1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής"

Transcript

1

2 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Σε πολλά προβλήματα των Πειραματικών και Εφαρμοσμένων Επιστημών αλλά και σε προβλήματα καθαρών Μαθηματικών, στα οποία άγνωστη είναι μια συνάρτηση y y( ), καταλήγουμε από τα δεδομένα σε μια εξίσωση στην οποία εμφανίζονται παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης Παράδειγμα Δοχείο το οποίο περιέχει υγρό θερμοκρασίας 00 0 C τοποθετείται σε δωμάτιο με σταθερή θερμοκρασία 0 0 C Η ταχύτητα ψύξης είναι οποιαδήποτε στιγμή ανάλογη της διαφοράς των θερμοκρασιών υγρού και δωματίου (νόμος του Νεύτωνα) Αν η θερμοκρασία του υγρού μετά από 5 min είναι 60 0 C πόση θα είναι μετά από 0 min; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό, παρατηρούμε ότι η θερμοκρασία θ του υγρού είναι, μετά την τοποθέτησή του στο δωμάτιο, συνάρτηση θθ(t) του χρόνου t Η ταχύτητα μεταβολής της θερμοκρασίας δίνεται από την παράγωγο d θ και άρα η dt dθ ταχύτητα ψύξης δίνεται από την ποσότητα Επειδή η ταχύτητα ψύξης είναι dt κάθε χρονική στιγμή ανάλογη της διαφοράς των θερμοκρασιών, έχουμε την εξίσωση

3 0 Κεφάλαιο dθ aθ ( 0), () dt όπου α R, είναι σταθερή Από την εξίσωση (), στην οποία εμφανίζεται η συνάρτηση θ και η παράγωγός της d θ είμαστε υποχρεωμένοι να βρούμε τη συνάρτηση dt θθ(t) Παράδειγμα Σώμα με μάζα m gr είναι συνδεδεμένο με το άκρο ενός κατακορύφου ελατηρίου και το όλο σύστημα περιβάλλεται από μέσο του οποίου η αντίσταση είναι ανάλογη της ταχύτητας του σώματος Απομακρύνουμε κατακόρυφα το σώμα από τη θέση ισορροπίας του (Σχ ) και το αφήνουμε ελεύθερο Να περιγραφεί η κίνηση του συστήματος Σχ Από τη στιγμή που το σώμα αφήνεται ελεύθερο, το ελατήριο τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας και το όλο σύστημα αρχίζει να ταλαντεύεται Η κίνηση του συστήματος περιγράφεται πλήρως από τη συνάρτηση t (), όπου είναι η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας και t είναι ο χρόνος Οι δυνάμεις που καθορίζουν την κίνηση του συστήματος είναι οι παρακάτω δύο (το βάρος του σώματος εξουδετερώνεται από το ελατήριο) : (i) Η δύναμη του ελατηρίου, η οποία τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας Η δύναμη αυτή έχει αλγεβρική τιμή αντίθετη της απομάκρυνσης και μέτρο ανάλογο του μέτρου της απομάκρυνσης, δηλ είναι η δύναμη F β, όπου β R, β > 0

4 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ii) Η δύναμη αντίστασης του μέσου, η οποία έχει αλγεβρική τιμή αντίθετη της ταχύτητας του σώματος και μέτρο ανάλογο του μέτρου της ταχύτητας, δηλ dt είναι η δύναμη F a, όπου α R, α > 0 dt Η ολική δύναμη F F + F προσδίδει επιτάχυνση d γ στο σώμα και ο νόμος dt του Νεύτωνα F mγ, που ισχύει κάθε χρονική στιγμή t, δίνει την εξίσωση η οποία γράφεται d β a m dt dt, d 0 m + a + β () dt dt Από την εξίσωση (), στην οποία εμφανίζονται η άγνωστη συνάρτηση (t) και οι παράγωγοί της και d, είμαστε υποχρεωμένοι να βρούμε τη συνάρτηση dt dt () t Παράδειγμα Να βρεθεί καμπύλη κ του επιπέδου Oy της οποίας η κλίση της εφαπτομένης στο τυχαίο σημείο της P(, y) να είναι ίση με το διπλάσιο του γινομένου των συντεταγμένων του Ρ Όπως γνωρίζουμε, μια καμπύλη κ του επιπέδου Oy καθορίζεται στην Αναλυτική Γεωμετρία από την εξίσωσή της Άρα άγνωστη, στο πρόβλημά μας αυτό, είναι η εξίσωση F(, y) 0 της καμπύλης κ ή, ισοδύναμα, η συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την εξίσωση της κ Επειδή η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης κ στο τυχαίο σημείο της P(, y)δίνεται από την παράγωγο dy της συνάρτησης y y( ), έχουμε την ισότητα dy y () Από την εξίσωση (), στην οποία εμφανίζονται η ανεξάρτητη μεταβλητή, η άγνωστη συνάρτηση y και η παράγωγός της dy, είμαστε υποχρεωμένοι να βρούμε τη συνάρτηση y y( ) 4 Ορισμός Μια εξίσωση στην οποία άγνωστη είναι μια συνάρτηση y y( ) και στην οποία εμφανίζονται κάποιες παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης (δηλ μια ή

5 Κεφάλαιο και περισσότερες από τις συναρτήσεις εξίσωση ή (απλά) διαφορική εξίσωση ( ν) ) λέγεται συνήθης διαφορική y, y,, y 5 Παρατήρηση Η γενική μορφή μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η ( ν) F(, y, y, y,, y ) 0, (4) όπου ν N 6 Παρατήρηση Σε μια διαφορική εξίσωση εκτός από τις παραγώγους της άγνωστης συνάρτησης y y( ), οι οποίες είναι βέβαια σε πεπερασμένο πλήθος, είναι δυνατό να εμφανίζεται και η ανεξάρτητη μεταβλητή ή και η άγνωστη συνάρτηση y ή και οι δύο, αλλά αυτό δεν είναι αναγκαίοτο αναγκαίο είναι να εμφανίζεται κάποια παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης 7 Παρατήρηση Δεν θεωρούνται διαφορικές εξισώσεις οι ισότητες οι οποίες είναι ταυτότητες ως προς την άγνωστη συνάρτηση, όπως πχ η ( y) y + y 8 Παρατήρηση Επίσης δεν θεωρούνται διαφορικές εξισώσεις οι ισότητες εκείνες στις οποίες η εμφάνιση των παραγώγων είναι εικονική, όπως πχ η y + y + y 9 Παρατήρηση Σε ότι ακολουθεί, αντί συνήθης διαφορική εξίσωση γράφουμε, για συντομία, ΔΕ 0 Παράδειγμα Οι εξισώσεις (), (), () των Παραδειγμάτων, και, όπως και οι εξισώσεις d y y + y e, 4, d y d y dy y 0, (5) (4) dy yy 4y, y y ημ, y συν( ) + είναι όλες Δ Ε (διαφορικές εξισώσεις) Ορισμός Μια συνάρτηση y f ( ), η οποία είναι ορισμένη και η οποία παραγωγίζεται ν τουλάχιστον φορές σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Ι, λέγεται λύση ή ολοκλήρωμα της ΔΕ ( ν) F(, y, y, y,, y ) 0, (4) αν μετά την αντικατάσταση των ( ν) y με τα yy,, y,, f f f f ( ν) ( ), ( ), ( ),, ( ) στην (4) αυτή γίνεται ταυτότητα ως προς, δηλ αν

6 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ( ν) F, f( ), f ( ), f ( ),, f ( ) 0, Ι Παράδειγμα Να εξεταστεί αν η συνάρτηση είναι λύση της ΔΕ Έχουμε f( ) + e, R dy y + + (5) df ( + e ) e και df + f( ) e + + e +, R Επομένως η συνάρτηση y f ( ) είναι λύση της ΔΕ (5) Παράδειγμα Να εξεταστεί αν η συνάρτηση είναι λύση της ΔΕ Έχουμε και f( ) e 6 8, R y y y + 4 (6) f ( ) ( e ) e , f ( ) e + 4 f ( ) f ( ) + f( ) e + 4 ( e ) + ( e ) e e + e Επειδή υπάρχει τιμή του R, πχ η 0, τέτοια ώστε να είναι 4 + 4, η συνάρτηση y f ( ) δεν είναι λύση της ΔΕ (6) 4 Ορισμός Η λύση μιας ΔΕ είναι σε πολλές περιπτώσεις πλεγμένη συνάρτηση Η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την ισότητα f(, y ) 0 (7) λέγεται λύση ή ολοκλήρωμα της ΔΕ (4), αν παραγωγίζεται ν τουλάχιστον φορές και ( ν) μετά την έκφραση των y, y,, y με τα και y και την αντικατάσταση των εκφράσεων αυτών στην (4) αυτή επαληθεύεται από όλα τα και y τα οποία ικανοποιούν την (7)

7 4 Κεφάλαιο 5 Παράδειγμα Να εξεταστεί αν η πλεγμένη συνάρτηση y y ( ) η οποία ορίζεται από την ισότητα y + e y + e (8) είναι λύση της ΔΕ dy ( + e y) + e (9) Για να βρούμε την παράγωγο της πλεγμένης συνάρτησης y y( ) που ορίζεται από την ισότητα (8), παραγωγίζουμε τα μέλη της (8) ως προς και θεωρούμε το y συνάρτηση του Έτσι έχουμε dy y dy + e e ή dy + e y + e Επομένως (8) dy + e y + e ( + e y) ( + e y) ( + e ) + e y y + e + e για όλα τα, y που επαληθεύουν την (8) και κατά συνέπεια η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την (8) είναι λύση της ΔΕ (9) 6 Παράδειγμα Να εξεταστεί αν η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) η οποία ορίζεται από την ισότητα 5y y (0) 5 στο διάστημα 0, y + y y () είναι λύση της ΔΕ Παραγωγίζουμε τα μέλη της (0) ως προς και θεωρούμε το y συνάρτηση του Έτσι έχουμε 0y + 0 yy 6 y 4 yy 0 ή 0y 6 y 5y y y 4 y 0 y y 5 y Επομένως (5y y) 5y y + y 5y y + y + y y 5y y 5y (0) y y y y y, y 5 y (5y yy ) 5y y

8 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 5 για όλα τα, y που επαληθεύουν τη (0) Κατά συνέπεια η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από τη (0) είναι λύση της ΔΕ () 7 Ορισμός Μια ΔΕ λέγεται διαφορική εξίσωση ν τάξης (ν N ), αν η μεγαλύτερη τάξη των παραγώγων που εμφανίζονται σ αυτήν είναι ν, δηλ αν σ αυτήν εμφανίζεται η ν-οστή παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης και δεν εμφανίζεται παράγωγος μεγαλύτερης τάξης 8 Παράδειγμα Οι ΔΕ : dy (i) y (ii) (iii) dy + 0 d y ( ) ( ) (5) (4) () () y + y y + y y y ημ + συν ης ης είναι, αντίστοιχα,, και 5 ης τάξης 9 Παρατήρηση Μια ΔΕ πρώτης τάξης F(, y, y ) 0 () επιδέχεται γεωμετρική ερμηνεία ανάλογη με εκείνη του Παραδείγματος Πιο συγκεκριμένα, στη ΔΕ () καταλήγουμε όταν ζητούμε την καμπύλη κ του επιπέδου Oy που έχει την ιδιότητα : Ο συντελεστής διεύθυνσης λ y, της εφαπτομένης της καμπύλης κ στο τυχαίο σημείο της P(, y) συνδέεται με τις συντεταγμένες του Ρ με τη συγκεκριμένη σχέση F Οι λύσεις της ΔΕ () δίνουν όλες τις καμπύλες του επιπέδου που έχουν την παραπάνω ιδιότητα 0 Παρατήρηση Το κύριο πρόβλημα της Θεωρίας των ΔΕ είναι η εύρεση όλων των λύσεων μιας δοσμένης ΔΕ Το πρόβλημα αυτό δεν λύθηκε μέχρι σήμερα στη γενική του μορφή, αλλά σε ορισμένες μόνο απλές περιπτώσεις με μερικές από τις οποίες θα ασχοληθούμε κι εμείς στα επόμενα

9 6 Κεφάλαιο Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση Να εξεταστεί αν κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι λύση της ΔΕ που γράφεται απέναντι: (i) f( ) ce + ce y 6y + 9y 0 (ii) g ( ) ασυν( ) + βημ( ) y + 4y 0 (iii) h ( ) e ( ασυν+ βημ) y + y + y 0 όπου c, c, α, β είναι αυθαίρετες σταθερές (i) f ( ) ce + c ( e + e ) ce + ce + c e, f ( ) ce + ce + c ( e + e ) 9ce + 6ce + 9c e και f ( ) 6 f ( ) + 9 f( ) 9ce + 6ce + 9c e 6(ce + ce + c e ) + 9( ce + ce ) (9c+ 6c 8c 6c + 9 c) e + (9c 8c + 9 c) e 0 e + 0 e 0, R Επομένως η συνάρτηση y f () είναι λύση της ΔΕ y 6y + 9y 0 (ii) g ( ) a[ ημ( )] + β[ συν( )] aημ( ) + βσυν( ), g ( ) a[ συν( )] + β[ ημ( )] 4 aσυν( ) 4 βημ( ) και g ( ) + 4 g( ) 4 aσυν( ) 4 βημ( ) + 4[ aσυν( ) + βημ( )] ( 4a+ 4 a) συν( ) + ( 4β + 4 β) ημ( ) 0 συν( ) + 0 ημ( ) 0, R Επομένως η συνάρτηση g( ) είναι λύση της ΔΕ y + 4y 0 (iii) Η ισότητα που δίνεται h ( ) e ( aσυν+ βημ) γράφεται eh ( ) aσυν+ βημ () Παραγωγίζοντας τα μέλη της () παίρνουμε [ eh ( )] ( aσυν+ βημ) ή eh ( ) + eh ( ) aημ+ βσυν ()

10 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 7 Ακόμη, () [ eh ( ) + eh ( )] ( aημ+ βσυν) eh ( ) + eh ( ) + eh ( ) aσυν βημ eh ( ) + eh ( ) + eh ( ) ( aσυν+ βημ) e [ h( ) + h ( ) + h ( )] e h( ) ( e 0) e [ h ( ) + h ( ) + h( )] 0, R h ( ) + h ( ) + h( ) 0, R () Επομένως η συνάρτηση h ( ) είναι λύση της ΔΕ y + y + y 0 Άσκηση Να εξεταστεί αν κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι λύση της ΔΕ που γράφεται απέναντι: 5 (i) ( ) d y dy f e 5e 7 + y 0 dy (ii) g ( ) ( + ae ) + y e (iii) h ( ) + ae dy 4y 8, + όπου a είναι αυθαίρετο στοιχείο του R (i) f ( ) ( e ) (5 e ) 6e 5 e, f ( ) 8e 5e και f ( ) 7 f ( ) + f( ) 8e 5e 7(6e 5 e ) + (e 5 e ) (8 4 4) e ( ) e 0 e 0 e 0 e Επειδή υπάρχει τιμή του R (πχ η 0 ) για την οποία η παράσταση f ( ) 7 f ( ) + f ( ) είναι διάφορη του μηδενός, δηλ επειδή [ f ( ) 7 f ( ) + f( )] [ 0 e ] 0 0, η συνάρτηση f ( ) δεν είναι λύση της ΔΕ y 7y + y 0 (ii) g ( ) ( + a) e + ( + a)( e ) e ( + a) e και g ( ) + g( ) e ( + a) e + ( + a) e e, R Επομένως για κάθε a R η συνάρτηση g( ) είναι λύση της ΔΕ + y y e

11 8 Κεφάλαιο (iii) h ( ) + ( ae ) 0 + ae ( ) 4ae και h ( ) + 4 h( ) 4ae + 4 ( + ae ) 4ae ae 8, R Επομένως για κάθε a R η συνάρτηση h ( ) είναι λύση της ΔΕ y + 4y 8 Άσκηση Να εξεταστεί αν κάθε μια από τις πλεγμένες συναρτήσεις y y( ) που ορίζονται από τις παρακάτω συνθήκες είναι λύση της ΔΕ που γράφεται απέναντι : (i) + y, 0< < yy + + y 0 (ii) y a ln, > 0 yy y + 0, όπου a R (i) Παραγωγίζουμε τα μέλη της ισότητας + y ως προς και θεωρούμε το y συνάρτηση του Έτσι έχουμε + y + y + ( y + yy ) 0 ή y 6y y Επομένως + y yy + + y y + + y ( + y ) + + y 0, y, y και κατά συνέπεια η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την ισότητα + y στο διάστημα [ 0, ] είναι λύση της ΔΕ yy + + y 0 (ii) Παραγωγίζουμε τα μέλη της ισότητας y a l n ως προς και θεωρούμε το y συνάρτηση του Έτσι έχουμε yy a l n ή yy a l n ή y ( a l n ) y Επομένως yy y + y ( a ln ) y + a l n y + y a l n y Για όλα τα, y που επαληθεύουν την ισότητα y a l n έχουμε yy y + a ln ( a l n) 0 και κατά συνέπεια η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την ισότητα y a l n για > 0 είναι λύση της ΔΕ yy y + 0

12 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Άσκηση 4 Να εξεταστεί αν υπάρχει τιμή του ν N τέτοια ώστε η συνάρτηση ν f( ) e να είναι λύση της ΔΕ y y 4y + y 0 ν f ( ) νe, ( ) ν ν f ν e, f ( ) ν e και άρα f ( ) f ( ) 4 f ( ) + f ( ) 0, νe ν νe ν 4νe ν + e ν 0, ( ν ν 4ν+ ) e ν 0, ν ν 4ν+ 0 Αλλά, ν ν 4ν+ ν ( ν ) 4( ν ) ( ν )( ν 4) ( ν )( ν+ )( ν ) και άρα ν ν 4ν+ 0 ( ν )( ν+ )( ν ) 0 ν ή ν ή ν Από τις τιμές αυτές του ν δεκτές είναι μόνο οι ν N και ν N Επομένως υπάρχουν δυο τέτοιες τιμές του νοιν, και ν Άσκηση 5 ν Να βρεθεί για ποιές τιμές του ν N η συνάρτηση y, 0, είναι λύση της ΔΕ y y y 0 Έχουμε ν ν y ν, y ν( ν ) και y y y ν ν ν ν ν( ν ) ν [4 ν( ν ) 6ν 6] ν 5 ν ν (4ν 0ν 6) 4 ν ν 4( ν ) ν+ Επομένως ν y y y 0, 0 4( ν ) ν+ 0, 0 4( ν ) ν+ 0 ν ή ν Από τις τιμές αυτές του ν δεκτή είναι μόνο η ν N, αφού ν N

13 0 Κεφάλαιο Γενική, μερική και ιδιάζουσα λύση ΔΕ - Πρόβλημα αρχικών και πρόβλημα συνοριακών τιμών - Το αντίστροφο του κυρίου προβλήματος Παρατήρηση Η πιο απλή μορφή ΔΕ είναι η dy φ ( ), () όπου φ ( ) είναι γνωστή συνάρτηση Στη ΔΕ () δίνεται η παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης και ζητείται η συνάρτηση Πρόταση Η λύση της ΔΕ () δίνεται από τον τύπο y φ( ) + c, () όπου c είναι αυθαίρετο στοιχείο του R Απόδειξη Σύμφωνα με το βασικό Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, για κάθε συνάρτηση y y( ) της οποίας η παράγωγος dy είναι συνεχής σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Ι έχουμε (στο διάστημα αυτό) dy y ( ) + c, () όπου c είναι η αυθαίρετη σταθερή της ολοκλήρωσης Ο ζητούμενος τύπος () προκύπτει από τον (), αν θέσουμε σ αυτόν όπου dy την ίση με αυτήν συνάρτηση ( ) φ Παρατήρηση Η ΔΕ () δεν έχει μια μόνο λύση αλλά άπειρες, που αντιστοιχούν στις διάφορες τιμές της αυθαίρετης σταθερής c 4 Παρατήρηση Το σύνολο των λύσεων της ΔΕ () είναι ένα μονοπαραμετρικό σύνολο συναρτήσεων, αφού τα διάφορα στοιχεία του αντιστοιχούν στις τιμές που παίρνει μια παράμετρος (η c R ) 5 Παρατήρηση Θεωρούμε μια εξίσωση της μορφής f(, y, a ) 0, (4) όπου a R είναι μεταβλητή παράμετρος Για μια ορισμένη τιμή του a η εξίσωση (4) ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο Oy Το σύνολο όλων των καμπυλών του επι-

14 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις πέδου, που ορίζονται από την (4) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου a, λέγεται στην Αναλυτική Γεωμετρία μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών και η εξίσωση (4) λέγεται εξίσωση της οικογένειας 6 Παρατήρηση Με την έννοια της Παρατήρησης 5, οι λύσεις της ΔΕ () αποτελούν μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών του επιπέδου με εξίσωση τη () 7 Παρατήρηση Σύμφωνα με την Πρόταση η λύση της ΔΕ () βρίσκεται με μια ολοκλήρωση των μελών της και εξαρτάται από μια αυθαίρετη σταθερή 8 Παράδειγμα Η ΔΕ dy y + c + c 4 4 έχει λύση Η εξίσωση y + c είναι η εξίσωση της οικογένειας των παραβολών του Σχ Οι διάφορες καμπύλες της οικογένειας αυτής είναι οι διάφορες θέσεις που παίρνει μια από τις παραβολές όταν κινείται παράλληλα προς τον άξονα y Oy σαν στερεό σύστημα Σχ 9 Πρόταση Η λύση της ΔΕ ν-τάξης ν d y φ( ), ν N, ν > (5) ν δίνεται από τον τύπο ν ολοκληρώσεις ν ν y [ [ [ φ( ) ] ] ] + c + c + + c + c (6) ν ν, όπου c, c,, cν είναι αυθαίρετα στοιχεία του R Απόδειξη ν d y Αν στον τύπο () θέσουμε όπου y τη συνάρτηση, τότε παίρνουμε την ισότητα ν ( ) ν ν (5) d y d y ν ν + c φ + c Με νέα εφαρμογή του τύπου () παίρνουμε Οι λέξεις οικογένεια και σύνολο είναι στα Μαθηματικά συνώνυμες

15 Κεφάλαιο ν d y [ ( ) + ] + [ ( ) ] + + ν φ c c φ c c Μετά από ν τέτοια βήματα φθάνουμε στον τύπο ν ολοκληρώσεις ν ν y [ [ [ φ( ) ] ] ] + c + c + ( ν )! ( ν )! Τέλος, αν στον τύπο (7) θέσουμε τότε παίρνουμε τον τύπο (6) c c c, c,, c ν cν, c ν cν, ( ν )! ( ν )! c + c (7) + ν 0 Παρατήρηση To σύνολο των λύσεων της ΔΕ (5) είναι ένα ν- παραμετρικό σύνολο συναρτήσεων ή, με άλλα λόγια, οι λύσεις της ΔΕ (5) αποτελούν μια ν-παραμετρική οικογένεια καμπυλών του επιπέδου Παρατήρηση Σύμφωνα με την Πρόταση 9, η λύση της ΔΕ (5) βρίσκεται με ν διαδοχικές ολοκληρώσεις των μελών της και εξαρτάται από ν ακριβώς αυθαίρετες σταθερές Παρατήρηση Αν το c είναι αυθαίρετο στοιχείο του R και το a 0 είναι ένα συγκεκριμένο στοιχείο του R, τότε και τα c c c+ a, c c a, c ac, c4 a είναι αυθαίρετα στοιχεία του R Παράδειγμα Να λυθεί η ΔΕ : d y e Αυτή είναι μια ΔΕ της μορφής (5) Επειδή ν η λύση της βρίσκεται με δυο διαδοχικές ολοκληρώσεις των μελών της Με την πρώτη ολοκλήρωση των μελών της έχουμε και με τη δεύτερη ολοκλήρωση βρίσκουμε ή dy e c e c + + y e + c + c e + c + c ν

16 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 4 y e + c+ c 4 Ορισμός Κάθε λύση μιας ΔΕ ν-οστης τάξης ( ν) F(, y, y, y,, y ) 0, (8) η οποία εξαρτάται από ν ακριβώς αυθαίρετες σταθερές και η οποία δίνεται σε (λυμένη) μορφή y f(, c, c,, c ν ) (9) ή σε πλεγμένη μορφή gycc (,,,,, c ) 0 (0) λέγεται γενική λύση ή γενικό ολοκλήρωμα της ΔΕ (8) 5 Παρατήρηση Από Γεωμετρική άποψη, μια γενική λύση της ΔΕ (8) είναι η εξίσωση μιας ν-παραμετρικής οικογένειας καμπυλών του επιπέδουoy Οι διάφορες καμπύλες της οικογένειας αντιστοιχούν στις διάφορες τιμές των αυθαιρέτων σταθερών c, c,, c ν 6 Ορισμός Κάθε λύση της ΔΕ (8) που προκύπτει από μια γενική της λύση, αν δοθούν συγκεκριμένες τιμές σε όλες τις αυθαίρετες σταθερές, λέγεται μερική λύση ή ολοκληρωτική καμπύλη της ΔΕ (8) 7 Ορισμός Μια λύση της ΔΕ (8), η οποία δεν εξαρτάται από αυθαίρετες σταθερές και η οποία δεν προκύπτει από κάποια γενική της λύση (εφόσον βέβαια υπάρχει) λέγεται ιδιάζουσα λύση της 8 Ορισμός Για να εκλέξουμε μια μερική λύση της ΔΕ (8), δηλ για να υπολογίσουμε τις τιμές των ν αυθαιρέτων σταθερών που αντιστοιχούν σ αυτήν, πρέπει να μας δοθούν ν ανεξάρτητες μεταξύ τους συνθήκες που ικανοποιεί η ζητούμενη μερική λύση Οι συνθήκες αυτές έχουν συνήθως τη μορφή ( ν ) y( a) β0, y ( a) β, y ( a) β,, y ( a) β ν, (9) ( ν ) δηλ υποχρεώνουν τις συναρτήσεις yy,, y,, y να πάρουν καθορισμένες τιμές β0, β, β,, βν για καθορισμένη τιμή a της ανεξάρτητης μεταβλητής και λέγονται αρχικές συνθήκες της ΔΕ Το πρόβλημα της εύρεσης μιας μερικής λύσης που ικανοποιεί αρχικές συνθήκες λέγεται πρόβλημα αρχικών τιμών 9 Ορισμός Υποθέτουμε ότι ζητούμε μια μερική λύση y y( ) της ΔΕ (8) ορισμένη στο κλειστό διάστημα I [ a, β] Αν οι συνθήκες που ικανοποιεί η ζητούμενη μερική λύση υποχρεώνουν κάποιες από τις συναρτήσεις y, y, y,, y ( ν ), ν

17 4 Κεφάλαιο όπου ν >, να πάρουν καθορισμένες τιμές στο ένα άκρο a του διαστήματος I και οι υπόλοιπες να πάρουν καθορισμένες τιμές στο άλλο άκρο β του I, τότε οι συνθήκες αυτές λέγονται συνοριακές συνθήκες Το πρόβλημα του υπολογισμού μιας μερικής λύσης που ικανοποιεί συνοριακές συνθήκες λέγεται πρόβλημα συνοριακών τιμών 0 Παράδειγμα (Πρόβλημα αρχικών τιμών) Να βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ y +, (0) η οποία επαληθεύει τη συνθήκη y () (Ισοδύναμη διατύπωση: Να βρεθεί η ολοκληρωτική καμπύλη της ΔΕ (0) η οποία περνά από το σημείο P (, ) του επιπέδου Oy ) Μια γενική λύση της ΔΕ (0) είναι ή y ( + ) + c + + c, δηλ η y + + c () Υπολογίζουμε τώρα την τιμή της αυθαίρετης σταθερής c έτσι ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη y( ) Για το σκοπό αυτό, θέτουμε, y στην () και έχουμε + + c ή c 6 Άρα η ζητούμενη μερική λύση είναι η συνάρτηση y Παράδειγμα (Πρόβλημα συνοριακών τιμών) Να βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ d dv r 0, () dr dr η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες V( a) V και V( β ) 0 ( V V() r είναι το δυναμικό σε απόσταση r, a r β, από το κοινό κέντρο δυο σφαιρικών αγωγών με ακτίνες a και β και δυναμικά V και 0, αντίστοιχα ) Βρίσκουμε πρώτα μια γενική λύση της ΔΕ () Με μια ολοκλήρωση (ως προς r ) των μελών της () έχουμε

18 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 5 dv r 0dr c dr + dv ή r c dr ή dv c ( ) dr r Με νέα ολοκλήρωση των μελών της () έχουμε c c V dr + c + c r r ή c V + c (4) r Η συνάρτηση V V() r που ορίζεται από τη (4) είναι γενική λύση της ΔΕ () Υπολογίζουμε τώρα τις αυθαίρετες σταθερές c και c έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες που δίνονται Για το σκοπό αυτό, θέτουμε r α, V V στη (4) και έχουμε c V + c (5) a Θέτουμε, ακόμη, r β, V 0 στη (4) και έχουμε 0 c β + c (6) Λύνοντας το ως προς c και c σύστημα των (5) και (6) βρίσκουμε Vaβ Va c, c a β a β Τέλος, αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές των c, c στη (4) και έχουμε τη ζητούμενη μερική λύση Vaβ Va V() r + a β r a β Ορισμός Μια συνάρτηση ν+ μεταβλητών z f y y y ν (,,,, ), ορισμένη σε μια περιοχή D του χώρου R συνθήκη του Lipschitz στην περιοχή D αν ν+, λέμε ότι ικανοποιεί (ως προς ) τη M > 0 : f(, y, y,, y ) f(, y, y,, y ) ν M y y + y y + + y y, ( ν ν για όλα τα σημεία (, y, y,, y ν ) και (, y, y,, y ν ) της περιοχής D Θεώρημα (Ύπαρξης λύσης) Θεωρούμε μια ΔΕ ν τάξης της μορφής ν

19 6 Κεφάλαιο ν d y ν ( ν ) f(, y, y, y,, y ), (7) όπου f είναι μια συνάρτηση ν+ μεταβλητών ορισμένη σε μια περιοχή D του χώρου R Αν η f είναι συνεχής και ικανοποιεί τη συνθήκη του Lipschitz στην πε- ν + ριοχή D και αν ( a, β0, β, β,, βν ) είναι ένα εσωτερικό σημείο της D, τότε υπάρχει μία, και μόνο μία, λύση y σ( ) της ΔΕ (7), ορισμένη σε μια περιοχή ( a δ, a+ δ) του σημείου a, που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες ( ν ) σ( a) β0, σ ( a) β, σ ( a) β,, σ ( a) β ν 4 Παρατήρηση Όπως είπαμε στην 0, το κύριο πρόβλημα της Θεωρίας των ΔΕ είναι η εύρεση όλων των λύσεων μιας δοσμένης ΔΕ Το πρόβλημα κατά το οποίο μας δίνεται μια συνάρτηση της μορφής y f(, c, c,, c ν ), (8) όπου ν N και c, c,, cν είναι αυθαίρετες σταθερές και ζητείται μια ΔΕ η οποία να έχει γενική λύση τη συνάρτηση (8), λέγεται αντίστροφο του κυρίου προβλήματος 5 Παρατήρηση Για να επιλύσουμε το αντίστροφο του κυρίου προβλήματος ακολουθούμε την εξής διαδικασία : Παραγωγίζουμε ν φορές τα μέλη της (8) ως προς, θεωρώντας τα c, c,, cν σταθερά Έτσι βρίσκουμε τις ν σε πλήθος εξισώσεις y f (, c, c,, cν ) y f (, c, c,, cν ) ( ν) ( ν) y f (, c, c,, cν ) Κατόπιν απαλείφουμε τα c, c,, cν από τις ν+ εξισώσεις (8) και (9) Η εξίσωση ( ν) F(, y, y, y,, y ) 0, (0) την οποία βρίσκουμε με την απαλοιφή αυτή, είναι η ζητούμενη 6 Ορισμός Η ΔΕ (0) λέγεται ΔΕ της ν παραμετρικής οικογένειας καμπυλών του επιπέδου Oy που ορίζεται από τη (8) (9) Υποτίθεται ότι η συνάρτηση αυτή ορίζεται και παραγωγίζεται ν τουλάχιστον φορές σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Ι Βρίσκουμε μια άλλη εξίσωση, που προκύπτει από τις (8) και (9) με αλγεβρικούς μετασχηματισμούς, στην οποία δεν εμφανίζονται τα c, c,, c ν

20 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 7 7 Παρατήρηση Από τις 5 και 6 προκύπτει ότι: Αν η ΔΕ (0) είναι η ΔΕ της ν-παραμετρικής οικογένειας καμπυλών του επιπέδου (8), τότε η συνάρτηση (8) είναι γενική λύση της ΔΕ (0) 8 Παράδειγμα Να βρεθεί η ΔΕ της διπαραμετρικής οικογένειας παραβολών του επιπέδου Oy y a b + () Επειδή η οικογένεια () είναι διπαραμετρική, παραγωγίζουμε δυο φορές τα μέλη της εξίσωσης () ως προς, θεωρώντας τις παραμέτρους a και b σταθερές Έτσι έχουμε y a+ b () και y b () Απαλείφουμε τώρα τις παραμέτρους a και b από τις εξισώσεις (), () και () Θέτουμε την τιμή του b από την () στην () και έχουμε την εξίσωση y a+ y ή a y y Τέλος, θέτοντας b y και a y y στην () παίρνουμε την εξίσωση y ( y y ) + y, η οποία γράφεται y y + y 0 και είναι η ζητούμενη ΔΕ της οικογένειας () 9 Παρατήρηση Σε ότι ακολουθεί, η φράση να λυθεί η Δ Ε θα σημαίνει να βρεθεί μια γενική λύση της ΔΕ

21 8 Κεφάλαιο 4 Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση Να λυθούν οι ΔΕ: (i) dy ημ (ii) t 0 dt + (i) Σύμφωνα με τον τύπο () έχουμε, y ημ + c συν + c, δηλ y συν + c Η συνάρτηση αυτή είναι γενική λύση της ΔΕ που δόθηκε (ii) Άγνωστη συνάρτηση είναι η t () Η ΔΕ (ii) γράφεται t dt και σύμφωνα με τον τύπο () έχουμε t t dt + c t + c t δηλ t + c Η τελευταία συνάρτηση είναι γενική λύση της ΔΕ (ii) Άσκηση ( ), Να λυθούν οι ΔΕ: d y d y (i) 5 (ii) e dt (i) Άγνωστη συνάρτηση είναι η y y() t Σύμφωνα με την Πρόταση 9, μια γενική λύση της ΔΕ (i) βρίσκεται με δυο διαδοχικές ολοκληρώσεις των μελών της Με την πρώτη ολοκλήρωση των μελών της έχουμε dy 5dt c dt + dy ή 5t c dt + και με τη δεύτερη ολοκλήρωση παίρνουμε 5 y (5 t + c) dt + c ή y t + ct + c (ii) Άγνωστη συνάρτηση είναι η y y( ) Ολοκληρώνουμε τρεις φορές τα μέλη της (ii) και έχουμε :

22 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 d y η d y ολοκλήρωση : e+ c ή e + c dy η dy ολοκλήρωση : ( e + c ) + c ή e + c + c η ολοκλήρωση : y ( e + c + c) + c ή y e + c + c+ c c Τέλος, επειδή όταν η c είναι αυθαίρετη σταθερή, τότε και η c είναι επίσης αυθαίρετη σταθερή, η παραπάνω γενική λύση γράφεται y e + c, + c+ c όπου c, c, cείναι αυθαίρετες σταθερές Άσκηση Να λυθούν οι ΔΕ: 4 5 d y (i) συν 4 (ii) t t e + e 5 dt (i) Ολοκληρώνουμε τέσσερις φορές τα μέλη της (i) η ολοκλήρωση : η ολοκλήρωση: η ολοκλήρωση : d y ( ) + συν c ημ + c d y ημ + c + c συν + c + c dy συν + c + c + c ημ + c + c + c 4 η ολοκλήρωση : ή y ημ c c c c4 4 συν + c + c + c + c4 4 y συν + c + c + c+ c4,

23 0 Κεφάλαιο c c όπου c, c 6 (ii) Μετά από πέντε διαδοχικές ολοκληρώσεις η συνάρτηση e και άρα e t e e e c t c t c t c t c 4 t t t t t + e γίνεται Άσκηση 4 Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών d y ( ), y(0), y (0) 4 Βρίσκουμε πρώτα μια γενική λύση της ΔΕ που δόθηκε Έχουμε dy και ή + c ( ) + c ( ) ( ) + d c ( ) + ( ) + c + c + y + c + c + c + c y τοξημ+ c+ c () Υπολογίζουμε τώρα τις αυθαίρετες σταθερές c, c έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες που δίνονται Θέτουμε στην () 0, y και έχουμε Θέτουμε στην ισότητα τοξημ0+ c 0+ c ή c y + c 0, y 4 και παίρνουμε 4 c Επομένως η ζητούμενη μερική λύση είναι η συνάρτηση y τοξημ+ 4+

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Περιεχόμενα Γράφημα της συνάρτησης f( ), αν p < 0 F( ) = f( ), αν 0 p και F( + p) = F( ), R (δηλ της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( ), 0 p στο R ) Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 15 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία: Δευτέρα,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ο κλάδος των μαθηματικών που περισσότερο ίσως από κάθε άλλον οφείλει την γέννηση του στην Μηχανική, στην Αστρονομία και στη Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ

ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΔΕΟ 13 ΚΟΣΤΗ TC = FC + VC ή TC = AC* SOS TC ATC = Το μέσο κόστος ισούται με το

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookark no dfind. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 19/05/2010 ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 19/05/2010 ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 9/5/ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Απαντήσεις Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης -

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 13/04/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 13/04/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f( ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ----- Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι:

ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ - ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα