6ο Σετ Ασκήσεων Θέµα Α - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1.1. (α) (ϐ) (γ) (δ) 1.2. (α) (ϐ) (γ) (δ) 1.3. (α) (ϐ) (γ) (δ)

Transcript

1 Μηχανική Στερεού Σώµατος - Φλεβάρης 2015 Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός 1. Θέµα Α - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1.1. Αν στερεό σώµα εκτελεί µόνο µεταφορική κίνηση τότε : (α) Η κίνηση του είναι οπωσδήποτε ευθύγραµµη. (ϐ) Ολα τα σηµεία του στερεού έχουν ίδια ταχύτητα. (γ) Το σώµα αλλάζει προσανατολισµό. (δ) Το τµήµα που ενώνει 2 τυχαία σηµεία του στερεού περιστρέφεται Σώµα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σώµα. Η γωνιακή του ταχύτητα : (α) Είναι διανυσµατικό µέγεθος που σχηµατίζει τυχαία γωνία ϕ µε τον άξονα περιστροφής. (ϐ) Εχει µονάδα µέτρησης το 1rad/sec 2. (γ) Εχει µέτρο που ισούται µε τον ϱυθµό µεταβολής της γωνίας που διαγράφει µια τυχαία ακτίνα του στερεού. (δ) Αν η κίνηση είναι οµαλή στροφική τότε έχει µέτρο που συνεχώς αυξάνεται Ενα στερεό εκτελεί µόνο στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σώµα : (α) Οσο αποµακρυνόµαστε από τον άξονα περιστροφής το µέτρο της ταχύτητας των διαφόρων σηµείων µειώνεται. (ϐ) Ολα τα σηµεία του στερεού εκτελούν κυκλική κίνηση. (γ) Υπάρχουν σηµεία του στερεού που είναι διαρκώς ακίνητα. (δ) Ολα τα σηµεία του στερεού έχουν την ίδια ταχύτητα.

2 1.4. Ενας τροχός εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του, ξεκινώντας από την ηρεµία και επιταχύνεται µε γωνιακή επιτάχυνση που συνεχώς αυξάνεται : (α) η γραµµική ταχύτητα του στερεού αυξάνεται γραµµικά µε τον χρόνο. (ϐ) Η γωνιακή ταχύτητα ω του τροχού δίνεται από την σχέση ω = α γων t. (γ) Η στιγµιαία γραµµική ταχύτητα ενός σηµείου της περιφέρειας του τροχού συνδέεται µε την στιγµιαία γωνιακή του ταχύτητα ω µε την σχέση υ = ω R. (δ) Η γωνία που διαγράφει ο τροχός υπολογίζεται από την σχέση θ = 1 2 α γωνt Η ϱοπή αδράνειας ενός στερεού, ως προς κάποιο άξονα περιστροφής, δεν εξαρτάται από : (α) την κατανοµή της µάζας του σώµατος. (ϐ) το µέγεθος του σώµατος. (γ) τη ϱοπή των δυνάµεων που δέχεται το σώµα. (δ) τη ϑέση του άξονα περιστροφής Η ϱοπή αδράνειας ενός σώµατος, ως προς ένα άξονα εκφράζει : (α) την ικανότητα του σώµατος να περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα. (ϐ) το πόσο γρήγορα περιστρέφεται το στερεό σώµα. (γ) την αδράνεια του σώµατος στη µεταφορική κίνηση. (δ) την αδράνεια του σώµατος στη στροφική κίνηση Μια οριζόντια ϱάβδος έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα P, που διέρχεται από το άκρο της. Η ϱάβδος είναι ακίνητη και κάποια στιγµή δέχεται σταθερή ϱοπή ως προς τον άξονα P. Τότε : (α) η γωνιακή της µετατόπιση είναι ανάλογη του χρόνου. (ϐ) η γωνιακή της ταχύτητα µεταβάλλεται ανάλογα µε το τετράγωνο του χρόνου. (γ) η γωνιακή της ταχύτητα µεταβάλλεται µε σταθερό ϱυθµό. (δ) η γωνιακή της επιτάχυνση είναι µηδενική. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 2

3 1.8. Για να διατηρεί ένα σώµα την περιστροφική του κατάσταση σταθερή πρέπει το αλγεβρικό άθροισµα των ϱοπών να : (α) είναι σταθερό και διάφορο του µηδενός. (ϐ) είναι µηδέν. (γ) αυξάνεται µε σταθερό ϱυθµό. (δ) µειώνεται µε σταθερό ϱυθµό Μια σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου υπό την επίδραση µόνο του ϐάρους της και της δύναµης που δέχεται από το επίπεδο. Αρχικά η σφαίρα ανεβαίνει και στη συνέχεια κατεβαίνει. (α) Η ϕορά του διανύσµατος της στατικής τριβής παραµένει σταθερή. (ϐ) Η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας µεταβάλλεται µε σταθερό ϱυθµό. (γ) ο ϱυθµός µεταβολής της στροφορµής της ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της µεταβάλλεται. (δ) Οταν η σφαίρα ανεβαίνει, το διάνυσµα της γωνιακής επιτάχυνσης έχει αντίθετη ϕορά από την ϕορά όταν κατεβαινει ύο στερεά σώµατα εκτελούν στροφική κίνηση µε ίδια στροφορµή. Το σώµα µε την µεγαλύτερη ϱοπή αδράνειας : (α) έχει µεγαλύτερη κινητική ενέργεια και µικρότερη γωνιακή ταχύτητα. (ϐ) έχει µικρότερη κινητική ενέργεια και µεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα. (γ) έχει µικρότερη κινητική ενέργεια και µικρότερη γωνιακή ταχύτητα. (δ) έχει µεγαλύτερη κινητική ενέργεια και µεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα Άνθρωπος ϐρίσκεται πάνω στην επιφάνεια και κοντά στο κέντρο οριζόντιου δίσκου που περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω 1 γύρω από άξονα κάθετο στο κέντρο του. Αν ο άνθρωπος µετακινηθεί στην περιφέρεια του δίσκου, τότε η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου ω 2 ϑα είναι : (α) ω 2 = ω 1 (ϐ)ω 2 > ω 1 (γ) ω 2 < ω 1 (δ) ω 2 = Μια σφαίρα µάζας Μ και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω. Η ϱοπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της υπολογίζεται από τον τύπο : I cm = 2 5 MR2. Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας που εµφανίζεται µε την µορφή κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής ισούται µε : (α) 40 % (ϐ) % (γ) % (δ) % Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 3

4 Α2. Ο δίζθνο ηνπ ζρήκαηνο πεξηζηξέθεηαη γύξσ από θάζεην άμνλα πνπ πεξλά από ην θέληξν ηνπ εθηειώληαο επηηαρπλόκελε ζηξνθηθή θίλεζε. Γπν ζεκεία Α θαη Β απέρνπλ από ην θέληξν ηνπ δίζθνπ απνζηάζεηο R A θαη R Β αληίζηνηρα, κε R B = 2R A. Σπλεπώο, α. ν ιόγνο ηωλ γξακκηθώλ ηαρπηήηωλ είλαη π Α / π Β = 2 Α Β β. ν ιόγνο ηωλ θεληξνκόιωλ επηηαρύλζεωλ είλαη α θα / α θβ = 2 γ. ν ιόγνο ηωλ γωληαθώλ επηηαρύλζεωλ είλαη α Φυσική Γ Λυκείου γωλα / α γωλβ = 1 δ. ν ιόγνο ηωλ γωληαθώλ ηαρπηήηωλ είλαη ω Α / ω Β = 1/ Οριζόντιος Α3. δίσκος Οξηδόληηνο µπορεί δίζθνο κπνξεί να στρέφεται λα ζηξέθεηαη σε ζε οριζόντιο νξηδόληην επίπεδν, επίπεδο, γύξσ από γύρω θαηαθόξπθν από κατακόρυφο άμνλα πνπ άξονα που πεξλά διέρχεται από ην θέληξν απόηνπ. το κέντρο Αζθνύκε του. ζηελ πεξηθέξεηα Ασκούµε ηνπ στην δίζθνπ περιφέρεια νξηδόληηα δύλακε του δίσκου ζηαζεξνύ οριζόντια κέηξνπ δύναµη πνπ σταθερού είλαη ζπλερώο µέτρου εθαπηόκελε που είναι ζε απηόλ. συνεχώς εφαπτόµενη σε αυτόν. Ποιο από τα πα- ϱακάτω Πνην διαγράµµατα από ηα παξαθάηω παριστάνει δηαγξάκκαηα το ϱυθµό παξηζηάλεη µεταβολής ην ξπζκό κεηαβνιήο της στροφορµής ηεο ζηξνθνξκήο τουηνπ δίσκου δίζθνπ σε συνάρτηση ζε ζπλάξηεζε µε τον χρόνο κε ην ρξόλν; ; ΔL/Δt ΔL/Δt ΔL/Δt ΔL/Δt (α) t (β) t (γ) t (δ) t Ενα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, µε γωνιακή ταχύτητα ω. Αν διπλασιαστεί η γωνιακή του ταχύτητα, τότε η κινητική του ενέργεια : Φυσικής ζητήματα 1 fisikis zitimata (α) υποτετραπλασιάζεται. (ϐ) υποδιπλασιάζεται. (γ) διπλασιάζεται. (δ) τετραπλασιάζεται Οταν οι ακροβάτες ϑέλουν να κάνουν πολλές στροφές στον αέρα, συµπτύσσουν τα χέρια και τα πόδια τους. Με αυτό τον τρόπο : (α) αυξάνουν τη στροφορµή τους. (ϐ) µειώνουν την κινητική τους ενέργεια. (γ) µειώνουν τη ϱοπή αδράνειάς τους. (δ) αυξάνουν τη µάζα τους Ενας κύβος και µία σφαίρα έχουν την ίδια µάζα και αφήνονται να κινηθούν από το ίδιο ύψος δύο κεκλιµένων επιπέδων. Ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβές στο ένα και η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο άλλο. Στη ϐάση των κεκλιµένων επιπέδων έχουν κινητικές ενέργειες K κύβ και K σφ αντίστοιχα. Για το λόγο των ενεργειών ισχύει : (α) K κύβ K σφ > 1 (ϐ) K κύβ K σφ < 1 (γ) K κύβ K σφ = 1 (δ) K κύβ K σφ < 0 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 4

5 2. Θέµα Β - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής µε αιτιολόγηση Γ) Τμ δηάζηεμα πμο έπεη δηακύζεη μ δίζθμξ μέπνη ηεκ πνμκηθή ζηηγμή t=2s είκαη: 2.1. Μία οριζόντια ϱάβδος ΑΒ µήκους L εκτελεί στροφική κίνηση µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ίση µε ω γύρωα) από σταθερό. κατακόρυφο β) άξονα. περιστροφήςγ) που διέρχεται. από το άκρο της Α. Το µέσο Μ της ϱάβδου έχει κεντροµόλο επιτάχυνση ίση µε : Ιία μνηδόκηηα νάβδμξ ΑΒ μήθμοξ εθηειεί ζηνμθηθή Πμηό θίκεζε από ηα με παναπάκς ζηαζενή γςκηαθή είκαη ημ ζςζηό; Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζή ζαξ. ηαπύηεηα ίζε με γύνς από (α) ζηαζενό α k = θαηαθόνοθμ ω 2 L άλμκα πενηζηνμθήξ (ϐ) α k = πμο ω 2 L δηένπεηαη από ημ (γ) α k = ω 2 L Δομ μμμγεκείξ δίζθμη ζηνέθμκηαη 2 γύνς από ζηαζενό άλμκα 4πενηζηνμθήξ πμο πενκά από άθνμ ηεξ Α. Τμ μέζμ Ι ηεξ νάβδμο έπεη θεκηνμμόιμ επηηάποκζε ίζε με: Να επιλέξετε τη σωστή ημ θέκηνμ απάντηση ημοξ. και Σημ ναδηάγναμμα αιτιολογήσετε θαίκεηαη την πςξ επιλογή μεηαβάιιεηαη σας. ε γςκία πμο δηαγνάθεη θάζε δίζθμξ ζε ζοκάνηεζε με ημκ πνόκμ. α) 2.2. Τροχός. κυλίεται β) χωρίς να. ολισθαίνει σεγ) οριζόντιο επίπεδο.. Κάποια χρονική στιγµή το α) μη δομ δίζθμη έπμοκ ηεκ ίδηα γςκηαθή επηηάποκζε σηµείο ϐρίσκεται στην κατακόρυφη διάµετρο και απέχει από το κέντρο Κ απόσταση Πμηό R 2 (ϐρίσκεται από ηα παναπάκς πάνω είκαη από ημ το ζςζηό; Κ). Εάν Κα η δηθαημιμγήζεηε ταχύτητα του ηεκ απάκηεζή είναι (με υ ζαξ. μεδεκηθή)., η ταχύτητα του κέντρου Τνμπόξ θοιίεηαη µάζαςπςνίξ είναι κα : μιηζζαίκεη β) μη δίζθμη εθηειμύκ επηηαποκόμεκε θίκεζε με δηαθμνεηηθέξ γςκηαθέξ επηηαπύκζεηξ. ζε μνηδόκηημ επίπεδμ. Ηάπμηα πνμκηθή ζηηγμή ημ ζεμείμ Δ βνίζθεηαη ζηεκ θαηαθόνοθε δηάμεηνμ θαη απέπεη από ημ θέκηνμ Η απόζηαζε (βνίζθεηαη πάκς από ημ Η). Γάκ ε ηαπύηεηα ημο Δ είκαη, ε ηαπύηεηα πενηζζόηενεξ πενηζηνμθέξ από ημκ δίζθμ 1. ημο θέκηνμο μάδαξ είκαη: Κα παναθηενηζηεί θάζε πνόηαζε ζακ ζςζηή ε ιακζαζμέκε θαη κα δηθαημιμγεζεί μ παναθηενηζμόξ α) (α) υ cm = 3 β) 2 υ ηεξ θάζε πνόηαζεξ. (ϐ) υ cm = 2 γ) 3 υ (γ) υ cm = 1 2 υ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Τνμπόξ και θοιίεηαη να αιτιολογήσετε πςνίξ κα μιηζζαίκεη την επιλογή ζε μνηδόκηημ σας. δάπεδμ με ηαπύηεηα. Τμ Β Πμημ από ηα παναπάκς είκαη βνίζθεηαη ημ ζςζηό; ζηεκ Κα πενηθένεηα δηθαημιμγήζεηε ημο ηνμπμύ ηεκ απάκηεζή θαη ε επηβαηηθή ζαξ. ημο αθηίκα ζπεμαηίδεη με ηεκ θαηαθόνοθε 2.3. Τροχός κυλίεται χωρίς δηάμεηνμ να ολισθαίνει γςκία σε(όπςξ οριζόντιο ζημ ζπήμα). δάπεδο µε ταχύτητα υ cm. Το Β ϐρίσκεται στην περιφέρεια του τροχού και η επιβατική του ακτίνα σχηµατίζει µε την κατακόρυ- Δίζθμξ αθηίκαξ θοιίεηαη πςνίξ κα μιηζζαίκεη θαη ε γςκηαθή ημο ηαπύηεηα μεηαβάιιεηαη με ημ ϕηπνόκμ διάµετρο όπςξ γωνία θαίκεηαη 60 o ζημ (όπως δηάγναμμα. στο σχήµα). Το μέηρο ηης ηατύηηηας ηοσ Β είναι: A) ε ηαπύηεηα ημο θέκηνμο μάδαξ ηεκ πνμκηθή α). ζηηγμή είκαη: α). β). γ). γ) μη δομ δίζθμη εθηειμύκ μμαιή ζηνμθηθή θίκεζε θαη ε γςκηαθή ηαπύηεηα ημο πνώημο θάζε πνμκηθή ζηηγμή είκαη μεγαιύηενε από ηεκ γςκηαθή ηαπύηεηα ημο δεοηένμο ηεκ ίδηα πνμκηθή ζηηγμή. δ) ζε ίζμοξ πνόκμοξ μ δίζθμξ 2 ζα εθηειέζεη β). γ). Β) Ε γςκηαθή επηηάποκζε ημο ζώμαημξ είκαη: δ). Το µέτρο της ταχύτητας Πμηό του από Βηα είναι παναπάκς : είκαη ημ ζςζηό; Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζή ζαξ. α) (α) υ β) γ) B = υ cm (ϐ) υ B = υ cm 2 (γ) υb = υ cm (δ)υ B = 3υ cm 2 2 Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 2 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 5

6 Δ είκαη ίκαη:, ε ηαπύηεηα β) Φυσική Γ Λυκείου γ) μημ από ηα παναπάκς είκαη ημ ζςζηό; Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζή ζαξ ίσκος ακτίνας R = 0, 3m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και η γωνιακή του ταχύτητα µεταβάλλεται µε το χρόνο όπως ϕαίνεται στο διάγραµµα. αξ θοιίεηαη πςνίξ κα μιηζζαίκεη θαη ε γςκηαθή ημο ηαπύηεηα πνόκμ όπςξ θαίκεηαη ζημ δηάγναμμα. ημο θέκηνμο μάδαξ ηεκ πνμκηθή η:. επηηάποκζε ημο ζώμαημξ είκαη: Α. η ταχύτητα του κέντρου µάζας την χρονική στιγµή t 1 = 2s είναι : (α) β) υ cm = 50m/s γ) Γ) Τμ δηάζηεμα (ϐ) υπμο cm = 2m/s έπεη δηακύζεη μ (γ) δίζθμξ υ cm = μέπνη 5m/s ηεκ πνμκηθή ζ Β. Το διάστηµα που έχει διανύσει ο δίσκος µέχρι την ordpress.com χρονική στιγµή t = α) 2s είναι :. β). γ). ηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 2 (α) S = 2m (ϐ) Πμηό S = 4m από ηα παναπάκς (γ) είκαη S = 50m ημ ζςζηό; Κα δηθαημιμγήζεη Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Δομ μμμγεκείξ δίζθμη ζηνέθμκηαη γύνς από ζηαζενό άλμκα πενηζηνμ 2.5. υο οµογενείς δίσκοι στρέφονται ημ θέκηνμ γύρω ημοξ. από Σημ σταθερό δηάγναμμα άξονα θαίκεηαη περιστροφής πςξ μεηαβάιιεηαη που περνά από ε γςκία πμο δηαγν το κέντρο τους. Στο διάγραµµα ϕαίνεται πως µεταβάλλεται η γωνία που διαγράφει κάθε ζοκάνηεζε με ημκ πνόκμ. δίσκος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. α) μη δομ δίζθμη έπμοκ ηεκ ίδηα γ (με μεδεκηθή). β) μη δίζθμη εθηειμύκ επηηαπο δηαθμνεηηθέξ γςκηαθέξ επηηαπύκζ γ) μη δομ δίζθμη εθηειμύκ μμαιή ε γςκηαθή ηαπύηεηα ημο πνώ ζηηγμή είκαη μεγαιύηενε από ηεκ ημο δεοηένμο ηεκ ίδηα δ) ζε ίζμοξ πνόκμοξ μ δίζθμ (α) οι δυο δίσκοι έχουνπενηζζόηενεξ την ίδια γωνιακή πενηζηνμθέξ επιτάχυνση (µη από µηδενική). ημκ δίζθμ 1. Κα παναθηενηζηεί θάζε πνόηαζε ζακ ζςζηή ε ιακζαζμέκε θαη κα δηθαημιμγεζ Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 6 ηεξ θάζε πνόηαζεξ. Τνμπόξ θοιίεηαη πςνίξ κα μιηζζαίκεη ζε μνηδόκηημ δάπεδμ με ηαπ

7 Έκαξ μμμγεκήξ μνηδόκηημξ δίζθμξ, μάδαξ θαη αθηίκαξ, πενηζηνέθεηαη γύνς από Ε νάβδμξ ΑΒ είκαη μμμγεκήξ, έπεη βάνμξ Φυσική Γ Λυκείου θαη ηζμννμπεί όπςξ θαίκεηαη ζημ ζπήμα. (ϐ) οι δίσκοι εκτελούν επιταχυνόµενη κίνηση µε διαφορετικές γωνιακές επιταχύνσεις. (γ) οι δυο δίσκοι εκτελούν οµαλή στροφική κίνηση και η γωνιακή ταχύτητα του πρώτου κάθε χρονική στιγµή είναι µεγαλύτερη από την γωνιακή ταχύτητα του δευτέρου την ίδια χρονική στιγµή. (δ) σε ίσους χρόνους ο (δίσκος 2) ϑα εκτελέσει περισσότερες περιστροφές από τον (δίσκο 1). Να χαρακτηριστεί κάθε πρόταση σαν σωστή η λανθασµένη και να δικαιολογηθεί ο χαρακτη- Ε νάβδμξ ΑΒ είκαη μμμγεκήξ, έπεη βάνμξ θαη ηζμννμπεί όπςξ θαίκεηαη ζη ϱισµός της κάθε πρότασης Η ϱάβδος ΑΒ είναι οµογενής, έχει ϐάρος w και ισορροπεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα. κα ηζμννμπεί ε νάβδμξ ζα πνέπεη μ ημίπμξ θαη ημ δάπεδμ κα είκαη ιεία. α ηζμννμπεί ε νάβδμξ ζα πνέπεη κα είκαη ιείμξ μ ημίπμξ θαη ημ δάπεδμ κα έπεη ηνηβή. α ηζμννμπεί ε (α) νάβδμξ Για να ισορροπεί ζα πνέπεη η ϱάβδος κα είκαη ϑα πρέπει ιείμ οημ τοίχος δάπεδμ και το δάπεδο θαη μ να ημίπμξ είναι λεία. κα έπεη ηνηβή. (ϐ) Για να ισορροπεί η ϱάβδος ϑα πρέπει να είναι λείος ο τοίχος και το δάπεδο να έχει τριβή. α) Γηα κα ηζμννμπεί ε νάβδμξ ζα πνέπεη μ ημίπμξ θαη ημ δάπεδμ κα είκ θηενηζηεί θάζε (γ) πνόηαζε Για να ισορροπεί ζακ ζςζηή η ϱάβδος ε ιακζαζμέκε ϑα πρέπει ναδηθαημιμγώκηαξ είναι λείο το δάπεδοηεκ και οεπηιμγή τοίχος ναζαξ. έχει τριβή. Να χαρακτηριστεί β) Γηα κα κάθε ηζμννμπεί πρόταση σαν ε νάβδμξ σωστή ηζα λανθασµένη πνέπεη κα δικαιολογώντας είκαη ιείμξ μ την ημίπμξ επιλογή θαη σας. ημ δάπεδμ κα έπ Οη δύμ μμόθεκηνμη δίζθμη ημο δηπιακμύ ζπήμαημξ μπμνμύκ κα πενηζηνέθμκηαη γύνς από 2.7. Οι δύο οµόκεντροι δίσκοι του διπλανού σχήµατος µπορούν να περιστρέφονται γύρω άλμκα πμο δηένπεηαη από γ) ημ Γηα θέκηνμ κα ηζμννμπεί ημοξ. ε νάβδμξ ζα πνέπεη κα είκαη ιείμ ημ δάπεδμ θαη μ ημίπμξ κα έπ από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο τους. μη είκαη θμιιεμέκμη Οι δίσκοι θαη είναι Κα μπμνμύκ κολληµένοι παναθηενηζηεί κα πενηζηνέθμκηαη και µπορούν να περιστρέφονται σαν ένα σώµα. Ασκούµε στους δίσκους τις θάζε πνόηαζε ζακ ζακ ζςζηή ε ιακζαζμέκε δηθαημιμγώκηαξ ηεκ επηιμγή ζα α. Αζθμύμε ζημοξ δυνάµεις δίζθμοξ F 1 και F 2 ηηξ πουδοκάμεηξ ϕαίνονται στο σχήµα θαη και τελικά πμο παρατηρούµε ότι το σύστηµα Οη δύμ περιστρέφεται μμόθεκηνμη δίζθμη µε σταθερή ημο δηπιακμύ ζπήμαημξ μπμνμύκ κα πενηζηνέθμκηαη γ η ζημ ζπήμα γωνιακή θαη ηειηθά ταχύτητα. παναηενμύμε Για τις δυνάµειςόηη F 1 και ημ F 2 ζύζηεμα ισχύει : ζηαζενό άλμκα πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ημοξ. έθεηαη με ζηαζενή (α) Fγςκηαθή 1 = 2F 2 ηαπύηεηα. Οη δίζθμη είκαη θμιιεμέκμη θαη μπμνμύκ κα πενηζηνέθμκηαη ζακ (ϐ) F 2 = 2F 1 οκάμεηξ θαη ηζπύεη: έκα ζώμα. Αζθμύμε ζημοξ δίζθμοξ ηηξ δοκάμεηξ θαη πμο (γ) F 1 = F 2 θαίκμκηαη ζημ ζπήμα θαη ηειηθά παναηενμύμε όηη ημ ζύζηεμα Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.. β) πενηζηνέθεηαη. με ζηαζενή γ) γςκηαθή. ηαπύηεηα. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου Γηα ηηξ δοκάμεηξ θαη ηζπύεη: 7 άκηεζε είκαη ζςζηή; Κα α) δηθαημιμγήζεηε. ηεκ απάκηεζή β) ζαξ.. γ).

8 ζώμα, μάδαξ, ημπμζεηείηαη πμιύ θμκηά ζημ θέκηνμ θαη ανπίδεη κα μιηζζαίκεη ανγά πνμξ ηεκ πενηθένεηα ημο δίζθμο. Ηαηά ηε δηάνθεηα ηεξ θίκεζεξ ημο μηθνμύ ζώμαημξ πνμξ ηεκ 2.8. Ενας οµογενής οριζόντιος δίσκος, µάζας M και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από πενηθένεηα, ε νμπή αδνάκεηαξ ημο ζοζηήμαημξ δίζθμξ μηθνό ζώμα: κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο Κ του δίσκου. Ενα µικρό σώµα, µάζας m, τοποθετείται πολύ κοντά στο κέντρο και αρχίζει να ολισθαίνει α) μεηώκεηαη. β) μέκεη ζηαζενή. γ) αολάκεηαη. αργά προς την περιφέρεια του δίσκου. Κατά τη διάρκεια της κίνησης του µικρού σώµατος προς την περιφέρεια, η ϱοπή αδράνειας του συστήµατος δίσκος - µικρό σώµα : Κα επηιέληε ηε ζςζηή απάκηεζε θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ζαξ. (α) µειώνεται. Έκαξ μμμγεκήξ (ϐ) µένει λύιηκμξ σταθερή. δίζθμξ (1) θαη έκαξ μμμγεκήξ μεηαιιηθόξ δαθηύιημξ (2) έπμοκ ηεκ (γ) αυξάνεται. ίδηα μάδα θαη ηεκ ίδηα αθηίκα. Ακ θαη είκαη ακηίζημηπα ε νμπή αδνάκεηαξ ημο δίζθμο θαη ημο δαθηοιίμο ςξ πνμξ Ναάλμκα επιλέξετε θάζεημ τη σωστή ζημ απάντηση επίπεδό και ημοξ, να αιτιολογήσετε πμο δηένπεηαη την επιλογή από ημ σας. θέκηνμ μάδαξ ημοξ, ηόηε ηζπύεη ε ζπέζε: 2.9. Ενας οµογενής ξύλινος δίσκος (1) και ένας οµογενής µεταλλικός δακτύλιος (2) έχουν την ίδια µάζα και την ίδια ακτίνα. Αν I 1 και I 2 είναι αντίστοιχα η ϱοπή αδράνειας του α). δίσκου και του δακτυλίου β) ως προς. άξονα κάθετο στο επίπεδό γ) τους, που. διέρχεται από το κέντρο µάζας τους, τότε ισχύει η σχέση : Κα επηιέληε ηε ζςζηή απάκηεζε θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ζαξ. (α) I 1 < I 2 (ϐ) I 1 = I 2 (γ) I 1 > I 2 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Δύμ μνηδόκηημη ηνμπμί Α θαη Β, με αθηίκεξ αμειεηέαξ μάδαξ, έπμοκ ηεκ ίδηα μάδα θαη όιε ε μάδα ημοξ είκαη ύο μμμηόμμνθα οριζόντιοι τροχοί θαηακεμεμέκε Α και Β, µε ζηεκ ακτίνες πενηθένεηά αµελητέας ημοξ. µάζας, Ο ηνμπόξ έχουν την Α έπεη ίδια µάζα ηε δηπιάζηα και όλη αθηίκα απ ημκ η ηνμπό µάζα τους Β. Οη είναι δύμ οµοιόµορφα ηνμπμί μπμνμύκ κατανεµηµένη πενηζηνέθμκηαη στην περιφέρειά γύνς από τους. θαηαθόνοθμ Ο τροχός Αάλμκα, έχει τη πμο δηένπεηαη διπλάσια από ημ θέκηνμ ακτίνα μάδαξ από τον ημοξ. τροχό Δίκεηαη Β. Οι ε δύο νμπή τροχοί αδνάκεηαξ µπορούν εκόξ να περιστρέφονται ηνμπμύ ςξ πνμξ γύρω άλμκα, από κατακόρυφο άξονα, που διέρχεται από το κέντρο µάζας τους. πμο δηένπεηαη από ίνεται ημ ηθέκηνμ ϱοπή αδράνειας μάδαξ ημο: ενός τροχού ως προς. άξονα, που διέρχεται από το κέντρο µάζας του : I cm = mr 2 Αζθμύμε εθαπημμεκηθά. Ασκούµε εφαπτοµενικά ζηεκ πενηθένεηα στην περιφέρεια θάζε κάθε τροχού ηνμπμύ δύναµη F ίδιου µέτρου. Για τα µέτρα των γωνιακών δύκαμε ίδημο μέηνμο. Γηα ηα μέηνα ηςκ γςκηαθώκ επιταχύνσεων που ϑα αποκτήσουν οι δύο τροχοί, ισχύει επηηαπύκζεςκ ότι πμο : ζα απμθηήζμοκ μη δύμ ηνμπμί, ηζπύεη όηη: (α) α A < α B α). (ϐ) α A = α B β). γ). (γ) α A > α B Κα επηιέληε ηε ζςζηή απάκηεζε θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ζαξ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Ενας κατακόρυφος οµογενής κύλινδρος, στρέφεται αριστερόστροφα µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου Έκαξ θαηαθόνοθμξ ω 0 γύρω μμμγεκήξ από σταθερό θύιηκδνμξ, άξονα, που ζηνέθεηαη διέρχεται από τον άξονά του. Στον κύλινδρο ασκείται κατάλληλη ϱοπή δύναµης µέτρου τ F, οπότε η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ανηζηενόζηνμθα του με µεταβάλλεται γςκηαθή µε ηαπύηεηα το χρόνομέηνμο όπως ϕαίνεται γύνς στο διάγραµµα από του σχήµατος. ζηαζενό άλμκα, Η πμο σωστήδηένπεηαη γραφική παράσταση από ημκ άλμκά της ϱοπής ημο. τ F Σημκ σε συνάρτηση θύιηκδνμ µε το χρόνο t είναι το : Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. αζθείηαη θαηάιιειε νμπή δύκαμεξ μέηνμο, μπόηε ε γςκηαθή ηαπύηεηα πενηζηνμθήξ ημο μεηαβάιιεηαη με ημ πνόκμ όπςξ Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 8 θαίκεηαη ζημ δηάγναμμα ημο ζπήμαημξ.

9 ςζηή απάκηεζε θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ζαξ. Φυσική Γ Λυκείου ύιηκδνμξ, ζηνέθεηαη έηνμο γύνς από ά ημο. Σημκ θύιηκδνμ, μπόηε ε γςκηαθή Ε ζςζηή γναθηθή πανάζηαζε ηεξ νμπήξ με ημ πνόκμ όπςξ ημο ζπήμαημξ. ζε ζοκάνηεζε με ημ πνόκμ t είκαη Σειίδα 5 Κα επηιέληε ημ ζςζηό δηάγναμμα θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ζαξ Στο σχήµα ϕαίνονται σε κάτοψη δύο όµοιες οµογενείς ϱάβδοι (1) και (2), που ϐρίσκονται σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Η ϱάβδος (1) είναι ελεύθερη ενώ η ϱάβδος (2) είναι στερεωµένη Κα επηιέληε ημ ζςζηό δηάγναμμα θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ζαξ.. ακλόνητα Σημ ζπήμα στο θαίκμκηαη αριστερό άκρο ζε της θάημρε Α. ίνεται δύμ ηόμμηεξ ϱοπή αδράνειας μμμγεκείξ µιας νάβδμη οµογενούς (1) θαη ϱάβδου (2), πμο βνίζθμ ζε ιείμ μνηδόκηημ ως προς άξονα δάπεδμ. κάθετοε σε νάβδμξ αυτήν που(1) διέρχεται είκαη ειεύζενε από το κέντρο εκώ µάζας ε της : I cm = 1 12 ML2. Α. Δίκεηαη ε νμπή Α. Δίκεηαη αδνάκεηαξ ε νμπή αδνάκεηαξ μηαξ μηαξ μμμγεκμύξ νάβδμο ςξ πνμξ ςξ πνμξ άλμκα θάζεημ ζ αοηήκ πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ μάδαξ ηεξ:. Ε ζςζηή γναθηθή πανάζηαζε ηεξ νμπήξ ζε ζοκάνηεζε με ημ πνόκμ t είκαη ημ:. Σημ ζπήμα θαίκμκηαη ζε θάημρε δύμ όμμηεξ μμμγεκείξ νάβδμη (1) θαη (2), πμο βνίζθμκηαη ζε ιείμ μνηδόκηημ δάπεδμ. Ε νάβδμξ (1) είκαη ειεύζενε εκώ ε νάβδμξ (2) Ασκούµε είκαη στοζηενεςμέκε δεξιό άκρο τουςαθιόκεηα την ίδια οριζόντια ζημ δύναµη ανηζηενό F κάθε- άθνμ ηεξ νάβδμξ (2) είκαη ζηενεςμέκε αθιόκεηα ζημ ανηζηενό άθνμ ηεξ τα σε κάθε ϱάβδο. Για τα µέτρα των γωνιακών επιταχύνσεων α 1 και α 2, που ϑα αποκτήσουν αντίστοιχα οι δύο ϱάβδοι ισχύει : άλμκα θάζεημ ζ αοηήκ πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ μάδαξ (α) α 1 < α 2 (ϐ) αηεξ: 1 > α 2. (γ) α 1 = α 2 Αζθμύμε ζημ δεληό άθνμ ημοξ ηεκ ίδηα μνηδόκηηα δύκαμε F Να θάζεηα επιλέξετε ζε θάζε τη σωστή νάβδμ. απάντηση Γηα ηα μέηνα και ηςκ να γςκηαθώκ αιτιολογήσετε επηηαπύκζεςκ την θαη, πμο ζ απμθηήζμοκ επιλογή σας. ακηίζημηπα μη δύμ νάβδμη ηζπύεη: Αζθμύμε ζημ δεληό άθνμ ημοξ ηεκ ίδηα μνηδόκηηα δύκαμε F Η Γη στρέφεται α) σε ελλειπτική. τροχιά γύρω β) από τον. Ηλιο. Το κοντινότερο γ) σηµείο. στον Ηλιο ονοµάζεται Περιήλιο (π) και το πιο αποµακρυσµένο Αφήλιο (α). Αν ϑεωρήσουµε Κα επηιέληε ηε ζςζηή απάκηεζε θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ζαξ. θάζεηα ζε θάζε νάβδμ. Γηα ηα μέηνα ηςκ γςκηαθώκ επηηαπύκζεςκ θαη, πμο ζ απμθηή ακηίζημηπα τη Γη μη υλικό δύμ νάβδμη σηµείο τότε ηζπύεη: για τις αντίστοιχες αποστάσεις ισχύει r α = 2r π, τότε : (α) Για τις ταχύτητες. Ε Γε ζηνέθεηαη διέλευσης ζε ειιεηπηηθή της Γης από ηνμπηά το αφήλιο γύνς από και ημκ το Ήιημ. περιήλιο Τμ θμκηηκόηενμ ισχύει υ α = ζεμείμ 2υ π ζημκ α). β). γ). Ήιημ μκμμάδεηαη Πενηήιημ (π) θαη ημ πημ απμμαθνοζμέκμ Αθήιημ (α). Ακ ζεςνήζμομε ηε Γε οιηθό Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 9 ζεμείμ ηόηε γηα ηηξ ακηίζημηπεξ απμζηάζεηξ Κα επηιέληε ηε ζςζηή απάκηεζε θαη κα αηηημιμγήζεηε ηεκ επηιμγή ηζπύεη, ηόηε: α) Γηα ηηξ ηαπύηεηεξ δηέιεοζεξ ηεξ Γεξ από ημ. Ε Γε ζηνέθεηαη ζε ειιεηπηηθή ηνμπηά γύνς από ημκ Ήιημ. Τμ θμκηηκόηενμ ζεμείμ

10 ηνέθεηαη ζε ειιεηπηηθή ηνμπηά γύνς από ημκ Ήιημ. Τμ θμκηηκόηενμ ζεμείμ ζημκ η Πενηήιημ (π) θαη ημ πημ απμμαθνοζμέκμ Αθήιημ (α). Ακ ζεςνήζμομε ηε Γε οιηθό γηα ηηξ ακηίζημηπεξ απμζηάζεηξ Φυσική Γ Λυκείου , ηόηε: ηεηεξ δηέιεοζεξ ηεξ Γεξ από ημ ημ πενηήιημ ηζπύεη. ηηθέξ εκένγεηεξ δηέιεοζεξ ηεξ Γεξ αη ημ πενηήιημ ηζπύεη. (ϐ) Για τις κινητικές ενέργειες διέλευσης της Γης από το αφήλιο και το περιήλιο ισχύει K π = hs.wordpress.com 4K α. δεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 6 Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) και να αιτιολογήσετε τους χαρακτηρισµούς Ενας οµογενής δίσκος στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυ- ϕο άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω 1. Ενα κοµµάτι γύψου µάζας m πέφτει κατακόρυφα και κολλάει στο δίσκο σε απόσταση l από τον άξονα περιστροφής. (α) Ο γύψος ελάχιστα πριν ακουµπήσει στον δίσκο, έχει ως προς τον άξονα περιστροφής του δίσκου στροφορµή ίση µε µηδέν. (ϐ) Αµέσως µετά την κρούση η στροφορµή του συστήµατος δίσκος-γύψος µειώνεται. (γ) Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου µειώνεται µετά την κρούση. (δ) Στην κρούση αυτή δεν ισχύει η Αρχή ιατήρησης της Ορµής. Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) και να αιτιολογήσετε τους χαρακτηρισµούς υο χορευτές του καλλιτεχνικού πατινάζ πιάνονται αντικριστά µε τεντωµένα χέρια και περιστρέφονται. Κάποια στιγµή λυγίζουν τα χέρια τους ώστε τα σώµατά τους να πλησιάσουν µεταξύ τους. Ποιο από τα παρακάτω µεγέθη ϑα αυξηθεί (α) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήµατος. (ϐ) Η ϱοπή αδράνειας του συστήµατος. (γ) Η στροφορµή του συστήµατος. (δ) Η περίοδος περιστροφής. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Ενα σωµάτιο µάζας m περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Αν η απόσταση του σωµατίου από τον άξονα διπλασιαστεί, χωρίς να µεταβληθεί η γωνιακή του ταχύτητα, η στροφορµή του ως προς τον άξονα περιστροφής : (α) διπλασιάζεται. (ϐ) τετραπλασιάζεται. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 10

11 (γ) παραµένει σταθερή. (δ) υποδιπλασιάζεται. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Στα άκρα µιας οριζόντιας αβαρούς ϱάβδου µήκους ϐρίσκονται δύο όµοιες µάζες m 1 = m 2 = m. Το σύστηµα περιστρέφεται µε συχνότητα f 1 γύρω από σταθερό κατακόρυ- ϕο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της ϱάβδου. Αν λόγω εσωτερικών δυνάµεων υποδιπλασιαστεί η απόσταση κάθε µάζας από τον άξονα περιστροφής, τότε : (α) Η ϱοπή αδράνειας του συστήµατος υποδιπλασιάζεται και η στροφορµή του συστήµατος υποδιπλασιάζεται. (ϐ) Η ϱοπή αδράνειας του συστήµατος υποτετραπλασιάζεται και η στροφορµή του συστήµατος παραµένει σταθερή. (γ) Η ϱοπή αδράνειας του συστήµατος παραµένει σταθερή και η στροφορµή του συστήµατος υποδιπλασιάζεται. (δ) Η ϱοπή αδράνειας του συστήµατος υποδιπλασιάζεται και η στροφορµή του συστήµατος παραµένει σταθερή. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Ενας κύβος και ένας δίσκος έχουν ίδια µάζα και αφήνονται από το ίδιο ύψος να κινηθούν κατά µήκος δύο κεκλιµένων επιπέδων. Ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβές και ϕτάνει στη ϐάση του κεκλιµένου επιπέδου µε ταχύτητα υ 1. Ο δίσκος κυλιέται χωρίς να ολισθαίνει και ϕτάνει στη ϐάση του κεκλιµένου επιπέδου µε ταχύτητα υ 2. Αν η ϱοπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι : I = 1 2 MR2 τότε : 4 2 (α) υ 2 = υ 1 (ϐ) υ 2 = 3 υ 1 (γ) υ 2 = 3 υ 1 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Οµογενής δίσκος µάζας M και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Η ταχύτητα του κέντρου µάζας του δίσκου είναι υ cm. Η ϱοπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του είναι I = 1 2 MR2. Η ολική κινητική ενέργεια του δίσκου είναι : (α) 1 2 Mυ2 cm (ϐ) 3 4 Mυ2 cm (γ) 7 8 Mυ2 cm Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 11

12 Κα επηιέλεηε ηε ζςζηή πνόηαζε. Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απ Σημ ζπήμα θαίκεηαη έκαξ μμμγεκήξ ζομπαγήξ θοθιηθόξ δίζθμξ (Ζ) θαη έκα θοθιηθόξ δαθηύιημξ (ΖΖ), πμο έπμοκ ηεκ ίδηα αθηίκα, ηεκ ίδηα μάδα θαη πεν Φυσική Γ Λυκείου γύνς από άλμκα πμο πενκάεη από ημ θέκηνμ ημοξ 6ο Σετ με Ασκήσεων ηεκ ίδηα γςκηαθή ηα Στο σχήµα ϕαίνεται ένας οµογενής συµπαγής κυκλικός δίσκος (Ι) και ένας οµογενής κυκλικός δακτύλιος Ηάπμηα (ΙΙ), πνμκηθή που έχουν ζηηγμή την ίδια αζθμύκηαη ακτίνα R, ζηα την ίδια ζώμαηα µάζα m αοηά και περιστρέφονται γύρω από άξονα εθαπηόμεκεξ που περνάει ζηεκ από πενηθένεηα το κέντρο θαη τους μεηά µεαπό τηνιίγμ ίδιαηα γωνιακή δύμ ζώμαηα ταχύτητα ζηαμαημύκ. ζηαζενέξ δοκάμεηξ ίδημο ω. Κάποια χρονική στιγµή ασκούνται στα σώµατα αυτά σταθερές δυνάµεις ίδιου µέτρου F, εφαπτόµενες στην περιφέρεια και µετά από λίγο τα δύο σώµατα σταµατούν. Ο αριθµός των στροφών Ο ανηζμόξ ηςκ ζηνμθώκ πμο ζα εθηειέζμοκ, ζα είκαη: που ϑα εκτελέσουν, ϑα είναι : (α) N I = N II (ϐ) N I > N II (γ) N I < N II α). β). γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Τη χρονική στιγµή t 1 ο δίσκος έχει στροφορµή L 1, ως προς τον άξονα περιστροφής του, και τη χρονική στιγµή t 2 ο δίσκος έχει στροφορµή Ο ανπηθά Lαθίκεημξ δίζθμξ ημο ζπήμαημξ λεθηκά κα 2 = 2L 1. Η δύναµη από την αρχή µέχρι τη ζηνέθεηαη χρονική ηε στιγµή πνμκηθή t 1 παράγει Ιηπάιεξ ζηηγμή έργο W Γ. Ηαναδεμεηνίμο, 1 = 10J ηεκ. Φοζηθόξ επίδναζε Από την αρχή Msc μηαξ µέχρι τη χρονική στιγµή t 2 η δύναµη παράγει έργο : δύκαμεξ, ςξ πνμξ άλμκα πμο πενκάεη από ημ θέκηνμ μάδαξ ημο (α) 20J θαη είκαη θάζεημξ ζηεκ επηθάκεηά ημο. Τε πνμκηθή ζηηγμή μ (ϐ) 30J δίζθμξ έπεη ζηνμθμνμή, ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ ημο, (γ) 40J Κα επηιέλεηε ηε ζςζηή πνόηαζε. Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απ Ο αρχικά ακίνητος δίσκος του σχήµατος ξεκινά να στρέφεται τη χρονική στιγµή t = 0 µε την επίδραση µιας δύναµης F, ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο µάζας του και είναι κάθετος στην επιφάνειά του. θαη ηε πνμκηθή ζηηγμή μ δίζθμξ έπεη ζηνμθμνμή. Ε Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την δύκαμε επιλογή από σας. ηεκ ανπή μέπνη ηε πνμκηθή ζηηγμή πανάγεη ένγμ. Από ηεκ ανπή μέπνη ηε πνμκηθή ζηηγμή ε Η οριζόντια ϱάβδος ΑΚ του σχήµατος είναι αβαρής και στρέφεται γύρω από κατακόρυφο δύκαμε πανάγεη ένγμ: άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το άκρο της Κ. Η µάζα m συγκρατείται σε απόσταση (ΠΚ)=R π από τον άξονα περιστροφής και το µέτρο της ταχύτητάς της είναι υ π. α). β). γ). Κα επηιέλεηε ηε ζςζηή πνόηαζε. Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζε ζαξ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 12 Ε μνηδόκηηα νάβδμξ ΑΗ ημο ζπήμαημξ είκαη αβανήξ

13 υσική Γ Θετικής και Τεχν/κής Κατ/σης α). β). γ). Κα επηιέλεηε ηε ζςζηή πνόηαζε. Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζε ζαξ. Θέματα εξετάσεων Φυσική Γ Λυκείου Ε μνηδόκηηα νάβδμξ ΑΗ ημο ζπήμαημξ είκαη αβανήξ Η µάζα αφήνεται ελεύθερη να µετακινηθεί στο σηµείο θαη ζηνέθεηαη Α πουγύνς απέχει από απόσταση θαηαθόνοθμ (ΑΚ) άλμκα = R A πμο = 4Rείκαη π. θάζεημξ Για το ζε αοηήκ λόγο θαη των κινητικών δηένπεηαη ενεργειών από ημ που έχει άθνμ η µάζα ηεξ mη. στιςε παραπάνω ϑέσεις K π και K A αντίστοιχα, ισχύει : μάδα ζογθναηείηαη ζε απόζηαζε από ημκ οπή αδράνειας της μάζας m 1 ως προς τον άξονα z z είναι K π άλμκα πενηζηνμθήξ (α) = θαη 1 ημ μέηνμ ηεξ ηαπύηεηάξ ηεξ είκαη. K A Ε μάδα αθήκεηαη ειεύζενε κα μεηαθηκεζεί ζημ ζεμείμ Α πμο εγαλύτερη από ικρότερη από K π απέπεη απόζηαζε (ϐ) = 4 K. Γηα ημ ιόγμ ηςκ A θηκεηηθώκ εκενγεηώκ K πμο έπεη ε μάδα ζηηξ παναπάκς π (γ) = 16 ζέζεηξ θαη K A ακηίζημηπα, ηζπύεη: ση με τη ροπή αδράνειας της μάζας m 2 ως προς τον ίδιο άξονα. επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ομογ Τροχός αρχικά ακίνητος, αρχίζει (t=0) και περιστρέφεται υπό την επίδραση σταθερής ροπής, γύρω υο συµπαγείς οµογενείς σιδερένιες σφαίρες µε µάζες M 1, M 2 και ακτίνες R 1, R 2, α- α). β). γ). ϕήνονται σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ, οπότε κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. ινητική ενέργεια K του τροχού ως συνάρτηση του χρόνου απεικονίζεται στο σχήμα: Αν δίνεται ότι M 1 Κα = 8M επηιέλεηε 2 και ότι ηε Iζςζηή cmσφ = 2 πνόηαζε. Κα δηθαημιμγήζεηε ηεκ απάκηεζή ζαξ. 5 M σφrσφ 2, τότε για τις γωνιακές επιταχύνσεις που ϑα αποκτήσουν ϑα ισχύει : (α) α γων,2 = 4α γων,1 (ϐ) α γων,2 = α γων,1 (γ) α γων,2 = 2α γων,1 ίνεται ο όγκος της σφαίρας : V = πr3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 10 επιλέξετε τη σωστή απάντηση Τροχαλία µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο µάζας της. Γύρω από την τροχαλία είναι τυλιγµένο αβαρές και µη εκτατό νήµα. αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Επαν. Εσπερ Οταν στο ελεύθερο άκρο του νήµατος ασκούµε κατακόρυφη δύναµη µε ϕορά προς τα κάτω µέτρου F, η τροχαλία αποκτά γωνιακή επιτάχυνση µέτρου α γων,1 ενώ, όταν κρεµάµε στο ε- λεύθερο άκρο του νήµατος σώµα ϐάρους W = F η τροχαλία. Τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από λόνητο οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της. ύρω από την τροχαλία είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό μα. Όταν στο αποκτά ελεύθερο γωνιακή επιτάχυνση άκρο του α γων,2 νήματος. Ισχύει : ασκούμε τακόρυφη δύναμη με φορά προς τα κάτω μέτρου F, η (α) α γων,1 = α γων,2 οχαλία αποκτά γωνιακή επιτάχυνση μέτρου α ενώ, όταν γων,1 (ϐ) α γων,1 > α γων,2 εμάμε στο ελεύθερο άκρο του νήματος σώμα βάρους w = F τροχαλία αποκτά (γ) γωνιακή α γων,1 < επιτάχυνση α γων,2 α. Ισχύει: γων,2 α = α. Να επιλέξετε τη σωστήβ. απάντηση α > καια να αιτιολογήσετε. την γ. α < α. γων,1 γων,2 γων,1 γων,2 γων,1 γων,2 επιλογή σας. επιλέξετε τη σωστή απάντηση. δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Επαν. Ημερ Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου

14 2.25. ύο ίδιοι οριζόντιοι κυκλικοί δίσκοι (α) και (ϐ) µπορούν να ολισθαίνουν πάνω σε οριζόντιο ορθογώνιο τραπέζι Γ ΕΖ χωρίς τριβές, όπως στο σχήµα. Αρχικά οι δύο δίσκοι είναι ακίνητοι και τα κέντρα τους α- πέχουν ίδια απόσταση από την πλευρά ΕΖ. Ιδιες σταθερές δυνάµεις F µε διεύθυνση παράλληλη προς τις πλευρές Ε και ΓΖ ασκούνται σε αυτούς. Στο δίσκο (α) η δύναµη ασκείται πάντα στο σηµείο Α του δίσκου. Στο δίσκο (ϐ) η δύναµη ασκείται πάντα στο σηµείο Β του δίσκου. Αν ο δίσκος (α) χρειάζεται χρόνο t α για να ϕτάσει στην α- πέναντι πλευρά ΕΖ, ενώ ο δίσκος (ϐ) χρόνο t ϐ, τότε : (α) t α > t ϐ (ϐ)t α = t ϐ (γ)t α < t ϐ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Χορεύτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ στρέφεται χωρίς τριβές µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα έχοντας τα χέρια της ανοιχτά. Οταν συµπτύσσει τα χέρια της µεταβάλλει την γωνιακή της ταχύτητα κατά 60 %. Ο λόγος της αρχικής προς την τελική κινητική της ενέργεια είναι : (α) K 1 = 5 K 2 8 (ϐ) K 1 = 5 K 2 3 (γ) K 1 = 3 K 2 5 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Οριζόντιος, αρχικά ακίνητος, δίσκος µπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Το αλγεβρικό άθροισµα των ϱοπών που ασκούνται στο δίσκο µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε το χρόνο, όπως ϕαίνεται στο σχήµα 3. Τότε, η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου έχει τη µέγιστη τιµή της τη χρονική στιγµή : (α) t 1 (ϐ)t 2 (γ) t 3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Επαναληπτικές Πανελλήνιες - Ιούνιος 2014 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 14

15 2.28. Στο σχήµα ϕαίνεται ένας οµογενής συµπαγής κυκλικός δίσκος (1) και ένας συµπαγής κυκλικός δακτύλιος (2), που έχουν την ίδια ακτίνα και την ίδια µάζα. Κάποια χρονική στιγµή ασκούνται στα σώµατα αυτά δυνάµεις ίδιου µέτρου, εφαπτόµενες στην περιφέρεια, όπως ϕαίνεται στο σχήµα και τα σώµατα αρχίζουν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν στο οριζόντιο επίπεδο. α) Για τις ϱοπές αδράνειας I 1 και I 2 των σωµάτων (1) και (2) αντίστοιχα, ισχύει : (α) I 1 = I 2 (ϐ) I 1 > I 2 (γ) I 1 < I 2 ϐ) Για τις επιταχύνσεις των κέντρων µάζας a cm,1 και a cm,2 των σωµάτων (1) και (2) αντίστοιχα, ισχύει : (α) a cm,1 = a cm,2 (ϐ) a cm,1 < a cm,2 (γ) a cm,1 > a cm,2 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Πανελλήνιες Οµογενών - Σεπτέµβρης Ενας δίσκος 1 µε ϱοπή αδράνειας I 1 στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω 1 και ϕορά περιστροφής όπως ϕαίνεται στο σχήµα, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ενας δεύτερος δίσκος 2 µε ϱοπή αδράνειας I 2 = I 1, που αρχικά είναι ακίνητος, τοποθετείται πάνω στο δίσκο 4 1, ενώ αυτός περιστρέφεται, έτσι ώστε να έχουν κοινό άξονα περιστροφής, που διέρχεται από τα κέντρα των δύο δίσκων, όπως δείχνει το σχήµα. Μετά από λίγο οι δύο δίσκοι αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα ω. Αν L 1 είναι το µέτρο της αρχικής στροφορµής του δίσκου 1, τότε το µέτρο της µεταβολής της στροφορµής του δίσκου 1 είναι : (α)0 (ϐ) 1 5 L 1 (γ) 2 5 L 1 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 15

16 ε θαη ζημ ζεμείμ ηεξ Θ ζε ηγμα ( ηζμννμπεί μνηδόκηηα. ), Ε βνεζεί ε δύκαμε ΦυσικήΚ Γ Λυκείου πμο είκαη πιέμκ ε δύκαμε πμο αζθεί ημ οπμζηήνηγμα ζηε νάβδμ; ε νάβδμξ από ημ ηγμα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Πανελλήνιες - Μάης 2013 είκαη ημ μέηνμ ηεξ δύκαμεξ πμο δέπεηαη ε νάβδμξ από ηεκ άνζνςζε. θηκμύμε ημ οπμζηήνηγμα 3. Θέµα Γ -θαη Ασκήσεις ημ ημπμζεημύμε ζημ Δ, ημ μπμίμ είκαη ημ μέζμ ημο ΑΙ. Πόζε έμκ ε δύκαμε πμο αζθεί ημ οπμζηήνηγμα ζηε νάβδμ; 3.1. Οµογενής ϱάβδος ΑΒ µήκους L = 4m και ϐάρους w = 100N ισορροπεί οριζόντια στηριζόµενη σε κατακόρυφο κήμαημξ. Ε νάβδμξ ΑΒ ημο παναθάης ζπήμαημξ τοίχο µε είκαη άρθρωση μμμγεκήξ, και στο έπεη σηµείο μήθμξ της Λ σε θαη υποστήριγµα ( ΜΛ = L/4), Η ϱάβδος ισορροπεί οριζόντια. θαη ηζμννμπεί μνηδόκηηα.. οπμιμγηζζεί ε ηάζε ημο ζεμείμ Α ε νάβδμξ αη ζημκ ημίπμ. Ακ ε ηνηβή εηαη ε νάβδμξ είκαη μέγηζηε δοκαηή ώζηε κα ηζμννμπεί, κα βνεζεί μ ζοκηειεζηήξ ζηαηηθήξ εηαλύ νάβδμο θαη ημίπμο. (α) Να ϐρεθεί η δύναµη Ν που δέχεται η ϱάβδος από το υποστήριγµα. ηα άθνα Α θαη Β ηεξ (ϐ) Πόσο μμμγεκμύξ είναι το νάβδμο µέτρο της μήθμοξ δύναµης που δέχεται έπμομε η ϱάβδος θνεμάζεη από την 2 ζώμαηα άρθρωση. με θαη (γ) Μετακινούµε Δίκεηαη το υποστήριγµα και το. τοποθετούµε στο Ζ, το οποίο είναι το µέσο του ΑΜ. Πόση είναι πλέον η δύναµη που ασκεί το υποστήριγµα στη ϱάβδο ; νάβδμξ είκαη αβανήξ, πμύ πνέπεη κα ημπμζεηήζμομε ημ οπμζηήνηγμα έηζη ώζηε ημ ηςκ ηνηώκ 3.2. ζςμάηςκ Η ϱάβδος κα ηζμννμπεί; ΑΒ του παρακάτω σχήµατος είναι οµογενής, έχει µήκος L και ϐάρος w = 100N και ισορροπεί οριζόντια. νάβδμξ έπεη βάνμξ, πμύ πνέπεη κα ημπμζεηήζμομε ημ οπμζηήνηγμα ώζηε ημ ζύζηεμα κα ηζμννμπεί; γ) Αθαηνμύμε ημ θαη από ηε νάβδμ θνέμεηαη μόκμ ημ β) Πόζμ είκαη ημ μέηνμ ηεξ δύκαμεξ πμο δέπεηαη ε νάβδμξ από γ) Ιεηαθηκμύμε ημ οπμζηήνηγμα θαη ημ ημπμζεημύμε ζημ Δ, ημ βάνμξ. Ε νάβδμξ ΑΒ ημο παναθάης ζπήμαημξ είκα. Πμύ πνέπεη κα ημπμζεηήζμομε ημ οπμζηήνηγμα γηα κα ηζμννμπεί ε νάβδμξ; Πόζε είκαη ε δύκαμε πμο αζθεί ημ οπμζηήνηγμα ζηεκ νάβδμ; θαη ηζμννμπεί μνηδόκηηα. α) Κα οπμιμγηζζεί ε ηάζε ημο β) Σημ ζεμείμ Α ε νάβδμξ εθάπηεηαη ζημκ ημίπμ. Ακ ε ηνηβή πμο δέπεηαη ε νάβδμξ είκαη μέγηζηε δοκαηή ώζηε κα ηζμννμπεί ηνηβήξ μεηαλύ νάβδμο θαη ημίπμο.. Σηα άθνα Α θαη Β ηεξ μμμγεκμύξ νάβδμο μήθμοξ μάδεξ θαη Δίκεηαη. α) Ακ ε νάβδμξ είκαη αβανήξ, πμύ πνέπεη κα ημπμζεηήζμο ζύζηεμα ηςκ ηνηώκ ζςμάηςκ κα ηζμννμπεί; β) Ακ ε νάβδμξ έπεη βάνμξ, πμύ πνέπεη κα ημπμ erifysikhs.wordpress.com Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 11 (α) Να υπολογισθεί η τάση του νήµατος. Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc ζύζηεμα κα ηζμννμπεί; γ) Αθαηνμύμε ημ θ ημ. Πμύ πνέπεη κα κα ηζμννμπεί ε νάβδμξ; οπμζηήνηγμα ζηεκ νάβδμ (ϐ) Στο σηµείο Α η ϱάβδος εφάπτεται στον τοίχο. Αν η τριβή που δέχεται η ϱάβδος είναι µέγιστη δυνατή ώστε να ισορροπεί, να ϐρεθεί ο συντελεστής στατικής τριβής µεταξύ ϱάβδου και τοίχου. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 16

17 μγεκήξ νάβδμξ ΑΒ μήθμοξ θαη βάνμοξ ηζμννμπεί μνηδόκηηα κε ζε θαηαθόνοθμ ημίπμ με θαη ζημ ζεμείμ ηεξ Θ ζε μα ( μννμπεί μνηδόκηηα. ), Ε νεζεί ε δύκαμε Κ πμο ε νάβδμξ από ημ μα Στα άκρα Α και Β της οµογενούς ϱάβδου µήκους L = 1m έχουµε κρεµάσει 2 σώµατα ίκαη ημ μέηνμ ηεξ δύκαμεξ πμο δέπεηαη ε νάβδμξ από ηεκ άνζνςζε. µε µάζες m 1 = 3kg και m 2 = 1kg ίνεται g = 10m/s 2. κμύμε ημ οπμζηήνηγμα (α) Ανθαη η ϱάβδος ημ ημπμζεημύμε είναι αβαρής, ζημ πού Δ, ημ πρέπει μπμίμ ναείκαη τοποθετήσουµε ημ μέζμ ημο τοαι. υποστήριγµα Πόζε έτσι ώστε το κ ε δύκαμε πμο αζθεί σύστηµα ημ οπμζηήνηγμα των τριώνζηε σωµάτων νάβδμ; να ισορροπεί ; (ϐ) Αν η ϱάβδος έχει ϐάρος w = 60N, πού πρέπει να τοποθετήσουµε το υποστήριγµα ώστε νάβδμξ ΑΒ ημο το σύστηµα παναθάης ισορροπεί ζπήμαημξ ; είκαη μμμγεκήξ, έπεη μήθμξ θαη θαη ηζμννμπεί (γ) Αφαιρούµε μνηδόκηηα. το m 1 και από τη ϱάβδο κρέµεται µόνο το m 2. Πού πρέπει να τοποθετήσουµε το υποστήριγµα για να ισορροπεί η ϱάβδος Πόση είναι η δύναµη που ασκεί το υποστήριγµα πμιμγηζζεί ε ηάζε στην ημο ϱάβδο ; 3.4. Μια οµογενής σανίδα ΚΛ µήκους L = 10m και ϐάρους w = 1200N τοποθετείται πάνω ζεμείμ Α ε σε νάβδμξ µια επιφάνεια ώστε το τµήµα Λ µήκους L = 4m να προεξέχει της επιφάνειας. Ενας. Ιηα μμμγεκήξ ζακίδα ΗΘ μήθμοξ θαη βάνμοξ ημπμζεηείηαη άνθρωπος ϐάρους w ζημκ ημίπμ. Ακ ε ηνηβή 1 = 800N ξεκινάει από το άκρο Κ και κινείται πάνω στη σανίδα µε ς ζε μηα επηθάκεηα κατεύθυνση ώζηε ημ προς ημήμα τοδθ Λ. μήθμοξ κα πνμελέπεη ηεξ επηθάκεηαξ. Έκαξ αη ε νάβδμξ είκαη μέγηζηε δοκαηή ώζηε κα ηζμννμπεί, κα βνεζεί μ ζοκηειεζηήξ ζηαηηθήξ νςπμξ αλύ νάβδμο θαη ημίπμο. μοξ ηκάεη άθνα από Α θαη ημ Β άθνμ ηεξ μμμγεκμύξ Η νάβδμο μήθμοξ θηκείηαη πάκς ζηε θαη ίδα με θαηεύζοκζε Δίκεηαη. έπμομε θνεμάζεη 2 ζώμαηα με νάβδμξ ξ ημ Θ. είκαη αβανήξ, (α) Μέχρι πμύ ποια πνέπεη απόσταση κα ημπμζεηήζμομε x από το σηµείο ημ µπορεί οπμζηήνηγμα να περπατήσει έηζη ώζηε ώστε να ημ µην ανατραπεί η ςκ ηνηώκ ζςμάηςκ κα σανίδα ηζμννμπεί; ; έπνη πμηά απόζηαζε από ημ ζεμείμ Δ μπμνεί κα πενπαηήζεη ώζηε κα μεκ ακαηναπεί ε ίδα; (ϐ) Πόσο είναι η µέτρο της αντίδρασης N εκείνη την στιγµή ; βδμξ έπεη βάνμξ, πμύ πνέπεη κα ημπμζεηήζμομε ημ οπμζηήνηγμα ώζηε ημ ζύζηεμα κα ηζμννμπεί; Πόζμ 3.5. είκαη Ενας µηχανικός ε μέηνμ ϐάρους wηεξ 1 = 800Nακηίδναζεξ ϐρίσκεται πάνω εθείκε σε µια οριζόντια ηεκ οµογενή ζηηγμή; σανίδα ΑΒ, µήκους L = 10m και ϐάρους w = 500N. Η σανίδα κρέµεται από δύο κατακόρυφα σχοινιά που είναι γ) Αθαηνμύμε δεµένα σταημ άκρα Αθαη καιαπό Β. Ολο ηε το νάβδμ σύστηµα θνέμεηαη ισορροπεί μόκμ οριζόντιο όπως ϕαίνεται στο ημ σχήµα.. Πμύ πνέπεη κα ημπμζεηήζμομε ημ οπμζηήνηγμα γηα. Έκαξ μεπακηθόξ (α) βάνμοξ Να ϐρεθούν τα µέτρα των τάσεων βνίζθεηαη T 1 και πάκς T 2 των ζε δύο μηα σχοινιών μνηδόκηηα ανμμμγεκή x = 8m. ζακίδα κα ηζμννμπεί ε νάβδμξ; Πόζε είκαη ε δύκαμε πμο αζθεί ημ μήθμοξ (ϐ) Ποια θαη βάνμοξ είναι η µέγιστη και ποια. η ελάχιστη τιµή του µέτρου της τάσης T οπμζηήνηγμα ζηεκ νάβδμ; 1 ; ακίδα θνέμεηαη Μιχάλης από δύμ Ε. θαηαθόνοθα Καραδηµητρίου ζπμηκηά πμο είκαη 17 δεμέκα ζηα άθνα Α θαη Β. Όιμ ημ ifysikhs.wordpress.com ηεμα ηζμννμπεί μνηδόκηημ όπςξ θαίκεηαη ζημ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 11 μα. Κα βνεζμύκ ηα μέηνα ηςκ

18 πακηθόξ βάνμοξ βνίζθεηαη πάκς ζε μηα μνηδόκηηα μμμγεκή ζακίδα θαη βάνμοξ. Φυσική Γ Λυκείου εηαη από δύμ θαηαθόνοθα ζπμηκηά πμο είκαη δεμέκα ζηα άθνα Α θαη Β. Όιμ ημ πεί μνηδόκηημ όπςξ θαίκεηαη ζημ βνεζμύκ ηα μέηνα ηςκ η ηςκ δύμ ζπμηκηώκ ε μέγηζηε θαη πμηά ε ειάπηζηε ηημή ηάζε ; (γ) Για ποια τιµή της απόστασης x, το µέτρο της τάσης T 1 είναι ίσο µε το µέτρο της τάσης T 2 ; ηεξ απόζηαζεξ, ημ μέηνμ ηεξ ηάζεξ είκαη ίζμ με ημ μέηνμ ηεξ ηάζεξ ; 3.6. Ενας οριζόντιος οµογενής δίσκος ακτίνας R = 0, 1m µπορεί να περιστρέφεται χωρίς ηδόκηημξ μμμγεκήξ τριβές, δίζθμξ γύρωαθηίκαξ από κατακόρυφο άξονα μπμνεί που διέρχεται κα πενηζηνέθεηαη από το κέντρο πςνίξ του. Ο δίσκος είναι πό θαηαθόνοθμ αρχικά άλμκα ακίνητος πμο δηένπεηαη και τηαπό χρονική ημ θέκηνμ στιγµήημο. t = Ο 0 δίζθμξ δέχεταιείκαη εφαπτοµενικά ανπηθά στην περιφέρειά του αριστερόστροφη δύναµη µέτρου F 1 = 10N και η οποία του προσδίδει γωνιακή επιτάχυνση αθίκεημξ µέτρου θαη ηε απνμκηθή γων = 20rad/s ζηηγμή 2. δέπεηαη εθαπημμεκηθά ζηεκ Α. Να υπολογίσετε πενηθένεηά : ημο ανηζηενόζηνμθε δύκαμε (α) μέηνμο Τη ϱοπή αδράνειας I cm θαη τουε δίσκου μπμία ως προς ημο τον πνμζδίδεη άξονα περιστροφής γςκηαθή του. (ϐ) Τη µάζα M του δίσκου. επηηάποκζε μέηνμο. (γ) Το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου τη χρονική στιγµή t 1 = 5s. Α. Β. Τη Κα χρονική οπμιμγίζεηε: στιγµή t 1 καταργούµε ακαριαία τη δύναµη F 1. (δ) Να υπολογίσετε τον αριθµό των περιστροφών που ϑα κάνει ο δίσκος από τη χρονική στιγµή khs.wordpress.com t 1 έως τη χρονική στιγµή t 2 = 15s. αδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 12 ίνεται η ϱοπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του I cm = 1 2 MR Μια οµογενής λεπτή δοκός ΚΑ, µάζας M = 6kg και µήκους L = 2m, µπορεί να στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Κ. Στο άκρο Α της δοκού ασκείται οριζόντια δύναµη σταθερού F = 10N κάθετα στη δοκό και η δοκός αρχίζει να περιστρέφεται αριστερόστροφα. Κατά την περιστροφή της δοκού υπάρχουν τριβές, που δηµιουργούν ϱοπή ως προς τον άξονα περιστροφής µέτρου τ T = 4N m. Να υπολογίσετε : (α) Το µέτρο της συνισταµένης των ϱοπών, ως προς τον άξονα περιστροφής, κατά τη διάρκεια της περιστροφής της δοκού. (ϐ) Τη ϱοπή αδράνειας της δοκού ως προς τον άξονα περιστροφής της. (γ) Το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης. (δ) Το µέτρο της γραµµικής ταχύτητας του κέντρου µάζας της, όταν η δοκός έχει διαγράψει N = 8 π περιστροφές. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 18

19 ίνεται η ϱοπή αδράνειας της δοκού ως προς άξονα κάθετο στη δοκό, που διέρχεται από το κέντρο µάζας της I cm = 1 12 ML Οµογενής συµπαγής κύλινδρος ακτίνας R = 0, 05m, µπορεί να στρέφεται (τριβές α- µελητέες) γύρω από κατακόρυφο άξονα, που συµπίπτει µε τον άξονα συµµετρίας του. Στην περιφέρειά του έχουµε τυλίξει αβαρές µη εκτατό νήµα. Τη χρονική στιγµή t = 0, αρχίζουµε να σύρουµε το άκρο του νήµατος, ασκώντας εφαπτοµενική δύναµη µέτρου F = 1N. Τη χρονική στιγµή t = 4s, ο κύλινδρος περιστρέφεται αριστερόστροφα και έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω = 20rad/s. Να υπολογίσετε : (α) Το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του κυλίνδρου. (ϐ) Τη ϱοπή αδράνειας του κυλίνδρου, χωρίς να ϑεωρήσετε γνωστό τον τύπο της ϱοπής α- δράνειας κυλίνδρου. (γ) Το µέτρο της γωνιακής µετατόπισης του κυλίνδρου τη χρονική στιγµή t = 4s. (δ) Το µήκος του νήµατος, που ξετυλίχθηκε µέχρι τη χρονική στιγµή t = 4s, ϑεωρώντας ότι αυτό δεν ολισθαίνει πάνω στην επιφάνεια του κυλίνδρου Μια οµογενής ϱάβδος, µάζας M = 3kg και µήκους L = 2m, ισορροπεί σε οριζόντια ήξ νάβδμξ, μάδαξ ϑέση, στηριζόµενη θαη µε το μήθμοξ αριστερό άκρο της, Αηζμννμπεί σε κατακόρυφο ζε τοίχο µε άρθρωση και όμεκε με ημ ανηζηενό δεµένη άθνμ στο σηµείο ηεξ Α ζε στοθαηαθόνοθμ κάτω άκρο ημίπμ κατακόρυφου με άνζνςζε νήµατος, θαη του οποίου το πάνω άκρο είναι ακλόνητα στερεωµένο. Αν η τάση του νήµατος είναι T = 20N, να υπολογίσετε : ζημ θάης άθνμ θαηαθόνοθμο κήμαημξ, ημο μπμίμο ημ πάκς άθνμ είκαη μ. Ακ ε ηάζε ημο κήμαημξ πμιμγίζεηε: μείμο Δ, από ημ άθνμ Α. από ηεκ άνζνςζε. θόβμομε ημ κήμα, μπόηε ε νάβδμξ ύνς από ηεκ άνζνςζε. Ακ ε νμπή ο ςξ πνμξ θάζεημ ζ αοηήκ άλμκα νμ μάδαξ ηεξ είκαη (α) την απόσταση του σηµείου,, από το άκρο Α. μ ηεξ γςκηαθήξ επηηάποκζεξ ηεξ νάβδμο ηε ζηηγμή: (ϐ) τη δύναµη στήριξης από την άρθρωση. Τη χρονική στιγµή t = 0 κόβουµε το νήµα, οπότε η ϱάβδος πέφτει στρεφόµενη γύρω από την άρθρωση. Αν η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς κάθετο σε αυτήν άξονα πεμαηίδεη με ηεκ ανπηθή διερχόµενο ζέζε γςκία από το κέντρο, ηέημηα µάζας ώζηε της είναι I cm = ML2, να υπολογίσετε το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ϱάβδου τη στιγµή : Δίκεηαη ε επηηάποκζε ηεξ βανύηεηαξ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 19 επηή νάβδμξ μήθμοξ θαη μάδαξ μπμνεί κα γύνς από μνηδόκηημ άλμκα, θάζεημ ζε αοηήκ ζημ άθνμ ηεξ Ο. Έκα

20 (γ) της εκκίνησης. (δ) κατά την οποία η ϱάβδος σχηµατίζει µε την αρχική ϑέση γωνία φ, τέτοια ώστε συνφ = 0, 8. ίνεται η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s Ο τροχός ενός αναποδογυρισµένου ποδηλάτου, αποτελείται από οµογενή στεφάνη αµελητέου πάχους, µε µάζα M = 1kg και ακτίνα R = 0, 5m, και τις ακτίνες του, µάζας m = 0, 02kg η καθεµία και µήκους L = R. Ο τροχός στρέφεται αρχικά γύρω από τον άξονά του, στο κέντρο του, έχοντας γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω 0 = 100rad/s. Τη χρονική στιγµή t = 0, πατάµε το ϕρένο, οπότε ο τροχός ακινητοποιείται µε σταθερό ϱυθµό σε t 1 = 2s. Να υπολογίσετε : (α) τη ϱοπή αδράνειας της στεφάνης ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό της, που διέρχεται από το κέντρο µάζας της. (ϐ) τον αριθµό των ακτίνων του τροχού. ηαη ε νμπή αδνάκεηαξ ηεξ νάβδμο ςξ πνμξ άλμκα θάζεημ ζηεκ νάβδμ, πμο δηένπεηαη από ημ (γ) τον αριθµό των στροφών, που έκανε ο τροχός µέχρι να ακινητοποιηθεί. (δ) το µέτρο της δύναµης της τριβής, που εφαρµόστηκε από το ϕρένο στη στεφάνη. μ μάδαξ ηεξ θαη ε επηηάποκζε ηεξ βανύηεηαξ. ίνονται η ϱοπή αδράνειας της κάθε ακτίνας ως προς κάθετο σε αυτήν άξονα διερχόµενο από Δύμ ζεμεηαθέξ το άκρο ζθαίνεξ της : I α πμο = 1 3 ML2 ε θαζεμηά, η ϱοπήέπεη αδράνειάς μάδα ολόκληρου του τροχού ζοκδέμκηαη ως προςμεηαλύ άξονα κάθετο στο με μνηδόκηηα αβανή επίπεδό νάβδμ. του, που Τμ διέρχεται ζύζηεμα από πενηζηνέθεηαη τον άξονά του είναι γύνς I τρ από = 0, θαηαθόνοθμ 8kg m 2. άλμκα, μ ξ ηέμκεη ηε νάβδμ ζε ζεμείμ πμο απέπεη από ηε μία μάδα θαη από ηεκ ύο σηµειακές σφαίρες που η καθεµιά έχει µάζα m = 0, 1kg συνδέονται µεταξύ τους µε. οριζόντια αβαρή ϱάβδο. Το σύστηµα περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος τέµνει τη ϱάβδο σε σηµείο που απέχει από τη µία µάζα l = 1m και από την άλλη l = 2l = 2m. Το σύστηµα στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω = 10rad/s αντίθετα από ζηεμα ζηνέθεηαη με γςκηαθή ηαπύηεηα ακηίζεηα από ηε θμνά θίκεζεξ ηςκ τη ϕορά κίνησης των δεικτών του ϱολογιού. κ ημο νμιμγημύ. α βνεζεί ε νμπή εηαξ ημο ζοζηήμαημξ. Κα οπμιμγηζηεί ε μνμή ημο ζοζηήμαημξ. ζπεδηαζηεί ημ δηάκοζμα μαημξ. ζηνμθμνμήξ ημο (α) Να ϐρεθεί η ϱοπή αδράνειας του συστήµατος. (ϐ) Να υπολογιστεί η στροφορµή του συστήµατος. (γ) Να σχεδιαστεί το διάνυσµα της στροφορµής του συστήµατος. Έκαξ άκζνςπμξ μάδαξ ζηέθεηαη αθίκεημξ ζηεκ πενηθένεηα αθίκεηεξ ηηαξ πιαηθόνμαξ Μιχάλης μάδαξ Ε. Καραδηµητρίουθαη αθηίκαξ 20. Ε πιαηθόνμα μπμνεί κα ηνέθεηαη πςνίξ ηνηβέξ γύνς από θαηαθόνοθμ άλμκα πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ηεξ. Τεκ, o άκζνςπμξ ανπίδεη κα πενπαηά πάκς πενηθένεηα ηεξ πιαηθόνμαξ, με ηαπύηεηα

21 μέηνμ ηεξ μεηαβμιήξ ηεξ ζηνμθμνμήξ ηα ηε γςκία Οµογενής ζηνμθήξ λεπτή ηςκ ϱάβδος. µήκους L = 1, 5m και µάζας M = 4kg µπορεί να στραφεί μέηνμ ηεξ μεηαβμιήξ χωρίς τριβές ηεξ ζηνμθμνμήξ γύρω από οριζόντιο άξονα, κάθετο σε αυτήν στο άκρο της Ο. Ενα σωµατίδιο, ημο ηνμπμύ γηα µάζας ηε m γςκία = 2kg ζηνμθήξ, είναι στερεωµένο στο άλλο άκρο της Α. Αρχικά η ϱάβδος ισορροπεί σε οριζόντια ϑέση και τη χρονική στιγµή t = 0 αφήνεται ελεύθερη, οπότε περιστρέφεται ως ηςκ. προς τον άξονα στο Ο σε κατακόρυφο επίπεδο. Α. Να υπολογίσετε : γ) Κα ζπεδηάζεηε θαη ζηηξ δύμ πενηπηώζεηξ ημ (α) δηάκοζμα την ολικήηεξ ϱοπή μέζεξ αδράνειας του συστήµατος. νμπήξ πμο αζθήζεθε (ϐ) το ζημκ µέτροηνμπό. της συνισταµένης των ϱοπών, ως προς τον άξονα στο Ο τη χρονική στιγµή t 1, που η ϱάβδος έχει διαγράψει γωνία φ, τέτοια ώστε συνφ = 0, 5. δ) Κα βνείηε ημ μέηνμ ηεξ μέζεξ νμπήξ πμο πνμθάιεζε ηεκ ζηνμθή ημο άλμκα (γ) το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνση τη χρονική στιγµή t 1. πενηζηνμθήξ θαηά, ακ ε πνμκηθή δηάνθεηα ηεξ ζηνμθήξ είκαη. Β. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της γωνιακής επιτάχυνσης σε συνάρτηση του συνη- µιτόνου της γωνίας φ, που σχηµατίζει η ϱάβδος µε τον οριζόντιο ηµιάξονα Οχ, κατά την Θεςνμύμε όηη όιε ε περιστροφή μάδα ημο ηνμπμύ της απόείκαη την αρχική ζογθεκηνςμέκε οριζόντια ϑέση ζηεκ έως πενηθένεηά την κατακόρυφη ημο. ϑέση. ίνονται η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς άξονα κάθετο στην ϱάβδο, που διέρχεται από το κέντρο µάζας της I cm = 1 12 ML2 και η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s 2. εμεηαθέξ μεηαιιηθέξ ζθαίνεξ από ζηδενμμαγκεηηθό οιηθό, πμο ε θαζεμηά έπεη ύο σηµειακές µεταλλικές σφαίρες από σιδηροµαγνητικό υλικό, που η καθεµιά έχει είκαη ημπμζεηεμέκεξ µάζα m = 0.05kgζε είναι μηα τοποθετηµένες πιαζηηθή σε θμύθηα µια πλαστική αβανή κούφια νάβδμ, αβαρή ϱάβδο, µήκους l = 1m µε τέτοιο τρόπο ώστε να µπορούν να κινούνται χωρίς τριβές πάνω σε αυτή. Στο με ηέημημ ηνόπμ µέσονώζηε της κα ϱάβδου μπμνμύκ και εσωτερικά κα θηκμύκηαη είναι πςνίξ τοποθετηµένος ηνηβέξ πάκς ένας ζε αβαρής αοηή. ηλεκτροµαγνήτης ξ νάβδμο θαη τον εζςηενηθά οποίο µπορούµε είκαη να ενεργοποιούµε από απόσταση. έκαξ αβανήξ ειεθηνμμαγκήηεξ μνμύμε κα εκενγμπμημύμε από ύζηεμα μπμνεί κα ζηνέθεηαη ζημ δμ γύνς από θαηαθόνοθμ άλμκα πό ημ θέκηνμ ηεξ νάβδμο. Ανπηθά ηεξ είκαη απεκενγμπμηεμέκμξ, ημ ζηνέθεηαη με Το σύστηµα µπορεί να στρέφεται στο οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που θαη μη ζθαίνεξ διέρχεται από το κέντρο της ϱάβδου. Αρχικά ο ηλεκτροµαγνήτης είναι απενεργοποιηµένος, το άθνα ηεξ νάβδμο ζογθναημύμεκεξ σύστηµα στρέφεται µε συχνότητα f = 10 Hz και οι σφαίρες ϐρίσκονται στα άκρα της ϱάβδου ξ κήμα πμο δηαηνέπεη ηεκ θμύθηα π συγκρατούµενες µε λεπτό αβαρές νήµα που διατρέχει την κούφια ϱάβδο. Ενεργοποιούµε τον μημύμε ημκ ειεθηνμμαγκήηε ηλεκτροµαγνήτη μπόηε οπότε οι σφαίρες µετακινούνται ταυτόχρονα και πλησιάζουν σε απόσταση l 4 η καθεµιά από το µέσον της ϱάβδου Ο, όπου και σταµατούν µε τη ϐοήθεια κατάλληλου µηχανισµού. θηκμύκηαη ηαοηόπνμκα θαη πιεζηάδμοκ ζε απόζηαζε ε θαζεμηά από ημ μέζμκ πμο θαη ζηαμαημύκ (α) με Ναηε υπολογιστεί βμήζεηα θαηάιιειμο η αρχική ϱοπή μεπακηζμμύ. αδράνειας του συστήµατος. εί ε ανπηθή νμπή Μιχάλης αδνάκεηαξ Ε. Καραδηµητρίου ημο ζοζηήμαημξ εί ε ανπηθή ζηνμθμνμή ημο ζοζηήμαημξ. hs.wordpress.com

22 Τμ ζύζηεμα ζηνέθεηαη με γςκηαθή ηαπύηεηα δεηθηώκ ημο νμιμγημύ. ακηίζεηα από ηε θμνά θίκεζεξ ηςκ α) Κα βνεζεί ε νμπή αδνάκεηαξ ημο ζοζηήμαημξ. Φυσική Γ Λυκείου β) Κα οπμιμγηζηεί ε ζηνμθμνμή ημο ζοζηήμαημξ. γ) Κα ζπεδηαζηεί ημ δηάκοζμα (ϐ) Να υπολογιστεί η αρχική στροφορµή του συστήµατος. ηεξ ζηνμθμνμήξ ημο (γ) Να υπολογιστεί ζοζηήμαημξ. η νέα συχνότητα περιστροφής του συστήµατος. (δ) Πόσο τοις εκατό ϑα µεταβληθεί η συχνότητα περιστροφής του συστήµατος µετά τη µετακίνηση των σφαιρών ; Έκαξ άκζνςπμξ μάδαξ Ενας άνθρωπος µάζας m = 60kg στέκεται ακίνητος στην περιφέρεια ακίνητης οριζόντιας πλατφόρµας µάζας M = 160kg και ακτίνας R = 1, 5m. ζηέθεηαη αθίκεημξ ζηεκ πενηθένεηα αθίκεηεξ μνηδόκηηαξ πιαηθόνμαξ μάδαξ θαη αθηίκαξ. Ε πιαηθόνμα μπμνεί κα πενηζηνέθεηαη πςνίξ ηνηβέξ γύνς από θαηαθόνοθμ άλμκα πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ηεξ. Τεκ Η πλατφόρµα ζηηγμή µπορεί να, o περιστρέφεται άκζνςπμξ ανπίδεη χωρίς κα πενπαηά τριβές γύρω πάκς από κατακόρυφο ζηεκ πενηθένεηα άξονα πουηεξ διέρχεται πιαηθόνμαξ, από τομε κέντρο ηαπύηεηα της. Την στιγµή t = 0, ο άνθρωπος αρχίζει να περπατά πάνω στην ζηαζενμύ μέηνμο, ςξ πνμξ ημ έδαθμξ, περιφέρεια της πλατφόρµας, µε ταχύτητα σταθερού µέτρου, θηκμύμεκμξ ακηίζεηα από ηε θμνά ηςκ δεηθηώκ ημο υ = 2m/s ως προς το έδαφος, κινούµενος αντίθετα από τη νμιμγημύ. ϕορά των δεικτών του ϱολογιού. α) Κα βνεζεί ημ μέηνμ θαη ε θαηεύζοκζε ηεξ (α) Να ϐρεθεί το µέτρο και η κατεύθυνση της στροφορµής του ανθρώπου. Να σχεδιαστεί το ζηνμθμνμήξ ημο ακζνώπμο. Κα ζπεδηαζηεί ημ δηάκοζμα διάνυσµα της στροφορµής του. Ο άνθρωπος µπορεί να ϑεωρηθεί σηµειακό αντικείµενο. ηεξ ζηνμθμνμήξ γ) Ιεηά ημο. από Ο πόζμ άκζνςπμξ πνμκηθό μπμνεί δηάζηεμα κα μ ζεςνεζεί άκζνςπμξ ζα λακαβνεζεί ζηε ζέζε ηεξ πιαηθόνμαξ από (ϐ) Θα κινηθεί ζεμεηαθό η πλατφόρµα ηεκ ακηηθείμεκμ. μπμία λεθίκεζε; ; Αν ναι, µε ποια γωνιακή ταχύτητα και προς ποια κατεύθυνση ; (γ) Μετά από β) Θα πόσο θηκεζεί Δίκεηαη χρονικό ε πιαηθόνμα; ε νμπή διάστηµα αδνάκεηαξ Ακ καη, οηεξ με άνθρωπος πμηα πιαηθόνμαξ γςκηαθή ϑα ςξ ξαναβρεθεί ηαπύηεηα πνμξ άλμκα θαη στη πνμξ πμο ϑέση πμηα είκαη θαηεύζοκζε; της θάζεημξ πλατφόρµας ζ αοηήκ θαη από την οποία ξεκίνησε ; δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ηεξ,. ίνεται η ϱοπή αδράνειας της πλατφόρµας ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το κέντρο της, Ονηδόκηημξ I cm = 1 2 MR2 μμμγεκήξ. δίζθμξ (1) μάδαξ θαη αθηίκαξ, Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 16 πενηζηνέθεηαη με γςκηαθή ηαπύηεηα μέηνμο θαηά ηε θμνά ηεξ θίκεζεξ ηςκ Οριζόντιος οµογενής δίσκος (1) µάζας m = 1kg και ακτίνας R = 0, 1m, περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω 1 = 10rad/s κατά τη ϕορά της κίνησης των δεικτών του μέηνμο με θμνά ακηίζεηε από ϱολογιού. δεηθηώκ ημο νμιμγημύ. Δεύηενμξ, όμμημξ δίζθμξ (2) πενηζηνέθεηαη με γςκηαθή ηαπύηεηα αοηήκ ηεξ θίκεζεξ ηςκ δεηθηώκ ημο νμιμγημύ, γύνς εύτερος, όµοιος δίσκος από ημκ (2) ίδημ περιστρέφεται θαηαθόνοθμ άλμκα µεπμο γωνιακή δηένπεηαη τα- από χύτητα µέτρου ω 2 = 5rad/s µε ϕορά αντίθετη από αυτήν ηα θέκηνα θαη ηςκ δύμ δίζθςκ θαη είκαη θάζεημξ ζε της κίνησης των δεικτών αοημύξ. του ϱολογιού, γύρω από τον ίδιο κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από τα κέντρα και των δύο δίσκων και είναι κάθετος σε αυτούς. α) Κα ζπεδηάζεηε ηηξ ζηνμθμνμέξ ηςκ δύμ δίζθςκ ςξ πνμξ ημκ θμηκό άλμκα πενηζηνμθήξ θαη κα (α) Να σχεδιάσετεοπμιμγίζεηε τις στροφορµές ηα μέηνα των ημοξ. δύο δίσκων ως προς τον κοινό άξονα περιστροφής και να υπολογίσετε τα µέτρα τους. β) Τε πνμκηθή ζηηγμή μ δίζθμξ 1 αθήκεηαη (ϐ) Τη χρονική στιγµή πάκς οζημ δίσκος δίζθμ 12, αφήνεται μπόηε ιόγς πάνω ηνηβώκ στο δίσκο μη δύμ 2, οπότε λόγω τριβών οι δύο δίσκοι αποκτούν τηνδίζθμη ίδια γωνιακή απμθημύκ ηεκ ταχύτητα. ίδηα γςκηαθή Ναηαπύηεηα. υπολογιστεί Κα οπμιμγηζηεί η κοινήε γωνιακή θμηκή γςκηαθή τουςημοξ ταχύτητα. ηαπύηεηα. (γ) Από τη στιγµήγ) που Από οι ηε δίσκοι ζηηγμή πμο έρχονται μη δίζθμη σε ένπμκηαη επαφή, ζε µέχρι επαθή, να μέπνη αποκτήσουν κα απμθηήζμοκ την ίδια ηεκ γωνιακή ίδηα γςκηαθή ταχύτητα πέρασε χρόνος t = 0, 1s. Να υπολογίσετε το µέτρο της σταθερής ϱοπής της ηαπύηεηα πέναζε πνόκμξ Δt=0,1s. Κα οπμιμγίζεηε ημ μέηνμ ηεξ ζηαζενήξ νμπήξ ηεξ ηνηβήξ πμο τριβής που ασκήθηκε αζθήζεθε σεθάζε κάθε δίζθμ δίσκο ζημ στο πνμκηθό χρονικό δηάζηεμα διάστηµα αοηό. αυτό. ίνεται η ϱοπή αδράνειας Δίκεηαη ε ενός νμπή δίσκου αδνάκεηαξ ωςεκόξ προς δίζθμο άξονα ςξ πνμξ που άλμκα είναι πμο κάθετος είκαη θάζεημξ σε αυτόν ζε αοηόκ και διέρχεται θαη δηένπεηαη από το κέντρο µάζας του, I cm = 1 2 MR2. από ημ θέκηνμ μάδαξ ημο,. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 22 Έκαξ ηνμπόξ μάδαξ θαη αθηίκαξ ζηνέθεηαη ζε μνηδόκηημ επίπεδμ με γςκηαθή ηαπύηεηα μέηνμο γύνς από θαηαθόνοθμ άλμκα ΟΑ πμο πενκάεη από ημ θέκηνμ ημο ηνμπμύ (βιέπε ζπήμα). Αζθώκηαξ ζημ ζεμείμ Α θαηάιιειε δύκαμε ζηνέθμομε ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ ανπηθά θαηά θαη ζηε ζοκέπεηα θαηά ζε ζπέζε με

23 δ) Πόζμ ημηξ εθαηό ζα μεηαβιεζεί ε ζοπκόηεηα πεν δ) Πόζμ ημηξ εθαηό ζα μεηαβιεζεί ε ζοπκόηεηα πενηζηνμθήξ ηςκ ημο ζθαηνώκ; ζοζηήμαημξ μεηά ηε μεηαθίκεζε ηςκ ζθαηνώκ; Ονηδόκηημξ μμμγεκήξ θαη ζομ Ονηδόκηημξ μμμγεκήξ θαη ζομπαγήξ δίζθμξ, μάδαξ θαη αθηίκαξ, μπμνεί κα πενηζηνέθεηαη πςν Φυσική αθηίκαξ Γ Λυκείου , μπμνεί κα πενηζηνέθεηαη πςνίξ ηνηβέξ γύνς από θαηαθόνοθμ 6ο Σετ άλμκα Ασκήσεων πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ημο (Ο). Ανπηθά μ δίζθμξ ε δηένπεηαη από ημ θέκηνμ ημο (Ο). Ανπηθά μ δίζθμξ ενεμεί. Τε πνμκηθή ζηηγμή αζθμύμε ζημ δίζθμ δύκαμε ζηαζενμύ μέηνμο ε μπμία Οριζόντιος δίζθμ δύκαμε οµογενής ζηαζενμύ και συµπαγής μέηνμο δίσκος, ε μπμία µάζας εθάπηεηαη M = ζοκεπώξ 6kg και ζηεκ ακτίνας πενηθένεηά R = 1m ημο,, µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από μπόηε μπόηε μ δίζθμξ ανπίδεη κα πενηζηνέθεηαη. Ηάπμηα το κέντρο του (Ο). Αρχικά ο δίσκος ηρεµεί. πνμκηθή ζηηγμή μ δίζθμξ έπεη ζηνμθμνμή πνμκηθ Τη χρονική στιγµή t = 0 ασκούµε στο δίσκο δύναµη F σταθερού µέτρου 6N η οποία εφάπτεταιμέηνμο συνεχώς στην. μέηνμο περιφέρειά του, οπότε ο δίσκος αρχίζει να περιστρέφεται. Κάποια χρονική στιγµή t 1 ο δίσκος έχει στροφορµή Γηα αοηή µέτρου ηε πνμκηθή ζηηγμή κα οπμιμγίζεηε: Γηα αοη L = 60Kg m 2 /s. Για αυτή τη χρονική στιγµή t 1 να υπολογίσετε : α) ημ ένγμ ηεξ δύκαμεξ ζημ πνμκηθό δηάζηεμα α) ημ (α) το έργο της δύναµης F στο χρονικό διάστηµα από από t έςξ = 0 έως t =. t 1. από (ϐ) τον αριθµό των στροφών που έχει διαγράψει β) ημκ ο ανηζμό δίσκος στο ηςκ παραπάνω ζηνμθώκ πμο χρονικό έπεη διάστηµα. δηαγνάρεη μ β) ημκ (γ) το ϱυθµό µε τον οποίο η δύναµη F δίζθμξ ζημ παναπάκς πνμκηθό δηάζηεμα. µεταφέρει ενέργεια στο δίσκο τη χρονική στιγµή t 1. δίζθμξ (δ) γ) ημ το νοζμό ϱυθµό με µεταβολής ημκ μπμίμ ε της δύκαμε κινητικής μεηαθένεη του ενέργειας εκένγεηα τη ζηo γ) χρονική δίζθμ ημ νοζμό στιγµή ηε πνμκηθή με ημκ t 1 μπμίμ. ζηηγμή Τι εκφράζει.δ) ημ ε δύκαμε ο μεηαθένεη ε νοζμό ϱυθµός μεηαβμιήξ αυτός ; ηεξ θηκεηηθήξ ημο εκένγεηαξ ηε πνμκηθή ζηηγμή. Τη εθθνάδεη μ νοζμόξ νοζμό μεηαβμιήξ ηεξ θηκεηηθήξ ημο εκένγεηαξ ηε αοηόξ; ίνονται : 50 αοηόξ; π 16 και η ϱοπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του I cm = 1 2 MR2. Δίκμκηαη: θαη ε νμπή αδνάκεηαξ ημο δίζθμο ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ Δίκμκηαη: θαη ε νμπή αδνάκεηαξ ημο Μια οµογενής και συµπαγής σφαίρα µάζας M = 4kg και ακτίνας R = 0, 5m αφήνεται (ϑέση ημο Α) να κυλήσει. κατά µήκος ενός πλάγιου επιπέδου γωνίας κλίσης ϕ, µε ηµφ = 0, 35. ημο. Ιηα μμμγεκήξ θαη ζομπαγήξ ζθαίνα Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Τη στιγµή που το κέντρο μάδαξ µάζας της σφαίρας θαη έχει κατακόρυφη αθηίκαξ µετατόπιση αθήκεηαη h = Ιηα μμμγεκήξ θαη ζομπαγήξ 7m (ζέζε (ϑέσηα) Γ), κα να υπολογίσετε θοιήζεη θαηά : μήθμξ εκόξ πιάγημο επηπέδμο μάδαξ θαη αθηίκαξ γςκίαξ θιίζεξ θ, με. Ε ζθαίνα θοιίεηαη πςνίξ (ζέζε Α) κα θοιήζεη θαηά μήθμξ εκόξ πιάγημο (α) το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας. κα μιηζζαίκεη. Τε ζηηγμή πμο ημ θέκηνμ μάδαξ ηεξ ζθαίναξ γςκίαξ θιίζεξ θ, με. Ε ζθαίνα θοιί (ϐ) έπεη τονθαηαθόνοθε αριθµό των περιστροφών μεηαηόπηζε που έχει εκτελέσει (ζέζε µέχρι Γ), κα τότε. κα μιηζζαίκεη. Τε ζηηγμή πμο ημ θέκηνμ μάδαξ ηε (γ) οπμιμγίζεηε: το λόγο της µεταφορικής προς την περιστροφική κινητική έπεη ενέργεια θαηαθόνοθε της σφαίρας μεηαηόπηζε σε κάποια (ζέζε α) ημ χρονική μέηνμ ηεξ στιγµή, γςκηαθήξ κατά ηαπύηεηαξ. τη διάρκεια της κίνησής της. οπμιμγίζεηε: (δ) Για τη µετατόπιση της σφαίρας από τη ϑέση Α έως τη ϑέση α) ημ Γμέηνμ να υπολογίσετε ηεξ γςκηαθήξ µε τη ηαπύηεηαξ. ϐοήθεια Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 19 του ϑεωρήµατος έργου-ενέργειας το έργο της στατικής τριβής : (δ1) κατά τη µεταφορική κίνηση. (δ2) κατά τη περιστροφική κίνηση. Τι παρατηρείτε ; Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc ίνονται : Η ϱοπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον άξονά της I cm = 2 5 MR2 και η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s Η ϱάβδος ΑΒ είναι οµογενής και ισοπαχής µε µήκος L = 2m και µάζα M = 3kg. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 23

24 Δίκμκηαη:. Ε απόζηαζε θαη ε νμπή αδνάκεηαξ ηεξ νάβδμο ςξ πνμξ άλμκα πμο δηένπεηαη από ημ θέκηνμ μάδαξ ηεξ θαη είκαη θάζεημξ ζηε νάβδμ. Φυσική Γ Λυκείου Ε νάβδμξ ΑΒ είκαη μμμγεκήξ θαη ηζμπαπήξ με Το άκρο Α της ϱάβδου συνδέεται µε άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. μήθμξ Το άλλο άκρο της θαη Βμάδα συνδέεται µε τον τοίχο. Τμ µε άθνμ αβαρές Α ηεξ νήµανάβδμο που σχηµατίζει ζοκδέεηαη γωνία με άνζνςζε φ = 30 o ζε µεθαηαθόνοθμ τη ϱάβδο, ηημίπμ. οποίατμ ισορροπεί οριζόντια, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. άιιμ άθνμ ηεξ Β ζοκδέεηαη με ημκ ημίπμ με αβανέξ κήμα πμο (α) Να υπολογίσετε το µέτρο της δύναµης που ασκείται στη ϱάβδο από το νήµα. Κάποια Ιηπάιεξ στιγµή κόβουµε Γ. Ηαναδεμεηνίμο, το νήµαφοζηθόξ στο άκρο Msc Β και η ϱάβδος αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς Σειίδα τριβές 20 γύρω από την άρθρωση σε κατακόρυφο επίπεδο. Να υπολογίσετε : (ϐ) Το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ϱάβδου µόλις κοπεί το νήµα. (γ) Την κινητική ενέργεια της ϱάβδου, τη στιγµή που διέρχεται από την κατακόρυφη ϑέση. Τμ γημ-γημ ημο ζπήμαημξ απμηει (δ) Σε ποια ϑέση της ϱάβδου, καθώς αυτή κινείται από την οριζόντια αρχική της ϑέση και µέχρι να διέλθει από την κατακόρυφη ϑέση, ο ϱυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας της είναι στιγµιαία µηδέν kg θαη αθηίκα R = 1, m. Γ t = 0 αθήκμομε ημκ θύιηκδνμ κ ίνονται : Η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος σε αυτή I cm = 1 12 ML2, η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s 2. γύνω από κμεηό μνηδόκηημ άλμκ Τμ κήμα ζε όιε ηε δηάνθεηα ηεξ Το γιο-γιο του σχήµατος αποτελείται από οµογενή συµπαγή κύλινδρο που έχει µάζα m = 0, 12kg και ακτίνα R = 1, 5&10 2 m. Γύρω από τον κύλινδρο έχει τυλιχτεί νήµα. Τη χρονική στιγµή t = 0 αφήνουµε τον κύλινδρο να πέσει. Το νήµα ξετυλίγεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από νοητό οριζόντιο άξονα x x, ο οποίος ταυτίζεται µε τον άξονα συµµετρίας του. Το νήµα σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του κυλίνδρου παραµένει κατακόρυφο και τεντωµένο και δεν ολισθαίνει στην περι- ϕέρεια του κυλίνδρου. Τη στιγµή που έχει ξετυλιχτεί νήµα µήκους l = 20R, η ταχύτητα του κέντρου µάζας του κυλίνδρου είναι υ cm = 2m/s. θαη δεκ μιηζζαίκεη ζηεκ πενηθέν (α) Να υπολογίσετε τη ϱοπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του µε εφαρµογή του δεύτερου νόµου του Νεύτωνα για τη στροφική κίνηση. Τε ζηηγμή πμο έπεη λεηο (ϐ) Να υπολογίσετε το µέτρο του ϱυθµού µεταβολής της στροφορµής του κυλίνδρου, καθώς αυτός κατέρχεται. ημο θοιίκδνμο είκαη u cm = 2 m/s (γ) Τη χρονική στιγµή που η ταχύτητα του κέντρου µάζας του κυλίνδρου είναι υ cm = 2m/s, κόβουµε το νήµα. Να υπολογίσετε το µέτρο της στροφορµής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του µετά την πάροδο χρόνου 0, 8s από τη στιγµή που κόπηκε το νήµα. α) Να οπμιμγίζεηε ηε νμπή αδν εθανμμγή ημο δεύηενμο κόμμο η (δ) Να κάνετε σε ϐαθµολογηµένους άξονες το διάγραµµα του µέτρου της στροφορµής σε συνάρτηση µε το χρόνο από τη χρονική στιγµή t = 0, µέχρι τη χρονική στιγµή που αντιστοιχεί σε χρόνο 0, 8s από τη στιγµή που κόπηκε το νήµα. ίνεται : g = 10m/s 2 β) Να οπμιμγίζεηε ημ μέηνμ ημ αοηόξ θαηένπεηαη. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 24 γ) Τε πνμκηθή ζηηγμή πμο ε ηαπ θόβμομε ημ κήμα. Να οπμιμγίζ

25 3.20. Οµογενής και ισοπαχής ϱάβδος µήκους L = 4m και µάζας M = 2kg ισορροπεί ορι- Ϲόντια. Το άκρο Α της ϱάβδου συνδέεται µε άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Σε σηµείο Κ της ϱάβδου έχει προσδεθεί το ένα άκρο κατακόρυφου αβαρούς νήµατος σταθερού µήκους, µε το επάνω άκρο του συνδεδεµένο στην οροφή, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. Στο σηµείο Γ ισορροπεί οµογενής σφαίρα µάζας m = 2, 5kg και ακτίνας r = 0, 2m. ίνονται (ΑΚ) = L 4 και (ΑΓ) = 3L 4. (α) Να υπολογισθεί το µέτρο της δύναµης που ασκεί το νήµα στη ϱάβδο. Τη χρονική στιγµή t = 0 ασκείται στο κέντρο µάζας της σφαίρας µε κατάλληλο τρόπο, σταθερή οριζόντια δύναµη µέτρου F = 7N, µε ϕορά προς το άκρο Β. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. (ϐ) Να υπολογισθεί το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας της σφαίρας κατά την κίνησή της. (ϐ) Να υπολογισθεί το µέτρο της ταχύτητας του κέντρου µάζας της σφαίρας όταν ϕθάσει στο άκρο Β. (ϐ) Να υπολογισθεί το µέτρο της στροφορµής της σφαίρας όταν ϕθάσει στο άκρο Β. ίνονται : I cm = 2 5 mr2. g = 10m/s 2, και η ϱοπή αδράνειας της σφαίρας ως προς το κέντρο µάζας Πανελλήνιες Εξετάσεις Μάης Οµογενής και ισοπαχής δοκός (ΟΑ), µάζας M = 6kg και µήκους l = 0, 3m, µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα άκρο της Ο. Στο άλλο της άκρο Α υπάρχει στερεωµένη µικρή σφαίρα µάζας m = M 2. (α) Βρείτε την ϱοπή αδράνειας του συστήµατος δοκού - σφαίρας ως προς τον άξονα περιστρο- ϕής του. Ασκούµε στο άκρο Α δύναµη, σταθερού µέτρου F = 120 N που είναι συνεχώς κάθετη στη π δοκό, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 25

26 εη γςκία α, όπςξ θαίκεηαη ζημ ζπήμα. με ηε νάβδμ, ε μπμία ηζμννμπεί οπμιμγίζεηε ημ μέηνμ ηεξ δύκαμεξ πμο αζθείηαη ζηε νάβδμ από ημ κήμα. ηηγμή θόβμομε ημ κήμα ζημ άθνμ Β θαη ε νάβδμξ ανπίδεη κα πενηζηνέθεηαη πςνίξ ηνηβέξ ό ηεκ άνζνςζε ζε θαηαθόνοθμ επίπεδμ. Κα οπμιμγίζεηε: ηνμ ηεξ γςκηαθήξ επηηάποκζεξ ηεξ νάβδμο μόιηξ θμπεί ημ κήμα. ηκεηηθή εκένγεηα ηεξ (ϐ) νάβδμο, Βρείτε τοηε έργο ζηηγμή της δύναµης πμο δηένπεηαη F κατάαπό την περιστροφή ηεκ θαηαθόνοθε του συστήµατος ζέζε. µέχρι την οριζόντια ϑέση της. ηα ζέζε ηεξ νάβδμο, θαζώξ αοηή θηκείηαη από ηεκ μνηδόκηηα ανπηθή ηεξ ζέζε θαη μέπνη (γ) Βρείτε την γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος δοκού - σφαίρας στην οριζόντια ϑέση. εη από ηεκ θαηαθόνοθε ζέζε, μ νοζμόξ μεηαβμιήξ ηεξ θηκεηηθήξ εκένγεηαξ ηεξ είκαη Επαναφέρουµε το σύστηµα δοκού-σφαίρας στην αρχική κατακόρυφη ϑέση του. Ασκούµε μεδέκ. στο άκρο Α δύναµη, σταθερού µέτρου F = 30 3N, που είναι συνεχώς κάθετη στη δοκό. η: Ε νμπή αδνάκεηαξ (δ) Βρείτε ηεξ νάβδμο τη γωνίαςξ πουπνμξ σχηµατίζει ημκ μνηδόκηημ η δοκός µεάλμκα την κατακόρυφο πμο δηένπεηαη τη στιγµή από που ημ η κινητική της ενέργεια γίνεται µέγιστη. μάδαξ ηεξ θαη ίνονται είκαη θάζεημξ : g = 10m/s ζε 2,I αοηή cm = 1 12 Ml2, η ϱοπή αδράνειας, ε επηηάποκζε οµογενούς δοκού ηεξ µάζας M και µήκους l, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος σε αυτήν. (Πανελλήνιες Εξετάσεις Μάης 2012, Πρόβληµα στην διατύπωση του (δ), ϑεωρήστε ότι η γωνία αξ είναι θαη µικρότερη από. 2π.) 4. Θέµα - Προβλήµατα Ε μμμγεκήξ 4.1. νάβδμξ Η οµογενής ημο ζπήμαημξ ϱάβδοςέπεη του βάνμξ σχήµατος έχει ϐάρος θαη w 1 = μήθμξ 10N και µήκος. L Τμ = έκα 4m. Το ένα της άκρο αρθρώνεται σε κατακόρυφο τοίχο και το άλλο της άκρο κρέµεται από κατακόρυφο ανζνώκεηαη ζε θαηαθόνοθμ ημίπμ θαη ημ άιιμ ηεξ άθνμ θνέμεηαη από θαηαθόνοθμ ζπμηκί σχοινί µε αποτέλεσµα να ισορροπεί οριζόντια. έιεζμα κα ηζμννμπεί α. βνεζεί ε ηάζε ημο νεζεί ε δύκαμε πμο ε νάβδμξ από ηεκ. (α) Να ϐρεθεί η τάση του νήµατος. ηθή ζηηγμή (ϐ), από Να ϐρεθεί ημ άθνμ η δύναµη Α λεθηκάεη που δέχεται κα θοιίεηαη η ϱάβδος πςνίξ από την κα άρθρωση. μιηζζαίκεη πάκς ζηε αξ θύιηκδνμξ βάνμοξ Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου με επηηάποκζε 26.Δεηείηαη: ε ημο κήμαημξ ηε πνμκηθή ζηηγμή.

27 α) Κα βνεζεί ε δύκαμε πμο δέπεηαη ε γέθονα από ημ οπμζηήνηγμα Α ηε πνμκηθή ζηηγμή. Τη χρονική στιγµή t = 0, από το άκρο Α ξεκινάει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω β) Πμηά ε ζέζε στη ϱάβδο ημο αοημθηκήημο ένας κύλινδρος ώζηε ϐάρους ε νάβδμξ w 2 κα = δέπεηαη 10N µε ίζεξ επιτάχυνση δοκάμεηξ ααπό cm = ηα 1m/s οπμζηενίγμαηα; 2.Ζητείται : (γ) Η τάση του νήµατος τη χρονική στιγµή t = 3s. γ) Κα γίκεη ημ δηάγναμμα ηεξ δύκαμεξ πμο δέπεηαη ε νάβδμξ από ημ οπμζηήνηγμα Α ζε ζοκάνηεζε (δ) Η γωνιακή ταχύτητα και η ϑέση του κυλίνδρου, όταν η τάση του νήµατος γίνει T = 10N. με ημκ πνόκμ. ( ίνεται η ακτίνα του κυλίνδρου R = 0, 1m) 4.2. Στο. Σημ κυρτό θονηό µέρος μένμξ της ηεξ περιφέρειας πενηθένεηαξ ενός εκόξ οµογενούς μμμγεκμύξ κυλίνδρου θοιίκδνμο µικρού μηθνμύ πάχους, πάπμοξ, έχει έπεη τυλιχτείπμιιέξ πολλέςθμνέξ ϕορέςέκα ένααβανέξ, αβαρές, με µηεθηαηό εκτατόκήμα. νήµα. Σηαζενμπμημύμε ημ ειεύζενμ άθνμ ημο ηοιηπηεί κήμαημξ θαη αθήκμομε ημκ θύιηκδνμ κα πέζεη θαηαθόνοθα. Τμ κήμα Σταθεροποιούµε το ελεύθερο άκρο του νήµατος και αφήνουµε λεηοιίγεηαη τον κύλινδρο θαη μ να θύιηκδνμξ πέσει κατακόρυφα. εθηειεί ζύκζεηε Το νήµα θίκεζε: ξετυλίγεται μεηαημπίδεηαη και ο θαηαθόνοθα κύλινδρος πνμξ εκτελεί ηα θάης σύνθετη θαη κίνηση πενηζηνέθεηαη : µετατοπίζεται γύνς από κατακόρυφα έκα κμεηό μνηδόκηημ προςάλμκα τα κάτω x'x, και πμο περιστρέφεται πενκά από ημ γύρω θέκηνμ από ημο. ένα νοητό οριζόντιο άξονα x x, που περνά από το κέντρο του. Σε όιε Σε όλη ηε τη δηάνθεηα διάρκειαηεξ τηςθίκεζεξ κίνησηςημο του κυλίνδρου θοιίκδνμο το ημ νήµα κήμα παραµένει παναμέκεη θαηαθόνοθμ. κατακόρυφο και δεν γλιστρά στην περιφέρεια του κυλίνδρου. α) Κα (α) απμδείλεηε Να αποδείξετε όηη ότι ε ηεπηηάποκζε επιτάχυνση του ημο κέντρου θέκηνμο µάζας μάδαξ του κυλίνδρου α cm και η γωνιακή επιτάχυνσή του α γων συνδέονται ημο θοιίκδνμο µε τη θαη σχέση ε γςκηαθή : α cm = επηηάποκζή α γων R. ημο ζοκδέμκηαη με ηε ζπέζε: Να υπολογίσετε. : (ϐ) τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου καθώς και την επιτάχυνση του κέντρου µάζας Κα οπμιμγίζεηε: του. β) ηε γςκηαθή επηηάποκζε ημο θοιίκδνμο θαζώξ θαη ηεκ επηηάποκζε ημο θέκηνμο μάδαξ ημο. (γ) την τάση T του νήµατος. (δ) το µήκος του νήµατος, που έχει ξετυλιχτεί όταν ο κύλινδρος Ιηπάιεξ Γ. έχει Ηαναδεμεηνίμο, αποκτήσει γωνιακή Φοζηθόξ Msc ταχύτητα ω Σειίδα 22 1 = 75rad/s. ίνονται : η µάζα του κυλίνδρου M = 0, 09kg, η ακτίνα του R = 8 cm, η ϱοπή αδράνειάς του 3 ως προς το κέντρο µάζας του I cm = 1 2 MR2 και η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s Μια µπάλα, µάζας m και ακτίνας R, αφήνεται από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ, οπότε κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει προς τη ϐάση του κεκλιµένου επιπέδου. (α) Να σχεδιάσετε τις δυνάµεις, που ασκούνται στη µπάλα και να αιτιολογήσετε το σχεδιασµό της στατικής τριβής. Να υπολογίσετε : (ϐ) το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας της µπάλας. (γ) το µέτρο της στατικής τριβής, αν η µάζα της µπάλας είναι m = 0, 5kg. (δ) τις επιτρεπτές τιµές του συντελεστή στατικής τριβής µ σ για τις οποίες η µπάλα µπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 27

28 ίνονται ότι ηµφ = 0, 5, συνφ = 0, 866 και η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s 2, η µπάλα ϑεωρείται κοίλη σφαίρα µε ϱοπή αδράνειας ως προς άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας της : I cm = 2 3 mr Οµογενής κύλινδρος µάζας m = 2kg και ακτίνας R = 0, 2m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και χωρίς παραµόρφωση σε οριζόντιο δάπεδο (Α) µε ταχύτητα µέτρου υ 0 = 2m/s. Τη χρονική στιγµή t = 0 ο κύλινδρος δέχεται οριζόντια δύναµη µέτρου F = 6N, που ασκείται στο κέντρο µάζας του. Ο κύλινδρος συνεχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και µετά την άσκηση της δύναµης F. (α) Να σχεδιάσετε τη στατική τριβή που δέχεται ο κύλινδρος από το δάπεδο, σε κατάλληλο σχήµα και να δικαιολογήσετε τη ϕορά της. (ϐ) Να υπολογίσετε το µέτρο : β) Κα οπμιμγίζεηε ημ μέηνμ: (ϐ1) της στατικής τριβής. β1) ηεξ ζηαηηθήξ ηνηβήξ. (ϐ2) της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας καθώς και της γωνιακής επιτάχυνσης του κυλίνδρου. β2) ηεξ επηηάποκζεξ ημο θέκηνμο μάδαξ θαζώξ θαη ηεξ γςκηαθήξ επηηάποκζεξ ημο θοιίκδνμο. (ϐ3) της γωνιακής β3) ηεξ γςκηαθήξ ταχύτητας ηαπύηεηαξ του κυλίνδρου ημο θοιίκδνμο τηηε χρονική πνμκηθή ζηηγμή στιγµή t 1 = 4s.. (γ) Στη συνέχεια τη χρονική στιγµή t 1 = 4s, ο κύλινδρος εισέρχεται σε λείο δάπεδο (Β), το οποίο είναι μπμίμ συνέχεια είκαη ζοκέπεηα του προηγούµενου. ημο πνμεγμύμεκμο. Τη χρονική Τε πνμκηθή στιγµή ζηηγμή t 2 = 10s, να υπολογίσετε την ταχύτητα ηαπύηεηα του σηµείου ημο ζεμείμο του ημο κυλίνδρου, θοιίκδνμο, πμο που είκαη είναι εθείκε εκείνη ηε ζηηγμή τη στιγµή ζ επαθή σ με επαφή ημ ιείμ δάπεδμ. µε το λείο δάπεδο. γ) Σηε ζοκέπεηα ηε πνμκηθή ζηηγμή, μ θύιηκδνμξ εηζένπεηαη ζε ιείμ δάπεδμ (Β), ημ ίνεται η ϱοπή αδράνειας οµογενούς κυλίνδρου ως προς άξονά του I cm = 1 Δίκεηαη ε νμπή αδνάκεηαξ μμμγεκμύξ θοιίκδνμο ςξ πνμξ άλμκά ημο 2 mr2, κα οπμιμγίζεηε ηεκ 4.5. Ενας οµογενής δίσκος, µάζας m = 2kg και ακτίνας R = 0, 3m, που ϐρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο, ϕέρει στην περιφέρειά του αυλάκι, στο οποίο έχουµε τυλίξει αβαρές και µη εκτατό νήµα. Έκαξ μμμγεκήξ δίζθμξ, μάδαξ θαη αθηίκαξ, πμο βνίζθεηαη ζε μνηδόκηημ δάπεδμ, θένεη ζηεκ πενηθένεηά ημο αοιάθη, ζημ μπμίμ έπμομε ηοιίλεη αβανέξ θαη με εθηαηό κήμα. Τε πνμκηθή ζηηγμή, αζθμύμε ζημ δίζθμ μέζς ημο κήμαημξ ζηαζενή θαηαθόνοθε δύκαμε Τη χρονική στιγµή t 0 = 0, ασκούµε στο δίσκο µέσω του νήµατος σταθερή κατακόρυφη δύναµη µέτρου F = 9N. Καθώς ξετυλίγε- μέηνμο. Ηαζώξ λεηοιίγεηαη ημ κήμα πςνίξ κα ται το νήµα χωρίς να ολισθαίνει στο αυλάκι του δίσκου, ο δίσκος μιηζζαίκεη ζημ αοιάθη ημο δίζθμο, μ δίζθμξ θοιίεηαη επίζεξ κυλίεται επίσης χωρίς να ολισθαίνει και χωρίς παραµόρφωση, πςνίξ κα μιηζζαίκεη θαη πςνίξ παναμόνθςζε, πάκς ζε πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. μνηδόκηημ δάπεδμ. (α) Να σχεδιάσετε α) Κα τηζπεδηάζεηε στατική τριβή ηε ζηαηηθή πουηνηβή δέχεται πμο οδέπεηαη δίσκος μ δίζθμξ από το δάπεδο, από σε κατάλληλο ημ δάπεδμ, ζε σχήµα θαηάιιειμ καιζπήμα να δικαιολογήσετε θαη δηθαημιμγήζεηε τη ϕορά της. ηε θμνά ηεξ. (ϐ) Να υπολογίσετε β) Κα : οπμιμγίζεηε: β1) ημ μέηνμ ηεξ ζηαηηθήξ ηνηβήξ, πμο δέπεηαη μ δίζθμξ. (ϐ1) το µέτρο της στατικής τριβής, που δέχεται ο δίσκος. (ϐ2) το µέτρο β2) της ημ μέηνμ επιτάχυνσης ηεξ επηηάποκζεξ του κέντρου ημο θέκηνμο µάζας μάδαξ καθώς θαζώξ θαη καιημ το μέηνμ µέτρο ηεξ της γςκηαθήξ γωνιακής επηηάποκζεξ επιτάχυνσης ημο δίζθμο. του δίσκου. β3) ημ μήθμξ ημο κήμαημξ, πμο έπεη λεηοιηπηεί από ηε ζηηγμή, μέπνη ηε ζηηγμή, θαηά Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 28 ηεκ μπμία ημ ακώηενμ ζεμείμ ημο δίζθμο έπεη απμθηήζεη ηαπύηεηα. Δίκεηαη ε νμπή αδνάκεηαξ ημο δίζθμο ςξ πνμξ άλμκά ημο:.

29 μέηνμο. Ο ηνμπόξ θοιίεηαη πςνίξ παναμόνθςζε ζε μνηδόκηημ δάπεδμ, πμο έπεη ηέημηα ηημή ζοκηειεζηή ζηαηηθήξ ηνηβήξ απμθεύγεηαη ε μιίζζεζε. Κα οπμιμγίζεηε: Φυσική Γ Λυκείου α) ημ μέηνμ ηεξ επηηάποκζεξ ημο θέκηνμο μάδαξ Ο., ώζηε μνηαθά κα β) (ϐ3) ημ μέηνμ το µήκος ηεξ επηηάποκζεξ του νήµατος, ημο που ακώηενμο έχει ξετυλιχτεί ζεμείμο Γ. από τη στιγµή t = 0, µέχρι τη στιγµή t 1, κατά την οποία το ανώτερο σηµείο του δίσκου έχει αποκτήσει ταχύτητα υ A = 12m/s. γ) ηε δύκαμε ηεξ ζηαηηθήξ ηνηβήξ, πμο δέπεηαη μ δίζθμξ από ημ δάπεδμ. δ) ημ ζοκηειεζηή ζηαηηθήξ ηνηβήξ. ίνεται η ϱοπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονά του : I cm = 1 2 mr2 Έκαξ θύιηκδνμξ αθηίκαξ έπεη μάδα. Σημ εζςηενηθό ημο οπάνπεη μία 4.6. Γύρω από ένα οµογενή δίσκο, ακτίνας R, µάζας m = 2kg και ϱοπής αδράνειας θοιηκδνηθή εγθμπή, αθηίκαξ πμιύ μηθνμύ πάπμοξ, ζηεκ μπμία έπμομε ηοιίλεη αβανέξ με I cm = 1 2 mr2, είναι τυλιγµένο αβαρές νήµα, µέσω του οποίου, τη χρονική στιγµή t = 0 εθηαηό κήμα. Τε πνμκηθή ζηηγμή, ζημ άθνμ ημο κήμαημξ θαη πάκς από ημ θέκηνμ μάδαξ,, ασκούµε στο ανώτερο σηµείο Γ οριζόντια δύναµη σταθερού µέτρου F = 6N. αζθείηαη ζηαζενή μνηδόκηηα δύκαμε, όπςξ θαίκεηαη Ο τροχός κυλίεται χωρίς παραµόρφωση σε οριζόντιο δάπεδο, που ζημ ζπήμα. έχει τέτοια τιµή συντελεστή στατικής τριβής µ σ, ώστε οριακά να αποφεύγεται Έηζη μ θύιηκδνμξ η ολίσθηση. θοιίεηαη Να υπολογίσετε πςνίξ κα : μιηζζαίκεη πάκς ζε μνηδόκηημ επίπεδμ. Θεςνήζηε ημκ θύιηκδνμ μμμγεκή με νμπή (α) το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας Ο. αδνάκεηαξ ςξ πνμξ ημκ άλμκά ημο (ϐ) το µέτρο της επιτάχυνσης του ανώτερου σηµείου Γ. οπμιμγίζεηε:. Κα (γ) τη δύναµη της στατικής τριβής, που δέχεται ο δίσκος από α) το ημ δάπεδο. μέηνμ ηεξ επηηάποκζεξ ημο θέκηνμο μάδαξ ημο θοιίκδνμο. β) ημ μέηνμ ηεξ ζηαηηθήξ ηνηβήξ, πμο δέπεηαη μ θύιηκδνμξ από ημ μνηδόκηημ επίπεδμ θαη κα ηεκ (δ) το συντελεστή στατικής τριβής. ζπεδηάζεηε ζε θαηάιιειμ ζπήμα. γ) ημ μέηνμ ηεξ μνηδόκηηαξ επηηάποκζεξ ημο ζεμείμο επαθήξ Γ κήμαημξ - θοιίκδνμο Ενας κύλινδρος ακτίνας R έχει µάζα m = 4kg. Στο εσωτερικό του υπάρχει µία κυλινδρική εγκοπή, ακτίνας r = R 3 δ) ημ μήθμξ ημο κήμαημξ, πμο λεηοιίπηεθε, πολύ µικρού έςξ πάχους, ηε πνμκηθή στην ζηηγμή οποία έχουµε. τυλίξει αβαρές µη εκτατό νήµα. Γύνς από έκα μμμγεκή δίζθμ, αθηίκαξ, Τη χρονική Ιηπάιεξ στιγµή Γ. Ηαναδεμεηνίμο, t = 0, στο Φοζηθόξ άκρο του Msc νήµατος και πάνω από Σειίδα 25 το κέντρο µάζας, ασκείται σταθερή οριζόντια δύναµη F = 9N, μάδαξ όπως ϕαίνεται στο θαη σχήµα. νμπήξ Ετσι αδνάκεηαξ ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς, είκαη να ηοιηγμέκμ ολισθαίνει αβανέξ πάνωκήμα, σε οριζόντιο μέζς ημο επίπεδο. μπμίμο, ηε Θεωρήστε πνμκηθή τον ζηηγμή κύλινδρο, αζθμύμε οµογενή µε ζημ ϱοπή ακώηενμ αδράνειας ζεμείμ ως προς Γ μνηδόκηηα τον άξονά του δύκαμε I cm = ζηαζενoύ 1 2 mr2. Να υπολογίσετε : μέηνμο. Ο ηνμπόξ θοιίεηαη πςνίξ παναμόνθςζε ζε μνηδόκηημ δάπεδμ, πμο έπεη ηέημηα ηημή ζοκηειεζηή ζηαηηθήξ ηνηβήξ (α) το µέτρο της επιτάχυνσης α cm του κέντρου µάζας του κυλίνδρου. απμθεύγεηαη ε μιίζζεζε., ώζηε μνηαθά κα (ϐ) το µέτρο της στατικής τριβής, που δέχεται ο κύλινδρος από το οριζόντιο επίπεδο και να την Κα οπμιμγίζεηε: σχεδιάσετε σε κατάλληλο σχήµα. α) ημ μέηνμ ηεξ επηηάποκζεξ ημο θέκηνμο μάδαξ Ο. (γ) το µέτρο της οριζόντιας επιτάχυνσης του σηµείου επαφής Γ νήµατος - κυλίνδρου. β) ημ μέηνμ ηεξ επηηάποκζεξ ημο ακώηενμο ζεμείμο Γ. (δ) το µήκος του νήµατος, που ξετυλίχτηκε, έως τη χρονική στιγµή t 1 = 3s. γ) ηε δύκαμε ηεξ ζηαηηθήξ ηνηβήξ, πμο δέπεηαη μ δίζθμξ από ημ δάπεδμ. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 29 δ) ημ ζοκηειεζηή ζηαηηθήξ ηνηβήξ. Έκαξ θύιηκδνμξ αθηίκαξ έπεη μάδα. Σημ εζςηενηθό ημο οπάνπεη μία

30 4.8. Συµπαγής και οµογενής τροχός µάζας m = 10kg και ακτίνας R = 0, 2m κυλίεται ανερχόµενος κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ = 10 o. Τη χρονική στιγµή t = 0 το κέντρο µάζας του τροχού έχει ταχύτητα µέτρου υ cm = 10m/s. Να υπολογίσετε : (α) το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας και το µέτρο της στροφορµής του τροχού τη χρονική στιγµή t = 0. (ϐ) την επιτάχυνση του κέντρου µάζας του τροχού καθώς ανέρχεται. (γ) το ϱυθµό µεταβολής της στροφορµής του τροχού καθώς ανέρχεται. (δ) την ταχύτητα του κέντρου µάζας του τροχού, όταν αυτός ανερχόµενος έχει διαγράψει N = 54 4π περιστροφές. ίνεται η ϱοπή αδράνειας του τροχού ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτόν και διέρχεται από το κέντρο µάζας του, I cm = 1 2 mr2 και g = 10m/s Ενα γιο-γιο αποτελείται από κύλινδρο µάζας m = 0, 1kg και ακτίνας R = 1 15 m, γύρω από τον οποίο είναι τυλιγµένο αβαρές νήµα. Κρατάµε ακίνητο το ελεύθερο άκρο του νήµατος και αφήνουµε τον κύλινδρο να πέσει. Αυτός εκτελεί σύνθετη κίνηση κινούµενος κατακόρυφα χωρίς να ολισθαίνει. Να ϐρείτε : (α) τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου καθώς κατέρχεται. (ϐ) το ϱυθµό αύξησης της στροφορµής του κυλίνδρου καθώς κατέρχεται. (γ) την ταχύτητα του χαµηλότερου σηµείου του δίσκου, τη στιγµή που έχει ξετυλιχτεί νήµα µήκους l = 30cm. (δ) την ταχύτητα του χαµηλότερου σηµείου του δίσκου, τη στιγµή που έχει ξετυλιχτεί νήµα µήκους l = 30cm ίνεται η ϱοπή αδράνειας οµογενούς κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του, I cm = 1 2 mr2 και g = 10m/s Η κυκλική εξέδρα µιας παιδικής χαράς έχει ακτίνα R = 1m, µάζα M = 80kg, είναι ακίνητη και µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της. Ενα αγόρι µάζας m = 20kg ενώ τρέχει στο έδαφος γύρω γύρω έξω από την εξέδρα µε ταχύτητα µέτρου υ = 3m/s, ξαφνικά πηδάει στην περιφέρεια της εξέδρας και µένει εκεί χωρίς να ολισθήσει. Να ϐρείτε : (α) τη γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος, όταν το αγόρι ανέβει στην περιφέρεια της εξέδρας. (ϐ) τη δύναµη της στατικής τριβής που ασκείται στο αγόρι, αν στέκεται στη περιφέρεια της εξέδρας χωρίς να κρατιέται από τα στηρίγµατα. (γ) τη σταθερή εξωτερική δύναµη που πρέπει να ασκήσουµε εφαπτοµενικά στην εξέδρα, ώστε αυτή να σταµατήσει να περιστρέφεται µετά από χρόνο t = 3s. Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 30

31 ελέδναξ πςνίξ κα θναηηέηαη από ηα ζηενίγμαηα. γ) ηε ζηαζενή ελςηενηθή δύκαμε πμο πνέπεη κα αζθήζμομε εθαπημμεκηθά ζηεκ ελέδνα, ώζηε αοηή κα ζηαμαηήζεη κα πενηζηνέθεηαη μεηά από πνόκμ. δ) πόζεξ πενηζηνμθέξ έθακε ε ελέδνα ζημ πνμκηθό δηάζηεμα ηςκ. Φυσική Γ Λυκείου Δίκεηαη ε νμπή αδνάκεηαξ ηεξ πιαηθόνμαξ ςξ πνμξ άλμκα πμο είκαη θάζεημξ ζ αοηήκ θαη (δ) πόσες περιστροφές δηένπεηαη από έκανε ημ θέκηνμ η εξέδρα μάδαξ ηεξ, στο χρονικό διάστηµα. των 3s. ίνεται η ϱοπή αδράνειας της πλατφόρµας ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το κέντρο µάζας της, I cm = 1 2 MR2 Ιία θαηαθόνοθε νάβδμξ μάδαξ θαη μήθμοξ, μπμνεί κα πενηζηνέθεηαη ζημ θαηαθόνοθμ επίπεδμ γύνς από Μία κατακόρυφη ϱάβδος µάζας M = 3kg και µήκους l = 1m, µπορεί να περιστρέφεται μνηδόκηημ άλμκα πμο δηένπεηαη από ημ πάκς άθνμ ηεξ θαη στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το πάνω άκρο είκαη θάζεημξ ζε αοηή. Γθηνέπμομε ηε νάβδμ από ηε ζέζε της και είναι κάθετος σε αυτή. ηζμννμπίαξ ηεξ θαη ηεκ αθήκμομε ειεύζενε. Τε ζηηγμή πμο Εκτρέπουµε τηπενκάεη ϱάβδο απόηεκ τηθαηαθόνοθε ϑέση ισορροπίας ζέζε, ημ της θάης και άθνμ τηνηεξ αφήνουµε ελεύθερη. ζογθνμύεηαη Τη στιγµή με ζθαίνα που περνάει αθηίκαξ από την κα-θατακόρυφη ϑέση, το κάτω άκρο της συγκρούεται µε σφαίρα μάδαξ πμο βνίζθεηαη αθίκεηε ζημ θαηώηαημ ακτίνας r = 0, 1m και µάζας m = 1kg που ϐρίσκεται ακίνητη στο κατώτατο σηµείο τεταρτοκυκλίου ακτίνας R = 1m ζεμείμ ηεηανημθοθιίμο αθηίκαξ,, ημο μπμίμο ημ θέκηνμ ζομπίπηεη με ημ ζεμείμ ελάνηεζεξ ηεξ νάβδμο. Τμ του οποίου το κέντρο συµπίπτει µε το σηµείο εξάρτησης της θάης άθνμ ηεξ νάβδμο ηεκ ζηηγμή ηεξ θνμύζεξ έπεη ϱάβδου. Το κάτω άκρο της ϱάβδου την στιγµή της κρούσης έχει ταχύτητα υ 1 = 5m/s. Αµέσως µετά την κρούση η ϱάβδος ακινητοποιείται. Η Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 27 σφαίρα ανέρχεται στο τεταρτοκύκλιο στην αρχή ολισθαίνοντας και µετά κυλιόµενη. Τελικά ηαπύηεηα. Αμέζςξ μεηά ηεκ θνμύζε ε νάβδμξ αθηκεημπμηείηαη. Ε ζθαίνα εγκαταλείπει το ανώτερο ακένπεηαη άκρο ζημ ηεηανημθύθιημ του τεταρτοκυκλίου ζηεκ ανπή μιηζζαίκμκηαξ µε γωνιακή θαη μεηά ταχύτητα θοιηόμεκε. ω 3 Τειηθά = 8rad/s εγθαηαιείπεη. Να ϐρεθούν : ημ ακώηενμ άθνμ ημο ηεηανημθοθιίμο με γςκηαθή ηαπύηεηα. Κα βνεζμύκ: (α) η ϱοπή αδράνειας α) ε νμπή τηςαδνάκεηαξ ϱάβδουηεξ ωςνάβδμο προςςξ τον πνμξ άξονα ημκ άλμκα περιστροφής πενηζηνμθήξ της. ηεξ. (ϐ) η ταχύτητα υ 2 β) της ε ηαπύηεηα σφαίρας αµέσως ηεξ ζθαίναξ µετά αμέζςξ τηνμεηά κρούση. ηεκ θνμύζε. (γ) το ύψος h, πάνω γ) ημ από ύρμξ το h, πάκς τεταρτοκύκλιο, από ημ ηεηανημθύθιημ, στο οποίο ζημ μπμίμ ϑα ζα ϕτάσει θηάζεη ηε ζθαίνα. σφαίρα. δ) ε γςκηαθή ηαπύηεηα ηεξ ζθαίναξ ζημ ακώηαημ ζεμείμ ηεξ ηνμπηάξ ηεξ. (δ) η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας στο ανώτατο σηµείο της τροχιάς της. Δίκεηαη ε νμπή αδνάκεηαξ ηεξ νάβδμο ςξ πνμξ άλμκα πμο είκαη θάζεημξ ζ αοηήκ θαη δηένπεηαη ίνεται η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος σ αυτήν και διέρχεται από το κέντρο µάζας της, I cm = 1 12 Ml2 και g = 10m/s Μια ξύλινη ϱάβδος µήκους l = 0, 4m και µάζας M = 0, 04kg ισορροπεί ελεύθερη σε λείο οριζόντιο επίπεδο. από ημ θέκηνμ μάδαξ ηεξ, θαη. Ιηα λύιηκε νάβδμξ μήθμοξ θαη μάδαξ ηζμννμπεί ειεύζενε ζε ιείμ μνηδόκηημ επίπεδμ. Έκα ζώμα Σ μάδαξ πμο θηκείηαη Ενα σώµα Σ µάζας m = 0, 01kg που κινείται οριζόντια µε ταχύτητα υ = 4m/s χτυπά κάθετα στο άκρο Α μνηδόκηηα της ϱάβδου. με ηαπύηεηα Μετά την κρούση πηοπά το θάζεηα σώµα ζημ Σ ακινητοποιείται. άθνμ Α ηεξ νάβδμο. Ιεηά Αν γνωρίζουµε ότι το σώµα ηεκ θνμύζε Σ ως ημ προς ζώμα τοσ κέντρο αθηκεημπμηείηαη. µάζας Ακ τηςγκςνίδμομε ϱάβδου έχει όηη ημ στροφορµή ζώμα Σ ςξ πνμξ πουημ ϐρίσκεται από τη σχέση L = mυl 2, να ϐρείτε : θέκηνμ μάδαξ ηεξ νάβδμο έπεη ζηνμθμνμή πμο βνίζθεηαη από ηε ζπέζε, κα βνείηε: (α) την ταχύτητα του κέντρου µάζας της ϱάβδου αµέσως µετά την κρούση. α) ηεκ ηαπύηεηα ημο θέκηνμο μάδαξ ηεξ νάβδμο αμέζςξ μεηά ηεκ θνμύζε. (ϐ) τον άξονα γύρω από τον οποίο ϑα περιστραφεί η ϱάβδος και τη γωνιακή ταχύτητα πουβ) ϑαημκ αποκτήσει. άλμκα γύνς από ημκ μπμίμ ζα πενηζηναθεί ε νάβδμξ θαη ηε γςκηαθή ηαπύηεηα πμο ζα απμθηήζεη. (γ) τον αριθµό των περιστροφών που ϑα εκτελέσει η ϱάβδος στο χρονικό διάστηµα γ) ημκ ανηζμό ηςκ πενηζηνμθώκ πμο ζα εθηειέζεη ε νάβδμξ ζημ πνμκηθό δηάζηεμα πμο απαηηείηαη που απαιτείται για να µετατοπιστεί το κέντρο µάζας της κατά 1m. γηα κα μεηαημπηζηεί ημ θέκηνμ μάδαξ ηεξ θαηά. δ) Τεκ ηαπύηεηα ημο πάκς άθνμο ηεξ νάβδμο (Β), όηακ αοηή ζα έπεη ζομπιενώζεη 1,5 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 31 πενηζηνμθέξ. Δίκεηαη ε νμπή αδνάκεηαξ ηεξ νάβδμο ςξ πνμξ άλμκα πμο είκαη θάζεημξ ζε αοηήκ θαη δηένπεηαη από ημ θέκηνμ μάδαξ ηεξ,.

32 (δ) Την ταχύτητα του πάνω άκρου της ϱάβδου (Β), όταν αυτή ϑα έχει συµπληρώσει 1,5 περιστροφές. ίνεται η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το κέντρο µάζας της, I cm = 1 12 Ml2. Ιηα θαηαθόνοθε ηνμπαιία έπεη ηοιηγμέκμ γύνς ηεξ έκα ιεπηό αβανέξ ζπμηκί, ζημ ειεύζενμ άθνμ ημο μπμίμο είκαη δεμέκμ έκα ζώμα (Σ) μάδαξ Μια κατακόρυφη τροχαλία έχει τυλιγµένο γύρω της ένα λεπτό αβαρές σχοινί, στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεµένο ένα σώµα (Σ) µάζας m = 1kg. αθηίκα, μάδα θαη μπμνεί κα ζηνέθεηαη γύνς Η τροχαλία έχει ακτίνα R = 0, 1m, µάζα M = 2kg και µπορεί να. Ε ηνμπαιία έπεη από ζηαζενό μνηδόκηημ άλμκα, μ μπμίμξ ηαοηίδεηαη με ημκ άλμκα πμο στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος ταυτίζεται µε τον δηένπεηαη από ημ θέκηνμ μάδαξ ηεξ ηνμπαιίαξ. Τε πνμκηθή ζηηγμή άξονα που διέρχεται από το κέντρο Ιηα µάζας θαηαθόνοθε της ηνμπαιία τροχαλίας. έπεη ηοιηγμέκμ Τη χρονική γύνς ηεξ έκα ιεπηό αβανέξ ζπμηκί, ζημ, αθήκμομε ημ ζύζηεμα κα θηκεζεί. στιγµή t = 0, αφήνουµε τοειεύζενμ σύστηµα άθνμ να ημο κινηθεί. μπμίμο είκαη Ναδεμέκμ ϐρείτε έκα : ζώμα (Σ) μάδαξ. Ε ηνμπαιία έπεη Κα βνείηε: αθηίκα, μάδα θαη μπμνεί κα ζηνέθεηαη γύνς (α) Την επιτάχυνση που ϑα αποκτήσει το σώµα Σ. από ζηαζενό μνηδόκηημ άλμκα, μ μπμίμξ ηαοηίδεηαη με ημκ άλμκα πμο α) Τεκ επηηάποκζε πμο ζα απμθηήζεη ημ ζώμα Σ. δηένπεηαη από ημ θέκηνμ μάδαξ ηεξ ηνμπαιίαξ. Τε πνμκηθή ζηηγμή (ϐ) Το µέτρο της δύναµης που ασκεί ο άξονας περιστροφής στην β) Τμ μέηνμ, ηεξ αθήκμομε δύκαμεξ ημ ζύζηεμα πμο κα αζθεί θηκεζεί. μ άλμκαξ πενηζηνμθήξ ζηεκ τροχαλία. ηνμπαιία. Κα βνείηε: (γ) Για τη χρονική στιγµή t = 2s Ϲητούνται : γ) Γηα ηε πνμκηθή α) Τεκ ζηηγμή επηηάποκζε πμο δεημύκηαη: ζα απμθηήζεη ημ ζώμα Σ. (γ1) Η στροφορµή της β) τροχαλίας Τμ μέηνμ ηεξ δύκαμεξ πμο αζθεί μ άλμκαξ πενηζηνμθήξ ζηεκ 1) Ε ζηνμθμνμή ηεξ ηνμπαιίαξ (γ2) Ο ϱυθµός µεταβολής ηνμπαιία. της στροφορµής της τροχαλίας. 2) Ο νοζμόξ μεηαβμιήξ ηεξ ζηνμθμνμήξ ηεξ ηνμπαιίαξ. γ) Γηα ηε πνμκηθή ζηηγμή δεημύκηαη: Η ϱοπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι I cm = 1 2 MR2. ίνεται g = 10m/s 2. Τριβές δεν υπάρχουν. Ε νμπή αδνάκεηαξ 2) Ο ηεξ νοζμόξ ηνμπαιίαξ μεηαβμιήξ ςξ ηεξ πνμξ ζηνμθμνμήξ ημκ άλμκα ηεξ ηνμπαιίαξ. πενηζηνμθήξ ηεξ είκαη. Δίκεηαη 1) Ε ζηνμθμνμή ηεξ ηνμπαιίαξ. Τνηβέξ δεκ οπάνπμοκ Η οµογενής και συµπαγής σφαίρα του σχήµατος έχει µάζα m = 1kg και ακτίνα r = 0, 2m και αφήνεται από ύψος h, να κινηθεί κατά µήκους κεκλιµένου επιπέδου και στη συνέχεια στο εσωτερικό της κυκλικής στεφάνης ακτίνας R = 10, 2m. Ε νμπή αδνάκεηαξ ηεξ ηνμπαιίαξ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ ηεξ είκαη. Ε μμμγεκήξ θαη ζομπαγήξ ζθαίνα ημο Δίκεηαη. Τνηβέξ δεκ οπάνπμοκ. ζπήμαημξ έπεη μάδα θαη αθηίκα Η σφαίρα κυλίεται συνεχώς θαη χωρίς αθήκεηαη Ε να μμμγεκήξ από ολισθαίνει. θαη ύρμξ ζομπαγήξ, Για κα ζθαίνα να ημο κάνει η σφαίρα θηκεζεί µε ασφάλεια θαηά μήθμοξ ζπήμαημξ ανακύκλωση, θεθιημέκμο έπεη μάδα επηπέδμο να υπολογιστεί θαη ζηε θαη αθηίκα : ζοκέπεηα ζημ εζςηενηθό ηεξ θαη θοθιηθήξ αθήκεηαη ζηεθάκεξ από ύρμξ, κα (α) το µέτρο της ελάχιστης θηκεζεί τιµής θαηά μήθμοξ της ταχύτητάς θεθιημέκμο επηπέδμο της στο θαη ζηε αθηίκαξ. Ε ζθαίνα θοιίεηαη σηµείο. ζοκέπεηα ζημ εζςηενηθό ηεξ θοθιηθήξ ζηεθάκεξ ζοκεπώξ πςνίξ κα μιηζζαίκεη. Γηα κα θάκεη ε αθηίκαξ. Ε ζθαίνα θοιίεηαη (ϐ) το µέτρο ζθαίνα της ελάχιστης με αζθάιεηα γωνιακής ακαθύθιςζε, ταχύτητας κα οπμιμγηζηεί: ως προς ζοκεπώξ πςνίξ κα μιηζζαίκεη. Γηα κα θάκεη ε τον άξονα περιστροφής της, στο σηµείο Γ. ζθαίνα με αζθάιεηα ακαθύθιςζε, κα οπμιμγηζηεί: α) ημ μέηνμ ηεξ ειάπηζηεξ ηημήξ ηεξ ηαπύηεηάξ ηεξ ζημ ζεμείμ Δ. (γ) το µέτρο της κάθετης δύναµης που δέχεται από το ο- α) ημ μέηνμ ηεξ ειάπηζηεξ ηημήξ ηεξ ηαπύηεηάξ ηεξ ζημ ζεμείμ Δ. β) ημ μέηνμ ηεξ ειάπηζηεξ γςκηαθήξ ηαπύηεηαξ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ ηεξ, ζημ ζεμείμ ϱιζόντιο επίπεδο στη ϑέση Γ αν από τη ϑέση αυτή διέρχεται µε γωνιακή ταχύτητα ίση µε Γ. β) ημ μέηνμ ηεξ ειάπηζηεξ γςκηαθήξ ηαπύηεηαξ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ ηεξ, ζημ ζεμείμ αυτή που υπολογίσατε στο ερώτηµα ϐ. Γ. γ) ημ μέηνμ ηεξ θάζεηεξ δύκαμεξ πμο δέπεηαη από ημ μνηδόκηημ επίπεδμ ζηε ζέζε Γ ακ από ηε (δ) το ελάχιστο ύψος h. γ) ημ μέηνμ ηεξ θάζεηεξ δύκαμεξ πμο δέπεηαη από ημ μνηδόκηημ επίπεδμ ζηε ζέζε Γ ακ από ηε ζέζε αοηή δηένπεηαη με γςκηαθή ηαπύηεηα ίζε με αοηή πμο οπμιμγίζαηε ζημ ενώηεμα β. ζέζε αοηή δηένπεηαη με γςκηαθή ηαπύηεηα ίζε με αοηή πμο οπμιμγίζαηε ζημ ενώηεμα β. ίνονται η ϱοπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον άξονά της I cm = 2 5 Mr2, η επιτάχυνση Ιηπάιεξ Γ. Ηαναδεμεηνίμο, 27 της ϐαρύτητας g = 10m/s 2 Ιηπάιεξ και Γ. Ηαναδεμεηνίμο, Φοζηθόξ 1, 96 Msc. Φοζηθόξ Msc Σειίδα Σειίδα Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 32

33 δίζθμξ ημο ζπήμαημξ είκαη μνηδόκηημξ, έπεη ημ ύρμξ θαη αθηίκα. Σηε ζέζε Β ημο ηαη έκα παηδί με μάδα θαη ημ ζύζηεμα.δίκμκηαη ε νμπή αδνάκεηαξ ηεξ ζθαίναξ ςξ πνμξ ημκ άλμκά Φυσική Γ Λυκείου θμξ πενηζηνέθεηαη πςνίξ ηνηβέξ, με γςκηαθή, ε επηηάποκζε, ηεξ γύνς βανύηεηαξ από θαηαθόνοθμ θαη άλμκα πμο Στην επιφάνεια ενός οµογενούς κυλίνδρου µάζας m = 2kg και ακτίνας R = 0, 3m, ό ημ θέκηνμ έχουµε ημο δίζθμο τυλίξει λεπτό Ο. Ακ σχοινί ημ αµελητέας παηδί μεηαθηκεζεί µάζας, το ελεύθερο άκρο του οποίου έλκεται µε σταθερή οριζόντια δύναµη F µέτρου 6N, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. Β ζηε ζέζε Α ημο δίζθμο (βιέπε ζπήμα), ηόηε ε εκ επηθάκεηα εκόξ μμμγεκμύξ ηεηα ημο δίζθμο γίκεηαη. (Κα ζεςνήζεηε ημ παηδί μάδαξ θαη άδα)., έπμομε ηοιίλεη ιεπηό αξ μάδαξ, ημ ειεύζενμ άθνμ ημο ίζεηε ηε γςκηαθή ηαπύηεηα. ηαη με ζηαζενή μνηδόκηηα Το σχοινί ξετυλίγεται χωρίς ολίσθηση, περιστρέφοντας ταυτόχρονα τον κύλινδρο. Ο κύλινδρος ηεκ θαίκεηαη µπορεί μεηαβμιή να κυλίεται ζημ χωρίς ηεξ ολίσθηση θηκεηηθήξ και αρχικά ηρεµούσε εκένγεηαξ στη ϑέσημο Α. Οτανζοζηήμαημξ. ϐρεθεί στη ϑέση νμο μιμγίζεηε, όπςξ Γ έχει ξετυλιχθεί σχοινί τόσο, ώστε το σηµείο εφαρµογής της δύναµης F ηκί λεηοιίγεηαη πςνίξ μιίζζεζε, να έχει µετατοπιστεί μιμγίζεηε κατά ημ L = μέηνμ 4m. Να υπολογισθεί ηεξ μεηαβμιήξ : ηεξ ζηνμθμνμήξ ημο παηδημύ. μθείιμκηαη ξ ηαοηόπνμκα ημκ μη θύιηκδνμ. Ο (α) το µέτρο παναπάκς της επιτάχυνσης μεηαβμιέξ του κέντρου µάζας (ζηα του κυλίνδρου. ενςηήμαηα νεί κα θοιίεηαη πςνίξ μιίζζεζε (ϐ) η στατική τριβή. μμύζε ζηε ζέζε Α. Όηακ βνεζεί (γ) η ισχύς της δύναµης F εη λεηοιηπζεί ζπμηκί ηόζμ, ώζηε στη ϑέση Γ. β θαη γ); πμζηάζεηξ (δ) το ποσοστό της κινητικής του ενέργειας που είναι στροφική στη ϑέση Γ. νμμγήξ ηεξ δύκαμεξ κα έπεη ίνονται : η επιτάχυνση ϐαρύτητας g = 10m/s αηά. 2 και η ϱοπή αδράνειας του κυλίνδρου ως νπεηαη ί: από ημ προς θέκηνμ τον άξονα ημο περιστροφής του I cm = 1 2 mr2.. ξ επηηάποκζεξ ημο Η οµογενής θέκηνμο μάδαξ ϱάβδοςημο ΑΚθοιίκδνμο. στηρίζεται στο άκρο της Κ µέσω άρθρωσης και αρχικά κρέµεται κατακόρυφα (ϑέση Ι). Η ϱάβδος ΑΚ έχει µήκος L = 0, 15m και µάζα M = 2kg. ηβή. Στο άκρο της Α ασκούµε συνεχώς µια δύναµη F μμγεκήξ νάβδμξ ΑK ζηενίδεηαη ζημ άθνμ ηεξ Η μέζς κάθετη στη άνζνςζεξ ϱάβδο η οποία έχει σταθερό µέτρο, οπότε η ϱάβδος αρχίζει να δύκαμεξ ζηε ανεβαίνει. ζέζε Γ. Οταν η ϱάβδος ϕτάσει στη ϑέση (ΙΙ), όπου σχηµατίζει θνέμεηαη θαηαθόνοθα (ζέζε Ζ). Ε νάβδμξ ΑΗ έπεη γωνία φ = 60 o µε την κατακόρυφη, καταργείται η δύναµη F ζηό ηεξ θηκεηηθήξ θαη και μάδα η ϱάβδος ημο ϕτάνει εκένγεηαξ στην κατακόρυφη. πμο Σημ είκαη άθνμ ϑέση ζηνμθηθή (ΙΙΙ), ηεξ χωρίς Α γωνιακή αζθμύμε ζηε ζέζε Γ. ταχύτητα. Να υπολογίσετε : δύκαμε (α) Το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ϱάβδου ως προς τον άξονα ηηάποκζε μξ ανπίδεη βανύηεηαξ κα ακεβαίκεη. Όηακ θαη ε νμπή νάβδμξ αδνάκεηαξ θηάζεη ημο ζηε θοιίκδνμο ζέζε ςξ (ΖΖ), πνμξ ημκ περιστροφής της στη ϑέση (ΙΙ). ηίδεη γςκία (ϐ) Το έργο της δύναµης F για τη περιστροφή της ϱάβδου μθήξ ημο από. τη ϑέση (Ι) στη ϑέση (ΙΙ). θαη ε νμπή αδνάκεηαξ ημο δίζθμο ςξ πνμξ θάζεηε ζηε νάβδμ ε μπμία έπεη ζηαζενό μέηνμ, με ηεκ θαηαθόνοθε, θαηανγείηαη ε η ε νάβδμξ θηάκεη ζηεκ θαηαθόνοθε ζέζε (ΖΖΖ), πςνίξ ηεηα. ηε: (γ) Το µέτρο της δύναµης F. (δ) Το ποσοστό του έργου της δύναµης F που µετατράπηκε σε κινητική ενέργεια της ϱάβδου κατά τη περιστροφή της από τη ϑέση (Ι) στη ϑέση (ΙΙ). εξ γςκηαθήξ ηαπύηεηαξ ηεξ νάβδμο ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ ηεξ ζηε ζέζε Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου 33 ikhs.wordpress.com αδεμεηνίμο, Φοζηθόξ Msc Σειίδα 30 ξ δύκαμεξ γηα ηε πενηζηνμθή ηεξ νάβδμο από ηε ζέζε (Ζ) ζηε ζέζε (ΖΖ).

34 δύκαμεξ ίνονται η ϱοπή αδράνειας της ϱάβδου ως προς άξονα περιστροφής που περνά από το άκρο της Κ και είναι κάθετος σε αυτή : I cm = 1 3 ML2, η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s 2. πμο μεηαηνάπεθε ζε θηκεηηθή εκένγεηα ηεξ νάβδμο ζέζε (Ζ) ζηε ζέζε (ΖΖ) Στο σχήµα ϕαίνεται σε τοµή µια τροχαλία που αποτελείται από δύο οµοαξονικούς κυλίνδρους νάβδμο ςξ πνμξ άλμκα πενηζηνμθήξ µε ακτίνες R 1 πμο = 0, πενκά 2m και από Rημ 2 = άθνμ 0, 1m ηεξ, που µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της τροχαλίας. Τα σώµατα Σ 1 και Σ 2 έχουν ίσες µάζες m 1 = m 2 = 2kg και είναι στερεωµένα µέσω νηµάτων ξ ζε αοηή: που είναι τυλιγµένα, στους ε κυλίνδρους. επηηάποκζε Η τροχαλία ηεξ και τα σώµατα Σ 1,Σ 2 είναι αρχικά ακίνητα και τα κέντρα µάζας των Σ 1,Σ 2 ϐρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγµή t = 0 το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί και τη χρονική στιγµή. t 1 το σώµα Σ 1 έχει κατέβει κατά h 1 = 0, 4m. ζε ημμή μηα ηνμπαιία πμο απμηειείηαη από δύμ θηίκεξ θαη, πμο ίξ ηνηβέξ γύνς από μνηδόκηημ άλμκα, μ μπμίμξ ηνμπαιίαξ. Τα ζώμαηα θαη έπμοκ ίζεξ είκαη ζηενεςμέκα μέζς κεμάηςκ πμο είκαη ηνμπαιία θαη ηα ζώμαηα ξ ηςκ είκαη ανπηθά βνίζθμκηαη ζημ ίδημ μνηδόκηημ ημ ζύζηεμα αθήκεηαη ειεύζενμ κα θηκεζεί θαη έπεη θαηέβεη θαηά. Α. Να δείξετε : ξ είκαη ζοκέπεηα (ϐ) δηπιάζηα ότι το διάστηµα ηεξ ηαπύηεηαξ που διανύει ημο ζώμαημξ το σώµα Σ 1 είναι. συνέχεια διπλάσιο του διαστήµατος που διανύει το σώµα Σ 2. μ ζώμα είκαη ζοκέπεηα δηπιάζημ ημο δηαζηήμαημξ πμο δηακύεη μιμγίζεηε: παιίαξ. (α) ότι η ταχύτητα του σώµατος Σ 1 είναι συνέχεια διπλάσια της ταχύτητας του σώµατος Σ 2. Β. Τη χρονική στιγµή t 1 να υπολογίσετε : (γ) τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας. (δ) το ϱυθµό µε τον οποίο το ϐάρος του σώµατος Σ 1 µεταφέρει ενέργεια στο σύστηµα. ίνονται : Η ϱοπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι μξ ημο ζώμαημξ I cm = 0, μεηαθένεη 1kg m 2 και εκένγεηα η επιτάχυνση ζημ ζύζηεμα. της ϐαρύτητας g = 10m/s 2. Σηµείωση : Η τριβή ανάµεσα στην τροχαλία και στο νήµα είναι αρκετά µεγάλη, ώστε να µην ξ ηεξ ηνμπαιίαξ παρατηρείται ςξ πνμξ ολίσθηση. ημκ Το άλμκα νήµα είναι πενηζηνμθήξ αβαρές. Ναηεξ ϑεωρήσετε ότι τα σώµατα Σ 1 και Σ 2 δεν ϕτάνουν στο έδαφος ούτε συγκρούονται µε την τροχαλία. επηηάποκζε ηεξ Μιχάλης βανύηεηαξ Ε. Καραδηµητρίου ηεκ ηνμπαιία θαη ζημ κήμα είκαη ανθεηά μεγάιε, ώζηε κα μεκ α είκαη αβανέξ. Κα ζεςνήζεηε όηη ηα ζώμαηα θαη δεκ

35 4.18. Η κατακόρυφη τροχαλία του σχήµατος, µάζας m = 3kg και ακτίνας r = 0, 1m, µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος σε αυτήν. Στο αυλάκι της τροχαλίας περνά νήµα που από το ένα άκρο του κρέµεται σώµα Σ 2 µάζας m 2 = 2kg και στο άλλο άκρο του είναι δεµένος ένας κατακόρυφος τροχός (Σ 1 ) που έχει µάζα M = 4kg και ακτίνα R = 0, 2m. ηαθόνοθε ηνμπαιία ημο ζπήμαημξ, θαη αθηίκαξ, ηνέθεηαη πςνίξ ηνηβέξ γύνς από πμο πενκάεη από ημ θέκηνμ ηεξ Ο ημξ ζε αοηήκ. Σημ αοιάθη ηεξ ά κήμα πμο από ημ έκα άθνμ ημο μάδαξ θαη ζημ είκαη δεμέκμξ έκαξ θαηαθόνοθμξ μο έπεη μάδα θαη. Τη χρονική στιγµή t = 0 που το σύστηµα του σχήµατος είναι ακίνητο, αυξάνουµε τη εηε ημ μέηνμ ηεξ δύκαμεξ δύναµη ακαριαία ώζηε έτσι ημ ώστε ζύζηεμα να γίνει πμο F εηθμκίδεηαη = 80N. ζημ ζπήμα κα εημ.τε πνμκηθή ζηηγμή (α) Να υπολογίσετε το µέτρο της δύναµης F ώστε το σύστηµα που εικονίζεται στο σχήµα να παραµείνει ακίνητο. πμο ημ ζύζηεμα ημο ζπήμαημξ είκαη αθίκεημ, καμε αθανηαία έηζη (ϐ) ώζηε Να υπολογίσετε κα γίκεη την επιτάχυνση. του σώµατος Σ 2. Για τη χρονική στιγµή που το σώµα Σ 2 έχει ανέλθει κατά h = 2m, να υπολογίσετε : ίζεηε ηεκ επηηάποκζε ημο ζώμαημξ.γηα ηε πνμκηθή ζηηγμή πμο ημ (γ) Το µέτρο της στροφορµής της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της. ακέιζεη θαηά, κα οπμιμγίζεηε: ζηνμθμνμήξ ηεξ ηνμπαιίαξ (δ) Τη µετατόπιση ςξ πνμξ τουημκ τροχού άλμκα από πενηζηνμθήξ την αρχική του ηεξ. ϑέση. ε ημο ηνμπμύ από (ε) ηεκ Τοανπηθή ποσοστό ημο του ζέζε. έργου της δύναµης F που µετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του τροχού Σ 1 κατά τη µετατόπιση του σώµατος Σ 2 κατά h. ημο ένγμο ηεξ δύκαμεξ πμο μεηαηνάπεθε ζε θηκεηηθή εκένγεηα ημο ίνονται η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s 2, η ϱοπή αδράνειας της τροχαλίας ά ηε μεηαηόπηζε ημο ζώμαημξ θαηά. ως προς τον άξονα περιστροφής της I = 1 2 mr2 και του σώµατος Σ 1 ως προς τον άξονα περιστροφής του I 1 = 1 2 MR2. άποκζε ηεξ βανύηεηαξ Σηµείωση : Η τριβή, ανάµεσα ε νμπή στην αδνάκεηαξ τροχαλία ηεξ και ηνμπαιίαξ στο νήµα είναι ςξ αρκετά πνμξ µεγάλη, ώστε να µην παρατηρείται ολίσθηση. Το νήµα είναι αβαρές. Ο τροχός Σ 1 κυλίεται χωρίς ολίσθηση. ηνμθήξ ηεξ Μιχάλης Ε. θαη Καραδηµητρίου ημο ζώμαημξ ςξ πνμξ 35 ημκ άλμκα πενηζηνμθήξ