Τίτλος: Διαστημική Πτήση-Προσγειώνοντας ένα Διαστημόπλοιο

Transcript

1 Τίτλος: Διαστημική Πτήση-Προσγειώνοντας ένα Διαστημόπλοιο Θέματα: Εκθέτες, παράγωγα, θερμοκρασία, ταχύτητα, απόσταση και χρόνος, πυκνότητα αέρα, μετατροπή ενέργειας Χρόνος: 35 λεπτά Ηλικία: 6+ Διαφοροποίηση: Ψηλότερο Επίπεδο: Η διαφορική εξίσωση μπορεί να λυθεί δίχως υποστήριξη CAS, όπως φαίνεται και στο φύλλο απαντήσεων α. Χαμηλότερο Επίπεδο: Μπορούν να δοθούν επεξηγήσεις ή τα φύλλα απαντήσεων ή μπορεί να παραληφθεί η διαφορική εξίσωση. Κατευθυντήριες Οδηγίες, Υποστήριξη κτλ.: Φύλλα λύσεων για τα φύλλα εργασίας και. Αναλόγως με τη γνώση των μαθηματικών και της επιστήμης που μπορεί να κατέχουν, ο καθηγητής μπορεί να επιλέξει κατά πόσο θα παραχωρήσει στους μαθητές το φύλλο με όλες τις απαντήσεις, να τους δώσει επεξηγήσεις ή να αποφύγει εντελώς τη χρήση των απαντήσεων. Το φύλλο απαντήσεων χρησιμοποιεί το CAS για να λύσει τη διαφορική εξίσωση ενώ το φύλλο α λύνει την εξίσωση με το «χέρι».

2 Απαραίτητος εξοπλισμός: Φύλλο εργασίας Πρόσβαση στο Διαδίκτυο Προαιρετικό: Μοντέλο Διαστημοπλοίου Προαπαιτούμενη Γνώση: Έννοιες των τύπων της Ενέργειας Συναρτήσεις και Παράγωγα Έννοια της τριβής του αέρα Εκπαιδευτικά Αποτελέσματα για αυτή τη δραστηριότητα: Οι μαθητές θα είναι ικανοί να πραγματοποιήσουν του υπολογισμούς στα φύλλα εργασίας, είτε με τη χρήση CAS και/ή με την βοήθεια των φύλλων απαντήσεων. Οι μαθητές θα είναι ικανοί να κατανοήσουν τα προβλήματα και τις πιθανές λύσεις σε σχέση με την θερμομόνωση. Οι μαθητές θα είναι ικανοί να κατανοήσουν τις φυσικές αρχές της τριβής του αέρα. Οι μαθητές θα είναι ικανοί να συνεργαστούν εντός της ομάδας αλλά και συλλογικά με άλλες ομάδες για να επιφέρουν αποτελέσματα. Ασφάλεια και προστασία:

3 Περιγραφή Μαθήματος Εναρκτήρια Δραστηριότητα Στην αρχή του μαθήματος ο καθηγητής θα εισάγει το θέμα μέσω βίντεο στο οποίο αποτυπώνεται η απογείωση και η προσγείωση ενός διαστημοπλοίου. Αν και το διαστημόπλοιο δεν χρησιμοποιείται πλέον, εντούτοις ακόμα προσφέρεται για ένα ενδιαφέρον θέμα για τα μαθηματικά και την φυσική και οι αρχές παραμένουν οι ίδιες για ένα οποιοιδήποτε διαστημόπλοιο. Μετέπειτα θα ρωτηθούν κάποιες εισαγωγικές ερωτήσεις: Πιστεύεις πως το διαστημόπλοιο πηγαίνει γρηγορότερα σε ένα σημείο κατά την απογείωση, ενώ βρίσκεται σε τροχιά ή σε ένα σημείο κατά την προσγείωση (Απάντηση: ενώ βρίσκεται σε τροχεία); Τότε γιατί το διαστημόπλοιο έχει μια «πραγματικά καυτή» φάση μόνο κατά την προσγείωση; πόσο ζεστό είναι το «πραγματικά ζεστό»; Και πόσο διαρκεί αυτή η φάση; Καταγράφονται οι διάφορες εκτιμήσεις στον πίνακα. Κύρια Δραστηριότητα ΟΙ μαθητές χωρίζονται σε 4 ομάδες. Οι ομάδες διαλέγουν ένα από τα θέματα : «θερμοκρασία», «χρόνος», «μόνωση» ή «ταχύτητα» και λαμβάνουν τα σχετικά φύλλα εργασίας. Δίνεται στις ομάδες χρόνος για να τα διαβάσουν, να τα κατανοήσουν και να κάνουν περίληψη το περιεχόμενο του φύλλου εργασίας και μετέπειτα να ετοιμάσουν μια αφίσα και μια πεντάλεπτη παρουσίαση για τους συμμαθητές τους. Αυτό θα γίνει στα μαθήματα και. Καταληκτική Δραστηριότητα Στο μάθημα 3, κάθε ομάδα θα προβεί στην παρουσίαση των αποτελεσμάτων της στην υπόλοιπη τάξη. Κάθε πεντάλεπτη παρουσίαση θα ακολουθήται από μια πεντάλεπτη περίοδο ερωτοαπαντήσεων (η οποία και θα πραγματοποιείται ως επί το πλείστο από τους μαθητές ενώ ο καθηγητής θα επεμβαίνει μόνο εάν δίνονται λάθος απαντήσεις ή εάν δεν καλύπτονται σημαντικά θέματα). Στο τέλος αυτής της περιόδου, οι μαθητές θα πρέπει να έχουν καλυμμένα τα πιο σημαντικά θέματα. Το μάθημα μπορεί να τελειώσει με αρκετούς τρόπους μετά από την παρουσίαση και την περίοδο εροτοαπαντήσεων. Μπορούν να συζητηθούν επίκαιρες διαστημικές αποστολές ή η ιστορία των διαστημικών αποστολών ή ακόμα και να υποβληθούν προς τον καθηγητή επιπλέον ερωτήσεις.

4

5 Διαστημική Πτήση-Προσγειώνοντας ένα Διαστημόπλοιο Φύλλο εργασίας - Θερμοκρασία Πόσο ζεστό γίνεται ένα διαστημόπλοιο κατά τη διάρκεια μιας προσγείωσης; Προτού να μπορούμε να απαντήσουμε αυτή την ερώτηση, πρέπει πρωτίστως να δούμε γιατί ένα διαστημόπλοιο θερμαίνεται τόσο. Η απάντηση είναι κοινώς γνωστή ως τριβή του αέρα. Τα μόρια του αέρα (κυρίως τα μόρια αζώτου και οξυγόνου) κτυπούν την συμπαγή επιφάνεια του διαστημοπλοίου και ένα μικρό ποσοστό της κινητικής ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική (ή κινητική ενέργεια των μορίων). Σε σχετικά μικρές ταχύτητες, αυτό το φαινόμενο υπάρχει αλλά είναι πολύ αμελητέο για να το αντιληφθούμε- π.χ. εάν μετακινήσετε τα χέρια σας ανάμεσα του αέρα δεν το αισθάνεστε- Σε ταχύτητες αεροπλάνου, το φαινόμενο είναι ήδη μετρήσιμο. Στην ταχύτητα του διαστημόπλοιου (περίπου 0 φορές της ταχύτητας ενός εμπορικού αεροπλάνου) το φαινόμενο γίνετε ένα μεγάλο πρόβλημα μηχανικής. Εργασία: Το «ζεστότερο» σημείο κατά την προσγείωση είναι μεταξύ του χρόνου που βγαίνει το διαστημόπλοιο από την τροχεία (δηλ. Του χρόνου που ξεκινά η διαδικασία προσγείωσης) σε ένα υψόμετρο km και σε μια ταχύτητα v 5, 900 km/h, και μεταξύ του χρόνου που το διαστημόπλοιο εξέρχεται της ραδιοφωνικής συσκότισης σε υψόμετρο 55km και ταχύτητα v 3, 300 km/h.πόσο αυξάνεται η θερμοκρασία της επιφάνειας του J σκάφους ( η θερμοχωρητικότητα του σκάφους είναι c 500 ) σε αυτή την περίοδο; Ενδιαφέρον γεγονός: Λόγο της επίδρασης του κρουστικού κύματος, μόνο το 4% της μετατρεμμένης ενέργειας θερμαίνει το σκάφος, η υπόλοιπη θερμαίνει τον αέρα μα αυτό δεν μας ενδιαφέρει εδώ). kgk

6 Πώς μπορεί το διαστημόπλοιο να αντέξει αυτή τη θερμοκρασία; Συζητήστε με την ομάδα «μόνωση»! Διαστημική Πτήση-Προσγειώνοντας ένα Διαστημόπλοιο Φύλλο Εργασίας -χρόμος Πόσο διαρκεί η «ζεστή φάση» κατά τη διάρκεια της προσγείωσης ενός διαστημοπλοίου; Γνωρίζουμε ήδη πως η «τριβή του αέρα» είναι ο κύριος λόγος που θερμαίνεται ένα διαστημόπλοιο ενώ προσγειώνετε. Είναι επίσης ο κύριος λόγος που ελαττώνεται η ταχύτητα του. Η τριβή του αέρα εξαρτάτε από αρκετούς παράγοντες: τη ταχύτητα v (ο κύριος παράγοντας), τη πυκνότητα του αέρα ρ, (ενεργή) τη περιοχή επιφάνειας του αντικειμένου A eff, a και τη γεωμετρική μορφή του αντικειμένου (περιγραφόμενη από ένα παράγοντα αντικειμένου, ή ένα συντελεστή οπισθέλκουσας c d ). Η επιβράδυνση μπορεί να υπολογιστεί με: a v m A eff c d Η μάζα, οι ενεργές επιφάνειες, και οι παράγοντες μορφής του σκάφους μπορούν να καθοριστούν εύκολα και να παραμένουν σχετικά σταθεροί, αλλά η πυκνότητα του αέρα εξαρτάται από το υψόμετρο τις καιρικές συνθήκες κτλ. Η πυκνότητα του αέρα στην ατμόσφαιρα της Γής σε συγκεκριμένο υψόμετρο h (σε m) υπολογίζεται με: h h 0 e, όπου 0 3 kg.50 είναι η πυκνότητα του αέρα στο επίπεδο της m θάλασσάς Εργασία: Το «ζεστότερο» σημείο κατά την προσγείωση είναι μεταξύ του χρόνου που βγαίνει το διαστημόπλοιο από την τροχεία (δηλ. του χρόνου που ξεκινά η διαδικασία προσγείωσης)

7 σε ένα υψόμετρο km. και σε μια ταχύτητα v 5, 900 km/h, και μεταξύ του χρόνου που το διαστημόπλοιο εξέρχεται της ραδιοφωνικής συσκότισης σε υψόμετρο 55km και ταχύτητα v 3,300 km/h. Η περιοχή πτέρυγας είναι 50 m, και έρχεται με την μύτη ανυψωμένη στις περίπου 40, η μάζα του κατά την προσγείωση είναι κατά προσέγγιση 00 t, και ο συντελεστής οπισθέλκουσας είναι περίπου (Σχόλιο: Για σχετικά απλούστερους υπολογισμούς, θεωρείστε την πυκνότητα αέρα σε μια σταθερή αξία ). Τώρα ξέρουμε την ταχύτητα στο σημείο επαναεισόδου και τη ταχύτητα στο χρόνο που τελειώνει η ραδιοφωνική συσκότιση, αλλά, πόσο γρήγορη είναι η μέγιστη ταχύτητα; Συζητήστε με την ομάδα «ταχύτητα!» Διαστημική Πτήση Προσγειώνοντας ένα Διαστημόπλοιο Φύλλο εργασίας 3- Μόνωση 55km Πώς μπορεί το διαστημόπλοιο να αντέξει την θερμότητα; Η θερμοκρασία των ζεστότερων σημείων του διαστημοπλοίου κατ την προσγείωση είναι >,500 C. Αυτό σημαίνει ότι η χρήση κανονικών υλικών από τα οποία φτιάχνεται ένα αεροπλάνο δεν θα ήταν ικανά για να το προστατέψουν από την θερμότητα της επανεισόδου (το ατσάλι λιώνει στους 530 C, το αλουμίνιο στους 660 C, και το πολυανθρακικό από το οποίο είναι φτιαγμένα τα παράθυρα των αεροπλάνων λιώνει ήδη σους 55 C). Είναι για αυτό που η επιφάνεια του σκάφους (ειδικότερα τα σημεία που γίνονται πιο ζεστά, δηλ. το καπάκι της μύτης και οι προεξέχων άκρες των φτερών και σε ένα λιγότερο βαθμό το κάτω μέρος του κυρίου σώματος και των φτερών) είναι καλυμμένα με ένα Θερμικό Προστατευτικό Σύστημα-ενισχυμένος άνθρακας-με τοποθέτηση άνθρακα σε κρίσιμα σημεία, μονωτικά κεραμίδια φτιαγμένα από κεραμικά πυριτίου (που έχουν ψηλό σημείο τήξης και αποβάλουν θερμότητα πολύ γρήγορα, δέστε την εικόνα στα δεξιά) και ευέλικτες κουβέρτες μόνωσης στα «πιο κρύα» σημεία. Εργασία : Βρέστε ποια από τα υλικά χρησιμοποιούνται σε ποια μέρη του σκάφους! Για ποίο εύρος θερμοκρασίας χρησιμοποιείται το κάθε υλικό; Εργασία : Ποια η κύρια διαφορά μεταξύ του συστήματος θερμικής προστασίας του σκάφους και αυτού που χρησιμοποιούταν σε πρωτύτερα διαστημόπλοια (π.χ. η κάψουλα του Apollo); Γιατί νομίζετε άλλαξε το σύστημα; Πόσο ζεστό ακριβώς γίνεται το σκάφος; Συζητήστε με την ομάδα «θερμοκρασία»!

8

9 Διαστημική Πτήση -Προσγειώνοντας ένα Διαστημόπλοιο Φύλλο εργασίας 4- ταχύτητα Πόσο γρήγορα κινείτε το Διαστημόπλοιο; Όπως θα δείτε το διαστημόπλοιο δεν έχει μια σταθερή ταχύτητα αρά η ερώτηση «πόσο γρήγορα κινείται» θα πρέπει να διευκρινιστεί άμεσα με το να ρωτήσουμε «σε ποιο χρονικό σημείο» και «σε σχέση με τι»- αφού εξάλλου η ταχύτητα είναι σχετική! Ας υποθέσουμε πως για την διάρκεια αυτού του μαθήματος θα μιλούμε για την ταχύτητα σε σχέση με την Γη. Εργασία : Από την ώρα της απογείωσης, και για περίπου 6 δευτερόλεπτα, το σκάφος έχει μια μέση επιτάχυνση (αποτέλεσμα κυρίως των Συμπαγές, Ενισχυτών Πυραύλων, [SRB], που είναι οι δύο λευκοί κυλινδρικοί πύραυλοι στο πλευρό του σκάφους, και σε ένα λιγότερο βαθμό, από τις κυρίως μηχανές) περίπου 6.6 m/s. Πόσο γρήγορο είναι το σκάφος όταν «φεύγει από τον πύργο», δηλ όταν το χαμηλότερο μέρος του σκάφους ξεπερνά το ψηλότερο σημείο της εξέδρας απογείωσης (απόσταση περίπου 05.8 m); Εργασία : 4 δευτερόλεπτα εντός της πτήσης, οι SRBs αδειάζουν και αποσπώνται από το σκάφος, το οποίο από αυτή τη στιγμή κινείται μόνο με τις κυρίως μηχανές. Σε αυτό το χρονικό σημείο, η ταχύτητα είναι 5,650 km/h. Υπολογίστε την μέση επιτάχυνση του σκάφους από την απογείωση μέχρι την διαχώριση των SRB. Εργασία 3: Στη τελική φάση της απογείωσης, δηλ.8 λεπτά και 30 δεύτερα μετά την απογείωση, οι κυρίως μηχανές σβήνουν, (ΣΚΜ, Σβήσιμο Κυρίως Μηχανών) και το σκάφος φθάνει στην (σχεδόν) τελική και στη μέγιστη ταχύτητα του στα 9,000 km/h. Ενδιαφέρον γεγονός: μπορεί να παρατηρηθεί μια αύξηση ταχύτητας λόγο της ενεργοποίησης των προωθητήρων, αλλά αυτή είναι ελάχιστη). Ποια η μέση επιτάχυνση του σκάφους από τον διαχωρισμό των SRB μέχρι το ΣΚΜ; Και η μέση επιτάχυνση κατά την συνολική διαδικασία απογείωσης;

10 Αυτή ήταν η Απογείωση! Πόσο γρήγορο ήταν το σκάφος στη αρχή και το τέλος της «ζεστής φάσης» κατά τη διάρκεια της προσγείωσης; Πόσο διαρκεί αυτή η φάση; Συζητήστε με την ομάδα «χρόνος»!

11 Διαστημική Πτήση-Προσγειώνοντας ένα Διαστημόπλοιο Φύλλο Απαντήσεων -Θερμοκρασία E kin m v Κινητική ενέργεια E th mct Θερμική ενέργεια Μετατροπή Ενέργειας: Διαφορά Κινητικής ενέργειας = Διαφορά Θερμικής ενέργειας Λαμβάνουμε υπόψη μόνο το 4% της μετατρεπόμενης Ενέργειας του σκάφους: Διαφορά Κινητικής ενέργειας = 4% Διαφορά Θερμικής ενέργειας E th E kin m c T m v m v m v v v v 0.04 T c Αφού κάνουμε τους υπολογισμούς στο μετρικό σύστημα, όλες οι μονάδες (ειδικά εδώ η ταχύτητα) πρέπει να μετατραπούν σε τυποποιημένες μονάδες. Για τη ταχύτητα αυτό είναι m/s. Ο παράγοντας μετατροπής μεταξύ km/h και m/s είναι 3.6, δηλ. m/s = 3.6 km/h. Αυτό οδηγεί στο v 7, 94m/s και v 3, 700 m/s. Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τη διαφορά θερμοκρασίας: T v 0.04 c v 7,94 3, ,5 Η διαφορά Θερμοκρασίας είναι,5 K. Αφού οι βαθμοί Κελσίου και Κέλβιν έχουν τις ίδιες σχετικές μονάδες κλίμακας, μπορούμε επίσης να γράψουμε: η διαφορά θερμοκρασίας είναι,5 C.

12 Διαστημική Πτήση-Προσγειώνοντας ένα Διαστημόπλοιο Φύλλο Απαντήσεων -Χρόνος Ξεκινούμε με την συνάρτηση v(t), δίνοντας την σχέση μεταξύ της ταχύτητας v και του χρόνου t. Για να βρούμε αυτή τη σχέση, ας θυμηθούμε πως η επιβράδυνση είναι η αλλαγή της ταχύτητας με τον χρόνο δηλ. dv a dt Με την πιο πάνω εξίσωση για επιβράδυνση με την τριβή του αέρα παίρνουμε: dv a dt v m A eff c d Αυτή είναι η διαφορική εξίσωση που μπορεί π.χ. να λυθεί χρησιμοποιώντας ένα υπολογιστή αλγεβρικών συστημάτων (CAS). Η λύση είναι: v( t) m A eff c d t Τώρα μένει μόνο να υπολογίσουμε τις εναπομείναντες μεταβλητές: η πυκνότητα του αέρα ρ, και η ενεργή επιφάνεια του αντικειμένου A eff ( Η μάζα, ο συντελεστής οπισθέλκουσας, καθώς και η ταχύτητα στο χρόνο που το διαστημόπλοιο εξέρχεται της «καυτής φάσης» είναι γνωστά). Όσο για την πυκνότητα του αέρα, έχουμε υποθέσει πως αυτή είναι σταθερή με αξία 55km: 55km 55,000m e 0 55, kg m Όσο για την ενεργή επιφάνια, κάποιος μπορεί να σκεπτόταν πως αυτή θα ήταν η ίδια με την περιοχή πτέρυγας (50 m ), αλλά υποθέτουμε πως το σκάφος έρχεται με γωνιά 40,( εντούτοις η πραγματική γωνία διαφέρει λόγω των αρκετών μανουβρών πτήσης που πραγματοποιούνται από τον επιβαίνων υπολογιστή αλλά για το μεγαλύτερο μέρος της επανεισόδου η γωνία είναι 40 ), δηλ. η ενεργός περιοχή πρέπει να μειωθεί με τον παράγοντα sin 40 ( εάν δείτε ένα φύλλο χαρτί από μια γωνιά 90 βλέπετε την πλήρη περιοχή αλλά από μια άλλη γωνιά η περιοχή φαίνεται την μικρότερη) A eff 50 m sin m Τέλος, εισαγάγουμε τις τιμές στη εξίσωση για τη ταχύτητα και υπολογίζουμε τον χρόνο t:

13 v( t) t v( t) A eff c d m 3,653s 60min Το σκάφος χρειάζεται περίπου 60 λεπτά από τότε που εξέρχεται της τροχιάς του μέχρι το τέλος της ραδιοφωνικής συσκότισης.

14 Διαστημική Πτήση-Προσγειώνοντας ένα Διαστημόπλοιο Φύλλο Απαντήσεων α-χρόνος Ξεκινούμε βρίσκοντας την συνάρτηση v(t), δεδομένου της σχέσεως μεταξύ ταχύτητας v και χρόνου t. Ας θυμηθούμε πως η επιβράδυνση είναι η αλλαγή της ταχύτητας με τον χρόνο δηλ. a = da da Με την πιο πάνω εξίσωση για την επιβράδυνση με την τριβή του αέρα παίρνουμε: dv a v dt m Αυτή είναι μια διαφορική εξίσωση της μορφής: A eff c d v k v 0, with k A eff cd m Η απάντηση μπορεί να βρεθεί εύκολα π.χ. με τον διαχωρισμό των μεταβλητών: dv dt k v v dv k dt k t c, i.e. v v( t) k t c Αφού έχουμε τη συνοριακή συνθήκη v(0) = v = 5,900 km = 7,94 m/s, παίρνουμε c = , και η συνάρτηση v(t) για την ταχύτητα είναι: v( t) m A eff c d t Τώρα μένει μόνο να υπολογίσουμε τις εναπομείναντες μεταβλητές: την πυκνότητα του αέρα ρ, και την ενεργή επιφάνεια χώρου του αντικειμένου A eff ( οι υπόλοιπες αξίες είναι γνωστές ). Όσο για την πυκνότητα του αέρα, κάναμε την υπόθεση ότι αυτή είναι σταθερή στη τιμή 55km: 55km 55,000m e 0 55, kg m Όσο για την ενεργή επιφάνεια, κάποιος θα νόμιζε πως θα ήταν η ίδια με την περιοχή πτέρυγας (50 m ), αλλά το σκάφος έρχεται με γωνιά of 40, δηλ. η ενεργή περιοχή πρέπει να μειωθεί κατά ένα παράγοντα, sin 40 : A eff 50m sin40 60m Τέλος, εισαγάγουμε όλες τις αξίες στην εξίσωση για την ταχύτητα και υπολογίζουμε τον χρόνο t:

15 v( t) t v( t) A eff c d m 3,653s 60min Το σκάφος χρειάζεται περίπου 60 λεπτά από την έξοδο τροχιάς μέχρι την ραδιοφωνική συσκότιση.