ΑΡΧΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΑΡΧΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ενότητα #4: Ο Μετασχηματισμός Fourier Χ. ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Ορισμός και ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Ο Μετασχηματισμός Fourier Ορισμός και ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών 5

6 Ο Μετασχηματισμός Fourier Ορισμός και ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier

7 Σήμα x(t) Ορισμός του μετασχηματισμού Fourier σήματος Μετασχηματισμός Fourier αυτού X(f): XX ff = FF xx tt + = xx(tt)ee jjjππffff dddd Ο X(f) είναι μιγαδική συνάρτηση της συχνότητας f. Η συχνότητα f παίρνει τιμές από - μέχρι +. 7

8 Ορισμός του μετασχηματισμού Fourier σήματος Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του X(f): + xx tt = FF 1 XX ff = XX(ff)ee jjjππffff dddd 8

9 Γραφικές παραστάσεις Φάσματος πλάτους και φάσης Η γραφική παράσταση του Χ(f) είναι το φάσμα πλάτους του σήματος x(t) H γραφική παράσταση του Arg[X(f)] είναι το φάσμα φάσης του σήματος x(t) 9

10 Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier (1) 1) X(-f)=X * (f) (συζυγής του X(f)). Συνέπεια: Αφού Χ(- f) = Χ(f) * = Χ(f) και Arg[X(-f)]=Arg[X(f) * ]=-Arg[X(f)], τo φάσμα πλάτους Χ(f) είναι άρτια συνάρτηση της συχνότητας f και το φάσμα φάσης Arg[X(f)] είναι περιττή συνάρτηση της συχνότητας f. Αυτό ισχύει για πραγματικά σήματα x(t). 2) F{ax 1 (t)+bx 2 (t)}=ax 1 (f)+bx 2 (f) (γραμμικότητα) 3) F{x(t-τ)}=X(f)e -j2πfτ 4) F{e j2πσt x(t)}=x(f-σ) 5) F{dx(t)/dt}=j2πfX(f) 6) FF{ xx tt dddd} = XX(ff)/(jjjππff) 10

11 Ιδιότητες του μετασχηματισμού 7) F{x(at)}=X(f/a)/ a 8) F -1 {Χ(af)}=x(t/a)/ a 9) F{x(t) y(t)}=x(f)y(f), όπου Fourier (2) + xx tt yy tt = xx tt ττ yy ττ ddττ = + xx ττ yy tt ττ ddττ είναι η συνέλιξη των σημάτων x(t) και y(t) στο πεδίο του χρόνου t 11

12 Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier (3) 10) F{x(t)y(t)}=X(f) Y(f), όπου XX ff YY ff + + = XX ff ss YY ss dddd = XX ss YY ff ss dddd είναι η συνέλιξη των X(f) και Y(f) στο πεδίο της συχνότητας 12

13 Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier (3) 11) F{X(t)}=x(-f). Δηλ. αν στη μαθηματική έκφραση της συνάρτησης X(f) βάλουμε όπου f το t, προκύπτει η (μιγαδική εν γένει) συνάρτηση του χρόνου X(t), της οποίας μετασχηματισμός Fourier είναι εκείνη η συνάρτηση της συχνότητας που προκύπτει από τη μαθηματική έκφραση του σήματος x(t) στο πεδίο του χρόνου αν σ αυτή βάλουμε όπου t το f. Παράδειγμα: Το σήμα u(t) (βηματική συνάρτηση) έχει μετασχηματισμό Fourier 1/(j2πf). Επομένως, το σήμα 1/(j2πt) έχει μετασχηματισμό Fourier u(-f), που είναι μια βηματική συνάρτηση που παίρνει τιμή 1 για αρνητικά f και τιμή 0 για θετικά f. 13

14 Παρατηρήσεις στο μετασχηματισμό Fourier (1) Η Ιδιότητα 2 με b=0 δίνει F{ax(t)}=aX(f). Αν a>0 είναι Arg(a)=0 και αν a<0 είναι Arg(a)=π. Αφού είναι Arg{aX(f)}=Arg(a)+Arg{X(f)}, με θετικό a το φάσμα φάσης του x(t) δεν αλλάζει και με αρνητικό a προστίθεται π σ αυτό. Και στις δύο περιπτώσεις το φάσμα πλάτους πολλαπλασιάζεται επί a. Η Ιδιότητα 7 με a=-1 δίνει FF xx tt = XX ff = XX (ff) Ήτοι, αναστροφή της φοράς του άξονα των t (παρουσία του - μπροστά από το t) δίνει τον συζυγή μετασχηματισμό Fourier. 14

15 Παρατηρήσεις στο μετασχηματισμό Fourier (2) Η γραφική παράσταση του x(at), με a>1, προκύπτει από τη γραφική παράσταση του x(t) με συστολή της κατά τον άξονα των t με παράγοντα a. H γραφική παράσταση του x(t/a) προκύπτει από τη γραφική παράσταση του x(t) με διαστολή της κατά τον άξονα των t με παράγοντα a. Από την Ιδιότητα 7 προκύπτει ότι συστολή του σήματος x(t) κατά τον άξονα των t με παράγοντα a συνεπάγεται διαστολή του κατά τον άξονα των f με παράγοντα a (και διαίρεση του φάσματος πλάτους δια a). Ομοίως, διαστολή στο πεδίο του t με παράγοντα a συνεπάγεται συστολή στο πεδίο των f με παράγοντα a (και πολλαπλασιασμό του φάσματος πλάτους επί a). 15

16 Παρατηρήσεις στο μετασχηματισμό Fourier (3) To σήμα x(t-τ) προκύπτει από το σήμα x(t) με χρονική καθυστέρηση κατά τ. Η γραφική παράσταση μετατοπίζεται δεξιά κατά τ. Αφού X(f)e -j2πfτ = X(f) και Arg{X(f)e -j2πfτ }=Αrg{Χ(f)}-2πfτ, από την Ιδιότητα 3 προκύπτει ότι η επιβολή καθυστέρησης τ δεν επηρεάζει το φάσμα πλάτους του σήματος, ενώ προσθέτει στο φάσμα φάσης αυτού τον γραμμικό ως προς τη συχνότητα f όρο -2πfτ. Η Ιδιότητα 4 λέει ότι ο πολλαπλασιασμός του x(t) επί τη συνάρτηση e j2πσt (μιγαδικό ημίτονο συχνότητας σ) συνεπάγεται μετατόπιση του μετασχηματισμού Fourier Χ(f) αυτού δεξιά κατά τη συχνότητα σ. 16

17 Παρατηρήσεις στο μετασχηματισμό Fourier (4) Η χονδρική μορφή ενός σήματος στο πεδίο του χρόνου καθορίζεται από το φασματικό περιεχόμενo του σήματος στις χαμηλές συχνότητες. Το φασματικό περιεχόμενο του σήματος στις ψηλές συχνότητες συμβάλλει στο σχηματισμό των λεπτομερειών (αιχμές, ακμές κ.λπ.) στο πεδίο του χρόνου. Συνέπεια αυτών: Αν ψαλιδίσουμε τις «ουρές» του φάσματος του σήματος (δηλ. αν περικόψουμε το φάσμα του από μια συχνότητα και πάνω) η εικόνα του σήματος στο πεδίο του χρόνου στρογγυλεύεται και, συνήθως, αποκτά και κυματώσεις. Αντίθετα, αν κρατήσουμε μόνο το ψηλών συχνοτήτων μέρος του φάσματος, το σήμα στο πεδίο του χρόνου καθίσταται μη αναγνωρίσιμο. 17

18 Παρατηρήσεις στο μετασχηματισμό Fourier (5) Αν ψαλιδίσουμε τις «ουρές» του σήματος στο πεδίο του χρόνου, το φάσμα πλάτους του στρογγυλεύεται και, συνήθως, αποκτά και κυματώσεις. 18

19 Ο Μετασχηματισμός Fourier Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών

20 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών (1) 1) Κρουστική συνάρτηση δ(t): F{δ(t)}=1 20

21 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών (2) Από την Ιδιότητα 11 προκύπτει: F{1}=δ(-f)=δ(f). 21

22 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών (3) 2) Bηματική συνάρτηση u(t): U(f)=F{u(t)}=1/(j2πf), (αφού είναι δ(t)=du(t)/dt, έστω και όχι πολύ αυστηρά από μαθηματικής άποψης αφού η συνάρτηση u(t) ως ασυνεχής είναι μη παραγωγίσιμη). 22

23 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών (4) 3) Ορθογωνικός παλμός p(t) διάρκειας τ. Αποδείξτε ότι: P(f)=F{p(t)}=τημ(πfτ)/(πfτ)=τsinc(fτ), όπου sinc(x)=ημ(πx)/(πx) Ο P(f) είναι πραγματική και άρτια συνάρτηση της f. 23

24 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών (5) Ορθογωνικός παλμός και ο μετασχηματισμός Fourier αυτού, όπου f τ =1/τ 24

25 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών (6) Ορθογωνικός παλμός και ο μετασχηματισμός Fourier αυτού, όπου f τ =1/τ 25

26 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών (7) Σχεδιάστε εσείς το φάσμα πλάτους και το φάσμα φάσης του ορθογωνικού παλμού. 4) Εκθετικός παλμός: ε(t)=e -αt u(t) με α>0. Αποδείξτε ότι F{e -αt u(t)}=1/(α+j2πf). Επομένως, ο εκθετικός παλμός και τα φάσματά του έχουν ως εξής: 26

27 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών (8) Το φάσμα πλάτους του εκθετικού παλμού 27

28 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Fourier αυτών (9) Το φάσμα φάσης του εκθετικού παλμού 28

29 Μερικές ακόμα ιδιότητες ζεύγη μετασχηματισμών Fourier (1) A) F{x(t)συν2πf c t}=[x(f-f c )+X(f+f c )]/2. Αυτό σημαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός σήματος επί συν2πf c t μετατοπίζει τα φάσματα του σήματος (τώρα γίνεται χρήση θετικών και αρνητικών συχνοτήτων) δεξιά κατά f c και επίσης αριστερά κατά f c και διαιρεί τα φάσματα πλάτους δια 2. Τα φάσματα γύρω από τη συχνότητα f c έχουν την άνω και την κάτω πλευρική ζώνη τους. Το ίδιο και τα φάσματα γύρω από τη συχνότητα -f c. 29

30 Μερικές ακόμα ιδιότητες ζεύγη μετασχηματισμών Fourier (2) Β) Αφού F(Α)=Αδ(f), η προηγούμενη ιδιότητα δίνει F(Ασυν2πf c t)= [Αδ(f-f c )+Αδ(f+f c )]/2. Άρα, το φάσμα του σήματος Ασυν2πf c t αποτελείται από μια κρουστική συνάρτηση στη θετική συχνότητα f c και μια στην αρνητική συχνότητα -f c. Εμείς, λιγότερο αυστηρά, θα χρησιμοποιούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ύψους Α στη συχνότητα f c (αγνοώντας τις αρνητικές συχνότητες). 30

31 Μερικές ακόμα ιδιότητες ζεύγη μετασχηματισμών Fourier (3) Γ) Με p(t) τον ορθογωνικό παλμό διάρκειας τ, ο p(t)συν2πf c t είναι ημιτονικός παλμός συχνότητας f c και διάρκειας τ. Αυτός έχει μετασχηματισμό Fourier [P(f-f c )+P(f+f c )]/2={τsinc[(f-f c )τ]+τsinc[(f+f c )τ]}/2 Δηλ. έχει φάσμα μια συνάρτηση sinc γύρω από τη συχνότητα f c και μία γύρω από την -f c (που την αγνοούμε αφού αγνοούμε τις αρνητικές συχνότητες). 31

32 Τέλος Ενότητας