Αρχές Τηλεπικοινωνιών

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Αρχές Τηλεπικοινωνιών Ενότητα #12: Δειγματοληψία, κβαντοποίηση και κωδικοποίηση Χ. ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμών Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Ορισμοί Θεώρημα δειγματοληψίας, Ιδανική & μη ιδανική δειγματοληψία Κβαντοποίηση, κωδικοποίηση 4

5 Περιεχόμενα Ορισμοί Ιδανική δειγματοληψία, Παραδείγματα Θεώρημα δειγματοληψίας, μαθηματική έκφραση σήματος συναρτήσει των δειγμάτων του Μη ιδανική δειγματοληψία Δειγματοληψία και συγκράτηση Κβαντοποίηση - Κωδικοποίηση 5

6 Δειγματοληψία, κβαντοποίηση και κωδικοποίηση Ορισμοί

7 Ορισμοί (1) Σήμα μηνύματος x(t) με μέγιστη συχνότητα την f x, περίοδος δειγματοληψίας T s, συχνότητα δειγματοληψίας f s =1/T s. Λαμβάνουμε τα δείγματα του x(t) τις χρονικές στιγμές kt s, με τον ακέραιο k να παίρνει τιμές από μέχρι +, και τα στέλνουμε με κάποιον τρόπο στον προορισμό. Χρονική απόσταση μεταξύ διαδοχικών δειγμάτων σταθερή και ίση με T s. Γι αυτό η πιο πάνω δειγματοληψία ονομάζεται ομοιόμορφη δειγματοληψία. Έχουν αναπτυχθεί και συστήματα μη ομοιόμορφης δειγματοληψίας, στα οποία η χρονική απόσταση μεταξύ των διαδοχικών δειγμάτων δεν είναι σταθερή. 7

8 Ορισμοί (2) Ο δέκτης μπορεί, υπό προϋποθέσεις, μόνο από τα δείγματα τις χρονικές στιγμές kt s να αναπαραγάγει στην εντέλεια το πλήρες σήμα x(t). Δηλ., ενώ κρατάμε και στέλνουμε μόνο τις τιμές x(kt s ), k=0, ±1, ±2,, και «πετάμε» όλες τις τιμές του σήματος x(t) για t kt s, o δέκτης μπορεί να αναδημιουργήσει με απόλυτη ακρίβεια το σήμα x(t) για όλες τις τιμές του t. Φυσικά, η αναδημιουργία του πλήρους σήματος x(t) από τα δείγματα αυτού x(kt s ) μπορεί να γίνει και στον πομπό ή οπουδήποτε αλλού, με την παρακάτω διαδικασία: 8

9 Ιδανική δειγματοληψία

10 Ιδανική δειγματοληψία Μαθηματική περιγραφή Από τα δείγματα x(kt s ) δημιουργούμε έναν συρμό από κρουστικές συναρτήσεις δ πολλαπλασιάζοντας καθένα από τα δείγματα επί την κρουστική συνάρτηση δ τη χρονική στιγμή kt s του δείγματος. Έτσι, προκύπτει το σήμα ιδανικής δειγματοληψίας x δ (t) που έχει την ακόλουθη μαθηματική + έκφραση: x () t = x( kt ) δ ( t kt ) δ k = Ένα παράδειγμα σήματος x(t) και η αντίστοιχη συνάρτηση ιδανικής δειγματοληψίας x δ (t) φαίνονται στο παρακάτω σχήμα: s s 10

11 Παράδειγμα σήματος Συνάρτηση ιδανικής δειγματοληψίας (1) 11

12 Παράδειγμα σήματος Συνάρτηση ιδανικής δειγματοληψίας (2) Το φάσμα πλάτους του σήματος x δ (t) αποτελείται από το φάσμα πλάτους του σήματος x(t) και τις άνω και κάτω πλευρικές ζώνες του στις συχνότητες, f s, 2f s, 3f s, Επίσης, το φάσμα φάσης του σήματος x δ (t) αποτελείται από το φάσμα φάσης του σήματος x(t) και τις άνω και κάτω πλευρικές ζώνες του στις συχνότητες, f s, 2f s, 3f s, 12

13 Παράδειγμα σήματος (1) Τα φάσματα πλάτους (α) του σήματος μηνύματος x(t) και (β) του σήματος ιδανικής δειγματοληψίας Τ s x δ (t) 13

14 Παράδειγμα σήματος (2) Οδηγώντας το σήμα x δ (t) σε ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο LPF με συχνότητα αποκοπής f s /2, ανακτούμε πλήρως το σήμα x(t) αρκεί οι παραπάνω φασματικές ζώνες να μην υπερκαλύπτονται μεταξύ τους. Αυτό εξασφαλίζεται αν f s -f x f x, δηλ. αν ισχύει η συνθήκη του Nyquist f s 2f x 14

15 Θεώρημα δειγματοληψίας

16 Θεώρημα δειγματοληψίας Γενική περιγραφή Όσα είπαμε παραπάνω αποτελούν το Θεώρημα της Δειγματοληψίας, το οποίο αναδιατυπώνουμε πλέον ως εξής: Αν σε σήμα x(t), που έχει φάσμα με μέγιστη συχνότητα f x, κάνουμε δειγματοληψία με συχνότητα f s, μεγαλύτερη ή ίση από τη συχνότητα 2f x, μπορούμε από τα δείγματα να ανακτήσουμε πλήρως το σήμα x(t). Προς τούτο πολλαπλασιάζουμε κάθε δείγμα επί την κρουστική συνάρτηση που βρίσκεται στην ίδια χρονική θέση με το δείγμα και περνάμε τον προκύπτοντα συρμό κρουστικών συναρτήσεων από ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο που έχει ζώνη διέλευσης (0, f s /2). Στην έξοδο του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου παίρνουμε το σήμα x(t) πολλαπλασιασμένο επί κάποια σταθερά. 16

17 Μαθηματική έκφραση σήματος συναρτήσει των δειγμάτων του Μαθηματική έκφραση του σήματος x(t) συναρτήσει των δειγμάτων του x(kt s ), k=0, ±1, ±2, : + x( t) = x( kts)sin c[ fs( t kts)] k = Αφού οι συναρτήσεις sinc έχουν μη μηδενικές τιμές για t<0, το σύστημα ιδανικής δειγματοληψίας είναι μη πραγματοποιήσιμο (non causal). Για κάθε δείγμα x(kt s ) θα πρέπει το σύστημα να έχει αρχίσει, θεωρητικά πριν από άπειρο χρόνο, τη δημιουργία της αντίστοιχης συνάρτησης sinc και, μάλιστα πολλαπλασιασμένης επί τον άγνωστο ακόμα συντελεστή x(kt s ). 17

18 Μη ιδανική δειγματοληψία Δειγματοληψία και συγκράτηση Μαθηματική περιγραφή

19 Μη ιδανική δειγματοληψία Δειγματοληψία και συγκράτηση Μαθηματική περιγραφή Αντί της κρουστικής συνάρτησης δ χρησιμοποιούμε για την αναδημιουργία του σήματος x(t) ορθογωνικό παλμό p(t) και από τα δείγματα x(kt s ), k=0, ±1, ±2, δημιουργούμε το σήμα μη ιδανικής δειγματοληψίας x p (t): + xp() t = x( kts) p( t kts) k = Οι μετασχηματισμοί Fourier του παλμού p(t) και των σημάτων x δ (t) και x p (t) συνδέονται με τη σχέση Χ p (f)=p(f)x δ (f). Για p(t) ορθογωνικό παλμό διάρκειας τ είναι P(f)=τsinc(f/f τ ), όπου f τ =1/τ. 19

20 Μη ιδανική δειγματοληψία Δειγματοληψία και συγκράτηση Παραδείγματα σημάτων

21 Παραδείγματα σημάτων (1) Μη ιδανική δειγματοληψία. (α) Το σήμα x(t) 21

22 Παραδείγματα σημάτων (2) Μη ιδανική δειγματοληψία. (β) ο παλμός p(t) 22

23 Παραδείγματα σημάτων (3) Μη ιδανική δειγματοληψία. (γ) ο συρμός ορθογωνικών παλμών x p (t) 23

24 Παραδείγματα σημάτων (4) Μη ιδανική δειγματοληψία. (α) Το φάσμα πλάτους σήματος x(t) 24

25 Παραδείγματα σημάτων (5) (β) το φάσμα πλάτους του σήματος μη ιδανικής δειγματοληψίας x p (t) για τ=τ s /2.6 25

26 Μη ιδανική δειγματοληψία Δειγματοληψία και συγκράτηση Παρατηρήσεις

27 Μη ιδανική δειγματοληψία - Παρατηρήσεις Μας ενδιαφέρει η παραμόρφωση των φασμάτων στη ζώνη (0, f s /2) που υπερκαλύπτει τη ζώνη (0, f x ) στην οποία βρίσκεται το σήμα μηνύματος που θέλουμε να αναδημιουργήσουμε από τα δείγματά του. Αυτή προέρχεται από τη μεταβολή του P(f) από τη συχνότητα 0 μέχρι τη συχνότητα f s /2. Όσο μικρότερο είναι το τ τόσο μεγαλύτερο είναι το f τ, οπότε τόσο μικρότερη είναι και η μεταβολή του P(f) στη ζώνη (0, f s /2). 27

28 Δειγματοληψία και συγκράτηση (sample and hold)

29 Δειγματοληψία και συγκράτηση (sample and hold) (1) Αν λάβουμε τ=t s, στο σήμα x p (t) η τιμή καθενός από τα δείγματα διατηρείται μέχρι την έλευση του επόμενου δείγματος. Τώρα το σήμα x p (t) έχει την κλιμακωτή μορφή, που φαίνεται στην επόμενη διαφάνεια. 29

30 Δειγματοληψία και συγκράτηση (2) (α) Σήμα x(t) (β) Σήμα δειγματοληψίας και συγκράτησης x SH (t) Η παραμόρφωση του φάσματος πλάτους του αναδημιουργούμενου σήματος x(t) είναι μέγιστη. Στη συχνότητα f s /2 αυτή φθάνει το 64%. 30

31 Κβαντοποίηση - Κωδικοποίηση

32 Κβαντοποίηση, Κωδικοποίηση Γενικά (1) Tα δείγματα ενός σήματος x(t) που λήφθηκαν με δειγματοληψία, για να αποσταλούν με ψηφιακό τρόπο, πρέπει να αντιστοιχιστούν σε δυαδικούς αριθμούς. Το διάστημα τιμών του σήματος x(t) χωρίζεται σε 2 n ζώνες (συνήθως ίσου εύρος), τις ζώνες κβαντοποίησης. Το εύρος των ζωνών κβαντοποίησης ονομάζεται βήμα κβαντοποίησης q. Όλα τα δείγματα που πέφτουν σε μια ζώνη κβαντοποίησης αντιστοιχίζονται σε μια τιμή της ζώνης (συνήθως τη μεσαία τιμή της). Η αντιστοίχιση ενός δείγματος του σήματος x(t) με τη μεσαία τιμή της ζώνης κβαντοποίησης, στην οποία αυτό πέφτει, συνιστά την κβαντοποίηση του δείγματος. 32

33 Κβαντοποίηση, Κωδικοποίηση Γενικά (2) Εύρος διαστήματος τιμών του σήματος x(t), έστω A. Αριθμός bit κωδικοποίησης, έστω n. Πλήθος σταθμών κβαντοποίησης 2 n. Βήμα κβαντοποίησης q=a/2 n. 33

34 Κβαντοποίηση Κωδικοποίηση (3) Σφάλμα κβαντοποίησης = τιμή ενός δείγματος κβαντοποιημένη τιμή του δείγματος. Μέση τιμή του σφάλματος κβαντοποίησης = 0. Μέση τετραγωνική τιμή του σφάλματος κβαντοποίησης = q 2 /12. Κάθε ζώνη κβαντοποίησης αντιστοιχίζεται (κωδικοποιείται) με ένα n-bit δυαδικό αριθμό (προσημασμένον ή απροσήμαστον). Αυτό είναι η κωδικοποίηση των κβαντοποιημένων δειγμάτων. 34

35 Παράδειγμα κβαντοποίησης κωδικοποίησης (1) Σήμα τάσης x(t) παίρνει τιμές στο διάστημα από 2 Volt μέχρι +2 Volt. Χρησιμοποιούνται 4 bits για την κωδικοποίηση των κβαντοποιημένων δειγμάτων. Τα δείγματα που πέφτουν στη χαμηλότερη ζώνη κβαντοποίησης κωδικοποιούνται με 0000 και τα δείγματα που πέφτουν στην ψηλότερη κωδικοποιούνται με 1111 (δηλ. τα δείγματα κωδικοποιούνται με απροσήμαστους δυαδικούς αριθμούς). 35

36 Παράδειγμα κβαντοποίησης κωδικοποίησης (2) Αριθμός σταθμών κβαντοποίησης=2 4 =16. Βήμα κβαντοποίησης q=[2 ( 2)]/2 4 =0,25 Volt. Μέση τιμή του σφάλματος κβαντοποίησης = 0. Μέση τετραγωνική τιμή του σφάλματος κβαντοποίησης q 2 /12=0,0052 Volt 2. Oι στάθμες μετάβασης από ζώνη σε ζώνη (από κάτω προς τα πάνω) είναι 1,75, 1,5, 1,25, 1, 0,75, 0,5, 0,25, 0, 0,25, 0,50, 0,75, 1, 1,25, 1,5 και 1,75 Volt. 36

37 Παράδειγμα κβαντοποίησης κωδικοποίησης (3) Δείγμα που έχει τιμή 1,735 Volt πέφτει στη δεύτερη από κάτω ζώνη κβαντοποίησης, οπότε κωδικοποιείται με τον δυαδικό αριθμό Δείγμα που έχει τιμή +0,0012 Volt πέφτει στην ένατη από κάτω ζώνη κβαντοποίησης, οπότε κωδικοποιείται με τον δυαδικό αριθμό Δείγμα που έχει τιμή +1,5342 Volt πέφτει στη δέκατη πέμπτη από κάτω ζώνη κβαντοποίησης, οπότε κωδικοποιείται με τον δυαδικό αριθμό Δείγμα που έχει τιμή +0,1 Volt πέφτει στην ένατη δεύτερη από κάτω ζώνη κβαντοποίησης, οπότε κωδικοποιείται με τον δυαδικό αριθμό Τα δείγματα +0,0012 Volt και +0,1 Volt πέφτουν στην ίδια ζώνη κβαντοποίησης, επομένως κωδικοποιούνται με τον ίδιο δυαδικό αριθμό

38 Ζώνες και στάθμες κβαντοποίησης και κωδικοποίηση κβαντοποιημένων δειγμάτων 38

39 Τέλος Ενότητας