4. Σώμα Σ 1 μάζας m 1 =1kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ=30 ο. Το σώμα Σ 1 είναι δεμένο στην άκρη

Transcript

1 1. Δίσκος μάζας Μ=1 Kg είναι στερεωμένος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=200 N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Πάνω στο δίσκο κάθεται ένα πουλί με μάζα m=0,2 Kg. Κάποια στιγμή (t=0) το πουλί εκτινάσσεται κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα v=2 m/sec. Να βρείτε: α) το μέτρο της ταχύτητας που αποκτά ο δίσκος β) το πλάτος ταλάντωσης του δίσκου γ) τη μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης δ) τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. Δίνεται g=10 2 m/sec. 2. Ένα σώμα μάζας m=2 Kg εξαρτάται από το κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m, του οποίου το πάνω άκρο είναι σταθερά δεμένο σε οροφή. Το σώμα ισορροπεί σε ύψος h=1,75m πάνω από το έδαφος. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα διασπάται με έκρηξη σε δύο κομμάτια Α και Β, που έχουν ίσες μάζες ( m=m 1 2). Το κομμάτι Β αμέσως μετά την έκρηξη κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω και συναντά το δάπεδο τη χρονική στιγμή t=0,5sec.το 1 κομμάτι Α παραμένει δεμένο στο ελατήριο. α) Να βρείτε την ταχύτητα του κομματιού Β αμέσως μετά την έκρηξη. β) Να υπολογίσετε την ενέργεια που ελευθερώθηκε από την έκρηξη. γ) Να υπολογίσετε το πλάτος και την περίοδο της αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει το κομμάτι Α εξ αιτίας της έκρηξης. δ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του κομματιού Α, από το έδαφος, σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται: g = 10 m/s Στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k 1 =400 N/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο, στερεώνουμε σώμα μάζας m 1 =1 Kg. Το σώμα αυτό συνδέεται μέσω αβαρούς νήματος, μήκους L=0,2m, με δεύτερο σώμα μάζας m 2 =3 Kg. Το σύστημα ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή t=0 προσφέρουμε στο σύστημα ενέργεια Ε=2,88 J οπότε αρχίζει να εκτελεί ΑΑΤ κατά τη θετική κατεύθυνση, με τα σώματα να απέχουν μεταξύ τους L=0,2m. α). Να βρείτε το πλάτος της ΑΑΤ. β). Αν το νήμα έχει όριο θραύσης F o =12 6 N, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της τάσης του νήματος, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση της ΑΑΤ. γ). Όταν το νήμα σπάσει, το σώμα μάζας m 1 συνεχίζει να ταλαντώνεται, ενώ το σώμα m 2 κινείται στο οριζόντιο επίπεδο. Να βρείτε την απόσταση μεταξύ των σωμάτων τη στιγμή που το σώμα m 1 φτάνει για πρώτη φορά στη νέα ακραία αρνητική του θέση.

2 4. Σώμα Σ 1 μάζας m 1 =1kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ=30 ο. Το σώμα Σ 1 είναι δεμένο στην άκρη ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ= 100N/m, το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Εκτρέπουμε το σώμα Σ 1 κατά d 1 =0,1m από τη θέση ισορροπίας του κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και το αφήνουμε ελεύθερο. α). Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ 1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. β. Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος Σ 1. Μετακινούμε το σώμα Σ 1 προς τα κάτω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου μέχρι το ελατήριο να συμπιεστεί από το φυσικό του μήκος κατά l=0,3m. Τοποθετούμε ένα δεύτερο σώμα Σ 2 μάζας m 2 =1kg στο κεκλιμένο επίπεδο, ώστε να είναι σε επαφή με το σώμα Σ 1, και ύστερα αφήνουμε τα σώματα ελεύθερα. γ). Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του σώματος Σ 2 κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του. δ). Να υπολογίσετε σε πόση απόσταση από τη θέση που αφήσαμε ελεύθερα τα σώματα χάνεται η επαφή μεταξύ τους. ίνονται: ημ30 ο = 1 2 και g = 10m/s2. Το σώμα του διπλανού σχήματος έχει μάζα m=1 kg και βρίσκεται σε επαφή με δίσκο μάζας Μ =4 kg, ο οποίος είναι στερεωμένος με το ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου k = 500 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο δάπεδο. Αρχικά το σύστημα των δύο σωμάτων ισορροπεί ακίνητο. Απομακρύνουμε το σύστημα των δύο σωμάτων από τη θέση ισορροπίας τους συσπειρώνοντας επιπλέον το ελατήριο κατά h=0,2 m και τη χρονική στιγμή t = 0 το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί, από τη θέση που το εκτρέψαμε, χωρίς αρχική ταχύτητα. α) Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του συστήματος και του κάθε σώματος ξεχωριστά. β) Να αποδείξετε ότι το σώμα μάζας m χάνει την επαφή του με το δίσκο όταν διέρχεται από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. γ) Να βρείτε τη δύναμη που δέχεται το σώμα μάζας m από το δίσκο, σε συνάρτηση με το χρόνο, για το χρονικό διάστημα που το σώμα είναι σε επαφή με το δίσκο. Δίνεται: g = 10 m/s 2. Θεωρήστε αμελητέες τις πάσης φύσεως τριβές.σώμα Α, μάζας m A =3 Kg τοποθετείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο και δένεται στη μία άκρη οριζόντιου ελατηρίου με σταθερά k=100 Nt/m. Η άλλη

3 άκρη του ελατηρίου είναι σταθερή και το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Πάνω στο σώμα αυτό τοποθετούμε δεύτερο σώμα Β, με μάζα m B =2 Kg. Ο συντελεστής οριακής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων είναι η=0,2. Εκτρέπουμε το σύστημα από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο. α) Να δειχτεί ότι το σύστημα θα εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση και να βρεθεί η σταθερά της, β) Να βρεθεί το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος, για το οποίο το σώμα Β δεν ολισθαίνει πάνω στο Α, γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της τριβής που ασκείται στο σώμα Β, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του συστήματος. Δίνεται g=10 m/sec Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k=200 N/m έχει στο κάτω άκρο του στερεωμένο σώμα μάζας Μ=5 Kg και στο πάνω άκρο του ισορροπεί επίσης στερεωμένο άλλο σώμα μάζας m=3 Kg. Το σώμα μάζας Μ είναι τοποθετημένο σε οριζόντιο δάπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή το σώμα m εκρήγνυται και διασπάται σε δύο τμήματα Α και Β, με μάζες m A =2m B. Το τμήμα Α αμέσως μετά τη διάσπαση παραμένει στερεωμένο στο ελατήριο και κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά 10cm, επιπλέον της αρχικής του παραμόρφωσης. Να βρεθεί: α) αν το σώμα Μ θα χάσει την επαφή του με το δάπεδο κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του τμήματος Α. β) το μέγιστο ύψος πάνω από την αρχική θέση ισορροπίας του σώματος m, στο οποίο θα φτάσει το τμήμα Β. γ) τη γραφική παράσταση σε συνάρτηση με το χρόνο, της δύναμης επαφής που δέχεται από το οριζόντιο δάπεδο, το σώμα Μ. Θεωρείστε t=0 τη στιγμή κατά την οποία το τμήμα Α μηδενίζει την ταχύτητα του για 1 η φορά. Δίνεται g=10 m/s 2. Θετική φορά προς τα πάνω. 8. Αθλητής bungee jumping έχει μάζα m=80 Kg, είναι δεμένος με ελαστικό σχοινί μήκους 15m με ελαστικότητα σταθεράς 80 Ν/m και βρίσκεται σε ύψος Η σε γέφυρα πάνω από ποταμό. Ξεκινάει να πέφτει με μηδενική αρχική ταχύτητα και τελικά φτάνει στην επιφάνεια του νερού με μηδενική ταχύτητα. α) Να βρεθεί το ύψος Η. β) Να βρεθεί σε πόσο χρόνο φτάνει στην επιφάνεια του νερού. γ) Να βρεθεί σε πόσο ύψος πάνω από το νερό θα ανέλθει μετά.

4 δ) Να βρεθεί το όριο θραύσης του σχοινιού. Δίνεται g=10 m/s Λείο κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία κλίσης φ=30 ο. Στα σημεία Α και Β στερεώνουμε τα άκρα δύο ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k 1 =60 Ν/m και k 2 =140 Ν/m αντίστοιχα. Στα ελεύθερα άκρα των ελατηρίων, δένουμε σώμα Σ 1, μάζας m 1 =2 kg και το κρατάμε στη θέση όπου τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος (όπως φαίνεται στο σχήμα). Τη χρονική στιγμή t 0 =0 αφήνουμε το σώμα Σ 1 ελεύθερο. 1. Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ 1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. 2. Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απομάκρυνση του σώματος Σ 1 από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. Να θεωρήσετε θετική φορά τη φορά από το Α προς το Β. Κάποια χρονική στιγμή που το σώμα Σ 1 βρίσκεται στην αρχική του θέση, τοποθετούμε πάνω του (χωρίς αρχική ταχύτητα) ένα άλλο σώμα Σ 2 μικρών διαστάσεων μάζας m 2 =6 kg. Το σώμα Σ 2 δεν ολισθαίνει πάνω στο σώμα Σ 1 λόγω της τριβής που δέχεται από αυτό. Το σύστημα των δύο σωμάτων κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. 3. Να βρείτε τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του σώματος Σ Να βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή οριακής στατικής τριβής που πρέπει να υπάρχει μεταξύ των σωμάτων Σ 1 και Σ 2, ώστε το Σ 2 να μην ολισθαίνει σε σχέση με το Σ 1. ίνονται: ημ30 ο συν30 ο και g=10m/s 2. Ένα σώµα μάζας 2kg, ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k 1 =200Ν/m, όπως στο σχήμα, απέχοντας κατά 10cm, από ένα δεύτερο κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k 2 =200Ν/m που στηρίζεται στο έδαφος. Μετακινούμε το σώµα κατακόρυφα προς τα πάνω, µέχρι να συσπειρωθεί το ελατήριο κατά d=0,2m και σε µια στιγµή, το αφήνουµε να ταλαντωθεί. α) Με ποια ταχύτητα φτάνει το σώµα στη θέση Γ; β) Μόλις το σώµα φτάσει στο Γ, το πάνω ελατήριο λύνεται, οπότε το σώµα ταλαντώνεται στο πάνω άκρο του ελατηρίου σταθεράς k 2. Να υπολογιστεί το πλάτος ταλάντωσης. γ)να κάνετε τη γραφική παράσταση της δύναµης που δέχεται το σώµα από το πάνω ελατήριο, σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση, θεωρώντας θετική, την προς τα κάτω φορά.

5 Θεωρείστε ότι και στις δύο περιπτώσεις το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε σταθερά επαναφοράς, ίση µε την εκάστοτε σταθερά του ελατηρίου και g=10m/s 2. ΝΗΜΑ Δύο σώματα Β και Γ με μάζες m1=1 Kg και m2=3kg αντίστοιχα, αρχικά ηρεμούν, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το δάπεδο είναι λείο και το ελατήριο έχει K=400 N/m, βρίσκεται στο φυσικό του μήκος, ενώ το νήμα είναι τεντωμένο και έχει μήκος d. Μετακινούμε το σώμα Γ προς τα αριστερά, επιμηκύνοντας το ελατήριο κατά 0,4m. Την t=0 αφήνουμε όλο το σύστημα ελεύθερο, οπότε αρχίζει να εκτελεί ΑΑΤ, μέχρι το Β να φτάσει στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου, x=0. α) Να γραφεί η εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος Β, σε συνάρτηση με το χρόνο. β) Να υπολογιστεί το μέτρο της τάσης του νήματος, τη στιγμή που το σώμα Β περνάει από τη θέση x=0,2m. γ) Να περιγράψετε τις κινήσεις των δύο σωμάτων μετά τη στιγμή που το Β περνάει από τη θέση x=0. δ) Να βρεθεί το μήκος d του νήματος, ώστε τα σώματα να συναντηθούν τη στιγμή που μηδενίζεται πρώτη φορά η ταχύτητα του Β.