ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ ο A. Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι: z z = z z Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 8 Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο ; Μονάδες 3 B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α,β] και για κάθε αβ [, ] ισχύει f τότε f d >. β α Μονάδες β. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο f > σε κάθε εσωτερικό σημείο του. τότε Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ γ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο. Μονάδες δ. Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα και α είναι ένα σημείο του, τότε g() f t dt = f g g ( () ) α με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα. ε. Αν α> τότε lim α =. Μονάδες Μονάδες ΘΕΜΑ ο ίνεται ο μιγαδικός αριθμός αi z = με α α i α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ =. Μονάδες 9 β. Έστω z,z οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο αi z = α i για α = και α = αντίστοιχα. i. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και z. z Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

3 ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ii. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: ν ( z ) = ( z ) για κάθε φυσικό αριθμό ν. ν Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση: 3 f = 3 ημ θ π όπου θ μια σταθερά με θ κπ, κ Ζ. α. Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. Μονάδες 7 β. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες. Μονάδες 8 γ. Αν, είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και 3 η θέση του σημείου καμπής της f, να αποδειχθεί ότι τα σημεία B,f και Γ,f A(,f( ) ), βρίσκονται στην ευθεία y = ημ θ. ( 3 ( 3) ) Μονάδες 3 δ. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και την ευθεία y= ημ θ. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

4 ΘΕΜΑ 4 ο ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα [, ] για την οποία ισχύει f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [, ] για την,. οποία ισχύει g() > για κάθε [ ] Ορίζουμε τις συναρτήσεις: = f( tgtdt ), [,] F = g( t) dt, [,] G α. Να δειχθεί ότι F() > για κάθε στο διάστημα (, ]. β. Nα αποδειχθεί ότι: f G > F για κάθε στο διάστημα (, ]. γ. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: () F F G G για κάθε στο διάστημα (, ]. δ. Να βρεθεί το όριο: lim ( () () ) f t g t dt ( () ) g t dt 5 ημ t dt Μονάδες 8 Μονάδες 6 Μονάδες 4 Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

5 ΑΡΧΗ 5 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μετά τη.3 πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

6 ΑΡΧΗ 6 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ ο A. Είναι z z = z z z z = z z z z z z = z z ( z z ) ( z z ) ( z z ) ( z z ) = Και, επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική. Α. Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει f = g. Α.3 Η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο lim f =. αν B. α. Λάθος. Η σωστή πρόταση είναι: αν f συνάρτηση αβ, συνεχής στο διάστημα [α,β] και για κάθε [ ] α ισχύει f τότε f d. β. Λάθος. Π.χ. Η συνάρτηση 3 β f αύξουσα στο R και f = 3 = είναι γνησίως γ. Λάθος. Για να είναι η g f είναι συνεχής στο πρέπει η συνάρτηση g είναι συνεχής στο όχι στο. f( ) και ΤΕΛΟΣ 6 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

7 ΑΡΧΗ 7 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ δ. Σωστό. ε. Σωστό. ΘΕΜΑ ο α. Αρκεί να αποδείξουμε ότι z =. Είναι β. Είναι α i αi α z = = = = α i α i α Άρα η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ =. z i i = = = = = i και i i i i i z = = i i. Η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και είναι z ii. Είναι: z z = i = i = = ( z ) = ( z ) ( i) = ( ) ν ν ν ν ν ( i ) ( ) = ( ) ν ( ) = Και, επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική. ν ν z ΤΕΛΟΣ 7 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

8 ΘΕΜΑ 3ο ΑΡΧΗ 8 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ α. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R, ως πολυωνυμική. με f = 3 3 και η f είναι παραγωγίσιμη στο R, ως πολυωνυμική με Είναι f = 6. f = 3 3= 3 ( )( ) = = ή = Ο πίνακας μεταβολών της f είναι: f f( ) - _ Άρα η συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο (, ], γνησίως φθίνουσα στο [,] και γνησίως αύξουσα στο (, ]. Για = παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το και για 3 f = 3 ημ θ= ημ θ =παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το: 3 f() 3 = ημ θ= ημ θ Είναι f = 6 = = άρα ο πίνακας μεταβολών της f είναι:. f f( ) _ ΤΕΛΟΣ 8 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

9 ΑΡΧΗ 9 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ και κυρτή στο [, ). Οπότε η f είναι κοίλη στο (,] Σημείο καμπής είναι το Γ,f ( ) με f( ) = ημθ. β. Είναι 3 3 lim f = lim 3 ημ θ = lim =, 3 3 lim f = lim 3 ημ θ = lim = f( ) = ημ θ> και f( ) = ημ θ< γιατί π θ κπ για κάθε κ άρα ημθ ± οπότε <ημθ< και ημ θ <. Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Α = (, ] και έχει σύνολο τιμών το Το ( ( f lim f,f, f( ) Α = = ημ θ ( άρα η f έχει ρίζα στο f Α ) (, ). γιατί Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α = [ ] και έχει σύνολο τιμών το ( Α ) = ( ) = ημ θ ημ f f,f, θ,, Το f( Α ) άρα η f έχει ρίζα στο (,) γιατί f( ) και f(). Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο και έχει σύνολο τιμών το ( Α 3 ) = ) = ημ θ ) f f, lim f, Το f( Α ) άρα η f έχει ρίζα στο 3 Επομένως η f έχει τρείς ακριβώς ρίζες στο. Α 3 = [, ) (), γιατί f. ΤΕΛΟΣ 9 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

10 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ γ. Από το (α) ερώτημα έχουμε ότι A(, ) ( Β, ημ θ ) και Γ(, ημ θ. ) Για = είναι ημ θ, y = ημ θ= ημ θ= f άρα το Α είναι σημείο της ευθείας Για είναι y = ημ θ= ημ θ= f άρα το Β είναι σημείο της ευθείας = () Για = είναι y= ημ θ= ημ θ= f άρα το Γ είναι σημείο της ευθείας δ. Αν θέσουμε g = ημ θ τότε για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f και g θα πρέπει να βρούμε της τετμημένες των σημείων τομής τους. Είναι 3 f g 3 = ημ θ = ημ θ = = 3 ( )( ) = = ή = ή = Επομένως το ζητούμενο εμβαδό είναι E= f g d 3 3 d = ημ θ ημ θ 3 d = Το πρόσημο της f g φαίνεται στον πίνακα ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

11 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ` g f Οπότε ΘΕΜΑ 4 ο 3 3 E= d d 4 4 = 4 4 = = = τ.μ α. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα με f() > άρα t,, t f t f > για κάθε [ ] [ ] είναι και g( t) > άρα β. Είναι ισοδύναμα f > () () f t g t οπότε f t g t dt > > > G F f g t dt f t g t dt f g() t dt > f() t g() t dt f g t dt f t g t dt > f g t f t g t dt > f f t g t dt > () () () () () () () Για κάθε t [,] [,] είναι f( ) f t f f t και g( t) > άρα f f t g t ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

12 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Η συνάρτηση K( t) = f f( t) g( t) δεν είναι σταθερή στο [, ] οπότε () () f f t g t dt > Δηλαδή η σχέση () ισχύει άρα f G > F( ). γ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα (, ]. Είναι F F G F G h = = G = G ( G f g G F g G g f G F = > = F G για κάθε (,) γιατί g f G F > ( G ) >. Η F F οπότε h h( ) για κάθε (,] G G() > από δεδομένα, από ερώτημα (β) και h είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] ). δ. Οι συναρτήσεις F() και G() είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες με Οπότε = =, lim F F lim G = G = F = f t g t dt = f g ( ) G = g t dt = g ( ) και ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

13 ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ () () μορφή lim = lim = lim () f t g t dt F F g t dt γιατί f συνεχής στο. Και Οπότε G G g f g = lim = lim f = f ή tdt μορφ tdt ημ lim = lim 5 5 ημ ( ) 4 4 ημ ημ = lim = lim = = 5 ( () () ) ημ () () ( () ) = 5 g t dt g() t dt f t g t dt t dt f t g t dt ημt dt lim lim lim 5 = f =. ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ