Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με τη βοήθεια των συναρτήσεων Bessel Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση Δια Βίου Μάθηση» συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο από εθνικούς πόρους.

3 Ενότητα 6 9 ιαφορικές Εξισώσεις η λύση των οποίων δίνεται µε τη ϐοήθεια των συναρτήσεων Bessel Θεώρηµα 9.1: Η γενική λύση της δ.ε. z y z + 1 αzy z + {β γ z γ + α ν γ }yz = 0, 9.1 όπου α, β, γ, ν είναι σταθερές, είναι η µε A, B αυθαίρετες σταθερές. Απόδειξη. Θέτουµε yz = z α uz. αυτής : y z = αz α 1 uz + z α u z, yz = z α [AJ ν βz γ + BJ ν βz γ ], αν ν / Z 9. yz = z α [AJ n βz γ + BY n βz γ ], αν ν = n Z 9.3 y z = αα 1z α uz + αz α 1 u z + z α u z, Παίρνουµε την πρώτη δεύτερη παράγωγο αντίστοιχα, αντικαθιστούµε στη δοθείσα δ.ε., οπότε προκύπτει : = z [αα 1z α uz + αz α 1 u z + z α u z] + 1 αz[αz α 1 uz + z α u z]+ + {β γ z γ + α ν γ }z α uz = 0 z α+ u z + z α+1 u z + {β γ z α+γ ν γ z α }uz = 0 z u z + zu z + {β γ z γ ν γ }uz = 0 9. Θέτουµε βz γ = z γ = β z = 1/γ β 1/γ dz = 1 γ β u z = du dz = dũ d d dz = dũ 1 d γ γ, u z = d u dz = d 1 γ dũ 1 γ γ γ = d d 1 γ dũ 1 γ d + γβ1/γ 1 γ 1 γ 1 dũ d + γ = γ γ dũ d γ γ dũ d + γ γ d ũ d. γ d ũ d 1 γ d, γ 1 γ = 8

4 Αντικαθιστώντας στην 9.: { γ β γ γ d ũ β d γ + γ ν ũ = 0 γ dũ β d + γ γ d ũ d + γ dũ d + γ ν ũ = 0 γ dũ d } + 1 { γ β 1 γ β γ dũ d d ũ d + dũ d + ν ũ = Η γενική λύση της 9.5 είναι : Οπότε, η λύση της 9. είναι : ή ũ = AJ ν + BJ ν, αν ν / Z ũ = AJ n + BY n, αν ν = n Z. uz = AJ ν βz γ + BJ ν βz γ, αν ν / Z uz = AJ n βz γ + BY n βz γ, αν ν = n Z τελικά η γενική λύση της αρχικής δ.ε. 9.1 είναι : yz = z α [AJ ν βz γ + BJ ν βz γ ], αν ν / Z } ή yz = z α [AJ n βz γ + BY n βz γ ], αν ν = n Z. Ασκήσεις Ασκηση 1. Να λυθούν οι παρακάτω.ε. µε τη ϐοήθεια των συναρτήσεων Bessel: 1 y x + 3 x y x + yx = 0, xy x + yx = 0, 3 x y x + x 3 y x yx = 0, x y x xy x + x 5 yx = 0, 5 x 1/ y x + yx = 0, 6 xy x + n + 1y x + yx = 0, 7 y x + x + 1 yx = 0, y0 = 0, y α = x α, 8 x y x + xy x + x 9 yx = 0, 9 x y x xy x + x yx = 0, 10 x y x + x 3/ yx = 0, 11 x y x + 1 nxy x + x yx = 0, x 1 x y x + xy x yx = 0,

5 13 x y x + n x + 1 yx = 0, y0 = 0, y α = α. Λύση : Κάθε Σ..Ε. προσπαθούµε να τη ϕέρουµε στην µορφή 9.1. Ετσι : 1 Πολλαπλασιάζουµε µε x τη δοθείσα.ε., η οποία γίνεται : x y x + 3xy x + x yx = 0. Συγκρίνοντας την προκύπτουσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 έχουµε : 1 a = 3 a = 1, γ = γ = 1, β γ = β = a n γ = 0 n = 1. Συνεπώς, η γενική λύση της δοθείσας δίνεται από τη σχέση yx = x 1 [C 1 J 1 x + C Y 1 x]. Πολλαπλασιάζουµε µε x τη δοθείσα.ε., η οποία γίνεται : x y x + xyx = 0. Συγκρίνοντας την προκύπτουσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 έχουµε : 1 a = 0 a = 1, γ = 1 γ = 1, β γ = 1 β = a n γ = 0 n = 1. Συνεπώς, η γενική λύση της δοθείσας δίνεται από τη σχέση yx = x 1 [C1 J 1 x 1 + C Y 1 x 1 ]. 3 ιαιρούµε µε x τη δοθείσα.ε., η οποία γίνεται : x y x + xy x yx = 0. x Συγκρίνοντας την προκύπτουσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 έχουµε : 1 a = a = 1, γ = γ = 1, β γ = β = i a n γ = 0 n = 1. Συνεπώς, η γενική λύση της δοθείσας δίνεται από τη σχέση yx = x 1 [C1 J 1/ ix 1 + C J 1/ ix 1 ]. Οµως, I n x = i n J n ix, έτσι : J 1/ ix 1 = i 1/ I 1/ x 1 J 1/ ix 1 = i 1/ I 1/ x 1. Άρα, η γενική λύση της.ε. δίνεται από τη σχέση yx = x 1 [C1 i 1/ I 1/ x 1 + C i 1/ I 1/ x 1 yx = x 1 [AI1/ x 1 + BI 1/ x 1. Συγκρίνουµε τη δοθείσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 κι έχουµε : 1 a = 1 a = 1, γ = γ = 1, β γ = 1 β = 1 a n γ = 5 n = 3. Συνεπώς, η γενική της λύση δίνεται από τη σχέση yx = x[c 1 J 3/ x + C J 3/ x]. Οµως, γνωρίζουµε ότι 1 1 J 3/ x = πx x sin x cos x J 3/ x = πx x cos x + sin x. 50

6 Άρα, η γενική λύση της.ε. δίνεται από τη σχέση x 1 1 ] yx = [C 1 π x sin x cos x C x cos x + sin x. 5 Πολλαπλασιάζουµε µε x 3/ τη δοθείσα.ε., η οποία γίνεται : x y x+x 3/ yx = 0. Συγκρίνοντας την προκύπτουσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 έχουµε : 1 a = 0 a = 1, γ = 3 γ = 3, β γ = 1 β = 3 a n γ = 0 n = 3 / Z. Συνεπώς, η γενική λύση της δοθείσας δίνεται από τη σχέση yx = x 1 [C1 J /3 3 x 3 + C J /3 3 x 3 ]. 6 Πολλαπλασιάζουµε µε x τη δοθείσα.ε., η οποία γίνεται : x y x + n + 1xy x + xyx = 0. Συγκρίνοντας την προκύπτουσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 έχουµε : 1 a = n + 1 a = n, γ = 1 γ = 1, β γ = 1 β = a n γ = 0 n n = 0 n. Συνεπώς, η γενική λύση της δοθείσας δίνεται από τη σχέση yx = x n [C1 J n x 1 + C J n x 1 ] αν n / Z, yx = x n [C1 J n x 1 + C Y n x 1 ] αν n Z. 7 Πολλαπλασιάζουµε µε x τη δοθείσα.ε., η οποία γίνεται : x y x + x + 1 yx = 0, y0 = 0. Συγκρίνοντας την προκύπτουσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 έχουµε : 1 a = 0 a = 1, γ = γ =, β γ = 1 β = 1 a n γ = 1 n = 0. Συνεπώς, yx = x[c 1 J 0 1 x + C Y 0 1 x ]. Επειδή y0 = 0 Y n 0 απειρίζεται, άρα η Y 0 0, ϑα πρέπει C = 0. Εποµένως, 1 yx = C 1 xj0 x. Επίσης, y x = C 1 1 x 1/ J 0 x + C 1 x 1 xj 0 x = y x = C 1 1 x 1/ J 0 x 1 + C 1 x 3/ J 0 x, όµως y α = α, οπότε C 1 α α = α 1/ J 0 + C1 α 3/ J 0α C 1 α = J α 0 + C1 α J 0α α C 1 = J α 0 α J 0 α. Τελικά : yx = J 0 α α x α J 0 α x J 0. 51

7 8 Συγκρίνουµε τη δοθείσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 κι έχουµε : 1 a = 1 a = 0, γ = γ = 1, β γ = 1 β = 1 a n γ = 9 n = 3. Συνεπώς, η γενική της λύση δίνεται από τη σχέση yx = C 1 J 3/ x + C J 3/ x. Οµως, γνωρίζουµε ότι 1 1 J 3/ x = πx x sin x cos x J 3/ x = πx x cos x + sin x. Άρα, η γενική λύση της.ε. δίνεται από τη σχέση yx = x 1/ π [ C1 x C sin x C 1 + C x ] cos x. 9 Συγκρίνουµε τη δοθείσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 κι έχουµε : 1 a = a = 3, γ = γ =, β γ = β = 1 a n γ = n = 5 γενική της λύση δίνεται από τη σχέση / Z. Συνεπώς, η yx = x 3/ [C 1 J 5/ x + C J 5/ x ]. 10 Συγκρίνουµε τη δοθείσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 κι έχουµε : 1 a = 0 a = 1, γ = 3 γ = 3, β γ = 1 β = 3 a n γ = 0 n = 3 γενική της λύση δίνεται από τη σχέση / Z. Συνεπώς, η yx = x 1 [C1 J /3 3 x 3 + C J /3 3 x 3 ]. 11 Συγκρίνουµε τη δοθείσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 κι έχουµε : 1 a = 1 n a = n, γ = γ = 1, β γ = 1 β = 1 a n γ = 0 ισχύει n. Συνεπώς, η γενική της λύση δίνεται από τη σχέση yx = x n [C 1 J n x + C J n x] αν n / Z, yx = x n [C 1 J n x + C Y n x] αν n Z. 1Συγκρίνουµε τη δοθείσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 κι έχουµε : 1 a = 1 a = 0, γ = γ = 1, β γ = 1 β = a n γ = 1 n = 1. Συνεπώς, η γενική της λύση δίνεται από τη σχέση yx = x[c 1 J 1/ x + C J 1/ x ]. Οµως, γνωρίζουµε ότι J 1/ x = πx sin x J 1/x = cos x. πx 5

8 Άρα, η γενική λύση της.ε. δίνεται από τη σχέση [ yx = C 1 sin πx x + C cos x]. Θέτοντας A = C 1 B = C, έχουµε : π π yx = 1 [ A sin x x + B cos x]. 13 Συγκρίνουµε τη δοθείσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 κι έχουµε : 1 a = 0 a = 1, γ = γ = 1, β γ = n β = n a n γ = 1 n = 0. Συνεπώς, yx = x[c 1 J 0 nx + C Y 0 nx]. Επειδή y0 = 0 η Y 0 x απειρίζεται στο µηδέν, έπεται ότι C = 0. Εποµένως, yx = C 1 xj0 nx. Επίσης, y x = C 1 x 1/ J 0 nx + C 1 n xj 0nx, όµως y α = [ 1 α, οπότε α = C1 α 1/ J 0 nα + n αj 0nα α C 1 = J 0 nα + nαj 0nα. Επειδή J 0x = J 1 x, έχουµε : C 1 = Τελικά : yx = α J 0 nα nαj 1 nα. α x J 0 nα nαj 1 nα J 0nx. Ασκηση. Να λυθούν οι παρακάτω.ε. µε τη ϐοήθεια των συναρτήσεων Bessel: 1 y x + e x n yx = 0, y x + λ x e λ x yx = 0, 3 y x + α x y x + be x + Λύση : αα x n yx = 0. 1 Θέτουµε e x = e x dx = d d dx = ex d =, οπότε dx dy dx = dy d dy = ex d dx d = dy d d y dy = ex dx d + d y ex d ex = e x d y dy + ex d d = d y d + dy d. Εποµένως, η αρχική δ.ε. γίνεται : d y d + dy d + n y = 0 d y d + dy d + n y = 0. Συγκρίνοντας την προκύπτουσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 έχουµε : 1 a = 1 a = 0, γ = 1 γ = 1, β γ = 1 β = 1 a n γ = n γενική λύση της δοθείσας δίνεται από τη σχέση y = [C 1 J n 1 + C J n 1 ] αν n / Z, ισχύει n. Συνεπώς, η 53

9 Άρα : y = [C 1 J n 1 + C Y n 1 ] αν n Z. yx = [C 1 J n e x + C J n e x ] αν n / Z, yx = [C 1 J n e x + C Y n e x ] αν n Z. Θέτουµε λ x = λ = x λ dx d = dx d = λ, οπότε dy dx = dy d d dx = dy λ d d y dx = d dx dy d = λ d d dy d λ d dx = dy λ λ d d y 3 dy = λ d λ d + d y λ d. Εποµένως, η αρχική δ.ε. γίνεται : d y λ d + 3 dy λ d + λ e y = 0 d y d + dy d + e y = 0. Αν ϑέσουµε y = ue 1 d = u, τότε αντικαθιστώστας προκύπτει η δ.ε. u + e u = 0. Εδώ ϑέτουµε e = z e = dz, οπότε du d = du dz du du = e = z dz d dz dz d u d = d e du = e du d dz dz + d u du e = z dz dz + d u z dz. Εποµένως, η δ.ε. γίνεται : z d u du + z dz dz + zuz = 0 d u z dz + z du dz + 1 zuz = 0. Συγκρίνοντας την προκύπτουσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 έχουµε : 1 a = 1 a = 0, γ = 1 γ = 1, β γ = 1 β = 1 a n γ = 0 n = 0. Συνεπώς, η γενική λύση της δοθείσας δίνεται από τη σχέση uz = C 1 J 0 z 1/ + C Y 0 z 1/ ή ή Άρα : u = C 1 J 0 e + C Y 0 e y = 1 [ C1 J 0 e + C Y 0 e ]. yx = x λ[ C1 J 0 e λ/x + C Y 0 e λ/x ]. 3 Αν ϑέσουµε yx = uxe 1 µε στη δ.ε. α x dx = uxx α/ παραγωγίζοντας καταλήγου- u x + be x n ux = 0. Εδώ ϑέτουµε e x = z e x = dz, οπότε 5

10 du dx = du dz du = z dz dx dz d u du = z dx dz + d u z. Εποµένως, η δ.ε. γίνεται : dz z d u du + z dz dz + bz n uz = 0 z d u dz + z du dz + b z n uz = 0. Συγκρίνοντας την προκύπτουσα.ε. µε την Σ..Ε. 9.1 έχουµε : 1 a = 1 a = 0, γ = 1 γ = 1, β γ = b β = b a n γ = n ισχύει n. Συνεπώς, η γενική λύση της δοθείσας δίνεται από τη σχέση uz = C 1 J n b z + C J n b z αν n / Z ή Άρα : uz = C 1 J n b z + C Y n b z αν n Z ux = C 1 J n be x + C J n be x αν n / Z ux = C 1 J n be x + C Y n be x αν n Z. yx = x α/ [C 1 J n be x + C J n be x ] αν n / Z yx = x α/ [C 1 J n be x + C Y n be x ] αν n Z. Βιβλιογραφία Μασσαλάς Χ. 010 Ειδικές Συναρτήσεις, Cuenberg. Σιαφαρίκας Π. 009 Ειδικές Συναρτήσεις, Εκδόσεις Πανεπιστηµίου Πατρών. Hochsad H The funcion of Mahemaical Physics, Dover Publicaions, Inc. N.Y.. Lebedev N.N. 197 Special funcions and heir Applicaions, Dover Publicaions. Luke Y. L The special funcions and heir Approximaions-Volume I, Academic Press. Wason G. N A reaise on he heory of Bessel funcions, Cambridge Universiy Press. 55