ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Α1.i. Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (Μονάδες 2) και στη

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ () ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Α.i. Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (Μονάδες ) και στη συνέχεια να το αποδείξετε (Μονάδες 4). ii. Να δώσετε ένα παράδειγμα, σχεδιάζοντας ένα πρόχειρο σχήμα, μιας συνάρτησης f που δεν είναι συνεχής στο διάστημα α, β, η οποία δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές ανάμεσα στα f(α), f(β) (Μονάδες ). Α. Να βρείτε το λάθος στον επόμενο συλλογισμό (Μονάδες ). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες ). +x u +u I= dx du du I + u (θέσαμε x, οπότε dx u ). u du Άρα I I, οπότε I. Αυτό, όμως, είναι άτοπο, αφού I= dx, επειδή +x για κάθε x, +x. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η hogof, τότε ορίζεται και η hogof και ισχύει ho gof = hog of. β) Για κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο [α, β], το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι [f(α), f(β)] ή [f(β), f(α)]. γ) Αν για κάθε συνάρτηση f και για ένα σημείο x του πεδίου ορισμού της ισχύει: lim xx + f(x) f(x ) f(x) f(x ) = lim x x x x xx -, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο x. δ) Μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] δεν έχει ασύμπτωτες. ε) Για όλες τις συνεχείς στο R συναρτήσεις με β γ. β γ f(x)dx= f(x)dx α (α, β, γ R) α, ισχύει (Μονάδες 5x= ) Α4. Στο επόμενο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου f μιας συνάρτησης f στο διάστημα [, ]. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση (Μονάδες ) και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας (Μονάδα ) ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Το σημείο A, f() είναι:. θέση τοπικού μέγιστου της f,. θέση τοπικού ελάχιστου της f, 3. σημείο καμπής της C f. ΘΕΜΑ Β Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ B. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f. (Μονάδες ) B. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: α) δ) lim f(x) β) x lim f(x) ε) x7 lim f(x) γ) x3 lim f(x) x9 lim f(x) x5 Για τα όρια που δεν υπάρχουν να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. B3. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: α) lim β) f(x) x x6 lim γ) lim f f(x) f(x) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. x8 (Μονάδες 7) (Μονάδες 9) B4. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 3) B5. Να βρείτε τα σημεία x του πεδίου ορισμού της f για τα οποία ισχύει f (x ) =. ΘΕΜΑ Γ Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Δίνεται η συνάρτηση: x f x e x x, x (Μονάδες 4) Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένας αριθμός α, τέτοιος, ώστε να ισχύει: α e α. Γ. Να δείξετε ότι: ερωτήματος Γ. f x α α για κάθε x R, όπου α ο αριθμός του (Μονάδες 5) (Μονάδες 5 ) ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

5 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ3. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f x Γ4. Να αποδείξετε ότι: f x f x f x f x 3, για κάθε x 7 6. (Μονάδες 5 ) (Μονάδες 5 ) Γ5. Έστω ένα σημείο Mx(t), y(t), όπου t ο χρόνος, το οποίο διατρέχει τη γραφική παράσταση της f με x (t). Να αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή t, με x t, χρόνο, να μηδενίζεται. ΘΕΜΑ Δ, ώστε ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του M, ως προς τον Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση Δ. i. Να δείξετε ότι: f:, π R για την οποία ισχύουν: f (x) xημx, x, π και f() π f(x)=ημx xσυνx, x, (Μονάδες 5 ) ii. Να δείξετε ότι: Δ. Έστω επίσης η συνάρτηση: π, ημx xσυνx, x π π g(x) xεφx x, x, (Μονάδες 3) (Μονάδες ) Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ (Μονάδες 4)

6 ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ3. i. Αν α, να δείξετε ότι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης g(x) α είναι μηδέν. (Μονάδες 4) ii. Έστω x, x, x 3 οι θετικές ρίζες των εξισώσεων g(x), g(x), g(x) 3 π αντίστοιχα. Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ, με ξ (x x )g (ξ ) (x x )g (ξ ) 3 ξ τέτοια, ώστε: Δ4. i. Να βρείτε το όριο: (Μονάδες 4) x ln ημx f x lnx x lim ημx xσυνx x (Μονάδες 3) ii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f και την ευθεία π x. (Μονάδες 5) ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

7 Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμο σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμία άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: ώρα μετά από την διανομή των φωτοαντιγράφων. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ Επιστημονική επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

8