ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 7 A. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο, είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3) Μονάδες A3. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f: και g:, αν lim f() και lim g(), τότε lim [f() g()]. β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A, B αντίστοιχα, τότε η g f ορίζεται αν f(a) B. γ) Για κάθε συνάρτηση f: που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει f () για κάθε. δ) Αν, τότε lim. ε) Η εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

2 ΘΕΜΑ Β ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δίνονται οι συναρτήσεις f() n, και B. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g. g(),. Μονάδες 5 B. Αν h() (f g)() n, (,), να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. Μονάδες 6 B3. Αν φ() h (),, να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Μονάδες 7 B. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ και να τη σχεδιάσετε. (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό.) Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f(), [, ], και το σημείο A,. Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες ( ), ( ) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ. Αν ( ): και ( ): είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ, τότε να σχεδιάσετε τις ( ), ( ) και τη γραφική παράσταση της f, και να αποδείξετε ότι E E 8, όπου: E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες ( ), ( ), και E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα '. Γ3. Να υπολογίσετε το όριο f() lim f(). ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ Μονάδες 6 Μονάδες

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ. Να αποδείξετε ότι f() d. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f(), [,) 3, [, ] Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της. Μονάδες 5 Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 6 Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική 5 παράσταση της f, τη γραφική παράσταση της g, με g(),, τον άξονα ' και την ευθεία. Δ. Να λύσετε την εξίσωση f() ( 3 ) 8. Μονάδες 6 Μονάδες 8 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω -πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ.. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:. π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 9/ 6 /7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π ΘΕΜΑ Α ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 35 Α. α. Λ β. Έστω η συνάρτηση f() παραγωγίσιμη σε αυτό αφού : f() f( ) lim lim ενώ f() f( ) lim lim _.H f είναι συνεχής στο αλλά δεν είναι παρατηρούμε δηλαδή ότι μια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής σε ένα σημείο να είναι παραγωγίσιμη σε αυτό. Α 3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 73 Α.. ΛΑΘΟΣ. ΣΩΣΤΟ 3. ΛΑΘΟΣ. ΣΩΣΤΟ 5. ΣΩΣΤΟ ΘΕΜΑ Β B. Για να ορίζεται η f(g()) πρέπει : A g g() Af Συνεπώς fog (, ) Αρα η f g είναι : (f g)() f(g()) ln( ) χωρίς Σελίδα από

5 h() f g () ln( ). B. B3. Η f παραγωγίσιμη στο (, ) (, ) ως πράξεις παραγωγίσημων συναρτήσεων με : ' ( ) ( )' h'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h'() για κάθε συνεπώς η h ( ) (, ) άρα και "-", άρα αντιστρέφεται. Θέτουμε: f() ln( ) ( ),. Συνεπώς: h () είναι γνησίως αυξουσα στο με h ( )' ( ) ( ) ( )' ( ) (), '() ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα η γνησίως αύξουσα στο. ( ) ( ) 3 3, για κάθε ( )' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ''() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ''() Σελίδα από

6 χ f + - f Η φ κυρτή στο, B., Σ.Κ και κοίλη στο, u u lim lim lim lim u u u u lim lim lim lim lim u u Η φ έχει την (ε):= οριζόντια ασύμπτωτη στο ασύμπτωτη στο.. Η φ παρουσιάζει στο το και την (ε):= οριζόντια χ / Σ.Κ Σελίδα 3 από

7 Η γραφική παράσταση της φ είναι: ΘΕΜΑ Γ f,, Γ. f,, Έστω,f σημείο της f σημείο C στο οποίο δέχεται εφαπτομένη που διέρχεται από το,. Η εξίσωση εφαπτομένης είναι: : f f, : Θεωρώ g Είναι: g και g Σελίδα από

8 g Για, g Για είναι:, g είναι: g g / - + Τ.Μ Τ.Ε Τ.Μ, Η g συνεχής στο με g g g ma Άρα μοναδικές λύσεις χ= και χ=π. Συνεπώς οι εξισώσεις των εφαπτομένων είναι : και : Γ. Σελίδα 5 από

9 Τομή, : (, ) f ''() για (, ), οπότε f κυρτή [, ] από τις με εξαίρεση τα σημεία επαφής αντίστοιχα. f() f() f() f() [, ] επομένως η C f βρίσκεται πάνω (f() )d (f() )d ( )d ( )d f()d d Είναι 8 8 f() f() f() Γ3. lim lim f() Διότι lim(f() ) και f() για (, ) lim f() Σελίδα 6 από

10 Γ. Είναι f(), [,] απο Γ (το ίσον ισχύει μόνο για ) f() οπότε, [,] και f() f() d ( )d d ln ( ) f() d ΘΕΜΑ Δ Δ. 3,, f ημ,, π, Η f είναι συνεχής για κάθε, ως σύνθεση συνεχών και στο συνεχών. Είναι για επομένως 3 lim lim και lim f() lim f() f( ) άρα η f συνεχής στο Η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε, με f , Είναι f αδύνατη καθώς Η f παραγωγίσιμη στο Είναι για,, π με f Για είναι f ημ ημ συν 3 f( ) ως πράξεις Σελίδα 7 από

11 3 3 3 f() f( ) lim lim lim lim lim Για 3 είναι f() f( ) X X lim lim lim Επομένως f() f( ) f() f( ) lim lim άρα δεν υπάρχει η παράγωγος στο Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f είναι τα εσωτερικά σημεία στα οποία μηδενίζετε η πρώτη παράγωγος και τα σημεία στα οποία δεν παραγωγίζεται άρα, Δ. Η f παραγωγίσιμη στο Η f παραγωγίσιμη στο 3 f Εστω 3, με 3 3 f με f άρα γνησίως φθίνουσα, π με g(), π g( ) και για Από πίνακα μονοτονίας έχουμε 3, g( ), η οποία διατηρεί σταθερό πρόσημο με 3 π f f() Τ.ελ αχι Τ.μ ε Σελίδα 8 από

12 Επίσης η f παρουσιάζει τ.ακρότατα στα κλειστα άκρα των διαστημάτων στο,, με σύνολο τιμών 3, 3, f,, 3 Δ3. Το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, της g, τον άξονα είναι την ευθεία ισούται : 5 E f() g()d d Έστω Η h 5 h(), παραγωγίσιμη στο,, με h 5 5 Είναι για κάθε R Επομένως η h είναι γν.φθίνουσα στο, Για h 5 h( ) h() h( ) h() 5 5 E f() g()d d d Δ. 5 d f() ( 3) 8 6 f() ( 3) ( 3) 6 f() 8 ( 3) f() 6 ( 3) ( 3) f() fma fma f() f() 6 6 = Σελίδα 9 από

13 Επομένως ( 3) 6 3 3,δεκτή ( 3) ( 3) Σελίδα από