πρέπει να ισχύει για το αυθαίρετο σύνολο Ε, ΑΛΛΑ ΚΑΙ για κάθε σύνολο Α, άρα και για Α = : Ε{ Ε Ω [ Ω Ω Ε ] Ε } Ε{ Ε Ω Ε Ε } (ΑΤΟΠΟ) 24 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

14 Απόδειξη Ιδιοτήτων με Χρήση Ταυτοτήτων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.9: Νδο. χωρίς διαγράμματα Venn: (α) Χ Υ Χ Υ c (β) (Α Β) C (Α C) (Β C). ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α) Για αυθαίρετο στοιχείο α Ω: ANN ANN ANN α Χ Υ α Χ α Υ α Χ α Υ c α Χ Υ c (β) (Α Β) C (Α Β) C c (Α C c ) (Β C c ) (Α C) (Β C) 25 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ΟΡΙΣΜΟΣ Σ.6: Καρτεσιανά Γινόμενα (Ι) Για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό Ν, και οποιαδήποτε (όχι απαραίτητα διακριτά μεταξύ τους) αντικείμενα Χ 1,ΧΧ 2,...,ΧΧ Ν το διατεταγμένο σύνολο (Χ 1,Χ 2,...,Χ Ν ) είναι μια συλλογή των συγκεκριμένων αντικειμένω με μια συγκεκριμένη σειρά (διάταξη). Για οποιοδήποτε ζεύγος συνόλων Α,Β, το καρτεσιανό γινόμενο ΑxBB είναι ένα καινούργιο σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα δυνατά διατεταγμένα ζεύγη στοιχείων από τα Α και Β: ΑxB = { (a,β) : α Α β Β } 26 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

15 Καρτεσιανά Γινόμενα (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Πώς θα μπορούσε να αναπαρασταθεί το διατεταγμένο σύνολο ( α, β, α, α, β, γ, δ, α ) χρησιμοποιώντας αποκλειστικά μη διατεταγμένα σύνολα? ΑΠΑΝΤΗΣΗ: { {1,α}, {2,β}, {3,α}, {4,α}, {5,β}, {6,γ}, {7,δ}, {8,α} } ΕΡΩΤΗΣΗ: Τι από τα παρακάτω ισχύει? 1. (1,2) (2,1) 2. {1,2} {2,1} 3. {1,2} (1,2) 4. (3, (-2) 2, 1/2) ( 9, 4, 0.5) 5. Για τα σύνολα Α = {Χ,Υ}, Β = {1,2,3}, Γ = {α,β}, (Α x B) x Γ Α x (B x Γ) Α x B x Γ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ (3 ( 2) 2 1/2) ( ) ΝΑΙ ΟΧΙ 27 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Εγκλεισμός -- Αποκλεισμός Μερικά απλά συμπεράσματα για τον πληθάριθμο πεπερασμένων συνόλων που προκύπτουν από πράξεις συνόλων: ΑΝ ΤΟΤΕ Α Β = Α Β = Α ΚΑΙ Β Α = Β ΚΑΙ Α Β = Α Β = Α + Β Α -B Α B Β - Α Ω Α Β Α + Β Α Β ΜΙΝ { Α, Β } Α Β = Α + Β 2 Α Β Α Β Α Β ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΣ -- ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ Α Β = Α + Β Α Β 28 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

16 Α Β Γ =??? Ενωση Περισσότερων Συνόλων? Χρησιμοποιούμε τις σχέσεις: Α Β = Α + Β Α Β και Α Β Γ = (Α Β) Γ Α Β Γ = = (Α Β) Γ = (Α Β) + Γ - (Α Β) Γ = Α + Β Α Β + Γ (Α Γ) (Β Γ) = Α + Β + Γ Α Β Α Γ Β Γ + (Α Γ) (Β Γ) = Α + Β + Γ Α Β Α Γ Β Γ + Α Β Γ Έλεγχος μέσω διαγράμματος Venn: Α Α B Γ Β 29 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Γ Αρχή Εκγλεισμού Αποκλεισμού (Ι) ΠΡΟΤΑΣΗ Σ.4: Για κάθε κ 2 και για οποιαδήποτε σύνολα Α 1,Α 2,...,Α κ ισχύει ότι: Α 1 Α 2... Α κ = = Α 1 + Α Α κ [ Α 1 Α 2 + Α 1 Α Α κ-1 Α κ ] (-1) λ-1 * [ Α 1 Α 2... Α λ-1 Α λ + Α 1 Α 2... Α λ-1 Α λ+1 + ] + + (-1) κ-1 * Α 1 Α 2... Α κ-1 Α κ ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ Σ.4: Με επαγωγή γή στο πλήθος των συνόλων. [ΒΑΣΗ] Για κ=2,3 (ΟΚ). [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] Για κάποιο κ 1 και οποιαδήποτε σύνολα Α 1,Α 2,...,Α κ, ισχύει ότι: Α 1 Α 2... Α κ = = Α 1 + Α Α κ [ Α 1 Α 2 + Α 1 Α Α κ-1 Α κ ] (-1) κ-1 * Α 1 Α 2... Α κ-1 Α κ [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Θα πρέπει να δείξω ότι οποιαδήποτε σύνολα Α 1,Α 2,...,Α κ,α κ+1 ισχύει ότι: Α 1 Α 2... Α κ Α κ+1 = Α 1 + Α Α κ+1 [ Α 1 Α 2 + Α 1 Α Α κ Α κ+1 ] (-1) κ * Α 1 Α 2... Α κ-1 Α κ Α κ Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

17 Αρχή Εκγλεισμού Αποκλεισμού (ΙΙ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ Σ.4 (συνέχεια Επαγ. Βήματος): Α 1 Α 2... Α κ Α κ+1 = (Α 1 Α 2... Α κ ) Α κ+1 = Α 1 Α 2... Α κ + Α κ+1 (Α 1 Α 2... Α κ ) Α κ+1 // Βάση Επαγωγής = Α 1 + Α Α κ [ Α 1 Α 2 + Α 1 Α Α ] (1) 1 κ-1 Α κ (-1) κ-1 * Α 1 Α 2... Α κ-1 Α κ // Επαγ. Υπόθεση + Α κ+1 (Α 1 Α 2... Α κ ) Α κ+1 = Σ λ=1 κ+1 1 Α λ Σ λ,μ=1 κ: λ μ Α λ Α μ + + (-1) κ-1 * Α 1 Α 2... Α κ-1 1 Α κ (Α 1 Α κ+1 ) (Α 2 Α κ+1 )... (Α κ Α κ+1 ) // Επιμεριστικότητα = Σ λ=1 κ+1 Α λ Σ λ,μ=1 κ: λ μ Α λ Α μ + + (-1) κ-1 * Α 1 Α 2... Α κ-1 Α κ Α 1 Α κ+1 + Α 2 Α κ Α κ Α κ+1 + (Α 1 Α 2 Α κ+1 )... (Α κ-1 Α κ Α κ+1 ) (-1) κ-1 * Α 1 Α 2 Α κ Α κ+1 // Επαγ. Υπόθεση = Σ + +( κ-1 λ=1 κ+1 Α λ Σ λ,μ=1 κ+1: λ μ Α λ Α μ (-1) 1 * Α 1 Α 2... Α Α κ-1 Α κ Α 1 Α κ+1 + Α 2 Α κ Α κ Α κ+1 + (Α 1 Α 2 Α κ+1 )... (Α κ-1 Α κ Α κ+1 ) (-1) κ-1 * Α 1 Α 2 Α Α κ Α κ+1 = Σ λ=1 κ+1 Α λ Σ λ,μ=1 κ+1: λ μ Α λ Α μ + + (-1) κ * Α 1 Α 2 Α κ Α κ+1 31 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.10: Ανάμεσα σε 30 αυτοκίνητα, 15 έχουν MP3 player, 8 έχουν κλιματισμό, 6 έχουν συναγερμό, ενώ 3 αυτοκίνητα διαθέτουν και τα τρία αξεσουάρ. Νδο τουλάχιστον 7 αυτοκίνητα δεν έχουν κανένα από αυτά τα αξεσουάρ. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σ.10: Ω = το σύνολο των 30 αυτοκινήτων Α = { κ Ω: υπάρχει MP3 player στο κ} Α = 15 Β ={κ κ Ω: υπάρχει κλιματισμός στο κ} Β =8 Γ = { κ Ω: υπάρχει συναγερμός στο κ} Γ = 6 Γνωρίζουμε επίσης ότι Α Β Γ = 3. Ζητάμε κάτω φράγμα για το Ζ = ΝΟΤ(Α) ΝΟΤ(Β) ΝΟΤ(Γ). Ζ = Ω Α Β Γ = 30 Α Β Γ + Α Β + Α Γ + Β Γ Α Β Γ = 2 + Α Β + Α Γ + Β Γ 2 + 3* Α Β Γ // Α Β Γ Α Β, Α Β Γ Α Γ, Α Β Γ Β Γ 7 32 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

18 Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.11: Έστω το σύνολο Ω = {1,2,3,...,100}. Να βρείτε πόσοι αριθμοί του Ω δεν διαιρούνται ούτε με το 5 ούτε με το 7. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: 5 = Υποσύνολο του Ω με πολλαπλάσια του 5. 5 =? 7 = Υποσύνολο του Ωμε πολλαπλάσια του 7. 7 =? ΑΡΑ: 5 = 100 / 5 = 20 και 7 = 100 / 7 = 14. ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ? Ζ = Ω ( 5 7 ) = Ω 5 7 = Ω = =? Οι αριθμοί που διαιρούνται ΚΑΙ από το 5 ΚΑΙ από το 7 διαιρούνται και από το 5*7 7(ΓΙΑΤΙ?) ΑΡΑ: 5 7 = 100 / (7*5) = 2 και Ζ = = Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.12: Έστω το σύνολο Ω = {1,2,3,...,100}. Να βρείτε πόσοι αριθμοί από το Ω διαιρούνται με το 3, αλλά δεν διαιρούνται ούτε με το 5 ούτε με το 7. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 3 = 100 / 3 = 33, 5 = 100 / 5 = 20 και 7 = 100 / 7 = 14. ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ? Ζ = 3 ΝΟΤ( 5 ) ΝΟΤ( 7 ) = ΝΟΤ( ΝΟΤ( 3 ) 5 7 ) = Ω ΝΟΤ( 3 ) 5 7 ) = Ω ΝΟΤ( 3 3) NOT( 3 ) 5 + ΝΟΤ( 3 ) ΝΟΤ( 3 ) 5 7 = ΝΟΤ( 3 ) 5 + ΝΟΤ( 3 ) ΝΟΤ( 3 ) 5 7 ΕΡΩΤΗΣΗ: Πώς υπολογίζουμε τα NOT( 3 ) 5, NOT( 3 ) 7 και NOT( 3 ) 5 ΝΟΤ( 3 ) 5 7? 34 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

19 Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (ΙV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.12: Έστω το σύνολο Ω = {1,2,3,...,100}. Να βρείτε: (ιι) Πόσοι αριθμοί από το Ω διαιρούνται με το 3, αλλά δεν διαιρούνται ούτε με το 5 ούτε με το 7. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (συνέχεια) ΕΡΩΤΗΣΗ: Πώς υπολογίζουμε τα NOT( 3 ) 5, NOT( 3 ) 7 και NOT( 3 ) 5 ΝΟΤ( 3 ) 5 7? Τα σύνολα NOT( 3 ) 5 και 3 5 διαμερίζουν το 5. ΑΡΑ: NOT( 3 ) = 5 NOT( 3 ) 5 = = / 15 =14 Παρόμοια: NOT( 3 3) 7 7 = = / 21 = 14 4 = 10 NOT( 3 ) 5 7 = = / 105 = 2 ΑΡΑ: Ζ = = Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (ΙV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.13: Βρείτε πόσοι φυσικοί αριθμοί μεταξύ του 1 και του 250 δεν διαιρούνται ακέραια από ΚΑΝΕΝΑΝ από τους 2,3 και 5. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σ.11: Ω = {1,2,3,..., Ω } Για κάθε φυσικό αριθμό Κ 1, έστω Α Κ το σύνολο των φυσικών του Ω που διαιρούνται ακέραια από το Κ. ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ: Α Κ = floor( Ω / Κ ) ΕΞΗΓΗΣΗ: ημιουργούμε Κ υποδοχές, που δέχονται τους αριθμούς Χ για τους οποίους Χ modulo Κ = 0 (η 1 η υποδοχή), ή Χ modulo Κ = 1 (η 2 η υποδοχή),..., Χ modulo Κ = Κ-1 (η Κ στή υποδοχή). Για κάθε ζεύγος (διαφορετικών) ΠΡΩΤΩΝ φυσικών Κ,Λ 2, Α Κ,Λ είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που διαιρούνται ΚΑΙ από το Κ ΚΑΙ από το Λ. ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ: Α Κ Α Λ = floor( Ω / (Κ*Λ) ) ΕΞΗΓΗΣΗ: Οι αριθμοί Χ που διαιρούνται ακέραια από δυο διαφορετικούς πρώτους αριθμούς Κ και Λ, διαιρούνται ακέραια ΚΑΙ από το Κ*Λ. Ομοίως για περισσότερους ερο ΠΡΩΤΟΥΣ φυσικούς αριθμούς. 36 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

20 Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (V) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.13: Βρείτε πόσοι φυσικοί αριθμοί μεταξύ του 1 και του 250 δεν διαιρούνται ακέραια από ΚΑΝΕΝΑΝ από τους 2,3 και 5. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σ.11 (συνέχεια): ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ = ΝΟΤ(Α 2 ) ΝΟΤ(Α 3 ) ΝΟΤ(Α 5 ) = Ω Α 2 Α 3 Α 5 ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΣ--ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ: Α 2 Α 3 Α 5 = Α 2 + Α Α 3 + Α Α 5 Α 2 Α 3 Α 2 Α 5 Α 3 Α 5 + Α Α 2 Α 3 Α 5 Α 2 = floor(250/2) = 125; Α 3 = floor(250/3) = 83; Α 5 = floor(250/5) = 50 Α 2 Α 3 = floor( 250 / (2*3) ) = 41 Α 2 Α 5 = floor( 250 / (2*5) ) = 25 Α 3 Α 5 5 = floor( 250 / (3*5) ) = 16 Α 2 Α 3 Α 5 = floor( 250 / (2*3*5) = 8 ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ = 250 [ ] = = Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (VI) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.14: 75 παιδιά πήγαν σε ένα λούνα παρκ, όπου έχουν την επιλογή να διαλέξουν μεταξύ τριών παιχνιδιών (έστω Α, Β και Γ). 20 παιδιά δοκίμασαν (μια φορά) και τα τρία παιχνίδια, 55από αυτά πήγαν σε τουλάχιστον δυο από τα τρία παιχνίδια, ενώ κανένα παιδί δεν έπαιξε το ίδιο παιχνίδι περισσότερες από μια φορές. Η συμμετοχή σε καθένα από τα παιχνίδια κοστίζει (για κάθε παιδί) 0,50ευρώ, ενώ η συνολική είσπραξη του λούνα παρκ τελικά ήταν 70 ευρώ. Πόσα παιδιά δάδε συμμετείχαν σε κανένα παιχνίδι? ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ? Ζ = Ω Α Β Γ = Ω Α Β Γ + Α Β + Α Γ + Β Γ Α Β Γ 75 =? Ω 20 =? Α Β Γ 55 =? (Α Β) (Α Γ) (Β Γ) =? Α Β + Α Γ + Β Γ 2* Α Β Γ 140 = 70 / 0.5 =? = Α + Β + Γ ΑΡΑ: Ζ = = Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

21 Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (VII) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.15: Ας θεωρήσουμε γνωστό ότι για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς Κ, Μ 1, μπορούμε να κατασκευάσουμε Μ Κ διαφορετικές συμβολοσειρές μήκους Καπό ένα Μ-δικό αλφάβητο. Να υπολογίσετε το πλήθος των 20-ψήφιων συμβολοσειρών στο δεκαδικό αλφάβητο Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} όπου καθένα από τα ψηφία 1, 2 και 3 ΕΜΦΑΝΙΖΕΤΑΙ τουλάχιστον μια φορά. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α κ : Σύνολο 20-ψήφιων συμβολοσειρών όπου το ψηφίο κ Σ ΕΝ ΕΜΦΑΝΙΖΕΤΑΙ καθόλου. ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ: Ζ = ΝΟΤ(Α 1 Α 2 Α 3 ) = Ω Α 1 Α 2 Α 3 ) Α 1 Α 2 Α 3 = Α Α 1 + Α 2 + Α 3 Α Α 1 Α 2 Α Α 1 Α 3 Α 2 Α 3 + Α 1 Α 2 Α 3 Ω = κ {1,2,3}, Α κ = 9 20 {κ,λ} {1,2,3}, Α 1 Α 2 = 8 20 Α Α Α 1 Α 2 Α 3 = Τμήμα Μηχ. Ζ Η/Υ = & Πληροφορικής 3*9 20 Παν/μίου Ιωαννίνων + 3*8 20 / ΜΥΥ204: ιακριτά 7 20 Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (VIΙI) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.16: Σε μια δημοσκόπηση που έγινε μεταξύ των εργαζόμενων του Πανεπιστημίου, δυο φοιτητές καταμέτρησαν (ο κάθένας ξεχωριστά) τα εξής αποτελέσματα: 60% των εργαζομένων παίζει ποδόσφαιρο. 50% των εργαζομένων παίζει μπριτζ. 70% των εργαζομένων πάει για τρέξιμο. 20% των εργαζομένων παίζει ποδόσφαιρο και μπρίτζ. 30% των εργαζομένων παίζει ποδόσφαιρο και πάει για τρέξιμο. 40% των εργαζομένων παίζει μπριτζ και πάει για τρέξιμο. Οι δυο φοιτητές όμως διαφωνούν στο ποσοστό των εργαζομένων που ασχολούνται και με τις τρεις δραστηριότητες. Ο πρώτος φοιτητής ισχυρίζεται ότι 20% των εργαζομένων κάνει και τις τρεις δραστηριότητες, ενώ ο δεύτερος λέει ότι το σωστό ποσοστό είναι 15%. Ποιος από τους δυο φοιτητές έχει δίκιο? Εξηγήστε τον ισχυρισμό σας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Π Μ Τ = Π Μ Τ Π Μ Τ + Π Μ + Π Τ + Μ Τ =< Ω Π Μ Τ + Π Μ + Π Τ + Μ Τ = 10, Και οι δυο φοιτητές έχουν κάνει λάθος στη μέτρηση. είτε την πλήρη απάντηση στην 2η ανάθεση του Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

22 Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

23 Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

24 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Διακριτά Μαθηματικά Ι. Θεωρία συνόλων». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σύνολα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ορισμός Συνόλου Σύνολο είναι μια συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. Ορισμός Συνόλου. Υποσύνολα και Κενό Σύνολο. Στοιχεία ενός συνόλου:

Σύνολα. Ορισμός Συνόλου. Υποσύνολα και Κενό Σύνολο. Στοιχεία ενός συνόλου: Ορισμός Συνόλου Σύνολα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σύνολο είναι μια συλλογή διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Αλγόριθμοι. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Προγραμματισμός Η/Υ. Αλγόριθμοι. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Προγραμματισμός Η/Υ Αλγόριθμοι ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Ανάπτυξη Λογισμικού Η διαδικασία ανάπτυξης λογισμικού μπορεί να παρομοιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 1: Συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 1η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkra Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upara.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Σύνθετοι αναλυτικοί - αριθμητικοί υπολογισμοί Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μέρος I Εναρξη μαθήματος 5 7 Υπολογιστική Άλγεβρα (439) ) Ευάγγελος

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό

Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Ενότητα 6: Μοντελοποίηση υπολογισμού: Κανονικές εκφράσεις Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6: Ανάδραση Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 2: Γραμμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Αγροτικός Τουρισμός. Ενότητα 9 η : Εκπαιδευτικές τεχνικές στον τουρισμό. Όλγα Ιακωβίδου Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Αγροτικός Τουρισμός. Ενότητα 9 η : Εκπαιδευτικές τεχνικές στον τουρισμό. Όλγα Ιακωβίδου Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αγροτικός Τουρισμός Ενότητα 9 η : Εκπαιδευτικές τεχνικές στον τουρισμό Όλγα Ιακωβίδου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 3

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 3 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 3: Ενισχυτές στις χαμηλές συχνότητες Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Ολικής Ποιότητας & Επιχειρηματική Αριστεία Ενότητα 1.3.3: Μεθοδολογία εφαρμογής προγράμματος Ολικής Ποιότητας

Διοίκηση Ολικής Ποιότητας & Επιχειρηματική Αριστεία Ενότητα 1.3.3: Μεθοδολογία εφαρμογής προγράμματος Ολικής Ποιότητας Διοίκηση Ολικής Ποιότητας & Επιχειρηματική Αριστεία Ενότητα 1.3.3: Ψωμάς Ευάγγελος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Υποενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι Ενότητα 5

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι Ενότητα 5 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι Ενότητα 5: Ενισχυτές με FET Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Μάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων

Μάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων Ενότητα 4 η : Οι Παραγωγοί Αγροτικών Προϊόντων Χρίστος Καμενίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό

Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Ενότητα 5: Μοντελοποίηση υπολογισμού: Πεπερασμένα αυτόματα Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 4

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 4 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 4 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Η συνεπαγωγή. Η Ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή. Ο σύνδεσμος «ή» Ο σύνδεσμος «και»

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Η συνεπαγωγή. Η Ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή. Ο σύνδεσμος «ή» Ο σύνδεσμος «και» Η συνεπαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι: «ο P συνεπάγεται τον Q» και γράφουμε P Q. Παράδειγμα: x=3 x 2 =9. Ο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι

Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι Ενότητα: Επαναληπτικές Ασκήσεις Ενότητας 4 Όνομα Καθηγητή: Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 23: Υπολογισμοί σε Κβαντικά Κυκλώματα ΙΙ Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Υπολογισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 3: Ασκήσεις Bayes Περιοχές Απόφασης Διακρίνουσες Συναρτήσεις Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 1: Εισαγωγή

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 1: Εισαγωγή Διακριτά Μαθηματικά Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί ενότητας Βιβλιογραφία Αντικείμενο μαθήματος Χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εφαρμοσμένης. Ενότητα 14.2: Η ψήφος στα πρόσωπα. Θεόδωρος Χατζηπαντελής Τμήμα Πολιτικών Επιστημών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Θέματα Εφαρμοσμένης. Ενότητα 14.2: Η ψήφος στα πρόσωπα. Θεόδωρος Χατζηπαντελής Τμήμα Πολιτικών Επιστημών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Εφαρμοσμένης Πολιτικής Ανάλυσης Ενότητα 14.2: Η ψήφος στα πρόσωπα. Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 2: Σύνολα και σχέσεις Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. 6 ο Μάθημα: Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Στατιστική. 6 ο Μάθημα: Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική 6 ο Μάθημα: Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Διδακτικές Προσεγγίσεις για τον Προγραμματισμό Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskl Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ2, Ενότητα : Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Ενότητα : Υλοποίηση Λεξικών µε

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11: Διδακτική της έννοιας της μεταβλητής Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Προγραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Προγραμματισμός Η/Υ Βασικές Προγραμματιστικές Δομές ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Δομή Ελέγχου Ροής (IF) Η εντολή IF χρησιμοποιείται όταν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 6: Όριο και συνέχεια συναρτήσεων (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 11η Άσκηση - Σταθμισμένος Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 11η Άσκηση - Σταθμισμένος Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα η Άσκηση - Σταθμισμένος Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων

Μάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων Ενότητα 2 η : Σκοποί και Σπουδαιότητα του Μάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων Χρίστος Καμενίδης Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Διαδικασία και Μάθηση στο Νηπιαγωγείο Ενότητα 1: Εισαγωγή

Εκπαιδευτική Διαδικασία και Μάθηση στο Νηπιαγωγείο Ενότητα 1: Εισαγωγή Εκπαιδευτική Διαδικασία και Μάθηση στο Νηπιαγωγείο Ενότητα 1: Εισαγωγή Διδάσκουσα: Μαρία Καμπεζά Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Σκοποί ενότητας Να ενημερωθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Φυσική ΙΙΙ Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Ασκήσεις ΦΙΙΙ Ασκήσεις κυκλωμάτων συνεχούς ρεύματος. Κανόνες Kirchhoff. Γ. Βούλγαρης 2 Ο Νόμος των Ρευμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Μάθημα ασκήσεων 3: Κοντή γραμμή μεταφοράς Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Δούκας Δημήτριος Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 6 : Ασκήσεις (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 1: Κρίσιμα συμβάντα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Απομαγνητοφώνηση αποσπάσματος από Β Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 8: Εφαρμογές παραγώγων Μελέτη και βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Εφαρμογές στη Φυσική Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΚΑΛΑΘΟΣΦΑΙΡΙΣΗΣ ΙΙ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΚΑΛΑΘΟΣΦΑΙΡΙΣΗΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΚΑΛΑΘΟΣΦΑΙΡΙΣΗΣ ΙΙ Ενότητα 23. Επίθεση εναντίον ζώνης Γαλαζούλας Χρήστος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 6: Διαπεριφερειακές διαφορές Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση Υπολογιστών

Οργάνωση Υπολογιστών Οργάνωση Υπολογιστών Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 3: Μη γραμμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 3: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις μιας μεταβλητής Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα