2ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Παρασκευή 4 Σεπτέµβρη 2015 Το σύστηµα Ελατηρίου - Μάζας / Κρούσεις. Λύσεις. Θέµα Α

Transcript

1 2ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Παρασκευή 4 Σεπτέµβρη 2015 Το σύστηµα Ελατηρίου - Μάζας / Κρούσεις Λύσεις Θέµα Α Α.1. Απλός αρµονικός ταλαντωτής εκτελεί ταλάντωση πλάτους Α. ιατηρούµε σταθερό το πλάτος της ταλάντωσης και τριπλασιάζουµε την µάζα του ταλαντούµενου σώµατος. (ϐ) Η ενέργεια της ταλάντωσης παραµένει σταθερή. Α.2. Οταν στο άκρο ενός ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k ε- ίναι συνδεδεµένος ένας δίσκος µάζας 1, το σύστηµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωσης µε περίοδο T 1. Οταν πάνω στον δίσκο τοποθετήσουµε ένα σώµα µάζας 2, το σύστηµα εκτελεί ταλάντωση µε περίοδο T 2 = 3T 1. Ο λόγος των µαζών είναι : (α) 1 = Α.3. Σε µια γραµµική αρµονική ταλάντωση η αποµάκρυνση σε συνάρτηση µε τον χρόνο δίνεται από την εξίσωση : x = Aσυν(ωt) Η χρονική εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης ϑα είναι : (γ) υ = ωaσυν(ωt + π 2 ) 1

2 Α.4. Μικρή ελαστική σφαίρα κινούµενη µε ορµή µέτρου P o προσπίπτει σε ακλόνητη µεταλλική επιφάνεια και ανακλάται. Αν η γωνία πρόσπτωσης είναι θ = 30 o, τότε το µέτρο της µεταβολής της ορµής της σφαίρας P είναι ίσο µε : (γ)p o 3 Α.5. Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράµµα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασµένη. [5 1 = 5 µονάδες] (α) Η δύναµη του ελατηρίου ταυτίζεται πάντα µε την δύναµη επαναφοράς της ταλάντωσης, σε ένα σύστηµα µάζας - ελατηρίου. Λάθος (ϐ) Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή διατήρησης της Ενέργειας. Λάθος (γ) Οταν δύο σώµατα ίσης µάζας συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά, ανταλλάσσουν ταχύτητες. Σωστό (δ) Η συχνότητα µεγιστοποίησης της υναµικής Ενέργειας Ταλάντωσης ε- ίναι διπλάσια από την συχνότητα της ταλάντωσης. Σωστό (ε) Η σταθερά επαναφοράς µιας απλής αρµονικής ταλάντωσης εξαρτάται από την ενέργεια που προσφέρουµε για να ϑέσουµε το σύστηµα σε ταλάντωση. Λάθος Θέµα Β Β.1. Σώµα Σ 1 µάζας που κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο µε ταχύτητα µέτρου υ, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε σώµα Σ 2 µάζας 2 που κινείται στην ίδια κατεύθυνση µε ταχύτητα µέτρου υ 2. Ο λόγος των κινητικών ενεργειών των δύο σφαιρών µετά την κρούση είναι ίσος µε : (α) K 1 K 2 =

3 υ υ/2 2 Αφού η κρούση είναι κεντρική και ελαστική : υ 1 = 1 2 υ υ 2 υ 1 = υ υ 2 = 2 1 υ υ 1 υ 2 = 5υ Ο Ϲητούµενος λόγος ϑα είναι : 1 K 1 2 = 1υ K 2 2 1υ 2 2 = 2 25 Β.2. ύο σώµατα Σ 1 και Σ 2 µε ίσες µάζες ισορροπούν κρεµασµένα από κατακόρυφα ιδανικά ελατήρια µε σταθερές k 1 και k 2 αντίστοιχα,οι οποίες συνδέονται µε τη σχέση k 1 = k 2 2. Αποµακρύνουµε τα σώµατα Σ 1 και Σ 2 από τη ϑέση ισορροπίας τους κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d και 2d αντίστοιχα και τα αφήνουµε ελεύθε- ϱα την ίδια χρονική στιγµή,οπότε εκτελούν απλή αρµονική ταλάντωση. Τα σώµατα διέρχονται για πρώτη ϕορά από τη ϑέση ισορροπίας τους : (γ) σε διαφορετικές χρονικές στιγµές µε πρώτο το Σ 2. Στο σύστηµα του αρµονικού ταλαντωτή η περίοδος της ταλάντωσης δίνεται από την σχέση : T = 2π. Αρα στις παραπάνω περιπτώσεις : k T 1 T 2 = 2π 2π k1 k2 = 2 T 1 > T 2 3

4 Τα σώµατα διέρχονται από την ϑέση ισορροπίας σε χρόνο T. Αρα πρώτο 4 διέρχεται το σώµα 2 που έχει µικρότερη περίοδο. Β.3. Βλήµα µάζας κινούµενο µε ταχύτητα υ o, που σχηµατίζει γωνία φ ως προς τον ορίζοντα σφηνώνεται σε ακίνητο σώµα µάζας M το οποίο είναι στερεωµένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωµένο. Η µέγιστη παραµόρφωση του ελατηρίου µετά την κρούση είναι : (α) l = υ oσυνφ k(m + ) Στην κρούση των δύο σωµάτων ισχύει η διατήρηση της ορµής µόνο στον οριζόντιο άξονα, εξαιτίας του ϐάρους. Εφαρµόζω την Α..Ο. στον οριζόντιο άξονα για να ϐρω την ταχύτητα του συσσωµατώµατος : υ o συνφ + 0 = ( + M)V V = υ oσυνφ + M Η µέγιστη παραµόρφωση του ελατηρίου ϑα είναι ίση µε το πλάτος της ταλάντωσης που ϑα πραγµατοποιήσει το συσσωµάτωµα µετά την κρούση. k υ ax = ωa = V + M A = υ oσυνφ + M A = υ oσυνφ k(m + ) Θέµα Γ φ υο 4

5 Ενα σώµα µάζας = 4kg ϐρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι συνδεδεµένο στα ελεύθερα άκρα δύο ιδανικών ελατηρίων µε σταθε- ϱές k 1 = 100N/ και k 2 = 300N/. Τα άλλα άκρα των ελατηρίων είναι ακλόνητα στερεωµένα. κ1 Αποµακρύνουµε το σώµα από τη ϑέση ισορροπίας στην διεύθυνση των ελατηρίων κατά d = 0, 5 και τη χρονική στιγµή t o = 0 το αφήνουµε ελεύθερο από αυτή την ϑέση να κινηθεί. Γ.1. Να αποδείξετε ότι το σώµα ϑα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την σταθερά επαναφοράς του. ΘΙΤ Στην ϑέση ισορροπίας του σώµατος σχεδιάζουµε τις δυνάµεις που ασκούνται από τα δύο ελατήρια : ΣF = 0 F ελ1 = F ελ2 k 1 l 1 = k 2 l 2 Σε µια τυχαία ϑέση που απέχει x από την Θέση ισορροπίας : ΣF = F ελ2 F ελ1 = k 2 ( l 2 x) k 1 ( l 1 + x) = (k 1 + k 2 )x κ2 Αρα το σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθετά επαναφοράς D = k 1 + k 2 = 400N/ 5

6 Γ.2. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί ανάµεσα σε δύο διαδοχικές µεγιστοποιήσεις της Κινητικής ενέργειας του σώµατος. Η περίοδος της ταλάντωσης ϑα είναι : T = 2π D = π 5 s t = T 2 = π 10 s Γ.3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα µε την οποία διέρχεται το σώµα από την ϑέση ισορροπίας του. Η γωνιακή συχνότητα ϑα είναι ω = 2π = 10rad/s. Το πλάτος της ταλάντωσης ϑα είναι A = T d. Η ταχύτητα στην ΘΙΤ ϑα είναι : υ = υ ax = ωa υ = 5/s Γ.4. Να γράψετε τις εξισώσεις της αποµάκρυνσης από την ϑέση ισορροπίας, της ταχύτητας και της συνισταµένης δύναµης που ασκείται στο σώµα σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Να ϑεωρήσετε ως ϑετική την ϕορά της αρχικής αποµάκρυνσης. Αφού το σώµα ξεκινά την ταλάντωση από την ακραία ϑετική ϑέση A = Aηµφ o φ o = π rad. Οι Ϲητούµενες χρονικές εξισώσεις στο (S.I.) ϑα 2 είναι : x = 0, 5ηµ(10t + π 2 ) υ = 5συν(10t + π 2 ) ΣF = 200ηµ(10t + π 2 ) Γ.5. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του σώµατος σε µια χρονική στιγµή κατά την οποία η αποµάκρυνση από την ϑέση ισορροπίας του είναι x = 0, Εφαρµόζω για την παραπάνω ϑέση την Α ΕΤ: 6

7 E = K + U 1 2 DA2 = K Dx2 K = 1 2 D(A2 x 2 ) K = 12, 5J Θέµα Σώµα Σ 1 µάζας 1 = 1kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο που σχηµατίζει µε τον ορίζοντα γωνία φ = 30 o. Το σώµα Σ 1 είναι δεµένο στην άκρη ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100N/ το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται στη ϐάση του κεκλιµένου επιπέδου, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Εκτρέπουμε το σώμα Σ 1 κατά d 1 = 0,1 από τη θέση ισορροπίας Εκτρέπουµε του σώµα κατά Σ 1 μήκος κατά d 1 του = 0, κεκλιμένου 1 από τη ϑέση επιπέδου ισορροπίας, και συµπιέζοντας αφήνουμε το ελατήριο, ελεύθερο. του κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου και το το αφήνουµε ελεύθερο να κινηθεί την χρονική στιγµή t o = 0. Γ1. Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ 1 εκτελεί απλή αρμονική.1. Να αποδείξετε ότι το σώµα ταλάντωση. Σ 1 εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Μονάδες 5 Γ2. Στην Να ϑέση υπολογίσετε ισορροπίαςτη τουμέγιστη σώµατος τιμή σχεδιάζουµε του μέτρου τις δυνάµεις του ρυθμού και εφαρ- µόζουµε μεταβολής την συνθήκη της ορμής ισορροπίας του σώματος : Σ 1. Μονάδες 5 Μετακινούμε το σώμα Σ 1 προς τα κάτω κατά μήκος του ΣF = 0 k l κεκλιμένου επιπέδου μέχρι το ελατήριο o = 1 gηµφ να συμπιεστεί από το φυσικό του μήκος κατά l = 0,3. Τοποθετούμε ένα δεύτερο Σε µια τυχαία σώμα ϑέση Σ που 2 μάζας απέχει x 2 = από 1kg την στο ϑέση κεκλιμένο ισορροπίας : επίπεδο, ώστε να είναι ΣF σε = επαφή με το σώμα Σ 1, και ύστερα αφήνουμε 1 gηµφ k(x + l o ) ΣF = kx τα σώματα ελεύθερα. 7

8 .2. Να υπολογίσετε τη µέγιστη τιµή του µέτρου του ϱυθµού µεταβολής της ορµής του σώµατος Σ 1. P t = ΣF = Dx ( P t ) ax = ka = kd 1 = 10kg/s 2.3. Να υπολογίσετε την χρονική στιγµή που το σώµα διέρχεται για δεύτερη ϕορά από την ϑέση ϕυσικού µήκους του ελατηρίου. Το σώµα διέρχεται από την Θέση Φυσικού µήκους του ελατηρίου όταν x = l o = 1gηµφ k = 0, 05. Εχω ϑεωρήσει ϑετική την ϕορά προς τα πάνω, άρα την t = 0 το σώµα ϐρίσκεται στην ακραία αρνητική ϑέση ( A = Aηµφ o φ o = 3π ). Η γωνιακή συχνότητα ϑα είναι 2 k ω = = 10rad/s 1 0, 05 = 0, 1ηµ(10t + 3π 2 ) ηµ(10t + 3π 2 ) = ηµ(π 6 ) Οι λύσεις της τριγωνοµετρικής εξίσωσης είναι : 10t + 3π 2 = 2kπ + π 6, 10t + 3π 2 = 2kπ + 5π 6 Για κ = 0 προκύπτουν αρνητικοί χρόνοι που απορρίπτονται και για κ = 1 t 1 = π 15, t 2 = 2π. Οπότε ο Ϲητούµενος χρόνος που διέρχεται για δεύτερη 15 ϕορά είναι t 2 = 2π 15 s Μετακινούµε το σώµα Σ 1 προς τα κάτω κατά µήκος του κεκλιµένου ε- πιπέδου µέχρι το ελατήριο να συµπιεστεί από το ϕυσικό του µήκος κατά l = 0, 3. Τοποθετούµε ένα δεύτερο σώµα Σ 2 µάζας 2 = 1kg στο κεκλι- µένο επίπεδο, ώστε να είναι σε επαφή µε το σώµα Σ 1, και ύστερα αφήνουµε τα σώµατα ελεύθερα. 8

9 Μονάδες 5 Μετακινούμε το σώμα Σ 1 προς τα κάτω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου μέχρι το ελατήριο να συμπιεστεί από το φυσικό του μήκος κατά l = 0,3. Τοποθετούμε ένα δεύτερο σώμα Σ 2 μάζας 2 = 1kg στο κεκλιμένο επίπεδο, ώστε να είναι σε επαφή με το σώμα Σ 1, και ύστερα αφήνουμε τα σώματα ελεύθερα. Σχολική Χρονιά Γ3. Να Να υπολογίσετε τη σταθερά τη σταθερά επαναφοράς επαναφοράς του σώµατος του Σσώματος 2 κατά τη διάρκεια κατά τηςτη ταλάντωσης διάρκεια του. της ταλάντωσής του. Σ 2 D Μονάδες 6 Για το σύστηµα των δύο σωµάτων : ω =. Για το Σ 2 : D 2 = ΤΕΛΟΣ 2 ω 2 D 5ΗΣ 2 = k D ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ 2 = 50N/.5. Να υπολογίσετε σε πόση απόσταση από τη ϑέση που αφήσαµε ελεύθερα τα σώµατα χάνεται η επαφή µεταξύ τους. Σε µια τυχαία ϑέση πάνω από την Θέση ισορροπίας που απέχει x απο αυτή σχεδιάζω τις δυνάµεις στο Σ 2. ΣF 2 = D 2 x N 2 gηµφ = D 2 x N = 2 gηµφ D 2 x Το Σ 2 δεν χάνει επαφή όταν : N 0 2 gηµφ D 2 x 0 x 0, 1 Το σώµα ϑα χάσει οριακά την επαφή του, όταν ανέβει κατά 0,1 πάνω από την ΘΙΤ των δύο σωµάτων. Στην ϑέση ισορροπίας των δύο σωµάτων ισχύει : ΣF = 0 ( )gηµφ = k l 2 l 2 = 0, 1 Η απόσταση από την αρχική ϑέση είναι 0, 2 + 0, 1 = 0, 3 9