5. Στερεό σώµα. (5.1) Το µέτρο της ταχύτητας είναι ίσο µε υ = ω a, όπου a είναι η απόσταση του σωµατιδίου από τον άξονα περιστροφής.

Transcript

1 5 Στερεό σώµα Βιβλιογραφία C Kttel, W D Knght, A Ruderman, A C Helmholz και B J oyer, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 998) Κεφ 8 R Spegel, Θερητική Μηχανική (Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 985) Κεφ 9 5 Γνιακή ταχύτητα Αν ένα σώµα περιστρέφεται γύρ από έναν άξονα, το διάνυσµα της γνιακής του ταχύτητας ορίζεται έτσι ώστε ένα σηµείο το οποίο έχει διάνυσµα θέσης r ς προς ένα σηµείο πάν στον άξονα περιστροφής, να έχει ταχύτητα που δίνεται από τη σχέση: v r (5) Το µέτρο της ταχύτητας είναι ίσο µε υ a, όπου a είναι η απόσταση του σµατιδίου από τον άξονα περιστροφής 5 Η ροπή αδράνειας Έστ µια πολύ λεπτή ράβδος µήκους l και µάζας, η οποία περιστρέφεται µε στιγµιαία γνιακή ταχύτητα γύρ από σταθερό άξονα Pz, που θερούµε ότι είναι κάθετος στη ράβδο στο σηµείο P Ένα στοιχείο µάζας της ράβδου, ίσο µε m, που απέχει απόσταση r από τον άξονα περιστροφής, έχει ταχύτητα υ, και εποµένς και κινητική ενέργεια r mυ mr K (5) Η κινητική ενέργεια ολόκληρης της ράβδου βρίσκεται αθροίζοντας για όλες τις στοιχειώδεις µάζες από τις οποίες αυτή αποτελείται, και είναι K όπου I z mr mr I z m r (5) Η ποσότητα I z ονοµάζεται ροπή αδράνειας της ράβδου γύρ από τον άξονα Pz Είναι ένα σταθερό µέγεθος που εξαρτάται από τη γεµετρική κατανοµή της µάζας της ράβδου γύρ από τον άξονα περιστροφής Στο όριο m dm, το άθροισµα στην Εξ (5) µετατρέπεται στο ολοκλήρµα I z σώµα r dm Οι ροπές αδράνειας πολλών στερεών σµάτν ς προς κάποιους χαρακτηριστικούς άξονες υπολογίζονται εύκολα µε τη σχέση αυτή 8

2 Οµογενές σώµα µάζας Μ Πίνακας ροπών αδράνειας Άξονας Ροπή αδράνειας Ράβδος µήκους L Κάθετος στη ράβδο, στο κέντρο της L Κάθετος στη ράβδο, στο ένα της άκρο L Κυκλικός δακτύλιος ακτίνας R Κάθετος στo επίπεδο του δακτυλίου, στο κέντρο του Μια διάµετρος του δακτυλίου Κυκλικός δίσκος ακτίνας R Κάθετος στο επίπεδο του δίσκου, στο κέντρο του Μια διάµετρος του δίσκου Συµπαγής σφαίρα ακτίνας R Μια διάµετρος της σφαίρας 5 Συµπαγής κύλινδρος ακτίνας R Ο άξονας του κυλίνδρου Λεπτότοιχος σλήνας ακτίνας R Ο άξονας του σλήνα 5 Το θεώρηµα τν παράλληλν αξόνν Για τη ράβδο και τον άξονα που εξετάζουµε, αν ο άξονας περιστροφής απέχει απόσταση L από το κέντρο µάζας C της ράβδου, θα έχουµε: r L + r, µε το r (θετικό ή αρνητικό) να δίνει τη θέση του στοιχείου µάζας m ς προς το κέντρο µάζας Έτσι, I z mr m L + Lr + r ) L + L mr + mr ( όπου m είναι η ολική µάζα της ράβδου Επίσης, από τον ορισµό του κέντρου µάζας είναι m, ενώ το µέγεθος r mr Icz είναι η ροπή αδράνειας της ράβδου για άξονα που περνά από το κέντρο µάζας της ράβδου, C, και είναι παράλληλος προς τον άξονα Pz Το αποτέλεσµα I I L (5) z cz + ισχύει γενικά για κάθε σώµα και άξονα, και είναι γνστό ς θεώρηµα τν παράλληλν αξόνν ή θεώρηµα του Στάινερ (Stener) 5 Το θεώρηµα τν κάθετν αξόνν Το θεώρηµα αυτό ισχύει µόνο για λεπτές επίπεδες πλάκες Η µαθηµατική του µορφή είναι: I I + I (55) z x y 9

3 Με λόγια: Η ροπή αδράνειας λεπτής επίπεδης πλάκας ς προς άξονα κάθετο σε αυτήν, είναι ίση µε το άθροισµα τν ροπών αδράνειας ς προς δύο οποιουσδήποτε κάθετους µεταξύ τους άξονες που βρίσκονται στο επίπεδο της πλάκας και τέµνουν τον κάθετο άξονα 5 Θερήµατα για την κινητική ενέργεια και τη στροφορµή περιστρεφόµενου στερεού Η κινητική ενέργεια στερεού σώµατος που περιστρέφεται γύρ από ένα άξονα z µε γνιακή ταχύτητα δίνεται από I z K (56) όπου I z είναι η ροπή αδράνειας του σώµατος ς προς τον άξονα περιστροφής, z Κάνοντας χρήση του θερήµατος τν παράλληλν αξόνν, βρίσκουµε: K Icz + V (57) ή ότι: η κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόµενου σώµατος, είναι ίση µε το άθροισµα της ενέργειας που οφείλεται στην περιστροφή του σώµατος γύρ από το κέντρο µάζας του, I cz, και της κινητικής ενέργειας µιας σηµειακής µάζας ίσης µε την ολική µάζα Μ του σώµατος, η οποία κινείται µε την ταχύτητα V του κέντρου µάζας του, V Το αντίστοιχο θεώρηµα για τη στροφορµή του σώµατος είναι: L I zˆ + r V (58) cz c ή ότι: η στροφορµή ενός σώµατος ς προς οποιοδήποτε σηµείο, είναι ίση µε το άθροισµα της στροφορµής του ς προς το κέντρο µάζας του, I czẑ, και της στροφορµής µιας σηµειακής µάζας ίσης µε την ολική µάζα Μ του σώµατος, η οποία βρίσκεται στο κέντρο µάζας του σώµατος και κινείται µε την ταχύτητα V του κέντρου µάζας του, r V c 5 Περιστροφή γύρ από σταθερό άξονα Στις περιπτώσεις αυτές, χρησιµοποιούµε τις σχέσεις ανάµεσα στη στροφορµή ς προς τον άξονα περιστροφής και τη ροπή τν δυνάµεν ς προς τον ίδιο άξονα Για τον άξονα a: d K a I a L a I a I a N a (59) Παράδειγµα Μια οµοιογενής ράβδος µάζας και µήκους, περιστρέφεται πάν στο λείο και οριζόντιο επίπεδο ( x, y) γύρ από τον άξονα z, ο οποίος περνά από το άκρο Ο της ράβδου Η γνιακή ταχύτητα της ράβδου είναι Σε κάποια στιγµή, όταν η ράβδος συµπίπτει µε τον άξονα τν x, ο άξονας περιστροφής «εξαφανίζεται» και η ράβδος είναι ελεύθερη να κινηθεί στο επίπεδο ( x, y), χρίς να υφίσταται εξτερικές δυνάµεις Μετά από αυτό το συµβάν, να βρεθούν: (α) Η ταχύτητα V C του κέντρου µάζας της ράβδου (β) Η γνιακή ταχύτητα της περιστροφής της ράβδου γύρ από το κέντρο µάζας της (γ) Η ενέργεια E της ράβδου πριν εξαφανιστεί ο άξονας περιστροφής z, και η ενέργειά της, E, µετά ιατηρείται η ενέργεια; (α) Τη στιγµή της απελευθέρσης της ράβδου, το κέντρο µάζας της (C) έχει ταχύτητα V j

4 Επειδή δεν ασκούνται εξτερικές δυνάµεις πάν στη ράβδο, αυτή θα παραµείνει η ταχύτητα του C V V j C (β) Η στροφορµή της ράβδου ς προς το Ο είναι αρχικά L I I k L k, και επειδή δεν ασκούνται εξτερικές ροπές στη ράβδο, αυτή θα παραµείνει σταθερή Όµς, L LC + RC VC Αντικαθιστώντας σε αυτήν την εξίσση L k, L I k C C έχουµε ή, C + R t j και V j, k I k+ ( + tj) ( j) C k I k+ k C Εποµένς,, και I C C (γ) Αρχική ενέργεια: Τελική ενέργεια: I 6 E E V C + I C ) + ( ) ( ) 8 και εποµένς η ενέργεια διατηρείται E ( +, E E 6 Παράδειγµα Λεπτή οµοιογενής ράβδος έχει µήκος και µάζα m Η ράβδος βρίσκεται πάν σε λείο οριζόντιο επίπεδο και µπορεί να περιστραφεί γύρ από άξονα κάθετο στο επίπεδο Ο άξονας είναι κάθετος στη ράβδο, και περνά από το ένα της άκρο Ο Μια σηµειακή µάζα m είναι στερεµένη στο ελεύθερο άκρο της ράβδου Σε κάποια στιγµή, η σηµειακή µάζα εκτοξεύεται, µε τη βοήθεια εστερικών δυνάµεν, και κινείται µε ταχύτητα υ σε κατεύθυνση κάθετη στην αρχική κατεύθυνση της ράβδου (α) Ποια θα είναι η γνιακή ταχύτητα της ράβδου µετά την εκτόξευση; (β) Πόση ενέργεια απαιτείται για τη διαδικασία; (α) Εξτερικές δυνάµεις ασκούνται µόνο από τον άξονα Ο Εποµένς, η ροπή τους ς προς τον άξονα αυτό είναι ίση µε µηδέν, και η στροφορµή του συστήµατος ς προς τον άξονα Ο διατηρείται Επειδή αρχικά είναι L, θα εξακολουθήσει να είναι L Μετά την εκτόξευση, Στροφορµή της µάζας m ς προς το Ο: Στροφορµή της ράβδου ς προς το Ο: L m mυ (την οποία θερούµε θετική) L I (για όπς στο σχήµα) ρ

5 Εποµένς, I mυ mυ mυ και ή I m υ (β) Ενέργεια της µάζας m : E m mυ Ενέργεια της ράβδου: Η ολική ενέργεια του συστήµατος είναι εποµένς ίση µε: E ρ I ή υ E ρ m mυ E Em + E ρ mυ Προβλήµατα Από το βιβλίο Kttel κά "Μηχανική": Κεφ 8, Ασκ, 7, 9 5 Μια λεπτή πλάκα έχει σχήµα ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ, µε πλευρές ίσες µε α Η επιφανειακή πυκνότητα του υλικού της πλάκας είναι ίση µε σ κ x, όπου κ είναι µια σταθερά και x η απόσταση από τη βάση του τριγώνου, ΒΓ είξτε ότι: (α) Η µάζα του τριγώνου είναι κα 9 (β) Η ροπή αδράνειας του τριγώνου ς προς άξονα την πλευρά ΒΓ είναι ίση µε I α (γ) Η ροπή αδράνειας του τριγώνου ς προς άξονα την πλευρά ΑΒ είναι ίση µε I α 5 Η µάζα ενός γαλαξία µπορεί να θερηθεί ότι είναι κατανεµηµένη σε ένα επίπεδο, µε r τέτοιο τρόπο ώστε η επιφανειακή πυκνότητα µάζας να είναι / α σ κe, όπου κ και α είναι θετικές σταθερές και r η απόσταση από το κέντρο του γαλαξία είξτε ότι: (α) Η µάζα του γαλαξία είναι πκα (β) Η ροπή αδράνειας του γαλαξία ς προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και περνά από το x κέντρο του είναι ίση µε I z α ( ίνεται: xe dx Αντικαταστήστε x r /α ) 5 Λεπτή πλάκα βρίσκεται στο επίπεδο xy και έχει ελλειπτικό σχήµα, µε όρια που δίνονται x y από την εξίσση +, όπου α και b είναι θετικές σταθερές Η επιφανειακή b α πυκνότητα µάζας της πλάκας είναι σταθερή και ίση µε σ Βρείτε τις ροπές αδράνειας της πλάκας ς προς τους άξονες x, y και z ( ίνονται: Εµβαδόν έλλειψης S παb π u u du, και 6 / π ( u ) du ) 6 Απ: I ( ) b, I, I α b α x y z + 5 Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους l κρατείται αρχικά κατακόρυφη πάν σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο δάπεδο και κατόπιν αφήνεται να περιστραφεί γύρ από το άκρο της που βρίσκεται σε επαφή µε το δάπεδο (α) Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχει ολίσθηση, βρείτε τη γνιακή επιτάχυνση α και τη γνιακή ταχύτητα της ράβδου ς συναρτήσεις της γνίας θ που αυτή σχηµατίζει µε την d θ d dθ d κατακόρυφο Υπενθυµίζεται ότι α θ dθ dθ (β) Εξετάζοντας την κίνηση του κέντρου µάζας της ράβδου, βρείτε τις συνιστώσες (οριζόντια και κατακόρυφη) της δύναµης που ασκείται από το δάπεδο πάν στη ράβδο και έτσι και την κάθετη αντίδραση N του δαπέδου πάν στη ράβδο ς συνάρτηση της θ Υπόδειξη: Η κεντροµόλος επιτάχυνση του κέντρου µάζας προς το σηµείο επαφής ράβδου και δαπέδου είναι l, και η εγκάρσια συνιστώσα l α

6 g g Απ: (α) α snθ, ( cosθ), (β) l l N mg ( cosθ), 55 ύο κυκλικοί δίσκοι µε µάζες και Μ και ακτίνα R, περιστρέφονται γύρ από κοινό άξονα κάθετο στο επίπεδο τν δίσκν και που περνά από τα κέντρα τους Οι γνιακές ταχύτητες τν δίσκν είναι και, και οι στροφορµές τους L και L, αντίστοιχα Οι δίσκοι έρχονται και παραµένουν σε επαφή Τι θα συµβεί ς προς την κίνησή τους; Ποια είναι η τελική γνιακή ταχύτητα τν δύο δίσκν και ποια η τελική απώλεια ενέργειας Ε; Απ: Μ + Μ Μ + Μ, E + 56 Μία λεπτή τετράγνη πόρτα µε µάζα και πλευρά a µπορεί να περιστραφεί χρίς τριβές γύρ από κατακόρυφο άξονα AB που συµπίπτει µε µια από τις πλευρές της Αρχικά η πόρτα είναι ανοιχτή και σχηµατίζει γνία 9 µε τον τοίχο Μία σφαίρα µάζας m κινείται µε ταχύτητα υ σε κατεύθυνση κάθετη στο επίπεδο της πόρτας Η σφαίρα σφηνώνεται στην πόρτα σε απόσταση a από τον άξονα (α) Να υπολογισθεί η ροπή αδράνειας του συστήµατος ς προς τον άξονα ΑΒ Η ροπή αδράνειας της πόρτας ς προς άξονα που περνά από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος στο επίπεδό της είναι I a 6 (β) Σε πόσο χρόνο θα κλείσει η πόρτα από τη στιγµή που θα χτυπηθεί από τη σφαίρα; (γ) Ποιο κλάσµα της ενέργειας της σφαίρας χάνεται όταν αυτή σφηνθεί στην πόρτα; Απ: (α) I + m, (β) t + α πα Μ υ m, (γ) R ( E E + m 57 ίνεται κυκλικός δίσκος ακτίνας R και µάζας, οµοιόµορφα κατανεµηµένης Ο δίσκος περιστρέφεται µε σταθερή γνιακή ταχύτητα περί άξονα που περνά από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του Τη χρονική στιγµή t η µάζα του δίσκου αρχίζει να αυξάνει γραµµικά µε το χρόνο µε ρυθµό a d /, πχ λόγ βροχής που πέφτει οµοιόµορφα και κάθετα στο επίπεδο του δίσκου µε αµελητέα ταχύτητα Η αύξηση της µάζας κατανέµεται οµοιόµορφα σε κάθε σηµείο του δίσκου Να διατυπθεί και να λυθεί η εξίσση κίνησης του δίσκου και να βρεθεί έτσι η γνιακή του ταχύτητα (t) Απ: ( + at) d + a, ( t ) ) + at 58 ύο µάζες, m και m > m, είναι δεµένες αντίστοιχα στα δύο άκρα ενός µη εκτατού νήµατος αµελητέας µάζας, το οποίο είναι περασµένο πάν από µια τροχαλία Η τροχαλία είναι κυκλικός δίσκος ακτίνας R και µάζας, που µπορεί να περιστρέφεται, χρίς τριβές, γύρ από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο του δίσκου και είναι κάθετος στις επίπεδες επιφάνειές του Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας γύρ από τον άξονά της είναι m ( ) I Αρχικά το σύστηµα είναι ακίνητο Τη χρονική στιγµή t οι µάζες αφήνονται ελεύθερες να κινηθούν Καθώς η τροχαλία περιστρέφεται, το νήµα που εφάπτεται της τροχαλίας δεν γλιστρά ς προς αυτήν, τα δε ελεύθερα τµήµατά του είναι κατακόρυφα Μελετήστε την κίνηση του συστήµατος: υποθέτοντας τάσεις T και T στα δύο τµήµατα του νήµατος, στα οποία είναι συνδεδεµένες οι µάζες m και m αντίστοιχα, και εξετάζοντας τις δυνάµεις που ασκούνται πάν στις δύο µάζες και τις ροπές που ασκούνται πάν στην τροχαλία, διατυπώστε τις εξισώσεις κίνησης τν τριών αυτών σµάτν Λύστε τις εξισώσεις αυτές για να βρείτε τη γνιακή ταχύτητα της τροχαλίας, τη γνία θ (t) κατά την οποία έχει περιστραφεί σε χρόνο t, καθώς επίσης και την ταχύτητα της µάζας m και τη µετατόπισή

7 της από την αρχική της θέση y (t) Βρείτε επίσης τη δύναµη T που ασκεί το νήµα πάν στη µάζα m m m g λg Απ: Αν λ, λ t, θ m + m + / R R t, υ λgt, y λ gt, T ( + λ) m g 59 Ένας οµογενής κυκλικός δίσκος ακτίνας R και µάζας m, µπορεί να περιστρέφεται, χρίς τριβές, γύρ από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από ένα σηµείο Ο της περιφέρειάς του και είναι κάθετος στις επίπεδες επιφάνειές του Η ροπή αδράνειας του δίσκου γύρ από τον άξονα αυτόν είναι I mr Μια σηµειακή µάζα m είναι προσκολληµένη σε ένα σηµείο Α της περιφέρειας του δίσκου, διαµετρικά αντίθετο του σηµείου Ο Αρχικά η σηµειακή µάζα βρίσκεται κατακόρυφα πάν από το σηµείο Ο και το σύστηµα είναι ακίνητο, όταν τη χρονική στιγµή t αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί (α) είξετε ότι, όταν ο δίσκος έχει περιστραφεί κατά γνία θ, η γνιακή του ταχύτητα θ ικανοποιεί τη σχέση: θ g( cosθ ) R (β) Βρείτε την ακτινική συνιστώσα της δύναµης που ασκείται πάν στη σηµειακή µάζα, m Rθ (προς το σηµείο Ο), και την εγκάρσιά της συνιστώσα m R θ (κάθετη στην ευθεία ΟΑ) όταν η γνία περιστροφής είναι θ π Λαµβάνοντας υπόψη το βάρος της σηµειακής µάζας δείξετε ότι η δύναµη που ασκείται πάν στη σηµειακή µάζα από το δίσκο 59 όταν θ π, είναι ίση µε mg (προς τα πάν) 5 Σπουδαστής µάζας Μ στέκεται στο κέντρο ενός περιστρεφόµενου σκαµνιού, µε τεντµένους οριζόντια τους βραχίονές του, κρατώντας σε κάθε χέρι µια µικρή σφαίρα µάζας m Η απόσταση κάθε σφαίρας από τον άξονα περιστροφής είναι r ενώ η ροπή αδράνειας του σπουδαστή ς προς τον άξονα περιστροφής είναι Η συχνότητα περιστροφής του σπουδαστή είναι ν στροφές/µονάδα χρόνου Κάποια στιγµή, ο σπουδαστής συµπτύσσει τα χέρια του, οπότε η κάθε σφαίρα απέχει απόσταση r από τον άξονα περιστροφής Βρείτε: (α) Τη γνιακή ταχύτητα που θα αποκτήσει ο σπουδαστής µετά τη σύµπτυξη τν χεριών του (β) Το έργο που παράγει ο σπουδαστής κατά τη σύµπτυξη αυτή (όλες οι τριβές θερούνται αµελητέες) (γ) Εφαρµογή: Υπολογίστε τα µεγέθη τν ερτηµάτν (α) και (β), αν 7 kg, m kg, r,75 m, R,5 m και ν,5 στροφή/s