Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Ολοκληρώματα Lommel Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3 Ενότητα 7 1 Ολοκληρώµατα Lommel Πρόταση 1.1: Να δειχθεί ότι ισχύει : (β 2 α 2 ) όπου α, β σταθερές και α β. zj ν (αz)j ν (βz) = γ [ αj ν(αγ)j ν (βγ) βj ν(βγ)j ν (αγ) ], ν > 1 (1.1) Απόδειξη. Θεωρούµε τις δ.ε. Bessel z 2 u (z) + zu (z) + (α 2 z 2 ν 2 )u(z) = (1.2) z 2 v (z) + zv (z) + (β 2 z 2 ν 2 )v(z) =, (1.3) οι οποίες έχουν αντίστοιχα λύσεις τις συναρτήσεις : u(z) = J ν (αz) και v(z) = J ν (βz). Πολλαπλασιάζουµε την (1.2) µε v(z), την (1.3) µε u(z), οπότε : z 2 u (z)v(z) + zu (z)v(z) + (α 2 z 2 ν 2 )u(z)v(z) = z 2 v (z)u(z) + zv (z)u(z) + (β 2 z 2 ν 2 )v(z)u(z) = και αφαιρούµε κατά µέλη : z 2[ u (z)v(z) v (z)u(z) ] + z [ u (z)v(z) u(z)v (z) ] + (α 2 β 2 )z 2 u(z)v(z) = = z d { z [ u (z)v(z) u(z)v (z) ]} = (β 2 α 2 )zu(z)v(z). Ολοκληρώνουµε την προκύπτουσα ως προς z από έως γ, οπότε : (β 2 α 2 ) zu(z)v(z) = z [ u (z)v(z) u(z)v (z) ] γ z=. (1.4) Θέτουµε όπου u(z) = J ν (αz), u (z) = αj ν(αz) και v(z) = J ν (βz), v (z) = βj ν(βz), οπότε η ισότητα (1.4) µας δίνει : (β 2 α 2 ) η οποία είναι η αποδεικτέα. Πρόταση 1.2: Να δειχθεί ότι ισχύει : zj ν (αz)j ν (βz) = γ [ αj ν(αγ)j ν (βγ) βj ν(βγ)j ν (αγ) ], 2α 2 zjν 2 (αz) = γ 2 α 2( J ν(αγ) ) 2 + (α 2 γ 2 ν 2 )Jν 2 (αγ), ν > 1 (1.5) όπου α σταθερά. 56

4 Απόδειξη. Θεωρούµε τη δ.ε. (1.2) η οποία έχει λύση την u(z) = J ν (αz). Πολλαπλασιάζουµε την (1.2) µε 2u (z), οπότε προκύπτει : 2z 2 u (z)u (z) + 2z ( u (z) ) 2 + 2(α 2 z 2 ν 2 )u(z)u (z) =. Προσθέτουµε και αφαιρούµε τον όρο 2α 2 zu 2 (z), οπότε : 2z 2 u (z)u (z) + 2z ( u (z) ) 2 + 2(α 2 z 2 ν 2 )u(z)u (z) + 2α 2 zu 2 (z) 2α 2 zu 2 (z) = d [ ( z 2 u (z) ) 2] d [ + (α 2 z 2 ν 2) u 2 (z) ] 2α 2 zu 2 (z) = d { ( z 2 u (z) ) 2 + (α 2 z 2 ν 2) u 2 (z) } = 2α 2 zu 2 (z). Ολοκληρώνοντας την τελευταία ισότητα ως προς z από έως γ, έχουµε : 2α 2 zu 2 (z) = [ z 2( u (z) ) 2 + (α 2 z 2 ν 2) u 2 (z) ] γ z=. (1.6) Λαµβάνοντας υπ όψιν µας ότι : u(z) = J ν (αz) και u (z) = αj ν(αz), η (1.6) γίνεται : 2α 2 zjν 2 (αz) = γ 2 α 2( J ν(αγ) ) 2 + (α 2 γ 2 ν 2 )Jν 2 (αγ), η οποία είναι η αποδεικτέα. Σηµείωση 1.1: Την προϋπόθεση ν > 1 στα ολοκληρώµατα Lommel, την ϑεωρού- µε για τη σύγκλιση των δυναµοσειρών, που υπάρχουν στο δεξί µέλος των (1.1) και (1.5). Παρατήρηση 1.1: Ισχύουν αντίστοιχα ολοκληρώµατα Lommel για τις τροποποιη- µένες συναρτήσεις Bessel και αποδεικνύονται οµοίως, λαµβάνοντας υπ όψιν µας την τροποποιηµένη δ.ε. Bessel. Ασκηση Να δειχθεί ότι ισχύει : 1. (α 2 β 2 ) xi n (αx)i n (βx) = γ [ βi n(βγ)i n (αγ) αi n (βγ)i n(αγ) ], 2. 2α 2 xin(αx) 2 = (α 2 γ 2 + n 2 )In(αγ) 2 α 2 γ 2( I n(αγ) ) 2, όπου n > 1 και α β. 57

5 Λύση : 1. Θεωρούµε τις δ.ε. Bessel x 2 u (x) + xu (x) (α 2 x 2 + n 2 )u(x) = (1.7) x 2 v (x) + xv (x) (β 2 x 2 + n 2 )v(x) =, (1.8) οι οποίες έχουν αντίστοιχα λύσεις τις συναρτήσεις : u(x) = I n (αx) και v(x) = I n (βx). Πολλαπλασιάζουµε την (1.7) µε v(x), την (1.8) µε u(x), οπότε : x 2 u (x)v(x) + xu (x)v(x) (α 2 x 2 + n 2 )u(x)v(x) = x 2 v (x)u(x) + xv (x)u(x) (β 2 x 2 + n 2 )v(x)u(x) = και αφαιρούµε κατά µέλη : x 2[ u (x)v(x) v (x)u(x) ] + x [ u (x)v(x) u(x)v (x) ] (α 2 β 2 )x 2 u(x)v(x) = = x d { x [ u (x)v(x) u(x)v (x) ]} = (α 2 β 2 )xu(x)v(x). Ολοκληρώνουµε την προκύπτουσα ως προς x από έως γ, οπότε : (α 2 β 2 ) xu(x)v(x) = x [ u (x)v(x) u(x)v (x) ] γ x=. (1.9) Θέτουµε όπου u(x) = I n (αx), u (x) = αi n(αx) και v(x) = I n (βx), v (x) = βi n(βx), οπότε η ισότητα (1.9) µας δίνει : (α 2 β 2 ) xi n (αx)i n (βx) = γ [ βi n(βγ)i n (αγ) αi n (βγ)i n(αγ) ]. 2. Θεωρούµε τη δ.ε. (1.7) η οποία έχει λύση την u(x) = I n (αx). Πολλαπλασιάζουµε την (1.7) µε 2u (x), οπότε προκύπτει : 2x 2 u (x)u (x) + 2xu (x)u (x) 2(α 2 x 2 + n 2 )u(x)u (x) =. Προσθέτουµε και αφαιρούµε τον όρο 2α 2 xu 2 (x), οπότε : 2x 2 u (x)u (x) + 2x ( u (x) ) 2 2(α 2 x 2 + n 2 )u(z)u (z) + 2α 2 xu 2 (x) 2α 2 xu 2 (x) = d [ ( x 2 u (x) ) 2] d [ (α 2 x 2 + n 2) u 2 (x) ] + 2α 2 xu 2 (x) = d { (α 2 x 2 + n 2) u 2 (x) x 2( u (x) ) 2 } = 2α 2 xu 2 (x). Ολοκληρώνοντας την τελευταία ισότητα ως προς x από έως γ, έχουµε : 2α 2 xu 2 (x) = [ (α 2 x 2 + n 2) u 2 (x) x 2( u (x) ) 2 ] γ x=. (1.1) Λαµβάνοντας υπ όψιν µας ότι : u(x) = I n (αx) και u (x) = αi n(αx), η (1.1) γίνεται : 2α 2 xin(αx) 2 = (α 2 γ 2 + n 2 )In(αγ) 2 α 2 γ 2( I n(αγ) ) 2. 58

6 Βιβλιογραφία Μασσαλάς Χ. (21) Ειδικές Συναρτήσεις, Cutenberg. Σιαφαρίκας Π. (29) Ειδικές Συναρτήσεις, Εκδόσεις Πανεπιστηµίου Πατρών. Hochstadt H. (1986) The function of Mathematical Physics, Dover Publications, Inc. N.Y.. Lebedev N.N. (1972) Special functions and their Applications, Dover Publications. Luke Y. L. (1969) The special functions and their Approximations-Volume I, Academic Press. Watson G. N. (1966) A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press. 59