ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ

Transcript

1 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1

2 3.1 ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Το Σχ. 3.1 δείχνει μερικά από τα πειράματα που πραγματοποίησε o Michael Faraday. Στο Σχ. 3.1(α, β, γ) ένα πηνίο συνδέεται με γαλβανόμετρο. Όταν o μαγνήτης (α) ή το πηνίο (β) που βρίσκεται κοντά στο πηνίο είναι ακίνητα, δεν περνάει ρεύμα από το γαλβανόμετρο γιατί δεν υπάρχει πηγή ΗΕΔ στο κύκλωμα. Όταν όμως τα μετακινήσουμε, τότε το γαλβανόμετρο δείχνει ότι περνάει ρεύμα στο κύκλωμα, μόνο κατά τη διάρκεια της κίνησης. Αν κρατήσουμε ακίνητο το μαγνήτη ή το πηνίο και μετακινήσουμε το πηνίο με το γαλβανόμετρο, παρατηρούμε και πάλι ηλεκτρικό ρεύμα κατά τη διάρκεια της κίνησης. Το ρεύμα αυτό ονομάζεται επαγόμενο ρεύμα και η αντίστοιχη ΗΕΔ που απαιτείται για να το προκαλέσει ονομάζεται επαγόμενη ΗΕΔ. Σχήμα 1 2

3 3.2 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ FARADAY Το κοινό χαρακτηριστικό όλων των φαινομένων επαγωγής είναι η μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή που διαπερνά ένα κύκλωμα. Σύμφωνα με τον νόμο του Faraday, η ΗΕΔ που επάγεται σε ένα κύκλωμα είναι ανάλογη του ρυθμού μεταβολής της μαγνητικής ροής που διαπερνά το κύκλωμα. Η μαγνητική ροή Φ Β ορίζεται ως εξής : έστω στοιχείο επιφάνειας da το οποίο βρίσκεται μέσα σε μαγνητικό πεδίο Β η μαγνητική ροή dφ Β που περνά μέσα από την επιφάνεια είναι d B BdA BdAcos όπου φ είναι η γωνία μεταξύ των Β και da. H ολική μαγνητική ροή Φ Β μέσα από μια επιφάνεια είναι το ολοκλήρωμα αυτής της έκφρασης πάνω στην επιφάνεια: Αν το Β είναι ομογενές σε μια επίπεδη επιφάνεια Α, τότε B B BdA BdAcos B A B Acos (1) (2) 3

4 3.2 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ FARADAY Στις Εξ. (3.1) και (3.2) το πρόσημο της μαγνητικής ροής που διαπερνά την επιφάνεια εξαρτάται από την κατεύθυνση που επιλέξαμε να είναι θετική. Ο νόμος επαγωγής του Faraday ορίζει ότι: H επαγόμενη σε ένα κύκλωμα ΗΕΔ ισούται με το αρνητικό του ρυθμού μεταβολής της μαγνητικής ροής που διαπερνά το κύκλωμα. Έτσι, o νόμος του Faraday δίνεται από τη σχέση: E d dt Φορά της επαγόμενης ΗΕΔ: Μπορούμε να βρούμε τη φορά μιας επαγόμενης ΗΕΔ ή ενός επαγόμενου ρεύματος με τον εξής τρόπο: B (3) 1. Ορίστε τη θετική κατεύθυνση του διανύσματος Α που χαρακτηρίζει την επιφάνεια. 2. Οι κατευθύνσεις του A και του μαγνητικού πεδίου Β καθορίζουν το πρόσημο της μαγνητικής ροής Φ Β και του ρυθμού μεταβολής της dφ Β /dt. 3. Λυγίστε τα δάχτυλα του δεξιού σας χεριού γύρω από το διάνυσμα A έχοντας τον δεξιό αντίχειρα στην κατεύθυνση του A. Αν η φορά μιας ΗΕΔ ή ενός ρεύματος στο κύκλωμα είναι η ίδια με τη φορά που ακολούθησαν τα δάχτυλά σας, τότε είναι θετική, ενώ αν έχει την αντίθετη φορά είναι αρνητική. 4

5 3.2 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ FARADAY Στο Σχ. 2 α τα A και Β δείχνουν προς τα πάνω, με αποτέλεσμα η Φ Β να είναι θετική. Το μέτρο Β αυξάνεται, άρα η dφ Β /dt είναι θετική. Σύμφωνα με την Εξ. (3.3), η Ε ΗΕΔ πρέπει να είναι αρνητική έχει τη φορά των δεικτών του ρολογιού γύρω από το βρόχο. Το ίδιο και το ρεύμα που επάγεται. Αυτό δημιουργεί ένα πρόσθετο μαγνητικό πεδίο μέσα στο βρόχο, και σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού, η φορά του είναι αντίθετη από αυτήν του πεδίου που προκαλεί o ηλεκτρομαγνήτης. Σχήμα 2 Αυτό είναι ένα παράδειγμα ενός γενικού κανόνα που ονομάζεται νόμος του Lenz. Σύμφωνα με τον νόμο του Lenz κάθε επαγωγικό φαινόμενο τείνει να αντιτεθεί στη μεταβολή που το προκάλεσε. Στην περίπτωσή μας η αύξηση του πεδίου μέσα στον βρόχο. O νόμος του Lenz, καθώς και το αρνητικό πρόσημο στην Εξ. (3.3), έχουν άμεση σχέση με τη διατήρηση της ενέργειας. 5

6 3.3 ΗΛΕΚΤΡΕΓΕΡΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΛΟΓΩ ΚΙΝΗΣΗΣ H κίνηση ενός αγωγού μέσα σε μαγνητικό πεδίο μας δίνει τη δυνατότητα να κατανοήσουμε καλύτερα τη δημιουργία της επαγόμενης ΗΕΔ εξετάζοντας τις μαγνητικές δυνάμεις σε φορτία του αγωγού. Το Σχ. 3.α δείχνει την ράβδο που φαίνεται στο 3.β απομονωμένη από τον αγωγό σε σχήμα U. Το μαγνητικό πεδίο Β είναι ομογενές και κατευθύνεται προς τη σελίδα. Στη ράβδο δίνουμε σταθερή ταχύτητα u προς τα δεξιά. Σε ένα σωμάτιο με φορτίο q στη ράβδο θα ασκηθεί μαγνητική δύναμη F = qu x Β. Θεωρώντας το q θετικό η δύναμη έχει φορά κατά μήκος της ράβδου προς τα πάνω, από το b στο a. H μαγνητική δύναμη προκαλεί την κίνηση των ελεύθερων φορτίων στη ράβδο, δημιουργώντας πλεόνασμα θετικού φορτίου στο άκρο a και αρνητικού φορτίου στο άκρο b. Αυτό, με τη σειρά του, προκαλεί ένα ηλεκτρικό πεδίο E με κατεύθυνση από το a στο b που ασκεί δύναμη qε στα φορτία με κατεύθυνση προς τα κάτω. H διαδικασία συνεχίζεται έως ότου το E γίνει αρκετά ισχυρό ώστε η ηλεκτρική δύναμη (qe) να εξισορροπήσει τη μαγνητική δύναμη (qυβ). Σχήμα 3 6

7 3.3 ΗΛΕΚΤΡΕΓΕΡΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΛΟΓΩ ΚΙΝΗΣΗΣ Η διαφορά δυναμικού Vαb ισούται με το γινόμενο του μέτρου του ηλεκτρικού πεδίου E επί το μήκος L της ράβδου άρα V ab E L u B L όπου το σημείο a βρίσκεται σε υψηλότερο δυναμικό από το σημείο b. Θεωρούμε ότι η κινούμενη ράβδος γλιστράει κατά μήκος ακίνητου αγωγού με σχήμα U, δημιουργώντας ένα κλειστό κύκλωμα (Σχ. 3.9β). Στα φορτία του ακίνητου αγωγού δεν ασκείται μαγνητική δύναμη, υπάρχει όμως ένα ηλεκτρικό πεδίο που προκλήθηκε από τη συσσώρευση φορτίων στα a και b. Αυτό το πεδίο δημιουργεί ηλεκτρικό ρεύμα, με φορά αντίθετη αυτής των δεικτών του ρολογιού, γύρω από το κλειστό κύκλωμα. H κινούμενη ράβδος έχει γίνει πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης. Την ονομάζουμε ηλεκτρεγερτική δύναμη λόγω κίνησης, Ε ΗΕΔ, και άρα (4) E u B L (5) 7

8 3.3 ΗΛΕΚΤΡΕΓΕΡΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΛΟΓΩ ΚΙΝΗΣΗΣ H ΗΕΔ που σχετίζεται με την κινούμενη ράβδο στο Σχ. 3.9 αναλογεί σε ΗΕΔ μπαταρίας, με το θετικό άκρο στο a και το αρνητικό άκρο στο b. Όταν η διάταξη συνδεθεί με εξωτερικό κύκλωμα, η φορά του ρεύματος είναι από το b προς το a στη διάταξη και από το a προς το b στο εξωτερικό κύκλωμα. Αν εκφράσουμε το υ σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο, το Β σε tesla και το L σε μέτρα, τότε η Ε ΗΕΔ δίνεται σε joule / coulomb ή σε volt. Μπορούμε να γενικεύσουμε την έννοια της ΗΕΔ λόγω κίνησης για αγωγό με οποιοδήποτε σχήμα που κινείται σε οποιοδήποτε μαγνητικό πεδίο, ομογενές ή μη. Για οποιαδήποτε δύο σημεία a και b, η ΗΕΔ λόγω κίνησης, με φορά από το b στο a είναι E b a u B dl (6) 8

9 3.4 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LENZ O νόμος του Lenz μας βοηθά να καθορίσουμε το πρόσημο ή τη φορά ενός επαγόμενου ρεύματος, μιας ΗΕΔ ή την κατεύθυνση του αντίστοιχου μη ηλεκτροστατικού πεδίου. O νόμος του Lenz προκύπτει από τον νόμο του Faraday και αναφέρει: «H φορά οποιουδήποτε μαγνητικού φαινομένου επαγωγής είναι τέτοια, ώστε να αντιτίθεται στο αίτιο που το προκάλεσε». «Αίτιο» είναι 1. Η κίνηση αγωγού σε μαγνητικό πεδίο. Η φορά του επαγόμενου ρεύματος στον κινούμενο αγωγό είναι τέτοια ώστε η μαγνητική δύναμη στον αγωγό να έχει κατεύθυνση αντίθετη από αυτήν προς την οποία κινείται o αγωγός. H κίνηση του αγωγού, που προκάλεσε το επαγόμενο ρεύμα, βρίσκει αντίσταση. 2. Η μεταβαλλόμενη ροή μέσα από ακίνητο κύκλωμα. Στη περίπτωση αυτή μεταβάλλεται η ροή σε ακίνητο κύκλωμα, το επαγόμενο ρεύμα δημιουργεί δικό του μαγνητικό πεδίο. Αυτό το πεδίο έχει αντίθετη κατεύθυνση από το αρχικό πεδίο αν το αρχικό πεδίο αυξάνει, έχει όμως την ίδια κατεύθυνση με το αρχικό πεδίο αν εκείνο ελαττώνεται. Άρα, το επαγόμενο ρεύμα αντιτίθεται στη μεταβολή της ροής μέσα από το κύκλωμα. 9

10 3.4 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LENZ 3. Οποιοσδήποτε συνδυασμός τους. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις το επαγόμενο ρεύμα προσπαθεί να διατηρήσει την υπάρχουσα κατάσταση προβάλλοντας αντίσταση στην κίνηση ή μεταβάλλοντας τη ροή. Για να υπάρξει επαγόμενο ρεύμα, απαιτείται πλήρες κύκλωμα χρησιμοποιώντας το νόμο του Lenz μπορούμε να καθορίσουμε τη φορά τoυ ρεύματος και να βρούμε την πολικότητα στα άκρα του αγωγού. O νόμος του Lenz έχει άμεση σχέση με τη διατήρηση της ενέργειας. Αν το επαγόμενο ρεύμα στο Σχ. 3 είχε την αντίθετη φορά, η μαγνητική δύναμη που θα προέκυπτε στη ράβδο θα την επιτάχυνε σε όλο και μεγαλύτερες ταχύτητες χωρίς να υπάρχει εξωτερική πηγή ενέργειας, σε αντίθεση με το γεγονός ότι υπάρχουν απώλειες ενέργειας στο βρόχο. Αυτό θα οδηγούσε σε ξεκάθαρη παραβίαση της διατήρησης της ενέργειας. 10

11 3.5 ΕΠΑΓΟΜΕΝΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Θεωρούμε τη διάταξη του Σχ. 5, ένα μακρύ, λεπτό σωληνοειδές με επιφάνεια διατομής Α και n σπείρες ανά μονάδα μήκους περιβάλλεται στο κέντρο του από κυκλικό αγώγιμο βρόχο. Το γαλβανόμετρο G μετρά το ρεύμα στο βρόχο. Ένα ρεύμα Ι στις περιελίξεις του σωληνοειδούς δημιουργεί μαγνητικό πεδίο Β κατά μήκος του άξονα του σωληνοειδούς. Το μέτρο του, Β, είναι Β = μ 0 ni. Η μαγνητική ροή Φ Β μέσα από το βρόχο είναι B 0 A B n I A Όταν το ρεύμα στο σωληνοειδές μεταβάλλεται χρονικά, μεταβάλλεται και η μαγνητική ροή, και σύμφωνα με το νόμο του Faraday η επαγόμενη ΗΕΔ στο βρόχο είναι d B E 0n A dt di dt Σχήμα 5 11

12 3.5 ΕΠΑΓΟΜΕΝΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Αν η ολική αντίσταση του βρόχου είναι R, το επαγόμενο ρεύμα, Ι', στο βρόχο είναι I'=Ε ΗΕΔ /R. Η δύναμη που κινεί τα φορτία στον βρόχο δεν μπορεί να είναι μαγνητική, επειδή o αγωγός δεν κινείται σε μαγνητικό πεδίο. Θα πρέπει να υπάρχει ένα επαγόμενο ηλεκτρικό πεδίο στον αγωγό που προκαλείται από τη μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή. Άρα ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο λειτουργεί ως πηγή ηλεκτρικού πεδίου. Όταν ένα φορτίο q κάνει μια πλήρη περιφορά στο βρόχο, το ολικό έργο που παράγεται σε αυτό από το ηλεκτρικό πεδίο πρέπει να είναι ίσο με το γινόμενο του q επί την ΗΕΔ Ε ΗΕΔ. Δηλαδή, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του E σε κλειστό δρόμο είναι μη μηδενικό : E dl Σύμφωνα με τον νόμο του Faraday η ΗΕΔ Ε ΗΕΔ είναι το αρνητικό του ρυθμού μεταβολής της μαγνητικής ροής μέσα από το βρόχο, στην περίπτωση αυτή ο νόμος του Faraday είναι E dl d dt B (7) (8) 12

13 3.5 ΕΠΑΓΟΜΕΝΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Σαν παράδειγμα, υποθέτουμε ότι o κυκλικός βρόχος του Σχ. 5β έχει ακτίνα r. Το ηλεκτρικό πεδίο E έχει, το ίδιο μέτρο σε κάθε σημείο του κύκλου και είναι εφαπτόμενο στον κύκλο σε κάθε σημείο του. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στην Εξ. (8) καταλήγει απλώς στο γινόμενο του μέτρου E επί την περιφέρεια 2πr του βρόχου, Και τελικά έχουμε E dl 2 r E O νόμος του Faraday, ισχύει για δύο διαφορετικές καταστάσεις. E 1 2 Στη μία, μαγνητικές δυνάμεις που ασκούνται σε φορτία επάγουν ΗΕΔ όταν o αγωγός κινείται μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Στην άλλη, ένα χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο επάγει ηλεκτρικό πεδίο σε ακίνητο αγωγό, με αποτέλεσμα να επάγεται ΗΕΔ. r (3.11) Στη δεύτερη περίπτωση επάγεται πεδίο E ακόμη και όταν δεν υπάρχει αγωγός. Αυτό το πεδίο E έχει μια σημαντική διαφορά από το ηλεκτροστατικό πεδίο δεν διατηρείται. d dt B 13

14 3.5 ΕΠΑΓΟΜΕΝΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Όταν λοιπόν κινηθεί φορτίο ακολουθώντας κλειστό δρόμο, το πεδίο παράγει μη μηδενική ποσότητα έργου σε αυτό. Ένα τέτοιο πεδίο το ονομάζουμε μη ηλεκτροστατικό πεδίο. Παρά τη διαφορά αυτή, η θεμελιώδης επίδραση οποιουδήποτε ηλεκτρικού πεδίου είναι να ασκεί δύναμη F = qe σε φορτίο q. H σχέση αυτή ισχύει είτε το E είναι ηλεκτροστατικό πεδίο που δημιουργείται από κατανομή φορτίου, είτε είναι μη ηλεκτροστατικό πεδίο που παράγεται από μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή. Έτσι, ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο λειτουργεί σαν πηγή ηλεκτρικού πεδίου, τέτοιου είδους όμως που δεν μπορούμε να δημιουργήσουμε με καμιά στατική κατανομή φορτίου. Τα εξ επαγωγής ηλεκτρικά πεδία που δημιουργούνται από την επαγωγή δεν συνδέονται με φορτία αλλά με μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή. Αν και οι δύο τύποι των ηλεκτρικών πεδίων εξασκούν δυνάμεις πάνω σε φορτία, υπάρχει μια διαφορά μεταξύ τους. Η απλούστερη εκδήλωση αυτής της διαφοράς είναι ότι οι δυναμικές γραμμές του Ε που σχετίζεται με μεταβολή της μαγνητικής ροής μπορούν να είναι κλειστοί βρόχοι ενώ οι γραμμές του Ε που σχετίζεται με φορτία δεν μπορούν. 14