ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Οι βαθμοί των 11 μαθητών μιας τάξης ενός Τ.Ε.Ε. σε ένα μάθημα είναι: 1, 1, 9, 15, 1, 16, 17, 7, 19, 18, 17. Για τα δεδομένα αυτά: α. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων. β. Να βρείτε τη μέση τιμή. γ. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή. δ. Να βρείτε τη διάμεσο. ε. Να βρείτε τη διακύμανση. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f: IR IR, με f(x) = x x + ln. 3 α. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f. β. Να βρείτε τις τιμές f (0) και f (1). γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 8 Μονάδες 1 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 1

2 ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: όπου λ πραγματικός αριθμός. λx 1, f(x) = x +, lim α. Να βρείτε το όριο f(x) x 1+ lim β. Να βρείτε το όριο f(x) x 1 x 1 x < 1 Μονάδες 10 Μονάδες 10 γ. Να υπολογίσετε το λ ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο x 0 = 1. ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η συνάρτηση f: IR IR με f(x)=λx 3 -x όπου λ πραγματικός αριθμός, για την οποία ισχύει ότι lim x 1 f(x) = 1. α. Να βρείτε την τιμή του λ. Μονάδες 10 β. Για την τιμή του λ που βρήκατε, να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f. Μονάδες 8 γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1 f (x) dx. 0 Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

3 AΠANTHΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο α. Ο πίνακας συχνοτήτων είναι: x i v i v i x i Σύνολο β. Η μέση τιμή x είναι x = = γ. Η επικρατούσα τιμή είναι το 1 αφού έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα: 3 δ. Θέτοντας σε αύξουσα σειρά τα δεδομένα έχουμε: Η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση, άρα: δ = 15 ε. Έχουμε: s = 11 1 [(7-14) +(9-14) +3(1-14) +(15-14) +(16-14) + +(17-14) +(18-14) +(19-14) ]= = 11 1 ( )= = ( )= 13, Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3

4 ΘΕΜΑ ο α. Η ƒ ως πολυωνυμική είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R. Είναι: ƒ' (x) = x x + l n = 3 = 3 1 (x 3 )' - 1 (x )' + (ln)' = ' = 3 1 3x - 1 x + 0 = x -x β. ƒ' (0) = 0-0 = 0 ƒ' (1) = 1-1 = 0 γ. ƒ' (x) = x (x-1) ƒ' (x) = 0 x = 0 ή x = 1 ƒ' (x) > 0 x < 0 ή x > 1 ƒ' (x) < 0 0 < x < 1 Έτσι προκύπτει ο πίνακας προσήμων της ƒ': ΘΕΜΑ 3ο x ƒ' Oπότε η ƒ είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (-,0], [1,+ ) και γνησίως φθίνουσα στο [0,1]. lim α. Είναι: f ( x) = (λx 1) = λ 1 + x 1 lim lim + x 1 β. Είναι: f x) = ( x + ) = 3 x 1 ( lim x 1 γ. Η f είναι συνεχής στο x 0 = 1, αν και μόνον αν lim x 1 f ( x) = lim + x 1 f ( x) = f (1) οπότε: 3 = λ - 1 = λ - 1 ή λ - 1 = 3. Άρα λ = 4. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4

5 ΘΕΜΑ 4ο lim = x lim 1 3 (λx x) = α. Επειδή είναι: f ( x) 1 έχουμε ότι 1 x 1 οπότε λ - 1 = 1. Άρα λ =. β. Για την τιμή λ = έχουμε f(x) = x 3 - x. Η f είναι παραγωγίσιμη στο IR ως πολυωνυμική με f (x) = (x 3 - x) = 6x γ. Είναι: = 3 3 f ( x) dx (λx x) dx = λ x dx xdx = x x 1 1 λ 1 = λ λ 0 ( 0) = 4 = Επομένως η τιμή του ολοκληρώματος 0 1 = f ( x) dx για λ = είναι: Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές: 5, 3, 3ω, 3, ω, 3, 3ω, ω με ω>0 α) Αν η μέση τιμή τους είναι x = 4, να αποδείξετε ότι ω=. β) Για ω= να βρείτε: Μονάδες 7 i) Το εύρος των τιμών. ii) Την επικρατούσα τιμή. iii) Την τυπική απόκλιση. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση Όπου λ Є R x f ( x) = + 6x 7, x 1 λ, αν x 1 αν x = 1 α) Να βρείτε το f(0) και το f(). Μονάδες 6 β) Να βρείτε το lim x + 6x 7 x 1 x 1 Μονάδες 10 γ) Να βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο x 0 = 1 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f(x)=lnx+x-1 με x>0. α) Να βρείτε το f(1). β) Να βρείτε την f (x) και την f''(x) γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x>0. Μονάδες 4 Μονάδες 14 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4ο Το ύψος (σε m) που βρίσκεται ένα τηλεκατευθυνόμενο μοντέλο αεροπλάνου, μετά από χρόνο πτήσης t (sec) δίνεται από τη συνάρτηση: f(t)=-3t +30t, όπου 0 t 10 α) Σε ποιο ύψος βρίσκεται το αεροπλάνο τη χρονική στιγμή t=0; β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του ύψους του αεροπλάνου μετά από χρόνο t. Μονάδες 7 γ) Να βρείτε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο το αεροπλάνο ανεβαίνει, καθώς και το χρονικό διάστημα κατά το οποίο κατεβαίνει. Μονάδες 7 δ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t κατά την οποία το αεροπλάνο βρίσκεται στο μέγιστο ύψος, καθώς και το ύψος αυτό. Μονάδες 6 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 1

7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο α) x = ω ω ω + ω =4 8 9 ω + 14 =4 9ω + 14=3 9ω=18 ω=. 8 β) i) Για ω= οι τιμές της μεταβλητής γίνονται: 5, 3, 6, 3, 4, 3, 6,. Η μεγαλύτερη τιμή είναι 6 ενώ η μικρότερη. Έτσι προκύπτει ότι το εύρος είναι 4. ii) Από τον πίνακα συχνοτήτων: x i ν i προκύπτει ότι η επικρατούσα τιμή είναι η 3. iii) S= ( 4) + 3(3 4) + (4 4) 8 + (5 4) + (6 4) = = = = 8 8. ΘΕΜΑ ο α) Είναι: f (0) = = = f () = = = = x + 6x 7 ( x + 7)( x 1) β) lim = lim = lim( x + 7) = 8. x 1 x 1 x 1 ( x 1) x 1 γ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 =1 αν και μόνο αν lim f (x) = f (1) x 1 x + 6x 7 Δηλαδή lim = λ x 1 x 1 ή lim(x + 7) = λ 1 x ή 8=λ-. Άρα λ=10. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

8 ΘΕΜΑ 3ο α) Είναι: f(1)=ln1+1-1=0 β) Η f είναι παραγωγίσιμη -φορές για κάθε x>0 με 1 f (x)=(lnx+x-1) =(lnx) +x -1 = + 1 και x x 1x 1 f (x) = + 1 = + 1 = = =. x x x x x 1 γ) Επειδή f (x) = + 1 > 0 για κάθε x>0 προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x x>0. ΘΕΜΑ 4ο α) Τη χρονική στιγμή t=0 το αεροπλάνο βρίσκεται σε ύψος h=f(0) = = 0m β) Ο ρυθμός μεταβολής τη χρονική στιγμή t είναι: f (t)=(-3t + 30t) = -6t γ) Προκειμένου να βρούμε τα διαστήματα ανόδου και καθόδου του αεροπλάνου αρκεί να μελετήσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης f στο διάστημα [0, 10]. Η f (t) > 0-6t+30 > 0 6t < 30 t < 5 Επομένως στο διάστημα [0, 5] το αεροπλάνο ανεβαίνει. H f (t) < 0-6t+30, <0 6t>30 t>5. Επομένως στο διάστημα [5, 10] το αεροπλάνο κατεβαίνει. δ) Σύμφωνα με το ερώτημα (γ) έχουμε τον ακόλουθο πίνακα t f (t) + - f(t) γ. αύξουσα γ. φθίνουσα Επομέβως για την τιμή t=5 η συνάρτηση f(t) παρουσιάζει μέγιστο, f(5)= = = =75. Άρα τη χρονική στιγμή t=5 sec το Αεροπλάνο βρίσκεται σε μέγιστο ύψος που είναι f(5)=75 μέτρα. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3

9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Εξετάσαμε δείγμα 5 οικογενειών μιας πόλης, ως προς τον αριθμό των παιδιών τους. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Αριθμός παιδιών Συχνότητα ν i Αθροίσματα Αθροιστική Συχνότητα Σχ. Συχνότητα (%) f i % α) Να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε. β) Να βρείτε την επικρατούσα τιμή. γ) Να βρείτε τη διάμεσο. δ) Τι ποσοτό οικογενειών έχει τρία παιδιά; ε) Πόσες οικογένειες έχουν μέχρι και δύο παιδιά; ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση α) Να βρείτε το β) Να βρείτε το limf(x). x 9 + limf(x) x 9. x 18, f ( x) = x 3 λx + 3, x > 9 x 9 όπου λ R. Μονάδες 1 γ) Να βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο x 0 = 9. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f:r R με f(x) = x 3-9x + αx + β με α, β R α) Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f. β) Αν f (1) = 0 και f() = 5, να βρείτε τα α και β. Μονάδες 10 γ) Για τις τιμές των α και β που βρήκατε στο ερώτημα (β), να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 10 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 1

10 ΘΕΜΑ 4ο Το άθροισμα του μήκους και του πλάτους ενός οικοπέδου, σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου, είναι 00 μέτρα. Αν το μήκος του είναι x μέτρα: α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του οικοπέδου ως συνάρτηση του x δίνεται από τον τύπο E(x) = -x + 00x. β) Για ποιά τιμή του x το εμβαδόν του οικοπέδου γίνεται μέγιστο; Μονάδες 10 γ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού του οικοπέδου. Μονάδες 10 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

11 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο α) Αριθμός παιδιών Συχνότητα ν i Αθροιστική Συχνότητα Σχ. Συχνότητα (%) f i Αθροίσματα β) Η επικρατούσα τιμή είναι 1 αφού έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα. γ) Αφού το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 5 διάμεσος είναι η 13η παρατήρηση δηλ. η. δ) Τρία παιδιά έχουν 16% των οικογενειών. ε) Μέχρι και δύο παιδιά έχουν = 16 οικογένειες. ΘΕΜΑ ο α) Έχουμε: lim x 9+ f ( x) = lim x 9+ x 18 = 3 3 (x 18)( lim ( x 3)( x 9+ x + 3) x + 3) = ( x 9)( x + 3) = lim x 9+ ( x) 3 = lim x 9+ ( x 9)( x + 3) x 9 = lim ( x 9+ x + 3) = = ( 9 + 9) = (3 + 3) = 1 β) Είναι lim f ( x) = lim (λx + 3) = 9λ + 3. x 9 x 9 γ) Η f είναι συνεχής στο x 0 = 9 αν και μόνο άν lim x 9 f ( x) = lim f ( x) = x 9+ f (9) δηλαδή 9λ + 3 = 1 = 9λ + 3 ή 9λ + 3 = 1 ή 9λ = 9. Άρα λ = 1. ΘΕΜΑ 3ο α) Η συνάρτηση f ως πολυωνυμική είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σ' όλο το R, με παράγωγο f (x) = (x 3-9x + αx + β) = 6x - 18x + α. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3

12 β) Επειδή f (1) = 0, έχουμε α = 0 ή α = 0 ή α = Άρα α = 1. Για την τιμή α = 1 ο τύπος της f γράφεται: f(x) = x 3-9x + 1x + β Επειδή τώρα είναι f() = 5, έχουμε β = 5 ή β = 5 ή β = Άρα β = 1. γ) Για τις τιμές α = 1 και β = 1 ο τύπος της f(x) γράφεται Οπότε f(x) = x 3-9x - 1x + 1. f (x) = 6x - 18x + 1 = 6(x - 3x + ) = 6(x - 1)(x - ). Από την εξίσωση f (x) = 0 έχουμε 6(x - 1)(x - ) = 0 Άρα x = 1 ή x = Κατασκευάζουμε πίνακα μεταβολών Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (-, 1] γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [1, ] γνησίως αύξουσα στο διάστημα [,+ ). ΘΕΜΑ 4ο α) Αφού το άθροισμα του μήκους και του πλάτους του οικοπέδου είναι 00 μέτρα και με δεδομένο ότι το μήκος είναι x μέτρα, προκύπτει ότι το πλάτος θα ήταν (00 - x) μέτρα. Επομένως, το εμβαδόν θα είναι: Ε(x) = x (00 - x) = -x + 00x. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4

13 β) Παραγωγίζοντας την E(x) έχουμε: Ε'(x) = -x + 00 = - (x - 100), 0 < x < 00. Είναι: E'(x) = 0 x = 100 Ε'(x) > 0 0 < x < 100 Ε'(x) < 0 x < 100 < 00 H E(x) επομένως είναι γνησίως αύξουσα στο (0,100] και γνησίως φθίνουσα στο [100,00). Άρα γίνεται μέγιστη όταν x = 100 μέτρα. γ) Η μέγιστη τιμή του Ε(x) είναι: Ε(100) = = = τ.μ. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Ερωτήθηκαν 50 μαθητές ενός σχολείου για τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν στις διακοπές. Τα αποτελέσματα της έρευνας φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Τιμές x i Συχνότητα v i Αθροιστική Συχνότητα Αθροίσματα x i v i α) Να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε. Μονάδες 8 β) Να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. γ) Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεων. δ) Να βρείτε το εύρος των τιμών. Μονάδες 8 Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: x 1, x < 1 x 1 f(x) = κx + μ, 1 x 1 x + x lnx, x > 1 όπου κ, μ πραγματικοί αριθμοί. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 1

15 α) Να βρείτε το lim f(x) x 1 β) Να βρείτε το lim f(x) + x 1 γ) Να βρείτε το lim f(x) x 1 δ) Να βρείτε το lim f(x) + x 1 Μονάδες 4 Μονάδες 4 Μονάδες 4 Μονάδες 4 ε) Να βρείτε τα κ και μ, ώστε να υπάρχουν ταυτόχρονα τα lim f(x) x 1 και lim f(x) x 1 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f:, της οποίας η πρώτη παράγωγος έχει τύπο: f (x) = x x. α) Να δείξετε ότι f (0) = 0 και f () = 0. Μονάδες 4 β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 6 γ) Να βρείτε την f (x) Μονάδες 6 δ) Για ποιες τιμές του x η f παρουσιάζει ακρότατα και ποιο είναι το είδος των ακρότατων; Μονάδες 4 ε) Αν f(0) = 005, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

16 ΘΕΜΑ 4ο Μια ομάδα βιολόγων προτείνει να ληφθούν μέτρα για τη διάσωση ενός είδους δελφινιών. Μετά την εφαρμογή των μέτρων εκτιμάται ότι ο αριθμός των δελφινιών εκφράζεται από τη συνάρτηση Ν(t) = t 3 t + 5t , 0 t 10, όπου t ο χρόνος σε έτη. α) Πόσα δελφίνια υπάρχουν κατά την έναρξη εφαρμογής των μέτρων (t = 0); β) Να βρείτε το ρυθμό αύξησης του πληθυσμού των δελφινιών. Μονάδες 8 γ) Να βρείτε το ρυθμό αύξησης του πληθυσμού των δελφινιών το δεύτερο έτος. Μονάδες 7 δ) Πόσα δελφίνια θα υπάρχουν σε δέκα (10) έτη; Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3

17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο α) Τιμές Συχνότητα Αθροιστική x i v i x i v i Συχνότητα Αθροίσματα β) Η μέση τιμή είναι: x = xi vi = = 1, i= 0 γ) Η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα της 5 ης και της 6 ης παρατήρησης. t5 + t6 1 + Έτσι δ = = = 1,5. δ) Το εύρος είναι 4 0 = 4. ΘΕΜΑ ο x 1 x 1 (x 1)(x + 1) (x 1) α) Είναι lim f(x) = lim = lim = lim (x + 1) = 0. x 1 x 1 x 1 β) Είναι lim f(x) = lim (κx + μ) = κ + μ. + x 1 + x 1 γ) Είναι lim f(x) = lim (κx + μ) = κ + μ. x 1 x 1 δ) Είναι lim f(x) = lim (x + x lnx) = = 8. + x 1 + x 1 ε) Τα όρια lim f ( x) και lim f ( x) υπάρχουν αν και μόνο αν x 1 x 1 lim f ( x) = lim f ( x), δηλαδή x 1 + x 1 0 = κ + μ κ μ = 0 (1). lim f ( x) = lim f ( x) δηλαδή κ + μ = 8 (). x 1 + x 1 x 1 Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και () και βρίσκουμε: κ μ = 0 κ = 8 κ = 4 κ + μ = 8 κ μ = 0 μ = 4 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4

18 ΘΕΜΑ 3ο α) Στον τύπο f (x) = x x θέτοντας x = 0, x = παίρνουμε αντίστοιχα f (0) = 0 0 = 0 f () = = 0 β) f (x) = x x = x(x ). Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών: x f'(x) f(x) Προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (-, 0], [, + ) ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0, ]. γ) f (x) = (x x) = x, x δ) Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση x 1 = 0, ενώ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση x =. x 3 ε) Η παράγουσα της f (x) = x x είναι x + c, c. Οπότε 3 x f(x) = x + c Όμως f(0) = 005. Άρα 0 + c = 005 c = x Έτσι προκύπτει f(x) = x + 005, x. 3 ΘΕΜΑ 4ο 3 α) Ο αριθμός των δελφινιών που υπάρχουν κατά την έναρξη εφαρμογής των μέτρων, δηλαδή τη χρονική στιγμή t = 0 είναι: Ν(0) = = β) Ο ρυθμός αύξησης των δελφινιών είναι: Ν (t) = (t 3 t + 5t ) = 6t t + 5. γ) Ο ρυθμός αύξησης των δελφινιών το δεύτερο έτος είναι: 3 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5

19 Ν () = = = = 5. δ) Μετά από δέκα (10) χρόνια θα υπάρχουν: Ν(10) = = = = = = 950 δελφίνια. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6

20 006 5 μ μ : 6, 4,, 8, 0 +,. μ (CV) 0% (s) 4, : ) μ μ x 0. ) μ μ μ. 7 0 ) μ μ, μ μ. 5 ) μ μ. 3 f μ : 3 f(x) 4x x 006, x. ) f. ) μ μ f x. ) f μ : Keystone

21 3, μ μ f μ : x 4, x f(x) 4, x, x x x. ) ) lim f ( x) x lim f ( x) x 8 5 ), f x 0 =. 8 ) μ μ, μ f(0) f(3). 4 4, μ, μ μ. μ x μ 50cm. ) μ x E(x) x(50 x), 0 x ) μ x μ (x) μ. ) μ μ (x). 5 : Keystone

22 ) s s 4 CV x. x 0. x CV 0, ) x ) = 0, μ : 4, 6, 8,, 30. 5, μ 3. = 8. ) μ CV = 0% μ 0%, μ μ. ) f(x) = 4x 3 x F(x) = x 4 6x + 006x + C μ C. ) μ μ f x f(x) = x. ) μ f(x) μ μ μ f(x) = 0 x = 0 (x ) = 0 (x ) (x + ) = 0 x = x =. μ μ x - f f : Keystone 3

23 μ f μ (, ] μ [, ] μ [, +). 3 ) x 4 x 4 (x )(x ) lim f(x) lim lim lim x x x x x x (x ) lim (x ) 4. x ) lim f(x) lim(x ). - - x x ) f x 0 = μ lim f ( x) lim f ( x) f (). 4 4 x x ) μ = = f : x 4 (x )(x ) x x x (x ) f(x) 4 x 4 x x x x x (x ) x (-,) (, ) 4 x. f(0) (0 ) f(3) (3 ) 5. : Keystone 4

24 4 ) μ x μ 50cm μ: + x = 50. μ μ E x x (50 x) μ 0 x 50. x ) E'(x) (50x x ) (50 x) 5 x. ' μ : E '( x) 0 5 x 0 μ x = 5 cm. μ μ. x 0 E E μ μ (x) μ x = 5. ) μ x = 5 μ μ μ : 65 E(5) 5 (50 5) 5 5 cm. : Keystone 5

25 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ TEE 007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Οι χρόνοι καθυστερήσεων που παρατηρήθηκαν σε 5 δρομολόγια ενός οργανισμού σιδηροδρόμων δίνονται από το παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων: νi t (min) Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 1

26 α. Να μεταφέρετε τον παρακάτω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε με τη βοήθεια του παραπάνω ιστογράμματος συχνοτήτων. Διάστημα Συχνότητα ν i Μέσο διαστήματος Κ i ν i K i Σχετική συχνότητ α f i % Σχετική αθροιστική συχνότητα % [, 4) [ 4, 6) [ 6, 8) [ 8, 10) [10,1) Αθροίσματα Μονάδες 10 β. Να βρείτε το μέσο χρόνο καθυστερήσεων των δρομολογίων. γ. Πόσα δρομολόγια είχαν καθυστέρηση τουλάχιστον 6 λεπτά; δ. Ποιο είναι το ποσοστό των δρομολογίων που είχαν καθυστέρηση λιγότερο από 8 λεπτά; ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με: 3 x 4x +3x αν x <0 x x f( x) = 3+ β αν x=0 x e α αν x>0 όπου α, β. α. Να βρείτε το β. Να βρείτε το lim f(x). - x 0 lim f(x). + x 0 Μονάδες 8 Μονάδες 4 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

27 γ. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε να υπάρχει το lim f(x). x 0 Μονάδες 8 δ. Για την τιμή α=4 να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό β, ώστε η f να είναι συνεχής στο x=0. ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f: με f(x) = x +kx+λ, k,λ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 =1 και το σημείο Α(1,0) ανήκει στη γραφική της παράσταση, α. να δείξετε ότι k= και λ=1. β. να υπολογίσετε τη δεύτερη παράγωγο f της f. γ. να δείξετε ότι για κάθε x ισχύει: f(x)+f (x) + f (x)>0. Μονάδες 1 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)=10 lnx 5x, x>0. α. Να βρείτε την παράγωγο f της f. β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 8 γ. Για ποια τιμή του x η f παρουσιάζει ακρότατο. Να προσδιορίσετε το είδος του ακροτάτου και να το υπολογίσετε. Μονάδες 8 δ. Να δείξετε ότι f(x) 5, για κάθε x>0. Μονάδες 4 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3

28 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο α. Διάστημα Συχνότητα ν i Μέσο διαστήματος Κ i ν i K i Σχετική συχνότητ α f i % Σχετική αθροιστική συχνότητα % [, 4) % 1% [ 4, 6) % 36% [ 6, 8) % 68% [ 8, 10) % 88% [10,1) % 100% Αθροίσματα % β. Μέσος Χρόνος Καθυστερήσεων = = 173 = 6,9 λεπτά. 5 5 γ. Τα δρομολόγια που είχαν καθυστέρηση τουλάχιστον 6 λεπτά είναι στο πλήθος: = 16. δ. Το ποσοστό των δρομολογίων που είχαν καθυστέρηση λιγότερο από 8 λεπτά είναι: 68%. ΘΕΜΑ ο α. Για x < 0 είναι: 3 x 4x + 3x x(x 4x + 3) x(x 1)(x 3) f (x) = = = = x 3. x x x(x 1) = x(x 1) Άρα lim f (x) = lim (x 3) = 0 3 = 3 x 0 x 0 β. Για x > 0 είναι: f (x) = e x α. Άρα lim f (x) = lim x 0 + x 0 + (e x α) = e 0 α = 1 α. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4

29 γ. Το lim f (x) x 0 lim f (x) = x 0 υπάρχει όταν και μόνον: lim f (x) 3= 1 α α = 4. x 0 + Τότε lim f (x) = 3. 0 x δ. Για α = 4 υπολογίστηκε ότι lim f (x) = 3. 0 x Η f θα είναι συνεχής στο x = 0 όταν και μόνον: lim f (x) = f (0) 3= 3 + β β = 0. x 0 ΘΕΜΑ 3ο α. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με f (x) = x + κ. Αφού παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 = 1 είναι f (1) = κ = 0 κ =. Αφού το Α (1, 0) C f είναι f (1) = κ 1 + λ = 0 λ = κ 1 = ( ) 1 = 1. Έτσι f (x) = x x + 1, f (x) = x. β. f (x) = (x ) =, x. γ. f (x) + f (x) + f (x) = x x x + = x + 1 > 0 για κάθε x. ΘΕΜΑ 4ο α. Η f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο (0, + ) με f '(x) = (10lnx 5x )' =. β. Από την εξίσωση f ' (x) = 0 βρίσκουμε: ( x)( 1+ x) x 10 1 f (x) = 0 10x = 0 = 0 = 0 x = 1 ή x = 1. x x x Η τιμή x = 1 απορρίπτεται, αφού x > 0. Κατασκευάζουμε πίνακα μεταβολών: Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5

30 f f Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα έχουμε ότι: H f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0, 1]. H f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [1, + ). γ. Η f παρουσιάζει μέγιστο στη θέση x = 1 και είναι f (1) = 5. δ. Αφού η f παρουσιάζει στη θέση x = 1 μέγιστο το f (1) = 5, προκύπτει ότι: f (x) f (1) = 5 για κάθε x > 0. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6

31 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B' ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΕ 008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o Οι βαθμοί ενός μαθητή σε πέντε μαθήματα ήταν: 8, 14, 0, 1, 16 α. Να υπολογισθεί η μέση βαθμολογία του μαθητή. Μονάδες 4 β. Να προσδιορισθεί η διάμεσος. Μονάδες 3 γ. Να υπολογισθεί η τυπική απόκλιση. Μονάδες 6 δ. Να υπολογισθεί το εύρος. Μονάδες 3 ε. Να υπολογισθεί ο συντελεστής μεταβλητότητας και στη συνέχεια να εξεταστεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ o Δίνεται η συνάρτηση f με: x 1, f(x) = λ(x 1) 1, 3x 1 αν 0 x < 1 αν x 1 όπου λ 0. α. Να υπολογισθεί το lim f(x) x 1 β. Να υπολογισθεί το lim f(x) + x 1 Μονάδες 10 Μονάδες 6 γ. Να υπολογισθεί η τιμή του λ έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στη θέση x 0 = 1. Μονάδες 9 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 1

32 ΘΕΜΑ 3o Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = e λx, όπου λ πραγματικός αριθμός. α. Να βρεθούν οι f (x) και f (x). Μονάδες 6 β. Να προσδιορισθούν οι τιμές του λ, ώστε για κάθε πραγματικό αριθμό x να ισχύει: f (x) f (x) f(x) = 0 Μονάδες 9 γ. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία όταν i) λ =, ii) λ = 1. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4o 1 3 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = x x + 3x α. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος f της f. β. Να εξεταστεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 6 Μονάδες 1 γ. Να δειχθεί ότι f(x) 008 για κάθε πραγματικό αριθμό x, όπου x [1,+ ). Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

33 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o α. Η μέση τιμή είναι x = = = β. Διατάσσουμε κατ' αύξουσα σειρά τους βαθμούς του μαθητή: 8, 1, 14, 16, 0. Έτσι προκύπτει ότι η διάμεσος είναι 14. γ. Η τυπική απόκλιση είναι s = (8 14) + (14 14) + (0 14) = = = (1 14) + (16 14) = δ. Εύρος = 0 8 = 1. ε. s 4 1 CV = = = > x Άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. ΘΕΜΑ o α. Είναι x 1 ( x 1) ( x + 1) lim f(x) = lim = lim = 1 x 1 λ (x 1) x 1 λ (x 1) ( x + 1) x (x 1) lim = x 1 λ (x 1) ( x + 1) = 1 λ. β. Είναι lim f(x) = x lim = x 1 x Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3

34 γ. Η f είναι συνεχής στη θέση x 0 = 1 αν και μόνο αν lim f(x) = x 1 lim f(x) = f(1). x Δηλαδή = =. λ 1 1 Επομένως =. λ Άρα λ = 1. ΘΕΜΑ 3o α. Είναι: f (x) = (e λx ) = λ e λx και f (x) = (λ e λx ) = λ e λx. β. Από τη δοσμένη σχέση: f (x) f (x) f(x) = 0 με αντικατάσταση των: f (x) = λ e λx, f (x) = λ e λx και f(x) = e λx έχουμε: λ e λx λ e λx e λx = 0 e λx (λ λ ) = 0 λ λ = 0 (λ = ή λ = 1). γ. Για την τιμή λ = η f(x) γράφεται: f(x) = e x. Είναι: f (x) = e x και επειδή e x > 0 για κάθε x, προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Για την τιμή λ = 1 η f(x) γράφεται: f(x) = e x. Είναι: f (x) = e x και επειδή e x > 0 για κάθε x, προκύπτει ότι e x < 0 για κάθε x. Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο. ΘΕΜΑ 4o α. Είναι f (x) 1 = x 3 3 x ' + 3x = 1 = (3x ) (x) + 3 = x 4x + 3, x R. 3 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4

35 β. Είναι f (x) = (x 1)(x 3) οπότε προκύπτει ο επόμενος πίνακας μεταβολών: x - f f τ.μ. τ.ε. Δηλαδή: Η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, 1] και [3, + ) ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [1, 3]. Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1 και τοπικό ελάχιστο στο 3. γ. Από τον πίνακα μεταβολών προκύπτει ότι f (x) f (3) = 008 για κάθε x [1, + ). Πιο αναλυτικά: i) Για 1 x 3 αφού f γνησίως φθίνουσα έπεται: f (1) f (x) f (3). ii) Για x 3 αφού f γνησίως αύξουσα έπεται: f (x) f (3). Άρα για κάθε x [1, + ) είναι f(x) f(3) = 008. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5

36 ΘΕΜΑ 1ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑΔΑ Α ) 009 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Δίνεται συνάρτηση f : A (A ) και x 0 A. Πότε λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 0 ; Μονάδες 7 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν η τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας (μεταβολής) ενός δείγματος παρατηρήσεων είναι μικρότερη του 10%, τότε ο πληθυσμός του δείγματος θεωρείται oμοιογενής. Μονάδες 3 β. (συν x) = ημ x Μονάδες 3 γ. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (a, b). Αν f '( x) < 0 για κάθε x (a, b), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (a, b). Μονάδες 3 b δ. c dx = c ( b a), όπου c σταθερά. a Μονάδες 3 Γ. Αν οι συναρτήσεις f, g : A είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους A, τότε να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες και να τις συμπληρώσετε: α. (f g) (x) =... Μονάδες β. (c f ) (x) =... όπου c σταθερά. Μονάδες γ. b 1 dx =... με b > a > 0 a x Μονάδες Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 1

37 ΘΕΜΑ ο Ρωτήθηκαν 5 μαθητές μιας τάξης ενός Λυκείου πόσα λογοτεχνικά βιβλία διάβασαν την περσινή χρονιά. Οι απαντήσεις τους φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Βιβλία x i Μαθητές ν i Αθροίσματα Σχετική Συχνότητα f i % Αθροιστική Συχνότητα Αθροιστική Σχετική Συχνότητα % x i ν i A. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον πίνακα και να τον συμπληρώσετε. Β. Να υπολογίσετε τη διάμεσο. Μονάδες 10 Γ. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή. Δ. Ποιο είναι το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον δύο () βιβλία; ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f : με τύπο f ( x) = x + 6x + 8 A. Να υπολογίσετε την f '( x) Μονάδες 4 Β. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. Μονάδες 8 Γ. Για ποια τιμή του x η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο; Να βρείτε το είδος του ακροτάτου. Μονάδες 6 Δ. Να υπολογίσετε το 3 0 f ( x) dx Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

38 ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η συνάρτηση f: με τύπο x όπου a = lim x x + x 1 3 f ( x) = x + 4 x + ae A. Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού a. Β. Για a = 1 α. Να υπολογίσετε την f '( x) x β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο γ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = και x = 4, είναι ίσο με e e τ.μ. Μονάδες 10 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3

39 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α) Θεωρία: Ορισμός σελ. 134 σχολικού βιβλίου. Β) α β γ δ Σ Λ Λ Σ Γ) α) (f g) (x) = f (x) g(x) + f (x) g (x). β) (c f ) (x) = c f (x). β1 β β dx = ln x α = ln β ln α = ln α x α γ) [ ]. ΘΕΜΑ ο Α) Βιβλία x i Μαθητές v i Σχετική Συχνότητα f i % Αθροιστική Συχνότητα Αθροιστική Σχετική Συχνότητα % Αθροίσματα Β) Από τον πίνακα προκύπτει ότι η διάμεσος τιμή (13η τιμή σε αύξουσα ταξινόμηση) είναι δ = 3. x i v i Γ) v1 x1 + v x + v3x3 + v4 x4 68 x = =. v + v + v + v Δ) Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον βιβλία είναι ( )% = 84% Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4

40 ΘΕΜΑ 3 ο Α) Είναι f ( x) = ( x + 6x + 8) = x + 6 Β) Έχουμε ότι f (x) = x + 6 και τον ακόλουθο πίνακα μεταβολών.. x - 3 f + - f + Γ) Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα μεταβολών η f παρουσιάζει στο x 0 = 3 τοπικό μέγιστο. Δ) Είναι 3 3 x x ( x + 6x + 8) dx = x = x = 3 + 3x + 8x 3 0 = = = [ ] = 4. []= ΘΕΜΑ 4ο x + 3x + ( x + 1)( x + ) Α) Είναι: a = lim = lim = lim ( x + ) = 1. x 1 x + 1 x 1 ( x + 1) x 1 Β) α) Για α = 1 είναι f (x) = x 3 + 4x + e x. Έτσι f (x) = 3x e x. β) Επειδή είναι 3 x + 4 > 0 για κάθε x, καθώς επίσης και e x > 0 για κάθε x, προκύπτει ότι f (x) > 0, για κάθε x. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5

41 γ) Επειδή f είναι γνησίως αύξουσα στο θα έχουμε ότι: Αν x 4 f () f (x) f (4) e f (x) e 4 0 < 16 + e f (x) 80 + e 4. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: x x f ( x) dx = ( x + 4x + e ) dx = + x 4 = ( e 4 ) (4 + + e ) = = 84 + e 4 e τ.μ. + e x 4 = Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6

42 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑΔΑΣ 010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α1. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της; Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η μέση τιμή δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές της μεταβλητής. β) Αν υπάρχει το lim f ( x) x x0 και είναι l R, τότε lim f( x) = l. γ) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 0. a δ) Ισχύει ότι: f ( x ) dx= a, για κάθε a R. a Μονάδες 1 Α3. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες και να τις συμπληρώσετε: f α) ( x) =, με g(x) 0. g β) ( x ) =, με x > 0. x x0 x γ) ( e ) = δ) (συν x) =... Μονάδες 8 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 1

43 ΘΕΜΑ Β. Οι ημέρες απουσίας 50 υπαλλήλων μιας εταιρείας από την εργασία τους, τον περασμένο μήνα, φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Ημέρες απουσίας x i Υπάλληλοι ν i Αθροίσματα Σχετική Συχνότητα f i % Αθροιστική Συχνότητα Αθροιστική Σχετική Συχνότητα % x i ν i B1. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον πίνακα και να τον συμπληρώσετε. Β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή της μεταβλητής x. Μονάδες 10 Β3. Να υπολογίσετε τη διάμεσο της μεταβλητής x. Β4. Να βρείτε το πλήθος και το ποσοστό των υπαλλήλων που απουσίασαν από έως και 4 ημέρες. ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση x x+ 3 4, x < 1 x 1 f( x) = x+ 3 + α, x 1, όπου α R Γ1. Να υπολογίσετε το Γ. Να υπολογίσετε το lim f( x). x 1 lim f( x). + x 1 Μονάδες 7 Μονάδες 7 Γ3. Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α, ώστε η f να είναι συνεχής στο x 0 = 1 Γ4. Για α = 3, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A = 3 f (0) + f (6) Μονάδες 6 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

44 ΘΕΜΑ Δ. Δίνεται η συνάρτηση 1 5 = + + β με αβ R., 3 3 f( x) x x α x Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο x 0 = και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α (0,1), τότε: Δ1. Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών α και β. Μονάδες 8 Δ. Για α = 6 και β = 1, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 6 Δ3. Για α = 6 και β = 1, να βρείτε τις θέσεις, το είδος και τις τιμές των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f. Μονάδες 6 Δ4. Για α = 6 και β = 1, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1 f ( xdx ) Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3

45 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A1. (Θεωρία). Μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το όριο: f( x0 + h) f( x0) lim h 0 h και είναι πραγματικός αριθμός. Τότε συμβολίζουμε το όριο αυτό f (x 0 ) και το ονομάζουμε παράγωγο της f στο x 0. A. α. Λ β. Σ γ. Σ δ. Λ '( ) ( ) ( ) '( ) A3. α. f ( ) f x g x f x x = g x g ( g( x)) 1 β. ( x ) =, με x > 0. x x x γ. ( e ) = e, x R. δ. (συν x) = ημ x, x R. με g(x) 0. ΘΕΜΑ Β Β1. Ημέρες απουσίας x i Υπάλληλοι ν i Σχετική Συχνότητα f i % Αθροιστική Συχνότητα Αθροιστική Σχετική Συχνότητα % x i ν i % % % % % % Αθροίσματα % 100 ν 3 = 50 ( ) = 15. ν1x1+ νx + ν3x3 + ν4x4 + ν5x5 + ν6x Β. x = = = =. ν Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4

46 x5 + x6 + Β3. Επειδή ν = 50 είναι δ = = =. Β4. Το πλήθος των υπαλλήλων που απουσίασαν από έως και 4 ημέρες είναι ν 3 + ν 4 + ν 5 = = 30. Το αντίστοιχο ποσοστό είναι 60 %. ΘΕΜΑ Γ Γ1. Είναι: x 4x+ 3 ( x 1)( x 3) x 3 lim f( x) = lim = lim = lim = 1. x 1 ( x 1)( x+ 1) x+ 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Γ. Είναι: lim f( x) = lim( x+ 3 + a) = a x 1 x 1 Γ3. Η f είναι συνεχής στο x 0 = 1 αν και μόνο αν είναι lim f ( x) = lim f( x) = f(1). + x 1 x 1 Από την τελευταία έχουμε: 1 = α + = α +. Οπότε α + = 1 α = 3. Γ4. Για την τιμή α = 3 έχουμε: A= 3 f(0) + f(6) = 3 + ( ) = = = 9. 3( 3) + (3 3) = ΘΕΜΑ Δ Η f ως πολυωνυμική είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R. Δ1. Επειδή η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο x 0 = είναι f () = 0. Όμως f (x) = x 5x + α. Οπότε α = α = 0 α = 6. Επειδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α (0, 1) θα είναι f (0) = 1 β = 1. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5

47 Δ. Για τις τιμές α = 6 και β = 1 ο τύπος της f γράφεται: f( x) = x x + 6x+ 1 με 3 f ( x) = x 5x+ 6. Από την εξίσωση f (x) = 0 έχουμε: x 5x + 6 = 0 (x ) (x 3) = 0. Βρίσκουμε x = ή x = 3. Κατασκευάζουμε τον πίνακα μεταβολών x f f Επομένως η f είναι: γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ]. γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, 3]. γνησίως αύξουσα στο διάστημα [3, + ). Δ3. Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα μεταβολών έχουμε: 17 στη θέση x = τοπικό μέγιστο το f () = στη θέση x = 3 τοπικό μέγιστο το f (3) =. Δ4. Είναι: f ( x)dx= x dx x + 6x+ 1 dx = x dx x dx+ 6 xdx+ dx= x 5 x x = [ x] = [ 1] = = = + + 1= Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6

48 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑΔΑΣ 011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α1. Τι ονομάζεται εύρος μιας μεταβλητής; Μονάδες 6 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η μέση τιμή (μέσος όρος) υπολογίζεται μόνο σε ποσοτικές μεταβλητές. (Μονάδες ) β) Αν υπάρχουν τα lim x x0 [ f( x) g( x) ] lim f ( x), x x0 = l l 1 limg( x) x x0 και είναι l 1, l R αντίστοιχα, τότε γ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, τότε ισχύει: ( f g)'( x) = f '( x) g'( x), x R δ) Ισχύει ότι β ημ x d x= συν β συν α. α (Μονάδες ) (Μονάδες ) (Μονάδες ) ε) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και f (x) > 0 για κάθε x (α, β), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β). (Μονάδες ) Μονάδες 10 Α3. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες και να τις συμπληρώσετε: α) (ln x) =., με x > 0 (Μονάδες 3) β) (ημ x) =. (Μονάδες 3) a γ) Αν f συνεχής στο R με a R, τότε f ( x )d x = (Μονάδες 3) α Μονάδες 9 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 1

49 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f : R R με τύπο: Β1. Να βρείτε το Β. Να βρείτε το lim f( x) x 4 lim f( x) + x 4 + x 7x 1 αν x < 4 x 4 f( x) = α αν x = 4 x 4 3 αν x > 4 x Β3. Να βρείτε για ποια τιμή του a R η f είναι συνεχής στο x 0 = 4. Μονάδες 10 Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται το παρακάτω ιστόγραμμα, που αφορά τις ηλικίες 40 εργαζομένων σε μια επιχείρηση. Συχνότητα V i Ηλικίες σε έτη Γ1. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον πίνακα που ακολουθεί και να τον συμπληρώσετε με βάση το παραπάνω ιστόγραμμα. Ηλικίες [, ) [5,35) [35,45) [45,55) [55,65) Σύνολα Μέσο διαστήματος K i Συχνότητα v i K i v i Αθροιστική Συχνότητα N i Σχετική Συχνότητα f i % Μονάδες 10 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

50 Γ. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των ηλικιών των εργαζομένων. Γ3. Πόσοι εργαζόμενοι έχουν ηλικία τουλάχιστον 45 ετών; Γ4. Τί ποσοστό εργαζομένων έχουν ηλικία κάτω των 35 ετών; ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x 3 6x + 9x + 1 με x. Δ1. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία στο πεδίο ορισμού της. Μονάδες 6 Δ. Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f. 3 Δ3. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Ι= f '( x) dx 1 Μονάδες 6 Δ4. Αν g(x) = 3x 1x + 9 με x, να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τον άξονα x x και τις ευθείες με εξισώσεις x = 0 και x = 3. Μονάδες 8 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3

51 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία: Εύρος μιας μεταβλητής είναι η διαφορά της μικρότερης από τη μεγαλύτερη τιμή της μεταβλητής. Α. α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ. Α3. 1 α) ( ln x ) =, με x> 0. x β) (ημ x) = συν x. γ) Αν f συνεχής στο R με α R, τότε f( x) dx= 0. α α ΘΕΜΑ Β Β1. Για x < 4 είναι: x 7x+ 1 ( x 3)( x 4) f( x) = = = x 3. x 4 x 4 Έτσι lim f( x) = lim( x 3) = 4 3= 1. x 4 x 4 Β. Για x > 4 είναι: x 4 ( x 4)( x + ) ( x 4)( x + ) f( x) = 3= 3= 3= x + 3= x 1. x ( x )( x + ) x 4 Έτσι lim f( x) = lim( x 1) = 4 1= x 4 x 4 Β3. Για να είναι συνεχής η f στο x 0 = 4, πρέπει και αρκεί: lim f( x) = lim f( x) = f(4) a = 1. ΘΕΜΑ Γ Γ1. + x 4 x 4 Ηλικίες [, ) Μέσο διαστήματος K i Συχνότητα v i K i v i Αθροιστική Συχνότητα N i Σχετική Συχνότητα f i % [5,35) ,5 [35,45) [45,55) ,5 [55,65) Σύνολα Γ. Από τον πίνακα του προηγούμενου ερωτήματος προκύπτει: x = = Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4

52 Γ3. Από τον ίδιο πίνακα προκύπτει ότι ηλικία τουλάχιστον 45 ετών έχουν: = 1 εργαζόμενοι. Γ4. Από τη στήλη της σχετικής συχνότητας του πίνακα προκύπτει ότι ηλικία κάτω των 35 ετών έχουν το 17,5 % των εργαζομένων. ΘΕΜΑ Δ Δ1. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με: ( ) ( ) 3 f ( x) = x 6x + 9x+ 1 = 3x 1x+ 9= = 3 x 4x+ 3 = 3( x 1) ( x 3), x R. Προκύπτει έτσι ο επόμενος πίνακας μεταβολών. x f T.M. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, 1], [3, + ) και γνησίως φθίνουσα στο [1, 3]. Δ. Από τον πίνακα μεταβολών προκύπτει ότι η f έχει τοπικό μέγιστο στη θέση x 1 = 1, την τιμή f (1) = 5, ενώ έχει και τοπικό ελάχιστο στη θέση x = 3, την τιμή f (3) = 1. 3 Δ3. Είναι [ ] T.E. 3 f '( x ) d x f ( x ) f 1 (3) f (1) Ι= = = = = Δ4. Το ζητούμενο εμβαδόν υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα: 3 0 gx ( ) dx Όμως επειδή είναι g(x) = f (x) γνωρίζουμε από τον πίνακα προσήμων της f (x) ότι είναι α) για x [0, 1]: g(x) = f (x) 0. β) για x [1, 3]: g(x) = f (x) 0. Έτσι είναι: [ ] [ ] E= gx ( ) d x+ gx ( ) d x= gx ( )d x gx ( )d x= f( x) f( x) = = f(1) f(0) f(3) + f(1) = = 8 τ.μ Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5

53 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑΔΑΣ 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; Μονάδες 6 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 0. (Μονάδες ) β) Το εύρος ως παράμετρος διασποράς εξαρτάται μόνο από τις ακραίες τιμές της μεταβλητής. (Μονάδες ) γ) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [α, β]. Τότε ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα για το ορισμένο ολοκλήρωμα: γ γ β f( x) dx+ f( x) dx= f( x) dx, με α < γ < β. (Μονάδες ) α β α δ) Ισχύει ότι: (x α ) = α x α 1, α *, x > 0 (Μονάδες ) ε) Έστω δύο συνεχείς συναρτήσεις f, g: [α, β] με συνεχείς παραγώγους f, g. Τότε ισχύει ότι: β β β f ( xgxdx ) ( ) = [ f( xgx ) ( )] f( xg ) ( xdx ) α α (Μονάδες ) α Μονάδες 10 Α3. Να μεταφέρετε και να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες: β 1 α) dx = με β > α > 0 (Μονάδες 3) α x β) Έστω συναρτήσεις f : Α και g : Β με f (A) B. Αν η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x Α και η g παραγωγίσιμη σε κάθε f (x) B, τότε η σύνθεσή τους gof : A είναι παραγωγίσιμη στο Α και ισχύει ότι: ( gof ) (x) =... (Μονάδες 3) β γ) cdx = α με c σταθερά και α,β (Μονάδες 3) Μονάδες 9 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 1

54 ΘΕΜΑ B Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ημερήσιες ώρες διαβάσματος 5 μαθητών μιας τάξης ενός ΕΠΑ.Λ. Ημερήσιες ώρες διαβάσματος x i Μαθητές ν i Αθροιστική Συχνότητα N i Σχετική συχνότητα (%) f i % κ 5 κ +1 Σύνολα ν = x i ν i Β1. Να υπολογίσετε τον αριθμό κ. Μονάδες 4 Β. Για κ = 3 να μεταφέρετε και να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα. Μονάδες 8 Β3. Για κ = 3 να υπολογίσετε τη μέση τιμή x και να βρείτε τη διάμεσο δ των παρατηρήσεων. Μονάδες 10 Β4. Για κ = 3 να υπολογίσετε το ποσοστό των μαθητών που διαβάζουν τουλάχιστον 3 ώρες ημερησίως. Μονάδες 3 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f : με τύπο: x 1, αν x > 1 f( x) = x + 3 αx + βx, αν x 1 α, β Γ1. Να υπολογίσετε το Γ. Να υπολογίσετε το lim f( x). x 1 lim f( x). x 1 + Μονάδες 10 Γ3. Να υπολογίσετε τα α και β, ώστε η f να είναι συνεχής στο x 0 = 1 και η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α ( 1, ). Μονάδες 10 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

55 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f : με τύπο: f (x) = 3 x x 1 Δ1. Να βρείτε την παράγουσα F της f, αν F (0) = 1. Δ. Αν F (x) = x 3 x x + 1, x να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της F. Μονάδες 8 Δ3. Να συγκρίνετε τις τιμές F (011) και F (01) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες με εξισώσεις x = 0 και x = 1. Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3

56 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία, σελ. 81 Σχολ. βιβλίου. Α. α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ. β 1 β Α3. α) dx = ln β lnα, β) ( gof ) ( x) = g ( f ( x) ) f ( x), γ) cdx c( ). α x = β α α ΘΕΜΑ Β Β1. Το πλήθος των μαθητών είναι 5, άρα κ + κ + 1 = 5 κ = 3. Β. Ημερήσιες ώρες x i Μαθητές ν i Αθροιστική Συχνότητα v i Σχετική Συχνότητα % f i % x i ν i % % % % % 35 Σύνολο ν = Β3. Μέση τιμή: Από τον προηγούμενο πίνακα προκύπτει ότι: x = = = 3 ώρες. 5 5 Η διάμεσος δ ισούται με τη μεσαία παρατήρηση x 13, η οποία από τη στήλη της αθροιστικής συχνότητας του προηγούμενου πίνακα προκύπτει 3. Είναι δηλαδή δ = x 13 = 3 ώρες. Β4. Το ποσοστό των μαθητών που διαβάζουν 3 ώρες τουλάχιστον ημερησίως, από τον πίνακα προκύπτει = = 56%. 5 5 ΘΕΜΑ Γ Γ1. f x ( x x ) Γ. lim ( ) = lim α + β = α + β. x 1 x 1 ( x 1)( x+ 3+ ) ( )( ) x 1 x 1 x 1 x 1 ( x ) x 1 lim f( x) = lim = lim = lim = 4. x + 3 x+ 3 x+ 3+ Γ3. Η f είναι συνεχής στο x 0 = 1, όταν α + β = 4 (1). Η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α( 1, ) όταν f ( 1) = α( 1) + β( 1) = α β = (). Από (1), () προκύπτει α = 3, β = 1. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4

57 ΘΕΜΑ Δ Δ1. Για την παράγουσα F της f έχουμε: F (x) = x 3 x x + c. Επειδή F(0) = 1 έπεται c = 1 οπότε F (x) = x 3 x x + 1. Δ. Είναι F ( x) = 3x x + 1 = 3(x 1) ( x + 1 ). Προκύπτει έτσι ο επόμενος πίνακας 3 μεταβολής: x F (x) F(x) - -1/ τm. ax τmin. Από τον πίνακα αυτό προκύπτει ότι η F είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, 1 3 ], [1, + ), γνησίως φθίνουσα στο [ 1, 1]. και παρουσιάζει 3 τοπικό μέγιστο F ( 1 3 ) = 3 7 και τοπικό ελάχιστο F (1) = 0. Δ3. Επειδή η F είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [1, + ) και 011, 01 [1, + ) με 011 < 01 προκύπτει ότι F (011) < F (01). Δ4. Είναι ( ) ( 3 1) E Ω = x x dx = x + x + [ x] 0 = = 1 τ.μ Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5

58 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑΔΑΣ 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; Μονάδες 6 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 0. (Μονάδες ) β) Το εύρος ως παράμετρος διασποράς εξαρτάται μόνο από τις ακραίες τιμές της μεταβλητής. (Μονάδες ) γ) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [α, β]. Τότε ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα για το ορισμένο ολοκλήρωμα: γ γ β f( x) dx+ f( x) dx= f( x) dx, με α < γ < β. (Μονάδες ) α β α δ) Ισχύει ότι: (x α ) = α x α 1, α *, x > 0 (Μονάδες ) ε) Έστω δύο συνεχείς συναρτήσεις f, g: [α, β] με συνεχείς παραγώγους f, g. Τότε ισχύει ότι: β β β f ( xgxdx ) ( ) = [ f( xgx ) ( )] f( xg ) ( xdx ) α α (Μονάδες ) α Μονάδες 10 Α3. Να μεταφέρετε και να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες: β 1 α) dx = με β > α > 0 (Μονάδες 3) α x β) Έστω συναρτήσεις f : Α και g : Β με f (A) B. Αν η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x Α και η g παραγωγίσιμη σε κάθε f (x) B, τότε η σύνθεσή τους gof : A είναι παραγωγίσιμη στο Α και ισχύει ότι: ( gof ) (x) =... (Μονάδες 3) β γ) cdx = α με c σταθερά και α,β (Μονάδες 3) Μονάδες 9 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 1

59 ΘΕΜΑ B Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ημερήσιες ώρες διαβάσματος 5 μαθητών μιας τάξης ενός ΕΠΑ.Λ. Ημερήσιες ώρες διαβάσματος x i Μαθητές ν i Αθροιστική Συχνότητα N i Σχετική συχνότητα (%) f i % κ 5 κ +1 Σύνολα ν = x i ν i Β1. Να υπολογίσετε τον αριθμό κ. Μονάδες 4 Β. Για κ = 3 να μεταφέρετε και να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα. Μονάδες 8 Β3. Για κ = 3 να υπολογίσετε τη μέση τιμή x και να βρείτε τη διάμεσο δ των παρατηρήσεων. Μονάδες 10 Β4. Για κ = 3 να υπολογίσετε το ποσοστό των μαθητών που διαβάζουν τουλάχιστον 3 ώρες ημερησίως. Μονάδες 3 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f : με τύπο: x 1, αν x > 1 f( x) = x + 3 αx + βx, αν x 1 α, β Γ1. Να υπολογίσετε το Γ. Να υπολογίσετε το lim f( x). x 1 lim f( x). x 1 + Μονάδες 10 Γ3. Να υπολογίσετε τα α και β, ώστε η f να είναι συνεχής στο x 0 = 1 και η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α ( 1, ). Μονάδες 10 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

60 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f : με τύπο: f (x) = 3 x x 1 Δ1. Να βρείτε την παράγουσα F της f, αν F (0) = 1. Δ. Αν F (x) = x 3 x x + 1, x να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της F. Μονάδες 8 Δ3. Να συγκρίνετε τις τιμές F (011) και F (01) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες με εξισώσεις x = 0 και x = 1. Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3

61 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία, σελ. 81 Σχολ. βιβλίου. Α. α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ. β 1 β Α3. α) dx = ln β lnα, β) ( gof ) ( x) = g ( f ( x) ) f ( x), γ) cdx c( ). α x = β α α ΘΕΜΑ Β Β1. Το πλήθος των μαθητών είναι 5, άρα κ + κ + 1 = 5 κ = 3. Β. Ημερήσιες ώρες x i Μαθητές ν i Αθροιστική Συχνότητα v i Σχετική Συχνότητα % f i % x i ν i % % % % % 35 Σύνολο ν = Β3. Μέση τιμή: Από τον προηγούμενο πίνακα προκύπτει ότι: x = = = 3 ώρες. 5 5 Η διάμεσος δ ισούται με τη μεσαία παρατήρηση x 13, η οποία από τη στήλη της αθροιστικής συχνότητας του προηγούμενου πίνακα προκύπτει 3. Είναι δηλαδή δ = x 13 = 3 ώρες. Β4. Το ποσοστό των μαθητών που διαβάζουν 3 ώρες τουλάχιστον ημερησίως, από τον πίνακα προκύπτει = = 56%. 5 5 ΘΕΜΑ Γ Γ1. f x ( x x ) Γ. lim ( ) = lim α + β = α + β. x 1 x 1 ( x 1)( x+ 3+ ) ( )( ) x 1 x 1 x 1 x 1 ( x ) x 1 lim f( x) = lim = lim = lim = 4. x + 3 x+ 3 x+ 3+ Γ3. Η f είναι συνεχής στο x 0 = 1, όταν α + β = 4 (1). Η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α( 1, ) όταν f ( 1) = α( 1) + β( 1) = α β = (). Από (1), () προκύπτει α = 3, β = 1. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4

62 ΘΕΜΑ Δ Δ1. Για την παράγουσα F της f έχουμε: F (x) = x 3 x x + c. Επειδή F(0) = 1 έπεται c = 1 οπότε F (x) = x 3 x x + 1. Δ. Είναι F ( x) = 3x x + 1 = 3(x 1) ( x + 1 ). Προκύπτει έτσι ο επόμενος πίνακας 3 μεταβολής: x F (x) F(x) - -1/ τm. ax τmin. Από τον πίνακα αυτό προκύπτει ότι η F είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, 1 3 ], [1, + ), γνησίως φθίνουσα στο [ 1, 1]. και παρουσιάζει 3 τοπικό μέγιστο F ( 1 3 ) = 3 7 και τοπικό ελάχιστο F (1) = 0. Δ3. Επειδή η F είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [1, + ) και 011, 01 [1, + ) με 011 < 01 προκύπτει ότι F (011) < F (01). Δ4. Είναι ( ) ( 3 1) E Ω = x x dx = x + x + [ x] 0 = = 1 τ.μ Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5

63 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. ίνεται μία συνάρτησηf:[ α, β. ] Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας της f στο διάστημα [ αβ., ] Μονάδες 6 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν η f είναι συνεχής στο [ α, β ] και η F είναι μία παράγουσα της f, τότε ισχύει: f(x)dx = F( β) F( α) (Μον. ) β) Το εύρος των τιμών μιας μεταβλητής δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές της. (Μον. ) γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και c μία σταθερά, τότε ισχύει: (c f) (x) = f (x) + c δ) α α+ 1 * (x ) =α x,x > 0, α. β α (Μον. ) (Μον. ) ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

64 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε) Αν η f είναι συνεχής στο [ α, β ], τότε ισχύει: β f(x)dx = f(x)dx. α (Μον. ) Μονάδες 10 Α3. Να μεταφέρετε και να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες: α)αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στo, τότε: (f g) (x) =... (Μον. 3) β β) συν x dx =... α γ)αν limf(x) =,, τότεlim f(x) =... x x 0 x x 0 α β (Μον. 3) (Μον. 3) Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Β ίνεται η συνεχής συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει: x f(x) f(x) = x 4 για κάθε x. Β1. Να δείξετε ότι: Β. Να βρείτε το Β3. Να βρείτε το f(). f(x) = x 4. lim x x x 4 x, για x. Μονάδες 7 Μονάδες 9 Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

65 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Γ Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι ηλικίες των υπαλλήλων μίας εταιρείας: Α/Α Ηλικίες υπαλλήλων Συχνότητα (αριθμός υπαλλήλων) ν i 1 η κλάση [5, 35) 100 Κέντρο κλάσης x i x i ν i Σχετική συχνότητα f i % η κλάση [35, 45) 50 3 η κλάση [45, 55) 40 4 η κλάση [55, 65) 10 ΣΥΝΟΛΑ ν=00 Γ1. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να τον συμπληρώσετε. Μονάδες 7 Γ. Να υπολογίσετε τη μέση ηλικία των υπαλλήλων. Γ3. Να υπολογίσετε το ποσοστό των υπαλλήλων που έχουν ηλικία τουλάχιστον σαράντα πέντε (45) ετών. Μονάδες 4 Γ4. Από την εταιρεία αποχωρούν πέντε (5) υπάλληλοι της 4 ης κλάσης, πέντε (5) υπάλληλοι της ης κλάσης και ταυτόχρονα προσλαμβάνονται δέκα (10) υπάλληλοι με ηλικίες στην 1 η κλάση. Να υπολογίσετε τη νέα μέση τιμή της ηλικίας των υπαλλήλων. Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

66 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ x f(x) = e (x 1), x. x 1. Να αποδείξετε ότι: f(x) = f(x) + e. Μονάδες 6. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα τοπικά της ακρότατα. Μονάδες 9 x 3. Αν g(x) = f(x) + e, x, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τον άξονα xx και τις ευθείες με εξισώσεις x = 1 και x = 1. Μονάδες 10 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνον τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνον με μπλε ή μόνον με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη επιστημονικά είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Ώρα δυνατής αποχώρησης: π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

67

68

69 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 1 ΜΑΪOY 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Για μία συνεχή συνάρτηση να γράψετε τις τρεις κατηγορίες σημείων, τα οποία είναι πιθανές θέσεις τοπικών ακρoτάτων. Μονάδες 6 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η επικρατούσα τιμή μίας μεταβλητής είναι μοναδική. (Μον. ) β) Έστω συνεχής συνάρτηση και ένα στάσιμο σημείο της (δηλαδή 0). Αν η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, τότε παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο όταν 0. (Μον. ) γ) Έστω συνάρτηση συνεχής στο,. Τότε ισχύει:, όπου (Μον. ) δ) Αν οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους, τότε και η είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (Μον. ) ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

70 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε) Η σχετική συχνότητα τιμής μίας μεταβλητής συμβολίζεται με και ισχύει. (Μον. ) Μονάδες 10 Α3. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες και να τις συμπληρώσετε: α), με 0 (Μον. 3) β), αν c σταθερά (Μον. 3) γ)αν η μεταβλητή παίρνει τις τιμές,,..., με αντίστοιχες συχνότητες,,..., τότε η μέση τιμή της μεταβλητής είναι:... (Μον. 3) Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Β Οι χρόνοι (σε λεπτά) 50 μαθητών της Γ τάξης ενός ΕΠΑ.Λ για να γράψουν ένα διαγώνισμα, δίνονται στον παρακάτω πίνακα κατανομής: Χρόνος σε λεπτά Κέντρο κλάσης Συχνότητα 0 Αθροιστική Συχνότητα 34 1 ΣΥΝΟΛΑ 50 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

71 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Β1. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον προηγούμενο πίνακα και να τον συμπληρώσετε σωστά. Μονάδες 7 Β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του χρόνου, που χρειάστηκαν οι μαθητές για να γράψουν το διαγώνισμα. Β3. Να υπολογίσετε τη διακύμανση (Μον. 7) και την τυπική απόκλιση της μεταβλητής (Μον. ). Μονάδες 9 Β4. Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβλητότητας CV%. Μονάδες 4 ( ίνεται: 96 10) ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση με τύπο: 8, όπου. Γ1. Να βρείτε το: 4 4, lim Μονάδες 4 Γ. Να βρείτε το: lim Μονάδες 8 Γ3. Να βρείτε για ποιές τιμές του η συνάρτηση είναι συνεχής στο. Μονάδες 6 Γ4. Για λ=1 να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

72 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Μία ομάδα περιβαλλοντολόγων εκτιμά ότι το βάρος ( σε τόνους) ενός παγόβουνου μεταβάλλεται με τον χρόνο ( σε έτη) σύμφωνα με τη συνάρτηση: , Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του βάρους του παγόβουνου.. Ποιά χρονική στιγμή τo βάρος του παγόβουνου γίνεται μέγιστο; Μονάδες 8 3. Να αποδείξετε ότι, αν 6,9, τότε ισχύει: Ποιά χρονική στιγμή o ρυθμός μεταβολής του βάρους του παγόβουνου γίνεται μέγιστος; Μονάδες 7 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα, μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

73 = [] = () =0 = B1. [5 15) [15 5) [5 35) [35 45) [,) = = B. = = =0 B3. = ( ) ( ) ( ) ( ) = () () () () = = = 100% = 100% 0,5 100% 50% = =96 =96 lim () = lim (4 +4 ) =4 +4 =1. lim () = lim lim () () = lim () =4+4 =1. 1 = = lim = () = lim () =() =1 = (4 +4 ) =4 +4 () =[ ] +4[ ] =3+4( ) =6+44 =10 () = , 0 10 () = () = =0 = 1 = 4 = ± =4 =164 (1) 1 =, = = 4±8 =1 =16+48=64 =6 = = = 6 =

74 () () =6 3 [6,9], 6 9 (6) () (9) (9) () (6) 4 () = () = +4 () =0 +4=0= 0 10 () + - () =

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» ΕΠΑ.Λ.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» ΕΠΑ.Λ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» ΕΠΑ.Λ. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΙΟΥΝΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 19 ΜΑΪOY 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν υπάρχουν τα limf (x), και είναι γ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε ισχύει: ( f g ) (x) = f (x) g (x), x

β) Αν υπάρχουν τα limf (x), και είναι γ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε ισχύει: ( f g ) (x) = f (x) g (x), x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. Σχετική Συχνότητα (f i ) v i x

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. Σχετική Συχνότητα (f i ) v i x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΘΕΜΑ 1ο Δίνεται ο πίνακας συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 21 ΜΑΪOY 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 1 ΜΑΪOY 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. α. Να μεταφέρετε τον παρακάτω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε με τη βοήθεια του παραπάνω ιστογράμματος συχνοτήτων.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. α. Να μεταφέρετε τον παρακάτω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε με τη βοήθεια του παραπάνω ιστογράμματος συχνοτήτων. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΡΙΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ , Β =

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ , Β = ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ 1ο

Διαβάστε περισσότερα

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 23 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f; Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΕΤΟΣ 216 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. f i % v i. x i. α) Να µεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συµπληρώσετε. Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. f i % v i. x i. α) Να µεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συµπληρώσετε. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 09 ΙΟΥΝΙΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 19 ΜΑΪOY 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

OPMH. κοντά στο µαθητή!

OPMH. κοντά στο µαθητή! ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. Σ Λ

Θέματα. Α1. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i.  Σ Λ Θέματα ΘΕΜΑ Α Α. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

Φροντιστήρια ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι: ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ ο A. Αν z, z

Διαβάστε περισσότερα

γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε.

γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 7 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ o A. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ΘΕΜΑ 1ο Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1, x 2,..., x κ είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ΘΕΜΑ 1ο Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1, x 2,..., x κ είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

f(x ) 0 O) = 0, τότε το x

f(x ) 0 O) = 0, τότε το x ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 07 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. Α1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; (Μονάδες 4)

ΘΕΜΑ 1 ο. Α1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; (Μονάδες 4) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 216 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8.

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8. ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ(4)

Διαβάστε περισσότερα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ(3)

Διαβάστε περισσότερα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,

f ( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 13 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ω ισχύει: P A B P(A) P(B) P(A (Μονάδες 7 ) του πεδίου ορισμού της; (Μονάδες 4 ) ii. Να δώσετε τον ορισμό της μέσης τιμής ενός συνόλου ν παρατηρήσεων.

Ω ισχύει: P A B P(A) P(B) P(A (Μονάδες 7 ) του πεδίου ορισμού της; (Μονάδες 4 ) ii. Να δώσετε τον ορισμό της μέσης τιμής ενός συνόλου ν παρατηρήσεων. ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ () ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 24 ΜΑΡΤΙΟΥ 207 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Α1.i. Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (Μονάδες 2) και στη

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Α1.i. Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (Μονάδες 2) και στη ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ () ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f x 0 και ισχύει

g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f x 0 και ισχύει ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 4 ΜΑΡΤΙΟΥ 206 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 203 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Σχετική Συχνότητα (f i ) v i x i

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Σχετική Συχνότητα (f i ) v i x i ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

A ένα σημείο της C. Τι

A ένα σημείο της C. Τι ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ, 5 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, με απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να αποδείξετε ότι:

ΘΕΜΑ Α Α1. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, με απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να αποδείξετε ότι: ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ, 8 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

δεδομένων με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας)

δεδομένων με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ-1 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΕΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. MyΤeachers.gr ΘΕΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΕΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. MyΤeachers.gr ΘΕΜΑΤΑ MyΤeachers.gr ΟΝΟΜΑ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:./../.. ΒΑΘΜΟΣ : /100 ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 180 ΛΕΠΤΑ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ Α1. Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. Α3. Έστω η συνάρτηση f(x) = x ν, ν ϵ N-{0, 1}. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ότι ισχύει: , δηλαδή x 1

ΘΕΜΑ 1 ο. Α3. Έστω η συνάρτηση f(x) = x ν, ν ϵ N-{0, 1}. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ότι ισχύει: , δηλαδή x 1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 6 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. α) Αν x>0, τότε ( x ) = x

ΘΕΜΑ Α. α) Αν x>0, τότε ( x ) = x ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

f (x) g (x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,

f (x) g (x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ (2) ΚΥΡΙΑΚΗ, 30 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΕΠΑ.Λ. 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι: ( f (x) + g (x)) = f (x) + g(x) Μονάδες 0 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 20 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς 1o ΘΕΜΑ 1 A1. Δινεται μια συναρτηση f : [α, ]. Να δωσετε τον ορισμο της συνεχειας της f στο διαστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 3η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΑΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 3 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. ίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

f(x ) 0 O) = 0, τότε το x

f(x ) 0 O) = 0, τότε το x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 017 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 20 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 211 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY 4 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ σελ. από 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 1

Μονάδες 10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 1 ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α (ΝΕΟ ΚΑΙ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) Α1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=x είναι f (x)=1,

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 2 β. αν Α Β τότε Ρ(Β)... Ρ(Α). Μονάδες 2 Β.1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

Μονάδες 2 β. αν Α Β τότε Ρ(Β)... Ρ(Α). Μονάδες 2 Β.1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1.

Διαβάστε περισσότερα