ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 12: Ασυνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

2 ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΘΕΩΡΙΑ

5 ΑΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Διωνυμική κατανομή Κατανομή Poisson Υπεργεωμετρική κατανομή Γεωμετρική κατανομή Κατανομή Pascal

6 ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Daniel Bernoulli,

7 ΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (1) Θεωρούμε ένα πείραμα τύχης που αποτελείται από n δοκιμές. Αν σε κάθε δοκιμή μπορούν να εμφανισθούν δύο μόνο δυνατά αποτελέσματα τα οποία θα συνήθως τα χαρακτηρίζουμε σαν επιτυχία (Ε) ή αποτυχία (Α). Οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους έτσι ώστε το αποτέλεσμα οποιασδήποτε δοκιμής να μην επηρεάζει τα αποτελέσματα των υπολοίπων. η πιθανότητα επιτυχίας p και αποτυχίας q=1-p δεν μεταβάλλεται από δοκιμή σε δοκιμή.

8 ΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (2) Η πιθανότητα η επιτυχία (Ε) να παρουσιαστεί x φορές και επομένως η αποτυχία (Α) να παρουσιαστεί n-x φορές, δίνεται από τον τύπο: Px n! x!( n x)! p x q x n x p x q nx

9 ΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (3) Η μεταβλητή Χ είναι το πλήθος των επιτυχιών (Ε) κατά την εκτέλεση των n δοκιμών. Επομένως μπορεί να πάρει τις τιμές 0,1,2,3,,n.

10 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ F( x) P( X x) x k0 n k p k q nk

11 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (1) ( x) n p V ( x) n p q

12 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (2) V( x) n p q 1 ( q p) 2 n pq

13 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (3) 1 6 p q 2 3 n p q

14 ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON S.D. Poisson,

15 ΟΡΙΣΜΟΣ (1) Πρόκειται για n ανεξάρτητες δοκιμές με n>50, ενώ η πιθανότητα πραγματοποίησης της επιτυχίας Ε είναι σχετικά μικρή δηλ. P<0,10. Επομένως np<10.

16 ΟΡΙΣΜΟΣ (2) Όπως και στη διωνυμική κατανομή, έτσι και στην Poisson η μεταβλητή Χ είναι το πλήθος των επιτυχιών (Ε) κατά την εκτέλεση των n δοκιμών. Επομένως μπορεί να πάρει τις τιμές 0,1,2,3,,n.

17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ e x Px P( X x) x! Με λ=np

18 ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ POISSON Χρησιμοποιείται όταν ένα από τα δύο αποτελέσματα εμφανίζεται πιο σπάνια, ενώ ταυτόχρονα το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο.

19 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ POISSON (1) ( ) n p V ( ) n p

20 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ POISSON (2)

21 ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Αν θεωρήσουμε ότι έχουμε N διακεκριμένα αντικείμενα από τα οποία Μ έχουν μια ορισμένη ιδιότητα, ενώ τα υπόλοιπα Ν-Μ δεν έχουν την ιδιότητα αυτή. Αν από τα Ν αντικείμενα εκλέξουμε n, ζητάμε να βρούμε την πιθανότητα x από αυτά να έχουν την ορισμένη ιδιότητα.

22 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ n x n N x n M N x M P x X P x f x,..., 0,1,2, ) ( ) (

23 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ M E( X ) m N nm ( N n)( N M ) V ( X ) 2 N ( N 1)

24 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Αν θεωρήσουμε ότι έχουμε την πραγματοποίηση μιας δοκιμής μέχρι να εμφανιστεί το επιθυμητό αποτέλεσμα το οποίο το χαρακτηρίζουμε ως επιτυχία «Ε». Επομένως κατά την εκτέλεση της δοκιμής αυτής θα έχουμε x-1 συνεχόμενες εμφανίσεις αποτυχίας «Α» μέχρι την επίτευξη της επιτυχίας στην x η δοκιμή.

25 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Αν έχουμε λοιπόν μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, η οποία λαμβάνει τις τιμές Χ=1,2,3, n, με συνάρτηση πιθανότητας της Χ είναι: P x P( X x) Λέμε ότι η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή. q x1 p

26 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ( ) 1 p p V ( X ) q 2

27 KATANOMH PASCAL H ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (1) Για να κατανοηθεί καλύτερα η κατανομή αυτή θα πρέπει να σκεφτούμε την ύπαρξη μιας κάλπης στην οποία περιέχονται Α λευκά και Β μαύρα σφαιρίδια και εξάγουμε σφαιρίδια με επανατοποθέτηση, έτσι ώστε να έχουμε r επιτυχίες στις μ δοκιμές. Επομένως η Χ: πλήθος εξαγωγών ώστε να έχουμε r επιτυχίες. Άρα Χ=r, r+1,r+2,.

28 KATANOMH PASCAL H ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (2) Αν θεωρήσουμε ότι ως και την μ-1 δοκιμή έχουμε r- 1 επιτυχίες και στην μ δοκιμή έρθει επιτυχία, τότε η πιθανότητα το πλήθος των επιτυχιών στις μ δοκιμές να είναι ίσο με r, δίνεται από τον τύπο: P( X x) r 1 1 p r q r

29 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ)

30 ΑΣΚΗΣΗ (1) Μια μηχανή παράγει ένα προϊόν, με πιθανότητα ελαττωματικού p=0,005. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: α) Από 10 προϊόντα που παράγονται από τη μηχανή να μην υπάρχει ελαττωματικό. β) Από 10 προϊόντα που παράγονται από τη μηχανή το πολύ 2 να είναι ελαττωματικά.

31 ΑΣΚΗΣΗ (2) γ) Από 5 προϊόντα που παράγονται από τη μηχανή τουλάχιστον 3 να είναι ελαττωματικά. δ) Από 5 προϊόντα που παράγονται από τη μηχανή το ένα να είναι ελαττωματικό. Να υπολογιστούν η μέση τιμή και η διακύμανση της κατανομής των ελαττωματικών προϊόντων σε 100 προϊόντα μηχανής.

32 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ)

33 ΑΣΚΗΣΗ Σε μία κάλπη με 30 σφαιρίδια από τα οποία 20 είναι λευκά και 10 μαύρα. Αν εκλέξουμε 8 σφαιρίδια το ένα μετά το άλλο χωρίς επανατοποθέτηση, ποια η πιθανότητα 5 από αυτά να είναι λευκά;

34 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ)

35 ΑΣΚΗΣΗ Ένας τοξοβόλος πετυχαίνει το κέντρο του στόχου του με πιθανότητα p=75%. Να υπολογίσετε: 1. την πιθανότητα να πετύχει το κέντρο του στόχου του στην 3 η προσπάθεια. 2. Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός προσπαθειών που πρέπει να κάνει ώστε να πετύχει το κέντρο του στόχου του;

36 ΛΥΣΗ (1) P( X 3) q 31 p 0,25 2 0,75 0, Ο αναμενόμενος αριθμός προσπαθειών ώστε να πετύχει το κέντρο του στόχου του είναι: 1 1 ( ) 1,3245 p 0,75

37 ΛΥΣΗ (2) p 75% o,75 q 1 p 1 0,75 0,25 Ορίζουμε το ενδεχόμενο Χ: το πλήθος των προσπαθειών μέχρι ο τοξοβόλος να πετύχει το κέντρο του στόχου του. 1. Η πιθανότητα να πετύχει το κέντρο του στόχου του στην 3 η προσπάθεια δίνεται από την συνάρτηση πιθανότητας για x=3.

38 ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ