ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ

Transcript

1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΜΑΘΗΜΑ 2 Ισοδύναμο Ηλεκτρικό Κύκλωμα Σύγχρονων Μηχανών Ουρεϊλίδης Κωνσταντίνος, Υποψ. Διδακτωρ

2 Υπολογισμός Αυτεπαγωγής και αμοιβαίας επαγωγής Πεπλεγμένη μαγνητική ροή συναρτήσει των ρευμάτων: λ a = L aa i a + L ab i b + L ac i c + L af i f λ b = L ba i a + L bb i b + L bc i c + L bf i f λ c = L ca i a + L cb i b + L cc i c + L cf i f λ f = L fa i a + L fb i b + L fc i c + L ff i f L: επαγωγη που μεταβαλλεται με το χρόνο λόγω της μεταβολης της θεσης του δρομεα Υποθέτουμε ότι η ΜΕΔ και η αντίστοιχη μαγνητική ροή είναι ημιτονοειδώς κατανεμημένες στο χώρο: θ me = P 2 θ m L fa = L af = L af cosθ me

3 Υπολογισμός Αυτεπαγωγής και αμοιβαίας επαγωγής Εάν ο δρομέας είναι κυλινδρικός, η γεωμετρία του διακένου ανεξάρτητη της θ m, επομένως: L aa = L bb = L cc = L aa =L aao + L a1 L aao : αυτεπαγωγή στη θεμελιώδη αρμονική L a1 : αυτεπαγωγή σκέδασης Επειδή τα τυλίγματα δύο φάσεων είναι όμοια και μετατοπισμένα κατά μία γωνία α, η αμοιβαία επαγωγή μεταξύ τους είναι η αυτεπαγωγή τους επί cosa: L ab = L ba = L ac = L ca =L bc = L cb = =L aao cos ±120 = 1 2 L aao

4 Πρόβλημα 1. Σε μια διφασική σύγχρονη μηχανή τα δύο τυλίγματα του στάτη έχουν κάθετους μεταξύ τους μαγνητικούς άξονες. Να βρεθεί η αμοιβαία επαγωγή μεταξύ των δύο τυλιγμάτων του στάτη και η σύγχρονη αντίδραση της μηχανής σαν συνάρτηση της αυτεπαγωγής που αντιστοιχεί στην θεμελιώδη μαγνητική ροή στο χώρο και της αυτεπαγωγής σκέδασης κάθε φάσης. Λύση Οι μαγνητικοί άξονες των 2 τυλιγμάτων διαφέρουν κατά 90 ο και η αμοιβαία επαγωγή δίνεται από τη σχέση: L ab = L ba = L ab = L aa0 cos 90 = 0 (L aa0 = L bb0 ) Επειδή τα τυλίγματα έχουν κάθετους μεταξύ τους μαγνητικούς άξονες οι αμοιβαία επαγωγή τους είναι μηδέν. ΣΗΜΕΙΩΣΗ L: επαγωγη που μεταβαλλεται λόγω της θεσης θ m του δρομεα L: επαγωγη ανεξαρτητη της θεσης θ m του δρομεα

5 Πρόβλημα 1. Γενικά η πεπλεγμένη με το τύλιγμα της φάσης α μαγνητική ροη (σε τριφασική μηχανή) δίνεται από τη σχέση: λ α = L aa i a + L ab i b + L ac i c + L af i f Lab=0 0 0 Δεν υπάρχει φάση c λ α = L aa i a + L af i f Σύμφωνα με τον ορισμό της σύγχρονης αντίδρασης θα είναι λ α = L aa i a + L af i f = (L aa0 +L al ) i a + L af i f L s = L aa = L aa0 +L al L s Δηλαδή στην περίπτωση των κάθετων τυλιγμάτων η σύγχρονη αυτεπαγωγή ταυτίζεται με την αυτεπαγωγή του κάθε τυλίγματος.

6 Πρόβλημα 2. Ένας σύγχρονος τριφασικός κινητήρας που λειτουργεί σε δίκτυο 60Hz, έχει τάση ακροδεκτών 460V (πολική τάση) και ρεύμα 120 Α με συντελεστή ισχύος 0,95 επαγωγικό. Σε αυτές τις συνθήκες λειτουργίας το ρεύμα διέγερσης είναι 47Α. Η σύγχρονη αντίδραση της μηχανής είναι 1,68Ω (0,794pu με βάση τα 460V, 100 kva). Αμελώντας την ωμική αντίσταση των τυλιγμάτων των φάσεων να υπολογισθούν:

7 Πρόβλημα 2. (α) η εσωτερική επαγόμενη τάση Ε af : Λύση 0 Από το μονοφασικό κύκλωμα έχουμε: E V jx I af a s a (Για Ra=0) Όπου V α είναι το διάνυσμα της φασικής τάσης ακροδεκτών το οποίο θεωρείται και σαν διάνυσμα αναφοράς : V a = ej0o = 265,6 e j0o V

8 Πρόβλημα 2. Επειδή το ρεύμα είναι επαγωγικό με cosφ=0,95: φ = cos 1 0,95 = 18,2 ο Ia 120e j18.2 Άρα από το ισοδύναμο κύκλωμα θα έχουμε: E V jx I af a s a E af = j e j18.2 = < 43,4 o V

9 Πρόβλημα 2. β) η αμοιβαία επαγωγή μεταξύ στάτη δρομέα, L af Η αμοιβαία επαγωγή στάτη-δρομέα μπορεί να βρεθεί από την (5.21). Με ω e =120π (f e =60 Hz), έχουμε: L af 2Eaf ,3 mh I e f γ) η ηλεκτρική ισχύς στους ακροδέκτες του κινητήρα. Η ισχύς στους ακροδέκτες του κινητήρα είναι τρεις φορές η ισχύς ανά φάση και επομένως: P in = 3 V a I a PF = ,95 = 90,8 kw

10 Πρόβλημα 3. Στον κινητήρα του Προβλήματος 2 θεωρούμε ότι η τάση στους ακροδέκτες μένει η ίδια και η ισχύς που αυτός απορροφά μένει επίσης η ίδια. Θέλουμε όμως ο συντελεστής ισχύος να γίνει μονάδα. Πόσο θα πρέπει να γίνει το ρεύμα διέγερσης και ποια θα είναι η νέα γωνία φορτίου; Λύση Επειδή ο συντελεστής ισχύος θέλουμε να γίνει μονάδα, το ρεύμα για την ίδια ισχύ θα πρέπει να γίνει: I a = P in 3V a cos φ cos φ = 1 I a Pin 90.8 kw 114 A 3V a Ia = 114 < 0 o A Και η εσωτερική τάση Ε af (φασική): E V jx I j e j35.8 af a s a

11 Πρόβλημα 3. Επομένως η γωνία φορτίου θα είναι -35,8 μοίρες. Το ρεύμα διέγερσης για αυτήν την τάση είναι: I f 2Eaf A L e af

12 Πρόβλημα 4. Ένας σύγχρονος τριφασικός κινητήρας 50kW, 400V, 50Hz, έχει σύγχρονη αντίδραση X s =3.5Ω και αμοιβαία επαγωγή στάτη-δρομέα L af =80mH. Ο κινητήρας λειτουργεί σε ονομαστική τάση και απορροφά από το δίκτυο 40kW. Να υπολογισθούν το μέτρο και η γωνία της επαγόμενης τάσης E af, και το απαιτούμενο ρεύμα διέγερσης όταν ο κινητήρας λειτουργεί με (α) 0,85 επαγωγικό συντελεστή ισχύος, (β) συντελεστή ισχύος μονάδα και (γ) 0,85 χωρητικό συντελεστή ισχύος.

13 Πρόβλημα 4. Λύση Το ρεύμα στο στάτη είναι: I a = P 3 V LL cosφ = ,4 0,85 = 67.92A και η γωνία του ρεύματος: 1 cos (0.85) 31.8 Επειδή το φορτίο είναι επαγωγικό, το ρεύμα θα έπεται της τάσης, επομένως έχει αρνητική τιμή.

14 Πρόβλημα 4. Λύση 0 Από το μονοφασικό ισοδύναμο κύκλωμα: Ε af = V a ji a X s = j67.92e j = 228e j62.38 Το ρεύμα διέγερσης υπολογίζεται από την (5.21): Ε af = ω el af I f 2 I f = 2 Ε af ω e L af = 12.83A

15 Πρόβλημα 4. (β) Με όμοιο τρόπο υπολογίζουμε για cosφ=1: E e I af j , f A (γ) Για χωρητικό συντελεστή cosφ=0.85 ισχύος προκύπτει: Ε af = e j29.6, I f = 23.04A Παρατηρούμε την ανάγκη για σχεδόν διπλασιασμό του ρεύματος διέγερσης για να πάει ο κινητήρας από συντελεστή ισχύος 0.85 επαγωγικό σε 0.85 χωρητικό.

16 Πρόβλημα 5. Στο σχήμα του προβλήματος φαίνεται η ροή σκέδασης γύρω από ένα αυλάκι. Η μαγνητική ροή δημιουργείται από το ρεύμα i του αγωγού μέσα στο αυλάκι. Το αυλάκι αποτελεί εσοχή στον πυρήνα ο οποίος θεωρείται ότι έχει πολύ μεγάλη μαγνητική διαπερατότητα. Επίσης θεωρούμε ότι η ροή εστιάζεται στην περιοχή μεταξύ του άνω μέρους του αγωγού και του άνω μέρους του αυλακιού.

17 Πρόβλημα 5. Κατανομή του πεδίου σε ένα αυλάκι. Μείωση της ροής στο εσωτερικό του αυλακιού.

18 Πρόβλημα 5. Α) Να βρεθεί μια έκφραση για την πυκνότητα της μαγνητικής ροής στην περιοχή μεταξύ του άνω μέρους του αγωγού και του άνω μέρους του αυλακιού. Λύση Η πυκνότητα της μαγνητικής ροής θα βρεθεί από την ένταση του μαγνητικού πεδίου. Η ένταση του μαγνητικού πεδίου, μετά την θεώρηση ότι η μαγνητική διαπερατότητα του πυρήνα είναι πολύ μεγάλη, καθορίζεται από τον αέρα στον κενό χώρο μεταξύ αγωγού και οροφής αυλακιού. Έτσι από την ΜΕΔ στο αυλάκι έχουμε, Εξίσωση MAXWELL H c dl = Jda s Η πυκνότητα της μαγνητικής ροής είναι επομένως: i Hdl Ni H s i H s αφού Ν=1 (ένας αγωγός). B s 0 0 i s

19 Πρόβλημα 5. Β) Να βρεθεί μια έκφραση για την μαγνητική ροή που διαπερνά το αυλάκι πάνω από τον αγωγό. Η έκφραση να βρεθεί συναρτήσει του ύψους x, του πλάτους s του αυλακιού και του μήκους l του αυλακιού (η διάσταση του μήκους θεωρείται κάθετη στο χαρτί) Λύση Η πυκνότητα της μαγνητικής ροής μέσα στο αυλάκι θεωρείται σταθερή. Η επιφάνεια που διαπερνά είναι l x. Η μαγνητική ροή επομένως είναι i s s 0 Bs x l x l μαγνητική ροή = Πυκνότητα μαγνητικής ροής σε όλη την επιφάνεια του αυλακιού

20 Πρόβλημα 5. Γ) Nα βρεθεί μια έκφραση για την δύναμη f που ασκείται από αυτό το μαγνητικό πεδίο στον αγωγό μήκους l. Σε ποια κατεύθυνση ασκείται αυτή η δύναμη; Λύση Από την (1.21) μπορούμε να προσδιορίσουμε την ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο μαγνητικό πεδίο επάνω από τον αγωγό. Έτσι, W fld = V B 2 2μ ο dv = V μ ο 2 ι 2 2μ ο s 2 dv Επειδή η ενέργεια είναι εκφρασμένη σαν συνάρτηση του ρεύματος μόνον και επειδή το σύστημα είναι γραμμικό (ο αέρας έχει σταθερή μαγνητική διαπερατότητα) η ενέργεια και η συνενέργεια είναι ίσες, δηλ = V μ ο ι 2 2s 2 dv = μ ο ι 2 x l 2s W ' fld W fld f dw ' 2 fld 0 l i dx 2s Η δύναμη είναι θετική και δρα προς την κατεύθυνση της αύξησης του x δηλαδή πιέζει τον αγωγό προς τα κάτω.

21 Πρόβλημα 5.

22 Πρόβλημα 5. Δ) Εάν ο αγωγός διαρρέεται από ρεύμα 1000A, να υπολογισθεί η δύναμη ανά μονάδα μήκους για αυλάκι πλάτους 2,5cm. Αντικαθιστώντας τις τιμές βρίσκουμε: Λύση f l = N/m

23 Πρόβλημα 6. Από το πείραμα της εν κενώ λειτουργίας μιας σύγχρονης τριφασικής μηχανής στα 50Hz, βλέπουμε ότι η ονομαστική πολική τάση των 13,8kV επιτυγχάνεται με ρεύμα διέγερσης 318 Α. Από την ευθεία διακένου βλέπουμε ότι για την ονομαστική τάση απαιτούνται 263 Α. Να υπολογισθεί η κορεσμένη και η ακόρεστη αμοιβαία επαγωγή μεταξύ στάτη και δρομέα. Ευθεία Διακένου Καμπύλη ανοικτού κυκλώματος

24 Πρόβλημα 6. Λύση Η σχέση που συνδέει την επαγόμενη τάση με το ρεύμα διέγερσης είναι: E af elaf I f 2Eaf L 3 af mh 2 I e f Αυτή είναι η κορεσμένη τιμή της L af Η ακόρεστη τιμή είναι: L af Eaf mh I e f Παρατηρούμε ότι ο κορεσμός μειώνει την σύζευξη μεταξύ στάτη και δρομέα κατά 18% περίπου.

25 Πρόβλημα 7. Από τα πειράματα εν κενώ λειτουργίας και βραχυκύκλωσης μιας τριφασικής σύγχρονης μηχανής 45 kva, 400 V, έχουμε τα ακόλουθα στοιχεία: Από την καμπύλη ανοικτού κυκλώματος: Τάση ακροδεκτών 400V (πολική) για ρεύμα διέγερσης 2,84Α. Από την χαρακτηριστική διακένου: τάση ακροδεκτών 367V (πολική) για ρεύμα διέγερσης 2,2Α. Από την χαρακτηριστική βραχυκύκλωσης Ρεύμα στάτη, Α Ρεύμα διέγερσης, Α 2,2 2,84 Να προσδιοριστεί η ακόρεστη και κορεσμένη σύγχρονη αντίδραση της μηχανής σε pu και σε Ωμ. Επίσης να υπολογιστεί ο λόγος βραχυκύκλωσης.

26 Πρόβλημα 7. Ευθεία Διακένου Καμπύλη ανοικτού κυκλώματος Ακόρεστη Σύγχρονη Αντίδραση Χ s,u = Oa O b = V ag I sc Καμπύλη βραχυκύκλωσης (V ag Φασική τάση)

27 Πρόβλημα 7. Κορεσμένη Σύγχρονη Αντίδραση Χ s = V t,oν Ο c = V t,ον I sc (V t,ον Φασική τάση) Λόγος Βραχυκύκλωσης SCR Of Of ' ''

28 Πρόβλημα 7. Λύση Για ρεύμα διέγερσης 2.2 Α (Οf) έχουμε: από την χαρακτηριστική διακένου τάση 367V (=Οα) από την χαρακτηριστική βραχυκύκλωσης 65 Α (=Ο b) Επομένως η ακόρεστη τιμή της σύγχρονης αντίδρασης είναι: Χ s,u = Oa O b = 367/ 3 65 = 3.26Ω/ph

29 Πρόβλημα 7. Η βάση του ρεύματος στάτη της μηχανής είναι: Ι Β = S 3 V ον = = 65 Α (=ονομαστικό ρεύμα) Η βάση της τάσης της μηχανής είναι: V Β = = 231 V Η αντίσταση βάσης της μηχανής είναι: Ζ Β = V Β Ι Β = 3,55 Ω Άρα η ακόρεστη τιμή της σύγχρονης αντίδρασης σε pu είναι: Χ s,u,pu = X s = 3.26 Z B 3.55 = pu

30 Πρόβλημα 7. Για ρεύμα διέγερσης 2,84 Α (=Of ) έχουμε: από την χαρακτηριστική της εν κενώ λειτουργίας τάση 400V (=V t,ον ) και από την χαρακτηριστική βραχυκύκλωσης ρεύμα στάτη 84 Α (=Ο c). Επομένως η κορεσμένη τιμή της σύγχρονης αντίδρασης είναι Χ s = V t,oν Ο c = 400/ 3 84 = 2.75 Ω/ph Άρα η κορεσμένη τιμή της σύγχρονης αντίδρασης σε pu είναι: Χ s,pu = X s = 2.75 Z B 3.55 = pu

31 Πρόβλημα 5.7 Ο λόγος βραχυκύκλωσης είναι: SCR = Οf Of 2,84 2,2 = Το αντίστροφο του SCR είναι 1/SCR=0.774 όσο δηλαδή η κορεσμένη σύγχρονη αντίδραση σε pu.

32 Πρόβλημα 8. Η γεννήτρια του προβλήματος 7 έχει απώλειες βραχυκύκλωσης 1,8kW στους 70 C με ρεύμα στάτη 65 Α. Η dc αντίσταση των τυλιγμάτων είναι 0,09Ω/φάση στους 25 C. Να υπολογισθεί η ισοδύναμη ac αντίσταση των τυλιγμάτων στους 70 C και να συγκριθεί με την dc αντίσταση. Λύση Οι απώλειες ανά φάση είναι 600 W. Η Ra,ac σε Ωμ μπορεί να βρεθεί από την (5.45) ως: R a,ac = (απώλειες λόγω ρεύματος βραχυκύκλωσης)/(ρεύμα βραχυκύκλωσης) 2 R a,ac = = 0,142 Ω Απώλειες λόγω επιδερμικού φαινομένου Απώλειες λόγω ροής σκέδασης Απώλειες δινορευμάτων (Φαινόμενο γειτνίασης) Πρόσθετες απώλειες

33 Πρόβλημα 8. Η dc αντίσταση στους 70 C δίνεται από την (5.44) R R R Ω R a,ac R dc = 0,142 0,106 = 1,34 Παρατηρούμε ότι οι πρόσθετες απώλειες ισοδυναμούν με αύξηση της dc αντίστασης των τυλιγμάτων του στάτη κατά 34%