2ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 14 Σεπτέµβρη 2014 Το σύστηµα Ελατηρίου - Μάζας / Κρούσεις. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α

Transcript

1 ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 14 Σεπτέµβρη 014 Το σύστηµα Ελατηρίου - Μάζας / Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της πρότασης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη ϕράση η οποία τη συµπληρώνει σωστά. [4 5 = 0 µονάδες] Α.1. Ενα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγµή που ϑεωρείται ως t 0 = 0 ϐρίσκεται στη ϑέση x = A. Σε χρόνο t = 3T 4 ϐρίσκεται σε ϑέση τέτοια ώστε : (γ) η κινητική του ενέργεια είναι µέγιστη και η συνισταµένη δύναµη µηδέν. Α.. Ενα σώµα µάζας m είναι δεµένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθε- ϱάς κ και το σύστηµα εκτελεί απλά αρµονική ταλάντωση. Αν προσφέροντας ενέργεια διπλασιάσουµε το πλάτος της ταλάντωσης τότε : (γ) η µέγιστη κινητική του ενέργεια τετραπλασιάζεται Α.3. Οταν ένα σώµα που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση, ϐρίσκεται στην ϑέση όπου ο ϱυθµός µεταβολής της ταχύτητας είναι µέγιστος τότε : (ϐ) η δύναµη επαναφοράς είναι µέγιστη 1

2 Α.4. ύο σφαίρες Α και Β ίδιας µάζας κινούνται µε ταχύτητες αλγεβρικής τιµής υ 1 και υ αντίστοιχα. Οι σφαίρες συγκρούονται µετωπικά και ελαστικά µε αποτέλεσµα µετά την κρούση να έχουν ταχύτητες υ 1 και υ. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή : (α) υ 1 + υ 1 = υ + υ Α.5. Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράµµα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασµένη. [5 1 = 5 µονάδες] (α) Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση η κινητική γίνεται ίση µε την δυνα- µική ενέργεια δύο ϕορές σε χρόνο µιας περιόδου. Λ (ϐ) Στη ϑέση όπου µηδενίζεται η δύναµη επαναφοράς µηδενίζεται και η δύναµη του ελατηρίου για σώµα που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση δεµένο σε κατακόρυφο ελατήριο Λ (γ) Ενα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση σε λείο δάπεδο,δεµένο σε οριζόντιο ελατήριο. Τότε κάθε ϕορά που διέρχεται από τη ϑέση ϕυσικού µήκους του ελατηρίου η ταχύτητα του µεγιστοποιείται. Σ (δ) Σύστηµα ελατηρίου µάζας εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε περίοδο Τ. Αν τετραπλασιάσουµε τη µάζα τότε η περίοδος της ταλάντωσης ϑα διπλασιαστεί. Σ (ε) Μια κρούση µεταξύ δύο σωµάτων χαρακτηρίζεται ελαστική όταν η ορµή του συστήµατος των σωµάτων παραµένει σταθερή. Λ Θέµα Β Β.1. ύο σώµατα Σ 1 και Σ µε ίσες µάζες ισορροπούν κρεµασµένα από κατακόρυφα ιδανικά ελατήρια µε σταθερές k 1 και k αντίστοιχα,οι οποίες συνδέονται µε τη σχέση k 1 = k.

3 Αποµακρύνουµε τα σώµατα Σ 1 και Σ από τη ϑέση ισορροπίας τους κατακόρυφα προς τα κάτω κατά x και x αντίστοιχα και τα αφήνουµε ελεύθε- ϱα την ίδια χρονική στιγµή,οπότε εκτελούν απλή αρµονική ταλάντωση. Τα σώµατα διέρχονται για πρώτη ϕορά από τη ϑέση ισορροπίας τους : (γ) σε διαφορετικές χρονικές στιγµές µε πρώτο το Σ. Τα σώµατα διέρχονται από την ΘΙΤ σε χρονικό διάστηµα t = T 4 από την στιγµή της αρχικής εκτροπής τους. Επειδή η περίοδος για ένα σύστηµα µάζας - ελατηρίου δίνεται από την σχέση T = π m k είναι προφανές ότι το Σ ϑα έχει µικρότερη περίοδο, άρα ϑα διέρχεται πρώτο από την ΘΙΤ, ανεξάρτητα από το πλάτος ταλάντωσης. Β.. Στην κάτω άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, η πάνω άκρη του οποίου είναι στερεωµένη σε ακλόνητο σηµείο, σώµα µάζας µ εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους d, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. Οταν το σώµα διέρχεται από τη ϑέση ισορροπίας, η επιµήκυνση του ελατηρίου είναι d. Στην κατώτερη ϑέση της ταλάντωσης του σώµατος, ο λόγος της δύναµης του ελατηρίου προς τη δύναµη επαναφοράς είναι : (ϐ) F ελ F επ = 3 F ελ = k l F επ kx = d + d d = 3 3

4 Β.3. Ενα σώµα µάζας m 1 συγκρούεται µετωπικά µε δεύτερο ακίνητο σώµα µάζας m. Αν η σύγκρουση ϑεωρηθεί ελαστική και η αρχική κινητική ενέργεια του m 1 είναι K 1, η κινητική ενέργεια που χάνει το m 1 είναι : (γ) K 1 = 4m 1m (m 1 + m ) K 1 K 1 = 1 m 1υ 1 1 m 1υ1 = 1 m 1( m 1 m υ 1 ) 1 m 1 + m m 1υ1 K 1 = K 1 (( m 1 m ) ( 4m 1 m ) 1) = K 1 m 1 + m (m 1 + m ) Θέµα Γ Ενα σώµα m = kg ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, δεµένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωµένο. Εκτρέπουµε το σώµα από τη ϑέση ισορροπίας κατά x o προς τη ϑετική ϕορά και τη χρονική στιγµή t o = 0 το αφήνουµε ελεύθερο. Κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης που ακολουθεί η κινητική ενέργεια του σώµατος µεταβάλλεται µε το χρόνο όπως στο παρακάτω διάγραµµα. K (J ) 4 0 0,1 p t ( s ) 0, p 0,3 p 4

5 (α) Να υπολογίσετε την ενέργεια που προσφέραµε για να εκτρέψουµε το σύστηµα κατά x o από τη ϑέση ισορροπίας του καθώς και το πλάτος της ταλάντωσης. Από το διάγραµµα προκύπτει ότι E = 4J και T = 0, π ω = 10rad/s D = k = mω = 00N/m. Αρα η ενέργεια που προσφέραµε για να εκτρέψουµε το σύστηµα είναι 4J και το πλάτος είναι E A = x o = = 0, m k (ϐ) Να γράψετε την εξίσωση της δυναµικής ενέργειας της ταλάντωσης και την εξίσωση της επιτάχυνσης του σώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο. Από το διάγραµµα προκύπτει ότι για t = 0 το σώµα είναι σε ακραία ϑέση, αφού η Κινητική Ενέργεια είναι µηδενική. Αφού η αρχική εκτροπή είναι ϑετική είναι στην ϑέση x = +A, οπότε A = Aηµ(0 + φ o ) φ o = π Αρα : U = 1 Dx = Eηµ (ωt + φ o ) U = 4ηµ (10t + π )(S.I.) α = 0ηµ(10t + π )(S.I.) (γ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώµατος τη χρονική στιγµή που περνά για πρώτη ϕορά από τη ϑέση x = 0, 1m. Α..Ε.Τ. : 1 ka = 1 kx + 1 mυ υ = ±ω A x = 3m/s (δ) Να ϐρείτε το πηλίκο της κινητικής ενέργειας προς τη δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης τις στιγµές που η συνισταµένη δύναµη την οποία δέχεται το σώµα έχει µέτρο 0N. ΣF = Dx x = 0, 1m K U = E U U Θέµα = E 1 kx 1 kx = 3 5

6 Σώµα Α µάζας m 1 = 3Kg ισορροπεί σε λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30 o, δεµένο στο πάνω άκρο ελατηρίου, σταθεράς k = 300N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωµένο ακλόνητα στο έδαφος. Μια σφαίρα Β µάζας m = 1Kg αφήνεται ελεύθερη από απόσταση S = 1, 6m πάνω απ το σώµα, µε το οποίο συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά. Μετά την κρούση η σφαίρα επιστρέφει προς τα πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο διανύοντας διάστηµα S 1 µέχρι να σταµατήσει..1 Βρείτε την αρχική συσπείρωση l του ελατηρίου στη ϑέση ισορροπίας του m 1 και αποδείξετε ότι, µετά την κρούση, ϑα κάνει απλή αρµονική ταλάντωση. Στην Θέση Ισορροπίας ασκούνται η δύναµη του ελατηρίου και το ϐάρος. Αναλύοντας το ϐάρος σε συνιστώσες και µε την χρήση της συνθήκης ισορροπίας ϑα προκύψει : ΣF = 0 k l o = m 1 gηµφ l o = 0, 05m Σε µια τυχαία ϑέση που απέχει x από την ΘΙΤ και κάτω από αυτή ΣF = F ελ w x = k( l o + x) w x ΣF = kx. Να υπολογιστεί η µέγιστη επιπλέον συµπίεση του ελατηρίου ( πλάτος της ταλάντωσης ). Εφαρµόζω το ΘΜΚΕ για να υπολογίσω την ταχύτητα υ της σφαίρας Β µετά την επιτάχυνση της από το κεκλιµένο επίπεδο : 6

7 1 m υ 0 = m gηµφs υ = 4m/s Για την ελαστική κρούση µεταξύ των δύο σωµάτων Α και Β οι ταχύτητες µετά την κρούση ϑα δίνονται από : υ = m m 1 υ = υ = m/s και υ 1 = m 1 υ = υ = m/s m 1 + m m 1 + m Η ταχύτητα που αποκτά το σώµα Α είναι και η µέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης του υ 1 k = ωa (ω = m 1 = 10rad/s). Αρα προκύπτει A = 0, m..3 Βρείτε πότε η ταχύτητα του σώµατος ϑα γίνει υ max για η ϕορά. Με ϐάση την εκφώνηση για t = 0 το σώµα είναι στην ΘΙΤ και έχει υ > 0, άρα φ o = 0. Οπότε υ = υ max συν(ωt) υ max = υ max συν(10t) συν(10t) = 1 10t = κπ ± π 3 t = κπ 5 ± π 30 t = π 30 s, π 6s. Αρα η δεύτερη ϕορά είναι ο µεγαλύτερος χρόνος ( π 6 )..4 Να ϐρείτε το χρονικό διάστηµα t και την απόσταση s 1 που διανύει το σώµα m αµέσως µετά την κρούση, µέχρι να σταµατήσει στιγµιαία. Για την κίνηση του σώµατος m εφαρµόζω ΘΜΚΕ µετά την κρούση, για να ϐρω το διάστηµα µέχρι να σταµατήσει στιγµιαία : 0 1 m υ = m gs 1 ηµφ S 1 = 0, 4m Για να ϐρω τον χρόνο χρησιµοποιώ τις εξισώσεις της οµαλά επιβραδυνόµενης κίνησης (S 1 = υ t 1 αt και υ = υ αt). Για την χρονική στιγ- µή που ψάχνουµε η ταχύτητα είναι µηδέν, άρα 0 = υ αt α = υ t S 1 = υ t 1 υ t t = 0, 4s Επιµέλεια : Μ.Καραδηµητρίου 7