Περι - Φυσικής. Μηχανική Στερεού Σώµατος. 6ο Σετ Ασκήσεων - Μάρτης Επιµέλεια: ρ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, Φυσικός

Transcript

1 Μηχανική Στερεού Σώµατος - Μάρτης 2017 Επιµέλεια: ρ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, Φυσικός 1. Θέµα Α - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1.1. Αν στερεό σώµα εκτελεί µόνο µεταφορική κίνηση τότε : (α) Η κίνηση του είναι οπωσδήποτε ευθύγραµµη. (ϐ) Ολα τα σηµεία του στερεού έχουν ίδια ταχύτητα. (γ) Το σώµα αλλάζει προσανατολισµό. (δ) Το τµήµα που ενώνει 2 τυχαία σηµεία του στερεού περιστρέφεται Σώµα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σώµα. Η γωνιακή του ταχύτητα : (α) Είναι διανυσµατικό µέγεθος που σχηµατίζει τυχαία γωνία ϕ µε τον άξονα περιστροφής. (ϐ) Εχει µονάδα µέτρησης το 1rad/sec 2. (γ) Εχει µέτρο που ισούται µε τον ϱυθµό µεταβολής της γωνίας που διαγράφει µια τυχαία ακτίνα του στερεού. (δ) Αν η κίνηση είναι οµαλή στροφική τότε έχει µέτρο που συνεχώς αυξάνεται Ενα στερεό εκτελεί µόνο στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σώµα : (α) Οσο αποµακρυνόµαστε από τον άξονα περιστροφής το µέτρο της ταχύτητας των διαφόρων σηµείων µειώνεται. (ϐ) Ολα τα σηµεία του στερεού εκτελούν κυκλική κίνηση. (γ) Υπάρχουν σηµεία του στερεού που είναι διαρκώς ακίνητα. (δ) Ολα τα σηµεία του στερεού έχουν την ίδια ταχύτητα.

2 1.4. Ενας τροχός εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του, ξεκινώντας από την ηρεµία και επιταχύνεται µε γωνιακή επιτάχυνση που συνεχώς αυξάνεται : (α) η γραµµική ταχύτητα του στερεού αυξάνεται γραµµικά µε τον χρόνο. (ϐ) Η γωνιακή ταχύτητα ω του τροχού δίνεται από την σχέση ω = α γων t. (γ) Η στιγµιαία γραµµική ταχύτητα ενός σηµείου της περιφέρειας του τροχού συνδέεται µε την στιγµιαία γωνιακή του ταχύτητα ω µε την σχέση υ = ω R. (δ) Η γωνία που διαγράφει ο τροχός υπολογίζεται από την σχέση θ = 1 2 α γωνt Η ϱοπή αδράνειας ενός στερεού, ως προς κάποιο άξονα περιστροφής, δεν εξαρτάται από : (α) την κατανοµή της µάζας του σώµατος. (ϐ) το µέγεθος του σώµατος. (γ) τη ϱοπή των δυνάµεων που δέχεται το σώµα. (δ) τη ϑέση του άξονα περιστροφής Η ϱοπή αδράνειας ενός σώµατος, ως προς ένα άξονα εκφράζει : (α) την ικανότητα του σώµατος να περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα. (ϐ) το πόσο γρήγορα περιστρέφεται το στερεό σώµα. (γ) την αδράνεια του σώµατος στη µεταφορική κίνηση. (δ) την αδράνεια του σώµατος στη στροφική κίνηση Μια οριζόντια ϱάβδος έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα P, που διέρχεται από το άκρο της. Η ϱάβδος είναι ακίνητη και κάποια στιγµή δέχεται σταθερή ϱοπή ως προς τον άξονα P. Τότε : (α) η γωνιακή της µετατόπιση είναι ανάλογη του χρόνου. (ϐ) η γωνιακή της ταχύτητα µεταβάλλεται ανάλογα µε το τετράγωνο του χρόνου. (γ) η γωνιακή της ταχύτητα µεταβάλλεται µε σταθερό ϱυθµό. (δ) η γωνιακή της επιτάχυνση είναι µηδενική. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 2

3 1.8. Για να διατηρεί ένα σώµα την περιστροφική του κατάσταση σταθερή πρέπει το αλγεβρικό άθροισµα των ϱοπών να : (α) είναι σταθερό και διάφορο του µηδενός. (ϐ) είναι µηδέν. (γ) αυξάνεται µε σταθερό ϱυθµό. (δ) µειώνεται µε σταθερό ϱυθµό Μια σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου υπό την επίδραση µόνο του ϐάρους της και της δύναµης που δέχεται από το επίπεδο. Αρχικά η σφαίρα ανεβαίνει και στη συνέχεια κατεβαίνει. (α) Η ϕορά του διανύσµατος της στατικής τριβής παραµένει σταθερή. (ϐ) Η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας µεταβάλλεται µε σταθερό ϱυθµό. (γ) ο ϱυθµός µεταβολής της στροφορµής της ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της µεταβάλλεται. (δ) Οταν η σφαίρα ανεβαίνει, το διάνυσµα της γωνιακής επιτάχυνσης έχει αντίθετη ϕορά από την ϕορά όταν κατεβαινει ύο στερεά σώµατα εκτελούν στροφική κίνηση µε ίδια στροφορµή. Το σώµα µε την µεγαλύτερη ϱοπή αδράνειας : (α) έχει µεγαλύτερη κινητική ενέργεια και µικρότερη γωνιακή ταχύτητα. (ϐ) έχει µικρότερη κινητική ενέργεια και µεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα. (γ) έχει µικρότερη κινητική ενέργεια και µικρότερη γωνιακή ταχύτητα. (δ) έχει µεγαλύτερη κινητική ενέργεια και µεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα Άνθρωπος ϐρίσκεται πάνω στην επιφάνεια και κοντά στο κέντρο οριζόντιου δίσκου που περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω 1 γύρω από άξονα κάθετο στο κέντρο του. Αν ο άνθρωπος µετακινηθεί στην περιφέρεια του δίσκου, τότε η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου ω 2 ϑα είναι : (α) ω 2 = ω 1 (ϐ)ω 2 > ω 1 (γ) ω 2 < ω 1 (δ) ω 2 = Μια σφαίρα µάζας Μ και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω. Η ϱοπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της υπολογίζεται από τον τύπο : I cm = 2 5 MR2. Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας που εµφανίζεται µε την µορφή κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής ισούται µε : (α) 40 % (ϐ) % (γ) % (δ) % Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 3

4 Α2. Ο δίζθνο ηνπ ζρήκαηνο πεξηζηξέθεηαη γύξσ από θάζεην άμνλα πνπ πεξλά από ην θέληξν ηνπ εθηειώληαο επηηαρπλόκελε ζηξνθηθή θίλεζε. Γπν ζεκεία Α θαη Β απέρνπλ από ην θέληξν ηνπ δίζθνπ απνζηάζεηο R A θαη R Β αληίζηνηρα, κε R B = 2R A. Σπλεπώο, α. ν ιόγνο ηωλ γξακκηθώλ ηαρπηήηωλ είλαη π Α / π Β = 2 Α Β β. ν ιόγνο ηωλ θεληξνκόιωλ επηηαρύλζεωλ είλαη α θα / α θβ = 2 γ. ν ιόγνο ηωλ γωληαθώλ επηηαρύλζεωλ είλαη α Φυσική Γ Λυκείου γωλα / α γωλβ = 1 δ. ν ιόγνο ηωλ γωληαθώλ ηαρπηήηωλ είλαη ω Α / ω Β = 1/ Οριζόντιος Α3. δίσκος Οξηδόληηνο µπορεί δίζθνο κπνξεί να στρέφεται λα ζηξέθεηαη σε ζε οριζόντιο νξηδόληην επίπεδν, επίπεδο, γύξσ από γύρω θαηαθόξπθν από κατακόρυφο άμνλα πνπ άξονα που πεξλά διέρχεται από ην θέληξν απόηνπ. το κέντρο Αζθνύκε του. ζηελ πεξηθέξεηα Ασκούµε ηνπ στην δίζθνπ περιφέρεια νξηδόληηα δύλακε του δίσκου ζηαζεξνύ οριζόντια κέηξνπ δύναµη πνπ σταθερού είλαη ζπλερώο µέτρου εθαπηόκελε που είναι ζε απηόλ. συνεχώς εφαπτόµενη σε αυτόν. Ποιο από τα πα- ϱακάτω Πνην διαγράµµατα από ηα παξαθάηω παριστάνει δηαγξάκκαηα το ϱυθµό παξηζηάλεη µεταβολής ην ξπζκό κεηαβνιήο της στροφορµής ηεο ζηξνθνξκήο τουηνπ δίσκου δίζθνπ σε συνάρτηση ζε ζπλάξηεζε µε τον χρόνο κε ην ρξόλν; ; ΔL/Δt ΔL/Δt ΔL/Δt ΔL/Δt (α) t (β) t (γ) t (δ) t Ενα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, µε γωνιακή ταχύτητα ω. Αν διπλασιαστεί η γωνιακή του ταχύτητα, τότε η κινητική του ενέργεια : Φυσικής ζητήματα 1 fisikis zitimata (α) υποτετραπλασιάζεται. (ϐ) υποδιπλασιάζεται. (γ) διπλασιάζεται. (δ) τετραπλασιάζεται Οταν οι ακροβάτες ϑέλουν να κάνουν πολλές στροφές στον αέρα, συµπτύσσουν τα χέρια και τα πόδια τους. Με αυτό τον τρόπο : (α) αυξάνουν τη στροφορµή τους. (ϐ) µειώνουν την κινητική τους ενέργεια. (γ) µειώνουν τη ϱοπή αδράνειάς τους. (δ) αυξάνουν τη µάζα τους Ενας κύβος και µία σφαίρα έχουν την ίδια µάζα και αφήνονται να κινηθούν από το ίδιο ύψος δύο κεκλιµένων επιπέδων. Ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβές στο ένα και η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο άλλο. Στη ϐάση των κεκλιµένων επιπέδων έχουν κινητικές ενέργειες K κύβ και K σφ αντίστοιχα. Για το λόγο των ενεργειών ισχύει : (α) K κύβ K σφ > 1 (ϐ) K κύβ K σφ < 1 (γ) K κύβ K σφ = 1 (δ) K κύβ K σφ < 0 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 4

5 1.17. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός οµογενούς δίσκου που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του, είναι ανάλογη (α) µε τη ϱοπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής (ϐ) µε τη µάζα του δίσκου (γ) µε την ακτίνα του δίσκου (δ) µε τη ϱοπή που ασκείται στο δίσκο Ενα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στρο- ϕορµή του, χωρίς να αλλάξει ο άξονας περιστροφής γύρω από τον οποίο αυτό περιστρέφεται, τότε η κινητική του ενέργεια : (α) παραµένει σταθερή (ϐ) υποδιπλασιάζεται (γ) διπλασιάζεται (δ) τετραπλασιάζεται Σε ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώµα ασκείται σταθερή ϱοπή, οπότε αρχίζει να κινείται. Τότε (α) το στερεό σώµα εκτελεί οµαλή στροφική κίνηση. (ϐ) το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του σώµατος αυξάνεται συνεχώς. (γ) το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του σώµατος είναι σταθερό. (δ) η στροφορµή του σώµατος είναι σταθερή Μια αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ περιστρέφεται, χωρίς τριβές, έχοντας τα χέρια της σε σύµπτυξη. Οταν η αθλήτρια, κατά την περιστροφή της, απλώσει τα χέρια της σε οριζόντια ϑέση, τότε (α) η στροφορµή της µειώνεται (ϐ) η στροφορµή της αυξάνεται (γ) η συχνότητα περιστροφής της αυξάνεται (δ) η συχνότητα περιστροφής της µειώνεται. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 5

6 1.21. Να γράψετε δίπλα σε κάθε γράµµα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασµένη. (α) Οταν ένας αστέρας συρρικνώνεται, λόγω ϐαρύτητας, η γωνιακή ταχύτητά του, λόγω περιστροφής, ελαττώνεται. (ϐ) Η ϱοπή αδράνειας ενός στερεού σώµατος είναι διανυσµατικό µέγεθος. (γ) Οταν ένα ποδήλατο κινείται προς το νότο, η στροφορµή των τροχών ως προς τον άξονα περιστροφής είναι ένα διάνυσµα µε κατεύθυνση προς την ανατολή. (δ) Η ϱοπή Ϲεύγους δυνάµεων είναι η ίδια ως προς οποιοδήποτε σηµείο του επιπέδου τους. (ε) Οταν οι ακροβάτες ϑέλουν να κάνουν πολλές στροφές στον αέρα, συµπτύσσουν τα χέρια και τα πόδια τους. 2. Θέµα Β - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής µε αιτιολόγηση 2.1. Μία οριζόντια ϱάβδος ΑΒ µήκους L εκτελεί στροφική κίνηση µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ίση µε ω γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα περιστροφής που διέρχεται από το άκρο της Α. Το µέσο Μ της ϱάβδου έχει κεντροµόλο επιτάχυνση ίση µε : Ιία μνηδόκηηα νάβδμξ (α) ΑΒ αμήθμοξ k = ω 2 L εθηειεί ζηνμθηθή (ϐ) θίκεζε α k = ωμε 2 L ζηαζενή γςκηαθή 2 ηαπύηεηα ίζε με γύνς από ζηαζενό θαηαθόνοθμ άλμκα πενηζηνμθήξ πμο δηένπεηαη από ημ άθνμ ηεξ Α. Τμ μέζμ Ι ηεξ Να επιλέξετε νάβδμο έπεη τηθεκηνμμόιμ σωστή απάντηση επηηάποκζε καιίζε να με: αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (γ) α k = ω 2 L Τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Κάποια χρονική στιγµή το α). β). γ). σηµείο ϐρίσκεται στην κατακόρυφη διάµετρο και απέχει από το κέντρο Κ απόσταση Πμηό R 2 (ϐρίσκεται από ηα παναπάκς πάνω είκαη από ημ το ζςζηό; Κ). Εάν Κα η δηθαημιμγήζεηε ταχύτητα του ηεκ απάκηεζή είναι υ ζαξ., η ταχύτητα του κέντρου Τνμπόξ θοιίεηαη µάζαςπςνίξ είναι κα : μιηζζαίκεη ζε μνηδόκηημ επίπεδμ. Ηάπμηα πνμκηθή ζηηγμή ημ ζεμείμ Δ βνίζθεηαη ζηεκ θαηαθόνοθε δηάμεηνμ θαη απέπεη από ημ θέκηνμ Η απόζηαζε ημ Η). (βνίζθεηαη πάκς από Γάκ ε ηαπύηεηα ημο Δ είκαη ημο θέκηνμο μάδαξ είκαη:, ε ηαπύηεηα α) (α) υ cm β) = 3 γ) 2 υ (ϐ) υ cm = 2 3 υ (γ) υ cm = 1 2 υ Πμημ από ηα παναπάκς είκαη ημ ζςζηό; Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζή ζαξ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Δίζθμξ αθηίκαξ θοιίεηαη πςνίξ κα μιηζζαίκεη θαη ε γςκηαθή ημο ηαπύηεηα μεηαβάιιεηαη με ημ Μιχάλης πνόκμ όπςξ Ε. Καραδηµητρίου θαίκεηαη ζημ δηάγναμμα. 6 A) ε ηαπύηεηα ημο θέκηνμο μάδαξ ηεκ πνμκηθή ζηηγμή είκαη:

7 ηεξ θάζε πνόηαζεξ. γύνς από ζηαζενό θαηαθόνοθμ άλμκα πενηζηνμθήξ πμο δηένπεηαη από ημ Ι ηεξ νάβδμο έπεη θεκηνμμόιμ επηηάποκζε ίζε με: Τνμπόξ θοιίεηαη πςνίξ κα μιηζζαίκεη ζε μνηδόκηημ δάπεδμ με ηαπύηεηα. Τμ Β βνίζθεηαη ζηεκ πενηθένεηα ημο ηνμπμύ θαη ε επηβαηηθή ημο αθηίκα ζπεμαηίδεη με ηεκ θαηαθόνοθε δηάμεηνμ γςκία (όπςξ ζημ ζπήμα).. β) Φυσική Γ Λυκείου γ). Το 6ομέηρο Σετ Ασκήσεων ηης ηατύηηηας ηοσ Β είναι: μηό από ηα παναπάκς είκαη ημ ζςζηό; Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζή ζαξ. α). ίεηαη πςνίξ κα μιηζζαίκεη μ. Ηάπμηα πνμκηθή ζηηγμή θεηαη ζηεκ θαηαθόνοθε εη από ημ θέκηνμ Η (βνίζθεηαη πάκς από Δ είκαη ίκαη: β). γ). δ). Πμηό από ηα παναπάκς είκαη ημ ζςζηό; Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζή ζαξ Τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο µε ταχύτητα υ cm. Το Β ϐρίσκεται ε ηαπύηεηα στην περιφέρεια του τροχού και η επιβατική του ακτίνα σχηµατίζει µε την κατακόρυ- Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 3 ϕη διάµετρο γωνία 60 o (όπως στο σχήµα). Το µέτρο της ταχύτητας του Β είναι : (α) υ B = υ cm (ϐ) υ B = υ cm 2 (γ) υb = υ cm 2 β) γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (δ)υ B = 3υ cm 2 μημ από ηα παναπάκς είκαη ημ ζςζηό; Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζή ζαξ ίσκος ακτίνας R = 0, 3m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και η γωνιακή του ταχύτητα αξ µεταβάλλεται µε το χρόνο όπως ϕαίνεται στο διάγραµµα. θοιίεηαη πςνίξ κα μιηζζαίκεη θαη ε γςκηαθή ημο ηαπύηεηα πνόκμ όπςξ θαίκεηαη ζημ δηάγναμμα. ημο θέκηνμο μάδαξ ηεκ πνμκηθή η:. επηηάποκζε ημο ζώμαημξ είκαη: Α. η ταχύτητα του κέντρου µάζας την χρονική στιγµή t 1 = 2s είναι : β) (α) υ cm = 50m/s γ) (ϐ) υ cm = 2m/s (γ) υ cm = 5m/s Β. Το διάστηµα που έχει διανύσει ο δίσκος µέχρι την ordpress.com χρονική στιγµή t = 2s είναι : ηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 2 (α) S = 2m (ϐ) S = 4m (γ) S = 50m Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 7

8 Γ) Τμ δηάζηεμα πμο έπεη δηακύζεη μ δίζθμξ μέπνη ηεκ πνμκηθή ζ α). β). γ). Ε νάβδμξ ΑΒ είκαη μμμγεκήξ, έπεη βάνμξ θαη ηζμννμπεί όπςξ θαίκεηαη ζημ ζπήμα. Πμηό από ηα παναπάκς είκαη ημ ζςζηό; Κα δηθαημιμγήζεη Φυσική Γ Λυκείου Δομ μμμγεκείξ δίζθμη ζηνέθμκηαη γύνς από ζηαζενό άλμκα πενηζηνμ 2.5. υο οµογενείς δίσκοι στρέφονται ημ θέκηνμ γύρω ημοξ. από Σημ σταθερό δηάγναμμα άξονα θαίκεηαη περιστροφής πςξ μεηαβάιιεηαη που περνά από ε γςκία πμο δηαγν το κέντρο τους. Στο διάγραµµα ϕαίνεται πως µεταβάλλεται η γωνία που διαγράφει κάθε ζοκάνηεζε με ημκ πνόκμ. δίσκος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. α) μη δομ δίζθμη έπμοκ ηεκ ίδηα γ (με μεδεκηθή). β) μη δίζθμη εθηειμύκ επηηαπο δηαθμνεηηθέξ γςκηαθέξ επηηαπύκζ γ) μη δομ δίζθμη εθηειμύκ μμαιή ε γςκηαθή ηαπύηεηα ημο πνώ ζηηγμή είκαη μεγαιύηενε από ηεκ ημο δεοηένμο ηεκ ίδηα δ) ζε ίζμοξ πνόκμοξ μ δίζθμ κα ηζμννμπεί ε νάβδμξ ζα πενηζζόηενεξ πνέπεη μ πενηζηνμθέξ ημίπμξ θαη από ημ ημκ δάπεδμ δίζθμ 1. κα είκαη ιεία. (α) οι δυο δίσκοι έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση (µη µηδενική). (ϐ) οι δίσκοι εκτελούν επιταχυνόµενη Κα παναθηενηζηεί κίνηση θάζε µε διαφορετικές πνόηαζε ζακ γωνιακές ζςζηή επιταχύνσεις. ε ιακζαζμέκε θαη κα δηθαημιμγεζ α ηζμννμπεί ε νάβδμξ ζα πνέπεη ηεξ κα θάζε είκαη πνόηαζεξ. ιείμξ μ ημίπμξ θαη ημ δάπεδμ κα έπεη ηνηβή. (γ) οι δυο δίσκοι εκτελούν οµαλή στροφική κίνηση και η γωνιακή ταχύτητα του πρώτου κάθε χρονική στιγµή είναι µεγαλύτερη από την γωνιακή ταχύτητα του δευτέρου την ίδια χρονική α ηζμννμπεί ε νάβδμξ στιγµή. ζα πνέπεη κα είκαη Τνμπόξ ιείμ θοιίεηαη ημ δάπεδμ πςνίξ θαη κα μ μιηζζαίκεη ημίπμξ κα ζε έπεη μνηδόκηημ ηνηβή. δάπεδμ με ηαπ βνίζθεηαη ζηεκ πενηθένεηα ημο ηνμπμύ θαη ε επηβαηηθή ημο αθηίκα ζπεμαηίδεη (δ) σε ίσους χρόνους ο (δίσκος 2) ϑα εκτελέσει περισσότερες περιστροφές από τον (δίσκο 1). θηενηζηεί θάζε πνόηαζε ζακ ζςζηή δηάμεηνμ ε ιακζαζμέκε γςκία δηθαημιμγώκηαξ (όπςξ ζημ ζπήμα). ηεκ επηιμγή ζαξ. Να χαρακτηριστεί κάθε πρόταση σαν σωστή η λανθασµένη και να δικαιολογηθεί ο χαρακτη- ϱισµός της κάθε πρότασης. Το μέηρο ηης Οη δύμ μμόθεκηνμη δίζθμη ημο δηπιακμύ ζπήμαημξ μπμνμύκ κα πενηζηνέθμκηαη γύνς από είναι: 2.6. Οι δύο οµόκεντροι δίσκοι του διπλανού σχήµατος µπορούν να περιστρέφονται γύρω άλμκα πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ημοξ. α). από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο τους. Οι δίσκοι είναι κολληµένοι και µπορούν να περιστρέφονται σαν ένα σώµα. Ασκούµε στους δίσκους τις μη είκαη θμιιεμέκμη θαη μπμνμύκ κα πενηζηνέθμκηαη ζακ α. Αζθμύμε ζημοξ δυνάµεις δίζθμοξ F 1 και F 2 ηηξ πουδοκάμεηξ ϕαίνονται στο σχήµα θαη και τελικά πμο παρατηρούµε ότι το σύστηµα περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Για τις δυνάµεις F 1 και F 2 ισχύει : η ζημ ζπήμα θαη ηειηθά παναηενμύμε όηη ημ ζύζηεμα έθεηαη με ζηαζενή γςκηαθή ηαπύηεηα. (α) F 1 = 2F 2 β) γ). (ϐ) F 2 = 2F 1 οκάμεηξ θαη ηζπύεη: δ). (γ) F 1 = F 2 Πμηό από ηα παναπάκς είκαη ημ ζςζηό; Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζή ζαξ.. β). γ). Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 8 άκηεζε είκαη ζςζηή; Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζή ζαξ. Έκαξ μμμγεκήξ μνηδόκηημξ δίζθμξ, μάδαξ θαη αθηίκαξ, πενηζηνέθεηαη γύνς από

9 Ε νάβδμξ ΑΒ είκαη μμμγεκήξ, έπεη βάνμξ θαη ηζμννμπεί όπςξ θαίκεηαη ζη Φυσική Γ Λυκείου Η ϱάβδος ΑΒ είναι οµογενής, έχει ϐάρος w και ισορροπεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα. (α) Για να ισορροπεί η ϱάβδος ϑα πρέπει ο τοίχος και το δάπεδο να είναι λεία. α) Γηα κα ηζμννμπεί ε νάβδμξ ζα πνέπεη μ ημίπμξ θαη ημ δάπεδμ κα είκ (ϐ) Για να ισορροπεί η ϱάβδος ϑα πρέπει να είναι λείος ο τοίχος και το δάπεδο να έχει τριβή. (γ) Για να ισορροπεί β) Γηα κα η ηζμννμπεί ϱάβδος ϑα πρέπει ε νάβδμξ να είναι ζα λείο πνέπεη το δάπεδο κα είκαη καιιείμξ ο τοίχος μ ημίπμξ να έχει τριβή. θαη ημ δάπεδμ κα έπ Να χαρακτηριστεί κάθε πρόταση σαν σωστή η λανθασµένη δικαιολογώντας την επιλογή σας. γ) Γηα κα ηζμννμπεί ε νάβδμξ ζα πνέπεη κα είκαη ιείμ ημ δάπεδμ θαη μ ημίπμξ κα έπ 2.8. Ενας οµογενής οριζόντιος δίσκος, µάζας M και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο Κ του δίσκου. Ενα Κα παναθηενηζηεί θάζε πνόηαζε ζακ ζςζηή ε ιακζαζμέκε δηθαημιμγώκηαξ ηεκ επηιμγή ζα µικρό σώµα, µάζας m, τοποθετείται πολύ κοντά στο κέντρο και αρχίζει να ολισθαίνει αργά προς την περιφέρεια του δίσκου. Κατά τη διάρκεια της κίνησης του µικρού σώµατος προς την περιφέρεια, Οη δύμ μμόθεκηνμη η ϱοπή αδράνειας δίζθμη ημο τουδηπιακμύ συστήµατος ζπήμαημξ δίσκοςμπμνμύκ - µικρό σώµα κα πενηζηνέθμκηαη : γ (α) µειώνεται. ζηαζενό άλμκα πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ημοξ. (ϐ) µένει σταθερή. Οη δίζθμη είκαη θμιιεμέκμη θαη μπμνμύκ κα πενηζηνέθμκηαη ζακ (γ) αυξάνεται. έκα ζώμα. Αζθμύμε ζημοξ δίζθμοξ ηηξ δοκάμεηξ θαη πμο Να επιλέξετε θαίκμκηαη τη σωστήζημ απάντηση ζπήμα καιθαη να αιτιολογήσετε ηειηθά παναηενμύμε την επιλογήόηη σας. ημ ζύζηεμα πενηζηνέθεηαη με ζηαζενή γςκηαθή ηαπύηεηα Ενας οµογενής ξύλινος δίσκος (1) και ένας οµογενής µεταλλικός δακτύλιος (2) έχουν την ίδια µάζα και την ίδια ακτίνα. Αν I 1 και I 2 είναι αντίστοιχα η ϱοπή αδράνειας του δίσκου και του Γηα δακτυλίου ηηξ δοκάμεηξ ως προςθαη άξονα κάθετο ηζπύεη: στο επίπεδό τους, που διέρχεται από το κέντρο µάζας τους, τότε ισχύει η σχέση : α) (α) I 1 < I 2. (ϐ) β) I 1 = I 2. γ) (γ) I 1 > I 2. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας ύο οριζόντιοι Πμηα τροχοί απάκηεζε Α και Β, είκαη µε ακτίνες ζςζηή; αµελητέας Κα δηθαημιμγήζεηε µάζας, έχουν ηεκ απάκηεζή την ίδια µάζα ζαξ. και όλη η µάζα τους είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στην περιφέρειά τους. Ο τροχός Α έχει τη διπλάσια ακτίνα από τον τροχό Β. Οι δύο τροχοί µπορούν να περιστρέφονται γύρω από Έκαξ μμμγεκήξ μνηδόκηημξ δίζθμξ, μάδαξ θαη αθηίκαξ, πενηζηνέθεηαη γ κατακόρυφο άξονα, που διέρχεται από το κέντρο µάζας τους. θαηαθόνοθμ αθιόκεημ άλμκα, μ μπμίμξ δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ημο δίζθμο. Έ Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc

10 ίκεηαη ε νμπή αδνάκεηαξ εκόξ ηνμπμύ ςξ πνμξ άλμκα, Δύμ μνηδόκηημη ηνμπμί Α θαη Β, με αθηίκεξ αμειεηέαξ μάδαξ, έπμοκ ηεκ ίδηα μάδα θαη όιε ε μάδα ημοξ είκαη μμμηόμμνθα θαηακεμεμέκε ζηεκ πενηθένεηά ημοξ. Ο ηνμπόξ Α έπεη ηε δηπιάζηα αθηίκα απ ημκ ηνμπό Β. Οη δύμ ηνμπμί μπμνμύκ κα πενηζηνέθμκηαη γύνς από θαηαθόνοθμ άλμκα, πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ μάδαξ ημοξ. Δίκεηαη ε νμπή αδνάκεηαξ εκόξ ηνμπμύ ςξ πνμξ άλμκα, Φυσική Γ Λυκείου ηα θάζε ηνμπμύ πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ μάδαξ ημο:. α ηςκ γςκηαθώκ Αζθμύμε εθαπημμεκηθά που διέρχεται από ζηεκ το κέντρο πενηθένεηα µάζας του θάζε : I cm = ηνμπμύ mr 2 μπμί, ηζπύεη όηη: δύκαμε ίδημο δύναµη μέηνμο. F ίδιου Γηα µέτρου. ηα Για μέηνα τα µέτρα ηςκ των γςκηαθώκ γωνιακών επηηαπύκζεςκ επιταχύνσεων πμο ζα απμθηήζμοκ που ϑα αποκτήσουν μη δύμ ηνμπμί, οι δύοηζπύεη τροχοί, όηη: ισχύει α). (α) α A < α B β). γ). (ϐ) α A = α B. ίνεται η ϱοπή αδράνειας ενός τροχού ως προς άξονα,. Ασκούµε εφαπτοµενικά στην περιφέρεια κάθε τροχού ότι : β). (γ) α A > α B Κα επηιέληε ηε ζςζηή απάκηεζε θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ζαξ. ςζηή απάκηεζε θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ζαξ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Ενας κατακόρυφος οµογενής κύλινδρος, στρέφεται αριστερόστροφα µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου θαηαθόνοθμξ ω 0 γύρω μμμγεκήξ από σταθερό θύιηκδνμξ, άξονα, πουζηνέθεηαη διέρχεται από τον άξονά του. Στον κύλινδρο Έκαξ ασκείται κατάλληλη ϱοπή δύναµης µέτρου τ F, οπότε η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ανηζηενόζηνμθα του με µεταβάλλεται γςκηαθή µε ηαπύηεηα το χρόνομέηνμο όπως ϕαίνεται γύνς στο διάγραµµα από του σχήµατος. ύιηκδνμξ, ζηνέθεηαη ζηαζενό άλμκα, πμο δηένπεηαη από ημκ άλμκά ημο. Σημκ θύιηκδνμ αζθείηαη θαηάιιειε νμπή δύκαμεξ μέηνμο έηνμο γύνς από, μπόηε ε γςκηαθή ηαπύηεηα πενηζηνμθήξ ημο μεηαβάιιεηαη με ημ πνόκμ όπςξ ά ημο. Σημκ θύιηκδνμ θαίκεηαη ζημ δηάγναμμα ημο ζπήμαημξ., μπόηε ε γςκηαθή με ημ πνόκμ όπςξ Ιηπάιεξ Ε ζςζηή Γ. Ηαναδεμεηνίμο, γναθηθή Φοζηθόξ πανάζηαζε Msc ηεξ νμπήξ Σειίδα 5 ημο ζπήμαημξ. ζε ζοκάνηεζε με ημ πνόκμ t είκαη Η σωστή γραφική παράσταση της ϱοπής τ F σε συνάρτηση µε το χρόνο t είναι το : Σειίδα 5 Κα επηιέληε ημ ζςζηό δηάγναμμα θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ζαξ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 10 Σημ ζπήμα θαίκμκηαη ζε θάημρε δύμ όμμηεξ μμμγεκείξ νάβδμη (1) θαη (2), πμο βνίζθμ ζε ιείμ μνηδόκηημ δάπεδμ. Ε νάβδμξ (1) είκαη ειεύζενε εκώ ε νάβδμξ (2) είκαη ζηενεςμέκε αθιόκεηα ζημ ανηζηενό άθνμ ηεξ

11 ζςζηό δηάγναμμα θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ζαξ. ήμα θαίκμκηαη ζε θάημρε δύμ όμμηεξ μμμγεκείξ νάβδμη (1) θαη (2), πμο βνίζθμκηαη μ δάπεδμ. Ε νάβδμξ (1) είκαη ειεύζενε εκώ ε η ζηενεςμέκε αθιόκεηα Φυσική Γζημ Λυκείου ανηζηενό άθνμ ηεξ ή αδνάκεηαξ μηαξ μμμγεκμύξ νάβδμο ςξ πνμξ αοηήκ πμο δηένπεηαη Στο σχήµα από ϕαίνονται ημ θέκηνμ σε κάτοψη μάδαξ δύο όµοιες οµογενείς ϱάβδοι (1) και (2), που ϐρίσκονται σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Η ϱάβδος (1) είναι ελεύθερη ενώ η ϱάβδος (2) είναι στερεωµένη Κα επηιέληε ημ ζςζηό δηάγναμμα θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ζαξ. ακλόνητα στο αριστερό άκρο της Α. ίνεται η ϱοπή αδράνειας µιας οµογενούς ϱάβδου. ως προς άξονα. κάθετο σε αυτήν που διέρχεται από το κέντρο µάζας της : I cm = 1 Σημ ζπήμα θαίκμκηαη ζε θάημρε δύμ όμμηεξ μμμγεκείξ νάβδμη (1) θαη (2), πμο βνίζθμκηαη 12 ML2. ζε ιείμ μνηδόκηημ δάπεδμ. Ε νάβδμξ (1) είκαη ειεύζενε εκώ ε Ασκούµε στο δεξιό άκρο τους την ίδια οριζόντια δύναµη F κάθετα σε κάθε ϱάβδο. Για τα µέτρα των γωνιακών επιταχύνσεων α 1 νάβδμξ (2) είκαη ζηενεςμέκε αθιόκεηα ζημ ανηζηενό άθνμ ηεξ και α Α. Δίκεηαη ε νμπή αδνάκεηαξ μηαξ μμμγεκμύξ νάβδμο ςξ πνμξ 2, που ϑα αποκτήσουν αντίστοιχα οι δύο ϱάβδοι ισχύει : άλμκα θάζεημ ζ αοηήκ πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ μάδαξ ληό άθνμ ημοξ ηεκ ίδηα μνηδόκηηα δύκαμε F νάβδμ. Γηα ηα μέηνα ηςκ γςκηαθώκ επηηαπύκζεςκ θαη, πμο ζ απμθηήζμοκ μ νάβδμη ηζπύεη: (α) α 1 < α 2 (ϐ) αηεξ:. 1 > α 2. β). γ). (γ) ααζθμύμε 1 = α 2 ζημ δεληό άθνμ ημοξ ηεκ ίδηα μνηδόκηηα δύκαμε F Κα επηιέληε ηε ζςζηή απάκηεζε θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ζαξ. θάζεηα ζε θάζε νάβδμ. Γηα ηα μέηνα ηςκ γςκηαθώκ επηηαπύκζεςκ θαη, πμο ζ απμθηήζμοκ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή ακηίζημηπα σας. μη δύμ νάβδμη ηζπύεη: ηνέθεηαη ζε ειιεηπηηθή ηνμπηά γύνς από ημκ Ήιημ. Τμ θμκηηκόηενμ ζεμείμ ζημκ η Πενηήιημ (π) θαη ημ πημ απμμαθνοζμέκμ Αθήιημ (α). Ακ ζεςνήζμομε ηε Γε οιηθό α). β). γ) Η Γη στρέφεται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Ηλιο. Το κοντινότερο σηµείο στον Ηλιο ονοµάζεται Περιήλιο (π) Κα και επηιέληε το πιο ηε αποµακρυσµένο ζςζηή απάκηεζε θαη Αφήλιο κα αηηημιμγήζεηε (α). Ανηεκ ϑεωρήσουµε επηιμγή ζαξ. γηα ηηξ ακηίζημηπεξ απμζηάζεηξ, τη Γη υλικό σηµείο ηόηε: τότε για τις αντίστοιχες αποστάσεις ισχύει r α = 2r π, τότε : ηεηεξ δηέιεοζεξ ηεξ Γεξ από ημ ημ πενηήιημ ηζπύεη. ηηθέξ εκένγεηεξ δηέιεοζεξ ηεξ Γεξ αη ημ πενηήιημ ηζπύεη.. Ε Γε ζηνέθεηαη ζε ειιεηπηηθή ηνμπηά γύνς από ημκ Ήιημ. Τμ θμκηηκόηενμ ζεμείμ ζημκ Ήιημ μκμμάδεηαη Πενηήιημ (π) θαη ημ πημ απμμαθνοζμέκμ Αθήιημ (α). Ακ ζεςνήζμομε ηε Γε οιηθό ζεμείμ ηόηε γηα ηηξ ακηίζημηπεξ απμζηάζεηξ ηζπύεη, ηόηε: α) Γηα ηηξ ηαπύηεηεξ δηέιεοζεξ ηεξ Γεξ από ημ αθήιημ θαη ημ πενηήιημ ηζπύεη. (α) Για β) τις Γηα ταχύτητες ηηξ θηκεηηθέξ διέλευσης εκένγεηεξ της δηέιεοζεξ Γης από ηεξ το αφήλιο Γεξ και το περιήλιο ισχύει υ α = 2υ π hs.wordpress.com δεμεηνίμο, Φοζηθόξ (ϐ) Msc Για από τις ημ κινητικές αθήιημ θαη ενέργειες ημ πενηήιημ διέλευσης ηζπύεη της Γης από. το αφήλιο Σειίδα και το 6 περιήλιο ισχύει K π = 4K α. Να χαρακτηρίσετε Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, κάθε πρόταση Φοζηθόξ ως Msc Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) και να αιτιολογήσετε τους Σειίδα χαρακτηρισµούς Ενας οµογενής δίσκος στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυ- ϕο άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω 1. Ενα κοµµάτι γύψου µάζας m πέφτει κατακόρυφα και κολλάει στο δίσκο σε απόσταση l από τον άξονα περιστροφής. (α) Ο γύψος ελάχιστα πριν ακουµπήσει στον δίσκο, έχει ως προς τον άξονα περιστροφής του δίσκου στροφορµή ίση µε µηδέν. (ϐ) Αµέσως µετά την κρούση η στροφορµή του συστήµατος δίσκος-γύψος µειώνεται. (γ) Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου µειώνεται µετά την κρούση. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 11

12 (δ) Στην κρούση αυτή δεν ισχύει η Αρχή ιατήρησης της Ορµής. Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) και να αιτιολογήσετε τους χαρακτηρισµούς υο χορευτές του καλλιτεχνικού πατινάζ πιάνονται αντικριστά µε τεντωµένα χέρια και περιστρέφονται. Κάποια στιγµή λυγίζουν τα χέρια τους ώστε τα σώµατά τους να πλησιάσουν µεταξύ τους. Ποιο από τα παρακάτω µεγέθη ϑα αυξηθεί (α) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήµατος. (ϐ) Η ϱοπή αδράνειας του συστήµατος. (γ) Η στροφορµή του συστήµατος. (δ) Η περίοδος περιστροφής. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Ενα σωµάτιο µάζας m περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Αν η απόσταση του σωµατίου από τον άξονα διπλασιαστεί, χωρίς να µεταβληθεί η γωνιακή του ταχύτητα, η στροφορµή του ως προς τον άξονα περιστροφής : (α) διπλασιάζεται. (ϐ) τετραπλασιάζεται. (γ) παραµένει σταθερή. (δ) υποδιπλασιάζεται. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Στα άκρα µιας οριζόντιας αβαρούς ϱάβδου µήκους ϐρίσκονται δύο όµοιες µάζες m 1 = m 2 = m. Το σύστηµα περιστρέφεται µε συχνότητα f 1 γύρω από σταθερό κατακόρυ- ϕο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της ϱάβδου. Αν λόγω εσωτερικών δυνάµεων υποδιπλασιαστεί η απόσταση κάθε µάζας από τον άξονα περιστροφής, τότε : (α) Η ϱοπή αδράνειας του συστήµατος υποδιπλασιάζεται και η στροφορµή του συστήµατος υποδιπλασιάζεται. (ϐ) Η ϱοπή αδράνειας του συστήµατος υποτετραπλασιάζεται και η στροφορµή του συστήµατος παραµένει σταθερή. (γ) Η ϱοπή αδράνειας του συστήµατος παραµένει σταθερή και η στροφορµή του συστήµατος υποδιπλασιάζεται. (δ) Η ϱοπή αδράνειας του συστήµατος υποδιπλασιάζεται και η στροφορµή του συστήµατος παραµένει σταθερή. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 12

13 2.18. Ενας κύβος και ένας δίσκος έχουν ίδια µάζα και αφήνονται από το ίδιο ύψος να κινηθούν κατά µήκος δύο κεκλιµένων επιπέδων. Ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβές και ϕτάνει στη ϐάση του κεκλιµένου επιπέδου µε ταχύτητα υ 1. Ο δίσκος κυλιέται χωρίς να ολισθαίνει και ϕτάνει στη ϐάση του κεκλιµένου Κα επηιέλεηε επιπέδου ηε µε ζςζηή ταχύτητα πνόηαζε. υ 2. Αν η ϱοπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι : I = 1 Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απ 2 MR2 τότε : Ομμγεκήξ δίζθμξ μάδαξ θαη αθηίκαξ θοιίεηαη πςνίξ κα μιηζζαίκεη ζ 4 2 (α) υ 2 = υ 1 (ϐ) υ 2 = 3 υ 1 (γ) υ 2 = 3 υ 1 επίπεδμ. Ε ηαπύηεηα ημο θέκηνμο μάδαξ ημο δίζθμο είκαη. Ε νμπή αδνάκεηαξ ημ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. πνμξ άλμκα πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ μάδαξ ημο είκαη Οµογενής δίσκος µάζας M και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Η ταχύτητα Ε μιηθή του θηκεηηθή κέντρου εκένγεηα µάζας του ημο δίσκου δίζθμο είναι είκαη: υ cm. Η ϱοπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του είναι I = 1 2 MR2. Η ολική κινητική ενέργεια του δίσκου είναι : (α) 1 α). 2 Mυ2 cm (ϐ) 3 β) 4 Mυ2 cm (γ) 7. γ) 8 Mυ2 cm Κα επηιέλεηε ηε ζςζηή πνόηαζε. Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σημ ζπήμα θαίκεηαη έκαξ μμμγεκήξ ζομπαγήξ θοθιηθόξ δίζθμξ (Ζ) θαη έκα Στο σχήµα ϕαίνεται θοθιηθόξ έναςδαθηύιημξ οµογενής(ζζ), συµπαγής πμο έπμοκ κυκλικός ηεκ ίδηα δίσκος αθηίκα (Ι) και ένας, ηεκ οµογενής ίδηα μάδα θαη πεν κυκλικός δακτύλιος (ΙΙ), που έχουν την ίδια ακτίνα R, την ίδια µάζα m και περιστρέφονται γύρω από άξονα γύνς που από περνάει άλμκα από πμο το κέντρο πενκάεη τους από µε ημ την θέκηνμ ίδια γωνιακή ημοξ ταχύτητα με ηεκ ω. ίδηα γςκηαθή ηα Κάποια χρονική στιγµή ασκούνται στα σώµατα αυτά σταθερές δυνάµεις ίδιου µέτρου F, εφαπτόµενες στην περιφέρεια και µετά από λίγο τα δύο σώµατα σταµατούν. Ο αριθµός των Ηάπμηα πνμκηθή ζηηγμή αζθμύκηαη ζηα ζώμαηα αοηά ζηαζενέξ δοκάμεηξ ίδημο στροφών που ϑα εκτελέσουν, ϑα είναι : εθαπηόμεκεξ ζηεκ πενηθένεηα θαη μεηά από ιίγμ ηα δύμ ζώμαηα ζηαμαημύκ. (α) N I = N II Ο ανηζμόξ ηςκ ζηνμθώκ πμο ζα εθηειέζμοκ, ζα είκαη: (ϐ) N I > N II (γ) N I < N II Να επιλέξετε α) τη σωστή απάντηση. και να αιτιολογήσετε τηνβ) επιλογή σας.. γ) Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου Κα 13 επηιέλεηε ηε ζςζηή πνόηαζε. Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απ

14 2.21. Ο Ο αρχικά ανπηθά ακίνητος αθίκεημξ δίσκος δίζθμξ του σχήµατος ημο ζπήμαημξ ξεκινάλεθηκά να στρέφεται κα τη χρονική στιγµή t = 0 ζηνέθεηαη µε την ηε επίδραση πνμκηθή µιας ζηηγμή δύναµης F με, ωςηεκ προςεπίδναζε άξονα πουμηαξ περνάει από το κέντρο µάζας του και είναι κάθετος στην επιφάνειά του. δύκαμεξ, ςξ πνμξ άλμκα πμο πενκάεη από ημ θέκηνμ Τη χρονική στιγµή t 1 ο δίσκος έχει στροφορµή μάδαξ ημο L 1, ως προς θαη είκαη τονθάζεημξ άξονα περιστροφής ζηεκ επηθάκεηά του, και ημο. τη χρονική Τε πνμκηθή στιγµήζηηγμή t 2 ο δίσκοςμ έχει στροφορµή Ο ανπηθά L αθίκεημξ 2 = 2L 1. δίζθμξ Η δύναµη ημο από ζπήμαημξ την αρχή λεθηκά µέχρι τηκα δίζθμξ έπεη ζηνέθεηαη χρονική ζηνμθμνμή ηε στιγµή πνμκηθή t 1 παράγει, ςξ πνμξ ζηηγμή έργοημκ W 1 άλμκα με = 10J πενηζηνμθήξ ηεκ. επίδναζε Από την αρχή ημο, μηαξ µέχρι τη χρονική στιγµή t 2 η δύναµη παράγει έργο : θαη δύκαμεξ ηε πνμκηθή, ςξ ζηηγμή πνμξ άλμκα μ δίζθμξ πμο πενκάεη έπεη ζηνμθμνμή από ημ θέκηνμ μάδαξ. ημο Ε δύκαμε (α) 20J θαη είκαη από θάζεημξ ηεκ ανπή ζηεκ μέπνη επηθάκεηά ηε ημο. πνμκηθή Τε πνμκηθή ζηηγμή ζηηγμή πανάγεη μ ένγμ (ϐ) 30J. Από ηεκ ανπή μέπνη ηε πνμκηθή ζηηγμή ε δίζθμξ έπεη ζηνμθμνμή, ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ ημο, δύκαμε πανάγεη (γ) 40J ένγμ: θαη ηε πνμκηθή ζηηγμή μ δίζθμξ έπεη ζηνμθμνμή. Ε Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την δύκαμε από ηεκ ανπή μέπνη ηε πνμκηθή ζηηγμή πανάγεη α) επιλογή. σας. β). γ). ένγμ. Από ηεκ ανπή μέπνη ηε πνμκηθή ζηηγμή ε Κα δύκαμε επηιέλεηε Ηπανάγεη οριζόντια ηε ζςζηή ένγμ: ϱάβδος πνόηαζε. ΑΚ του Κα σχήµατος δηθαημιμγήζεηε είναι αβαρής ηεκ απάκηεζε και στρέφεται ζαξ. γύρω από κατακόρυφο άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το άκρο της Κ. Η µάζα m συγκρατείται σε απόσταση (ΠΚ)=R π από τον άξονα περιστροφής και το µέτρο της ταχύτητάς της α) είναι. υ π. β). γ). Η Ε µάζα μνηδόκηηα αφήνεται νάβδμξ ελεύθερη ΑΗ ημο να µετακινηθεί ζπήμαημξ είκαη στο σηµείο αβανήξ Κα επηιέλεηε Α που απέχει ηε ζςζηή απόσταση πνόηαζε. (ΑΚ) Κα = δηθαημιμγήζεηε R ηεκ απάκηεζε ζαξ. A = 4R π. Για το θαη ζηνέθεηαη λόγο των γύνς κινητικών από θαηαθόνοθμ ενεργειών άλμκα που έχει πμο η είκαη µάζα θάζεημξ m στις ζε αοηήκ παραπάνω θαη δηένπεηαη ϑέσεις K π και από K A αντίστοιχα, ημ άθνμ ισχύει ηεξ : Η. Ε μάδα ζογθναηείηαη K π ζε απόζηαζε από ημκ (α) Ε μνηδόκηηα = 1 νάβδμξ ΑΗ ημο ζπήμαημξ είκαη αβανήξ άλμκα πενηζηνμθήξ K A θαη ημ μέηνμ ηεξ ηαπύηεηάξ ηεξ είκαη. θαη ζηνέθεηαη γύνς από θαηαθόνοθμ άλμκα πμο είκαη θάζεημξ Ε μάδα αθήκεηαη K π (ϐ) ειεύζενε = 4 κα μεηαθηκεζεί ζημ ζεμείμ Α πμο ζε αοηήκ Kθαη A δηένπεηαη από ημ άθνμ ηεξ Η. Ε απέπεη απόζηαζε. Γηα ημ ιόγμ ηςκ μάδα ζογθναηείηαη K π ζε απόζηαζε από ημκ θηκεηηθώκ (γ) εκενγεηώκ = 16πμο έπεη ε μάδα ζηηξ παναπάκς άλμκα πενηζηνμθήξ K A θαη ημ μέηνμ ηεξ ηαπύηεηάξ ηεξ είκαη. ζέζεηξ θαη ακηίζημηπα, ηζπύεη: Ε μάδα αθήκεηαη Να επιλέξετε ειεύζενε τη σωστή κα απάντηση μεηαθηκεζεί καιζημ να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. ζεμείμ Α πμο απέπεη απόζηαζε. Γηα ημ ιόγμ ηςκ θηκεηηθώκ εκενγεηώκ πμο έπεη ε μάδα ζηηξ παναπάκς υο συµπαγείς οµογενείς σιδερένιες σφαίρες µε ζέζεηξ µάζες θαη M ακηίζημηπα, ηζπύεη: α). 1, M 2 και ακτίνες R β) 1, R 2, αφήνονται σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης. γ). φ, οπότε κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Αν δίνεται ότι M 1 = 8M 2 και ότι I cmσφ = 2 Κα επηιέλεηε ηε ζςζηή πνόηαζε. Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζή ζαξ. 5 M σφrσφ 2, τότε για τις γωνιακές επιταχύνσεις που ϑα αποκτήσουν ϑα ισχύει : (α) α γων,2 = 4α γων,1 α). (ϐ) α γων,2 = α γων,1 β). γ). Κα επηιέλεηε ηε ζςζηή πνόηαζε. Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζή ζαξ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 10

15 σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. ινητική ενέργεια K του τροχού ως συνάρτηση του χρόνου απεικονίζεται στο σχήμα: Φυσική Γ Λυκείου (γ) α γων,2 = 2α γων,1 ίνεται ο όγκος της σφαίρας : V = 4 3 πr3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. επιλέξετε τη σωστή απάντηση Τροχαλία µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο µάζας της. Γύρω από την τροχαλία είναι τυλιγµένο αβαρές και µη εκτατό νήµα. αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Επαν. Εσπερ Οταν στο ελεύθερο άκρο του νήµατος ασκούµε κατακόρυφη δύναµη µε ϕορά προς τα κάτω µέτρου F, η τροχαλία αποκτά γωνιακή επιτάχυνση µέτρου α γων,1 ενώ, όταν κρεµάµε στο ε- λεύθερο άκρο του νήµατος σώµα ϐάρους W = F η τροχαλία. Τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από λόνητο οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της. ύρω από την τροχαλία είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό μα. Όταν στο αποκτά ελεύθερο γωνιακή επιτάχυνση άκρο του α γων,2 νήματος. Ισχύει : ασκούμε τακόρυφη δύναμη (α) α γων,1 με φορά = α γων,2 προς τα κάτω μέτρου F, η οχαλία αποκτά γωνιακή επιτάχυνση μέτρου α ενώ, όταν γων,1 (ϐ) α γων,1 > α γων,2 εμάμε στο ελεύθερο άκρο του νήματος σώμα βάρους w = F (γ) α γων,1 < α γων,2 τροχαλία αποκτά γωνιακή επιτάχυνση α. Ισχύει: γων,2 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. α γων,1 = α γων,2. β. α γων,1 > α γων,2. γ. α γων,1 < α γων,2. επιλέξετε τη σωστή απάντηση ύο ίδιοι οριζόντιοι κυκλικοί δίσκοι (α) και (ϐ) µπορούν να ολισθαίνουν πάνω σε οριζόντιο ορθογώνιο τραπέζι Γ ΕΖ χωρίς τριβές, όπως στο σχήµα. δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Επαν. Ημερ Αρχικά οι δύο δίσκοι είναι ακίνητοι και τα κέντρα τους α- πέχουν ίδια απόσταση από την πλευρά ΕΖ. Ιδιες σταθερές δυνάµεις F µε διεύθυνση παράλληλη προς τις πλευρές Ε και ΓΖ ασκούνται σε αυτούς. Στο δίσκο (α) η δύναµη ασκείται πάντα στο σηµείο Α του δίσκου. Στο δίσκο (ϐ) η δύναµη ασκείται πάντα στο σηµείο Β του δίσκου. Αν ο δίσκος (α) χρειάζεται χρόνο t α για να ϕτάσει στην α- πέναντι πλευρά ΕΖ, ενώ ο δίσκος (ϐ) χρόνο t ϐ, τότε : (α) t α > t ϐ (ϐ)t α = t ϐ (γ)t α < t ϐ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Χορεύτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ στρέφεται χωρίς τριβές µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα έχοντας τα χέρια της ανοιχτά. Οταν συµπτύσσει τα χέρια της µεταβάλλει την γωνιακή της ταχύτητα κατά 60 %. Ο λόγος της αρχικής προς την τελική κινητική της ενέργεια είναι : 15 (α) K 1 K 2 = 5 8 (ϐ) K 1 K 2 = 5 3 (γ) K 1 K 2 = 3 5 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 15

16 2.27. Οριζόντιος, αρχικά ακίνητος, δίσκος µπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Το αλγεβρικό άθροισµα των ϱοπών που ασκούνται στο δίσκο µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε το χρόνο, όπως ϕαίνεται στο σχήµα 3. Τότε, η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου έχει τη µέγιστη τιµή της τη χρονική στιγµή : (α) t 1 (ϐ)t 2 (γ) t 3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Επαναληπτικές Πανελλήνιες - Ιούνιος Στο σχήµα ϕαίνεται ένας οµογενής συµπαγής κυκλικός δίσκος (1) και ένας συµπαγής κυκλικός δακτύλιος (2), που έχουν την ίδια ακτίνα και την ίδια µάζα. Κάποια χρονική στιγµή ασκούνται στα σώµατα αυτά δυνάµεις ίδιου µέτρου, εφαπτόµενες στην περιφέρεια, όπως ϕαίνεται στο σχήµα και τα σώµατα αρχίζουν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν στο οριζόντιο επίπεδο. α) Για τις ϱοπές αδράνειας I 1 και I 2 των σωµάτων (1) και (2) αντίστοιχα, ισχύει : (α) I 1 = I 2 (ϐ) I 1 > I 2 (γ) I 1 < I 2 ϐ) Για τις επιταχύνσεις των κέντρων µάζας a cm,1 και a cm,2 των σωµάτων (1) και (2) αντίστοιχα, ισχύει : (α) a cm,1 = a cm,2 (ϐ) a cm,1 < a cm,2 (γ) a cm,1 > a cm,2 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Πανελλήνιες Οµογενών - Σεπτέµβρης 2013 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 16

17 2.29. Ενας δίσκος 1 µε ϱοπή αδράνειας I 1 στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω 1 και ϕορά περιστροφής όπως ϕαίνεται στο σχήµα, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ενας δεύτερος δίσκος 2 µε ϱοπή αδράνειας I 2 = I 1, που αρχικά είναι ακίνητος, τοποθετείται πάνω στο δίσκο 4 1, ενώ αυτός περιστρέφεται, έτσι ώστε να έχουν κοινό άξονα περιστροφής, που διέρχεται από τα κέντρα των δύο δίσκων, όπως δείχνει το σχήµα. Μετά από λίγο οι δύο δίσκοι αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα ω. Αν L 1 είναι το µέτρο της αρχικής στροφορµής του δίσκου 1, τότε το µέτρο της µεταβολής της στροφορµής του δίσκου 1 είναι : (α)0 (ϐ) 1 5 L 1 (γ) 2 5 L 1 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Πανελλήνιες - Μάης Λεπτή οµογενής ϱάβδος µάζας M και µήκους L µπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Στο άλλο άκρο της ϱάβδου, είναι στερεωµένο σφαιρίδιο µάζας m = M (Σχήµα 1). Τη χρονική στιγµή 2 που το σύστηµα ϱάβδου-σφαιριδίου αφήνεται να κινηθεί από την οριζόντια ϑέση, ο ϱυθµός µεταβολής της στροφορµής της ϱάβδου είναι : (α) L ρ t = 1 2 MgL (ϐ) L ρ t = MgL (γ) L ρ t = 2 5 MgL Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 17

18 ίνεται ότι η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της που περνά από το άκρο της, είναιi ρ = 1 3 ML2 Ομμγεκήξ νάβδμξ ΑΒ Να επιλέξετε μήθμοξ τη σωστή απάντηση θαη βάνμοξ και να αιτιολογήσετε τηνηζμννμπεί επιλογή σας. μνηδόκηηα Πανελλήνιες Εξετάσεις - Μάης 2015 εκε ζε θαηαθόνοθμ ημίπμ με ε θαη ζημ ζεμείμ Εναηεξ οµογενές Θ ζε σώµα (δακτύλιος ή σφαιρικός ϕλοιός ή συµπαγής σφαίρα) έχει ϱοπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του, που δίνεται από τη ηγμα ( σχέση ) I cm, = Ε αmr 2, όπου m η µάζα του σώµατος, R η ακτίνα του και α ένας ϑετικός ηζμννμπεί μνηδόκηηα. αριθµός µικρότερος ή ίσος της µονάδας (0 < α 1). Το σώµα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Αν η κινητική ενέργεια του σώµατος λόγω µεταφορικής κίνησης προς την βνεζεί ε δύκαμε ολικήκ κινητική πμο ενέργεια είναι K µ /K oλ = 5/7, τότε το α έχει την τιµή : ε νάβδμξ από ημ (α)α = 1 (ϐ)α = 2 (γ) α = ηγμα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. είκαη ημ μέηνμ ηεξ Πανελλήνιες δύκαμεξ πμο Οµογενών δέπεηαη -ε Σεπτέµβρης νάβδμξ από 2015 ηεκ άνζνςζε. θηκμύμε ημ οπμζηήνηγμα 3. Θέµα Γ -θαη Ασκήσεις ημ ημπμζεημύμε ζημ Δ, ημ μπμίμ είκαη ημ μέζμ ημο ΑΙ. Πόζε έμκ ε δύκαμε πμο αζθεί ημ οπμζηήνηγμα ζηε νάβδμ; 3.1. Οµογενής ϱάβδος ΑΒ µήκους L = 4m και ϐάρους w = 100N ισορροπεί οριζόντια Ε νάβδμξ ΑΒ στηριζόµενη ημο παναθάης σε κατακόρυφο ζπήμαημξ τοίχο µε είκαη άρθρωση μμμγεκήξ, και στοέπεη σηµείο μήθμξ της Λ σεθαη υποστήριγµα ( ΜΛ = L/4), Η ϱάβδος ισορροπεί οριζόντια. θαη ηζμννμπεί μνηδόκηηα. οπμιμγηζζεί ε ηάζε ημο. ζεμείμ Α ε νάβδμξ αη ζημκ ημίπμ. Ακ ε ηνηβή εηαη ε νάβδμξ είκαη μέγηζηε δοκαηή ώζηε κα ηζμννμπεί, κα βνεζεί μ ζοκηειεζηήξ ζηαηηθήξ εηαλύ νάβδμο θαη (α) ημίπμο. Να ϐρεθεί η δύναµη Ν που δέχεται η ϱάβδος από το υποστήριγµα. (ϐ) Πόσο είναι το µέτρο της δύναµης που δέχεται η ϱάβδος από την άρθρωση. ηα άθνα Α θαη Β ηεξ μμμγεκμύξ νάβδμο μήθμοξ έπμομε θνεμάζεη 2 ζώμαηα με (γ) Μετακινούµε το υποστήριγµα και το τοποθετούµε στο Ζ, το οποίο είναι το µέσο του ΑΜ. θαη Πόση είναι Δίκεηαη πλέον η δύναµη που ασκεί. το υποστήριγµα στη ϱάβδο ; νάβδμξ 3.2. είκαη Ηαβανήξ, ϱάβδοςπμύ ΑΒ του πνέπεη παρακάτω κα ημπμζεηήζμομε σχήµατος είναι ημ οµογενής, οπμζηήνηγμα έχει έηζη µήκος ώζηε L και ημ ϐάρος w = ηςκ ηνηώκ ζςμάηςκ 100N κα και ηζμννμπεί; ισορροπεί οριζόντια. (α) Να υπολογισθεί η τάση του νήµατος. νάβδμξ έπεη βάνμξ, πμύ πνέπεη κα ημπμζεηήζμομε ημ οπμζηήνηγμα ώζηε ημ (ϐ) Στο σηµείο Α η ϱάβδος εφάπτεται στον τοίχο. Αν η τριβή που δέχεται η ϱάβδος είναι µέγιστη δυνατή ώστε ζύζηεμα να ισορροπεί, κα ηζμννμπεί; να ϐρεθεί ο συντελεστής στατικής τριβής µεταξύ ϱάβδου και τοίχου. γ) Αθαηνμύμε ημ θαη από ηε νάβδμ θνέμεηαη μόκμ Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου ημ. Πμύ πνέπεη κα ημπμζεηήζμομε 18 ημ οπμζηήνηγμα γηα κα ηζμννμπεί ε νάβδμξ; Πόζε είκαη ε δύκαμε πμο αζθεί ημ οπμζηήνηγμα ζηεκ νάβδμ;

19 βδμξ Πόζμ έπεη βάνμξ είκαη ε μέηνμ, πμύ πνέπεη ηεξ κα ημπμζεηήζμομε ακηίδναζεξ ημ οπμζηήνηγμα εθείκε ηεκ ώζηε ημ ζηηγμή; Φυσική Γ Λυκείου α) Ακ ε νάβδμξ είκαη αβανήξ, πμύ πνέπεη κα ημπμζεηήζμο ζύζηεμα ηςκ ηνηώκ ζςμάηςκ κα ηζμννμπεί; β) Ακ ε νάβδμξ έπεη βάνμξ, πμύ πνέπεη κα ημπμ ζύζηεμα κα ηζμννμπεί; γ) Αθαηνμύμε ημ θ Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc ημ. Πμύ πνέπεη κα κα ηζμννμπεί ε νάβδμξ; οπμζηήνηγμα ζηεκ νάβδμ 3.3. Στα άκρα Α και Β της οµογενούς ϱάβδου µήκους L = 1m έχουµε κρεµάσει 2 σώµατα µε µάζες m 1 = 3kg και m 2 = 1kg ίνεται g = 10m/s 2. μγεκήξ νάβδμξ ΑΒ μήθμοξ θαη βάνμοξ ηζμννμπεί μνηδόκηηα κε ζε θαηαθόνοθμ ημίπμ με θαη ζημ ζεμείμ ηεξ Θ ζε μα ( ), Ε μννμπεί μνηδόκηηα. νεζεί ε δύκαμε Κ πμο ε νάβδμξ από ημ μα. ίκαη ημ μέηνμ ηεξ (α) δύκαμεξ Αν η ϱάβδος πμο δέπεηαη είναι αβαρής, ε νάβδμξ πούαπό πρέπει ηεκ άνζνςζε. να τοποθετήσουµε το υποστήριγµα έτσι ώστε το σύστηµα των τριών σωµάτων να ισορροπεί ; κμύμε ημ οπμζηήνηγμα θαη ημ ημπμζεημύμε ζημ Δ, ημ μπμίμ είκαη ημ μέζμ ημο ΑΙ. Πόζε (ϐ) Αν η ϱάβδος έχει ϐάρος w = 60N, πού πρέπει να τοποθετήσουµε το υποστήριγµα ώστε κ ε δύκαμε πμο αζθεί τοημ σύστηµα οπμζηήνηγμα να ισορροπεί ζηε νάβδμ; ; (γ) Αφαιρούµε το m νάβδμξ ΑΒ ημο παναθάης 1 και από τη ϱάβδο κρέµεται µόνο το m ζπήμαημξ είκαη μμμγεκήξ, έπεη 2. Πού πρέπει να τοποθετήσουµε το μήθμξ θαη υποστήριγµα για να ισορροπεί η ϱάβδος Πόση είναι η δύναµη που ασκεί το υποστήριγµα θαη ηζμννμπεί στην ϱάβδο μνηδόκηηα. ; πμιμγηζζεί 3.4. ε ηάζε Μια οµογενής ημο σανίδα ΚΛ µήκους L = 10m και ϐάρους w = 1200N τοποθετείται πάνω σε µια επιφάνεια ώστε το τµήµα Λ µήκους L = 4m να προεξέχει της επιφάνειας. Ενας. Ιηα μμμγεκήξ ζακίδα ΗΘ μήθμοξ θαη βάνμοξ ημπμζεηείηαη άνθρωπος ϐάρους w 1 = 800N ξεκινάει από το άκρο Κ και κινείται πάνω στη σανίδα µε ς ζεμείμ μηα επηθάκεηα Α ε κατεύθυνση νάβδμξ ώζηε ημ προς ημήμα τοδθ Λ. μήθμοξ κα πνμελέπεη ηεξ επηθάκεηαξ. Έκαξ νςπμξ ζημκ ημίπμ. Ακ ε ηνηβή μοξ αη ε νάβδμξ είκαη μέγηζηε δοκαηή ώζηε κα ηζμννμπεί, κα βνεζεί μ ζοκηειεζηήξ ζηαηηθήξ ηκάεη αλύ νάβδμο από ημ θαη άθνμ ημίπμο. Η θηκείηαη πάκς ζηε άθνα Α θαη Β ηεξ μμμγεκμύξ νάβδμο μήθμοξ έπμομε θνεμάζεη 2 ζώμαηα με ίδα με θαηεύζοκζε ξ ημ Θ. θαη Δίκεηαη. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 19 νάβδμξ έπνη πμηά είκαη απόζηαζε αβανήξ, πμύ από πνέπεη ημ ζεμείμ κα ημπμζεηήζμομε Δ μπμνεί κα πενπαηήζεη ημ οπμζηήνηγμα ώζηε έηζη κα μεκ ώζηε ακαηναπεί ημ ε ίδα; ςκ ηνηώκ ζςμάηςκ κα ηζμννμπεί;

20 μ άθνμ Η άκς ζηε ηεύζοκζε απόζηαζε από Φυσική ημ ζεμείμ Γ Λυκείου Δ μπμνεί κα πενπαηήζεη ώζηε κα μεκ ακαηναπεί ε (α) Μέχρι ποια απόσταση x από το σηµείο µπορεί να περπατήσει ώστε να µην ανατραπεί η είκαη ε μέηνμ σανίδα ; ηεξ ακηίδναζεξ εθείκε ηεκ ζηηγμή; (ϐ) Πόσο είναι η µέτρο της αντίδρασης N εκείνη την στιγµή ; πακηθόξ βάνμοξ βνίζθεηαη πάκς ζε μηα μνηδόκηηα μμμγεκή ζακίδα 3.5. Ενας µηχανικός ϐάρους w 1 = 800N ϐρίσκεται πάνω σε µια οριζόντια οµογενή σανίδα θαη βάνμοξ ΑΒ, µήκους L = 10m. και ϐάρους w = 500N. Η σανίδα κρέµεται από δύο κατακόρυφα σχοινιά που είναι δεµένα στα άκρα Α και Β. Ολο το σύστηµα ισορροπεί οριζόντιο όπως εηαη από δύμ θαηαθόνοθα ϕαίνεται στοζπμηκηά σχήµα. πμο είκαη δεμέκα ζηα άθνα Α θαη Β. Όιμ ημ πεί μνηδόκηημ όπςξ θαίκεηαη ζημ βνεζμύκ ηα μέηνα ηςκ η ηςκ δύμ ζπμηκηώκ ε μέγηζηε θαη πμηά ε ειάπηζηε ηημή ηάζε ; (α) Να ϐρεθούν τα µέτρα των τάσεων T 1 και T 2 των δύο σχοινιών αν x = 8m. ηεξ απόζηαζεξ (ϐ), Ποια ημ μέηνμ είναιηεξ η µέγιστη ηάζεξ και ποια είκαη η ελάχιστη ίζμ με ημ τιµή μέηνμ του ηεξ µέτρου ηάζεξ της τάσης ; T 1 ; (γ) Για ποια τιµή της απόστασης x, το µέτρο της τάσης T ηδόκηημξ μμμγεκήξ δίζθμξ αθηίκαξ μπμνεί κα πενηζηνέθεηαη 1 είναι ίσο µε το µέτρο της τάσης T πςνίξ 2 ; πό θαηαθόνοθμ άλμκα πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ημο. Ο δίζθμξ είκαη ανπηθά 3.6. Ενας αθίκεημξ οριζόντιος θαη ηε οµογενής πνμκηθή δίσκος ζηηγμή ακτίνας R δέπεηαη = 0, 1m εθαπημμεκηθά µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Ο δίσκος είναι ζηεκ πενηθένεηά ημο ανηζηενόζηνμθε δύκαμε αρχικά ακίνητος και τη χρονική στιγµή t = 0 δέχεται εφαπτοµενικά στην περιφέρειά τουμέηνμο αριστερόστροφη δύναµη θαη µέτρου ε μπμία F 1 = ημο 10Nπνμζδίδεη και η οποία γςκηαθή του προσδίδει γωνιακή επιτάχυνση µέτρου α γων = 20rad/s 2. Α. Να υπολογίσετε : επηηάποκζε μέηνμο. (α) Τη ϱοπή αδράνειας I cm του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του. Α. Κα οπμιμγίζεηε: (ϐ) Τη µάζα M του δίσκου. khs.wordpress.com (γ) Το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου τη χρονική στιγµή t 1 = 5s. αδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 12 Β. Τη χρονική στιγµή t 1 καταργούµε ακαριαία τη δύναµη F 1. (δ) Να υπολογίσετε τον αριθµό των περιστροφών που ϑα κάνει ο δίσκος από τη χρονική στιγµή t 1 έως τη χρονική στιγµή t 2 = 15s. ίνεται η ϱοπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του I cm = 1 2 MR2. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 20

21 3.7. Μια οµογενής λεπτή δοκός ΚΑ, µάζας M = 6kg και µήκους L = 2m, µπορεί να στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Κ. Στο άκρο Α της δοκού ασκείται οριζόντια δύναµη σταθερού F = 10N κάθετα στη δοκό και η δοκός αρχίζει να περιστρέφεται αριστερόστροφα. Κατά την περιστροφή της δοκού υπάρχουν τριβές, που δηµιουργούν ϱοπή ως προς τον άξονα περιστροφής µέτρου τ T = 4N m. Να υπολογίσετε : (α) Το µέτρο της συνισταµένης των ϱοπών, ως προς τον άξονα περιστροφής, κατά τη διάρκεια της περιστροφής της δοκού. (ϐ) Τη ϱοπή αδράνειας της δοκού ως προς τον άξονα περιστροφής της. (γ) Το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης. (δ) Το µέτρο της γραµµικής ταχύτητας του κέντρου µάζας της, όταν η δοκός έχει διαγράψει N = 8 π περιστροφές. ίνεται η ϱοπή αδράνειας της δοκού ως προς άξονα κάθετο στη δοκό, που διέρχεται από το κέντρο µάζας της I cm = 1 12 ML Οµογενής συµπαγής κύλινδρος ακτίνας R = 0, 05m, µπορεί να στρέφεται (τριβές α- µελητέες) γύρω από κατακόρυφο άξονα, που συµπίπτει µε τον άξονα συµµετρίας του. Στην περιφέρειά του έχουµε τυλίξει αβαρές µη εκτατό νήµα. Τη χρονική στιγµή t = 0, αρχίζουµε να σύρουµε το άκρο του νήµατος, ασκώντας εφαπτοµενική δύναµη µέτρου F = 1N. Τη χρονική στιγµή t = 4s, ο κύλινδρος περιστρέφεται αριστερόστροφα και έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω = 20rad/s. Να υπολογίσετε : (α) Το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του κυλίνδρου. (ϐ) Τη ϱοπή αδράνειας του κυλίνδρου, χωρίς να ϑεωρήσετε γνωστό τον τύπο της ϱοπής α- δράνειας κυλίνδρου. (γ) Το µέτρο της γωνιακής µετατόπισης του κυλίνδρου τη χρονική στιγµή t = 4s. (δ) Το µήκος του νήµατος, που ξετυλίχθηκε µέχρι τη χρονική στιγµή t = 4s, ϑεωρώντας ότι αυτό δεν ολισθαίνει πάνω στην επιφάνεια του κυλίνδρου Μια οµογενής ϱάβδος, µάζας M = 3kg και µήκους L = 2m, ισορροπεί σε οριζόντια ϑέση, στηριζόµενη µε το αριστερό άκρο της Α σε κατακόρυφο τοίχο µε άρθρωση και δεµένη στο σηµείο στο κάτω άκρο κατακόρυφου νήµατος, του οποίου το πάνω άκρο είναι ακλόνητα στερεωµένο. Αν η τάση του νήµατος είναι T = 20N, να υπολογίσετε : (α) την απόσταση του σηµείου, από το άκρο Α. (ϐ) τη δύναµη στήριξης από την άρθρωση. Τη χρονική στιγµή t = 0 κόβουµε το νήµα, οπότε η ϱάβδος πέφτει στρεφόµενη γύρω από την άρθρωση. Αν η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς κάθετο σε αυτήν άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας της είναι I cm = 1 12 ML2, να υπολογίσετε το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ϱάβδου τη στιγµή : Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 21

22 ήξ νάβδμξ, μάδαξ θαη μήθμοξ, ηζμννμπεί ζε όμεκε με ημ ανηζηενό Φυσική άθνμ Γ Λυκείου ηεξ Α ζε θαηαθόνοθμ ημίπμ με άνζνςζε θαη ζημ θάης άθνμ θαηαθόνοθμο κήμαημξ, ημο μπμίμο ημ πάκς άθνμ είκαη μ. Ακ ε ηάζε ημο κήμαημξ πμιμγίζεηε: μείμο Δ, από ημ άθνμ Α. από ηεκ άνζνςζε. θόβμομε ημ κήμα, μπόηε ε νάβδμξ ύνς από ηεκ άνζνςζε. Ακ ε νμπή ο ςξ πνμξ θάζεημ ζ αοηήκ άλμκα νμ μάδαξ ηεξ είκαη (γ) της εκκίνησης., μ ηεξ γςκηαθήξ επηηάποκζεξ (δ) κατά την οποία ηεξ νάβδμο η ϱάβδος ηε σχηµατίζει ζηηγμή: µε την αρχική ϑέση γωνία φ, τέτοια ώστε συνφ = 0, 8. ίνεται η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s Ο τροχός ενός αναποδογυρισµένου ποδηλάτου, αποτελείται από οµογενή στεφάνη αµελητέου πάχους, µε µάζα M = 1kg και ακτίνα R = 0, 5m, και τις ακτίνες του, µάζας πεμαηίδεη με ηεκ ανπηθή ζέζε γςκία, ηέημηα ώζηε. m = 0, 02kg η καθεµία και µήκους L = R. Ο τροχός στρέφεται αρχικά γύρω από τον άξονά Δίκεηαη του, ε επηηάποκζε στο κέντρο του, ηεξ βανύηεηαξ έχοντας γωνιακή ταχύτητα. µέτρου ω 0 = 100rad/s. Τη χρονική στιγµή t = 0, πατάµε το ϕρένο, οπότε ο τροχός ακινητοποιείται µε σταθερό ϱυθµό σε t επηή νάβδμξ μήθμοξ 1 = 2s. Να υπολογίσετε : θαη μάδαξ μπμνεί κα (α) τη ϱοπή αδράνειας της στεφάνης ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό της, που διέρχεται γύνς από μνηδόκηημ άλμκα, θάζεημ ζε αοηήκ ζημ άθνμ ηεξ Ο. Έκα από το κέντρο µάζας της., είκαη ζηενεςμέκμ ζημ άιιμ άθνμ ηεξ Α. Ανπηθά ε νάβδμξ (ϐ) τον αριθµό των ακτίνων του τροχού. ηα ζέζε θαη ηε πνμκηθή ζηηγμή αθήκεηαη ειεύζενε, μπόηε (γ) τον αριθµό των στροφών, που έκανε ο τροχός µέχρι να ακινητοποιηθεί. ημκ άλμκα ζημ Ο ζε θαηαθόνοθμ επίπεδμ. (δ) το µέτρο της δύναµης της τριβής, που εφαρµόστηκε από το ϕρένο στη στεφάνη. ίνονται η ϱοπή αδράνειας της κάθε ακτίνας ως προς κάθετο σε αυτήν άξονα διερχόµενο από το άκρο της : I κεηαξ ημο ζοζηήμαημξ. α = 1 3 ML2, η ϱοπή αδράνειάς ολόκληρου του τροχού ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του, που διέρχεται από τον άξονά του είναι I τρ = 0, 8kg m 2. μέκεξ ηςκ νμπώκ, ςξ πνμξ ημκ άλμκα ζημ Ο ηε πνμκηθή ζηηγμή, πμο ε ύο σηµειακές σφαίρες που η καθεµιά έχει µάζα m = 0, 1kg συνδέονται µεταξύ τους γςκία, ηέημηα µεώζηε οριζόντια αβαρή ϱάβδο.. Το σύστηµα περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος τέµνει τη ϱάβδο σε σηµείο που απέχει από τη µία µάζα l = 1m και από την άλλη ήξ επηηάποκζε ηε l = πνμκηθή 2l = 2m ζηηγμή. Το σύστηµα. στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω = 10rad/s αντίθετα από τη ϕορά κίνησης των δεικτών του ϱολογιού. (α) Να ϐρεθεί η ϱοπή αδράνειας του συστήµατος. γναθηθή πανάζηαζε ηεξ γςκηαθήξ επηηάποκζεξ ζε ζοκάνηεζε ημο (ϐ) Να υπολογιστεί η στροφορµή του συστήµατος. ξ, πμο ζπεμαηίδεη ε νάβδμξ με ημκ μνηδόκηημ εμηάλμκα Οπ, θαηά ηεκ (γ) Να σχεδιαστεί το διάνυσµα της στροφορµής του συστήµατος. κ ανπηθή μνηδόκηηα ζέζε έςξ ηεκ θαηαθόνοθε ζέζε. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 22 dpress.com ίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 15

23 με μνηδόκηηα αβανή νάβδμ. Τμ ζύζηεμα πενηζηνέθεηαη γύνς από θαηαθόνοθμ άλμκα, μ ξ ηέμκεη ηε νάβδμ ζε ζεμείμ πμο απέπεη από ηε μία μάδα θαη από ηεκ. ζηεμα ζηνέθεηαη Φυσική με γςκηαθή Γ Λυκείου ηαπύηεηα κ ημο νμιμγημύ. ακηίζεηα από ηε θμνά θίκεζεξ 6οηςκ Σετ Ασκήσεων α βνεζεί ε νμπή εηαξ ημο ζοζηήμαημξ. Κα οπμιμγηζηεί ε μνμή ημο ζοζηήμαημξ. ζπεδηαζηεί ημ δηάκοζμα μαημξ. ζηνμθμνμήξ ημο Οµογενής λεπτή ϱάβδος µήκους L = 1, 5m και µάζας M = 4kg µπορεί να στραφεί χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα, κάθετο σε αυτήν στο άκρο της Ο. Ενα σωµατίδιο, µάζας m = 2kg, είναι στερεωµένο στο άλλο άκρο της Α. Αρχικά η ϱάβδος ισορροπεί σε Έκαξ άκζνςπμξ οριζόντιαμάδαξ ϑέση και τη χρονικήζηέθεηαη στιγµή t = αθίκεημξ 0 αφήνεται ζηεκ ελεύθερη, πενηθένεηα οπότε αθίκεηεξ περιστρέφεται ως προς τον άξονα στο Ο σε κατακόρυφο επίπεδο. ηηαξ πιαηθόνμαξ μάδαξ θαη αθηίκαξ. Ε πιαηθόνμα μπμνεί κα Α. Να υπολογίσετε : ηνέθεηαη πςνίξ ηνηβέξ γύνς από θαηαθόνοθμ άλμκα πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ηεξ. Τεκ (α) την ολική ϱοπή αδράνειας του συστήµατος., o άκζνςπμξ ανπίδεη κα πενπαηά πάκς (ϐ) το µέτρο της συνισταµένης των ϱοπών, ως προς τον άξονα στο Ο τη χρονική στιγµή t πενηθένεηα ηεξ πιαηθόνμαξ, με ηαπύηεηα 1, που η ϱάβδος έχει διαγράψει γωνία φ, τέτοια ώστε συνφ = 0, 5. νμύ μέηνμο, (γ) το µέτροςξ τηςπνμξ γωνιακής ημ έδαθμξ, επιτάχυνση τη χρονική στιγµή t 1. εκμξ ακηίζεηα από ηε θμνά ηςκ δεηθηώκ ημο Β. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της γωνιακής επιτάχυνσης σε συνάρτηση του συνηημύ. µιτόνου της γωνίας φ, που σχηµατίζει η ϱάβδος µε τον οριζόντιο ηµιάξονα Οχ, κατά την περιστροφή της από την αρχική οριζόντια ϑέση έως την κατακόρυφη ϑέση. α βνεζεί ημ μέηνμ θαη ε θαηεύζοκζε ηεξ ίνονται η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς άξονα κάθετο στην ϱάβδο, που διέρχεται από το μνμήξ ημο ακζνώπμο. Κα ζπεδηαζηεί ημ δηάκοζμα κέντρο µάζας της I cm = 1 νμθμνμήξ ημο. Ο άκζνςπμξ μπμνεί κα 12ζεςνεζεί ML2 και η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s 2. θό ακηηθείμεκμ ύο σηµειακές µεταλλικές σφαίρες από σιδηροµαγνητικό υλικό, που η καθεµιά έχει θηκεζεί ε πιαηθόνμα; µάζα m Ακ = καη, 0.05kg με πμηα είναι γςκηαθή τοποθετηµένες ηαπύηεηα σε θαη µια πνμξ πλαστική πμηα θαηεύζοκζε; κούφια αβαρή ϱάβδο, µήκους l = 1m µε τέτοιο τρόπο ώστε να µπορούν να κινούνται χωρίς τριβές πάνω σε αυτή. Στο µέσον της ϱάβδου και εσωτερικά είναι τοποθετηµένος ένας αβαρής ηλεκτροµαγνήτης τον οποίο µπορούµε να ενεργοποιούµε από απόσταση. Το σύστηµα µπορεί να στρέφεται στο οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της ϱάβδου. Αρχικά ο ηλεκτροµαγνήτης είναι απενεργοποιηµένος, το /perifysikhs.wordpress.com εξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, σύστηµα Φοζηθόξ στρέφεται Msc µε συχνότητα f = 10 Hz και οι σφαίρες ϐρίσκονται στα Σειίδα άκρα16 της ϱάβδου π συγκρατούµενες µε λεπτό αβαρές νήµα που διατρέχει την κούφια ϱάβδο. Ενεργοποιούµε τον ηλεκτροµαγνήτη οπότε οι σφαίρες µετακινούνται ταυτόχρονα και πλησιάζουν σε απόσταση l 4 η καθεµιά από το µέσον της ϱάβδου Ο, όπου και σταµατούν µε τη ϐοήθεια κατάλληλου µηχανισµού. (α) Να υπολογιστεί η αρχική ϱοπή αδράνειας του συστήµατος. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 23

24 Δίκμκηαη ε νμπή αδνάκεηαξ ηεξ νάβδμο ςξ πνμξ άλμκα θάζεημ ζηεκ νάβδμ, πμο δηένπεηαη από ημ εμεηαθέξ μεηαιιηθέξ ζθαίνεξ από ζηδενμμαγκεηηθό οιηθό, πμο ε θαζεμηά έπεη είκαη ημπμζεηεμέκεξ ζε μηα πιαζηηθή θμύθηα αβανή νάβδμ, με ηέημημ ηνόπμ ώζηε κα μπμνμύκ κα θηκμύκηαη πςνίξ ηνηβέξ πάκς ζε αοηή. Φυσική Γ Λυκείου Δύμ ζεμεηαθέξ ζθαίνεξ πμο ε θαζεμηά έπεη μάδα 6οζοκδέμκηαη Σετ Ασκήσεων μεηαλύ ξ νάβδμο θαη εζςηενηθά ημοξ είκαη με μνηδόκηηα αβανή νάβδμ. Τμ ζύζηεμα πενηζηνέθεηαη γύνς από θαηαθόνοθμ άλμκα, μ έκαξ αβανήξ ειεθηνμμαγκήηεξ μπμίμξ ηέμκεη ηε νάβδμ ζε ζεμείμ πμο απέπεη από ηε μία μάδα θαη από ηεκ μνμύμε κα εκενγμπμημύμε άιιε από. ύζηεμα μπμνεί κα ζηνέθεηαη ζημ δμ γύνς από θαηαθόνοθμ άλμκα πό ημ θέκηνμ ηεξ νάβδμο. Ανπηθά ηεξ είκαη απεκενγμπμηεμέκμξ, ημ ζηνέθεηαη θέκηνμ μάδαξ ηεξ θαη ε επηηάποκζε ηεξ βανύηεηαξ. Τμ ζύζηεμα ζηνέθεηαη με γςκηαθή ηαπύηεηα δεηθηώκ ημο νμιμγημύ. α) Κα βνεζεί ε νμπή αδνάκεηαξ ημο ζοζηήμαημξ. με β) Κα οπμιμγηζηεί ε ζηνμθμνμή ημο ζοζηήμαημξ. θαη μη ζθαίνεξ γ) Κα ζπεδηαζηεί ημ δηάκοζμα (ϐ) Να υπολογιστεί η αρχική στροφορµή του συστήµατος. άθνα ηεξ νάβδμο ζογθναημύμεκεξ ηεξ ζηνμθμνμήξ ημο ξ κήμα πμο δηαηνέπεη (γ) Ναηεκ υπολογιστεί ζοζηήμαημξ. θμύθηα η νέα συχνότητα περιστροφής του συστήµατος. ακηίζεηα από ηε θμνά θίκεζεξ ηςκ μημύμε ημκ ειεθηνμμαγκήηε (δ) Πόσο τοις μπόηε εκατό ϑα µεταβληθεί η συχνότητα περιστροφής του συστήµατος µετά τη µετακίνηση των σφαιρών ; Έκαξ άκζνςπμξ μάδαξ ζηέθεηαη αθίκεημξ ζηεκ πενηθένεηα αθίκεηεξ θηκμύκηαη ηαοηόπνμκα Ενας άνθρωπος θαη πιεζηάδμοκ µάζας m ζε = 60kg απόζηαζε στέκεται ακίνητος ε θαζεμηά στην από περιφέρεια ημ μέζμκ ακίνητης οριζόντιας πμο θαη ζηαμαημύκ πλατφόρµας με ηε βμήζεηα µάζαςθαηάιιειμο M = 160kgμεπακηζμμύ. και ακτίνας R = 1, 5m. μνηδόκηηαξ πιαηθόνμαξ μάδαξ θαη αθηίκαξ. Ε πιαηθόνμα μπμνεί κα πενηζηνέθεηαη πςνίξ ηνηβέξ γύνς από θαηαθόνοθμ άλμκα πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ηεξ. Τεκ ζηηγμή, o άκζνςπμξ ανπίδεη κα πενπαηά πάκς Η πλατφόρµα µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω εί ε ανπηθή νμπή αδνάκεηαξ ημο ζοζηήμαημξ. από κατακόρυφο ζηεκ πενηθένεηα άξονα πουηεξ διέρχεται πιαηθόνμαξ, από τομε κέντρο ηαπύηεηα της. Την στιγµή t = 0, ο άνθρωπος αρχίζει να περπατά πάνω στην εί ε ανπηθή ζηνμθμνμή ημο ζηαζενμύ ζοζηήμαημξ. μέηνμο, ςξ πνμξ ημ έδαθμξ, περιφέρεια της πλατφόρµας, µε ταχύτητα σταθερού µέτρου, θηκμύμεκμξ ακηίζεηα από ηε θμνά ηςκ δεηθηώκ ημο υ = 2m/s ως προς το έδαφος, κινούµενος αντίθετα από τη hs.wordpress.com νμιμγημύ. ϕορά των δεικτών του ϱολογιού. δεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 18 α) Κα βνεζεί ημ μέηνμ θαη ε θαηεύζοκζε ηεξ (α) Να ϐρεθεί το µέτρο και η κατεύθυνση της στροφορµής του ανθρώπου. Να σχεδιαστεί το ζηνμθμνμήξ ημο ακζνώπμο. Κα ζπεδηαζηεί ημ δηάκοζμα διάνυσµα της στροφορµής του. Ο άνθρωπος µπορεί να ϑεωρηθεί σηµειακό αντικείµενο. ηεξ ζηνμθμνμήξ γ) Ιεηά ημο. από Ο πόζμ άκζνςπμξ πνμκηθό μπμνεί δηάζηεμα κα μ ζεςνεζεί άκζνςπμξ ζα λακαβνεζεί ζηε ζέζε ηεξ πιαηθόνμαξ από (ϐ) Θα κινηθεί ζεμεηαθό η πλατφόρµα ηεκ ακηηθείμεκμ. μπμία λεθίκεζε; ; Αν ναι, µε ποια γωνιακή ταχύτητα και προς ποια κατεύθυνση ; (γ) Μετά από β) Θα πόσο θηκεζεί Δίκεηαη χρονικό ε πιαηθόνμα; ε νμπή διάστηµα αδνάκεηαξ Ακ καη, οηεξ με άνθρωπος πμηα πιαηθόνμαξ γςκηαθή ϑα ςξ ξαναβρεθεί ηαπύηεηα πνμξ άλμκα θαη στη πνμξ πμο ϑέση πμηα είκαη θαηεύζοκζε; της θάζεημξ πλατφόρµας ζ αοηήκ θαη από την οποία ξεκίνησε ; δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ηεξ,. ίνεται η ϱοπή αδράνειας της πλατφόρµας ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το κέντρο της, Ονηδόκηημξ I cm = 1 2 MR2 μμμγεκήξ. δίζθμξ (1) μάδαξ θαη αθηίκαξ, Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 16 πενηζηνέθεηαη με γςκηαθή ηαπύηεηα μέηνμο θαηά ηε θμνά ηεξ θίκεζεξ ηςκ Οριζόντιος οµογενής δίσκος (1) µάζας m = 1kg και ακτίνας R = 0, 1m, περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω 1 = 10rad/s κατά τη ϕορά της κίνησης των δεικτών του μέηνμο με θμνά ακηίζεηε από ϱολογιού. δεηθηώκ ημο νμιμγημύ. Δεύηενμξ, όμμημξ δίζθμξ (2) πενηζηνέθεηαη με γςκηαθή ηαπύηεηα αοηήκ ηεξ θίκεζεξ ηςκ δεηθηώκ ημο νμιμγημύ, γύνς εύτερος, όµοιος δίσκος από ημκ (2) ίδημ περιστρέφεται θαηαθόνοθμ άλμκα µεπμο γωνιακή δηένπεηαη τα- από χύτητα µέτρου ω 2 = 5rad/s µε ϕορά αντίθετη από αυτήν ηα θέκηνα θαη ηςκ δύμ δίζθςκ θαη είκαη θάζεημξ ζε της κίνησης των δεικτών αοημύξ. του ϱολογιού, γύρω από τον ίδιο κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από τα κέντρα και των δύο δίσκων και είναι κάθετος σε αυτούς. α) Κα ζπεδηάζεηε ηηξ ζηνμθμνμέξ ηςκ δύμ δίζθςκ ςξ πνμξ ημκ θμηκό άλμκα πενηζηνμθήξ θαη κα οπμιμγίζεηε ηα μέηνα ημοξ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 24 β) Τε πνμκηθή ζηηγμή μ δίζθμξ 1 αθήκεηαη πάκς ζημ δίζθμ 2, μπόηε ιόγς ηνηβώκ μη δύμ δίζθμη απμθημύκ ηεκ ίδηα γςκηαθή ηαπύηεηα. Κα οπμιμγηζηεί ε θμηκή γςκηαθή ημοξ ηαπύηεηα. γ) Από ηε ζηηγμή πμο μη δίζθμη ένπμκηαη ζε επαθή, μέπνη κα απμθηήζμοκ ηεκ ίδηα γςκηαθή

25 (α) Να σχεδιάσετε τις στροφορµές των δύο δίσκων ως προς τον κοινό άξονα περιστροφής και γ) Κα να οπμιμγηζηεί υπολογίσετε ε τα κέα µέτρα ζοπκόηεηα τους. πενηζηνμθήξ ημο ζοζηήμαημξ. γ) Κα οπμιμγηζηεί ε κέα ζοπκόηεηα πενηζηνμθήξ ημο (ϐ) Τη χρονική στιγµή ο δίσκος 1 αφήνεται πάνω στο δίσκο 2, οπότε λόγω τριβών οι δύο δίσκοι δ) Πόζμ ημηξ εθαηό ζα μεηαβιεζεί ε ζοπκόηεηα πενηζηνμθήξ αποκτούν την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Να υπολογιστεί δ) ημο ηπόζμ ζοζηήμαημξ κοινήημηξ γωνιακή εθαηό μεηά τους ζα ηε μεηαβιεζεί μεηαθίκεζε ταχύτητα. ε ζοπκόηεηα πεν ηςκ ζθαηνώκ; ηςκ ζθαηνώκ; (γ) Από τη στιγµή που οι δίσκοι έρχονται σε επαφή, µέχρι να αποκτήσουν την ίδια γωνιακή ταχύτηταονηδόκηημξ πέρασε χρόνος μμμγεκήξ t = 0, 1s. θαη Να υπολογίσετε ζομπαγήξ το δίζθμξ, µέτρο της μάδαξ σταθερής ϱοπής της θαη Ονηδόκηημξ μμμγεκήξ θαη ζομ τριβής που ασκήθηκε σε κάθε δίσκο στο χρονικό διάστηµα αυτό. αθηίκαξ, μπμνεί κα πενηζηνέθεηαη πςνίξ ηνηβέξ γύνς από θαηαθόνοθμ άλμκα πμο αθηίκαξ, μπμνεί κα πενηζηνέθεηαη πςν ίνεται δηένπεηαη η ϱοπή από αδράνειας ημ θέκηνμ ημο ενός (Ο). δίσκου ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτόν και διέρχεται από το κέντρο µάζας του, I cm = 1 Ανπηθά μ δίζθμξ ενεμεί. Τε πνμκηθή ζηηγμή αζθμύμε ζημ 2 MR2. δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ημο (Ο). Ανπηθά μ δίζθμξ ε δίζθμ δύκαμε ζηαζενμύ μέηνμο ε μπμία εθάπηεηαη ζοκεπώξ ζηεκ πενηθένεηά ημο, δίζθμ δύκαμε ζηαζενμύ μέηνμο ε μπμία Οριζόντιος οµογενής και συµπαγής δίσκος, μπόηε µάζας μ δίζθμξ M = ανπίδεη 6kg και πενηζηνέθεηαη. ακτίνας R = Ηάπμηα 1m, µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από μπόηε πνμκηθή ζηηγμή μ δίζθμξ έπεη ζηνμθμνμή το κέντρο του (Ο). Αρχικά ο δίσκος ηρεµεί. πνμκηθ μέηνμο. Τη χρονική στιγµή t = 0 ασκούµε στο δίσκο δύναµη F σταθερού µέτρου 6N η οποία εφάπτεται συνεχώς στην περιφέρειά του, οπότε ο δίσκος αρχίζει να Γηα περιστρέφεται. αοηή ηε πνμκηθή ζηηγμή κα οπμιμγίζεηε: μέηνμο Κάποια χρονική στιγµή t 1 ο δίσκος έχει στροφορµή µέτρου Γηα αοη L = 60Kg m 2 /s. Για αυτή τη χρονική στιγµή α) t 1 ημ ναένγμ υπολογίσετε ηεξ δύκαμεξ ζημ πνμκηθό δηάζηεμα : από έςξ. α) ημ (α) το έργο της δύναµης F στο χρονικό διάστηµα από t = 0 έως t = t 1. β) ημκ ανηζμό ηςκ ζηνμθώκ πμο έπεη δηαγνάρεη μ από (ϐ) τον αριθµό των στροφών που έχει διαγράψει δίζθμξ οζημ δίσκος παναπάκς στο παραπάνω πνμκηθό δηάζηεμα. χρονικό διάστηµα. β) ημκ (γ) το ϱυθµό µε τον οποίο η δύναµη F µεταφέρει ενέργεια στο δίσκο τη χρονική στιγµή t 1. δίζθμξ γ) ημ νοζμό με ημκ μπμίμ ε δύκαμε μεηαθένεη εκένγεηα ζηo δίζθμ ηε πνμκηθή ζηηγμή.δ) ημ (δ) το ϱυθµό µεταβολής της κινητικής του ενέργειας τη χρονική στιγµή t 1. Τι εκφράζει ο νοζμό ϱυθµός μεηαβμιήξ αυτός ; ηεξ θηκεηηθήξ ημο εκένγεηαξ ηε πνμκηθή γ) ημ ζηηγμή νοζμό. με Τη ημκ εθθνάδεη μπμίμ ε μ δύκαμε νοζμόξ μεηαθένεη ε αοηόξ; νοζμό μεηαβμιήξ ηεξ θηκεηηθήξ ημο εκένγεηαξ ηε ίνονται : 50 π 16 και η ϱοπή αδράνειας του δίσκου ως προς αοηόξ; cm = 1 2 MR2. Δίκμκηαη: θαη ε νμπή αδνάκεηαξ ημο δίζθμο ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ Μια οµογενής και συµπαγής σφαίρα µάζας M = 4kg και ακτίνας R = 0, 5m αφήνεται Δίκμκηαη: θαη ε νμπή αδνάκεηαξ ημο (ϑέση ημο Α) να κυλήσει. κατά µήκος ενός πλάγιου επιπέδου γωνίας κλίσης ϕ, µε ηµφ = 0, 35. Ιηα μμμγεκήξ θαη ζομπαγήξ ζθαίνα Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Τη στιγµή που τοημο. κέντρο μάδαξ µάζας της σφαίρας θαη έχει κατακόρυφη αθηίκαξ µετατόπιση αθήκεηαη h = 7m (ζέζε (ϑέσηα) Γ), κα να υπολογίσετε θοιήζεη θαηά : μήθμξ εκόξ πιάγημο επηπέδμο Ιηα μμμγεκήξ θαη ζομπαγήξ (α) γςκίαξ το µέτρο θιίζεξ της θ, γωνιακής με ταχύτητας.. Ε ζθαίνα θοιίεηαη πςνίξ μάδαξ θαη αθηίκαξ κα μιηζζαίκεη. Τε ζηηγμή πμο ημ θέκηνμ μάδαξ ηεξ ζθαίναξ (ζέζε Α) κα θοιήζεη θαηά μήθμξ εκόξ πιάγημο (ϐ) τον αριθµό των περιστροφών που έχει εκτελέσει µέχρι τότε. έπεη θαηαθόνοθε μεηαηόπηζε (ζέζε Γ), γςκίαξ κα θιίζεξ θ, με. Ε ζθαίνα θοιί (γ) οπμιμγίζεηε: το λόγο της µεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια της σφαίρας σε κάποια κα μιηζζαίκεη. Τε ζηηγμή πμο ημ θέκηνμ μάδαξ ηε α) ημ χρονική μέηνμ ηεξ στιγµή, γςκηαθήξ κατάηαπύηεηαξ. τη διάρκεια της κίνησής της. έπεη θαηαθόνοθε μεηαηόπηζε (ζέζε Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 25 οπμιμγίζεηε: Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 19 α) ημ μέηνμ ηεξ γςκηαθήξ ηαπύηεηαξ. Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc

26 μκηθή ζηηγμή ε νάβδμξ είκαη αθίκεηε. Κα ηεξ νάβδμο ςξ πνμξ ημ ζεμείμ Ο. γεη ε δύκαμε ζηε δηάνθεηα ηεξ πνώηεξ πενηζηνμθήξ. Φυσική Γ Λυκείου ηα πμο έπεη ε νάβδμξ μεηά από δύμ πενηζηνμθέξ.δ) Ο νοζμόξ με ημκ μπμίμ ε ένγεηα ζηε νάβδμ ζημ ηέιμξ ηεξ δεύηενεξ πενηζηνμθήξ. (δ) Για τη µετατόπιση της σφαίρας από τη ϑέση Α έως τη ϑέση Γ να υπολογίσετε µε τη ϐοήθεια του ϑεωρήµατος έργου-ενέργειας το έργο της στατικής τριβής : (δ1) κατά τη µεταφορική κίνηση. (δ2) κατά τη περιστροφική κίνηση. Τι παρατηρείτε ;. Ε απόζηαζε ίνονται : Η ϱοπή αδράνειας θαη ε νμπή της σφαίρας αδνάκεηαξ ως προς ηεξ νάβδμο τον άξονάςξ της I cm = 2 5 MR2 και η επιτάχυνση ημ της θέκηνμ ϐαρύτητας μάδαξ g = 10m/s ηεξ 2. θαη είκαη θάζεημξ δηένπεηαη από ζηε Η ϱάβδος ΑΒ είναι οµογενής και ισοπαχής µε µήκος L = 2m και µάζα M = 3kg. Το άκρο Α της ϱάβδου συνδέεται µε άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο της Β συνδέεται µε τον τοίχο µε αβαρές νήµα που σχηµατίζει γωνία φ = 30 o µε τη ϱάβδο, η οποία ισορροπεί οριζόντια, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. ΑΒ είκαη μμμγεκήξ θαη ηζμπαπήξ με η μάδα. Τμ άθνμ Α ηεξ ε άνζνςζε ζε θαηαθόνοθμ ημίπμ. Τμ δέεηαη με ημκ ημίπμ με αβανέξ κήμα πμο ordpress.com ηνίμο, Φοζηθόξ Msc (α) Να υπολογίσετε το µέτρο της δύναµης που ασκείται Σειίδα στη ϱάβδο 20 από το νήµα. Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα στο άκρο Β και η ϱάβδος αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από την άρθρωση σε κατακόρυφο επίπεδο. Να υπολογίσετε : (ϐ) Το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ϱάβδου µόλις κοπεί το νήµα. (γ) Την κινητική ενέργεια της ϱάβδου, τη στιγµή που διέρχεται από την κατακόρυφη ϑέση. Τμ γημ-γημ ημο ζπήμαημξ απμηει (δ) Σε ποια ϑέση της ϱάβδου, καθώς αυτή κινείται από την οριζόντια αρχική της ϑέση και µέχρι να διέλθει από την κατακόρυφη ϑέση, ο ϱυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας της είναι στιγµιαία µηδέν kg θαη αθηίκα R = 1, m. Γ t = 0 αθήκμομε ημκ θύιηκδνμ κ ίνονται : Η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος σε αυτή I cm = 1 12 ML2, η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s 2. γύνω από κμεηό μνηδόκηημ άλμκ Τμ κήμα ζε όιε ηε δηάνθεηα ηεξ Το γιο-γιο του σχήµατος αποτελείται από οµογενή συµπαγή κύλινδρο που έχει µάζα m = 0, 12kg και ακτίνα R = 1, 5&10 2 m. Γύρω από τον κύλινδρο έχει τυλιχτεί νήµα. Τη χρονική στιγµή t = 0 αφήνουµε τον κύλινδρο να πέσει. Το νήµα ξετυλίγεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από νοητό οριζόντιο άξονα x x, ο οποίος ταυτίζεται µε τον άξονα συµµετρίας του. Το νήµα σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του κυλίνδρου παραµένει κατακόρυφο και τεντωµένο και δεν ολισθαίνει στην περι- ϕέρεια του κυλίνδρου. Τη στιγµή που έχει ξετυλιχτεί νήµα µήκους l = 20R, η ταχύτητα του κέντρου µάζας του κυλίνδρου είναι υ cm = 2m/s. θαη δεκ μιηζζαίκεη ζηεκ πενηθέν Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 26 Τε ζηηγμή πμο έπεη λεηο ημο θοιίκδνμο είκαη u cm = 2 m/s

27 (α) Να υπολογίσετε τη ϱοπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του µε εφαρµογή του δεύτερου νόµου του Νεύτωνα για τη στροφική κίνηση. (ϐ) Να υπολογίσετε το µέτρο του ϱυθµού µεταβολής της στροφορµής του κυλίνδρου, καθώς αυτός κατέρχεται. (γ) Τη χρονική στιγµή που η ταχύτητα του κέντρου µάζας του κυλίνδρου είναι υ cm = 2m/s, κόβουµε το νήµα. Να υπολογίσετε το µέτρο της στροφορµής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του µετά την πάροδο χρόνου 0, 8s από τη στιγµή που κόπηκε το νήµα. (δ) Να κάνετε σε ϐαθµολογηµένους άξονες το διάγραµµα του µέτρου της στροφορµής σε συνάρτηση µε το χρόνο από τη χρονική στιγµή t = 0, µέχρι τη χρονική στιγµή που αντιστοιχεί σε χρόνο 0, 8s από τη στιγµή που κόπηκε το νήµα. ίνεται : g = 10m/s Οµογενής και ισοπαχής ϱάβδος µήκους L = 4m και µάζας M = 2kg ισορροπεί ορι- Ϲόντια. Το άκρο Α της ϱάβδου συνδέεται µε άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Σε σηµείο Κ της ϱάβδου έχει προσδεθεί το ένα άκρο κατακόρυφου αβαρούς νήµατος σταθερού µήκους, µε το επάνω άκρο του συνδεδεµένο στην οροφή, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. Στο σηµείο Γ ισορροπεί οµογενής σφαίρα µάζας m = 2, 5kg και ακτίνας r = 0, 2m. ίνονται (ΑΚ) = L 4 και (ΑΓ) = 3L 4. (α) Να υπολογισθεί το µέτρο της δύναµης που ασκεί το νήµα στη ϱάβδο. Τη χρονική στιγµή t = 0 ασκείται στο κέντρο µάζας της σφαίρας µε κατάλληλο τρόπο, σταθερή οριζόντια δύναµη µέτρου F = 7N, µε ϕορά προς το άκρο Β. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. (ϐ) Να υπολογισθεί το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας της σφαίρας κατά την κίνησή της. (ϐ) Να υπολογισθεί το µέτρο της ταχύτητας του κέντρου µάζας της σφαίρας όταν ϕθάσει στο άκρο Β. (ϐ) Να υπολογισθεί το µέτρο της στροφορµής της σφαίρας όταν ϕθάσει στο άκρο Β. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 27

28 ίνονται : g = 10m/s 2, και η ϱοπή αδράνειας της σφαίρας ως προς το κέντρο µάζας I cm = 2 5 mr2. Πανελλήνιες Εξετάσεις Μάης Οµογενής και ισοπαχής δοκός (ΟΑ), µάζας M = 6kg και µήκους l = 0, 3m, µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα άκρο της Ο. Στο άλλο της άκρο Α υπάρχει στερεωµένη µικρή σφαίρα µάζας m = M 2. (α) Βρείτε την ϱοπή αδράνειας του συστήµατος δοκού - σφαίρας ως προς τον άξονα περιστρο- ϕής του. Ασκούµε στο άκρο Α δύναµη, σταθερού µέτρου F = 120 N που είναι συνεχώς κάθετη στη π δοκό, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. (ϐ) Βρείτε το έργο της δύναµης F κατά την περιστροφή του συστήµατος µέχρι την οριζόντια ϑέση της. (γ) Βρείτε την γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος δοκού - σφαίρας στην οριζόντια ϑέση. Επαναφέρουµε το σύστηµα δοκού-σφαίρας στην αρχική κατακόρυφη ϑέση του. Ασκούµε στο άκρο Α δύναµη, σταθερού µέτρου F = 30 3N, που είναι συνεχώς κάθετη στη δοκό. (δ) Βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει η δοκός µε την κατακόρυφο τη στιγµή που η κινητική της ενέργεια γίνεται µέγιστη. ίνονται : g = 10m/s 2,I cm = 1 12 Ml2, η ϱοπή αδράνειας οµογενούς δοκού µάζας M και µήκους l, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος σε αυτήν. (Πανελλήνιες Εξετάσεις Μάης 2012, Πρόβληµα στην διατύπωση του (δ), ϑεωρήστε ότι η γωνία είναι µικρότερη από 2π.) Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 28

29 3.22. ύο ϱάβδοι είναι συνδεδεµένες στο άκρο τους Α και σχηµατίζουν σταθερή γωνία 60 o µεταξύ τους, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 7. Οι ϱάβδοι είναι διαφορετικές µεταξύ τους, αλλά κάθε µία είναι οµογενής. Το σύστηµα των δύο ϱάβδων µπορεί να περιστρέφεται γύρω από άρθρωση, που είναι στερεωµένη σε τοίχο, στο άκρο Α, χωρίς τριβές. Το σύστηµα αφήνεται να περιστραφεί υπό την επίδραση της ϐαρύτητας από τη ϑέση του Σχήµατος 7, όπου η ϱάβδος l 1 είναι οριζόντια, µε αρχική ταχύτητα µηδέν. ίνεται ότι τα µήκη των δύο ϱάβδων είναι l 1 = 4m και l 2 = 2m, ενώ η µάζα της ϱάβδου l 2 είναι m 2 = 10kg (α) Να υπολογίσετε τη µάζα m 1 της ϱάβδου µήκους l 1, εάν το σύστηµα αποκτά τη µέγιστη γωνιακή ταχύτητα τη χρονική στιγµή που οι δύο ϱάβδοι σχηµατίζουν ίσες γωνίες µε την κατακόρυφο, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 8. (ϐ) Να υπολογίσετε τη µάζα m 1 της ϱάβδου µήκους l 1, εάν το σύστηµα σταµατά στιγµιαία, όταν η ϱάβδος µήκους l 1 ϕτάνει στην κατακόρυφη ϑέση που ϕαίνεται στο Σχήµα 9. (γ) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήµατος των δύο ϱάβδων του ερωτήµατος (ϐ) στη ϑέση που απεικονίζεται στο Σχήµα 9. (δ) Να υπολογίσετε τον ϱυθµό µεταβολής της στροφορµής της ϱάβδου µήκους l 2 του ερωτήµατος (ϐ) στη ϑέση που απεικονίζεται στο Σχήµα 9. ίνονται : η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s 2, η ϱοπή αδρανείας ϱάβδου µήκους l και µάζας m που περιστρέφεται γύρω από το άκρο της Α, I = 1 3 ml2, και ότι 3 = 1, 7(προσεγγιστικά). Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 29

30 Επαναληπτικές Πανελλήνιες Εξετάσεις Ιούνης Η οµογενής τροχαλία του σχήµατος 3 έχει µάζα M = 4kg και ακτίνα R = 0, 1m και µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Τα σώµατα Σ1 και Σ2 έχουν µάζες m 1 = 2kg καιm 2 = 1kg αντίστοιχα και είναι δεµένα στα άκρα αβαρούς σχοινιού που διέρχεται από το αυλάκι της τροχαλίας. Αρχικά, τα σώµατα Σ1 και Σ2 διατηρούνται ακίνητα και τα κέντρα µάζας τους ϐρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγµή t 0 = 0 τα σώµατα αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν. (α) Να υπολογίσετε το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας. (ϐ) Να υπολογίσετε το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος Σ1 τη χρονική στιγµή t 1 = 3s. (γ) Να υπολογίσετε τον αριθµό περιστροφών της τροχαλίας µέχρι τη χρονική στιγµή t 1 = 3s Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 30

31 (δ) Να υπολογίσετε το µέτρο του ϱυθµού µεταβολής της στροφορµής του συστήµατος των σωµάτων Σ1, Σ2 και τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας. ίνονται : Η ϱοπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της I = 1 2 MR2, Η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s 2. Να ϑεωρήσετε ότι : Μεταξύ σχοινιού και τροχαλίας η τριβή είναι µεγάλη, ώστε να µην παρατηρείται ολίσθηση. Το µήκος του σχοινιού παραµένει σταθερό. Τα σώµατα Σ1 και Σ2 δεν ϕθάνουν στο έδαφος ούτε συγκρούονται µε την τροχαλία. Θέµατα Οµογενών - Σεπτέµβρης Λεπτή, άκαµπτη και οµογενής ϱάβδος ΑΓ µήκους l = 1, 2m και µάζας M = 1kg µπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ϱάβδο, ο οποίος διέρχεται από το σηµείο Ο σε απόσταση l/3 από το άκρο Α της ϱάβδου. Το άκρο Γ της ϱάβδου συνδέεται µε αβαρές νήµα που σχηµατίζει γωνία φ = 30 o µε τη ϱάβδο, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα συνδεδεµένο σε σταθερό σηµείο όπως στο σχήµα. Το σύστηµα αρχικά ισορροπεί σε οριζόντια ϑέση. Κάποια στιγµή το νήµα κόβεται. (α) Να υπολογίσετε το µέτρο της δύναµης που ασκεί το νήµα στη ϱάβδο και το µέτρο της δύναµης που δέχεται η ϱάβδος από τον άξονα περιστροφής, πριν κοπεί το νήµα. (ϐ) Να υπολογίσετε τη ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της και τη γωνιακή επιτάχυνση της ϱάβδου τη χρονική στιγµή κατά την οποία κόβεται το νήµα. (γ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του άκρου Γ της ϱάβδου τη χρονική στιγµή κατά την οποία η ϱάβδος διέρχεται για πρώτη ϕορά από την κατακόρυφη ϑέση. (δ) Να υπολογίσετε το µέτρο του ϱυθµού µεταβολής της στροφορµής της ϱάβδου τη χρονική στιγµή που σχηµατίζει γωνία 30 o µε την κατακόρυφο, µετά τη διέλευσή της για πρώτη ϕορά από την κατακόρυφη ϑέση. ίνονται : η ϱοπή αδράνειας ϱάβδου ως προς το κέντρο µάζας της I cm = 1 12 ML2 και η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s 2 Πανελλήνιες(παλαιό σύστηµα) - Μάης 2016 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 31

32 η: Ε νμπή αδνάκεηαξ ηεξ νάβδμο ςξ πνμξ ημκ μνηδόκηημ άλμκα πμο δηένπεηαη από ημ μάδαξ ηεξ θαη είκαη θάζεημξ ζε αοηή, ε επηηάποκζε ηεξ δ) Ε Φυσική γςκηαθή Γηαπύηεηα Λυκείου θαη ε ζέζε ημο θοιίκδνμο, όηακ ε ηάζε ημο κήμαημξ γίκεη. αξ θαη. (Δίκεηαη ε αθηίκα ημο θοιίκδνμο ). 4. Θέµα - Προβλήµατα Ιηα μνηδόκηηα γέθονα έπεη μήθμξ θαη βάνμξ. Ε γέθονα ζηενίδεηαη ζε δομ οπμζηενίγμαηα ζηα άθνα ηεξ Α θαη Β. Έκα όπεμα Ε μμμγεκήξ 4.1. νάβδμξ Η οµογενής ημο ζπήμαημξ ϱάβδοςέπεη του βάνμξ σχήµατος έχει ϐάρος θαη w 1 = μήθμξ 10N και µήκος. L Τμ = έκα 4m. Το ένα της ανζνώκεηαη βάνμοξ ζε άκρο θαηαθόνοθμ αρθρώνεται ημίπμ σεθηκείηαη θαη κατακόρυφο ημ άιιμ ζηε γέθονα ηεξ τοίχο άθνμ με και θνέμεηαη το άλλο από της. Θεςνμύμε άκρο θαηαθόνοθμ κρέµεται ςξ ζπμηκί ανπηθή από κατακόρυφο πνμκηθή σχοινί µε αποτέλεσµα να ισορροπεί οριζόντια. έιεζμα κα ζηηγμή ηζμννμπεί ηε ζηηγμή πμο ημ όπεμα θζάκεη ζημ άθνμ Α ηεξ γέθοναξ. α. βνεζεί ε ηάζε ημο νεζεί ε δύκαμε πμο ε νάβδμξ από ηεκ. (α) Να ϐρεθεί η τάση του νήµατος. α) Κα βνεζεί (ϐ) Ναε ϐρεθεί δύκαμε η δύναµη πμο δέπεηαη που ε δέχεται γέθονα η από ϱάβδος ημ οπμζηήνηγμα από την άρθρωση. Α ηε πνμκηθή ζηηγμή. ηθή ζηηγμή, από ημ άθνμ Α λεθηκάεη κα θοιίεηαη πςνίξ κα μιηζζαίκεη πάκς ζηε Τη χρονική στιγµή t = 0, από το άκρο Α ξεκινάει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω αξ θύιηκδνμξ β) Πμηά βάνμοξ ε ζέζε στη ϱάβδο ημο αοημθηκήημο ένας κύλινδρος με επηηάποκζε ώζηε ϐάρους ε νάβδμξ w 2 κα = δέπεηαη 10N µε επιτάχυνση.δεηείηαη: α cm = 1m/s 2.Ζητείται : (γ) Η τάση του νήµατος τη χρονική στιγµή t = ίζεξ δοκάμεηξ από ηα οπμζηενίγμαηα; 3s. ε ημο κήμαημξ γ) Κα ηε γίκεη (δ) πνμκηθή ημ δηάγναμμα Η γωνιακή ζηηγμή ηεξ δύκαμεξ πμο ταχύτητα και η ϑέση. δέπεηαη ε νάβδμξ από ημ οπμζηήνηγμα Α ζε ζοκάνηεζε του κυλίνδρου, όταν η τάση του νήµατος γίνει T = 10N. με ημκ πνόκμ. ( ίνεται η ακτίνα του κυλίνδρου R = 0, 1m) 4.2. Στο. Σημ κυρτό θονηό µέρος μένμξ της ηεξ περιφέρειας πενηθένεηαξ ενός εκόξ οµογενούς μμμγεκμύξ κυλίνδρου θοιίκδνμο µικρού μηθνμύ πάχους, πάπμοξ, έχει έπεη τυλιχτείπμιιέξ πολλέςθμνέξ ϕορέςέκα ένααβανέξ, αβαρές, με µηεθηαηό εκτατόκήμα. νήµα. Σηαζενμπμημύμε ημ ειεύζενμ άθνμ ημο erifysikhs.wordpress.com ηοιηπηεί Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 21 κήμαημξ θαη αθήκμομε ημκ θύιηκδνμ κα πέζεη θαηαθόνοθα. Τμ κήμα Σταθεροποιούµε το ελεύθερο άκρο του νήµατος και αφήνουµε λεηοιίγεηαη τον κύλινδρο θαη μ να θύιηκδνμξ πέσει κατακόρυφα. εθηειεί ζύκζεηε Το νήµα θίκεζε: ξετυλίγεται μεηαημπίδεηαη και ο θαηαθόνοθα κύλινδρος πνμξ εκτελεί ηα θάης σύνθετη θαη κίνηση πενηζηνέθεηαη : µετατοπίζεται γύνς από κατακόρυφα έκα κμεηό μνηδόκηημ προςάλμκα τα κάτω x'x, και πμο περιστρέφεται πενκά από ημ γύρω θέκηνμ από ημο. ένα νοητό οριζόντιο άξονα x x, που περνά από το κέντρο του. Σε όιε Σε όλη ηε τη δηάνθεηα διάρκειαηεξ τηςθίκεζεξ κίνησηςημο του κυλίνδρου θοιίκδνμο το ημ νήµα κήμα παραµένει παναμέκεη θαηαθόνοθμ. κατακόρυφο και δεν γλιστρά στην περιφέρεια του κυλίνδρου. α) Κα (α) απμδείλεηε Να αποδείξετε όηη ότι ε ηεπηηάποκζε επιτάχυνση του ημο κέντρου θέκηνμο µάζας μάδαξ του κυλίνδρου α cm και η γωνιακή επιτάχυνσή του α γων συνδέονται ημο θοιίκδνμο µε τη θαη σχέση ε γςκηαθή : α cm = επηηάποκζή α γων R. ημο ζοκδέμκηαη με ηε ζπέζε: Να υπολογίσετε. : (ϐ) τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου καθώς και την επιτάχυνση του κέντρου µάζας του. Κα οπμιμγίζεηε: β) ηε γςκηαθή (γ) τηνεπηηάποκζε τάση T τουημο νήµατος. θοιίκδνμο θαζώξ θαη ηεκ επηηάποκζε ημο θέκηνμο μάδαξ ημο. (δ) το µήκος του νήµατος, που έχει ξετυλιχτεί όταν ο κύλινδρος Ιηπάιεξ Γ. έχει Ηαναδεμεηνίμο, αποκτήσει γωνιακή Φοζηθόξ Msc ταχύτητα ω 1 = 75rad/s. Σειίδα 22 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 32

33 ίνονται : η µάζα του κυλίνδρου M = 0, 09kg, η ακτίνα του R = 8 cm, η ϱοπή αδράνειάς του 3 ως προς το κέντρο µάζας του I cm = 1 2 MR2 και η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s Μια µπάλα, µάζας m και ακτίνας R, αφήνεται από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ, οπότε κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει προς τη ϐάση του κεκλιµένου επιπέδου. (α) Να σχεδιάσετε τις δυνάµεις, που ασκούνται στη µπάλα και να αιτιολογήσετε το σχεδιασµό της στατικής τριβής. Να υπολογίσετε : (ϐ) το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας της µπάλας. (γ) το µέτρο της στατικής τριβής, αν η µάζα της µπάλας είναι m = 0, 5kg. (δ) τις επιτρεπτές τιµές του συντελεστή στατικής τριβής µ σ για τις οποίες η µπάλα µπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ίνονται ότι ηµφ = 0, 5, συνφ = 0, 866 και η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s 2, η µπάλα ϑεωρείται κοίλη σφαίρα µε ϱοπή αδράνειας ως προς άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας της : I cm = 2 3 mr Οµογενής κύλινδρος µάζας m = 2kg και ακτίνας R = 0, 2m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και χωρίς παραµόρφωση σε οριζόντιο δάπεδο (Α) µε ταχύτητα µέτρου υ 0 = 2m/s. Τη χρονική στιγµή t = 0 ο κύλινδρος δέχεται οριζόντια δύναµη µέτρου F = 6N, που ασκείται στο κέντρο µάζας του. Ο κύλινδρος συνεχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και µετά την άσκηση της δύναµης F. (α) Να σχεδιάσετε τη στατική τριβή που δέχεται ο κύλινδρος από το δάπεδο, σε κατάλληλο σχήµα και να δικαιολογήσετε τη ϕορά της. (ϐ) Να υπολογίσετε το µέτρο : (ϐ1) της στατικής τριβής. (ϐ2) της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας καθώς και της γωνιακής επιτάχυνσης του κυλίνδρου. (ϐ3) της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου τη χρονική στιγµή t 1 = 4s. (γ) Στη συνέχεια τη χρονική στιγµή t 1 = 4s, ο κύλινδρος εισέρχεται σε λείο δάπεδο (Β), το οποίο είναι συνέχεια του προηγούµενου. Τη χρονική στιγµή t 2 = 10s, να υπολογίσετε την ταχύτητα του σηµείου του κυλίνδρου, που είναι εκείνη τη στιγµή σ επαφή µε το λείο δάπεδο. ίνεται η ϱοπή αδράνειας οµογενούς κυλίνδρου ως προς άξονά του I cm = 1 2 mr2 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 33

34 γ) Σηε ζοκέπεηα ηε πνμκηθή ζηηγμή, μ θύιηκδνμξ εηζένπεηαη ζε ιείμ δάπεδμ (Β), ημ μπμίμ είκαη ζοκέπεηα ημο πνμεγμύμεκμο. Τε πνμκηθή ζηηγμή, κα οπμιμγίζεηε ηεκ ηαπύηεηα ημο ζεμείμο ημο θοιίκδνμο, πμο είκαη εθείκε ηε ζηηγμή ζ επαθή με ημ ιείμ δάπεδμ. Φυσική Γ Λυκείου Δίκεηαη ε νμπή αδνάκεηαξ μμμγεκμύξ θοιίκδνμο ςξ πνμξ άλμκά ημο 4.5. Ενας οµογενής δίσκος, µάζας m = 2kg και ακτίνας R = 0, 3m, που ϐρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο, ϕέρει στην περιφέρειά του αυλάκι, στο οποίο έχουµε τυλίξει αβαρές και µη εκτατό νήµα. Έκαξ μμμγεκήξ δίζθμξ, μάδαξ θαη αθηίκαξ, πμο βνίζθεηαη ζε μνηδόκηημ δάπεδμ, θένεη ζηεκ πενηθένεηά ημο αοιάθη, ζημ μπμίμ έπμομε ηοιίλεη αβανέξ θαη με Γύνς εθηαηό από κήμα. Τε έκα πνμκηθή μμμγεκή ζηηγμή δίζθμ,, αζθμύμε αθηίκαξ ζημ, δίζθμ μέζς ημο κήμαημξ ζηαζενή θαηαθόνοθε δύκαμε Τη χρονική στιγµή t 0 = 0, ασκούµε στο δίσκο µέσω του νήµατος σταθερή κατακόρυφη δύναµη µέτρου F = 9N. Καθώς ξετυλίγε- μέηνμο. Ηαζώξ λεηοιίγεηαη ημ κήμα πςνίξ κα ται το μάδαξ νήµα χωρίς να ολισθαίνει μιηζζαίκεη θαη ζημ νμπήξ στο αοιάθη ημο αδνάκεηαξ αυλάκι του δίσκου, ο δίσκος δίζθμο, μ δίζθμξ θοιίεηαη επίζεξ, είκαη κυλίεται επίσης χωρίς να ολισθαίνει και χωρίς παραµόρφωση, ηοιηγμέκμ αβανέξ πςνίξ κήμα, κα μιηζζαίκεη μέζς ημο θαη μπμίμο, πςνίξ ηε παναμόνθςζε, πνμκηθή ζηηγμή πάκς ζε πάνω σε οριζόντιο δάπεδο., αζθμύμε ζημ μνηδόκηημ ακώηενμ δάπεδμ. ζεμείμ Γ μνηδόκηηα δύκαμε ζηαζενoύ (α) μέηνμο Να σχεδιάσετε α) Κα τη. ζπεδηάζεηε Ο στατική ηνμπόξ τριβή ηε θοιίεηαη ζηαηηθή πουηνηβή δέχεται πςνίξ πμο οδέπεηαη παναμόνθςζε δίσκος μ δίζθμξ από ζε το δάπεδο, από σε κατάλληλο ημ δάπεδμ, ζε σχήµα θαηάιιειμ καιζπήμα να δικαιολογήσετε θαη δηθαημιμγήζεηε μνηδόκηημ δάπεδμ, πμο έπεη ηέημηα ηημή ζοκηειεζηή ζηαηηθήξ τη ηνηβήξ ϕορά της. ηε θμνά ηεξ. απμθεύγεηαη ε μιίζζεζε. (ϐ) Να υπολογίσετε β) Κα : οπμιμγίζεηε: Κα οπμιμγίζεηε: β1) ημ μέηνμ ηεξ ζηαηηθήξ ηνηβήξ, πμο δέπεηαη μ δίζθμξ. (ϐ1) το µέτρο της στατικής τριβής, που δέχεται ο δίσκος. α) ημ μέηνμ ηεξ επηηάποκζεξ ημο θέκηνμο μάδαξ Ο. (ϐ2) το µέτρο β2) της ημ μέηνμ επιτάχυνσης ηεξ επηηάποκζεξ του κέντρου ημο θέκηνμο µάζας μάδαξ καθώς θαζώξ θαη καιημ το μέηνμ µέτρο ηεξ της γςκηαθήξ γωνιακής επηηάποκζεξ επιτάχυνσης ηεξ β) ημ μέηνμ ημο επηηάποκζεξ δίζθμο. του δίσκου. ημο ακώηενμο ζεμείμο Γ. (ϐ3) το µήκος του νήµατος, που έχει ξετυλιχτεί από τη στιγµή t = 0, µέχρι τη στιγµή t 1, κατά την οποία το ανώτερο σηµείο του δίσκου έχει αποκτήσει ταχύτητα υ A = 12m/s. γ) ηε δύκαμε ηεξ β3) ζηαηηθήξ ημ μήθμξ ημο ηνηβήξ, κήμαημξ, πμο πμο δέπεηαη λεηοιηπηεί μ δίζθμξ από από ηε ημ ζηηγμή δάπεδμ., μέπνη ηε ζηηγμή, θαηά ηεκ μπμία ημ ακώηενμ ζεμείμ ημο δίζθμο έπεη απμθηήζεη ηαπύηεηα. δ) ημ ζοκηειεζηή ζηαηηθήξ ηνηβήξ. ίνεται η ϱοπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονά του : I cm = 1 2 mr2 Έκαξ θύιηκδνμξ αθηίκαξ Δίκεηαη έπεη ε νμπή μάδα αδνάκεηαξ ημο δίζθμο. Σημ ςξ πνμξ εζςηενηθό άλμκά ημο: ημο οπάνπεη μία Γύρω από ένα οµογενή δίσκο, ακτίνας R, µάζας m = 2kg και ϱοπής αδράνειας θοιηκδνηθή εγθμπή, Ιηπάιεξ αθηίκαξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ πμιύ μηθνμύ Msc πάπμοξ, ζηεκ μπμία έπμομε ηοιίλεη αβανέξ Σειίδα με 24 I cm = 1 2 mr2, είναι τυλιγµένο αβαρές νήµα, µέσω του οποίου, τη χρονική στιγµή t = 0 εθηαηό κήμα. Τε πνμκηθή ζηηγμή, ασκούµε στο ανώτερο σηµείο Γ οριζόντια δύναµη σταθερού µέτρου F = 6N. αζθείηαη ζηαζενή μνηδόκηηα δύκαμε, όπςξ θαίκεηαη Ο τροχός κυλίεται χωρίς παραµόρφωση σε οριζόντιο δάπεδο, που ζημ ζπήμα. έχει τέτοια τιµή συντελεστή στατικής τριβής µ σ, ώστε οριακά να αποφεύγεται Έηζη μ θύιηκδνμξ η ολίσθηση. θοιίεηαη Να υπολογίσετε πςνίξ κα : μιηζζαίκεη πάκς ζε μνηδόκηημ επίπεδμ. Θεςνήζηε ημκ θύιηκδνμ μμμγεκή με νμπή (α) το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας Ο., ώζηε μνηαθά κα, ζημ άθνμ ημο κήμαημξ θαη πάκς από ημ θέκηνμ μάδαξ, (ϐ) αδνάκεηαξ το µέτρο της ςξ επιτάχυνσης πνμξ ημκ άλμκά του ανώτερου ημο σηµείου Γ.. Κα (γ) οπμιμγίζεηε: τη δύναµη της στατικής τριβής, που δέχεται ο δίσκος από το δάπεδο. α) ημ μέηνμ ηεξ επηηάποκζεξ ημο θέκηνμο μάδαξ ημο θοιίκδνμο. (δ) το συντελεστή στατικής τριβής. β) ημ μέηνμ ηεξ ζηαηηθήξ ηνηβήξ, πμο δέπεηαη μ θύιηκδνμξ από ημ μνηδόκηημ επίπεδμ θαη κα ηεκ ζπεδηάζεηε ζε θαηάιιειμ ζπήμα. γ) ημ μέηνμ ηεξ μνηδόκηηαξ επηηάποκζεξ πολύ µικρού ημο ζεμείμο πάχους, επαθήξ στην Γ κήμαημξ οποία έχουµε - θοιίκδνμο. τυλίξει αβαρές 4.7. Ενας κύλινδρος ακτίνας R έχει µάζα m = 4kg. Στο εσωτερικό του υπάρχει µία κυλινδρική εγκοπή, ακτίνας r = R 3 µη εκτατό νήµα. δ) ημ μήθμξ ημο κήμαημξ, πμο λεηοιίπηεθε, έςξ ηε πνμκηθή ζηηγμή. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 34 Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 25

35 Γύνς από έκα μμμγεκή δίζθμ, αθηίκαξ, Τη χρονική στιγµή t = 0, στο άκρο του νήµατος και πάνω από μάδαξ το κέντρο µάζας, θαη ασκείται νμπήξ σταθερή αδνάκεηαξ οριζόντια δύναµη F =, 9N είκαη, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. Ετσι ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ηοιηγμέκμ αβανέξ κήμα, μέζς ημο μπμίμο, ηε πνμκηθή ζηηγμή ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Θεωρήστε τον κύλινδρο, αζθμύμε ζημ ακώηενμ ζεμείμ Γ μνηδόκηηα δύκαμε ζηαζενoύ οµογενή µε ϱοπή αδράνειας ως προς τον άξονά του I cm = 1 μέηνμο. Ο ηνμπόξ θοιίεηαη πςνίξ παναμόνθςζε 2 mr2. Να υπολογίσετε : ζε (α) το µέτρο της επιτάχυνσης μνηδόκηημ δάπεδμ, πμο έπεη ηέημηα α cm του κέντρου µάζας του κυλίνδρου. ηημή ζοκηειεζηή ζηαηηθήξ ηνηβήξ, ώζηε μνηαθά κα απμθεύγεηαη (ϐ) το µέτρο ε μιίζζεζε. της στατικής τριβής, που δέχεται ο κύλινδρος από το οριζόντιο επίπεδο και να την σχεδιάσετε σε κατάλληλο σχήµα. Κα οπμιμγίζεηε: (γ) το µέτρο της οριζόντιας επιτάχυνσης του σηµείου επαφής Γ νήµατος - κυλίνδρου. α) ημ (δ) μέηνμ το µήκος ηεξ επηηάποκζεξ του νήµατος, ημο που θέκηνμο ξετυλίχτηκε, μάδαξ Ο. έως τη χρονική στιγµή t 1 = 3s. β) ημ μέηνμ ηεξ επηηάποκζεξ ημο ακώηενμο ζεμείμο Γ Συµπαγής και οµογενής τροχός µάζας m = 10kg και ακτίνας R = 0, 2m κυλίεται ανερχόµενος κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ = 10 γ) ηε δύκαμε ηεξ ζηαηηθήξ ηνηβήξ, πμο δέπεηαη μ δίζθμξ από ημ δάπεδμ. o. Τη χρονική στιγµή t = 0 το κέντρο µάζας του τροχού έχει ταχύτητα µέτρου υ cm = 10m/s. Να δ) ημ υπολογίσετε ζοκηειεζηή : ζηαηηθήξ ηνηβήξ. (α) το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας και το µέτρο της στροφορµής του τροχού τη χρονική στιγµή Έκαξ θύιηκδνμξ t = 0. αθηίκαξ έπεη μάδα. Σημ εζςηενηθό ημο οπάνπεη μία (ϐ) την επιτάχυνση του κέντρου µάζας του τροχού καθώς ανέρχεται. θοιηκδνηθή (γ) τοεγθμπή, ϱυθµό µεταβολής αθηίκαξ της στροφορµής πμιύ μηθνμύ του τροχού πάπμοξ, καθώς ζηεκ ανέρχεται. μπμία έπμομε ηοιίλεη αβανέξ με εθηαηό (δ) κήμα. την ταχύτητα Τε πνμκηθή τουζηηγμή κέντρου µάζας, ζημ τουάθνμ τροχού, ημο κήμαημξ όταν αυτός θαη ανερχόµενος πάκς από ημ έχει θέκηνμ διαγράψει μάδαξ, αζθείηαη N ζηαζενή = 54 μνηδόκηηα δύκαμε, όπςξ θαίκεηαη 4π περιστροφές. ζημ ζπήμα. ίνεται η ϱοπή αδράνειας του τροχού ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτόν και διέρχεται Έηζη απόμ τοθύιηκδνμξ κέντρο µάζας θοιίεηαη του, I cm πςνίξ = 1 κα μιηζζαίκεη πάκς ζε 2 mr2 και g = 10m/s 2. μνηδόκηημ επίπεδμ. Θεςνήζηε ημκ θύιηκδνμ μμμγεκή με νμπή 4.9. Ενα γιο-γιο αποτελείται από κύλινδρο µάζας m = 0, 1kg και ακτίνας R = 1 15 m, γύρω αδνάκεηαξ από τονςξ οποίο πνμξ είναι ημκ τυλιγµένο άλμκά αβαρές ημο νήµα. Κρατάµε. Κα ακίνητο το ελεύθερο άκρο του οπμιμγίζεηε: νήµατος και αφήνουµε τον κύλινδρο να πέσει. Αυτός εκτελεί σύνθετη κίνηση κινούµενος κατακόρυφα χωρίς να ολισθαίνει. Να ϐρείτε : α) ημ (α) μέηνμ τη ηεξ γωνιακή επηηάποκζεξ επιτάχυνση τουημο κυλίνδρου θέκηνμο καθώς μάδαξ κατέρχεται. ημο θοιίκδνμο. β) ημ (ϐ) μέηνμ το ϱυθµό ηεξ ζηαηηθήξ αύξησηςηνηβήξ, της στροφορµής πμο δέπεηαη τουμ κυλίνδρου θύιηκδνμξ καθώς από ημ κατέρχεται. μνηδόκηημ επίπεδμ θαη κα ηεκ ζπεδηάζεηε (γ) τηνζε ταχύτητα θαηάιιειμ τουζπήμα. χαµηλότερου σηµείου του δίσκου, τη στιγµή που έχει ξετυλιχτεί νήµα µήκους l = 30cm. γ) ημ μέηνμ ηεξ μνηδόκηηαξ επηηάποκζεξ ημο ζεμείμο επαθήξ Γ κήμαημξ - θοιίκδνμο. (δ) την ταχύτητα του χαµηλότερου σηµείου του δίσκου, τη στιγµή που έχει ξετυλιχτεί νήµα µήκους l = 30cm δ) ημ μήθμξ ημο κήμαημξ, πμο λεηοιίπηεθε, έςξ ηε πνμκηθή ζηηγμή. ίνεται η ϱοπή αδράνειας οµογενούς κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του, I cm = 1 Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, 2 mr2 και g = 10m/s 2. Φοζηθόξ Msc Σειίδα 25 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 35

36 από ημ θέκηνμ μάδαξ ημο, θαη. Ε θοθιηθή ελέδνα μηαξ παηδηθήξ πανάξ έπεη αθηίκα, μάδα, είκαη αθίκεηε θαη μπμνεί κα ζηνέθεηαη πςνίξ ηνηβέξ γύνς από θαηαθόνοθμ άλμκα πμο δηένπεηαη Φυσική Γ Λυκείου από ημ θέκηνμ μάδαξ ηεξ. Έκα αγόνη μάδαξ εκώ ηνέπεη ζημ έδαθμξ γύνς γύνς έλς από ηεκ ελέδνα με ηαπύηεηα μέηνμο, λαθκηθά πεδάεη ζηεκ πενηθένεηα ηεξ ελέδναξ θαη μέκεη εθεί πςνίξ κα μιηζζήζεη. Κα βνείηε: Η κυκλική εξέδρα µιας παιδικής χαράς έχει ακτίνα R = 1m, µάζα M = 80kg, είναι ακίνητη και µπορεί α) ηε γςκηαθή να στρέφεται ηαπύηεηα ημο χωρίς ζοζηήμαημξ, τριβές όηακ γύρω ημ αγόνη από ακέβεη κατακόρυφο ζηεκ πενηθένεηα άξονα ηεξ ελέδναξ. που διέρχεται από το κέντρο µάζας της. Ενα αγόρι µάζας m = 20kg ενώ τρέχει στο έδαφος γύρω γύρω έξω β) ηε από δύκαμε την ηεξ εξέδρα ζηαηηθήξ µε ταχύτητα ηνηβήξ πμο αζθείηαη µέτρουζημ υ = αγόνη, 3m/s ακ ζηέθεηαη, ξαφνικά ζηε πηδάει πενηθένεηα στην ηεξ περιφέρεια της ελέδναξ εξέδρας πςνίξ και θναηηέηαη µένει εκεί από ηα χωρίς ζηενίγμαηα. να ολισθήσει. Να ϐρείτε : (α) τη γωνιακή γ) ηε ταχύτητα ζηαζενή ελςηενηθή του συστήµατος, δύκαμε πμο όταν πνέπεη τοκα αγόρι αζθήζμομε ανέβει εθαπημμεκηθά στην περιφέρεια ζηεκ ελέδνα, της εξέδρας. ώζηε αοηή κα ζηαμαηήζεη κα πενηζηνέθεηαη μεηά από πνόκμ. (ϐ) τη δύναµη της στατικής τριβής που ασκείται στο αγόρι, αν στέκεται στη περιφέρεια της εξέδρας χωρίς δ) πόζεξ ναπενηζηνμθέξ κρατιέται έθακε από τα ε ελέδνα στηρίγµατα. ζημ πνμκηθό δηάζηεμα ηςκ. (γ) τη σταθερή Δίκεηαη εξωτερική ε νμπή δύναµη αδνάκεηαξ που ηεξ πρέπει πιαηθόνμαξ να ασκήσουµε ςξ πνμξ άλμκα εφαπτοµενικά πμο είκαη θάζεημξ στην εξέδρα, ζ αοηήκ ώστε θαη αυτή να σταµατήσει να περιστρέφεται µετά από χρόνο t = 3s. (δ) πόσες περιστροφές δηένπεηαη από έκανε ημ θέκηνμ η εξέδρα μάδαξ ηεξ, στο χρονικό διάστηµα. των 3s. ίνεται η ϱοπή αδράνειας της πλατφόρµας ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το κέντρο µάζας της, I cm = 1 2 MR2 Ιία θαηαθόνοθε νάβδμξ μάδαξ θαη μήθμοξ, μπμνεί κα πενηζηνέθεηαη ζημ θαηαθόνοθμ επίπεδμ γύνς από Μία κατακόρυφη ϱάβδος µάζας M = 3kg και µήκους l = 1m, µπορεί να περιστρέφεται μνηδόκηημ άλμκα πμο δηένπεηαη από ημ πάκς άθνμ ηεξ θαη στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το πάνω άκρο είκαη θάζεημξ ζε αοηή. Γθηνέπμομε ηε νάβδμ από ηε ζέζε της και είναι κάθετος σε αυτή. ηζμννμπίαξ ηεξ θαη ηεκ αθήκμομε ειεύζενε. Τε ζηηγμή πμο Εκτρέπουµε τηπενκάεη ϱάβδο απόηεκ τηθαηαθόνοθε ϑέση ισορροπίας ζέζε, ημ της θάης και άθνμ τηνηεξ αφήνουµε ελεύθερη. ζογθνμύεηαη Τη στιγµή με ζθαίνα που περνάει αθηίκαξ από την κα-θατακόρυφη ϑέση, το κάτω άκρο της συγκρούεται µε σφαίρα μάδαξ πμο βνίζθεηαη αθίκεηε ζημ θαηώηαημ ακτίνας r = 0, 1m και µάζας m = 1kg που ϐρίσκεται ακίνητη στο κατώτατο σηµείο τεταρτοκυκλίου ακτίνας R = 1m ζεμείμ ηεηανημθοθιίμο αθηίκαξ,, ημο μπμίμο ημ θέκηνμ ζομπίπηεη με ημ ζεμείμ ελάνηεζεξ ηεξ νάβδμο. Τμ του οποίου το κέντρο συµπίπτει µε το σηµείο εξάρτησης της θάης άθνμ ηεξ νάβδμο ηεκ ζηηγμή ηεξ θνμύζεξ έπεη ϱάβδου. Το κάτω άκρο της ϱάβδου την στιγµή της κρούσης έχει ταχύτητα υ 1 = 5m/s. Αµέσως µετά την κρούση η ϱάβδος ακινητοποιείται. Η Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 27 σφαίρα ανέρχεται στο τεταρτοκύκλιο στην αρχή ολισθαίνοντας και µετά κυλιόµενη. Τελικά εγκαταλείπει το ανώτερο άκρο του τεταρτοκυκλίου µε γωνιακή ταχύτητα ω 3 = 8rad/s. Να ϐρεθούν : (α) η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. (ϐ) η ταχύτητα υ 2 της σφαίρας αµέσως µετά την κρούση. (γ) το ύψος h, πάνω από το τεταρτοκύκλιο, στο οποίο ϑα ϕτάσει η σφαίρα. (δ) η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας στο ανώτατο σηµείο της τροχιάς της. ίνεται η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος σ αυτήν και διέρχεται από το κέντρο µάζας της, I cm = 1 12 Ml2 και g = 10m/s Μια ξύλινη ϱάβδος µήκους l = 0, 4m και µάζας M = 0, 04kg ισορροπεί ελεύθερη σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 36

37 β) ημ μέηνμ ηεξ ειάπηζηεξ γςκηαθήξ ηαπύηεηαξ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ ηεξ, ζημ ζεμείμ Δίκεηαη ε νμπή αδνάκεηαξ ηεξ νάβδμο ςξ πνμξ άλμκα πμο είκαη θάζεημξ ζ αοηήκ θαη δηένπεηαη από ημ θέκηνμ μάδαξ ηεξ, θαη. Φυσική Γ Λυκείου Ιηα λύιηκε νάβδμξ μήθμοξ θαη μάδαξ ηζμννμπεί ειεύζενε ζε ιείμ μνηδόκηημ επίπεδμ. Έκα ζώμα Σ μάδαξ πμο θηκείηαη Ενα σώµα Σ µάζας m μνηδόκηηα = 0, 01kg με ηαπύηεηα που κινείται οριζόντια πηοπά µε θάζεηα ταχύτητα ζημ άθνμ υ Α = ηεξ 4m/s νάβδμο. χτυπά Ιεηά κάθετα στο άκρο Α ηεκ τηςθνμύζε ϱάβδου. ημ ζώμα Μετά Σ αθηκεημπμηείηαη. την κρούσηακ τογκςνίδμομε σώµα Σ όηη ακινητοποιείται. ημ ζώμα Σ ςξ πνμξ Ανημ γνωρίζουµε ότι το σώµα Σ ως προς το κέντρο µάζας της ϱάβδου έχει στροφορµή που ϐρίσκεται από τη σχέση L = mυl θέκηνμ μάδαξ ηεξ νάβδμο έπεη ζηνμθμνμή πμο βνίζθεηαη από ηε ζπέζε,, να ϐρείτε : κα βνείηε: 2 (α) την ταχύτητα α) του ηεκ κέντρου ηαπύηεηα ημο µάζας θέκηνμο τηςμάδαξ ϱάβδου ηεξ νάβδμο αµέσως αμέζςξ µετά μεηά την ηεκ κρούση. θνμύζε. β) ημκ άλμκα γύνς από ημκ μπμίμ ζα πενηζηναθεί ε νάβδμξ θαη ηε γςκηαθή ηαπύηεηα (ϐ) τον άξονα γύρω πμο ζα από απμθηήζεη. τον οποίο ϑα περιστραφεί η ϱάβδος και τη γωνιακή ταχύτητα που ϑα αποκτήσει. γ) ημκ ανηζμό ηςκ πενηζηνμθώκ πμο ζα εθηειέζεη ε νάβδμξ ζημ πνμκηθό δηάζηεμα πμο απαηηείηαη (γ) τον αριθµό τωνγηα περιστροφών κα μεηαημπηζηεί που ημ θέκηνμ ϑα εκτελέσει μάδαξ ηεξ θαηά η ϱάβδος. στο χρονικό διάστηµα που απαιτείται δ) για Τεκ να ηαπύηεηα µετατοπιστεί ημο πάκς τοάθνμο κέντρο ηεξ µάζας νάβδμο της (Β), κατά όηακ 1m αοηή. ζα έπεη ζομπιενώζεη 1,5 πενηζηνμθέξ. (δ) Την ταχύτητα του πάνω άκρου της ϱάβδου (Β), όταν αυτή ϑα έχει συµπληρώσει Δίκεηαη ε νμπή αδνάκεηαξ ηεξ νάβδμο ςξ πνμξ άλμκα πμο είκαη θάζεημξ ζε αοηήκ θαη δηένπεηαη 1,5 περιστροφές. από ημ θέκηνμ μάδαξ ηεξ,. ίνεται η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το κέντρο µάζας της, I cm = 1 12 Ml2. Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 28 Ιηα θαηαθόνοθε ηνμπαιία έπεη ηοιηγμέκμ γύνς ηεξ έκα ιεπηό αβανέξ ζπμηκί, ζημ Μια κατακόρυφη τροχαλία έχει τυλιγµένο γύρω της ένα λεπτό αβαρές σχοινί, στο ελεύθερο άκρο του ειεύζενμ οποίου άθνμ είναι ημο μπμίμο δεµένο είκαη ένα δεμέκμ σώµα έκα (Σ) ζώμα µάζας (Σ) μάδαξ m = 1kg. αθηίκα, μάδα θαη μπμνεί κα ζηνέθεηαη γύνς Η τροχαλία έχει ακτίνα R = 0, 1m, µάζα M = 2kg και µπορεί να από ζηαζενό μνηδόκηημ άλμκα, μ μπμίμξ ηαοηίδεηαη με ημκ άλμκα πμο στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος ταυτίζεται µε τον δηένπεηαη από ημ θέκηνμ μάδαξ ηεξ ηνμπαιίαξ. Τε πνμκηθή ζηηγμή άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της τροχαλίας. Τη χρονική, αθήκμομε ημ ζύζηεμα κα θηκεζεί. στιγµή t = 0, αφήνουµε το σύστηµα να κινηθεί. Να ϐρείτε : Κα βνείηε: (α) Την επιτάχυνση που ϑα αποκτήσει το σώµα Σ. α) Τεκ επηηάποκζε πμο ζα απμθηήζεη ημ ζώμα Σ. (ϐ) Το µέτροβ) της Τμ δύναµης μέηνμ ηεξ που δύκαμεξ ασκεί πμο ο αζθεί άξονας μ άλμκαξ περιστροφής πενηζηνμθήξ στηνζηεκ τροχαλία. ηνμπαιία. γ) Γηα ηε πνμκηθή ζηηγμή δεημύκηαη: (γ) Για τη χρονική στιγµή t = 2s Ϲητούνται :. Ε ηνμπαιία έπεη 1) Ε ζηνμθμνμή ηεξ ηνμπαιίαξ (γ1) Η στροφορµή της τροχαλίας 2) Ο νοζμόξ μεηαβμιήξ ηεξ ζηνμθμνμήξ ηεξ ηνμπαιίαξ. (γ2) Ο ϱυθµός µεταβολής της στροφορµής της τροχαλίας. Η ϱοπή αδράνειας Ε νμπή τηςαδνάκεηαξ τροχαλίας ηεξ ως ηνμπαιίαξ προς τον ςξ πνμξ άξονα ημκ περιστροφής άλμκα πενηζηνμθήξ της ηεξ είκαη. είναι I cm = 1 2 MR2. ίνεται g = 10m/s 2. Τριβές δεν υπάρχουν. Δίκεηαη. Τνηβέξ δεκ οπάνπμοκ. Ε μμμγεκήξ θαη ζομπαγήξ ζθαίνα ημο Η οµογενής και ζπήμαημξ συµπαγής έπεη μάδα σφαίρα του σχήµατος θαη αθηίκαέχει µάζα m = 1kg και ακτίνα r = 0, 2m και αφήνεται από ύψος θαη αθήκεηαη h, να κινηθεί από ύρμξ κατά, κα µήκους κεκλιµένου επιπέδου και στη συνέχεια στο εσωτερικό της κυκλικής στεφάνης ακτίνας R = 10, 2m. θηκεζεί θαηά μήθμοξ θεθιημέκμο επηπέδμο θαη ζηε ζοκέπεηα ζημ εζςηενηθό ηεξ θοθιηθήξ ζηεθάκεξ αθηίκαξ. Ε ζθαίνα θοιίεηαη Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 37 ζοκεπώξ πςνίξ κα μιηζζαίκεη. Γηα κα θάκεη ε ζθαίνα με αζθάιεηα ακαθύθιςζε, κα οπμιμγηζηεί: α) ημ μέηνμ ηεξ ειάπηζηεξ ηημήξ ηεξ ηαπύηεηάξ ηεξ ζημ ζεμείμ Δ.

38 γ) Γηα ηε πνμκηθή ζηηγμή δεημύκηαη: 1) Ε ζηνμθμνμή ηεξ ηνμπαιίαξ 2) Ο νοζμόξ μεηαβμιήξ ηεξ ζηνμθμνμήξ ηεξ ηνμπαιίαξ. Φυσική Γ Λυκείου Ε νμπή αδνάκεηαξ ηεξ ηνμπαιίαξ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ ηεξ είκαη. Δίκεηαη. Τνηβέξ δεκ οπάνπμοκ. ημ ύρμξ Ε μμμγεκήξ θαη ζομπαγήξ ζθαίνα ημο Η σφαίρα κυλίεται συνεχώς χωρίς να ολισθαίνει. Για να κάνει η σφαίρα µε ασφάλεια ανακύκλωση, να υπολογιστεί : ζπήμαημξ έπεη μάδα θαη αθηίκα θαη αθήκεηαη από ύρμξ, κα θηκεζεί θαηά μήθμοξ θεθιημέκμο επηπέδμο θαη ζηε (α) το µέτρο της ελάχιστης τιµής της ταχύτητάς της στο σηµείο. ζοκέπεηα ζημ εζςηενηθό ηεξ θοθιηθήξ ζηεθάκεξ αθηίκαξ. Ε ζθαίνα θοιίεηαη ζοκεπώξ πςνίξ κα μιηζζαίκεη. Γηα κα θάκεη ε (ϐ) το µέτρο της ελάχιστης γωνιακής ταχύτητας ως προς τον άξονα περιστροφής της, στο σηµείο Γ. ζθαίνα με αζθάιεηα ακαθύθιςζε, κα οπμιμγηζηεί: α) ημ μέηνμ ηεξ ειάπηζηεξ ηημήξ ηεξ ηαπύηεηάξ ηεξ ζημ ζεμείμ Δ. (γ) το µέτρο της κάθετης δύναµης που δέχεται από το ορι- Ϲόντιο επίπεδο στη ϑέση Γ αν από τη ϑέση αυτή διέρχε- β) ημ μέηνμ ηεξ ειάπηζηεξ γςκηαθήξ ηαπύηεηαξ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ ηεξ, ζημ ζεμείμ ται µε γωνιακή ταχύτητα Γ. ίση µε αυτή που υπολογίσατε στο ερώτηµα ϐ. (δ) το ελάχιστο ύψος h. γ) ημ μέηνμ ηεξ θάζεηεξ δύκαμεξ πμο δέπεηαη από ημ μνηδόκηημ επίπεδμ ζηε ζέζε Γ ακ από ηε ζέζε αοηή δηένπεηαη με γςκηαθή ηαπύηεηα ίζε με αοηή πμο οπμιμγίζαηε ζημ ενώηεμα β. ίνονται η ϱοπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον άξονά της I cm = 2 Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc 5 Mr2, η επιτάχυνση.δίκμκηαη ε νμπή αδνάκεηαξ ηεξ ζθαίναξ ςξ πνμξ ημκ άλμκά Σειίδα της ϐαρύτητας g = 10m/s 2 και 1, 96. 7, ε επηηάποκζε ηεξ βανύηεηαξ θαη Στην επιφάνεια ενός οµογενούς κυλίνδρου µάζας m = 2kg και ακτίνας R = 0, 3m, έχουµε τυλίξει λεπτό σχοινί αµελητέας µάζας, το ελεύθερο άκρο του οποίου έλκεται µε σταθερή οριζόντια δύναµη F µέτρου 6N, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. εκ επηθάκεηα εκόξ μμμγεκμύξ μάδαξ θαη, έπμομε ηοιίλεη ιεπηό αξ μάδαξ, ημ ειεύζενμ άθνμ ημο ηαη με ζηαζενή μνηδόκηηα Το σχοινί ξετυλίγεται χωρίς ολίσθηση, περιστρέφοντας ταυτόχρονα τον κύλινδρο. Ο κύλινδρος θαίκεηαη µπορεί να κυλίεται ζημ χωρίς ολίσθηση και αρχικά ηρεµούσε στη ϑέση Α. Οταν ϐρεθεί στη ϑέση νμο, όπςξ Γ έχει ξετυλιχθεί σχοινί τόσο, ώστε το σηµείο εφαρµογής της δύναµης F ηκί λεηοιίγεηαη πςνίξ μιίζζεζε, να έχει µετατοπιστεί κατά L = 4m. Να υπολογισθεί : ξ ηαοηόπνμκα ημκ θύιηκδνμ. Ο (α) το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας του κυλίνδρου. νεί κα θοιίεηαη πςνίξ μιίζζεζε (ϐ) η στατική τριβή. μμύζε ζηε ζέζε Α. Όηακ βνεζεί (γ) η ισχύς της δύναµης F στη ϑέση Γ. εη λεηοιηπζεί ζπμηκί ηόζμ, ώζηε (δ) το ποσοστό της κινητικής του ενέργειας που είναι στροφική στη ϑέση Γ. νμμγήξ ηεξ δύκαμεξ ίνονται κα : έπεη η επιτάχυνση ϐαρύτητας g = 10m/s 2 και η ϱοπή αδράνειας του κυλίνδρου ως αηά προς. τον άξονα περιστροφής του I cm = 1 2 mr2. ί: Η οµογενής ϱάβδος ΑΚ στηρίζεται στο άκρο της Κ µέσω άρθρωσης και αρχικά κρέµεται ξ επηηάποκζεξ ημο θέκηνμο μάδαξ ημο θοιίκδνμο. κατακόρυφα (ϑέση Ι). Η ϱάβδος ΑΚ έχει µήκος L = 0, 15m και µάζα M = 2kg. ηβή. δύκαμεξ ζηε ζέζε Γ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 38 ζηό ηεξ θηκεηηθήξ ημο εκένγεηαξ πμο είκαη ζηνμθηθή ζηε ζέζε Γ.

39 νπεηαη από ημ θέκηνμ ημο. Φυσική Γ Λυκείου μμγεκήξ νάβδμξ ΑK ζηενίδεηαη ζημ άθνμ ηεξ Η μέζς άνζνςζεξ θνέμεηαη θαηαθόνοθα (ζέζε Ζ). Ε νάβδμξ ΑΗ έπεη δύκαμε θαη μάδα. Σημ άθνμ ηεξ Α αζθμύμε θάζεηε ζηε νάβδμ ε μπμία έπεη ζηαζενό μέηνμ, μξ ανπίδεη κα ακεβαίκεη. Όηακ ε νάβδμξ θηάζεη ζηε ζέζε (ΖΖ), ηίδεη γςκία με ηεκ θαηαθόνοθε, θαηανγείηαη ε η ε νάβδμξ θηάκεη ζηεκ θαηαθόνοθε ζέζε (ΖΖΖ), πςνίξ ηεηα. ηε: Στο άκρο της Α ασκούµε συνεχώς µια δύναµη F κάθετη στη ϱάβδο η οποία έχει σταθερό µέτρο, οπότε η ϱάβδος αρχίζει να ανεβαίνει. Οταν η ϱάβδος ϕτάσει στη ϑέση (ΙΙ), όπου σχηµατίζει γωνία φ = 60 o µε την κατακόρυφη, καταργείται η δύναµη F και η ϱάβδος ϕτάνει στην κατακόρυφη ϑέση (ΙΙΙ), χωρίς γωνιακή ταχύτητα. Να υπολογίσετε : (α) Το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ϱάβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της στη ϑέση (ΙΙ). (ϐ) Το έργο της δύναµης F για τη περιστροφή της ϱάβδου από τη ϑέση (Ι) στη ϑέση (ΙΙ). (γ) Το µέτρο της δύναµης F. (δ) Το ποσοστό του έργου της δύναµης F που µετατράπηκε σε κινητική ενέργεια της ϱάβδου κατά τη περιστροφή της από τη ϑέση (Ι) στη ϑέση (ΙΙ). εξ γςκηαθήξ ηαπύηεηαξ ηεξ νάβδμο ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ ηεξ ζηε ζέζε δύκαμεξ ίνονται η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς άξονα περιστροφής που περνά από το άκρο πμο τηςμεηαηνάπεθε Κ και είναι κάθετος ζε θηκεηηθή σε αυτή : εκένγεηα I cm = 1 3 ML2 ηεξ, νάβδμο η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s 2. ζέζε (Ζ) ζηε ζέζε (ΖΖ). ξ δύκαμεξ Στογηα σχήµα ηε πενηζηνμθή ϕαίνεται σε τοµή ηεξ µια νάβδμο τροχαλία από που ηε αποτελείται ζέζε (Ζ) ζηε από ζέζε δύο οµοαξονικούς (ΖΖ). κυλίνδρους άλμκα πενηζηνμθήξ µε ακτίνες R 1 πμο = 0, πενκά 2m και από Rημ 2 = άθνμ 0, 1m ηεξ, που µπορεί να περιστρέφεται χωρίς νάβδμο ςξ πνμξ τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της τροχαλίας. Τα σώµατα Σ 1 και Σ 2 έχουν ίσες µάζες m 1 = m 2 = 2kg και είναι στερεωµένα µέσω νηµάτων ξ sikhs.wordpress.com ζε αοηή: που είναι τυλιγµένα, στους ε κυλίνδρους. επηηάποκζε Η τροχαλία ηεξ και τα σώµατα Σ 1,Σ 2 είναι αρχικά ναδεμεηνίμο, ακίνητα Φοζηθόξ και Msc τα κέντρα µάζας των Σ 1,Σ 2 ϐρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Σειίδα Τη 31 χρονική στιγµή t = 0 το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί και τη χρονική στιγµή. t 1 το σώµα Σ 1 έχει κατέβει κατά h 1 = 0, 4m. ζε ημμή μηα ηνμπαιία πμο απμηειείηαη από δύμ θηίκεξ θαη, πμο ίξ ηνηβέξ γύνς από μνηδόκηημ άλμκα, μ μπμίμξ ηνμπαιίαξ. Τα ζώμαηα θαη έπμοκ ίζεξ είκαη ζηενεςμέκα μέζς κεμάηςκ πμο είκαη ηνμπαιία θαη ηα ζώμαηα ξ ηςκ είκαη ανπηθά βνίζθμκηαη ζημ ίδημ μνηδόκηημ ημ ζύζηεμα αθήκεηαη ειεύζενμ κα θηκεζεί θαη Α. Να δείξετε : έπεη θαηέβεη θαηά. (α) ότι η ταχύτητα του σώµατος Σ 1 είναι συνέχεια διπλάσια της ταχύτητας του σώµατος Σ 2. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 39 ξ είκαη ζοκέπεηα δηπιάζηα ηεξ ηαπύηεηαξ ημο ζώμαημξ. μ ζώμα είκαη ζοκέπεηα δηπιάζημ ημο δηαζηήμαημξ πμο δηακύεη