ΘΕΜΑ 1 ο. Α3. Έστω η συνάρτηση f(x) = x ν, ν ϵ N-{0, 1}. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ότι ισχύει: , δηλαδή x 1

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 6 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f μίας συνάρτησης f στο σημείο της Α(x, f(x )) ; A. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Α3. Έστω η συνάρτηση f(x) = x ν, ν ϵ N-{, }. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ότι ισχύει:, δηλαδή x x v. f x x v (Μονάδες 7) Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν lim f ( x) ή, τότε xx lim. xx f ( x) β. Αν 4 t dt, τότε (3) f ( x) f. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ. Μια συνάρτηση f είναι «-», αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία (παράλληλη στον x x) τέμνει τη γραφική παράστασή της σε ένα τουλάχιστον σημείο. δ. Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : τότε υποχρεωτικά f ( x) για κάθε x. είναι γνησίως αύξουσα, ε. Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη, τότε δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο. (Μονάδες 5x=) ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f : fof ( x) f ( x) x Β. Να βρείτε το f (5). για την οποία ισχύει:, για κάθε x και f () 5. Β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. (Μονάδες 5) Β3. Να βρείτε το f. Β4. Να λύσετε την εξίσωση: f f x x 7. (Μονάδες 7) (Μονάδες 6) (Μονάδες 7) ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

3 ΘΕΜΑ 3 ο ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με g παραγωγίσμιμη στο, για τις οποίες ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: f ( x) x( x a) x με a, x και g ( x)ln x g( x), για κάθε x x Γ. Αν f ( x) για κάθε x, να δείξετε ότι α=., Γ. Αν g( e), να δείξετε ότι g( x) ln x Γ3. Αν g( x) (ln x) σε όλο το διάστημα,, για κάθε, x. (Μονάδες 5) i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική τιμή x, για την οποία η διαφορά f ( x) g( x) γίνεται ελάχιστη. (Μονάδες 5) ii) Να αποδείξετε όι υπάρχει μοναδικό ζεύγος σημείων Μ, Ν με M, f ( ) σημείο της γραφικής παράστασης C της f f και N, g( ) σημείο της γραφικής παράστασης C g της g με,, στα οποία οι C και f εφαπτομένες στα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα. ii) Να υπολογίσετε το όριο x lim x x C g δέχονται παράλληλες x g( x) f ( x) ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ4. i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις ευθειών x, x e. C και C f g των f και g αντίστοιχα και των ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο, με συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f ( x) f ( x), για κάθε x και f ( x), για κάθε x Δ. Να βρείτε την μοναδική ρίζα της εξίσωσης f ( x) Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει x, τέτοιο, ώστε Δ3. Έστω η συνάρτηση f ( x) g( x), x f ( x) f ( x ) f () Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g, στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα x x, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45. Δ4. i) Να αποδείξετε ότι f ( x) dx Δίνεται επιπλέον ότι f είναι συνεχής στο. f ( x) dx καθώς και ότι η συνάρτηση ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

5 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε(Ω) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες Δ5. i) Να υπολογίσετε την παράσταση : f ( ), όπου K( ) f ( x) dx f ( x) dx ii) Nα βρείτε το όριο: lim K( ) ln f ( ) e x, x. ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

6 ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμο σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμία άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: ώρα μετά από την διανομή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ Επιστημονική επιμέλεια: Συντακτική ομάδα Συντονιστής: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών