αυτ = dt dt = dt dt C dt C Ε = = = L du du du du + = = dt dt dt dt

Transcript

1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Q=CV U E =1/2 2 /C U B =1/2Li 2 E 0 =1/2Q 2 /C=1/2LI 2 E 0 =1/2 2 /C+1/2Li 2 T=2π LC =Q συνωt i=-i ημωt ω=1/ LC E di L αυτ = ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ d Φορτίου: i = Τάσης: Ρεύματος: d( ) dvc C 1 d i = = = C C di di Ε ( VL) di V L αυτ Ε αυτ = Ε = = = L αυτ L L Ηλεκτρική Ενέργεια: Μαγνητική Ενέργεια: E B = VC = i i C = i C + = = Αφού U + U = E έχουμε: E B 0 B E B E ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 1. Ι=ωQ U Emax =1/2Q 2 /C U Bmax =1/2LI 2 E 0 =U Emax =U Bmax 1/2Q 2 /C=1/2LI 2 I 2 =Q 2 /LC I=ωQ 2. i=±ω (Q 2-2 ) U Emax =E 0 1/2Q 2 /C=1/2 2 /C+1/2Li 2 i 2 =Q 2 /LC- 2 /LC i=±ω (Q 2-2 ) 3. =±1/ω (Ι 2 -i 2 ) U Bmax =E 0 1/2LI 2 =1/2 2 /C+1/2Li 2 2 =LCI 2 -LCi 2 =±1/ω (I 2 -i 2 )

2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1.Ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων αποτελείται από πηνίο με L=0,5mH και επίπεδο πυκνωτή με C=40μF. Η μέγιστη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος είναι Ι=0,4Α. Α)Να βρείτε το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή Q Β)Να βρείτε το φορτίο του πυκνωτή όταν η ένταση του ρεύματος γίνεται i=1/2 I. Γ)να βρείτε την ηλεκτρική την μαγνητική και την ολική ενέργεια του κυκλώματος όταν i=1/2i. Δ)Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης. 2.Το μέγιστο φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή ενός ιδανικού κυκλώματος LC είναι Q=10μC, ενώ όταν το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή είναι =5μC η ένταση του ρεύματος είναι i=5 3 ma. Να υπολογίσετε : Α)Την περίοδο της ταλάντωσης του κυκλώματος. Β)Την μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος. 3.Η ολική ενέργεια ενός ιδανικού κυκλώματος LC είναι Ε 0 =2*10-4 J. Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C=3μF και ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L=0,25H. Να υπολογίσετε : Α)Την μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος. Β)Την μέγιστη τιμή του φορτίου του πυκνωτή. Γ)Την ένταση του ρεύματος και το φορτίο του πυκνωτή όταν η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι τριπλάσια από την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου. 4. Το φορτίο του πυκνωτή ενός ιδανικού (μc) κυκλώματος LC μεταβάλλεται με τον χρόνο 5 όπως φαίνετε στην γραφική παράσταση του σχήματος.το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=1mH. Να υπολογιστούν: t(ms) Α)Η περίοδος των ταλαντώσεων Β)Η χωρητικότητα του πυκνωτή Γ)Η ολική ενέργεια του κυκλώματος Δ)Η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα. 5.Ιδανικό κύκλωμα ταλαντώσεων LC αποτελείται από πηνίο L πυκνωτή C. Σε κάποια στιγμή t 1 φορτίο του πυκνωτή είναι 1 =4μC και η ένταση του ρεύματος είναι i 1 =3mA και σε κάποια άλλη χρονική στιγμή t 2 είναι 2 =6μC και i 2 =2mA. Να υπολογιστούν: Α) η περίοδος των ταλαντώσεων Β) η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα. Γ) αν L=1mH να υπολογιστεί η ολική ενέργεια του κυκλώματος.

3 6.Η περίοδος των ηλεκτρικών ταλαντώσεων ενός κυκλώματος LC είναι Τ=π*10-4 s και το μέγιστο φορτίο στον πυκνωτή είναι Q=10μC. Α) Να υπολογιστεί η αλγεβρική τιμή της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα όταν το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή είναι =6μC. Β) Ποια είναι η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα. 7.Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί ταλαντώσεις. Ο χρόνος μεταξύ δυο διαδοχικών μηδενισμών του φορτίου είναι t=π ms. Όταν το μέγιστο φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή είναι Q=40μC, η ολική ενέργεια του κυκλώματος είναι Ε 0 =10-4 J. Να υπολογιστούν: Α) ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου, Β)η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα. 8. Πυκνωτής με χωρητικότητα C=5μF είναι φορτισμένος με φορτίο Q=1μC και είναι συνδεδεμένος με πηνίο που έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L= 2mH, με τον διακόπτη ανοικτό. Την χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε τον διακόπτη και το κύκλωμα εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. a) Να βρείτε την περίοδο των ταλαντώσεων του κυκλώματος. b) Ποιες σχέσεις δίνουν το φορτίο του πυκνωτή και την ένταση του ρεύματος σε συνάρτηση με το χρόνο; c) Πόση είναι η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα τη χρονική στιγμή που η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι ίση με την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου; d) Σε ποια χρονική στιγμή η ενέργεια του πυκνωτή γίνετε για πρώτη φορά τριπλάσια από την ενέργεια του πηνίου; 9. Για το κύκλωμα του διπλανού R σχήματος δίνονται Ε= 12V, r=1 Ω R=2Ω και L=1mH. C L Αρχικά ο διακόπτης είναι κλειστός. E,r a) Να βρείτε την πολική τάση της πηγής και την ενέργεια του μαγνητικού Δ πεδίου του πηνίου. b) Την χρονική στιγμή t=0 ανοίγουμε τον διακόπτη και ο πυκνωτής αρχίζει να φορτίζεται. 1. ποια πρέπει να είναι η χωρητικότητα του πυκνωτή, έτσι ώστε η τάση στους οπλισμούς του να μην υπερβεί τα 20V 2. ποια είναι η περίοδο των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώματος και σε ποιες χρονικές στιγμές της πρώτης περιόδου η ενέργεια του πυκνωτή είναι τριπλάσια από την ενέργεια του πηνίου; 10. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις με περίοδο Τ=4π10-3 S. Το φορτίο του πυκνωτή μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση = Qσυν ωt και την χρονική στιγμή t 1 =π/ S ισούται με 1 = C. Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C=2μF. a) Να υπολογίσετε την μέγιστη τιμή του φορτίου του πυκνωτή και να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με τον χρόνο.

4 b) Να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος τις χρονικές στιγμές που το φορτίο του πυκνωτή είναι ίσο με = C. c) Να υπολογίσετε το φορτίο του πυκνωτή την χρονική στιγμή που η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή στα άκρα του πηνίου είναι +50 V 11. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις με περίοδο Τ=2π 10-4 S. Η εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από την σχέση i=- 10 ημωt (SI). Η ολική ενέργεια του της ταλάντωσης είναι 0,5 J. Να υπολογίσετε: a) Το ρυθμό μεταβολής του φορτίου του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t 1 =π/ S, b) To ρυθμό μεταβολής της τάσης στα άκρα του πυκνωτή καθώς και τον ρυθμό μεταβολής της τάσης στα άκρα του πηνίου, τη στιγμή που η ένταση του ρεύματος είναι +4 Α, c) Την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει του κύκλωμα τη στιγμή που η ηλεκτρική ενέργεια του πυκνωτή ισούται με το ¼ της μέγιστης τιμής της. 12. Οι οπλισμοί ενός πυκνωτή χωρητικότητας C= 2μF έρχονται σε επαφή με πηγή που έχει ΗΕΔ Ε=100V. Αφού φορτιστεί πλήρως ο πυκνωτής, αποσυνδέεται από την πηγή και συνδέεται στα άκρα πηνίου με συντελεστή αυτεπαγωγής L= 5mH, σχηματίζοντας ιδανικό κύκλωμα LC το οποίο εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. a) Να βρείτε σε ποια χρονική διάρκεια μιάς περιόδου το πηνίο αποθηκεύει ενέργεια. b) Να υπολογίσετε το ρυθμό με τον οποίο αποθηκεύει ενέργεια το πηνίο τη χρονική στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή ισούται για πρώτη φορά με το μισό της μέγιστης τιμής του. c) Να υπολογίσετε το μέγιστο ρυθμό μεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή κατά την διάρκεια των ηλεκτρικών ταλαντώσεων. 13. Το πηνίο του διπλανού κυκλώματος είναι ιδανικό και έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=4 mh, η πηγή έχει ΗΕΔ Ε=40 V και εσωτερική αντίσταση r =2Ω, ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C=10μF, και ο αντιστάτης έχει αντίσταση R=8 Ω. αρχικά ο διακόπτης Δ είναι κλειστός και το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο έχει σταθεροποιηθεί. Την χρονική στιγμή t=0 ανοίγουμε ακαριαία τον διακόπτη Δ και το κύκλωμα εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. a) Να υπολογίσετε την μέγιστη ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή. b) Να γράψετε την χρονική εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο και την χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή. c) Να υπολογίσετε το πηλίκο της ηλεκτρικής ενέργειας του πυκνωτή προς την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου τη χρονική στιγμή t 1 = T/ Κύκλωμα LC αμελητέας ωμικής αντίστασης εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Η χρονική διάρκεια μεταξύ δύο μηδενισμών της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου ισούται με Δt = 2π10-3 S. Την χρονική στιγμή t 1 που το φορτίο του πυκνωτή είναι 1 = C η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή ισούται με την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου. Αν η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C=2μF να υπολογίσετε: a) Την συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων b) Το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή c) Την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της τάσης στα άκρα του πυκνωτή, την στιγμή που η ένταση του ρεύματος ισούται με το μισό της μέγιστης τιμής της.

5 d) Το ρυθμό μεταβολής της έντασης του ρεύματος την χρονική στιγμή t Πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=5mH και πυκνωτής χωρητικότητας C=50μF σχηματίζουν ιδανικό κύκλωμα LC. Η τάση του πυκνωτή αποκτά τη μέγιστη τιμή της +80 V την χρονική στιγμή t=0. a) Να γράψετε τις εξισώσεις της τάσης στα άκρα του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο και να σχεδιάσετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις σε βαθμολογημένους άξονες. b) Να εξετάσετε σε ποια χρονικά διαστήματα κατά την διάρκεια της πρώτης περιόδου η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου αυξάνεται. c) Ποια είναι η σχέση του ρυθμού μεταβολής της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου με το ρυθμό μεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή κάθε χρονική στιγμή; d) Να γράψετε την εξίσωση του ρυθμού μεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο E = f () t. 16. Πυκνωτής ιδανικού κυκλώματος LC έχει χωρητικότητα C=2μF και είναι αρχικά αφόρτιστος. το πηνίο του κυκλώματος έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L και ο διακόπτης του κυκλώματος είναι αρχικά ανοικτός. Φορτίζουμε τον πυκνωτή φέρνοντας τα άκρα του σε στιγμιαία επαφή με πηγή που έχει ΗΕΔ Ε=20V και την χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε τον διακόπτη του κυκλώματος. Ο πυκνωτής επανέρχεται στην αρχική κατάσταση φόρτισης του μετά από χρόνο Δt=4π 10-4 S από την στιγμή που κλείσαμε τον διακόπτη. a) Να υπολογίσετε το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου. b) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα. c) Να βρείτε την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα, τη χρονική στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή είναι ίσο με = C. d) Να γράψετε τις εξισώσεις U E =f() και U B =f() και να σχεδιάσετε τις γραφικές τους παραστάσεις σε κοινό σύστημα βαθμολογημένων αξόνων.