ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Κούλλουρου Ζαννέτου Α.Μ Θέμα: «Υπολογισμός Ηλεκτρομαγνητικών Δυνάμεων και Μελέτη των Επιπτώσεων τους σε μια Ασύγχρονη Μηχανή» Νο /2013 Επιβλέπουσα: Δρ.-Μηχ. Τζόγια Καππάτου, Επικ. Καθηγήτρια Πάτρα, Φεβρουάριος 2013 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥΠΟΛΗ ΠΑΤΡΑΣ ΡΙΟΝ ΠΑΤΡΑ Τηλ: Fax:

2

3 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η διπλωματική εργασία με θέμα: «Υπολογισμός Ηλεκτρομαγνητικών Δυνάμεων και Μελέτη των Επιπτώσεων τους σε μια Ασύγχρονη Μηχανή» του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Κούλλουρου Ζαννέτου του Ιωάννη (Α.Μ. 6919) παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών την 26/02/2013. Η Επιβλέπουσα Ο Διευθυντής του Τομέα Επικ. Καθηγήτρια, Δρ.-Μηχ. Tζ. Καππάτου Καθηγητής Α. Αλεξανδρίδης

4

5 Ευχαριστίες Ιδιαίτερες ευχαριστίες θα ήθελα να απευθύνω στην επίκουρο καθηγήτρια και επιβλέπουσα της διπλωματικής μου εργασίας κα. Τζόγια Καππάτου, για τις πολύτιμες συμβουλές και την καθοδήγησή της, κατά τη διάρκεια εκπόνησης της διπλωματικής εργασίας. Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον υποψήφιο διδάκτορα κ. Ιωάννη Πάλλη του οποίου η βοήθεια και η καθοδήγηση ήταν καθοριστική για την εξέλιξη και ολοκλήρωση αυτής της διπλωματικής. Πολλές ευχαριστίες αρμόζουν στον υποψήφιο διδάκτορα κ. Κώστα Γυφτάκη, για την καθοδήγηση του και την επίλυση αποριών που προέκυπταν. Επιπλέον θα ήθελα να ευχαριστήσω τη φίλη και συμφοιτήτρια μου Χαρούλα Ζωγόγιαννη για τη διόρθωση του κειμένου της διπλωματικής ώστε να είναι ευανάγνωστο. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω του φίλους μου για τη βοήθεια και τη στήριξή τους. Τέλος πολλές και θερμές ευχαριστίες θα ήθελα να απευθύνω στην οικογένεια μου για τη στήριξη που μου παρείχε όλα αυτά τα χρόνια των σπουδών μου.

6

7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της διπλωματικής αυτής εργασίας ήταν η μελέτη των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων που δημιουργούνται μέσα σε μια ασύγχρονη ηλεκτρική μηχανή, ειδικότερα των ακτινικών δυνάμεων, καθώς και η μηχανική συμπεριφορά της μηχανής λόγω των δυνάμεων αυτών. Χρησιμοποιήθηκε ένας τριφασικός ασύγχρονος κινητήρας βραχυκυκλωμένου δρομέα, ισχύος 4 kw, συνδεσμολογίας τριγώνου. Η προσομοίωση και η μελέτη έγινε με τη χρήση του προγράμματος Opera 2-D της εταιρείας Vector Fields, το οποίο χρησιμοποιεί τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση των μερικών διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη ηλεκτρομαγνητική λειτουργία της μηχανής. Πρώτα γίνεται η ηλεκτρομαγνητική ανάλυση των μοντέλων της μηχανής στη μόνιμη κατάσταση. Μετά χρησιμοποιώντας τα μοντέλα αυτά, υπολογίστηκαν οι ηλεκτρομαγνητικές πιέσεις που ασκούνται σε δόντια του δρομέα και του στάτη και η συνολική ακτινική και εφαπτομενική δύναμη που ασκείται πάνω στον δρομέα. Όταν οι ιδιοσυχνότητες ταλάντωσης της μηχανής είναι κοντά στις συχνότητες που υπάρχουν στο φάσμα συχνοτήτων της ακτινικής δύναμης, δημιουργείται συντονισμός και προκαλεί θορύβους και ταλαντώσεις στη μηχανή. Για να αποφευχθούν τέτοιου είδους θόρυβοι και ταλαντώσεις υπολογίζονται τα πλάτη και οι συχνότητες της ακτινικής δύναμης καθώς και οι ιδιοσυχνότητες της μηχανής. Οι ίδιες μετρήσεις έγιναν και σε μοντέλο μηχανής με μια σπασμένη μπάρα του κλωβού. Απεικονίσθηκαν οι ακτινικές δυνάμεις και συγκρίθηκαν με αυτές του υγιούς μοντέλου στο πεδίο του χώρου, του χρόνου και της συχνότητας. Επίσης παρουσιάζεται μια μέθοδος για την ανίχνευση «υπογραφών» ηλεκτρικών σφαλμάτων, μέσω ανάλυσης Fourier της ακτινικής ηλεκτρομαγνητικής δύναμης και πίεσης. Τα αποτελέσματα δείχνουν πως η ηλεκτρομαγνητική δύναμη είναι μια καλή παράμετρος με τη χρήση της οποίας μπορεί να ανιχνευτεί το σφάλμα της σπασμένης μπάρας. 1

8 2

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΠΕΡΙ ΑΣΥΓΧΡΟΝΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ασύγχρονες ηλεκτρικές μηχανές Τριφασικές ασύγχρονες μηχανές Βασικές αρχές λειτουργίας ασύγχρονων μηχανών Συχνότητα και ολίσθηση Μαγνητικά πεδία Α.Μ Στρεφόμενο πεδίο ενός τριφασικού τυλίγματος Ανώτερες αρμονικές του πεδίου του στάτη Ανώτερες αρμονικές του πεδίου του δρομέα Μαγνητικές δυνάμεις Δυνάμεις Maxwell Δυνάμεις μαγνητοσυστολής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Μεταβολή της μαγνητικής αγωγιμότητας Επίδραση των αυλακώσεων Επίδραση μαγνητικού κορεσμού Μαγνητεγερτική δύναμη (mmf) στάτη και δρομέα Δημιουργία ακτινικών μαγνητικών δυνάμεων Το πλάτος της ακτινικής μαγνητικής πίεσης Παραμόρφωση του πυρήνα του στάτη Ιδιομορφές και ιδιοτιμές της δύναμης και του στάτη Τάξεις της ακτινικής πίεσης Υπολογισμός των συχνοτήτων και τάξεων της ακτινικής μαγνητικής πίεσης Αλληλεπίδραση χωρικών αρμονικών του πεδίου του στάτη του ίδιας τάξης Αλληλεπίδραση χωρικών αρμονικών του πεδίου του στάτη και του δρομέα Αλληλεπίδραση χωρικών αρμονικών του πεδίου του δρομέα, ίδιας τάξης

10 2.6.4 Αρμονικές της δύναμης λόγω μαγνητικού κορεσμού Υπολογισμός των ιδιοσυχνοτήτων του συστήματος του στάτη Ροπές ανώτερων αρμονικών Αναλυτικές μέθοδοι υπολογισμού στιγμιαίας ροπής Αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού στιγμιαίας ροπής Εφαπτομενικές πιέσεις έναντι ακτινικών πιέσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Εισαγωγή Χαρακτηριστικά κινητήρα Σχεδίαση Μοντελοποίηση της Μηχανής στις Δύο Διαστάσεις Επιλογή Ανάλυσης Υπολογισμός δυνάμεων και πιέσεων Ανάλυση έντασης (Stress analysis) Εξισώσεις που επιλύονται από το πρόγραμμα Ανάλυση μόνιμης ημιτονοειδούς κατάστασης (AC analysis ή time harmonic analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Εισαγωγή Αποτελέσματα προσομοίωσης υγιούς μηχανής στη μόνιμη κατάσταση στις 1460 rpm Αποτελέσματα της time harmonic (AC) ανάλυσης, προσομοίωσης υγιούς μηχανής, στην εκκίνηση, στην ανατροπή (1050 rpm) και στις 1460 rpm Αποτελέσματα της ανάλυσης έντασης (stress analysis) προσομοίωσης υγιούς μηχανής, στις 1460 στροφές ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΗΣ ΜΕ ΜΙΑ ΣΠΑΣΜΕΝΗ ΜΠΑΡΑ ΤΟΥ ΚΛΩΒΟΥ Αποτελέσματα προσομοίωσης μηχανής με μία σπασμένη μπάρα στη μόνιμη κατάσταση στις 1460 rpm

11 5.2 Αποτελέσματα της ανάλυσης της μόνιμης ημιτονοειδούς κατάστασης ( time harmonic analysis), προσομοίωσης μηχανής με σπασμένη μπάρα, στην εκκίνηση, στην ανατροπή και στις 1460 στροφές ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Μαγνητικές δυνάμεις με την μέθοδο του τανυστή πίεσης του Maxwell ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

12 6

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΠΕΡΙ ΑΣΥΓΧΡΟΝΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ 1.1 Ασύγχρονες ηλεκτρικές μηχανές Οι ασύγχρονες μηχανές είναι είδος ηλεκτρικών μηχανών εναλλασσομένου ρεύματος, οι οποίες χρησιμοποιούνται συνήθως ως κινητήρες. Χρησιμοποιούνται για παραγωγή ενέργειας και είναι ευρύτατα διαδεδομένες σε βιομηχανικές εφαρμογές ηλεκτροκίνησης. Για τους λόγους αυτούς, αποτελούν εδώ και πολλά χρόνια αντικείμενο εκτεταμένης έρευνας διεθνώς. Η ισχύς τους ποικίλλει από κλάσματα του ίππου (fractional horsepower) μέχρι περίπου 1300 HP (1 MW). Τα τελευταία χρόνια βρίσκουν μεγάλη εφαρμογή και ως γεννήτριες, κυρίως σε εγκαταστάσεις αιολικής ενέργειας. Η ονομασία «ασύγχρονες» οφείλεται στο ότι ο δρομέας τους στρέφεται με διαφορετική ταχύτητα απ ότι το μαγνητικό πεδίο που προκαλούν τα ρεύματα του στάτη. Οι μηχανές αυτές αποκαλούνται και επαγωγικές μηχανές, ονομασία που έγκειται στο ότι τα ρεύματα στο δρομέα της μηχανής αναπτύσσονται εξ επαγωγής από τα ρεύματα του στάτη. Με άλλα λόγια, οι επαγωγικές μηχανές δεν έχουν ανεξάρτητη διέγερση στο δρομέα, όπως οι συνηθισμένες σύγχρονες ηλεκτρικές μηχανές. Οι ασύγχρονες μηχανές χωρίζονται, ανάλογα με την τροφοδοσία τους, σε μονοφασικές και τριφασικές. Στη συγκεκριμένη διπλωματική εργασία θα εξεταστεί η περίπτωση των τριφασικών ασύγχρονων μηχανών, οι οποίες γενικά χρησιμοποιούνται για μέση και μεγάλη ισχύ. 1.2 Τριφασικές ασύγχρονες μηχανές [1,2] Οι τριφασικές ασύγχρονες μηχανές έχουν ένα συμμετρικό τριφασικό τύλιγμα στο στάτη, όμοιο με αυτό των σύγχρονων. Ως προς την κατασκευή του τυλίγματος του δρομέα, διακρίνονται δύο είδη ασύγχρονων τριφασικών μηχανών: αυτές με βραχυκυκλωμένο δρομέα, οπότε χρησιμοποιείται η ορολογία ασύγχρονες μηχανές κλωβού, και αυτές με δρομέα με δακτυλίους που καλούνται ασύγχρονες μηχανές με 7

14 δακτυλιοφόρο δρομέα. Λόγω της ιδιαίτερης σημασίας, τα τυλίγματα του δρομέα πρέπει να διευκρινιστούν περισσότερο: α) Ασύγχρονη μηχανή κλωβού: Εντός των αυλακώσεων χυτεύεται ρευστό αλουμίνιο ή χαλκός, το οποίο όταν στερεοποιηθεί εντελώς αποτελεί τον ηλεκτρικό αγωγό. Ο αγωγός αυτός δεν είναι μονωμένος έναντι του σιδηρομαγνητικού υλικού. Τα ρεύματα, κατά το μέγιστο μέρος, ρέουν δια μέσω του αγωγού, διότι αυτός έχει πολύ μεγαλύτερη αγωγιμότητα από την αγωγιμότητα του σιδήρου. Εκτός αυτού, μεταξύ του χάλκινου ή αλουμινένιου αγωγού και του σιδήρου υπάρχει μια σχετικά μεγάλη αντίσταση επαφής. Εξαίρεση αποτελεί ο κλωβός που αποτελείται από μπάρες, οι οποίες μπορούν να είναι μονωμένες, διότι στην περίπτωση αυτή δεν έχουμε χύτευση, παρά οι αγωγοί είναι ήδη έτοιμοι και τοποθετούνται στις αυλακώσεις. Συνήθως οι δακτύλιοι βραχυκύκλωσης και τα πτερύγια εξαερισμού χυτεύονται μαζί με τους αγωγούς. Ο αγωγός κάθε μιας αυλάκωσης του δρομέα αποτελεί μια φάση. Έτσι λοιπόν, μπορεί να θεωρηθεί ότι ο ένας δακτύλιος συνδέει τις φάσεις σε αστέρα και ο άλλος βραχυκυκλώνει τα άκρα αυτών. β) Ασύγχρονη μηχανή με δακτυλιοφόρο δρομέα: Ο δρομέας φέρει αυλακώσεις μέσα στις οποίες τοποθετείται ένα τύλιγμα όμοιο με το τύλιγμα του στάτη. Στο δρομέα, σχεδόν πάντοτε, οι τρεις φάσεις συνδέονται σε αστέρα και τα τρία άκρα τους συνδέονται με τους τρεις δακτυλίους. Οι δακτύλιοι μέσω των ψηκτρών συνδέονται με ένα εξωτερικό κύκλωμα, όπως για παράδειγμα με τρεις ωμικές αντιστάσεις συνδεδεμένες κατά αστέρα, ή είναι βραχυκυκλωμένοι. Ξεχωριστή κατηγορία αποτελούν οι δρομείς χωρίς αυλακώσεις: Αν κατασκευαστεί ο δρομέας από σίδηρο χωρίς αυλακώσεις, τότε εντός αυτού δημιουργούνται δινορρεύματα, τα οποία μαζί με το μαγνητικό πεδίο προκαλούν ροπή. Ασύγχρονες μηχανές με δρομείς τέτοιου είδους χρησιμοποιούνται για μεγάλο αριθμό στροφών (π.χ rpm), διότι παρουσιάζουν μεγάλη αντοχή κατά των φυγόκεντρων δυνάμεων. 1.3 Βασικές αρχές λειτουργίας ασύγχρονων μηχανών [1,2] Όταν το τριφασικό τύλιγμα του στάτη τροφοδοτείται από μία συμμετρική τριφασική πηγή τάσεων προκαλεί στο διάκενο της μηχανής ένα μαγνητικό πεδίο, το 8

15 οποίο στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ανάλογη της συχνότητας εναλλασσόμενων τάσεων (άρα και των ρευμάτων) του στάτη. Η ταχύτητα αυτή ονομάζεται σύγχρονη ταχύτητα και δίνεται από τον τύπο: 1.1 όπου η ηλεκτρική συχνότητα και p τα ζεύγη των μαγνητικών πόλων της μηχανής. Η γωνιακή ταχύτητα εκφράζεται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. Πολύ πιο συνηθισμένη είναι η μέτρηση της ταχύτητας περιστροφής σε στροφές ανά λεπτό (ΣΑΛ), η τιμή της οποίας δίνεται τότε από τη σχέση: 1.2 Πολλές φορές οι στροφές ανά λεπτό συμβολίζονται με τα αρχικά των αγγλικών λέξεων Revolutions per Minute, RPM ή rpm. Το στρεφόμενο μαγνητικό πεδίο είναι μια κύμανση, δηλαδή μια συνάρτηση του χρόνου και του τόπου, και περιγράφεται από την ακόλουθη εξίσωση: 1.3 όπου: : η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών πόλων (πολική απόσταση). : η απόσταση επί της περιφέρειας του εσωτερικού κύκλου, που σχηματίζεται κατά την εγκάρσια τομή του στάτη, υπολογισμένη από ορισμένο σημείο που επιλέγεται ελεύθερα. : ο χρόνος. Προϋπόθεση για να δημιουργηθεί ένα στρεφόμενο μαγνητικό πεδίο με σταθερό εύρος και σταθερό αριθμό στροφών είναι η ύπαρξη τριών συμμετρικών τυλιγμάτων τοποθετημένων κατά 120 μοίρες μεταξύ τους στο χώρο και τροφοδοτούμενων από 9

16 συμμετρικό ημιτονοειδές τριφασικό σύστημα τάσεων με διαφορά φάσης 120 μοίρες μεταξύ τους. Αυτό το πεδίο επάγει στο δρομέα της ασύγχρονης μηχανής ρεύματα, τα οποία δημιουργούν με το ίδιο το πεδίο μια ηλεκτρομαγνητική ροπή, τέτοια που τείνει να περιστρέψει το δρομέα κατά τη φορά του πεδίου και έτσι να αντισταθεί στο αίτιο που προκάλεσε την κίνηση. Επομένως, ο δρομέας προσπαθεί να φτάσει το στρεφόμενο πεδίο, ώστε μόλις γίνει η σχετική ταχύτητα μηδέν, να μηδενιστεί και το ρεύμα. Ωστόσο, δεν κατορθώνει να φτάσει ποτέ το μαγνητικό πεδίο, δηλαδή δεν αποκτά ποτέ σύγχρονη ταχύτητα, διότι τότε δεν θα υπήρχε τάση και ρεύμα εξ επαγωγής, οπότε και η ροπή θα ήταν μηδέν. Μία ελάχιστη ροπή όμως, είναι απαραίτητη για την αντιμετώπιση όποιου μηχανικού φορτίου υπάρχει στον άξονα της μηχανής π.χ. τριβές. Σε μία ιδανική κατάσταση (μηδενικό φορτίο) ο δρομέας θα περιστρεφόταν με τη σύγχρονη ταχύτητα. Ο δρομέας, λοιπόν, παρουσιάζει κάποια ολίσθηση δηλαδή περιστρέφεται ασύγχρονα. Από εδώ προέρχεται και το όνομα Ασύγχρονη Μηχανή. Αν ο δρομέας περιστρέφεται με ορισμένη ολίσθηση και αυξηθεί το φορτίο, τότε θα αυξηθεί η ολίσθηση, δηλαδή θα μειωθεί ο αριθμός των στροφών. Το ρεύμα εξ επαγωγής και μέσω αυτού και η ροπή, αυξάνεται. Η αύξηση αυτή γίνεται μέχρι ενός ορισμένου σημείου, το οποίο ονομάζεται σημείο ανατροπής, η δε αντιστοιχούσα ροπή λέγεται ροπή ανατροπής και η αντίστοιχη ολίσθηση ονομάζεται ολίσθηση ανατροπής. Πέρα από το σημείο αυτό, η ροπή μειώνεται, έτσι η ροπή ανατροπής είναι η μέγιστη δυνατή ροπή της ασύγχρονης μηχανής. Η περιοχή από το συγχρονισμό μέχρι το σημείο ανατροπής λέγεται περιοχή ευστάθειας. Στην περιοχή αυτή, η ασύγχρονη μηχανή συμπεριφέρεται, με μεγάλη προσέγγιση, όπως μια μηχανή συνεχούς ρεύματος παραλλήλου διεγέρσεως. Έξω από την περιοχή αυτή και για ταχύτητες μικρότερες εκείνης όπου επέρχεται η ανατροπή, επικρατεί αστάθεια. Αν ο δρομέας στρέφεται με ταχύτητα μεγαλύτερη του στρεφόμενου πεδίου, τότε η μηχανή λειτουργεί ως γεννήτρια, δηλαδή προσφέρει μέσω του στάτη προς το δίκτυο ηλεκτρική ενέργεια, η δε ολίσθηση γίνεται αρνητική. Υπάρχει και μια τρίτη κατάσταση λειτουργίας, η οποία μπορεί να εμφανιστεί κατά την ακόλουθη εφαρμογή: Ένας κινητήρας προσπαθεί να ανυψώσει ένα φορτίο. Έστω ότι το φορτίο δημιουργεί μια ηλεκτρομαγνητική ροπή μεγαλύτερη από εκείνη που μπορεί να παράγει ο κινητήρας. Τότε ο δρομέας αναγκάζεται να στραφεί σε 10

17 αντίθετη φορά από εκείνη που θα ήθελε αυτός. Στην περίπτωση αυτή η ολίσθηση παραμένει θετική, αλλά μεγαλύτερη από την ολίσθηση της περιοχής, όπου λειτουργεί η μηχανή ως κινητήρας. Η περιοχή αυτή χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι η ασύγχρονη μηχανή δέχεται ενέργεια και από το δίκτυο προς το στάτη (ηλεκτρική ενέργεια) και από το μηχανικό φορτίο στον άξονα (μηχανική ενέργεια) και ονομάζεται περιοχή πέδης. Η ολική εισερχόμενη ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα μέσα στη μηχανή. Σχ. 1.1 Χαρακτηριστική καμπύλη ροπής-στροφών μιας ασύγχρονης μηχανής [1] Αν τώρα τροφοδοτηθεί ο δρομέας αντί του στάτη και βραχυκυκλωθεί, τότε δημιουργείται ένα στρεφόμενο μαγνητικό πεδίο, το οποίο σχετικά προς το δρομέα στρέφεται με. Στο στάτη δημιουργούνται ρεύματα εξ επαγωγής, τα οποία αντιδρούν στην αιτία που τα προκάλεσε, δηλαδή δημιουργείται μια ηλεκτρομαγνητική ροπή η οποία προσπαθεί να μειώσει την ταχύτητα του πεδίου ως προς το στάτη. Αυτό σημαίνει πως ο δρομέας σε αυτή την περίπτωση στρέφεται αντίθετα προς το πεδίο. Όταν ο δρομέας ηρεμεί (π.χ. όταν είναι ανοικτός ή συγκρατείται), τότε η ασύγχρονη μηχανή δε διαφέρει από ένα τριφασικό μετασχηματιστή, όπου ο στάτης αντιστοιχεί στο πρωτεύον τύλιγμα και ο δρομέας στο δευτερεύον. Υπάρχουν κάποιες εφαρμογές όπου συναντώνται τέτοιου είδους μετασχηματιστές, λέγονται δε στρεφόμενοι μετασχηματιστές, διότι στρέφοντας με ένα μηχανισμό το φρεναρισμένο δρομέα κατά μια μικρή γωνία ως προς το στάτη, παράγεται μια διαφορετική τάση στο 11

18 δευτερεύον. Έτσι μπορεί να ρυθμιστεί το μέγεθος μιας τριφασικής τάσης. Υπάρχουν ασύγχρονες μηχανές που τροφοδοτούνται και από το δρομέα και από το στάτη (διπλής τροφοδοσίας), όταν επιδιώκεται καλύτερη ρύθμιση του αριθμού στροφών. 1.4 Συχνότητα και ολίσθηση [1, 4] Αν ο στάτης μιας ασύγχρονης μηχανής τροφοδοτείται από το δίκτυο και ο δρομέας είναι ανοικτός, τότε η μηχανή προσλαμβάνει ρεύμα εν κενώ, το οποίο καλύπτει τις θερμικές απώλειες και δημιουργεί το μαγνητικό πεδίο. Ο σύγχρονος αριθμός στροφών, που ορίζεται από τη σχέση:, είναι ένα σπουδαίο μέγεθος. Κοντά σε αυτόν βρίσκεται ο ονομαστικός αριθμός στροφών της μηχανής, λίγο μικρότερος όταν πρόκειται για κινητήρα, λίγο μεγαλύτερος όταν πρόκειται για γεννήτρια. Όταν δίνεται ο σύγχρονος αριθμός και η συχνότητα, προκύπτει ο αριθμός που εκφράζει τα ζεύγη των πόλων. Αν είναι η ταχύτητα του δρομέα, τότε αυτός σχετικά προς το στρεφόμενο πεδίο στρέφεται με την ακόλουθη ταχύτητα: Τα εναλλασσόμενα ηλεκτρικά μεγέθη του δρομέα έχουν τη συχνότητα: Είναι αυτονόητο ότι ισχύει η σχέση: από την οποία μέσω πολλαπλασιασμού με τον αριθμό των ζευγών των πόλων δημιουργείται η εξίσωση συχνοτήτων: όπου: : πρωτεύον (στάτης), : δευτερεύον (δρομέας), : αριθμός στροφών δρομέα. 12

19 Αν ο δρομέας στρέφεται αντίθετα προς τη φορά του μαγνητικού πεδίου, τότε το γίνεται αρνητικό. Το ρεύμα του δρομέα δημιουργεί και αυτό ένα μαγνητικό πεδίο, το οποίο ως προς το δρομέα στρέφεται με, αλλά ως προς το στάτη με. Τα δύο πεδία δημιουργούν την ηλεκτρομαγνητική ροπή και είναι φυσικό να έχουν μεταξύ τους σχετική ταχύτητα ίση με μηδέν. Βασικό μέγεθος που χαρακτηρίζει τη λειτουργία μιας ασύγχρονης μηχανής είναι η ολίσθηση, (από την αγγλική λέξη slip), η οποία ορίζεται από την εξίσωση: 1.8 Η ολίσθηση ορίζεται ως η ποσοστιαία διαφορά της ταχύτητας περιστροφής του δρομέα από τη σύγχρονη ταχύτητα του στρεφόμενου μαγνητικού πεδίου. Στην κατάσταση ηρεμίας, θα ισχύει και επομένως, ενώ για έχουμε. Αν ο δρομέας στραφεί γρηγορότερα από το στρεφόμενο πεδίο, τότε η ολίσθηση γίνεται αρνητική. Από τις σχέσεις 1.7, 1.8 προκύπτει η σχέση: 1.9 που συνδέει τις δύο συχνότητες και με την ολίσθηση. Από τους τύπους, η ολίσθηση προκύπτει ως δεκαδικός αριθμός (π.χ. 0,01), συχνά όμως εκφράζεται και ως ποσοστό επί τοις εκατό (π.χ. 1%). Όταν η μηχανή λειτουργεί ως κινητήρας, η ολίσθηση είναι θετική, δηλαδή ο δρομέας περιστρέφεται με μικρότερη ταχύτητα από το μαγνητικό πεδίο. Στην περίπτωση αυτή, η μηχανή απορροφά ισχύ από το δίκτυο τροφοδοσίας και κινεί ένα μηχανικό φορτίο (ανεμιστήρα, συμπυκνωτή ενός ψυγείου ή κλιματιστικού μηχανήματος κλπ). Όσο μεγαλύτερο είναι το μηχανικό φορτίο, τόσο μεγαλύτερη γίνεται η ολίσθηση του κινητήρα (υποτίθεται ότι υπάρχει τροφοδοσία με σταθερή τάση). Συνεπώς, όσο αυξάνει το φορτίο, οι στροφές του ασύγχρονου κινητήρα μειώνονται. Η ροπή θεωρείται θετική όταν επιταχύνει τη μηχανή, δηλαδή όταν αυτή λειτουργεί ως κινητήρας και τότε η ολίσθηση είναι θετική, ενώ στην αντίθετη 13

20 περίπτωση λειτουργεί με αρνητική ολίσθηση, δηλαδή ως γεννήτρια. Η ροπή που αναπτύσσει τότε η μηχανή είναι αρνητική. Στην πράξη, οι κανονικές συνθήκες λειτουργίας, τόσο για γεννήτρια όσο και για κινητήρα, αντιστοιχούν σε ροπές πολύ μικρότερες από τη μέγιστη ροπή και σε ταχύτητες πολύ κοντά στη σύγχρονη. Τυπικές τιμές για την ολίσθηση κανονικής λειτουργίας είναι μεταξύ ±1 και ± 3%. Πέρα από την ασφάλεια της μηχανής, βασικός λόγος για τη λειτουργία με μικρή ολίσθηση είναι ο περιορισμός των απωλειών Joule στο δρομέα. Οι απώλειες αυτές είναι ανάλογες της ολίσθησης. Κατά συνέπεια, λειτουργία με μεγάλη ολίσθηση σημαίνει υπερθέρμανση του δρομέα και χαμηλό βαθμό απόδοσης. 1.5 Μαγνητικά πεδία Α.Μ Στρεφόμενο πεδίο ενός τριφασικού τυλίγματος [1,2] Για να υπολογισθεί το πεδίο εξετάζεται πρώτα το ρευματικό στρώμα, το οποίο δημιουργεί την καμπύλη διεγέρσεως του πεδίου, από την οποία τελικά προκύπτει η καμπύλη του πεδίου. Λέγοντας ρευματικό στρώμα εννοείται το μέγεθος που είναι μια συνάρτηση του τόπου και του χρόνου και εκφράζει το διάρρευμα ενός τυλίγματος ανά μονάδα μήκους. Το μέγεθος αυτό μεταβάλλεται για κάθε σημείο και για κάθε χρονική στιγμή, όταν εξετάζεται ένα τριφασικό τύλιγμα, γι αυτό μπορεί να σχεδιαστεί ως συνάρτηση της διάστασης για μια χρονική στιγμή. Αν εφαρμοστεί ο νόμος του διαρρεύματος για ένα στοιχείο του ρευματικού στρώματος, θα προκύψει η μαγνητεγερτική δύναμη ( ή magneto motive force (mmf)) ή αλλιώς το διάρρευμα, η οποία ονομάζεται και καμπύλη διεγέρσεως του πεδίου Η είναι η αιτία δημιουργίας του μαγνητικού πεδίου και η μαγνητική δύναμη είναι το αποτέλεσμά της. Ως ονομάζεται η μαγνητική πτώση τάσης μεταξύ δύο σημείων που βρίσκονται πάνω στην ίδια ακτίνα, το ένα στην εσωτερική διάμετρο του στάτη και το άλλο στην εξωτερική διάμετρο του δρομέα. 14

21 Αν εφαρμοστεί ολοκλήρωμα κατά μήκος της τροχιάς και ληφθεί υπόψη ότι εντός του σιδηρομαγνητικού υλικού (πυρήνας) το μαγνητικό πεδίο είναι πολύ μικρό λόγω της μεγάλης διαπερατότητας, τότε προκύπτει η εξής σχέση: 1.11 Επομένως η σχέση που εκφράζει τη μαγνητική επαγωγή (ή αλλιώς πυκνότητα μαγνητικής ροής) είναι: 1.12 Η εξαρτάται μόνο από τα διεγείροντα ρεύματα, ενώ η μαγνητική επαγωγή εξαρτάται και από το μήκος του διακένου το οποίο θεωρήθηκε σταθερό. Η καμπύλη διεγέρσεως έχει ακριβώς την ίδια μορφή με την μαγνητική επαγωγή αν το διάκενο της μηχανής είναι σταθερό, όταν σχεδιάζονται οι καμπύλες αυτές ως συναρτήσεις της διάστασης. Στην πραγματικότητα όμως, έχει διακυμάνσεις λόγω μη κυκλικών επιφανειών του στάτη και του δρομέα εξαιτίας των αυλακώσεων και επίσης λόγω του ότι αλλάζουν θέση μεταξύ τους κατά την περιστροφή. Γενικά δηλαδή, το διάκενο είναι συνάρτηση της θέσης και του χρόνου, γεγονός που ενισχύει τις υπάρχουσες ανώτερες αρμονικές της ή δημιουργεί και νέες. Όπως παρατηρείται, η καμπύλη της επαγωγής δεν είναι ημιτονοειδής και μπορεί να αναλυθεί στη βασική αρμονική και στις ανώτερες αρμονικές. Όλες οι αρμονικές διατηρούν σταθερό εύρος όταν μεταβάλλεται ο χρόνος, αλλά κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες και έτσι αλλάζουν θέση μεταξύ τους. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το ολικό πεδίο μεταβάλλει τη μορφή του. Λόγω, λοιπόν, της μεταβολής του διακένου η μαγνητική επαγωγή θα μεταβάλλεται ανάλογα με τη θέση και το χρόνο και η σχέση 1.12 μπορεί να πάρει τη μορφή :

22 όπου το είναι η μαγνητική αγωγιμότητα του διακένου που εξαρτάται από τη γεωμετρική γωνία και το χρόνο. Σχ.1.2 Καμπύλη ρευματικού στρώματος και ΜΕΔ μιας φάσης σε μια διπολική μηχανή [2] Σχ.1.3 Καμπύλη της πυκνότητας μαγνητικής ροής μιας φάσης σε μια τετραπολική μηχανή[2] 16

23 Σχ. 1.4 Χρονική μεταβολή των καμπυλών του ρευματικού στρώματος, της ΜΕΔ και της πυκνότητας μαγνητικής ροής τριών φάσεων [2] Ανώτερες αρμονικές του πεδίου του στάτη [1,2] Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, η καμπύλη του μαγνητικού πεδίου δεν είναι ημιτονοειδής λόγω της μη ομοιόμορφης κατανομής του ρευματικού στρώματος, λόγω της ύπαρξης των αυλακώσεων εντός των οποίων τοποθετούνται οι ρευματοφόροι αγωγοί. Στο Σχ.1.3 φαίνεται η μορφή της καμπύλης αυτής για μια φάση της 17

24 τετραπολικής Α.Μ. Η αναλυτική έκφραση αυτής είναι δύσκολη λόγω της ιδιομορφίας της, δηλαδή της μη γραμμικότητας που παρουσιάζει. Όπως και σε άλλες περιπτώσεις, έτσι και εδώ χρησιμοποιείται ανάλυση Fourier και για το μαγνητικό πεδίο ενός πηνίου προερχόμενο από μία φάση και προκύπτει η ακόλουθη μαθηματική έκφραση : 1.14 Για το μαγνητικό πεδίο μιας συμμετρικής ασύγχρονης μηχανής φάσεων τροφοδοτούμενων από αντίστοιχα ημιτονοειδή ρεύματα προκύπτει η ακόλουθη έκφραση : 1.15 Στις σχέσεις αυτές είναι ο αριθμός των φάσεων, ο αριθμός των σπειρών όλων των πηνίων μια φάσης που συνδέονται σε σειρά, απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών πόλων, η ενεργός τιμή του ρεύματος κάθε φάσεως, ο αριθμός των ζευγών πόλων και ο συντελεστής τυλίγματος για την αρμονική τάξης. Από τη σχέση αυτή παρατηρείται ότι η τάξη των ανώτερων αρμονικών δίνεται από τη σχέση : Αυτές οι αρμονικές ονομάζονται αρμονικές των αυλακώσεων του στάτη. To συμβολίζει τον αριθμό των φάσεων και το είναι ένας ακέραιος αριθμός, που παίρνει τιμές 1.16 Για το τριφασικό σύστημα δηλ., οπότε οι ανώτερες αρμονικές είναι της τάξης 18

25 Αξιοπαρατήρητο είναι το γεγονός ότι δεν υπάρχουν ανώτερες αρμονικές των οποίων η τάξη να διαιρείται δια 3 ούτε αρμονικές με άρτιο αριθμό. Το πρώτο συμβαίνει επειδή το μαγνητικό πεδίο μιας φάσης περιέχει ανώτερες αρμονικές, των οποίων η τάξη διαιρείται δια 3, το άθροισμα δε τριών τέτοιων αρμονικών, που προέρχονται από τις τρεις συμμετρικές φάσεις είναι μηδέν. Οι αρνητικές τιμές που εμφανίζονται στο όρισμα των συνημιτονοειδών προσθετέων δηλαδή 1.17 σημαίνουν ότι τα αντίστοιχα μαγνητικά πεδία στρέφονται με φορά ίδια με τη φορά περιστροφής της βασικής αρμονικής. Αντίθετα, όταν στο όρισμα υπάρχει το θετικό πρόσημο, δηλαδή 1.18 τότε η αντίστοιχη αρμονική στρέφεται με αντίθετη φορά προς τη φορά της βασικής. Οι αρμονικές με δηλαδή για έχουν συνισταμένη δεξιόστροφο κύμα (κατά την θετική φορά του θ), ενώ οι αρμονικές με δηλαδή έχουν συνισταμένη αριστερόστροφο κύμα (κατά την αρνητική φορά του ). Η ημιτονοειδής κατανομή των αρμονικών της και της επαγωγής κατά μήκος της περιφέρειας του διακένου δημιουργεί στρεφόμενα κύματα σε ένα ζεύγος πόλων της μηχανής και σε όλη την περιφέρεια της μηχανής. Επομένως, είναι ο αριθμός των ζευγών των πόλων και ο αριθμός των πόλων του μαγνητικού πεδίου της -ιοστής αρμονικής. Έτσι, η θεμελιώδης αρμονική έχει ζεύγη πόλων, η 3 η κλπ. Η σύγχρονη γωνιακή ταχύτητα κάθε αρμονικής θα είναι, όπου γωνιακή ταχύτητα της βασικής αρμονικής. Το πλάτος κάθε αρμονικής του στρεφόμενου μαγνητικού πεδίου μιας τριφασικής περιέλιξης είναι του πλάτους της αντίστοιχης αρμονικής του εναλλασσόμενου μαγνητικού πεδίου μιας φάσης που διαρρέεται από το ίδιο ρεύμα, δηλαδή. Όπως φαίνεται και από την σχέση 1.15, το πλάτος κάθε 19

26 αρμονικής ισούται με το πλάτος της βασικής διά τον αριθμό της αντίστοιχης αρμονικής. Άρα, οι μεγάλες τάξεις αρμονικών θα έχουν πολύ μικρό πλάτος Ανώτερες αρμονικές του πεδίου του δρομέα [1,2] Όπως και ο στάτης έτσι και ο δρομέας έχει ρευματικό στρώμα, το οποίο επίσης δημιουργεί ανώτερες αρμονικές. Ας αναλυθεί αρχικά η συχνότητα των ρευμάτων του δρομέα και η ολίσθηση. Η ολίσθηση ορίζεται από την εξίσωση : 1.19 όπου είναι η μηχανική ταχύτητα του δρομέα. Το μέγεθος εκφράζει την ποσοστιαία διαφορά της ταχύτητας του δρομέα από τη σύγχρονη ταχύτητα του στρεφόμενου μαγνητικού πεδίου. Το ρεύμα στο δρομέα δημιουργεί και αυτό μαγνητικό πεδίο που περιστρέφεται με ταχύτητα : 1.20 ως προς το πεδίο του στάτη.η συχνότητα του ρεύματος του δρομέα ονομάζεται συχνότητα ολίσθησης. Αν η βασική αρμονική του πεδίου του στάτη περιστρέφεται με την ταχύτητα, οι ανώτερες αρμονικές του πεδίου του στάτη θα περιστρέφονται με ταχύτητα : 1.21 Άρα για την ολίσθηση της -ιοστής αρμονικής του πεδίου του στάτη ισχύει η σχέση:

27 όπου με συμβολίζεται η σύγχρονη ταχύτητα της -ιοστής κύμανσης. Έτσι, η συχνότητα των ρευμάτων που επάγονται στον δρομέα από τη -ιοστή αρμονική του πεδίου του στάτη θα είναι : Αν ο δρομέας έχει τον ίδιο αριθμό φάσεων και πόλων που έχει και ο στάτης, τότε το ρευματικό στρώμα του δρομέα δημιουργεί παρόμοιες ανώτερες αρμονικές όπως εκείνο του στάτη. Αν, όμως, ο αριθμός των φάσεων και πόλων είναι διαφορετικός στο δρομέα, τότε η αρμονική του στάτη της τάξης δημιουργεί μια αρμονική της τάξης, όπου μεταξύ και ισχύει η ακόλουθη σχέση: όπου είναι ο αριθμός των φάσεων του δρομέα, τα ζεύγη των πόλων της βασικής αρμονικής του στάτη και Στο βραχυκυκλωμένο δρομέα ισχύει, δηλαδή ο αριθμός των φάσεων ισούται με τον αριθμό των αυλακώσεων, οπότε ισχύει η ακόλουθη σχέση: 1.25 Για παράδειγμα, η πέμπτη αρμονική ( ) ενός στάτη με δύο ζεύγη πόλων ( ) δημιουργεί σε ένα κλωβό με 28 αυλακώσεις τις αρμονικές 1.6 Μαγνητικές δυνάμεις [3,5] Λόγω του μαγνητικού πεδίου του στάτη και του δρομέα, προκύπτει τελικά ένα παραμορφωμένο μαγνητικό πεδίο. Σύμφωνα με το νόμο του Lenz, αυτό το προκύπτον μαγνητικό πεδίο δημιουργεί δυνάμεις. Οι μαγνητικές δυνάμεις που εμφανίζονται σε ηλεκτρικές μηχανές, ταξινομούνται σε τρεις τύπους: Δυνάμεις του Maxwell (Maxwell forces ή reluctance forces) Δυνάμεις Laplace (ή Lorentz) Δυνάμεις μαγνητοσυστολής (magnetostriction forces). 21

28 Οι δυνάμεις Laplace είναι οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω στους ρευματοφόρους αγωγούς που βρίσκονται μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Αυτές οι δυνάμεις δημιουργούνται λόγω των κινούμενων φορτίων μέσα στους αγωγούς και υπολογίζονται από τη σχέση, όπου είναι το ρεύμα του αγωγού, είναι ένα απειροελάχιστο τμήμα του αγωγού και είναι η μαγνητική επαγωγή. Λόγω της παρουσίας μαγνητικού πεδίου μέσα στο διάκενο δημιουργούνται δυνάμεις Maxwell που μπορούν να υπολογιστούν από τον τανυστή πίεσης του Maxwell. Οι δυνάμεις αυτές ασκούνται στην επιφάνεια του σιδηρομαγνητικού υλικού και παραμορφώνουν έμμεσα τον πυρήνα του στάτη και του δρομέα. Οι δυνάμεις μαγνητοσυστολής δημιουργούνται λόγω της παρουσίας μαγνητικού πεδίου μέσα στο σιδηρομαγνητικό υλικό (πυρήνα του στάτη ή του δρομέα). Η μαγνητοσυστολή είναι μία ιδιότητα των σιδηρομαγνητικών υλικών που τα αναγκάζει να αλλάξουν σχήμα ή διαστάσεις κατά τη διαδικασία της μαγνήτισης. Οι δύο αυτές δυνάμεις (Maxwell και μαγνητοσυστολής) προκαλούν ταλάντωση στον πυρήνα και τα δόντια του στάτη. Οι ακτινικές ταλαντώσεις μεταδίδονται από το πίσω μέρος του πυρήνα του στάτη προς το πλαίσιο της μηχανής. Η εφαπτομενική κίνηση του στάτη δε συνεισφέρει σχεδόν καθόλου στην ταλάντωση του συστήματος της μηχανής. Αποτέλεσμα των ταλαντώσεων αυτών, είναι η καταπόνηση των διάφορων τμημάτων της μηχανής: στα στηρίγματα της μηχανής, στα δόντια, στις μπάρες του δρομέα κλπ. Για το λόγο αυτό, το δάπεδο, όπου στηρίζεται μια μηχανή, πρέπει να είναι υπολογισμένο για τις δυνάμεις που θα μεταφέρονται μέσω του στάτη σ αυτό και να είναι ικανό να δεχτεί τους κραδασμούς, που εμφανίζονται στις μεταβατικές καταστάσεις. Παρακάτω γίνεται περεταίρω αναφορά για αυτές τις δύο δυνάμεις Δυνάμεις Maxwell (reluctance forces)[3, 5, 6] Οι δυνάμεις Maxwell εκφράζονται από τον τανυστή πίεσης του Maxwell, του οποίου ο γενικός ορισμός περιλαμβάνει ήδη τη δύναμη Lorentz ( ). Σύμφωνα με τη θεωρία του Maxwell oι δυνάμεις αυτές δημιουργούνται και εφαρμόζονται στη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων με διαφορετική μαγνητική διαπερατότητα και διαφορετικό μαγνητικό πεδίο [6,8]. Μια μικρή συνισταμένη των 22

29 δυνάμεων αυτών δρα εφαπτομενικά πάνω στο δρομέα δημιουργώντας τη ροπή κίνησης. Η κύρια συνισταμένη της δύναμης, δρα ακτινικά κυρίως πάνω στα άκρα των δοντιών. Αυτή η ακτινική δύναμη τείνει να τραβήξει το στάτη προς το δρομέα και έχει μέγιστη τιμή όταν τα ρεύματα του στάτη έχουν μέγιστη τιμή σε μια χρονική στιγμή. Σύμφωνα με το (παράρτημα), η ακτινική συνιστώσα της πίεσης (δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας) που οδηγεί στην ακτινική συνιστώσα της δύναμης Maxwell είναι : 1.26 όπου το είναι η ακτινική συνιστώσα της πυκνότητας μαγνητικής ροής, το η εφαπτομενική συνιστώσα και είναι η μαγνητική διαπερατότητα του κενού χώρου ( ). Η εφαπτομενική συνιστώσα της πίεσης που οδηγεί στην εφαπτομενική συνιστώσα της δύναμης Maxwell είναι: 1.27 Σχ. 1.5 Ο ορισμός της επιφάνειας μαζί με το κάθετο και ακτινικό διάνυσμα της Λόγω της αρχής του Newton action=reactio, η ηλεκτρομαγνητική ακτινική και εφαπτομενική δύναμη δρα τόσο στο δρομέα όσο και στο στάτη. Η επίδραση της ροπής στο δρομέα, που δημιουργείται από την εφαπτομενική δύναμη, προκαλεί την 23

30 περιστροφή του. Η ίση και αντίθετη ροπή που δρα στο στάτη αντιμετωπίζεται από τα στηρίγματα της μηχανής. Η ακτινική συνιστώσα της δύναμης Maxwell ασκείται κυρίως στις άκρες των δοντιών του στάτη και του δρομέα (στην διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ διακένου και του στάτη), δημιουργώντας ταλαντώσεις στο σύστημα του στάτη και αυτό είναι η κύρια πηγή δημιουργίας ηλεκτρομαγνητικού θορύβου στη μηχανή. Παρότι και στο δρομέα ασκούνται οι δυνάμεις Maxwell, οι ακτινικές ταλαντώσεις του δρομέα αποσβένονται στο διάκενο και έτσι δε συνεισφέρουν στην ταλάντωση και το θόρυβο όλου του συστήματος της μηχανής. Γι αυτό και οι περισσότερες έρευνες ασχολούνται με τη συμπεριφορά του στάτη. Φυσικά αν υπάρχει κλίση στις μπάρες του δρομέα τότε υπάρχουν και δυνάμεις Maxwell και ταλαντώσεις στη διεύθυνση του άξονα που μεταφέρονται στα πλευρικά καλύμματα της μηχανής. Αυτή η συνισταμένη της δύναμης δεν επιφέρει σοβαρές επιπτώσεις στη μηχανή, ούτε ως προς τις ταλαντώσεις ούτε ως προς το θόρυβο και δεν θα μελετηθεί στη συγκεκριμένη διπλωματική εργασία γιατί οι μπάρες του μοντέλου της μηχανής που χρησιμοποιήθηκε δεν έχουν κλίση. Αν Δ είναι η γωνία μεταξύ του κάθετου διανύσματος της επιφάνειας και της γραμμής του μαγνητικού πεδίου, τότε σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους της πίεσης, η δύναμη του Maxwell θα έχει τις παρακάτω διευθύνσεις για Δ= : Σχ. 1.6 Διεύθυνση της δύναμης για διάφορες διευθύνσεις του μαγνητικού πεδίου. Με συμβολίζονται η ακτινική και εφαπτομενική πίεση αντίστοιχα. και 24

31 Ο εξισώσεις 1.26 και 1.27 μπορούν να προκύψουν και με τη θεωρία του Ostrogradsky [9] όπου είναι η μαγνητική δύναμη, είναι η μαγνητική πυκνότητα δύναμης, και είναι η μαγνητική πίεση. Για τον υπολογισμό της ολικής δύναμης του Maxwell που ασκείται πάνω στον όγκο του στάτη, μπορεί να ορισθεί ένα κλειστός όγκος που αποτελείται από ένα κύλινδρο στο διάκενο, ένα κύλινδρο έξω από τη μηχανή, και 2 δακτυλίους στα άκρα της μηχανής. Υποθέτοντας ότι έξω από τη μηχανή το μαγνητικό πεδίο μηδενίζεται, το τριπλό ολοκλήρωμα απλοποιείται σε διπλό ολοκλήρωμα επιφάνειας γύρω από το διάκενο: 1.29 Άρα, η πίεση στην εσωτερική επιφάνεια του στάτη και στην επιφάνεια του δρομέα μπορεί να εκφραστεί από την εξίσωση : 1.30 όπου είναι η μαγνητική διαπερατότητα του σιδήρου, είναι το μαγνητικό πεδίο του σιδήρου και είναι το μαγνητικό πεδίο του κενού χώρου. Έχοντας υπ όψιν τις οριακές συνθήκες του μαγνητικού πεδίου και της πυκνότητας της μαγνητικής ροής, θα ισχύει ότι και. Άρα:

32 Από τις παραπάνω εξισώσεις γίνεται κατανοητό ότι η πίεση Maxwell στη διαχωριστική επιφάνεια του στάτη και του διακένου (μπροστά από τα δόντια του στάτη) είναι κάθετη και έχει ακτινική διεύθυνση. Μέχρι τώρα δεν έχει γίνει καμιά υπόθεση σχετικά με το ότι οι γραμμές της πυκνότητας ροής μπαίνουν κάθετα στα δόντια του στάτη. Η ιδιότητα αυτή της καθαρά ακτινικής πίεσης πάνω στην διαχωριστική επιφάνεια δεν εξαρτάται από τη γωνία Δ των γραμμών της πυκνότητας ροής, αλλά εξάγεται μόνο με τους νόμους της συνέχειας. Αν είχε ληφθεί υπόψη η επιφάνεια στα τοιχώματα των δοντιών μέσα στην αυλάκωση, στο ολοκλήρωμα, τότε θα προέκυπταν δυνάμεις με εφαπτομενική διεύθυνση αλλά κάθετες πάνω στην επιφάνεια του τοιχώματος της αυλάκωσης. Αυτές οι εφαπτομενικές δυνάμεις δεν επηρεάζουν τη συμπεριφορά του συστήματος παρά μόνο σε πολύ μεγάλες μηχανές και δε θα εξεταστούν σε αυτή την εργασία Δυνάμεις μαγνητοσυστολής (Magnetostriction forces) [3,5] Μαγνητοσυστολή είναι το φαινόμενο που εμφανίζεται σε ένα σιδηρομαγνητικό υλικό το οποίο αλλάζει διαστάσεις όταν βρίσκεται υπό την επίδραση του μαγνητικού πεδίου. Το φαινόμενο αυτό τείνει να συρρικνώσει ή να εκτείνει το υλικό στη διεύθυνση των μαγνητικών γραμμών κρατώντας τον όγκο του σταθερό. Η παραμόρφωση αυτή δημιουργείται λόγω της ευθυγράμμισης των ηλεκτρονικών σύννεφων των δίπολων που συνθέτουν το σιδηρομαγνητικό υλικό και των τμημάτων της κρυσταλλικής δομής του υλικού, με το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, κατά την εφαρμογή του μαγνητικού πεδίου πάνω στο υλικό, τα δίπολα περιστρέφονται και το υλικό εκτείνεται και αλλάζει διαστάσεις. Σχ. 1.7 Ευθυγράμμιση των δίπολων στη διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου 26

33 Σχ. 1.8 Απλοποιημένη αναπαράσταση των γραμμών της πυκνότητας μαγνητικής ροής σιδηρομαγνητικού υλικού (αριστερά) και το προκύπτον παραμορφωμένο σχήμα του υλικού λόγω του φαινομένου μαγνητοσυστολής. Η μαγνητοσυστολή υπολογίζεται ποσοτικά από τη μηχανική τάση που προκαλείται στο υλικό εν απουσία κάποιου συστήματος συγκράτησης. Το εναλλασσόμενο μαγνητικό πεδίο μέσα στο σίδηρο της μηχανής προκαλεί εναλλασσόμενη μαγνητοσυστολή η οποία είναι υπεύθυνη για μικρές παραμορφώσεις στον πυρήνα και στα δόντια της μηχανής, με μεγάλο ρυθμό μεταβολής της παραμόρφωσης. Το φαινόμενο της μαγνητοσυστολής μπορεί να αλλάξει τη συμπεριφορά του συστήματος του στάτη ως προς τις ταλαντώσεις. Δηλαδή σε κάποιες συχνότητες μπορεί να τις ενισχύσει και σε κάποιες να τις αποσβέσει. Οι ταλαντώσεις λόγω μαγνητοσυστολής προκύπτουν στις ίδιες συχνότητες με τις ταλαντώσεις λόγω δυνάμεων Maxwell. Γι αυτό είναι αδύνατη η διάκριση τους σε ένα φάσμα ταλαντώσεων. 27

34 Σχ. 1.9 Δυνάμεις Maxwell (αριστερά) και φαινόμενο μαγνητοσυστολής (δεξιά). Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν πρέπει να ληφθεί σοβαρά υπόψη το μήκος των τόξων, μεταξύ των δυνάμεων Maxwell και μαγνητοσυστολής, γιατί στο FEM μοντέλο το πλέγμα είναι πιο πυκνό στις άκρες των δοντιών για να γίνει πιο καλή η ηλεκτρομαγνητική ανάλυση εκεί [3]. Λόγω της μαγνητοσυστολής, η μαγνητική διαπερατότητα του υλικού εξαρτάται από τη μηχανική τάση που ασκείται στο σιδηρομαγνητικό υλικό. Εφαρμόζοντας μηχανική τάση στο σιδηρομαγνητικό υλικό, ως ένα επίπεδο, αυξάνεται η διαπερατότητά του. Περαιτέρω αύξηση της τάσεως πάνω από αυτό το επίπεδο θα προκαλέσει μείωση της μαγνητικής διαπερατότητας. Σε μικρές ηλεκτρικές μηχανές το φαινόμενο της μαγνητοσυστολής είναι αμελητέο από άποψη ταλαντώσεων και θορύβου. Αντίθετα, οι μεγάλες μηχανές είναι πιο ευαίσθητες στις ταλαντώσεις λόγω μαγνητοσυστολής, γιατί μια μικρή τάση που ασκείται στο υλικό λόγω του φαινομένου οδηγεί σε μεγάλες αποκλίσεις της κρυσταλλικής δομής του υλικού. Το φαινόμενο αυτό είναι αρκετά πολύπλοκο και ξεφεύγει από τους σκοπούς της συγκεκριμένης διπλωματικής εργασίας. 28

35 Κεφάλαιο 2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ [1, 3, 5, 10] Οι ανώτερες αρμονικές του μαγνητικού πεδίου του στάτη και του δρομέα δημιουργούν ροπές και δυνάμεις, οι οποίες είναι επιβλαβείς για τις ασύγχρονες μηχανές και ιδιαίτερα δυσκολεύουν την εκκίνηση των κινητήρων με κλωβό. Για την εύρεση της ολικής ακτινικής ή εφαπτομενικής δύναμης, που ασκείται πάνω στη μηχανή, αρκεί να εφαρμοστεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα της ακτινικής και εφαπτομενικής πίεσης σε όλο το μήκος του διακένου. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί ολόκληρη η μαγνητική δύναμη και η ηλεκτρομαγνητική ροπή της μηχανής. Επίσης, με την ανάλυση Fourier της ακτινικής πίεσης του Maxwell στο χρόνο, είναι δυνατό να βρεθεί το φάσμα συχνοτήτων ταλάντωσης της μηχανής, αφού οι ταλαντώσεις είναι συνέπεια των ακτινικών δυνάμεων. Αν οι ιδιοσυχνότητες της μηχανής είναι ίδιες ή είναι κοντά στις συχνότητες που υπάρχουν στο φάσμα της ακτινικής ηλεκτρομαγνητικής δύναμης, τότε παράγεται ανεπιθύμητος θόρυβος στη μηχανή. Για αποφευχθούν τέτοιοι θόρυβοι και δονήσεις πρέπει να υπολογισθούν το πλάτος και οι συχνότητες των ακτινικών ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων καθώς και η ιδιοσυχνότητα της μηχανής. 2.1 Μεταβολή της μαγνητικής αγωγιμότητας [10] Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, λόγω μη κυκλικών επιφανειών του στάτη και του δρομέα εξαιτίας των αυλακώσεων και επίσης λόγω του ότι αλλάζουν θέση μεταξύ τους κατά την περιστροφή του δρομέα, η μαγνητική αγωγιμότητα είναι συνάρτηση του τόπου και του χρόνου η οποία επηρεάζεται από τις αυλακώσεις του στάτη και του δρομέα, την εκκεντρότητα του δρομέα (αν υπάρχει) και τον κορεσμό. 29

36 2.1.1 Επίδραση των αυλακώσεων [10] Η μαγνητική αγωγιμότητα του διακένου, λόγω των αυλακώσεων, σύμφωνα με το [10] θα είναι: όπου Το είναι ο συντελεστής Carter ο οποίος συμπεριλαμβάνει στο ισοδύναμο διάκενο τα ανοίγματα των αυλακώσεων. Αυτό πρέπει να ληφθεί υπόψη, γιατί στα άκρα της αυλάκωσης, η πυκνότητα της μαγνητικής ροής έχει σταθερή τιμή, όμως η τιμή αυτή ελαττώνεται κατά μήκος του ενεργού μήκους της αυλάκωσης, όπως φαίνεται και στο σχήμα 2.1. Σχ. 2.1 Κατανομή της πυκνότητας της ροής Β(θ) στην επιφάνεια του δρομέα, απέναντι από ανοικτή αυλάκωση του στάτη. [11] 30

37 Οι και είναι οι σχετικές ειδικές μαγνητικές αγωγιμότητες του διακένου που μεταβάλλονται λόγω των αυλακώσεων του στάτη και του δρομέα αντίστοιχα όπου η γωνιακή συχνότητα του δρομέα, οι αυλακώσεις του στάτη και οι αυλακώσεις του δρομέα. Τα και εξαρτώνται από το άνοιγμα των αυλακώσεων. Τελικά, η συνολική μαγνητική αγωγιμότητα του διακένου λόγω αυλακώσεων στάτη και δρομέα θα είναι : 2.5 όπου

38 2.1.2 Επίδραση μαγνητικού κορεσμού [10] Η μαγνητική αγωγιμότητα θα μεταβάλλεται, λόγω κορεσμού των άκρων των δοντιών, με την ακόλουθη εξίσωση : όπου Μαγνητεγερτική δύναμη (mmf) στάτη και δρομέα[10] Λαμβάνοντας υπόψη μόνο τη βασική αρμονική του στάτη, η χωρική και χρονική κατανομή της (διάρρευμα) μιας πολυφασικής ηλεκτρικής μηχανής που τροφοδοτείται από ημιτονοειδή ρεύματα, μπορεί να εκφραστεί από τις ακόλουθες εξισώσεις: του στάτη : 2.9 του δρομέα : 2.10 όπου το είναι η γωνιακή συχνότητα της - ιοστής αρμονικής του πεδίου του δρομέα, η μηχανική γωνιακή ταχύτητα του δρομέα, είναι η γεωμετρική γωνία, είναι ο αριθμός των ζευγών των πόλων, είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων των αρμονικών του στάτη και του δρομέα που έχουν ίδια τάξη, και είναι ο αριθμός των χωρικών αρμονικών του στάτη και του δρομέα αντίστοιχα, γωνιακή ταχύτητα του ρεύματος εισόδου,, και 32

39 είναι οι μέγιστες τιμές της των -ιοστών και -ιοστών αρμονικών που εκφράζονται από τις παρακάτω σχέσεις. Για το στάτη: 2.11 όπου φασικό ρεύμα του στάτη, αριθμός των σπειρών του τυλίγματος του στάτη σε σειρά ανά φάση, ο συντελεστής τυλίγματος του στάτη -ιοστής αρμονικής και 2.12 είναι ο συντελεστής κατανομής τυλίγματος, 2.13 είναι ο αριθμός των αυλακώσεων ανά πόλο και ανά φάση, είναι ο συντελεστής τυλίγματος μεταξύ δύο διαδοχικών πόλων (winding pitch factor) και είναι το πλάτος του τυλίγματος (coil pitch) Για το δρομέα: 2.15 όπου αριθμός των σπειρών του τυλίγματος του δρομέα και ο συντελεστής τυλίγματος του δρομέα -ιοστής αρμονικής. 33

40 Όπως φαίνεται στη σχέση 2.10, η mmf του δρομέα εξαρτάται από την. Συνεπώς, το αρμονικό περιεχόμενο του πεδίου και της δύναμης θα εξαρτάται από την ολίσθηση, όπως θα παρατηρηθεί και στη συνέχεια. 2.3 Δημιουργία ακτινικών μαγνητικών δυνάμεων [1,10] Οι ανώτερες αρμονικές δημιουργούν δυνάμεις με ακτινική διεύθυνση και προκαλούν έλξη μεταξύ στάτη και δρομέα. Όταν δύο αρμονικές του στάτη ή του δρομέα ή μία του στάτη και μία του δρομέα αλληλεπιδράσουν, τότε δημιουργείται μια άλλη κύμανση με ημιτονοειδή διαμόρφωση πλάτους. Αυτή προκαλεί δυνάμεις ανάλογες του τετραγώνου της επαγωγής. Σε δύο διαμετρικά τοποθετημένα σημεία παρουσιάζεται στο μεν ένα σημείο ένα μέγιστο και στο δε άλλο ένα ελάχιστο, ώστε συνολικά να επικρατεί έλξη προς μια κατεύθυνση. Άρα η ακτινική δύναμη που ασκείται στην εσωτερική επιφάνεια του στάτη θα είναι ίση και αντίθετη απ αυτή που ασκείται στην επιφάνεια του δρομέα. Το (Σχ. 2.2) αποδίδει την κατανομή των κυματοειδών δυνάμεων για μερικές αρμονικές. 34

41 Σχ. 2.2 Δυνάμεις λόγω ανώτερων αρμονικών μιας Α.Μ.[1] Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως οι δυνάμεις αυτές αναγκάζουν μερικά τμήματα της μηχανής να ταλαντεύονται και έτσι προκαλείται θόρυβος. Όταν η συχνότητα των ταλαντευόμενων δυνάμεων είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα των τμημάτων της μηχανής που πάλλονται, ο θόρυβος γίνεται ιδιαίτερα ισχυρός. Λόγω της κατανομής των δυνάμεων αυτών ο κυκλικός στάτης τείνει να παραμορφωθεί σε ευθεία, τρίγωνο κ.λπ., τα δε σημεία των γωνιών περιστρέφονται. Επίσης, ο άξονας τείνει να λυγίσει. Εκτός αυτών, δημιουργείται μια παραμόρφωση της ροπής, όπως φαίνεται στο (Σχ. 2.3), διότι οι ταλαντώσεις των μηχανικών τμημάτων σπαταλούν ορισμένη ενέργεια. 35

42 Σχ. 2.3 Επίδραση των ταλαντευόμενων δυνάμεων επί της ροπής μιας Α.Μ. Για να βρεθεί η μαθηματική έκφραση της ακτινικής πίεσης πρέπει πρώτα να βρεθεί η έκφραση της μαγνητικής επαγωγής. Σύμφωνα με το [10] η στιγμιαία τιμή της ακτινικής συνιστώσας της πυκνότητας ροής του μαγνητικού πεδίου μέσα στο διάκενο, σε ένα σημείο καθορισμένο από τη γωνία μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: όπου Η πυκνότητα μαγνητικής ροής του στάτη είναι : [Τ] και 36

43 Η πυκνότητα μαγνητικής ροής του δρομέα είναι : 2.18 Σύμφωνα με τον τανυστή πίεσης του Maxwell (παράρτημα), η κυματομορφή της ακτινικής μαγνητικής δύναμης ανά μονάδα επιφάνειας (πίεση) σε οποιοδήποτε σημείο στο διάκενο δίνεται από τη σχέση: 2.19 Αφού η μαγνητική διαπερατότητα του σιδηρομαγνητικού πυρήνα είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτή του διακένου, οι γραμμές της μαγνητικής ροής είναι πρακτικά κάθετες στους πυρήνες του στάτη και του δρομέα [7, 8, 10]. Έτσι, η εφαπτομενική συνιστώσα της πυκνότητας της μαγνητικής ροής είναι πολύ πιο μικρή από την ακτινική συνιστώσα, έτσι μπορεί να αγνοηθεί και η σχέση 2.19 απλοποιείται και γίνεται : 2.20 Υπάρχουν τρεις ομάδες από τον άπειρο αριθμό των κυμάτων των αρμονικών της ακτινικής πίεσης, σύμφωνα με τη σχέση 2.20: Το γινόμενο των αρμονικών του πεδίου του στάτη του ίδιου αριθμού τάξης, δηλαδή :

44 Το μικτό γινόμενο τάξης και του δρομέα τάξης : των αρμονικών του πεδίου του στάτη 2.22 Το γινόμενο αριθμού τάξης : των αρμονικών του πεδίου του δρομέα του ίδιου 2.23 Για λόγους ευκολίας των πράξεων έχει παρθεί μόνο το γινόμενο των χωρικών αρμονικών του πεδίου του ίδιου αριθμού τάξης και, για την πρώτη και τρίτη περίπτωση αντίστοιχα. Δεν παύει να ισχύει, όμως, ότι θα έχουμε και γινόμενα διαφορετικών αριθμών ή των αρμονικών, π.χ. θα υπάρχουν και γινόμενα μεταξύ της πρώτης αρμονικής του στάτη με την πέμπτη του στάτη, ή την 13 η με την 15 η αρμονική του δρομέα. Σύμφωνα με αυτό, προκύπτουν τελικά άπειρες αρμονικές στο χώρο. Με αυτές τις εξισώσεις, οι ακτινικές μαγνητικές δυνάμεις ανά μονάδα επιφάνειας μπορούν να εκφραστούν με την ακόλουθη γενική μορφή : όπου είναι το πλάτος της μαγνητικής πίεσης, είναι η γωνιακή ταχύτητα και είναι οι αντίστοιχες τάξεις των ακτινικών μαγνητικών δυνάμεων

45 Οι ακτινικές δυνάμεις περιστρέφονται γύρω από τη εσωτερική διάμετρο του στάτη με γωνιακή ταχύτητα και συχνότητα. Όπως φαίνεται και από τις σχέσεις 2.11 και 2.15, το πλάτος της μαγνητεγερτικής δύναμης του στάτη και του δρομέα είναι αντιστρόφως ανάλογα του αριθμού των ζευγών των πόλων. Άρα, στις μηχανές όπου υπάρχει μικρός αριθμός ζευγών πόλων, οι ακτινικές δυνάμεις είναι πιο έντονες, προκαλώντας πιο μεγάλες ταλαντώσεις στο στάτη και ως αποτέλεσμα αυτού παράγεται πιο ισχυρός θόρυβος από άλλες μηχανές με πιο πολλούς πόλους Το πλάτος της ακτινικής μαγνητικής πίεσης Το πλάτος της ακτινικής μαγνητικής πίεσης της -ιοστής τάξης στην εξίσωση 2.24, εξαρτάται από τα πλάτη των αρμονικών της πυκνότητας της μαγνητικής ροής που συμμετέχουν στην παραγωγή του, δηλαδή: από το γινόμενο των αρμονικών του πεδίου του στάτη του ίδιου αριθμού, το πλάτος προκύπτει : 2.25 από το γινόμενο των αρμονικών του πεδίου του στάτη πλάτος προκύπτει: και του δρομέα, το 2.26 από τo γινόμενο των αρμονικών του πεδίου του δρομέα του ίδιου αριθμού, το πλάτος προκύπτει:

46 2.4 Παραμόρφωση του πυρήνα του στάτη [5] Ο στάτης είναι μια συμμετρική κυκλική κατασκευή και αυτή η ιδιότητα προκύπτει από το γεγονός ότι μπορεί να διαιρεθεί σε υποτμήματα, με καθένα από αυτά να είναι ακριβώς ίδιο με τα υπόλοιπα. Κάθε υποτμήμα περιλαμβάνει ένα δόντι, ένα τμήμα των τυλιγμάτων και το αντίστοιχο τμήμα του πυρήνα. Κάθε συμμετρική κυκλική κατασκευή παρουσιάζει μοναδικά χαρακτηριστικά ταλάντωσης Ιδιομορφές και ιδιοτιμές της δύναμης και του στάτη [5,12] Υπό την επίδραση των ακτινικών μαγνητικών δυνάμεων, ο στάτης θα ταλαντώνεται με τον ίδιο τρόπο που θα ταλαντωνόταν ένας ατσάλινος δακτύλιος αν επιδρούσαν πάνω του αυτές οι δυνάμεις. Οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω στα δόντια του στάτη δεν είναι εξίσου κατανεμημένες σε κάθε δόντι σε μια χρονική στιγμή. Εφαρμόζονται με διαφορετικά πλάτη σε κάθε δόντι ξεχωριστά και εξαρτάται από τη θέση των δοντιών του δρομέα σε σχέση με τη θέση των δοντιών του στάτη. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να δημιουργούνται κυματώσεις δύναμης πάνω στην περιφέρεια του στάτη. Η ιδιομορφή (mode shape) αυτών των μαγνητικών κυματώσεων της δύναμης, εκφράζει τον τρόπο που κατανέμεται η δύναμη. Οι σημαντικότερες από αυτές είναι αποτέλεσμα της διαφοράς μεταξύ του αριθμού των αυλακώσεων του στάτη και του δρομέα: όπου : η ιδιομορφή της δύναμης (ή τάξη) : ο αριθμός των αυλακώσεων του στάτη : ο αριθμός των αυλακώσεων του δρομέα : ζεύγη πόλων

47 Λόγω καμπυλότητας του κυλινδρικού κελύφους, οι ταλαντώσεις στις τρεις ορθογώνιες διευθύνσεις, ακτινική, αξονική, και εφαπτομενική, είναι συνδεδεμένες μεταξύ τους. Ως αποτέλεσμα αυτού, κάθε επίδραση της δύναμης σε μια διεύθυνση θα προκαλέσει ταλάντωση και στις τρεις διευθύνσεις. Αυτές οι δυνάμεις είναι περιοδικές ως προς το χώρο και το χρόνο. Μπορούν να αναλυθούν στο χώρο σε οικογένειες οι οποίες αντιστοιχούν σε ακέραιες ιδιοτιμές (mode numbers ), που εκφράζουν τη κατανομή της δύναμης στο χώρο και τείνουν να παραμορφώσουν τη μηχανή στο αντίστοιχο σχήμα. Αυτές οι τάξεις μπορούν να βρεθούν με ανάλυση Fourier της πίεσης στο χώρο. Ανάλογα με τον τρόπο που εφαρμόζεται κατανέμεται η δύναμη και ανάλογα με τις συχνότητες της δύναμης, ο στάτης θα ταλαντώνεται με μία ή και περισσότερες ιδιομορφές ταλάντωσης. Η ιδιομορφή (mode shape) μιας συμμετρικής κυκλικής κατασκευής μπορεί να εκφραστεί από μια ιδιοτιμή (mode number m). Η ιδιοτιμή της κατασκευής περιγράφει τον αριθμό των πλήρων κυμάτων παραμόρφωσης γύρω από την περιφέρεια, σύμφωνα με τα οποία παραμορφώνεται η μηχανή. [12] Σχ. 2.4 Ιδιομορφές (mode shapes) μιας σωληνοειδούς κατασκευής για τις ιδιοτιμές (mode numbers) m. [12] Σε μια ιδιοσυχνότητα του στάτη, αντιστοιχεί μια ιδιομορφή του, η οποία κυριαρχεί στην απόκριση του στάτη. Αν ασκηθεί δύναμη πάνω στον στάτη με 41

48 συχνότητα ίση με μια ιδιοσυχνότητα της μηχανής και η κυμάτωση της δύναμης έχει χωρική κατανομή με ιδιοτιμή ίση με τον αριθμό ιδιομορφής του στάτη, τότε θα επέλθει συντονισμός. Το πλάτος της ταλάντωσης θα είναι μεγάλο και θα εξαρτάται από την απόσβεση της κατασκευής. Αν η συχνότητα της δύναμης συμπέσει με την ιδιοσυχνότητα του στάτη, αλλά η τάξη της δύναμης δεν είναι ίδια με την ιδιοτιμή του στάτη, τότε δε θα υπάρξει συντονισμός. Στις ηλεκτρικές μηχανές πρέπει να αποφεύγεται ο συντονισμός ώστε να εξαλείφονται ο θόρυβος και οι ταλαντώσεις. Έτσι, απαιτείται η γνώση των χαρακτηριστικών ταλάντωσης του στάτη. Σε παρακάτω κεφάλαιο θα αναφερθεί τρόπος υπολογισμού των ιδιοσυχνοτήτων της μηχανής. 2.5 Τάξεις της ακτινικής πίεσης [10] Η μετατόπιση του πυρήνα του στάτη είναι αντιστρόφως ανάλογη της 4 ης δύναμης της τάξης της ακτινικής δύναμης Σύμφωνα με τη 2.20, η χαμηλότερη συχνότητα της ακτινικής μαγνητικής δύναμης, για το γινόμενο των αρμονικών του πεδίου του στάτη της ίδιας τάξης, είναι που είναι η διπλάσια συχνότητα από αυτή της συχνότητας τροφοδοσίας και η τάξη είναι. Επομένως, η τάξη της ακτινικής δύναμης για μια διπολική μηχανή είναι ενώ για μια τετραπολική μηχανή είναι. Έτσι, η μαγνητική δύναμη της τετραπολικής μηχανής θα είναι το της δύναμης της διπολικής μηχανής. Άρα, ο θόρυβος που οφείλεται στη συχνότητα που είναι διπλάσια από τη συχνότητα τροφοδοσίας, είναι πολύ πιο ισχυρός στη διπολική μηχανή, σύμφωνα με τη Η μεγαλύτερη παραμόρφωση του σωλήνα του στάτη εμφανίζεται όταν η συχνότητα είναι κοντά στη μηχανική ιδιοσυχνότητα του συστήματος του στάτη. Οι πιο σημαντικές, από άποψη θορύβου, είναι οι χαμηλής τάξης ιδιοτιμές, δηλ. και. 42

49 Ιδιομορφή ταλάντωσης (vibration mode) τάξης Για ιδιομορφή ταλάντωσης μαγνητικής δύναμης (πίεση) είναι:, ή αλλιώς breathing mode, η πυκνότητα της Η δύναμη αυτή είναι κατανεμημένη ομοιόμορφα γύρω από την εσωτερική περιφέρεια του στάτη και αλλάζει περιοδικά με το χρόνο. Προκαλεί ακτινική ταλάντωση του πυρήνα του στάτη και μπορεί να συσχετισθεί με ένα κυλινδρικό σωλήνα με μεταβλητή εσωτερική υπερπίεση [13]. Η 2.30 περιγράφει μια αλληλεπίδραση δύο κυματώσεων πυκνότητας μαγνητικής ροής ίδιου μήκους (ίδιου αριθμού ζευγών πόλων) και διαφορετικής ταχύτητας (συχνότητα). Σύμφωνα με το [14], το breathing mode μπορεί να προκαλέσει ένα ισχυρό κύμα δόνησης από ακουστικής άποψης ακόμα και με μεγάλο αριθμό πόλων και ημιτονοειδή τροφοδοσία Ιδιομορφή ταλάντωσης Για ιδιομορφή ταλάντωσης πίεση είναι: ή αλλιώς beam bending mode [15], η ακτινική και προκαλεί μια μονόπλευρη μαγνητική έλξη στο δρομέα και το στάτη. Από φυσικής άποψης, η 2.31 περιγράφει την αλληλεπίδραση δύο κυματώσεων μαγνητικής επαγωγής, των οποίων τα ζεύγη πόλων διαφέρουν κατά ένα

50 Σχήμα 2.5 Η μορφή που τείνει να πάρει ο στάτης, λόγω της χωρικής κατανομής (τάξης) της ακτινικής πίεσης [10]. Ιδιομορφές ταλάντωσης Για το ovaling mode, και, θα προκύψουν κυματοειδή σχήματα του στάτη, όπως φαίνεται και στο σχήμα. 2.6 Υπολογισμός των συχνοτήτων και τάξεων της ακτινικής μαγνητικής πίεσης [10] Από τις 2.21, 2.22 και 2.23 προκύπτουν οι συχνότητες και οι τάξεις των ακτινικών μαγνητικών πιέσεων: 44

51 από το γινόμενο των χωρικών αρμονικών του πεδίου του στάτη του ίδιου αριθμού, προκύπτει : 2.32 από το γινόμενο των χωρικών αρμονικών του πεδίου του στάτη δρομέα, προκύπτει: και του 2.33 από τo γινόμενο των χωρικών αρμονικών του πεδίου του δρομέα του ίδιου αριθμού, προκύπτει: Αλληλεπίδραση χωρικών αρμονικών του πεδίου του στάτη του ίδιας τάξης [10] Για τη βασική χωρική αρμονική η συχνότητα της ακτινικής μαγνητικής πίεσης σύμφωνα με τη 2.30 είναι και η τάξη. Το περιστρεφόμενο μέρος με ζεύγη πόλων και συχνότητα μπορεί να δημιουργήσει σημαντικές δονήσεις, ειδικά σε μεγάλες μηχανές. Για παράδειγμα, για, το πλάτος της μαγνητικής ακτινικής πίεσης είναι. Για μεγαλύτερης τάξης χωρικές αρμονικές η συχνότητα της ακτινικής πίεσης είναι πάλι και η τάξη είναι Αλληλεπίδραση χωρικών αρμονικών του πεδίου του στάτη και του δρομέα [10] Αν ληφθεί υπόψη μόνο η βασική χρονική αρμονική, τότε η αρμονική του πεδίου κάθε τυλίγματος του στάτη, στο σημείο, θα ταλαντώνεται με γωνιακή συχνότητα, όπου η θεμελιώδης συχνότητα. Για μια ασύγχρονη μηχανή, η γωνιακή ταχύτητα μιας αρμονικής του πεδίου του δρομέα είναι: 45

52 2.35 όπου είναι η μηχανική γωνιακή ταχύτητα του δρομέα και. Έτσι, η γωνιακή συχνότητα των ακτινικών δυνάμεων λόγω αρμονικών του στάτη και του δρομέα προκύπτει από τη Η συχνότητα των ακτινικών δυνάμεων θα είναι: 2.37 Οι τάξεις επίσης καθορίζονται από τη 2.33 ως: όπου και ορίζονται από τις 1.16 και αντίστοιχα. Για οι τάξεις είναι και Αλληλεπίδραση χωρικών αρμονικών του πεδίου του δρομέα, ίδιας τάξης [10] Σύμφωνα με τη 2.34, η γωνιακή συχνότητα και η συχνότητα των ακτινικών μαγνητικών δυνάμεων μιας ασύγχρονης μηχανής είναι : και η τάξη

53 Οι παραπάνω εξισώσεις ισχύουν για τις χωρικές αρμονικές της δύναμης λαμβάνοντας υπόψη μόνο τη βασική χρονική αρμονική της πίεσης. Με παρόμοιους υπολογισμούς, οι χρονικές αρμονικές των δυνάμεων θα έχουν συχνότητα : για το γινόμενο των αρμονικών του πεδίου του στάτη του ίδιου αριθμού : για το γινόμενο των αρμονικών του πεδίου του στάτη και του δρομέα : από τo γινόμενο των αρμονικών του πεδίου του δρομέα του ίδιου αριθμού : Πάλι για λόγους ευκολίας των πράξεων έχει παρθεί μόνο το γινόμενο των αρμονικών του πεδίου του ίδιου αριθμού και, για την πρώτη και τρίτη περίπτωση αντίστοιχα Αρμονικές της δύναμης λόγω μαγνητικού κορεσμού [10] Η πυκνότητα της μαγνητικής ροής του στάτη λόγω κορεσμού θα είναι το γινόμενο της mmf του στάτη (εξίσωση 2.9) με τη μαγνητική αγωγιμότητα (εξίσωση 2.8). Για η έκφραση της πυκνότητας μαγνητικής ροής του στάτη είναι σύμφωνα με το [10]: 2.45 όπου. Η παραπάνω εξίσωση εκφράζει δύο κυματώσεις της πυκνότητας μαγνητικής ροής κορεσμού. Η μία κυμάτωση έχει συχνότητα και αριθμό πόλων όσο και η βασική αρμονική και η άλλη έχει τρεις φορές πιο μεγάλη συχνότητα 47

54 και τριπλάσιο αριθμό πόλων από τη βασική. Η εξίσωση 2.45 συμπεριλαμβάνει τον μαγνητικό κορεσμό του πυρήνα και των δοντιών μαζί. Υποθέτοντας ότι μόνο η αρμονική φέρνει σε κορεσμό τα δόντια, η πυκνότητα μαγνητικής ροής στο δρομέα λόγω κορεσμού θα είναι σύμφωνα με το [10]: 2.46 όπου για μια ασύγχρονη μηχανή ισχύει ότι. Σύμφωνα με τη 2.35 η γωνιακή συχνότητα των αρμονικών του δρομέα λόγω κορεσμού για τη βασική χρονική αρμονική θα είναι σύμφωνα με το [10]: 2.47 Άρα με το γινόμενο των αρμονικών του πεδίου του στάτη μεταξύ τους (2.45) και χρησιμοποιώντας τη σχέση παρατηρείται ότι θα εμφανιστούν αρμονικές πίεσης στις συχνότητες πολλαπλάσια του 2, 4 και 6 της βασικής αρμονικής του πεδίου του στάτη, δηλαδή. Με το γινόμενο των αρμονικών των πεδίων του στάτη και του δρομέα η γωνιακή συχνότητα θα ισούται με : 2.48 και θα έχει τάξη : 2.49 Οι τελευταίες δύο εξισώσεις δίνουν τις συχνότητες και τις τάξεις των αρμονικών των ακτινικών μαγνητικών δυνάμεων λόγω κορεσμού και εκφράζονται από τις :

55 για το γινόμενο των αρμονικών του στάτη μεταξύ τους, και 2.51 για πολλαπλασιασμό των αρμονικών του στάτη και του δρομέα. 2.7 Υπολογισμός των ιδιοσυχνοτήτων του συστήματος του στάτη [10] Ο υπολογισμός των ιδιοσυχνοτήτων του συστήματος του στάτη είναι απαραίτητος για την ανάλυση των ταλαντώσεων της ηλεκτρικής μηχανής. Σε κλασσικές προσεγγίσεις, το σύστημα του στάτη, που αποτελείται από τον πυρήνα, τα τυλίγματα, και το κέλυφος του στάτη, θεωρείται ως ένας χοντρός δακτύλιος με δόντια και τυλίγματα. Οι ιδιοσυχνότητες του συστήματος του στάτη της m-ιοστής ιδιομορφής ταλάντωσης μπορεί να εκφραστεί από την ακόλουθη εξίσωση: όπου το είναι η σκληρότητα του πυρήνα (lumped stiffness) ( ) και η συγκεντρωμένη μάζα (lumped mass) (kg) του συστήματος του στάτη. Αν ο πυρήνας του στάτη έχει πάχος, μάζα, και μέση διάμετρο, η σκληρότητα και η συγκεντρωμένη μάζα για την ιδιομορφή (breathing mode) θα είναι : όπου είναι η πυκνότητα μάζας του πυρήνα του στάτη, είναι το ενεργό μήκος του πυρήνα, είναι το μέτρο ελαστικότητας, είναι συντελεστής λόγω των ελασμάτων που είναι φτιαγμένος ο πυρήνας (stacking factor), και είναι ο συντελεστής επιπλέον μάζας για την μετατόπιση (mass addition factor for displacement) που ορίζεται από την εξίσωση :

56 Στην παραπάνω εξίσωση είναι η μάζα όλων των δοντιών του στάτη, είναι η μάζα των τυλιγμάτων, είναι η μάζα της μόνωσης, και είναι η μάζα του κυλίνδρου του πυρήνα του στάτη (yoke). Έτσι, οι εξισώσεις 2.52 και 2.53 δίνουν την φόρμουλα εύρεσης της ιδιοσυχνότητας για Για την ιδιομορφή ταλάντωσης εξισώσεις: (bending mode) ισχύουν οι ακόλουθες Στην εξίσωση 2.57 το είναι συντελεστής επιπλέον μάζας για την περιστροφή (mass addition factor for rotation) [16] όπου 2.59 είναι η ροπή αδράνειας, είναι ο αριθμός των αυλακώσεων του στάτη, είναι το πλάτος του δοντιού, και είναι το ύψος του δοντιού. 50

57 Συνεπώς, η ιδιοσυχνότητα της ιδιομορφής θα είναι [15]: 2.60 Γενικά, για ιδιομορφές ταλάντωσης [15] θα ισχύουν : όπου ο συντελεστής είναι για τα πλευρικά καλύμματα (end bells) της μηχανής και για τα στηρίγματα του κελύφους. Έτσι, η ιδιοσυχνότητα του συστήματος του στάτη για τις ιδιομορφές μπορεί να εκφραστεί από την ακόλουθη εξίσωση: 2.64 Η εξίσωση 2.64 είναι στην πραγματικότητα μια τροποποιημένη εξίσωση για την ταλάντωση ενός δακτυλίου προερχόμενη από τον Hoppe [17]. Ωστόσο, οι εξισώσεις δεν έχουν καλή ακρίβεια στον υπολογισμό των ιδιοσυχνοτήτων του συστήματος γιατί ο στάτης είναι μια πολύπλοκη κατασκευή η οποία αποτελείται από τον κύλινδρο του στάτη και τα δόντια, που είναι κατασκευασμένα από ελάσματα, από τυλίγματα που είναι κατανεμημένα στις αυλακώσεις, και από το κέλυφος (περίβλημα). Αυτές οι εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να εκτιμηθεί η ιδιοσυχνότητα του πυρήνα του στάτη μόνο, χωρίς το περίβλημα και τα πλευρικά καλύμματα, και με μόνη επίδραση τα τυλίγματα και τα δόντια. 51

58 2.8 Ροπές ανώτερων αρμονικών [1] Οι εφαπτομενικές δυνάμεις επιδρούν πολύ λιγότερο στις ταλαντώσεις και το θόρυβο από τις ακτινικές δυνάμεις. Μπορούν είτε να αυξήσουν είτε να μειώσουν το πλάτος των αρμονικών των ακτινικών δυνάμεων μικρής τάξης. Τα αποτελέσματα της αλληλεπίδρασης των ανώτερων αρμονικών του στάτη και του δρομέα για τη ροπή μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες. α) Ασύγχρονες ανώτερες ροπές Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, μια ανώτερη αρμονική έχει το δικό της αριθμό ζευγών πόλων. Έτσι η αρμονική της τάξης έχει ζεύγη πόλων, όπου είναι τα ζεύγη των πόλων της βασικής αρμονικής. Μεταξύ των αρμονικών του στάτη και του δρομέα υπάρχουν μερικές που τα ζεύγη των πόλων είναι ίσα και στρέφονται με την ίδια ταχύτητα σχετικά προς το στάτη, ανεξάρτητα από την ταχύτητα του δρομέα. Η κατάσταση αυτή είναι δυνατή μόνον όταν η συγκεκριμένη αρμονική του δρομέα, που είναι υπό εξέταση, προέρχεται από τη μία αρμονική του στάτη με την οποία ταυτίζεται ως προς τον αριθμό ζευγών πόλων και την ταχύτητα. Τότε μεταξύ αυτών υπάρχει επαγωγική ζεύξη. Οι αρμονικές του είδους αυτού δημιουργούν μια ηλεκτρομαγνητική ροπή, όπως ακριβώς συμβαίνει και με τις βασικές αρμονικές. Όπως είναι γνωστό, το πεδίο του στάτη δημιουργεί ένα πεδίο στο δρομέα, το οποίο σχετικά προς το στάτη στρέφεται με τη σύγχρονη ταχύτητα ανεξάρτητα από τη γωνιακή ταχύτητα του δρομέα και έχει τον ίδιο αριθμό ζευγών πόλων. Επειδή, λοιπόν, η συμπεριφορά των πεδίων και στις δύο περιπτώσεις είναι όμοια, οι ροπές που προέρχονται από αρμονικές του είδους αυτού ονομάζονται ασύγχρονες ανώτερες ροπές. Οι ροπές αυτές προστίθενται στη ροπή της βασικής αρμονικής και έτσι προκύπτει κάποια παραμόρφωση της γνωστής χαρακτηριστικής καμπύλης. Στο σχήμα 1.4 φαίνονται οι ροπές για, και καθώς και το άθροισμα αυτών. Εύκολα παρατηρείται ότι στην εκκίνηση δημιουργείται μια διατάραξη στη ροπή της βασικής αρμονικής, η οποία είναι δυνατό να συγκρατήσει τη μηχανή, όταν ο άξονας είναι συνδεδεμένος με φορτίο. 52

59 Σχ. 2.7 Ασύγχρονες ανώτερες ροπές τάξεως ν 5 και ν 7 [1] β) Σύγχρονες ανώτερες ροπές Αν ο αριθμός ζευγών πόλων μιας ανώτερης αρμονικής του δρομέα είναι ακριβώς ίσος με τον αριθμό ζευγών πόλων μιας αρμονικής του στάτη, αλλά η πρώτη δεν προέρχεται από τη δεύτερη, τότε οι δύο αυτές αρμονικές έχουν διαφορετικές ταχύτητες και δημιουργούν μια ταλαντευόμενη ροπή. Η συχνότητα της ταλάντωσης αυτής είναι ίση με τη διαφορά των συχνοτήτων των δύο αρμονικών. Επειδή η συχνότητα των αρμονικών του δρομέα εξαρτάται από την ταχύτητα του δρομέα, έπεται ότι και η συχνότητα των ταλαντευόμενων ανώτερων ροπών μεταβάλλεται, όταν μεταβάλλεται η ταχύτητα του δρομέα. Αν συμβεί οι δύο ανώτερες αρμονικές να στρέφονται με την ίδια ταχύτητα, τότε η ροπή αυτών αποκτάει συχνότητα μηδέν, δηλαδή δημιουργείται μια σταθερή ροπή, της οποίας το μέγεθος εξαρτάται από τη γωνία μεταξύ των δύο αρμονικών, όπως συμβαίνει στη σύγχρονη μηχανή. Για το λόγο αυτό, οι δύο αρμονικές του είδους αυτού 53

60 σχηματίζουν την επονομαζόμενη σύγχρονη ανώτερη ροπή. Η σύγχρονη ροπή προσπαθεί να κρατήσει το δρομέα σε μια σταθερή ταχύτητα, η οποία μπορεί να είναι μηδέν, δηλαδή σε κατάσταση ηρεμίας, ή σε μία άλλη ταχύτητα. Οι σύγχρονες ροπές που εμφανίζονται στην ηρεμία είναι επικίνδυνες, διότι είναι δυνατό να εμποδίσουν την εκκίνηση. Στο σχήμα 2.8 διακρίνονται οι δύο περιπτώσεις σύγχρονων ροπών. Σχ. 2.8 Σύγχρονες ανώτερες ροπές α) κατά την ηρεμία και β) κατά την κίνηση [1] Οι σύγχρονες ανώτερες ροπές είναι δυνατό να προστίθενται ή να αφαιρούνται από τη ροπή των βασικών αρμονικών. Αυτό εξαρτάται από το αν οι συνεργαζόμενες ανώτερες αρμονικές στρέφονται κατά την ίδια φορά ή κατ αντίθετη. 54

61 2.8.1 Αναλυτικές μέθοδοι υπολογισμού στιγμιαίας ροπής [10] Η ηλεκτρομαγνητική ροπή των ηλεκτρικών μηχανών μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση : 2.65 όπου είναι η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου μέσα στο διάκενο και είναι η μηχανική γωνία γύρω από την περιφέρεια του διακένου. Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφτεί στην μορφή : 2.66 Αγνοώντας το μαγνητικό κορεσμό, θα ισχύει : 2.67 Έτσι η 2.66 γίνεται : Αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού στιγμιαίας ροπής [10] Η στιγμιαία τιμή της ροπής μπορεί να υπολογιστεί από τις ακόλουθες μεθόδους : Μέθοδος εικονικού έργου (virtual work method): 2.69 όπου είναι η μαγνητική ενέργεια, διάνυσμα ωφέλιμης ροής (flux linkage vector) και η μηχανική γωνία αντίστοιχα. 55

62 Τανυστής πίεσης του Maxwell : όπου,,,, και είναι το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια, το ενεργό μήκος της μηχανής, η κλειστή διαδρομή στην οποία υπολογίζεται το ολοκλήρωμα (συνήθως είναι η κλειστή διαδρομή γύρω από το δρομέα στο μέσο του διακένου), η ακτίνα, η ακτινική συνιστώσα και η εφαπτομενική συνιστώσα της πυκνότητας μαγνητικής ροής αντίστοιχα. Θεωρία δυνάμεων του Lorentz 2.72 όπου και είναι τα ζεύγη πόλων, η μηχανική γωνία, η μηχανική γωνιακή ταχύτητα και ο αριθμός των αγωγών της φάσης, αντίστοιχα. Τα γινόμενα και είναι η ηλεκτρομαγνητική ενέργεια ανά φάση Εφαπτομενικές πιέσεις έναντι ακτινικών πιέσεων [10] Για πιο ακριβή ανάλυση των μαγνητικών δυνάμεων σε ηλεκτρικές μηχανές, πρέπει να ληφθούν υπόψη και οι ακτινικές και οι εφαπτομενικές δυνάμεις. Η ακτινική μαγνητική δύναμη εκφράζεται από την εξίσωση 2.19, σύμφωνα με τη θεωρία του τανυστή πίεσης του Maxwell. Η εφαπτομενική συνιστώσα της δύναμης σύμφωνα με τον τανυστή πίεσης του Maxwell θα είναι :

63 όπου είναι η ακτινική συνιστώσα της πυκνότητας της μαγνητικής ροής που εκφράζεται από τη 2.16, είναι η εφαπτομενική συνιστώσα της πυκνότητας μαγνητικής ροής και είναι η πυκνότητα ρεύματος της γραμμής. Κάθε αρμονική της πυκνότητας μαγνητικής ροής αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη αρμονική της πυκνότητας ρεύματος της γραμμής. Με την αλληλεπίδραση αυτή των αρμονικών της πυκνότητας μαγνητικής ροής μαζί με τις αρμονικές της πυκνότητας ρεύματος, παράγονται εφαπτομενικές δυνάμεις που περιστρέφονται και μεταβάλλονται σε σχέση με το χρόνο και το χώρο. Οι εκφράσεις της πυκνότητας ρεύματος μπορούν να προκύψουν από την παράγωγο της μαγνητεγερτικής δύναμης (mmf) : Η πυκνότητα ρεύματος του στάτη προκύπτει : 2.74 Η πυκνότητα ρεύματος του δρομέα προκύπτει : 2.75 όπου και είναι οι συντελεστές τυλίγματος του στάτη και του δρομέα. Κάθε αρμονική της εφαπτομενικής δύναμης, όπως και στην ακτινική δύναμη, έχει μια συγκεκριμένη συχνότητα και τάξη που εκφράζει την κατανομή της σε όλη την περιφέρεια του στάτη. Από την αλληλεπίδραση των πεδίων του στάτη και του δρομέα μπορούν να προκύψουν οι ακόλουθες τρεις εκφράσεις για τη μαγνητική εφαπτομενική πίεση : Από την αλληλεπίδραση της πυκνότητας ροής του στάτη μαζί με την πυκνότητα ρεύματος του στάτη προκύπτει :

64 Από την αλληλεπίδραση της πυκνότητας ροής του δρομέα μαζί με την πυκνότητα ρεύματος του στάτη προκύπτει: 2.77 Από την αλληλεπίδραση της πυκνότητας ροής του δρομέα μαζί με την πυκνότητα ρεύματος του δρομέα προκύπτει: Από τις σχέσεις αυτές συνάγεται το συμπέρασμα ότι οι συχνότητες και οι τάξεις των αρμονικών της εφαπτομενικής δύναμης εκφράζονται από τις ίδιες εξισώσεις που εκφράζουν και τις συχνότητες και τάξεις των αρμονικών της ακτινικής δύναμης 2.32, 2.33, 2,34. Οι μαγνητεγερτικές δυνάμεις (mmf) του στάτη και του δρομέα εκφράζονται από τις 2.9 και 2.10 αντίστοιχα. Οι συχνότητες και οι τάξεις των αρμονικών της εφαπτομενικής πίεσης δεν θα μελετηθούν σε αυτή τη διπλωματική εργασία. Υπάρχει μια διχογνωμία σχετικά με το πού ακριβώς ασκείται η εφαπτομενική πίεση που δημιουργεί τη περιστροφική δύναμη του δρομέα. Σύμφωνα με τον Ion Boldea, ασκείται ίδια πίεση και στον πυρήνα και στους αγωγούς. Βασισμένος πάνω στη θεωρία του τανυστή πίεσης του Maxwell, δηλαδή όταν δύο υλικά με διαφορετική μαγνητική διαπερατότητα βρίσκονται σε επαφή (όπως ο αέρας, και ο πυρήνας ), τότε παράγονται δυνάμεις που ασκούνται στην επιφάνεια του πυρήνα και στα τοιχώματα των αυλακώσεων, δημιουργώντας έτσι ροπή Σχ. 2.9 Δύναμη που ασκείται στα τοιχώματα των αυλακώσεων σύμφωνα με το [6] 58

65 Αυτή η λογική βασίζεται πάνω στη λειτουργία του ηλεκτρομαγνήτη. Όταν περάσει ρεύμα από το πηνίο, που είναι τυλιγμένο γύρω από τον πυρήνα, θα δημιουργηθεί μαγνητικό πεδίο που θα διαρρέει τον πυρήνα. Σύμφωνα με τη θεωρία του Maxwell, πάνω στην επιφάνεια του σιδηρομαγνητικού υλικού του οπλισμού θα ασκηθεί μια μαγνητική δύναμη και θα μετακινήσει τον οπλισμό προς τον πυρήνα. Η δύναμη αυτή εκφράζεται από τις εξισώσεις 1.30 που αναφέρθηκαν προηγουμένως. Σχ Λειτουργία του ηλεκτρομαγνήτη Ο Dr. H.W. Penrose, βασισμένος πάνω στη βασική θεωρία του νόμου του Lorentz και μέσα από πειράματα υποστηρίζει πως, η μαγνητική δύναμη ασκείται πάνω στις μπάρες και έτσι δημιουργείται η ροπή. Ως παράδειγμα αναφέρει τον ρευματοφόρο αγωγό που βρίσκεται μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Κάθε ένα από τα κινούμενα φορτία, τα οποία αποτελούν το ρεύμα, όταν βρίσκονται μέσα σε μαγνητικό πεδίο υφίστανται μαγνητική δύναμη (δύναμη Lorentz ή Laplace) η οποία είναι κάθετη στο ρεύμα και στο μαγνητικό πεδίο. Η δύναμη αυτή για ολόκληρο το ρευματοφόρο αγωγό εκφράζεται από την εξίσωση : 2.79 ή 59

66 2.80 Σχ ρευματοφόρος αγωγός μέσα σε μαγνητικό πεδίο 60

67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 3.1 Εισαγωγή [19] Για την προσομοίωση και ανάλυση των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων της μηχανής, χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα Opera 2-D της Vector Fields. Το πρόγραμμα αυτό χρησιμοποιεί τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση των μερικών διαφορικών εξισώσεων οι οποίες περιγράφουν τη συμπεριφορά των πεδίων. Η μέθοδος αυτή είναι μια αριθμητική μέθοδος που έχει ως σκοπό την προσομοίωση φυσικών προβλημάτων χωρίζοντας το φυσικό χώρο σε επί μέρους διακριτά πεπερασμένα στοιχεία στα οποία ορίζονται εξισώσεις που έχουν ακριβή λύση. Η μέθοδος είναι μεν προσεγγιστική, αλλά μπορεί να δώσει αξιόπιστα αποτελέσματα και έχει το πλεονέκτημα ότι μπορεί να εφαρμοστεί σε όλα τα προβλήματα. Τα μειονεκτήματα της μεθόδου είναι βέβαια ποικίλα. Είναι πιθανό να μην είναι διαθέσιμα όλα τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του μοντέλου που θέλουμε να μελετήσουμε καθώς επίσης χαρακτηριστικά κάποιων υλικών, δεδομένα απαραίτητα για την επίλυση της μεθόδου. Τέλος, με την αύξηση της πολυπλοκότητας του προβλήματός μας, απαιτείται ανάλογος υπολογιστικός χρόνος. Το γεγονός αυτό καθιερώνει τον υπολογιστή ως βασικό εργαλείο επίλυσης προβλημάτων ηλεκτρικών μηχανών με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Η επιτυχία της μεθόδου στα σύνθετα ηλεκτρομηχανολογικά προβλήματα είναι τόσο μεγάλη, που σήμερα χρησιμοποιείται κατά κόρον στην έρευνα και στη βιομηχανία για τον υπολογισμό και τη μελέτη διάφορων κατασκευών. Για να εφαρμοστεί η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων απαιτούνται τα εξής στάδια: Εισάγεται η γεωμετρία της ασύγχρονης μηχανής σε ένα ειδικό πρόγραμμα και δημιουργείται το 2d ή 3d μοντέλο. Χωρίζεται το μοντέλο σε πεπερασμένα στοιχεία και αφού ετοιμαστεί το πλέγμα, επιλέγεται το είδος της επίλυσης και εισάγονται τα επιπλέον δεδομένα που 61

68 απαιτούνται. Αυτή η διαδικασία γίνεται με προγράμματα που αποκαλούνται προεπεξεργαστές (pre-processors). Όταν ετοιμαστούν τα δεδομένα για επίλυση, εισάγονται σε ένα πρόγραμμα το οποίο θα κάνει την επίλυση του προβλήματος. Τέτοιου είδους προγράμματα λέγονται επιλυτές (solvers) και χρησιμοποιούν για τις επιλύσεις αριθμητικές μεθόδους. Όταν τελειώσει η επίλυση τα αποτελέσματα, πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένα πρόγραμμα, που αποκαλείται μετεπεξεργαστής (post-processor), για να μπορέσει ο μελετητής να επεξεργαστεί τα αποτελέσματα. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούν τα βήματα τα οποία ακολουθήθηκαν για την ηλεκτρομαγνητική ανάλυση της μηχανής με σκοπό τη διεξαγωγή χρήσιμων αποτελεσμάτων και γραφικών παραστάσεων. 3.2 Χαρακτηριστικά κινητήρα Παρακάτω φαίνονται τα τεχνικά χαρακτηριστικά του κινητήρα, τα οποία δόθηκαν από την ελληνική εταιρία ηλεκτροκινητήρων Βαλιάδης Α.Ε. Πίνακας 3.1 Τεχνικά Χαρακτηριστικά Κινητήρα 5 Εδράσεως 1 Προέλευση Ελληνικής Κατασκευής 2 Κατασκευαστής ΒΑΛΙΑΔΗΣ Α.Ε. 3 Προδιαγραφές κατασκευής IEC34-1, 34-6, Τύπος Κ 112Μ 4 5 Είδος κινητήρα Ασύγχρονος επαγωγικός, βραχυκυκλωμένου δρομέα 6 Προστασία IP55 7 Κλάση Μόνωσης F 8 Ονομαστικός Αριθμός Στροφών Συχνότητα Τάση Λειτουργίας 400 VΔ ±5% 11 Συνδεσμολογία Στάτη Δ 62

69 12 Ονομαστική Ιχύς Βαθμος Απόδωσης στο Πλήρες Φορτίο Συντελεστής Ισχύος στο Πλήρες Φορτίο 15 Ονομαστική Ένταση Ρεύματος Ονομαστική Ροπή 27 82% Σχετικό Ρεύμα Εκκίνησης Σχετική Ροπή Εκκίνησης Σχετική Μέγιστη Ροπή Τρόπος Ψύξεως Αυτόψυκτος (με ανεμιστήρα επί του άξονα) 21 Θερμοκρασία Περιβάλλοντος Έως Υψόμετρο Έως Λίπανση Ρουλεμάν Αυτολίπαντα 24 Βάρος Αριθμός αυλακώσεων στάτη Αριθμός αυλακώσεων δρομέα 28 Β-Η Καμπύλη Υστέρησης Με σκοπό τη μη γραμμική ανάλυση της μηχανής, είχε προμηθευτεί από την κατασκευάστρια εταιρεία και η καμπύλη υστέρησης των σιδηρομαγνητικών υλικών του στάτη και του δρομέα. Στη μη γραμμική ανάλυση τα υλικά έχουν μη γραμμική χαρακτηριστική η οποία είναι κατά το δυνατό όσο πιο αληθής. Προφανώς η μη γραμμική ανάλυση είναι πιο ακριβής και ρεαλιστική αλλά έχει το μειονέκτημα ότι είναι πολύ πιο χρονοβόρα λόγω του τεράστιου φόρτου υπολογισμών. Με την εντολή Model BH data είχαν εισαχθεί τα σημεία της καμπύλης για τα δύο υλικά. Παρακάτω φαίνεται η σχεδίαση της καμπύλης υστέρησης από το πρόγραμμα. Η καμπύλη αυτή είναι απαραίτητη για μη γραμμική ανάλυση ενός μοντέλου. 63

70 Σχ. 3.1 Καμπύλη Υστέρησης 3.3 Σχεδίαση Μοντελοποίηση της Μηχανής στις Δύο Διαστάσεις Το μοντέλο της μηχανής που χρησιμοποιήθηκε για τους υπολογισμούς και τις αναλύσεις των διαφόρων μεγεθών φαίνεται στο Σχ

71 Σχ. 3.2 Μοντέλο της μηχανής Τα χαρακτηριστικά της κάθε περιοχής φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα: Για το δρομέα έχουμε : Σιδηρομαγνητικό Yλικό Αγωγοί Διάκενο Material Number Permeability Conductivity Conductor Number Conductor Symmetry Connected Disconnected Connected 65

72 Αντίστοιχα για τον στάτη έχουμε : Αέρας Σιδηρομαγνητικό Υλικό Αγωγοί Διάκενο Material Number Permeability Conductivity Conductor Number Conductor Symmetry Connected Connected Connected Connected Βάζοντας την τιμή 0 στο conductivity του σιδηρομαγνητικού υλικού, θεωρήθηκε ότι το υλικό δεν έχει αγωγιμότητα άρα δεν λαμβάνονται υπ όψιν τα δινορρεύματα μέσα στον πυρήνα του στάτη και του δρομέα. Για να μπορέσει να αναλυθεί το μοντέλο, πρέπει να δημιουργηθεί το πλέγμα των πεπερασμένων στοιχείων. Επειδή υπάρχει περιορισμός στον αριθμό των στοιχείων του πλέγματος που μπορούν να χρησιμοποιηθούν, δε συμφέρει να έχει ομοιογενή πυκνότητα. Έτσι το πλέγμα δημιουργήθηκε πυκνότερο, σταδιακά, πλησιάζοντας προς το διάκενο και πιο αραιό προς τον άξονα και προς το εξωτερικό του στάτη. Με αυτό τον τρόπο, πετυχαίνεται καλύτερη ακρίβεια στα αποτελέσματα για τις περιοχές με το μεγαλύτερο ενδιαφέρον. Το Σχ. 3.3, που ακολουθεί δείχνει το πλέγμα πεπερασμένων στοιχείων που έχει δημιουργηθεί. 66

73 Σχ. 3.3 Το πλέγμα πεπερασμένων στοιχείων που δημιουργήσαμε στον υπό μελέτη κινητήρα. Είναι εμφανής η πύκνωση του πλέγματος σταδιακά καθώς οδηγούμαστε προς το διάκενο. 3.4 Επιλογή Ανάλυσης Για να γίνει η ανάλυση Fourier της ηλεκτρομαγνητικής δύναμης στο χρόνο, πρέπει να αποθηκευτούν πολλά στιγμιότυπα του μοντέλου στο χρόνο, με πολύ μικρό βήμα. Έτσι επιλέχθηκε η RM (Rotating Machines) analysis του προγράμματος Opera. Το πρόγραμμα στρεφόμενης μηχανής (Opera-2d/RM) είναι μια μέθοδος επίλυσης μεταβλητού δινορρεύματος επεκταμένη ώστε να συμπεριλαμβάνει την επίδραση της περιστροφικής κίνησης στερεού σώματος. Μπορεί να μοντελοποιήσει συμβατικούς κινητήρες και γεννήτριες με ένα κεντρικό εσωτερικό στρεφόμενο μέρος (δρομέας) και ένα εξωτερικό σταθερό μέρος (στάτης) ή ακόμα και πιο ανεπτυγμένες μηχανές, με 3 ομόκεντρα μέρη, καθένα από τα οποία μπορεί να περιστρέφεται. Τα μοντέλα της Opera-2d/RM χρησιμοποιούν τις περιοχές του διακένου Gap Regions οι οποίες προσδιορίζονται από το χρήστη μέσω της ακτίνας του μέσου του διακένου έτσι, ώστε να χωριστεί το σταθερό από το περιστρεφόμενο τμήμα της μηχανής. Το πρόγραμμα 67

74 δημιουργεί αυτές τις περιοχές επεκτείνοντας ακτινικά το διάκενο από το μέσο του διακένου, μέχρι να βρει τις περιοχές των τομέων της μηχανής. Η εντολή που χρησιμοποιήθηκε για να καθοριστεί η ανάλυση είναι η Model Analysis Options Rotational Motion Analysis. Μετά από αυτή την επιλογή εμφανίζεται ένα μενού διαφόρων επιλογών. Επιλέχτηκε το Nonlinear material analysis. Στη μη γραμμική ανάλυση τα υλικά έχουν μη γραμμική χαρακτηριστική BH η οποία είναι κατά το δυνατό όσο πιο αληθής. Έτσι λαμβάνεται υπ όψιν και ο κορεσμός των σιδηρομαγνητικών υλικών. Στην επιλογή time stepping δόθηκε ένα σταθερό βήμα ίσο με Αυτό σημαίνει ότι τα αποτελέσματα κάθε ανάλυσης υπολογίζονται ανά δευτερόλεπτα. Σχ. 3.7 Μενού RM Ανάλυσης (1) 68

75 Στην επιλογή output times δόθηκε μια λίστα με χρόνους κατά τους οποίους τα αποτελέσματα της επίλυσης αποθηκεύονται και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για περαιτέρω επεξεργασία. Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως για τους σκοπούς της διπλωματικής αυτής χρειάστηκε να αποθηκευτούν πολλά στιγμιότυπα για πάνω από 1.3 δευτερόλεπτα στην μόνιμη κατάσταση λειτουργίας. Μέχρι τη στιγμή 0.9, το μοντέλο αναλύθηκε με γραμμική ανάλυση μέχρι να ξεπεραστούν τα μεταβατικά φαινόμενα, και για να γίνει η ανάλυση πιο γρήγορα μέχρι να φτάσει το μοντέλο τη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας. Έτσι από τη στιγμή 0.9s μέχρι 2.4 αποθηκεύονταν στιγμιότυπα ανά. Σχ. 3.8 Μενού RM ανάλυσης (2) 69

76 Στην επιλογή drive προσδιορίστηκαν οι πηγές τάσης που οδηγούν τα δοσμένα εξωτερικά κυκλώματα. Για τα τρία πρώτα κυκλώματα (circuit 1, 2, 3) του στάτη ορίστηκε λειτουργική τριφασική ημιτονοειδή διέγερση (#PHASE1, #PHASE2, #PHASE3 functional), ενώ για τους αγωγούς του δρομέα (conductor 37) ορίστηκε συνεχής διέγερση ίση με μηδέν. Σχ. 3.9 Μενού RM ανάλυσης (3) Στην επιλογή logging δόθηκαν οι μεταβλητές που θα αποθηκεύει το πρόγραμμα κάθε χρονικό βήμα (time stepping). Στην πρώτη στήλη (COL1) δόθηκε ο χρόνος με τη μεταβλητή ΤΤΙΜΕ. Τα ρεύματα i1, i2, i3 αντιστοιχούν στα φασικά ρεύματα των κυκλωμάτων φάσης 1, 2, 3 του στάτη. Η ροπή ανά μονάδα μήκους στον άξονα της μηχανής δίνεται από τη μεταβλητή RMtorque. RMangle είναι η ηλεκτρική γωνία που διαγράφει ο δρομέας και RMspeed είναι η ταχύτητα περιστροφής του δρομέα σε. Η μεταβλητές #PHASE1, #PHASE2, #PHASE3 είναι οι τάσεις τροφοδοσίας του εξωτερικού κυκλώματος στον στάτη. Η 70

77 μέγιστη τιμή της #PHASE1 είναι ίση με ένα, γι αυτό για να πάρουμε την πραγματική peak τιμή της πρέπει να πολλαπλασιαστεί με #PHASE Σχ Μενού RM ανάλυσης ( ) Στην επιλογή Rotation ορίστηκε η ταχύτητα περιστροφής του δρομέα. Θεωρήθηκε ότι ο δρομέας περιστρέφεται με σταθερή ταχύτητα και γι αυτό επιλέχθηκε η εντολή constant speed και στην επιλογή rotational velocity (rounds per minute) δόθηκαν οι στροφές περιστροφής (1460). 71

78 Σχ Μενού RM ανάλυσης (5) Στην επιλογή command file name επισυνάφτηκε αρχείο RM.comi. Το αρχείο αυτό εξασφαλίζει μία ομαλή ημιτονοειδή κυματομορφή τάσης. Mέσω αυτού του αρχείου τα τυλίγματα του στάτη τροφοδοτούνται με τις τάσεις: Όπως φαίνεται και από τις εξισώσεις, το μέγιστο πλάτος των τάσεων είναι ίσο με ένα. Κατά τη δημιουργία όμως των εξωτερικών κυκλωμάτων του στάτη τροφοδοτήθηκαν οι τρεις φάσεις με. Επομένως όλοι οι υπολογισμοί γίνονται λαμβάνοντας υπ όψιν ως peak τιμή τα. Αφού έχουν δοθεί όλες οι απαραίτητες παράμετροι, το μόνο που απομένει είναι να αποθηκευτεί το μοντέλο και να ξεκινήσει η ανάλυση. Αυτό γίνεται μέσω της εντολής Model Save Save and Analyse now. 72

79 3.5 Υπολογισμός δυνάμεων και πιέσεων Μετά το πέρας της ηλεκτρομαγνητικής ανάλυσης, υπολογίστηκε η ολική ακτινική και εφαπτομενική δύναμη, και η ακτινική πίεση που ασκείται σε ένα δόντι του στάτη και του δρομέα, μέσω των εξισώσεων του τανυστή πίεσης του Maxwell. Αυτοί οι υπολογισμοί έγιναν μέσω κωδίκων, με την εντολή Command files Command File Editor. Για την επίλυση των εξισώσεων του Maxwell (βλέπε σχέσεις 1.26 και 1.27), ήταν απαραίτητες οι μεταβλητές του συστήματος (system variables), που είναι η ακτινική συνιστώσα της μαγνητικής επαγωγής, και που είναι η εφαπτομενική συνιστώσα της επαγωγής, οι οποίες ήταν αποθηκευμένες σε κάθε στιγμιότυπο του μοντέλου της RM ανάλυσης. Η ολική ακτινική και εφαπτομενική δύναμη υπολογίστηκαν στο μέσο του διακένου, με την εντολή INTCIRLCE του προγράμματος, για όλες τις χρονικές στιγμές. Η εντολή INTCIRCLE ολοκληρώνει ποσότητες του πεδίου κατά μήκος ενός κυκλικού τόξου που ορίζεται από το κέντρο του, την ακτίνα του και τις αζιμουθιακές συντεταγμένες των άκρων του. Δηλαδή ολοκληρώνει ποσότητες που περικλείονται σε μια κλειστή επιφάνεια. Άρα αν ολοκληρωθεί ο τανυστής πίεσης του Maxwell σε μια κλειστή επιφάνεια γύρω από το δρομέα, υπολογίζεται η συνολική δύναμη που ασκείται πάνω στο δρομέα. Αρχικά υπολογίστηκαν τα ολοκληρώματα για την ακτινική δύναμη, και για την εφαπτομενική δύναμη, όπου το ενεργό μήκος της μηχανής ( ). Για να επιβεβαιωθεί πως τα αποτελέσματα ήταν σωστά, υπολογίστηκε η ροπή πολλαπλασιάζοντας το δεύτερο ολοκλήρωμα με την ακτίνα του μέσου του διακένου που είναι, και συγκρίθηκαν με τη ροπή ανά μονάδα μήκους που υπολογίζει το πρόγραμμα από μόνο του με την μεταβλητή RMtorque. 73

80 Πίνακας 3.2 Υπολογιζόμενη ροπή με το ολοκλήρωμα και με την εντολή RMtorque Παρατηρείται πως υπάρχει μια μικρή διαφορά στις τιμές μεταξύ των δύο υπολογισμών. Με την εντολή RMtorque, η ροπή υπολογίζεται ολοκληρώνοντας τον τανυστή πίεσης του Maxwell στα στοιχεία του διακένου. Η πυκνότητα της μαγνητικής ροής υπολογίζεται από το μαγνητικό δυναμικό στους κόμβους. Ενώ η εντολή INTCIRCLE υπολογίζει το κλειστό ολοκλήρωμα της πίεσης του Maxwell, από τον ορισμό που δίνουμε εμείς, σε τυχαία σημεία κατά μήκος του τόξου που ορίσαμε. Η ακτινική πίεση σε ένα δόντι του στάτη, υπολογίστηκε από την εξίσωση 1.26, μέσα στο διάκενο στο μέσο του δοντιού. Το ίδιο έγινε και για τον υπολογισμό της 74

81 ακτινικής πίεσης σε δόντι του δρομέα. Μέσω κώδικα, υπολογίστηκαν αυτές οι πιέσεις για πολλές χρονικές στιγμές, για διαφορετικά δόντια πάνω στο στάτη και το δρομέα. 3.6 Ανάλυση έντασης (Stress analysis) Το πρόγραμμα stress analysis (Opera-2d/SA) εξάγει αποτελέσματα για τις καταπονήσεις εντάσεις και για τις μετατοπίσεις των τμημάτων του μοντέλου, όταν εφαρμοστούν κάποιες δυνάμεις πάνω στο μοντέλο. Αυτές οι δυνάμεις μπορεί να είναι είτε εξωτερικές δυνάμεις που μπορεί να βάλει ο χρήστης μέσω εντολών (δηλαδή να εφαρμόσει στο σύστημα που αναλύει ένα φορτίο), είτε μαγνητικές δυνάμεις Lorentz όπου εξάγονται από μια ηλεκτρομαγνητική ανάλυση Εξισώσεις που επιλύονται από το πρόγραμμα Κάθε στοιχείο έχει τον δικό του πίνακα δυσκαμψίας και διάνυσμα φορτίου τα οποία συνδέονται με την ακόλουθη εξίσωση : όπου είναι ο πίνακας δυσκαμψίας, είναι το διάνυσμα των μετατοπίσεων και είναι το διάνυσμα των δυνάμεων όλου του συστήματος. Αυτή η εξίσωση λύνεται ως προς το διάνυσμα το οποίο εξάγει τις μετατοπίσεις του συστήματος. Κάθε κόμβος έχει δύο βαθμούς ελευθερίας στις διευθύνσεις και, και υπάρχει μια δύναμη και μια μετατόπιση, για κάθε βαθμό ελευθερίας του κάθε κόμβου. Η διαδικασία για την ανάλυση αυτή περιγράφεται πιο κάτω. Πρώτα επιλέγεται ένα στιγμιότυπο από την ηλεκτρομαγνητική RM ανάλυση που αναφέρθηκε πιο πριν. Προκειμένου να δοθούν οι μηχανικές ιδιότητες του μοντέλου της μηχανής, πρέπει να οριστούν κάποιες μηχανικές σταθερές των υλικών που αποτελούν τη μηχανή, δηλαδή τα υλικά του δρομέα του στάτη και των τυλιγμάτων. Με την εντολή Modify Stress/Thermal Materials εμφανίζεται το πιο κάτω παράθυρο, στο οποίο ο χρήστης μπορεί να εισάγει τον αριθμό του υλικού προς επεξεργασία

82 Σχ Παράθυρο επιλογής υλικού Πατώντας Edit εμφανίζεται ένα δεύτερο παράθυρο, στο οποίο μπορεί ο χρήστης να προσδιορίσει τις φυσικές ιδιότητες του υλικού. Και για τα τρία υλικά 1, 5, 6, επιλέχτηκε η εντολή isotropic και ορίστηκαν τις παρακάτω ιδιότητες. Υλικό 1 (Αγωγοί) 5 (Δρομέας) 6 (Στάτης) Young's modulus E 120Ε9 2Ε11 2Ε11 Poisson's ratio Nu (Λόγος Poisson) Σχ Πίνακας ιδιοτήτων των υλικών Σχ Παράθυρο ορισμού ιδιοτήτων του υλικού 76

83 Η σταθερά Young s modulus Ε (μέτρο ελαστικότητας), είναι μια χαρακτηριστική σταθερά ενός υλικού, η οποία δίδει το μέτρο της ελαστικότητας του, ορίζοντας τη σχέση μεταξύ της επιβαλλόμενης εντατικής κατάστασης και της αναπτυσσόμενης παραμόρφωσης. Σχ Ορισμός του μέτρου ελαστικότητας Άρα το μέτρο ελαστικότητας του Young θα είναι, όπου είναι η εκτατική παραμόρφωση (strain), και είναι η τάση. Ο λόγος του Poisson ενός σώματος που φορτίζεται σε εφελκυσμό, είναι η ποσοστιαία αναλογία μεταξύ του μεγέθους της επιμήκυνσης και της μέγιστης παραμόρφωσης της διατομής που είναι κάθετη προς τον άξονα της κατεύθυνσης του εφελκυσμού. Σχ Ορισμός του λόγου του Poisson 77

84 Άρα ο λόγος του Poisson θα είναι, όπου και είναι οι εκτατικές παραμορφώσεις (strains). Όταν ορίσουμε αυτές τις δύο σταθερές τότε το shear modulus υπολογίζεται αυτόματα από το πρόγραμμα. Shear modulus G (Μέτρο διάτμησης), καλείται ο λόγος της τάσης διάτμησης προς την αντίστοιχη ολίσθηση Σχ Ορισμός του μέτρου διάτμησης. Άρα το μέτρο διάτμησης θα είναι, όπου είναι η διατμητική τάση, και είναι η διατμητικη παραμόρφωση που μετριέται σε ακτίνια. Μετά έπρεπε να δοθούν κάποιες οριακές συνθήκες οι οποίες εξαρτώνται από το πώς είναι τοποθετημένος και πακτωμένος ο στάτης μέσα στο πλαίσιο. Μέσω της εντολής Modify Stress and Thermal Boundary Conditions πακτώθηκε ο στάτης στα τρία σημεία που φαίνονται στο Σχ. 3.20, με την εντολή pick node, και πακτώθηκε και ο δρομέας, με την εντολή pick side, για να μελετηθούν οι τάσεις και οι μετατοπίσεις που ασκούνται πάνω του τη δεδομένη στιγμή. 78

85 Σχ Παράθυρο επιλογής οριακών συνθηκών Σχ Πακτωμένος στάτης και δρομέας. Η πάκτωση φαίνεται με χρώμα μαύρο 79

86 Για να πραγματοποιηθεί η ανάλυση εντάσεων, όπως αναφέραμε και προηγουμένως, απαιτεί στοιχεία από την ηλεκτρομαγνητική ανάλυση, που έχουν να κάνουν με το φορτίο που ασκείτε πάνω στο πλέγμα των πεπερασμένων στοιχείων. Μέσω της εντολής Tables Create Standard Tables X and Y Loads, δημιουργήθηκαν πίνακες με τις πιέσεις Maxwell, στις Χ και Υ διευθύνσεις (XLOAD και YLOAD), που ασκούνται σε κάθε στοιχείο του πλέγματος. Αφού είχαν δοθεί όλες οι απαραίτητες παράμετροι, ξεκίνησε η ανάλυση επιλέγοντας Model Analysis Options Stress Analysis (SA) Plane Stress και μετά Model Save Save and Analyse now. 3.7 Ανάλυση μόνιμης ημιτονοειδούς κατάστασης (AC analysis ή time harmonic analysis) Αναλύθηκαν και τρία μοντέλα με ανάλυση μόνιμης ημιτονοειδούς κατάστασης, το ένα στην εκκίνηση, το άλλο στην ανατροπή στις 1050 rpm και το τρίτο στις 1460rpm που αντιστοιχεί σε φορτίο μικρότερο του ονομαστικού, για να συγκριθούν οι πιέσεις των μοντέλων μεταξύ τους για μια χρονική στιγμή. Η ανάλυση αυτή εξετάζει τα μοντέλα κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή σαν να βρίσκονται στην μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση. 80

87 Κεφάλαιο 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 4.1 Εισαγωγή Το πρόγραµµα Opera 2-D δίνει τη δυνατότητα να αναπαρασταθούν γραφικά τα μεγέθη τα οποία δόθηκαν στην επιλογή drive όπως περιγράφτηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Στο κεφάλαιο αυτό θα επεξεργαστούν τα αποτελέσματα από τους υπολογισμούς των δυνάμεων, που αναφέρθηκαν στο υποκεφάλαιο 3.5. Επίσης θα συγκριθούν οι πιέσεις στα διάφορα μέρη της μηχανής που υπολογίστηκαν, ως προς το χώρο και το χρόνο. Όλες οι γραφικές παραστάσεις των αρμονικών που δίνονται στο κεφάλαιο έγιναν με ανάλυση Fourier και είναι κανονικοποιημένες ως προς τη βασική αρμονική. 4.2 Αποτελέσματα προσομοίωσης υγιούς μηχανής στη μόνιμη κατάσταση στις 1460 rpm Αφού τελειώσει η οποιαδήποτε ηλεκτρομαγνητική ανάλυση, ο μελετητής είναι σε θέση να παραστήσει γραφικά τα διάφορα μεγέθη της μηχανής στο χώρο και στο χρόνο. Για ένα τυχαίο στιγμιότυπο της ηλεκτρομαγνητικής ανάλυσης (σε αυτή τη περίπτωση RM ανάλυση), δίνεται στο Σχ. 4.1 η χωρική κατανομή των μαγνητικών γραμμών του πεδίου. Στο Σχ. 4.2 και 4.3 δίνονται η χωρική κατανομή της ακτινικής και εφαπτομενικής συνιστώσας της μαγνητικής επαγωγής αντίστοιχα και στο Σχ.4.4 η χωρική κατανομή του μέτρου της μαγνητικής επαγωγής στο μέσο του διακένου συναρτήσει της μηχανικής γωνίας. 81

88 Σχ. 4.1 Χωρική κατανομή των μαγνητικών γραμμών του πεδίου 82

89 Σχ. 4.2 Χωρική κατανομή της ακτινικής συνιστώσας της μαγνητικής επαγωγής (σε [Τ]) στο μέσο του διακένου, συναρτήσει της μηχανικής γωνίας Σχ. 4.3 Χωρική κατανομή της εφαπτομενικής συνιστώσας της μαγνητικής επαγωγής (σε [Τ]) στο μέσο του διακένου, συναρτήσει της μηχανικής γωνίας Σχ. 4.4 Χωρική κατανομή του μέτρου της μαγνητικής επαγωγής (σε [Τ]) στο μέσο του διακένου, συναρτήσει της μηχανικής γωνίας 83

90 Στη συνέχεια εξετάστηκε η χωρική κατανομή της ακτινικής πίεσης στο μέσο του διακένου, συναρτήσει της μηχανικής γωνίας. Σχ. 4.5 Χωρική κατανομή της ακτινικής πίεσης. Στον Υ άξονα είναι η πίεση η γεωμετρική γωνία σε μοίρες και στο Χ άξονα Σχ. 4.6 Χωρική κατανομή της εφαπτομενικής πίεσης. Στον Υ άξονα είναι η πίεση άξονα η γεωμετρική γωνία σε μοίρες και στο Χ 84

91 Από τα σχήματα 4.2 και 4.3 παρατηρείται ότι η εφαπτομενική συνιστώσα της μαγνητικής επαγωγής είναι πολύ μικρότερη από την ακτινική, όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο. Επίσης, από το σχήμα 4.5 και 4.6 φαίνεται ότι η πίεση είναι μεγαλύτερη στα σημεία όπου οι μαγνητικές γραμμές του πεδίου είναι πιο πυκνές. Ακόμη, η πίεση είναι πιο μεγάλη στις περιοχές όπου απέναντι από το δόντι του στάτη υπάρχει δόντι του δρομέα και έχει πολύ μικρή τιμή όταν απέναντι από το δόντι του στάτη ή του δρομέα υπάρχει αυλάκωση του δρομέα ή του στάτη αντίστοιχα. Παρατηρείται πως η δύναμη δεν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη αλλά είναι συμμετρικά κατανεμημένη. Ακολούθως δίνονται οι πιέσεις στα τέσσερα δόντια του στάτη συναρτήσει του χρόνου. Στο Σχ. 4.7 παρουσιάζεται το τμήμα του στάτη με τα δόντια που μελετήθηκαν και τα τυλίγματα κάθε φάσης του στάτη παρουσιάζονται με διαφορετικό χρώμα. Σχ. 4.7 Τομέας του στάτη με τα δόντια που μελετήθηκαν. 85

92 Σχ. 4.8 Ακτινική πίεση στα 2 δόντια του στάτη συναρτήσει του χρόνου για μια μηχανική περίοδο Σχ. 4.9 Ακτινική πίεση στα δόντια του στάτη συναρτήσει του χρόνου 86

93 Στο Σχ. 4.9 φαίνεται ότι η πίεση στο δόντι 1 είναι ίδια με αυτή στο δόντι 4 και είναι μεγαλύτερη από τις πιέσεις στα δόντια 2 και 3. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα τυλίγματα της μιας φάσης κατανέμονται στις τρεις αυλακώσεις όπως φαίνεται και στο σχήμα 4.7. Δηλαδή ασκείται μεγαλύτερη πίεση στα δόντια που είναι ανάμεσα στα τυλίγματα δύο φάσεων. Μετά υπολογίστηκαν οι πιέσεις σε δύο σημεία, το ένα στο κέντρο του διακένου μπροστά από δόντι του στάτη και το άλλο μπροστά από αυλάκωση του στάτη. Το Σχ δείχνει την ακτινική πίεση που δέχεται ο δρομέας και ο στάτης, καθώς περιστρέφεται ο δρομέας. Όπως φαίνεται από τα σχήματα 4.8, 4.9, 4.10, όταν περνά δόντι του δρομέα μπροστά από δόντι του στάτη ασκείται πάνω τους πίεση που το πλάτος της θα εξαρτάται από την πυκνότητα των μαγνητικών γραμμών. Όταν ένα δόντι του δρομέα περάσει από αυλάκωση, η ακτινική πίεση που ασκείται πάνω του είναι πολύ μικρή. Σχ Ακτινική πίεση υπολογιζόμενη σε 2 σημεία συναρτήσει του χρόνου. Μπροστά από δόντι του στάτη (με μπλε) και μπροστά από αυλάκωση του στάτη (με πράσινο). 87

94 p (db) Πιο κάτω δίνεται το φάσμα συχνοτήτων της πίεσης. Το φάσμα αυτό προέκυψε από την ανάλυση Fourier της πίεσης σε ένα σημείο στο διάκενο, μπροστά από δόντι του στάτη frequency (Hz) Σχ Φάσμα συχνοτήτων της ακτινικής πίεσης σε ένα δόντι 88

95 Εφόσον ο δρομέας του μοντέλου έχει 28 αυλακώσεις, από τη σχέση 2.37 και για παρατηρούμε ότι προκύπτουν αρμονικές στις συχνότητες 581.3Hz, 681.3Hz, 781.3Hz. Αυτές οι αρμονικές προκύπτουν λόγω των αυλακώσεων του δρομέα και της περιστροφικής κίνησης του δρομέα με τη γωνιακή συχνότητα, η οποία αλλάζει συνεχώς τη γεωμετρία του διακένου. Σύμφωνα με τις σχέσεις που αναλύθηκαν στο υποκεφάλαιο 2.6, παρακάτω παρουσιάζεται πίνακας με όλες τις συχνότητες που περιμένει να δει κανείς σε ένα φάσμα συχνοτήτων της δύναμης. Πίνακας 4.1 Συχνότητες στο φάσμα της ακτινικής μαγνητικής δύναμης Γινόμενο δύο αρμονικών του πεδίου του στάτη και τάξης και Γινόμενο δύο αρμονικών του πεδίου του δρομέα και τάξης και ή Γινόμενο μεταξύ των αρμονικών του στάτη τάξης και των αρμονικών του δρομέα τάξης Για την περίπτωση του κορεσμού Γινόμενο δύο αρμονικών του πεδίου του στάτη λόγω κορεσμού σύμφωνα με τη 2.49 Γινόμενο δύο αρμονικών του πεδίου του δρομέα λόγω κορεσμού σύμφωνα με τη 2.45,, όπου όπου και υπολογίζονται από την 1.25 ή Γινόμενο αρμονικών του πεδίου του στάτη και του πεδίου του δρομέα σύμφωνα με τη 2.50 με και 89

96 όπου και υπολογίζονται από τη σχέση 1.16, το και από τη σχέση 1.25 Παρακάτω δίνονται οι τιμές του πλάτους των αρμονικών της ακτινικής πίεσης, οι οποίες υπολογίστηκαν από το πρόγραμμα Mat lab. Πίνακας 4.2 Συχνότητες και πλάτη αρμονικών της ακτινικής πίεσης Το πιο μεγάλο πλάτος ακτινικής πίεσης φαίνεται να το έχει η DC συνιστώσα. Μετά ακολουθεί η αρμονική στα 100Hz, δηλαδή στη διπλάσια συχνότητα της συχνότητας τροφοδοσίας. Η αρμονική στα 200Hz προκύπτει είτε από τη σχέση με, δηλαδή από την αλληλεπίδραση των αρμονικών του στάτη που έχουν διαφορά τάξης 4, ή έχουν άθροισμα 4, είτε από αλληλεπίδραση της πρώτης αρμονικής του πεδίου του δρομέα με την πέμπτη του στάτη. Η αρμονική στα 300Hz προκύπτει από την σχέση 2.50 με την αλληλεπίδραση των αρμονικών του πεδίου του στάτη λόγω κορεσμού. Οι υπόλοιπες είναι αρμονικές λόγω των αυλακώσεων του δρομέα οι περισσότερες από τις οποίες προκύπτουν από τη σχέση ±1. Στο Σχ δίνεται το φάσμα συχνοτήτων ολόκληρης της ακτινικής δύναμης που ασκείται στο δρομέα, όπως υπολογίστηκε στο μέσο του διακένου της μηχανής. Όπως φαίνεται, και εδώ ισχύει ό,τι σχολιάστηκε και για το Σχ Επίσης παρατηρείται πως 90

97 το αρμονικό περιεχόμενο της πίεσης σε ένα δόντι του στάτη, Σχ. 4.11, είναι πιο μεγάλο και με μεγαλύτερα πλάτη, από αυτό της ολικής ακτινικής δύναμης στο δρομέα, Σχ Σχ Φάσμα συχνοτήτων της ολικής ακτινικής δύναμης στο δρομέα Στον πίνακα 4.2 φαίνονται τα μηχανικά στοιχεία των υλικών που αποτελούν το σύστημα του στάτη. Με τη χρήση αυτών των στοιχείων υπολογίστηκαν οι ιδιοσυχνότητες του στάτη για τις πρώτες 5 ιδιομορφές του. Οι ιδιοσυχνότητες υπολογίστηκαν από τις σχέσεις που αναφέρθηκαν πιο πριν στο υποκεφάλαιο 2.7. Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτός ο τρόπος υπολογισμού των ιδιοσυχνοτήτων δεν λαμβάνει υπόψη το πλαίσιο και τα πλευρικά καλύμματα της μηχανής. Παρατηρείται πως για ιδιομορφή με τιμή η ιδιοσυχνότητα της μηχανής είναι χαμηλή και είναι κοντά στις συχνότητες της πίεσης που έχουν μεγάλα πλάτη. Όπως αναφέρθηκε στο υποκεφάλαιο 2.4.1, αν ασκηθεί δύναμη πάνω στον στάτη με συχνότητα ίση με μια ιδιοσυχνότητα της μηχανής και η κυμάτωση της δύναμης έχει χωρική κατανομή με ιδιοτιμή (τάξη ) ίση με τον αριθμό ιδιομορφής του στάτη (mode number ), τότε θα επέλθει συντονισμός. Αν η συχνότητα της δύναμης συμπέσει με 91

98 την ιδιοσυχνότητα του στάτη, αλλά η τάξη της δύναμης δεν είναι ίδια με την ιδιοτιμή του στάτη, τότε δε θα υπάρξει συντονισμός και δεν θα υπάρξει ταλάντωση. Πίνακας 4.3 Μηχανικά χαρακτηριστικά των υλικών και ιδιοσυχότητες της - ιοστής ιδιομορφής, της υπό μελέτη μηχανή πυκνότητα μάζας σιδήρου (iron mass density) (stacking factor) πυκνότητα μάζας χαλκού (copper mass density) ενεργό μήκος του στάτη (stator length) συνολική μάζα των δοντιών (teeth mass) συνολική μάζα των τυλιγμάτων (mass of the windings) μάζα του πυρήνα (core mass) μάζα μονωτικού υλικού (insulation mass) μέτρο ελαστικότητας (Elasticity modulus) πλάτος του πυρήνα του στάτη (stator core thickness) E μέση διάμετρος του πυρήνα του στάτη (mean diameter of stator core) πλάτος του δοντιού (tooth width) ύψος του δοντιού (tooth height) αυλακώσεις του στάτη (stator slots)

99 , 7838, 11051, 1726, 4684, 8509 Με την εντολή Fields Harmonic analysis along a line, βρέθηκαν οι τάξεις των χωρικών αρμονικών της ακτινικής πίεσης, όπως φαίνονται στο σχήμα Οι τάξεις αυτές προκύπτουν σύμφωνα με τις σχέσεις 2.32, 2.33, 2.34 και Μεγάλο πλάτος παρουσιάζουν αυτές με τάξη 4, 8, 12 κ.ο.κ, οι οποίες προκύπτουν από τη σχέση που αναφέρθηκε στο κεφάλαιο 2. Σχ Τάξεις των χωρικών αρμονικών της ακτινικής πίεσης Σύμφωνα με τις σχέσεις 2.32, 2.33 και 2.34 και για όλες τις αρμονικές του πεδίου, όλες οι τάξεις των χωρικών αρμονικών της πίεσης θα προκύψουν από τις ακόλουθες σχέσεις: 93

100 από την αλληλεπίδραση των αρμονικών του πεδίου του στάτη μεταξύ τους: από τη αλληλεπίδραση των αρμονικών του στάτη και του δρομέα : και από την αλληλεπίδραση των αρμονικών του δρομέα μεταξύ τους: Από το σχήμα 4.13 παρατηρείται πως η μηδενικής τάξης αρμονική της ακτινικής πίεσης είναι η πιο μεγάλη γιατί προκύπτει από όλες τις αλληλεπιδράσεις των αρμονικών του πεδίου με τον ίδιο αριθμό ή. Εκτός του ότι καμιά συχνότητα της πίεσης που έχει μεγάλο πλάτος, δεν συμπίπτει με ιδιοσυχνότητα της μηχανής, παρατηρούμε επίσης ότι η αρμονική τάξης της πίεσης έχει πολύ μικρό πλάτος και άρα θεωρητικά δεν θα έχουμε προβλήματα συντονισμού. Στα σχήματα 4.14, 4.15 δίνονται η ολική ακτινική και εφαπτομενική δύναμη συναρτήσει του χρόνου, που ασκούνται πάνω στον δρομέα. Επίσης στα σχήματα 4.16 και 4.17 δίνεται η ηλεκτρομαγνητική ροπή συναρτήσει του χρόνου η οποία δημιουργείται από την εφαπτομενική δύναμη που υπολογίστηκε. 94

101 Ft (N) Σχ Ολική ακτινική δύναμη συναρτήσει του χρόνου t (s) Σχ Ολική εφαπτομενική δύναμη συναρτήσει του χρόνου 95

102 Torque (Nm) Torque (Nm) t (s) Σχ Ροπή, υπολογιζόμενη από την εντολή INTCIRCLE* m*0.115m, συναρτήσει του χρόνου t (s) Σχ Ροπή, υπολογιζόμενη από την εντολή RMtorque*0.115m, συναρτήσει του χρόνου 96

103 Από τα σχήματα 4.5, 4.6, 4.9, 4.14, 4.15 και 4.16 παρατηρείται πως οι δυνάμεις και οι πιέσεις που υπολογίστηκαν είναι περιοδικές ως προς το χώρο και τον χρόνο [5]. Όπως φαίνεται και από τον παρακάνω πίνακα, αλλά και όπως αναφέρθηκε στο κεφάλαιο 2, η εφαπτομενική δύναμη είναι πιο μικρή από την ακτινική και γι αυτό δεν συνεισφέρει στις ταλαντώσεις του συστήματος του στάτη. Πίνακας 4.4 Εύρος τιμών της συνολικής ακτινικής δύναμης, εφαπτομενικής δύναμης και ροπής, σε διάστημα.5 δευτερολέπτων και ο μέση τιμή τους Συνολική ακτινική δύναμη υγιούς μηχανής (Ν) Συνολική εφαπτομενική δύναμη υγιούς μηχανής (Ν) Ροπή υγιούς μηχανής (Νm) Από έως Από 424 έως Από έως Μ.Ο Αποτελέσματα της time harmonic (AC) ανάλυσης, προσομοίωσης υγιούς μηχανής, στην εκκίνηση, στην ανατροπή (1050 rpm) και στις 1460 rpm Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι χωρικές κατανομές των γραμμών του πεδίου στα μοντέλα που αναλύθηκαν με time harmonic (AC) ανάλυση, στην εκκίνηση, στις 1460 στροφές το λεπτό και στην ανατροπή (1050 στροφές το λεπτό). Οι αναλύσεις έγιναν για το ίδιο στιγμιότυπο και για τα δύο μοντέλα, για να γίνει πιο καλή η σύγκριση μεταξύ τους και να είναι πιο εμφανείς οι διαφορές τους. 97

104 Σχ Χωρική κατανομή των μαγνητικών γραμμών του πεδίου στην εκκίνηση Σχ Χωρική κατανομή των μαγνητικών γραμμών του πεδίου σε μοντέλο στην ανατροπή 98

105 Σχ Χωρική κατανομή των μαγνητικών γραμμών του πεδίου στις 6 στροφές το λεπτό Στο σχήμα 4.21 και 4.22 γίνεται σύγκριση της χωρικής κατανομής της μαγνητικής επαγωγής του πεδίου και της ακτινικής πίεσης αντίστοιχα, στο μέσο του διακένου, για τις τρεις περιπτώσεις. Πιο κάτω δίνεται ένας πίνακας με την ολική μαγνητική επαγωγή και με τις ολικές ακτινικές και εφαπτομενικές δυνάμεις που ασκούνται πάνω στον δρομέα. Παρατηρείται μια μικρή αύξηση της μαγνητικής επαγωγής στην περίπτωση του μοντέλου στις 1050 στροφές το λεπτό και στην εκκίνηση. Όπως φαίνεται από τον πίνακα δεν υπάρχει ιδιαίτερη διαφορά στην ακτινική πίεση μεταξύ των περιπτώσεων της μηχανής στην ανατροπή και στις 1460rpm. Παρατηρείται όμως μεγάλη αύξηση στην εφαπτομενική δύναμη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι, εάν ο δρομέας περιστρέφεται με ορισμένη ολίσθηση και αυξηθεί το φορτίο, τότε το ρεύμα εξ επαγωγής αυξάνεται, άρα και η μαγνητική επαγωγή και μέσω αυτών και οι δυνάμεις. Ο λόγος για τον οποίο η ακτινική δύναμη παραμένει περίπου ίδια και η εφαπτομενική αυξάνεται πολύ, είναι λόγω των σχέσεων που τις εκφράζει από τις οποίες υπολογίζονται (σχέση 1.26 και σχέση 1.27). 99

106 Αν και υπάρχει λίγο μεγαλύτερη αύξηση στην μαγνητική επαγωγή του μοντέλου στην εκκίνηση, παρ όλα αυτά οι δυνάμεις στην περίπτωση αυτή είναι πιο μικρές από τις δυνάμεις του μοντέλου στην ανατροπή. Αυτό ίσως να οφείλεται στη μεγάλη μαγνητική σκέδαση που υπάρχει στην εκκίνηση, όπως φαίνεται και από το σχήμα 4.18 Σχ Χωρική κατανομή της μαγνητικής επαγωγής, σε Τ, στο μέσο του διακένου συναρτήσει της μηχανικής γωνίας, των μηχανών στην εκκίνηση (μαύρο χρώμα), στην ανατροπή (κόκκινο χρώμα) και στις 6 στροφές (μπλε χρώμα) Σχ Χωρική κατανομή της μαγνητικής ακτινικής πίεσης, σε, στο μέσο του διακένου συναρτήσει της μηχανικής γωνίας, των μηχανών στην εκκίνηση (μαύρο χρώμα), στην ανατροπή (κόκκινο χρώμα) και στις 6 στροφές (μπλε χρώμα) 100

107 Πίνακας 4.5 Ολική μαγνητική επαγωγή του διακένου και ακτινική και εφαπτομενική δύναμη του δρομέα στην ανατροπή και στις 6 στροφές, για υγιή μηχανή. Ολική μαγνητική επαγωγή του διακένου υγιούς μηχανής (Τ) Ολική εφαπτομενική δύναμη υγιούς μηχανής (Ν) 1460 στροφές το λεπτό Στην ανατροπή Στην εκκίνηση Ολική ακτινική δύναμη υγιούς μηχανής (Ν) Στο Σχ δίνονται οι τάξεις των χωρικών αρμονικών της ακτινικής πίεσης για τις τρείς περιπτώσεις των μοντέλων. Παρατηρείται πως δεν υπάρχει μεγάλη αλλαγή στα πλάτη των αρμονικών της πίεσης, είτε η μηχανή βρίσκεται στην εκκίνηση, είτε είναι στην ανατροπή είτε με μικρό φορτίο (1460rpm). 101

108 Σχ Τάξεις (r) των χωρικών αρμονικών της ακτινικής πίεσης 4.4 Αποτελέσματα της ανάλυσης έντασης (stress analysis) προσομοίωσης υγιούς μηχανής, στις 1460 στροφές Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των επιδράσεων των δυνάμεων πάνω στα διάφορα τμήματα της μηχανής. Τα ακόλουθα σχήματα παρουσιάζουν τον τρόπο με τον οποίο, τείνουν να μετατοπιστούν και να παραμορφωθούν τα διάφορα τμήματα της μηχανής λόγω των μαγνητικών δυνάμεων, στην περίπτωση του μοντέλου στις 1460rpm. Αυτές οι απεικονίσεις έγιναν με τη βοήθεια των μεταβλητών DISPX και DISPY που προέκυψαν από το Stress analysis. Η κλίμακα των μετατοπίσεων αυξήθηκε κατά πολύ, ούτως ώστε να είναι πιο εμφανείς οι μετατοπίσεις. 102

109 Σχ Μετατόπιση μιας μπάρας του δρομέα με κλίμακα DISPX*1* 3 και DISPX*1* 3 Σχ Μετατόπιση των τμημάτων του δρομέα και του στάτη 103

110 Σχ Μετατόπιση των δοντιών του στάτη με κλίμακα DISPX*1* 2 και DISPX*1* 2 Σχ Μετατόπιση των δοντιών του δρομέα με κλίμακα DISPX*1* 3 και DISPX*1* 3 104

111 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΗΣ ΜΕ ΜΙΑ ΣΠΑΣΜΕΝΗ ΜΠΑΡΑ ΤΟΥ ΚΛΩΒΟΥ [12, 22, 23] Η επιτήρηση λειτουργίας της κατάστασης των ηλεκτρικών μηχανών γίνεται ολοένα και πιο απαραίτητη τόσο από θεωρητική όσο και από πρακτική άποψη. Παίζει σημαντικό ρόλο στην ασφαλή λειτουργία των βιομηχανικών εγκαταστάσεων και επιτρέπει να αποφεύγονται μεγάλες απώλειες παραγωγής. Ωστόσο η επιλογή των κατάλληλων μεθόδων παρακολούθησης αποτελεί πρόκληση. Σε πολλές περιπτώσεις, το συνολικό επίπεδο των ταλαντώσεων της μηχανής αρκεί, για να διαγνωστούν μηχανικές βλάβες, γι αυτό γίνεται μελέτη της ηλεκτρομαγνητικής δύναμης, που είναι μία από τους πιο αξιόπιστους δείκτες μηχανικής βλάβης. Το μόνο μειονέκτημα αυτού του δείκτη είναι η χαμηλή προσβασιμότητα του. Παρ όλα αυτά, δεδομένου ότι οι δονήσεις είναι συνέπεια των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων που ασκούνται μέσα στη μηχανή, πρέπει να ανιχνευτούν υπογραφές ηλεκτρικών σφαλμάτων, από το φάσμα συχνότητας των ταλαντώσεων. Σε αυτή τη διπλωματική εργασία μελετήθηκε η περίπτωση της μηχανής με μια σπασμένη μπάρα. Συνήθως, η σπασμένη μπάρα στο δρομέα μπορεί να προκληθεί από τους ακόλουθους λόγους: 1. Από θερμικές καταπονήσεις λόγω θερμικής υπερφόρτωσης. Η υπερθέρμανση του δρομέα μπορεί να προκαλέσει διαστολή στον κλωβό του δρομέα, άρα και μηχανικές καταπονήσεις. 2. Από μαγνητικές εντάσεις που προκαλούνται από μαγνητικές δυνάμεις. 3. Από δυναμικές καταπονήσεις λόγω των ροπών του άξονα. 4. Από ρύπους που υπάρχουν στο περιβάλλον, που μπορεί να προκαλέσουν εκδορές στον δρομέα. 5. Από μηχανικές καταπονήσεις λόγω χαλαρών ελασμάτων, κλπ. Για κινητήρες μέσης τάσης, η σπασμένη μπάρα συνήθως προκύπτει από τις μεγάλες θερμικές καταπονήσεις κατά τη διάρκεια της εκκίνησης. Γι αυτό, οι μηχανές μέσης 105

112 τάσης παρουσιάζουν σφάλματα μετά από λιγότερες εκκινήσεις απ ότι οι μικρές μηχανές. Αφού σπάσει μια μπάρα, δεν μπορεί να επιδιορθωθεί ο κλωβός του δρομέα. Το πεδίο γύρω από τη σπασμένη μπάρα θα είναι πιο αραιό προκαλώντας έτσι μια ασυμμετρία στην κατανομή της δύναμης, με αποτέλεσμα τη δημιουργία μη ισορροπημένης μαγνητικής έλξης (unbalanced magnetic pull). Αυτή η ασύμμετρη μαγνητική δύναμη θα περιστρέφεται με την συχνότητα περιστροφής του δρομέα 5.1 Σύμφωνα με το [24], λόγω της ασυμμετρίας στον δρομέα, τα ρεύματα του δρομέα δημιουργούν δύο κυματώσεις μαγνητικού πεδίου που περιστρέφονται αντίθετα, με συχνότητες. Αυτές οι κυματώσεις επηρεάζουν τα ρεύματα και το πεδίο του στάτη, άρα και του δρομέα με αποτέλεσμα να προκύπτουν αρμονικές του πεδίου με συχνότητες κοντά στη συχνότητα τροφοδοσίας [23, 24, 25] και κοντά στις συχνότητες των αρμονικών λόγω των αυλακώσεων, που σύμφωνα με τις 2.35 και 2.39 θα είναι και 1±2 αντίστοιχα. Άρα, αφού η πίεση και η δύναμη είναι ανάλογη του τετραγώνου της μαγνητικής επαγωγής, θα περιμένει κανείς να προκύψουν αρμονικές της πίεσης στις συχνότητες: Από αλληλεπίδραση δύο αρμονικών του πεδίου του στάτη και τάξης και : 5.3 Από αλληλεπίδραση μεταξύ των αρμονικών του στάτη τάξης δρομέα τάξης : και των αρμονικών του 5.4 και από αλληλεπίδραση των αρμονικών του πεδίου του δρομέα: 5.5 με. 106

113 Στο φάσμα συχνοτήτων ταλάντωσης της μηχανής θα προκύψει και μια άλλη αρμονική κοντά στη μηχανική συχνότητα περιστροφής του δρομέα, δηλαδή στη συχνότητα. Αυτό προκύπτει λόγω της περιστροφής της ασύμμετρης μαγνητικής δύναμης με τη συχνότητα αυτή. Στο φάσμα συχνοτήτων της δύναμης που υπολογίζεται σ αυτό το κεφάλαιο δεν πρόκειται να φανεί αυτή η συχνότητα, για το λόγο ότι το φαινόμενο δεν είναι ηλεκτρομαγνητικό, αλλά μηχανικό. Αυτή η συχνότητα θα εντοπιστεί μόνο αν υπολογιστεί η πίεση σε ένα σταθερό σημείο μέσα στο διάκενο της μηχανής. Αυτό συμβαίνει γιατί, το σημείο αυτό θα βλέπει κάθε φορά που θα περνά η σπασμένη μπάρα από μπροστά του. Η σπασμένη μπάρα μπορεί να οδηγήσει σε μεγάλες ταλαντώσεις του άξονα και να προκαλέσει εκκεντρότητα στο δρομέα. Επομένως, είναι σημαντική η έγκαιρη ανίχνευση της όχι μόνο για την προστασία του δρομέα, αλλά και για τη μείωση ή αποφυγή άλλων σφαλμάτων που μπορεί να προκύψουν. 5.1 Αποτελέσματα προσομοίωσης μηχανής με μία σπασμένη μπάρα στη μόνιμη κατάσταση στις 1460 rpm Με τον ίδιο τρόπο που αναλύθηκε μοντέλο της υγιούς μηχανής, έτσι έγινε και για το μοντέλο της μηχανής με σπασμένη μπάρα και στη συνέχεια υπολογίστηκαν με τον ίδιο τρόπο οι πιέσεις και οι δυνάμεις. Στα παρακάτω σχήματα φαίνονται τα δύο μοντέλα μηχανών, της υγιούς μηχανής και της μηχανής με σπασμένη μπάρα, απεικονισμένα στο ίδιο στιγμιότυπο για να γίνει καλή σύγκριση μεταξύ τους. Όπως φαίνεται και από το σχήμα 5.2, στο μοντέλο της μηχανής με τη σπασμένη μπάρα, οι μαγνητικές γραμμές αραιώνουν στα δεξιά της μπάρας και πυκνώνουν στα αριστερά της. 107

114 Σχ. 5.1 Χωρική κατανομή των μαγνητικών γραμμών του πεδίου υγιούς μηχανής Σχ. 5.2 Χωρική κατανομή των μαγνητικών γραμμών του πεδίου μηχανής με μία σπασμένη μπάρα 108

115 Στα παρακάτω σχήματα, δίνονται η χωρική κατανομή της ακτινικής και εφαπτομενικής μαγνητικής επαγωγής και η χωρική κατανομή του μέτρου της μαγνητικής επαγωγής, σε όλο το μήκος του διακένου, για τις περιπτώσεις της υγιούς μηχανής και της μηχανής με μια σπασμένη μπάρα. Συγκρίνοντας τις δύο γραφικές παραστάσεις, είναι εμφανής η περιοχή που βρίσκεται η σπασμένη μπάρα. Σχ. 5.3 Χωρική κατανομή της ακτινικής συνιστώσας της μαγνητικής επαγωγής ( σε Τ) στο μέσο του διακένου, συναρτήσει της μηχανικής γωνίας, για υγιή μηχανή (μαύρο χρώμα) και για μηχανή με σπασμένη μπάρα (κόκκινο χρώμα) 109

116 Σχ. 5.4 Χωρική κατανομή της εφαπτομενικής συνιστώσας της μαγνητικής επαγωγής ( σε Τ) στο μέσο του διακένου, συναρτήσει της μηχανικής γωνίας, για υγιή μηχανή (μαύρο χρώμα) και για μηχανή με σπασμένη μπάρα (κόκκινο χρώμα) Σχ. 5.5 Χωρική κατανομή του μέτρου της μαγνητικής επαγωγής (σε Τ) στο μέσο του διακένου, συναρτήσει της μηχανικής γωνίας, για υγιή μηχανή (μαύρο χρώμα) και για μηχανή με σπασμένη μπάρα (κόκκινο χρώμα) 110

117 Στο Σχ. 5.6 φαίνεται η χωρική κατανομή της ακτινικής πίεσης μέσα στο διάκενο. Παρατηρείται πως, αφού έχουμε αραίωση των μαγνητικών γραμμών δεξιά της μπάρας είναι πιο μικρή η ακτινική πίεση στα γειτονικά δόντια δεξιά από αυτή (πριν τις 180 ο ) και πιο μεγάλη στα αριστερά της. Στο υπόλοιπο μέρος του διακένου η πίεση δεν έχει μεγάλες αλλαγές. Σχ. 5.6 Χωρική κατανομή της ακτινικής πίεσης. Στον Υ άξονα είναι η πίεση και στο Χ άξονα η γεωμετρική γωνία σε μοίρες, για υγιή μηχανή (μαύρο χρώμα) και για μηχανή με σπασμένη μπάρα (κόκκινο χρώμα) Στο Σχ. 5.7 δίνεται η ακτινική πίεση που ασκείται πάνω σε ένα δόντι του στάτη και τα δόντια του δρομέα, καθώς περιστρέφεται ο δρομέας, για υγιές μοντέλο και για μοντέλο μηχανής με σπασμένη μπάρα. Η πίεση είναι υπολογισμένη σε ένα σημείο μπροστά από δόντι του στάτη, στο κέντρο του διακένου. Η γραφική παράσταση είναι για μια μηχανική περίοδο γι αυτό φαίνεται να περνά μια φορά η σπασμένη μπάρα από το σημείο αυτό. Παρατηρείται πως όταν περνά πρώτα το δόντι του δρομέα αριστερά από τη σπασμένη μπάρα, υπάρχει αύξηση της ακτινικής πίεσης, σε σχέση με το υγιές μοντέλο, λόγω της πύκνωσης των μαγνητικών γραμμών και υπάρχει μείωση όταν περνά το δόντι δεξιά από αυτή, λόγω αραίωσης των μαγνητικών γραμμών, όπως φαίνεται και στο σχήμα

118 Σχ. 5.7 Σύγκριση ακτινικής πίεσης υγιούς μηχανής και μηχανής με μία σπασμένη μπάρα σε ένα σημείο συναρτήσει του χρόνου. Με μπλε η ακτινική πίεση της υγιούς μηχανής, με μαύρο η ακτινική πίεση της μηχανής με σπασμένη μπάρα Ακολούθως στα σχήματα 5.8 και 5.9 δίνονται το φάσμα συχνοτήτων της ακτινικής πίεσης σε ένα δόντι και της ολικής ακτινικής δύναμης του δρομέα αντίστοιχα. Από το σχήμα 5.8 παρατηρείται ότι για τη μηχανή με τη σπασμένη μπάρα, ανά 25Hz περίπου υπάρχει μια αιχμή. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η σπασμένη μπάρα περιστρέφεται μαζί με την ασύμμετρη δύναμη που δημιουργεί, με συχνότητα ίση με τη συχνότητα περιστροφής του δρομέα, δηλαδή σε αυτή την περίπτωση, ίση με 24,3 Hz. Στο σχ. 5.9 δεν φαίνεται αυτό το φαινόμενο γιατί η ακτινική δύναμη υπολογίζεται σαν σύνολο μέσα στο διάκενο και απλά θα προκύψει μια πιο μειωμένη δύναμη σε σχέση με τη δύναμη της υγιούς μηχανής. Παρατηρείται ότι και στα δύο σχήματα παρουσιάζονται οι αρμονικές δίπλα από τις κύριες αρμονικές. Στο σχ.5.8 παρατηρείται να διακρίνονται αυτές οι συχνότητες δίπλα από την DC συνιστώσα, δίπλα από τα 100Hz και σε αρμονικές λόγω των αυλακώσεων. Στο σχ. 5.9 οι συχνότητες διακρίνονται κοντά στην DC συνιστώσα και δίπλα από μερικές αρμονικές λόγω αυλακώσεων, που έχουν μεγάλα πλάτη. Επίσης στο σχήμα 5.9, μεταξύ των συχνοτήτων 281.3Hz και 112

119 Pn (N/m 2 ) 300Hz, εμφανίζεται μια ζώνη συχνοτήτων, η οποία προτάθηκε ως ένδειξη σφάλματος σπασμένης μπάρας από το εργαστήριο μας [26] X: Y: frequency (Hz) 113

120 Σχ. 5.8 Φάσμα συχνοτήτων της ακτινικής πίεσης σε ένα δόντι του στάτη. Με μπλε η περίπτωση της υγιούς μηχανή και κόκκινο η μηχανή με μια σπασμένη μπάρα 114

121 Σχ. 5.9 Φάσμα συχνοτήτων της ολικής ακτινικής δύναμης υγιούς μηχανής (μπλε) και μηχανής με μία σπασμένη μπάρα (κόκκινο) Στο σχήμα 5.10 δίνονται οι τάξεις των χωρικών αρμονικών της ακτινικής πίεσης για την περίπτωση υγιούς μηχανής και μηχανής με σπασμένη μπάρα. Όπως φαίνεται και από το σχήμα, τα πλάτη των αρμονικών της τάξης 0 και των τάξεων που προκύπτουν από τη σχέση 2.28 μένουν αμετάβλητες, ενώ τα πλάτη των υπολοίπων αρμονικών αυξάνονται στην περίπτωση της μηχανής με τη σπασμένη μπάρα. Προφανώς όταν υπάρχει σπασμένη μπάρα, όπως φαίνεται από τα σχήματα 5.8, 5.9, 5.10 το αρμονικό περιεχόμενο της πίεσης και της δύναμης αυξάνεται και τα πλάτη των ανώτερων αρμονικών τους μεγαλώνουν. Αυτό είναι επικίνδυνο γιατί είναι πιο πιθανό να συμπέσει μια συχνότητα της αρμονικής της δύναμης με μια ιδιοσυχνότητα της μηχανής και η τάξη της δύναμης να έχει ίδια τιμή με την ιδιοτιμή ταλάντωσης της μηχανής, προκαλώντας έτσι μεγάλη ταλάντωση στο σύστημα. 115

122 Σχ Τάξεις (r) των χωρικών αρμονικών της ακτινικής πίεσης Στα σχήματα 5.11 και 5.12 παραουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις της συνολικής ακτινικής και εφαπτομενικής δύναμης αντίστοιχα συναρτήσει του χρόνου, για την περίπτωση της μηχανής με σπασμένη μπάρα. Παρατηρείται πως έχουν πιο παραμορφωμένη μορφή από τις γραφικές παραστάσεις της ολικής δύναμης για την περίπτωση του υγιούς μοντέλου, όπως φαίνεται και από τα σχήματα 4.14 και