Οικονομικά Μαθηματικά

Transcript

1 Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 5: Ισοδυναμία Πιστωτικών Τίτλων Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις έννοιες της ισοδυναμίας πιστωτικών τίτλων και του ενιαίου κεφαλαίου. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Ισοδυναμία πιστωτικών τίτλων. Ενιαίο κεφάλαιο. Σχετικά παραδείγματα-ασκήσεις. 5

6 Ισοδυναμία πιστωτικών τίτλων (1) Δυο πιστωτικοί τίτλοι ονομαστικής αξίας Κ 1 και Κ 2 που προεξοφλούνται με το ίδιο τρόπο (εσωτερική ή εξωτερική προεξόφληση). το ίδιο επιτόκιο. σε δεδομένη χρονική στιγμή. είναι ισοδύναμοι εφόσον έχουν την ίδια πραγματική αξία. Η πραγματική αξία είναι η παρούσα αξία όταν ο χρόνος αφορά «το σήμερα». 6

7 Ισοδυναμία πιστωτικών τίτλων (2) Όταν ένας πιστωτικός τίτλος ονομαστικής αξίας Κ 1 έχει πραγματική αξία ίση με το άθροισμα των πραγματικών αξιών πιστωτικών τίτλων ονομαστικής αξίας Κ 2, Κ 3, Κ 4 τότε αυτοί θα ονομάζονται ισοδύναμοι. Η χρονική στιγμή της εξίσωσης των πραγματικών αξιών ονομάζεται εποχή ισοδυναμίας. 7

8 Ισοδυναμία πιστωτικών τίτλων (3) Η ισοδυναμία δυο πιστωτικών τίτλων στην εσωτερική προεξόφληση υπολογίζεται ως εξής: K 1 / (1+i*t 1 ) = K 2 / (1+i*t 2 ) 8

9 Ισοδυναμία πιστωτικών τίτλων (4) Όπου: Κ 1 και Κ 2 οι ονομαστικές (μέλλουσες) αξίες των πιστωτικών τίτλων. t 1, t 2 οι χρόνοι λήξης των πιστωτικών τίτλων. Στην εξωτερική προεξόφληση, η ισοδυναμία δυο πιστωτικών τίτλων Κ 1 και Κ 2 υπολογίζεται ως εξής: K 1 / (1-i*t 1 ) = K 2 / (1-i*t 2 ) 9

10 Παράδειγμα (1) Επιχειρηματίας που αδυνατεί να εξοφλήσει πιστωτικό τίτλο στη λήξη του ζητά την αντικατάστασή του με άλλον που θα λήξει σε περισσότερες μέρες. Συγκεκριμένα, να βρεθεί η ονομαστική αξία πιστωτικού τίτλου 200 ημερών που αντικαθιστά άλλον πιστωτικό τίτλο με ονομαστική αξία 1000 ευρώ και εναπομείναντα χρόνο μέχρι την λήξη του 100 ημέρες. Το ισχύον επιτόκιο είναι ίσο με 10 %. Λύση α) Εύρεση της ονομαστικής αξίας Κ 1 με εφαρμογή της εσωτερικής προεξόφλησης: K 1 / (1+i*t 1 ) = K 2 / (1+i*t 2 ) K 1 / [1+0,10*(200 / 365)]= 1000 /[1+0,10*(100 / 365)] K 1 =[1+0,10*(200 / 365)]* 1000 /[1+0,10*(100 / 365)] = 1026,67 10

11 Παράδειγμα (2) β) Εύρεση της ονομαστικής αξίας Κ 1 με εφαρμογή της εξωτερικής προεξόφλησης: K 1 / (1-i*t 1 ) = K 2 / (1-i*t 2 ) K 1 / [1-0,10*(200 / 365)]= 1000 / [1-0,10*(100 / 365)] K 1 =1000*[1-0,10*(100 / 365)] / [1-0,10*(200 / 365)] = 1028,98 11

12 Ενιαίο κεφάλαιο (1) Όταν η ισοδυναμία ενός πιστωτικού τίτλου αφορά στην αντικατάσταση δυο ή και περισσοτέρων άλλον πιστωτικών τίτλων τότε ο ενιαίος πιστωτικός τίτλος έχει ονομαστική αξία που ονομάζεται ενιαίο κεφάλαιο και λήξη του αντίστοιχα ονομάζεται κοινή λήξη. Στη εσωτερική προεξόφληση, το ενιαίο κεφάλαιο Κ υπολογίζεται ως εξής: K / (1+i*t) = K 1 / (1+i*t 1 ) + K 2 / (1+i*t 2 )+ + K n / (1+i*t n ) 12

13 Ενιαίο κεφάλαιο (2) Όπου Κ 1, Κ 2,,Κ n οι προς αντικατάσταση πιστωτικοί τίτλοι. Αντίστοιχα στη εξωτερική προεξόφληση, το ενιαίο κεφάλαιο Κ υπολογίζεται ως εξής: K / (1-i*t) = K 1 * (1-i*t 1 ) + K 2 * (1-i*t 2 )+ + K n * (1-i*t n ) 13

14 Παράδειγμα 1 (1) Επιχειρηματίας αδυνατώντας να εξοφλήσει πιστωτικούς τίτλους που λήγουν αντίστοιχα σε 70 και 120 ημέρες επιθυμεί την αντικατάστασή τους με έναν πιστωτικό τίτλο μεγαλύτερης διάρκειας, συγκεκριμένα 200 ημερών. Οι ονομαστικές αξίες των προς αντικατάσταση πιστωτικών τίτλων είναι αντίστοιχα αξίας και ευρώ ενώ το ισχύον επιτόκιο είναι ίσο με 8 %. 14

15 Παράδειγμα 1 (2) Λύση α) Η ονομαστική αξία του ενιαίου πιστωτικού τίτλου με εσωτερική προεξόφληση είναι ίση: K / (1+i*t) = K 1 / (1+i*t 1 ) + K 2 / (1+i*t 2 ) K / [1+0,08*(200 / 360)] / [1+0,08*(120 / 360)] K / 1,044= [(2000 / 1,016) +( 3000/ 1,027)] K= 1,044*(2000 / 1,016) +1,044*(3000 / 1,027) K= 2.055, ,66= 5.104,85 15

16 Παράδειγμα 1 (3) β) Η ονομαστική αξία του ενιαίου πιστωτικού τίτλου με εξωτερική προεξόφληση είναι ίση: K *(1-i*t) = K 1 * (1-i*t 1 ) + K 2 * (1-i*t 2 ) K * [1-0,08*(200 / 360)]=2000 * [1-0,08*(70 / 360)] * [1-0,08*(120 / 360)] 0,956K = 2.000*0, *0,973 0,956K= K=5.111,92 16

17 Παράδειγμα 2 (1) Επιχειρηματίας αδυνατώντας να εξοφλήσει πιστωτικούς τίτλους ονομαστικής αξίας και ευρώ αντίστοιχα επιθυμεί την αντικατάστασή τους με έναν πιστωτικό τίτλο ονομαστικής αξίας ευρώ. Να βρεθεί η λήξη του ενιαίου πιστωτικού τίτλου όταν οι λήξεις των προς αντικατάσταση πιστωτικών τίτλων αναφέρονται σε 5 και 6 μήνες από σήμερα και το ισχύον επιτόκιο είναι ίσο με 10 %. 17

18 Παράδειγμα 2 (2) Λύση α) Η λήξη του ενιαίου πιστωτικού τίτλου με εσωτερική προεξόφληση θα πραγματοποιηθεί σε: K / (1+i*t) = K 1 / (1+i*t 1 ) + K 2 / (1+i*t 2 ) 3.500/ (1+0,10t)= / [1+0,10*(5 / 12)] / [1+0,10*(6 / 12)] / (1+0,10t)= (1.000 / 1,041) +( 2.000/ 1,05)] / (1+0,10t)= 2.865,38 0,10t=1,22-1 t=0,22 / 0,10= 2,2 έτη Αλλιώς 2 έτη και (0,2*12) 2,4 μήνες ή 2 έτη και (0,2*365) 73 μέρες. 18

19 Παράδειγμα 2 (3) β) Η λήξη του ενιαίου πιστωτικού τίτλου με εξωτερική προεξόφληση θα πραγματοποιηθεί σε: K * (1-i*t) = K 1 * (1-i*t 1 ) + K 2 * (1-i*t 2 ) 3.500* (1-0,10t)= * [1-0,10*(5 / 12)] * [1-0,10*(6 / 12)] / (1-0,10t)= 958, ,10t = 2.858,33 / ,10t=-0, t=0,183 / 0,10= 1,83 έτη Αλλιώς 1 έτος και (0,83*12) 9,96 μήνες ή 1 έτος και (0,83*365) 303 μέρες 19

20 Συμπέρασμα Παρατηρούμε ότι απαιτείται λιγότερος χρόνος για την εξόφληση του ενιαίου πιστωτικού τίτλου στην εξωτερική προεξόφληση συγκριτικά με την εσωτερική. 1. Αυτό συμβαίνει διότι το προεξόφλημα στην εξωτερική προεξόφληση υπολογίζεται με βάση την ονομαστική αξία η οποία ως μεγαλύτερη από την παρούσα αποφέρει μεγαλύτερο τόκο. 2. Συνεπώς, ο δανειολήπτης αδικείται από τον πιστωτή όταν η μέθοδος υπολογισμού στηρίζεται στην εξωτερική προεξόφληση. 20

21 Βιβλιογραφία Σαριαννίδης, Ν. & Μποντζίδου, Ε. (2010). Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά. ISBN Σόρμας, Α. & Σαριαννίδης, Ν. (2010). Οικονομικά Μαθηματικά. ISBN