Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι"

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. γραμμικές 1 ης τάξης, Σ.Δ.Ε. Bernoulli και Riccatti Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3 2.5 Γραµµικές Σ..Ε. πρώτης τάξης Ορισµός 2.5 Γραµµική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης λέγεται η δ.ε. που είναι γραµµική συνάρτηση ως προς y, y. Η γραµµική Σ..Ε. πρώτης τάξης έχει την µορφή : a 1 (x)y (x) + a 0 (x)y(x) = g(x) (2.25) µε a 1 (x), a 0 (x), g(x) πραγµατικές συναρτήσεις και a 1 (x) 0. Η αντίστοιχη οµογενής της (2.25) είναι a 1 (x)y (x) + a 0 (x)y(x) = 0 (2.26) (i) Αν a 0 (x) = a 1(x), τότε η (2.25) επιλύεται αµέσως, διότι µπορεί να γραφεί : a 1 (x)y (x) + a 1(x)y(x) = g(x) (a 1 (x)y(x)) = g(x) Η γενική λύση αυτής προκύπτει ολοκληρώνοντας ως προς x: ηλαδή a 1 (x)y(x) = g(x)dx + c y(x) = 1 [ a 1 (x) ] g(x)dx + c. (ii) Αν αυτό δεν συµβαίνει, τότε η (2.25) µπορεί πάντα να γραφεί στην µορφή : όπου a(x) = a 0(x) a 1 (x) y (x) + a(x)y(x) = b(x) (2.27) και b(x) = g(x) a 1 (x). Θεώρηµα 2.3 Η γραµµική Σ..Ε. (2.27) δέχεται πολ/στή µ(x) = e a(x)dx (2.28) και έχει για γενική λύση την συνάρτηση : [ y(x) = e a(x)dx c + ] b(x)e a(x)dx dx (2.29) Απόδειξη Η (2.27) γράφεται : y (x) + a(x)y(x) = b(x) dy + (a(x)y b(x)) dx = 0 (2.30) 37

4 Θέτουµε P (x, y) = a(x)y b(x) και Q(x, y) = 1, και παρατηρούµε ότι P (x, y) Q(x, y) = a(x) και = 0, δηλαδή δεν είναι ακριβής. Οµως y x P (x, y) Q(x, y) y x Q(x, y) = a(x) 1 = a(x) δηλαδή συνάρτηση του x, οπότε η (2.30) ϑα δέχεται πολ/στή µ(x) = e a(x)dx. Πολ/ντας και τα δύο µέλη της (2.27) µε τον πολ/τή αυτό, έχουµε : e a(x)dx y (x)+e a(x)dx a(x)y(x) = e a(x)dx b(x) ( e a(x)dx y(x) ) = b(x)e a(x)dx, οπότε ολοκληρώνοντας ως προς x προκύπτει e a(x)dx y(x) = b(x)e a(x)dx dx + c [ ] y(x) = e a(x)dx b(x)e a(x)dx dx + c, που είναι η (2.29). 1 Σηµείωση 2.5 Από την (2.28), έπεται ότι µ(x) = a(x)dx e 0, άρα η γραµ- µική Σ..Ε. πρώτης τάξης δεν έχει ιδιάζουσες λύσεις. Σηµείωση 2.6 Η γενική λύση της (2.27) γράφεται ως το άθροισµα της λύσης της αντίστοιχης οµογενούς και µιας µερικής λύσης της µη οµογενούς. Πράγ- µατι, η (2.29) γράφεται : y(x) = ce a(x)dx + e a(x)dx b(x)e a(x)dx dx y(x) = y o (x) + y µ (x), όπου y o (x) = ce a(x)dx. Αυτή είναι η λύση της αντίστοιχης οµογενούς, της (2.27), όπως προκύπτει από την γενική λύση (2.29) αν ϑέσουµε b(x) = 0. Η y µ (x) = e a(x)dx b(x)e a(x)dx dx είναι µερική λύση της (2.27), διότι αν την αντικαταστήσουµε στο πρώτο µέλος στην (2.27), έχουµε : y µ(x) + a(x)y µ (x) = 38

5 ( e a(x)dx a(x)e a(x)dx a(x)e a(x)dx b(x)e dx) a(x)dx + a(x)e a(x)dx b(x)e a(x)dx dx = b(x)e a(x)dx dx + b(x)e a(x)dx e a(x)dx + b(x)e a(x)dx dx = b(x) που είναι το δεύτερο µέλος της (2.27). Σηµείωση 2.7 Μια Σ..Ε. µπορεί να µην είναι γραµµική ως προς y(x), αλλά ως προς x(y), οπότε ϑα έχει την µορφή : x (y) + a(y)x(y) = b(y) ϑα δέχεται τον πολ/στή µ(y) = e a(y)dy και έχει για γενική λύση την συνάρτηση : [ ] x(y) = e a(y)dy c + b(y)e a(y)dy dy. Σηµείωση 2.8 Αν στη γραµµική Σ..Ε. (2.25) η συνάρτηση a(x) ή η b(x) ή και οι δύο αυτές είναι ασυνεχείς, και x 0 είναι το σηµείο ασυνέχειας, τότε ϐρίσκουµε την γενική λύση της Σ..Ε. για x < x 0 και για x > x 0 και κατόπιν Ϲητούµε οι δύο λύσεις να είναι συνεχείς στο σηµείο x 0. Αυτό το επιτυγχάνου- µε για κατάλληλη επιλογή των σταθερών. Παράδειγµα 30 Να λυθεί η Σ..Ε. y + y x = 2x, x 0 Παρατηρούµε ότι η δοθείσα Σ..Ε. είναι γραµµική ως προς y(x) µε a(x) = 1 x και b(x) = 2x. Άρα δέχεται πολ/στή µ(x) = e 1 x dx = x και πολ/ντας και τα δύο µέλη της δοθείσας Σ..Ε. µε x, παίρνουµε : y + y x = 2x xy + y = 2x 2 (xy) = 2x 2 Ολοκληρώνουµε ως x και έχουµε : 39

6 xy = 2x 2 dx + c xy = 2 3 x3 + c y = 2 3 x2 + c x, που είναι η γενική λύση της δοθείσας δ.ε. ( π ) Παράδειγµα 31 Να λυθεί το Π.Α.Τ. (1 + x 2 )dy + 2xydx = cotxdx, y = 0. 2 Η δοθείσα Σ..Ε. γράφεται : (1 + x 2 )dy + 2xydx = cotxdx (1 + x 2 )y + 2xy = cotx (1) η οποία είναι γραµµική µε a 1 (x) = 1 + x 2, a 0 = 2x και b(x) = cotx. Παρατηρούµε ότι a 0 (x) = a 1(x), οπότε η (1) γίνεται : ( (1+x )y) 2 = cotx (1+x 2 )y = cotxdx+c (1+x 2 )y = ln sinx +c (2) Εφαρµόζοντας την αρχική συνθήκη στην (2) προκύπτει c = 0, οπότε η λύση του Π.Α.Τ., προκύπτει από την (2) για c = 0,δηλαδή : y = ln sinx 1 + x 2. Παράδειγµα 32 Να λυθεί η Σ..Ε. (x + 2y 3 ) dy dx = y (1) Παρατηρούµε ότι η Σ..Ε. (1) δεν είναι γραµµική ως προς y(x). Οµως µπορεί να γραφεί ως εξής : (x + 2y 3 ) dy dx = y (x + 2y3 ) = y 1 y x + 2y 3 = y dx dy y dx dy x = 2y3 dx dy 1 y x = 2y2 (2) Η Σ..Ε. (2) είναι γραµµική ως προς x(y), άρα δέχεται πολ/στή 40

7 µ(y) = e 1 y dy = 1 y και πολ/ντας και τα δύο µέλη της, µε αυτόν, έχουµε : 1 dx y dy 1 ( ) 1 y x = 2y 2 y x(y) = 2y 1 y x(y) = y2 + c x(y) = y 3 + cy, που είναι η λύση της δοθείσας Σ..Ε.. Παράδειγµα 33 Να λυθεί το Π.Α.Τ. y + y = b(x) = y(0) = 0. 2, x [0, 1] 0, x > 1, Επειδή η συνάρτηση b(x) είναι ασυνεχής, ϑα λύσουµε την Σ..Ε. (α) όταν x [0, 1] και (ϐ) όταν x > 1. Ετσι (α) όταν x [0, 1] έχουµε : y + y = 2 Η γραµµική Σ..Ε. δέχεται πολ/στή µ(x) = e dx = e x, οπότε γίνεται y + y = 2 e x y + e x y = 2e x (e x y) = 2e x Ολοκληρώνοντας έχουµε e x y = 2 e x dx + c e x y = 2e x + c y = ce x + 2 (1) (ϐ) όταν x > 1 έχουµε : y + y = 0, οπότε εργαζόµενοι όπως στην (α) πε- ϱίπτωση η λύση προκύπτει : y = c 1 e x (2) Επειδή η λύση ϑέλουµε να είναι συνεχής στο σηµείο x 0 = 1, από τις (1) και (2) ϑα ϐρούµε µια σχέση ανάµεσα στις δύο σταθερές c και c 1. Πράγµατι : lim x 1 y(x) = lim x 1 +y(x) lim x 1 (ce x + 2) = lim x 1 +(c 1 e x ) ce = c 1 e 1 c 1 = c + 2e 41

8 Οπότε η (2) γίνεται y = (c + 2e)e x (3) και η γενική λύση της δ.ε. είναι : ce x + 2, x [0, 1] y(x) = (c + 2e)e x, x > 1 Οµως y(0) = 0, οπότε απ την (1) έχουµε : 0 = c + 2 c = 2 και τελικά η λύση του δοθέντος Π.Α.Τ. είναι : 2 2e x, x [0, 1] y(x) = (2e 2)e x, x > 1 Παράδειγµα 34 Να δείξετε ότι κάθε λύση της Σ..Ε. y (x) + ay(x) = be γx, όπου a γ και a > 0, γ > 0, b R, τείνει στο µηδέν όταν το x τείνει στο +. Η δοθείσα Σ..Ε. είναι γραµµική ως προς y(x), δέχεται πολ/στή µ(x) = e adx = e ax και η γενική της λύση ϑα είναι : y (x) + ay(x) = be γx (e ax y) = be (a γ)x e ax y = be(a γ)x a γ + c y(x) = ce ax + b a γ e γx Παίρνοντας στην τελευταία ισότητα το όριο του x +, λόγω των προυποθέσεων που πληρούν τα a, b, γ, έχουµε e ax 0 και x + e γx 0, x + οπότε προκύπτει το Ϲητούµενο αποτέλεσµα. Παράδειγµα 35 Να λυθεί η Σ..Ε. xy + y = 3xcos2x. Η δοθείσα Σ..Ε. µπορεί να γραφεί : 42

9 (xy) = 3xcos2x, οπότε ολοκληρώνοντας : xy = 3xcos2xdx + c xy = xsin2x 2 sin2xdx + c xy = 3 2 xsin2x cos2x + c y = 3 2 sin2x + 3 cos2x + c 4 x x. Παράδειγµα 36 Να λυθεί η Σ..Ε. (1 + x 2 )y + 4xy = (1 + x 2 ) 2. Η δοθείσα Σ..Ε. µπορεί να γραφεί : y + 4x 1 + x y = 1 2 (1 + x 2 ) 3 Η Σ..Ε. είναι γραµµική ως προς y(x), δέχεται πολ/στή µ(x) = e 4x 1+x 2 dx = e 2ln(1+x2) = (1 + x 2 ) 2 και η γενική της λύση ϑα είναι : (1 + x 2 ) 2 y + 4x(1 + x 2 )y = x 2 (1 + x 2 ) 2 y = ( ) (1 + x 2 ) 2 y = x 2 dx 1 + x + c y = c 2 (1 + x 2 ) + arctanx 2 (1 + x 2 ). 2 Παράδειγµα 37 Να λυθεί το Π.Α.Τ. xy + y = x 1, x > 0, y(2) = 2. Θα λύσουµε την Σ..Ε. (α) όταν 0 < x < 1 και (ϐ) όταν x > 1. Ετσι (α) όταν 0 < x < 1 έχουµε : xy +y = 1 x (xy) = 1 x xy = x x2 2 +c 1 y = 1 x 2 + c 1 x (1) (ϐ) όταν x > 1 έχουµε : xy + y = x 1 (xy) = x 1 xy = x2 2 x + c 2 y = x c 2 x (2) 43

10 Επειδή ϑέλουµε η λύση να είναι συνεχής στο σηµείο x 0 = 1, από τις (1) και (2) ϑα ϐρούµε µια σχέση ανάµεσα στις δύο σταθερές c 1 και c 2. Πράγµατι : lim x 1 y(x) = lim x 1 +y(x) c 1 = c 2 c 2 = c Οπότε η (2) γίνεται y = x c x και η γενική λύση της δ.ε. είναι : 1 x 2 + c 1, x [0, 1] x y(x) = x c x, x 1 Οµως y(2) = 2, οπότε απ την δεύτερη έχουµε : 2 = c = c c 1 = 3 και τελικά η λύση του Π.Α.Τ. είναι : 2 1 x 2 + 3, x [0, 1] x y(x) = x x, x Μορφές Σ..Ε. που ανάγονται σε γραµµικές πρώτης τάξης Σ..Ε. Bernoulli Η µορφή αυτής της Σ..Ε. είναι y (x) + a(x)y(x) = b(x)y n (x), n 0, 1 (2.31) όπου a(x) και b(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις. Αν n = 0 η (2.31) γίνεται γραµµική και αν n = 1 γίνεται χωριζοµένων µεταβλητών. Για να λύσουµε την (2.31), ακολουθούµε τα παρακάτω ϐήµατα : (α) πολ/µε και τα δύο µέλη της (2.31) µε y n (x), οπότε : y n (x)y (x) + a(x)y n+1 (x) = b(x) (2.32) 44

11 (ϐ) ϑέτουµε y n+1 (x) = z(x), παραγωγίζουµε ως προς x, ( n + 1)y n (x)y (x) = z (x) και αντικαθιστούµε στην (2.32), οπότε : 1 n + 1 z (x) + a(x)z(x) = b(x) z (x) = ( n + 1)a(x)z(x) = ( n + 1)b(x) (γ) λύνουµε την προκύπτουσα Σ..Ε., η οποία είναι γραµµική ως προς z(x) και τελικά η y(x) ϑα είναι : y n+1 1 (x) = z(x) y(x) = (z(x)) n+1. Σηµείωση 2.9 Μερικές ϕορές αντί να έχουµε Σ..Ε. Bernoulli ως προς y(x), µπορεί να έχουµε Σ..Ε. Bernoulli ως προς x(y), δηλαδή να έχει την µορφή : x (y) + a(y)x(y) = b(y)x n (y), Η λύση της οποίας γίνεται µε ανάλογο τρόπο όπως της (2.31). Παράδειγµα 38 Να λυθεί η Σ..Ε. y xy = x 3 y 3. Η δοθείσα Σ..Ε. είναι Bernoulli ως προς y(x), οπότε πολ/µε και τα δύο µέλη µε y 3 : y xy = x 3 y 3 y 3 y xy 2 = x 3 Θέτουµε y 2 = z(x) ( 2)y 3 y = z και αντικαθιστούµε στην προκύπτουσα Σ..Ε.. Ετσι : y 3 y xy 2 = x z xz = x 3 z + 2xz = 2x 3 Η τελευταία Σ..Ε. είναι γραµµική ως προς z(x). Ο πολ/τής Euler είναι µ(x) = e 2 xdx = e x2, οπότε έχουµε : z + 2xz = 2x 3 ( e x2 z) = 2x 3 e x2 e x2 z = c x 2 e x2 + 2xe x2 dx e x2 z = c x 2 e x2 + e x2 z = ce x2 + 1 x 2 Άρα το γενικό ολοκλήρωµα της αρχικής Σ..Ε. ϑα είναι : 45

12 y 2 = ce x2 + 1 x 2 y 2 = 1 ce x2 + 1 x 2. Παράδειγµα 39 Να λυθεί το Π.Α.Τ. (x 2 y 3 + xy) y = 1, y ( ) 1 = 0. 2 Η δοθείσα Σ..Ε. δεν είναι γραµµική ή Bernoulli ως προς y(x), όµως µπορεί να γραφεί : (x 2 y 3 + xy) y = 1 x = x 2 y 3 + xy x xy = x 2 y 3 η οποία είναι Bernoulli ως προς x(y) και την λύνουµε κατά τα γνωστά : x xy = x 2 y 3 x 2 x yx 1 = y 3. Θέτουµε x 1 = z(y), παραγωγίζουµε ως προς y, άρα : x 2 x = z (y) και αντικαθιστούµε στην προκύπτουσα δ.ε.: z yz = y 3 z + yz = y 3. Αυτή η δ.ε. είναι γραµµική ως προς z(y) µε πολ/τή µ(y) = e y2 2, οπότε : ( ) e y2 2 z = y 3 e y2 2 e y2 2 z = e y2 2 y 3 dy + c e y2 2 z = c y 2 e y2 y 2 + 2e 2 2 z(y) = ce y y 2 x 1 (y) = ce y y 2 1 x(y) = ce y2 2 ( ) + 2 y 2 1 Επειδή δίνεται ότι y = 0, από την τελευταία ισότητα έχουµε : = 1 c + 2 c = 0 και έτσι προκύπτει ότι η λύση του δοθέντος Π.Α.Τ. είναι : x(y) = 1 2 y 2. Παράδειγµα 40 Να λυθεί η Σ..Ε. xy + y = xy 2 lnx. Η δοθείσα Σ..Ε. είναι Bernoulli ως προς y(x), οπότε πολ/µε και τα δύο 46

13 µέλη µε y 2 : y 2 y + 1 x y 1 = lnx Θέτουµε y 1 = u(x) y 2 y = u και αντικαθιστούµε στην προκύπτουσα Σ..Ε. Ετσι : u + 1 x u = lnx u 1 x u = lnx Η τελευταία Σ..Ε. είναι γραµµική ως προς u(x). Ο πολ/τής Euler είναι µ(x) = e dx x = e lnx = 1, οπότε έχουµε : x ( ) 1 x u = lnx x u lnx x = x dx + c 1 u x = x ln2 + c 1 2 u(x) = x 2 ln2 x + c 1 x y(x) = ( x 2 ln2 x + c 1 x) 1. Παράδειγµα 41 Να λυθεί η Σ..Ε. xy y = y 3 e x2. Η δοθείσα Σ..Ε. είναι Bernoulli ως προς y(x), οπότε πολ/µε και τα δύο µέλη µε y 3 : y 3 y xy 2 = e x2 Θέτουµε y 2 = u(x) 2y 3 y = u και αντικαθιστούµε στην προκύπτουσα Σ..Ε. Ετσι : xu = e x2 u + 2xu = 2e x2 2 Η τελευταία Σ..Ε. είναι γραµµική ως προς u(x). Ο πολ/τής Euler είναι u µ(x) = e 2 xdx = e x2, οπότε έχουµε : (e x2 u) = 2 e x2 u = 2x + c u = (2x + c)e x2 y 2 = (2x + c)e x2 47

14 2.6.2 Σ..Ε. Riccatti Η Σ..Ε. Riccatti έχει τη µορφή : y (x) = σ 0 (x) + σ 1 (x)y(x) + σ 2 (x)y 2 (x) (2.33) όπου σ i (x) i = 0, 1, 2 είναι γνωστές συνεχείς συναρτήσεις. Την γενική λύση της Σ..Ε. µπορούµε να την υπολογίσουµε στις παρακάτω περιπτώσεις : (α) Αν y 1 (x) είναι µια ειδική λύση της (2.33), τότε ϑέτουµε y(x) = y 1 (x) + u(x) (2.34) και η Σ..Ε. (2.33) µετασχηµατίζεται σε Σ..Ε. Bernoulli ως προς u(x). Πράγµατι, αντικαθιστώντας την (2.34) στην (2.33) προκύπτει : y 1(x)+u (x) = σ 0 (x)+σ 1 (x)(y 1 (x)+u(x))+σ 2 (x)(y 2 1(x)+u 2 (x)+2y 1 (x)u(x)) Λαµβάνοντας υπ όψιν µας ότι η y 1 (x) είναι µια ειδική λύση της (2.33), δηλαδή ισχύει y 1(x) = σ 0 (x) + σ 1 (x)y 1 (x) + σ 2 (x)y 2 1(x) η παραπάνω Σ..Ε. γίνεται : u (x) = σ 1 (x)u(x) + σ 2 (x)(u 2 (x) + 2y 1 (x)u(x)) u (x) [σ 1 (x) + 2y 1 (x)]u(x) = σ 2 (x)u 2 (x) (2.35) η οποία είναι Σ..Ε. Bernoulli ως προς u(x). Βρίσκουµε την u(x) από την (2.35), αντικαθιστούµε στην (2.34) και παίρνουµε τη γενική λύση της (2.33). (ϐ) Αν y 1 (x) είναι µια ειδική λύση της (2.33), τότε ϑέτουµε y(x) = y 1 (x) + 1 u(x) (2.36) και η Σ..Ε. (2.33) µετασχηµατίζεται σε Σ..Ε. γραµµική ως προς u(x) την οποία επιλύουµε κατά τα γνωστά και από την (2.36) ϐρίσκουµε την γενική λύση της (2.33). Πράγµατι, αντικαθιστώντας την (2.36) στην (2.33) προκύπτει : 48

15 ( y 1(x) u (x) u 2 (x) = σ 0(x)+σ 1 (x) y 1 (x) + 1 ) ( +σ 2 (x) y 2 u(x) 1(x) + 1 ) u 2 (x) + 2y 1 1(x) u(x) Λαµβάνοντας υπ όψιν µας ότι η y 1 (x) είναι µια ειδική λύση της (2.33), δηλαδή ισχύει y 1(x) = σ 0 (x) + σ 1 (x)y 1 (x) + σ 2 (x)y 2 1(x) η παραπάνω Σ..Ε. γίνεται : ( ) u (x) u 2 (x) = σ 1 1 1(x) u(x) + σ 2(x) u 2 (x) + 2y 1 1(x) u(x) u (x) = σ 1 (x)u(x) + σ 2 (x) + 2σ 2 (x)y 1 (x)u(x) u (x) + [σ 1 (x) + 2σ 2 (x)y 1 (x)]u(x) = σ 2 (x) η οποία είναι Σ..Ε. γραµµική ως προς u(x). (γ) Αν y 1 (x) και y 2 (x) είναι δύο ειδικές λύσεις της (2.33) τότε η γενική λύση αυτής δίνεται από τον τύπο : y(x) y 1 (x) y(x) y 2 (x) = ce σ 2 (x)[y 1 (x) y 2 (x)]dx, c = αυθαίρετη σταθερά (2.37) Πράγµατι, αφού y 1 (x) και y 2 (x) είναι δύο ειδικές λύσεις της (2.33), ϑα την ικανοποιούν και ϑα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις : y (x) y 1(x) = σ 1 (x)(y(x) y 1 (x)) + σ 2 (x)(y 2 (x) y 2 1(x)) y (x) y 2(x) = σ 1 (x)(y(x) y 2 (x)) + σ 2 (x)(y 2 (x) y 2 2(x)) Από όπου προκύπτουν αντίστοιχα : y (x) y 1(x) y(x) y 1 (x) = σ 1(x) + σ 2 (x)(y(x) + y 1 (x)) y (x) y 2(x) y(x) y 2 (x) = σ 1(x) + σ 2 (x)(y(x) + y 2 (x)). Αφαιρούµε τις ανωτέρω ισότητες κατά µέλη και παίρνουµε : 49

16 y (x) y 1(x) y(x) y 1 (x) y (x) y 2(x) y(x) y 2 (x) = σ 2(x)[y 1 (x) y 2 (x)] ή [ ] d ln y(x) y 1 (x) d [ ] ln y(x) y 2 (x) = σ 2 (x)[y 1 (x) y 2 (x)]. dx dx Εφαρµόζοντας ιδιότητες της παραγώγου και της λογαριθµικής συνάρτησης, έχουµε : [ ] d ln y(x) y 1 (x) dx y(x) y 2 (x) = σ 2 (x)[y 1 (x) y 2 (x)]. Ολοκληρώνουµε ως προς x, οπότε παίρνουµε : ln y(x) y 1 (x) y(x) y 2 (x) = σ 2 (x) [y 1 (x) y 2 (x)] dx + c y(x) y 1 (x) y(x) y 2 (x) = ce σ 2 (x)[y 1 (x) y 2 (x)]dx η οποία είναι η αποδεικτέα ισότητα. (δ) Ο µετασχηµατισµός y(x) = 1 u (x) σ 2 (x) u(x) (2.38) µετατρέπει την Σ..Ε. (2.33) σε γραµµική οµογενή, δεύτερης τάξης ως προς u(x). Πράγµατι αντικαθιστώντας την y(x) και την παράγωγό της από την (2.38) στην (2.33) έχουµε : σ 2(x) u (x) σ2(x) 2 u(x) 1 u (x) σ 2 (x) u(x) + 1 ( ) u 2 (x) = σ 2 (x) u(x) ( ) 1 u (x) = σ 0 (x) σ 1 (x) σ 2 (x) u(x) + σ 1 u 2 (x) 2(x) σ2(x) 2 u(x) σ 2(x) u (x) σ2(x) 2 u(x) 1 u (x) σ 2 (x) u(x) = σ 1 0(x) σ 1 (x) σ 2 (x) 1 [ σ σ 2 (x) u (x) + 2 (x) σ2(x) + σ 1 1(x) 2 σ 2 (x) u (x) u(x) ] u (x) σ 0 (x)u(x) = 0 η οποία είναι γραµµική οµογενής δεύτερης τάξης ως προς u(x). Σηµείωση 2.10 Η µορφή της ειδικής λύσης εξαρτάται από την µορφή των συ- 50

17 ναρτήσεων σ i (x) i = 0, 1, 2. Ετσι, αν σ i (x) είναι πολυώνυµα του x, Ϲητούµε ειδική λύση της µορφής : y 1 (x) = ax + b. Αν σ i (x) είναι εκθετικής µορφής, Ϲητούµε ειδική λύση της µορφής y 1 (x) = ae bx. Αν σ i (x) είναι ϱητές συναρτήσεις, Ϲητούµε ειδική λύση της µορφής y 1 (x) = ax b. Την µορφή της ειδικής λύσης αυτής την αντικαθιστούµε στην δοθείσα Σ..Ε. και υπολογίζουµε τα a, b. Μερικές ϕορές µια ειδική λύση µπορεί να είναι προφανής. Παράδειγµα 42 Να ϐρεθεί η γενική λύση της Σ..Ε. y y 2 +2e x y = e 2x +e x. Η κανονική µορφή της δοθείσας δ.ε. είναι : y = y 2 + 2e x y e 2x e x Η ειδική λύση ϑα είναι της µορφής : y 1 (x) = ae bx. Παραγωγίζουµε ως προς x: y 1(x) = abe bx και αντικαθιστούµε στην δοθείσα Σ..Ε. Εχουµε λοιπόν : abe bx ( ae bx) 2 + 2e x ae bx = e 2x + e x abe bx a 2 e 2bx + 2abe (b+1)x = e 2x + e x Μας ενδιαφέρει να ϐρούµε τουλάχιστον µια ειδική λύση, άρα αρκεί να ϐρού- µε ένα a και ένα b για τα οποία ισχύει η παραπάνω σχέση. Παρατηρούµε λοιπόν ότι αν b = 1, τότε ae x a 2 e 2x + 2ae 2x = e 2x + e x { a = 1 a 2 + 2a 1 = 0 οπότε µια ειδική λύση είναι : y 1 (x) = e x. Θέτουµε λοιπόν y(x) = e x + 1 u(x) y (x) = e x u (x) u 2 (x) στην δοθείσα Σ..Ε. και παίρνουµε : a = 1 e x u (x) u 2 (x) e2x 1 u 2 (x) 2ex 1 u(x) + 2e2x + 2e x 1 u(x) = e2x + e x u (x) u 2 (x) 1 u 2 (x) = 0 u (x) + 1 = 0 du = dx u(x) = x + c Και η γενική λύση της δοθείσας Σ..Ε. είναι : 51

18 y(x) = e x 1 + x + c. Παράδειγµα 43 Να λυθεί η Σ..Ε. y + 2y 2 = 1 x 2. Ζητούµε ειδική λύση της µορφής y = ax b y = abx b 1 και αντικαθιστούµε στην Σ..Ε. για να υπολογίσουµε τα a και b. Ετσι : abx b 1 + 2a 2 x 2b = x 2 a = 1 Αν b = 1, τότε a + 2a 2 1 = 0 a = 1. Άρα παίρνουµε δύο 2 ειδικές λύσεις : y 1 (x) = 1 x και y 2(x) = 1 και η γενική λύση της δοθείσας 2x Σ..Ε. ϑα δίνεται από τον τύπο (2.37). Ετσι : y(x) 1 x y(x) + 1 2x y(x) 1 x y(x) + 1 2x = ce 2[ 1 x + 1 2x ]dx = c x 3 y(x) 1 x 3 2x y(x) 1 x y(x) + 1 2x = ce 3lnx = c x 3 c y(x) = 1 x + 3c 2x(x 3 c) ( ) 1 Παράδειγµα 44 Να λυθεί η Σ..Ε. y = (1 y) x + 1 y Παρατηρούµε ότι η y = 1 είναι ειδική λύση της δ.ε. που είναι Riccati, διότι µπορεί να γραφτεί : y = 1 x + 1 ( 1 x + 2 )y + y 2, οπότε ϑέτουµε : y(x) = u(x) y (x) = u (x) u 2 (x) οπότε η δοθείσα µετατρέπεται σε γραµµική, την οποία επιλύουµε : 52

19 u (x) u 2 (x) = 1 ( 1 u(x) x 1 ) ( 1 u (x) = u(x) u(x) x 1 ) u(x) u (x) u(x) x = 1 είναι γραµµική δ.ε. µε πολλαπλασιαστή Euler µ(x) = 1 ( ) x, οπότε 1 x u(x) = 1 x 1 u(x) = ln x + c u(x) = cx xln x x 1 y(x) = 1 + cx xln x. Παράδειγµα 45 Να λυθεί η Σ..Ε. y + x = (1 x)y 2 + (2x 1)y Ζητούµε ειδική λύση της µορφής y = ax + b y = a και αντικαθιστούµε στην Σ..Ε. για να υπολογίσουµε τα a και b. Ετσι : a = x + (2x 1)(ax + b) + (1 x)(a 2 x 2 + b 2 + 2abx) a = x + 2ax 2 + 2bx ax b + a 2 x 2 + b 2 + 2abx ax 3 b 2 x 2abx 2 Αν a = 0, τότε 0 = x + 2bx b + b 2 b 2 x 0 = b + b 2 + ( 1 + 2b b 2 )x { 1 + 2b b 2 = 0 b + b 2 = 0 { (b 1) 2 = 0 b(b 1) = 0 b = 1 που είναι Riccati, οπότε ϑέ- Συνεπώς η y = 1 είναι ειδική λύση της δ.ε. τουµε : y(x) = u(x) y (x) = u (x) u 2 (x) οπότε η δοθείσα µετατρέπεται σε γραµµική, την οποία επιλύουµε : ( u = x + (2x 1) ) ( + (1 x) u2 u u + 2 ) 2 u u 2x 1 = x + 2x x + 1 x 2(1 x) + u2 u u 2 u u u = 1 2 u + 1 x u = u + x 1 u + u = x 1 u 2 είναι γραµµική δ.ε. µε πολλαπλασιαστή Euler µ(x) = e x, οπότε 53

20 (e x u) = (x 1)e x e x u = (x 1)e x e x + c u = x ce x u = x 2 + ce x y = x 2 + ce x. Παράδειγµα 46 Να λυθεί η Σ..Ε. y + e x y 2 y e x = 0 Ζητούµε ειδική λύση της µορφής y = ae bx y = abe bx και αντικαθιστούµε στην Σ..Ε. για να υπολογίσουµε τα a και b. Ετσι : abe bx + e x a 2 e 2bx ae bx e x = 0 a(b 1)e bx + a 2 e (2b 1)x e x = 0 a(b 1)e bx = 0 και a 2 e (2b 1)x e x = 0 b = 1 και a 2 1 = 0 b = 1 και a = ±1. Άρα παίρνουµε δύο ειδικές λύσεις : y 1 (x) = e x και y 2 (x) = e x και η γενική λύση της δοθείσας Σ..Ε. ϑα δίνεται από τον τύπο (2.37). Ετσι : y(x) e x y(x) + e = e x ce x [e x +e x ]dx y(x) = ex + ce x 1 ce 2x y(x) ex y(x) + e = dx x ce 2 y(x) ex y(x) + e x = ce 2x Παράδειγµα 47 Να λυθεί η Σ..Ε. y xy 2 y x + x3 = 0 Ζητούµε ειδική λύση της µορφής y = ax b y = abx b 1 και αντικαθιστούµε στην Σ..Ε. για να υπολογίσουµε τα a και b. Ετσι : abx b 1 xa 2 x 2b 1 x axb + x 3 = 0 abx b 1 a 2 x 2b+1 ax b 1 + x 3 = 0 a(b 1)x b 1 a 2 x 2b+1 + x 3 = 0 a(b 1)x b 1 = 0 και a 2 x 2b+1 + x 3 = 0 b 1 = 0 και a 2 1 = 0 b = 1 και a = ±1. 54

21 Άρα παίρνουµε δύο ειδικές λύσεις : y 1 (x) = x και y 2 (x) = x και η γενική λύση της δοθείσας Σ..Ε. ϑα δίνεται από τον τύπο (2.37). Ετσι : y(x) x y(x) + x = ce x[x+x]dx y(x) x y(x) + x = ce 2x2dx y(x) x y(x) + x y(x) = 2x 3 x(1 + ce 3 ) 1 ce 2x3 3 2x 3 = ce 3 55

22 Ελληνική ϐιβλιογραφία [1] Γ. άσιος, Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Πάτρα, 1985 [2] Θ. Κυβεντίδης, ιαφορικές εξισώσεις, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσ/κη, 1993 [3] Β. Μπαρµπάνης, Μαθήµατα ιαφορικών Εξισώσεων, Πάτρα, 1976 [4] Π. Σιαφαρίκας, Εφαρµογές των Σ..Ε., Τόµος Ι, Πάτρα, 2002 [5] Ν. Σταυρακάκης, Σ Ε : γραµµική και µη γραµµική ϑεωρία από τη ϕύση και τη Ϲωή, Παπασωτηρίου, Αθήνα, 1997 Ξενόγλωσση ϐιβλιογραφία [1] W. E. Boyce, R. C. Di Prima, Elementary differential equations and boundary value problems, N. Y. John Wiley & Sons, 1977 [2] M. Braun, Differential equations and their Applications, Springer-Verlag, 1993 [3] Abell and Braselton, Modern Differential equations, Theory, Application, Technology, Saunders College Publishing, 1996 [4] B. Rai and D. P. Choudhury, Ordinary Differential Equations, An introduction, Alpha Science, International Ltd, 2005 [5] Rice and Strange, Ordinary Differential Equations with Application, Brooks/Cole Publishing Company, 1996

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Εισαγωγικές έννοιες και ταξινόμηση Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης ανώτερου βαθμού, ορθογώνιες τροχιές Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με τη βοήθεια των συναρτήσεων Bessel Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Γεννήτρια συνάρτηση των συναρτήσεων Bessel Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος 2018-2019 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Ρίζες των συναρτήσεων Bessel Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Στοιχειώδεις ειδικές συναρτήσεις Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης

Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Κεφάλαιο 2 Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και θα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη βασικά θεωρήματα αυτών. Το εδάφιο 2.1 ασχολείται με γραμμικές

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της

Διαβάστε περισσότερα

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός 1/8 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.05: Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Συναρτήσεις Bessel ρώτου και δευτέρου είδους Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ 2 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ορια και Συνέχεια 1.1 Ορια Παράδειγµα 1.1. Να υπολογίσετε το x+y lim (x,y) (0,0) x y. Απάντηση: Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα . Σκοποί

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος προσδιορισμού συντελεστών Euler

Μέθοδος προσδιορισμού συντελεστών Euler Μέθοδος προσδιορισμού συντελεστών Euler Η προηγούμενη μέθοδος αν και δεν έχει κανένα περιορισμό για το είδος συνάρτησης του μη ογενούς όρου, μπορεί να οδηγήσει σε πολύπλοκες ολοκληρώσεις, πολλές φορές

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Ολοκληρώματα Lommel Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6 η : Μερική Παράγωγος ΙΙ Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 5: Οι χώροι L p Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

c(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28

c(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης Κεφάλαιο 5 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης Στο κεφάλαιο περιέχεται μία συνοπτική επισκόπηση των γραμμικών Δ.Ε. ανώτερης τάξης, όπου επεκτείνονται με φυσικό και αναμενόμενο τρόπο οι μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό

10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό ο Φροντιστηριο ΗΥ7 - Επαναληπτικό Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 7 Ιανουαρίου 4 Ασκηση. Το σήµα s µεταδίδεται από ένα δορυφόρο αλλά λόγω της επίδρασης του ϑορύβου το λαµβανόµενο σήµα έχει τη µορφή X s + W. Οταν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις

Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 28 Δεκεμβρίου 211 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Ορισμοί.........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις. Σηµειώσεις

Εισαγωγή στις Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις. Σηµειώσεις Εισαγωγή στις Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις Σηµειώσεις Ε. Στεϕανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές αποτελούν εξέλιξη σηµειώσεων οι οποίες χρησιµοποιήθηκαν σε παραδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία με υλικό από το ΕΑΠ που με βοήθησε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία με υλικό από το ΕΑΠ που με βοήθησε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε εξίσωση, η οποία περιλαµβάνει παραγώγους, είναι διαφορική εξίσωση. Έτσι οι εξισώσεις

Κάθε εξίσωση, η οποία περιλαµβάνει παραγώγους, είναι διαφορική εξίσωση. Έτσι οι εξισώσεις ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ µ ÂÓÈÎ ÓÓÔÈÂ Κάθε εξίσωση, η οποία περιλαµβάνει παραγώγους, είναι διαφορική εξίσωση Έτσι οι εξισώσεις d = + t d = 5 (Β) (Β3) d e t = cos (Β) d d = 5 + (Β4) είναι όλες διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 4: Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία... 4

Περιεχόµενα. 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία... 4 Περιεχόµενα 0.1 Υλη του Μαθήµατος :.................................... 1 0.2 Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία................................ 4 1 Βασικές Εννοιες 6 1.1 Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις Εννοιες.............................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 8 : Το ιακριτό Μοντέλο Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα