1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής"

Transcript

1

2 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Σε πολλά προβλήματα των Πειραματικών και Εφαρμοσμένων Επιστημών αλλά και σε προβλήματα καθαρών Μαθηματικών, στα οποία άγνωστη είναι μια συνάρτηση y y( ), καταλήγουμε από τα δεδομένα σε μια εξίσωση στην οποία εμφανίζονται παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης Παράδειγμα Δοχείο το οποίο περιέχει υγρό θερμοκρασίας 00 0 C τοποθετείται σε δωμάτιο με σταθερή θερμοκρασία 0 0 C Η ταχύτητα ψύξης είναι οποιαδήποτε στιγμή ανάλογη της διαφοράς των θερμοκρασιών υγρού και δωματίου (νόμος του Νεύτωνα) Αν η θερμοκρασία του υγρού μετά από 5 min είναι 60 0 C πόση θα είναι μετά από 0 min; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό, παρατηρούμε ότι η θερμοκρασία θ του υγρού είναι, μετά την τοποθέτησή του στο δωμάτιο, συνάρτηση θθ(t) του χρόνου t Η ταχύτητα μεταβολής της θερμοκρασίας δίνεται από την παράγωγο d θ και άρα η dt dθ ταχύτητα ψύξης δίνεται από την ποσότητα Επειδή η ταχύτητα ψύξης είναι dt κάθε χρονική στιγμή ανάλογη της διαφοράς των θερμοκρασιών, έχουμε την εξίσωση

3 0 Κεφάλαιο dθ aθ ( 0), () dt όπου α R, είναι σταθερή Από την εξίσωση (), στην οποία εμφανίζεται η συνάρτηση θ και η παράγωγός της d θ είμαστε υποχρεωμένοι να βρούμε τη συνάρτηση dt θθ(t) Παράδειγμα Σώμα με μάζα m gr είναι συνδεδεμένο με το άκρο ενός κατακορύφου ελατηρίου και το όλο σύστημα περιβάλλεται από μέσο του οποίου η αντίσταση είναι ανάλογη της ταχύτητας του σώματος Απομακρύνουμε κατακόρυφα το σώμα από τη θέση ισορροπίας του (Σχ ) και το αφήνουμε ελεύθερο Να περιγραφεί η κίνηση του συστήματος Σχ Από τη στιγμή που το σώμα αφήνεται ελεύθερο, το ελατήριο τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας και το όλο σύστημα αρχίζει να ταλαντεύεται Η κίνηση του συστήματος περιγράφεται πλήρως από τη συνάρτηση t (), όπου είναι η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας και t είναι ο χρόνος Οι δυνάμεις που καθορίζουν την κίνηση του συστήματος είναι οι παρακάτω δύο (το βάρος του σώματος εξουδετερώνεται από το ελατήριο) : (i) Η δύναμη του ελατηρίου, η οποία τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας Η δύναμη αυτή έχει αλγεβρική τιμή αντίθετη της απομάκρυνσης και μέτρο ανάλογο του μέτρου της απομάκρυνσης, δηλ είναι η δύναμη F β, όπου β R, β > 0

4 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ii) Η δύναμη αντίστασης του μέσου, η οποία έχει αλγεβρική τιμή αντίθετη της ταχύτητας του σώματος και μέτρο ανάλογο του μέτρου της ταχύτητας, δηλ dt είναι η δύναμη F a, όπου α R, α > 0 dt Η ολική δύναμη F F + F προσδίδει επιτάχυνση d γ στο σώμα και ο νόμος dt του Νεύτωνα F mγ, που ισχύει κάθε χρονική στιγμή t, δίνει την εξίσωση η οποία γράφεται d β a m dt dt, d 0 m + a + β () dt dt Από την εξίσωση (), στην οποία εμφανίζονται η άγνωστη συνάρτηση (t) και οι παράγωγοί της και d, είμαστε υποχρεωμένοι να βρούμε τη συνάρτηση dt dt () t Παράδειγμα Να βρεθεί καμπύλη κ του επιπέδου Oy της οποίας η κλίση της εφαπτομένης στο τυχαίο σημείο της P(, y) να είναι ίση με το διπλάσιο του γινομένου των συντεταγμένων του Ρ Όπως γνωρίζουμε, μια καμπύλη κ του επιπέδου Oy καθορίζεται στην Αναλυτική Γεωμετρία από την εξίσωσή της Άρα άγνωστη, στο πρόβλημά μας αυτό, είναι η εξίσωση F(, y) 0 της καμπύλης κ ή, ισοδύναμα, η συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την εξίσωση της κ Επειδή η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης κ στο τυχαίο σημείο της P(, y)δίνεται από την παράγωγο dy της συνάρτησης y y( ), έχουμε την ισότητα dy y () Από την εξίσωση (), στην οποία εμφανίζονται η ανεξάρτητη μεταβλητή, η άγνωστη συνάρτηση y και η παράγωγός της dy, είμαστε υποχρεωμένοι να βρούμε τη συνάρτηση y y( ) 4 Ορισμός Μια εξίσωση στην οποία άγνωστη είναι μια συνάρτηση y y( ) και στην οποία εμφανίζονται κάποιες παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης (δηλ μια ή

5 Κεφάλαιο και περισσότερες από τις συναρτήσεις εξίσωση ή (απλά) διαφορική εξίσωση ( ν) ) λέγεται συνήθης διαφορική y, y,, y 5 Παρατήρηση Η γενική μορφή μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η ( ν) F(, y, y, y,, y ) 0, (4) όπου ν N 6 Παρατήρηση Σε μια διαφορική εξίσωση εκτός από τις παραγώγους της άγνωστης συνάρτησης y y( ), οι οποίες είναι βέβαια σε πεπερασμένο πλήθος, είναι δυνατό να εμφανίζεται και η ανεξάρτητη μεταβλητή ή και η άγνωστη συνάρτηση y ή και οι δύο, αλλά αυτό δεν είναι αναγκαίοτο αναγκαίο είναι να εμφανίζεται κάποια παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης 7 Παρατήρηση Δεν θεωρούνται διαφορικές εξισώσεις οι ισότητες οι οποίες είναι ταυτότητες ως προς την άγνωστη συνάρτηση, όπως πχ η ( y) y + y 8 Παρατήρηση Επίσης δεν θεωρούνται διαφορικές εξισώσεις οι ισότητες εκείνες στις οποίες η εμφάνιση των παραγώγων είναι εικονική, όπως πχ η y + y + y 9 Παρατήρηση Σε ότι ακολουθεί, αντί συνήθης διαφορική εξίσωση γράφουμε, για συντομία, ΔΕ 0 Παράδειγμα Οι εξισώσεις (), (), () των Παραδειγμάτων, και, όπως και οι εξισώσεις d y y + y e, 4, d y d y dy y 0, (5) (4) dy yy 4y, y y ημ, y συν( ) + είναι όλες Δ Ε (διαφορικές εξισώσεις) Ορισμός Μια συνάρτηση y f ( ), η οποία είναι ορισμένη και η οποία παραγωγίζεται ν τουλάχιστον φορές σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Ι, λέγεται λύση ή ολοκλήρωμα της ΔΕ ( ν) F(, y, y, y,, y ) 0, (4) αν μετά την αντικατάσταση των ( ν) y με τα yy,, y,, f f f f ( ν) ( ), ( ), ( ),, ( ) στην (4) αυτή γίνεται ταυτότητα ως προς, δηλ αν

6 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ( ν) F, f( ), f ( ), f ( ),, f ( ) 0, Ι Παράδειγμα Να εξεταστεί αν η συνάρτηση είναι λύση της ΔΕ Έχουμε f( ) + e, R dy y + + (5) df ( + e ) e και df + f( ) e + + e +, R Επομένως η συνάρτηση y f ( ) είναι λύση της ΔΕ (5) Παράδειγμα Να εξεταστεί αν η συνάρτηση είναι λύση της ΔΕ Έχουμε και f( ) e 6 8, R y y y + 4 (6) f ( ) ( e ) e , f ( ) e + 4 f ( ) f ( ) + f( ) e + 4 ( e ) + ( e ) e e + e Επειδή υπάρχει τιμή του R, πχ η 0, τέτοια ώστε να είναι 4 + 4, η συνάρτηση y f ( ) δεν είναι λύση της ΔΕ (6) 4 Ορισμός Η λύση μιας ΔΕ είναι σε πολλές περιπτώσεις πλεγμένη συνάρτηση Η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την ισότητα f(, y ) 0 (7) λέγεται λύση ή ολοκλήρωμα της ΔΕ (4), αν παραγωγίζεται ν τουλάχιστον φορές και ( ν) μετά την έκφραση των y, y,, y με τα και y και την αντικατάσταση των εκφράσεων αυτών στην (4) αυτή επαληθεύεται από όλα τα και y τα οποία ικανοποιούν την (7)

7 4 Κεφάλαιο 5 Παράδειγμα Να εξεταστεί αν η πλεγμένη συνάρτηση y y ( ) η οποία ορίζεται από την ισότητα y + e y + e (8) είναι λύση της ΔΕ dy ( + e y) + e (9) Για να βρούμε την παράγωγο της πλεγμένης συνάρτησης y y( ) που ορίζεται από την ισότητα (8), παραγωγίζουμε τα μέλη της (8) ως προς και θεωρούμε το y συνάρτηση του Έτσι έχουμε dy y dy + e e ή dy + e y + e Επομένως (8) dy + e y + e ( + e y) ( + e y) ( + e ) + e y y + e + e για όλα τα, y που επαληθεύουν την (8) και κατά συνέπεια η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την (8) είναι λύση της ΔΕ (9) 6 Παράδειγμα Να εξεταστεί αν η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) η οποία ορίζεται από την ισότητα 5y y (0) 5 στο διάστημα 0, y + y y () είναι λύση της ΔΕ Παραγωγίζουμε τα μέλη της (0) ως προς και θεωρούμε το y συνάρτηση του Έτσι έχουμε 0y + 0 yy 6 y 4 yy 0 ή 0y 6 y 5y y y 4 y 0 y y 5 y Επομένως (5y y) 5y y + y 5y y + y + y y 5y y 5y (0) y y y y y, y 5 y (5y yy ) 5y y

8 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 5 για όλα τα, y που επαληθεύουν τη (0) Κατά συνέπεια η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από τη (0) είναι λύση της ΔΕ () 7 Ορισμός Μια ΔΕ λέγεται διαφορική εξίσωση ν τάξης (ν N ), αν η μεγαλύτερη τάξη των παραγώγων που εμφανίζονται σ αυτήν είναι ν, δηλ αν σ αυτήν εμφανίζεται η ν-οστή παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης και δεν εμφανίζεται παράγωγος μεγαλύτερης τάξης 8 Παράδειγμα Οι ΔΕ : dy (i) y (ii) (iii) dy + 0 d y ( ) ( ) (5) (4) () () y + y y + y y y ημ + συν ης ης είναι, αντίστοιχα,, και 5 ης τάξης 9 Παρατήρηση Μια ΔΕ πρώτης τάξης F(, y, y ) 0 () επιδέχεται γεωμετρική ερμηνεία ανάλογη με εκείνη του Παραδείγματος Πιο συγκεκριμένα, στη ΔΕ () καταλήγουμε όταν ζητούμε την καμπύλη κ του επιπέδου Oy που έχει την ιδιότητα : Ο συντελεστής διεύθυνσης λ y, της εφαπτομένης της καμπύλης κ στο τυχαίο σημείο της P(, y) συνδέεται με τις συντεταγμένες του Ρ με τη συγκεκριμένη σχέση F Οι λύσεις της ΔΕ () δίνουν όλες τις καμπύλες του επιπέδου που έχουν την παραπάνω ιδιότητα 0 Παρατήρηση Το κύριο πρόβλημα της Θεωρίας των ΔΕ είναι η εύρεση όλων των λύσεων μιας δοσμένης ΔΕ Το πρόβλημα αυτό δεν λύθηκε μέχρι σήμερα στη γενική του μορφή, αλλά σε ορισμένες μόνο απλές περιπτώσεις με μερικές από τις οποίες θα ασχοληθούμε κι εμείς στα επόμενα

9 6 Κεφάλαιο Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση Να εξεταστεί αν κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι λύση της ΔΕ που γράφεται απέναντι: (i) f( ) ce + ce y 6y + 9y 0 (ii) g ( ) ασυν( ) + βημ( ) y + 4y 0 (iii) h ( ) e ( ασυν+ βημ) y + y + y 0 όπου c, c, α, β είναι αυθαίρετες σταθερές (i) f ( ) ce + c ( e + e ) ce + ce + c e, f ( ) ce + ce + c ( e + e ) 9ce + 6ce + 9c e και f ( ) 6 f ( ) + 9 f( ) 9ce + 6ce + 9c e 6(ce + ce + c e ) + 9( ce + ce ) (9c+ 6c 8c 6c + 9 c) e + (9c 8c + 9 c) e 0 e + 0 e 0, R Επομένως η συνάρτηση y f () είναι λύση της ΔΕ y 6y + 9y 0 (ii) g ( ) a[ ημ( )] + β[ συν( )] aημ( ) + βσυν( ), g ( ) a[ συν( )] + β[ ημ( )] 4 aσυν( ) 4 βημ( ) και g ( ) + 4 g( ) 4 aσυν( ) 4 βημ( ) + 4[ aσυν( ) + βημ( )] ( 4a+ 4 a) συν( ) + ( 4β + 4 β) ημ( ) 0 συν( ) + 0 ημ( ) 0, R Επομένως η συνάρτηση g( ) είναι λύση της ΔΕ y + 4y 0 (iii) Η ισότητα που δίνεται h ( ) e ( aσυν+ βημ) γράφεται eh ( ) aσυν+ βημ () Παραγωγίζοντας τα μέλη της () παίρνουμε [ eh ( )] ( aσυν+ βημ) ή eh ( ) + eh ( ) aημ+ βσυν ()

10 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 7 Ακόμη, () [ eh ( ) + eh ( )] ( aημ+ βσυν) eh ( ) + eh ( ) + eh ( ) aσυν βημ eh ( ) + eh ( ) + eh ( ) ( aσυν+ βημ) e [ h( ) + h ( ) + h ( )] e h( ) ( e 0) e [ h ( ) + h ( ) + h( )] 0, R h ( ) + h ( ) + h( ) 0, R () Επομένως η συνάρτηση h ( ) είναι λύση της ΔΕ y + y + y 0 Άσκηση Να εξεταστεί αν κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι λύση της ΔΕ που γράφεται απέναντι: 5 (i) ( ) d y dy f e 5e 7 + y 0 dy (ii) g ( ) ( + ae ) + y e (iii) h ( ) + ae dy 4y 8, + όπου a είναι αυθαίρετο στοιχείο του R (i) f ( ) ( e ) (5 e ) 6e 5 e, f ( ) 8e 5e και f ( ) 7 f ( ) + f( ) 8e 5e 7(6e 5 e ) + (e 5 e ) (8 4 4) e ( ) e 0 e 0 e 0 e Επειδή υπάρχει τιμή του R (πχ η 0 ) για την οποία η παράσταση f ( ) 7 f ( ) + f ( ) είναι διάφορη του μηδενός, δηλ επειδή [ f ( ) 7 f ( ) + f( )] [ 0 e ] 0 0, η συνάρτηση f ( ) δεν είναι λύση της ΔΕ y 7y + y 0 (ii) g ( ) ( + a) e + ( + a)( e ) e ( + a) e και g ( ) + g( ) e ( + a) e + ( + a) e e, R Επομένως για κάθε a R η συνάρτηση g( ) είναι λύση της ΔΕ + y y e

11 8 Κεφάλαιο (iii) h ( ) + ( ae ) 0 + ae ( ) 4ae και h ( ) + 4 h( ) 4ae + 4 ( + ae ) 4ae ae 8, R Επομένως για κάθε a R η συνάρτηση h ( ) είναι λύση της ΔΕ y + 4y 8 Άσκηση Να εξεταστεί αν κάθε μια από τις πλεγμένες συναρτήσεις y y( ) που ορίζονται από τις παρακάτω συνθήκες είναι λύση της ΔΕ που γράφεται απέναντι : (i) + y, 0< < yy + + y 0 (ii) y a ln, > 0 yy y + 0, όπου a R (i) Παραγωγίζουμε τα μέλη της ισότητας + y ως προς και θεωρούμε το y συνάρτηση του Έτσι έχουμε + y + y + ( y + yy ) 0 ή y 6y y Επομένως + y yy + + y y + + y ( + y ) + + y 0, y, y και κατά συνέπεια η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την ισότητα + y στο διάστημα [ 0, ] είναι λύση της ΔΕ yy + + y 0 (ii) Παραγωγίζουμε τα μέλη της ισότητας y a l n ως προς και θεωρούμε το y συνάρτηση του Έτσι έχουμε yy a l n ή yy a l n ή y ( a l n ) y Επομένως yy y + y ( a ln ) y + a l n y + y a l n y Για όλα τα, y που επαληθεύουν την ισότητα y a l n έχουμε yy y + a ln ( a l n) 0 και κατά συνέπεια η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την ισότητα y a l n για > 0 είναι λύση της ΔΕ yy y + 0

12 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Άσκηση 4 Να εξεταστεί αν υπάρχει τιμή του ν N τέτοια ώστε η συνάρτηση ν f( ) e να είναι λύση της ΔΕ y y 4y + y 0 ν f ( ) νe, ( ) ν ν f ν e, f ( ) ν e και άρα f ( ) f ( ) 4 f ( ) + f ( ) 0, νe ν νe ν 4νe ν + e ν 0, ( ν ν 4ν+ ) e ν 0, ν ν 4ν+ 0 Αλλά, ν ν 4ν+ ν ( ν ) 4( ν ) ( ν )( ν 4) ( ν )( ν+ )( ν ) και άρα ν ν 4ν+ 0 ( ν )( ν+ )( ν ) 0 ν ή ν ή ν Από τις τιμές αυτές του ν δεκτές είναι μόνο οι ν N και ν N Επομένως υπάρχουν δυο τέτοιες τιμές του νοιν, και ν Άσκηση 5 ν Να βρεθεί για ποιές τιμές του ν N η συνάρτηση y, 0, είναι λύση της ΔΕ y y y 0 Έχουμε ν ν y ν, y ν( ν ) και y y y ν ν ν ν ν( ν ) ν [4 ν( ν ) 6ν 6] ν 5 ν ν (4ν 0ν 6) 4 ν ν 4( ν ) ν+ Επομένως ν y y y 0, 0 4( ν ) ν+ 0, 0 4( ν ) ν+ 0 ν ή ν Από τις τιμές αυτές του ν δεκτή είναι μόνο η ν N, αφού ν N

13 0 Κεφάλαιο Γενική, μερική και ιδιάζουσα λύση ΔΕ - Πρόβλημα αρχικών και πρόβλημα συνοριακών τιμών - Το αντίστροφο του κυρίου προβλήματος Παρατήρηση Η πιο απλή μορφή ΔΕ είναι η dy φ ( ), () όπου φ ( ) είναι γνωστή συνάρτηση Στη ΔΕ () δίνεται η παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης και ζητείται η συνάρτηση Πρόταση Η λύση της ΔΕ () δίνεται από τον τύπο y φ( ) + c, () όπου c είναι αυθαίρετο στοιχείο του R Απόδειξη Σύμφωνα με το βασικό Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, για κάθε συνάρτηση y y( ) της οποίας η παράγωγος dy είναι συνεχής σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Ι έχουμε (στο διάστημα αυτό) dy y ( ) + c, () όπου c είναι η αυθαίρετη σταθερή της ολοκλήρωσης Ο ζητούμενος τύπος () προκύπτει από τον (), αν θέσουμε σ αυτόν όπου dy την ίση με αυτήν συνάρτηση ( ) φ Παρατήρηση Η ΔΕ () δεν έχει μια μόνο λύση αλλά άπειρες, που αντιστοιχούν στις διάφορες τιμές της αυθαίρετης σταθερής c 4 Παρατήρηση Το σύνολο των λύσεων της ΔΕ () είναι ένα μονοπαραμετρικό σύνολο συναρτήσεων, αφού τα διάφορα στοιχεία του αντιστοιχούν στις τιμές που παίρνει μια παράμετρος (η c R ) 5 Παρατήρηση Θεωρούμε μια εξίσωση της μορφής f(, y, a ) 0, (4) όπου a R είναι μεταβλητή παράμετρος Για μια ορισμένη τιμή του a η εξίσωση (4) ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο Oy Το σύνολο όλων των καμπυλών του επι-

14 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις πέδου, που ορίζονται από την (4) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου a, λέγεται στην Αναλυτική Γεωμετρία μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών και η εξίσωση (4) λέγεται εξίσωση της οικογένειας 6 Παρατήρηση Με την έννοια της Παρατήρησης 5, οι λύσεις της ΔΕ () αποτελούν μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών του επιπέδου με εξίσωση τη () 7 Παρατήρηση Σύμφωνα με την Πρόταση η λύση της ΔΕ () βρίσκεται με μια ολοκλήρωση των μελών της και εξαρτάται από μια αυθαίρετη σταθερή 8 Παράδειγμα Η ΔΕ dy y + c + c 4 4 έχει λύση Η εξίσωση y + c είναι η εξίσωση της οικογένειας των παραβολών του Σχ Οι διάφορες καμπύλες της οικογένειας αυτής είναι οι διάφορες θέσεις που παίρνει μια από τις παραβολές όταν κινείται παράλληλα προς τον άξονα y Oy σαν στερεό σύστημα Σχ 9 Πρόταση Η λύση της ΔΕ ν-τάξης ν d y φ( ), ν N, ν > (5) ν δίνεται από τον τύπο ν ολοκληρώσεις ν ν y [ [ [ φ( ) ] ] ] + c + c + + c + c (6) ν ν, όπου c, c,, cν είναι αυθαίρετα στοιχεία του R Απόδειξη ν d y Αν στον τύπο () θέσουμε όπου y τη συνάρτηση, τότε παίρνουμε την ισότητα ν ( ) ν ν (5) d y d y ν ν + c φ + c Με νέα εφαρμογή του τύπου () παίρνουμε Οι λέξεις οικογένεια και σύνολο είναι στα Μαθηματικά συνώνυμες

15 Κεφάλαιο ν d y [ ( ) + ] + [ ( ) ] + + ν φ c c φ c c Μετά από ν τέτοια βήματα φθάνουμε στον τύπο ν ολοκληρώσεις ν ν y [ [ [ φ( ) ] ] ] + c + c + ( ν )! ( ν )! Τέλος, αν στον τύπο (7) θέσουμε τότε παίρνουμε τον τύπο (6) c c c, c,, c ν cν, c ν cν, ( ν )! ( ν )! c + c (7) + ν 0 Παρατήρηση To σύνολο των λύσεων της ΔΕ (5) είναι ένα ν- παραμετρικό σύνολο συναρτήσεων ή, με άλλα λόγια, οι λύσεις της ΔΕ (5) αποτελούν μια ν-παραμετρική οικογένεια καμπυλών του επιπέδου Παρατήρηση Σύμφωνα με την Πρόταση 9, η λύση της ΔΕ (5) βρίσκεται με ν διαδοχικές ολοκληρώσεις των μελών της και εξαρτάται από ν ακριβώς αυθαίρετες σταθερές Παρατήρηση Αν το c είναι αυθαίρετο στοιχείο του R και το a 0 είναι ένα συγκεκριμένο στοιχείο του R, τότε και τα c c c+ a, c c a, c ac, c4 a είναι αυθαίρετα στοιχεία του R Παράδειγμα Να λυθεί η ΔΕ : d y e Αυτή είναι μια ΔΕ της μορφής (5) Επειδή ν η λύση της βρίσκεται με δυο διαδοχικές ολοκληρώσεις των μελών της Με την πρώτη ολοκλήρωση των μελών της έχουμε και με τη δεύτερη ολοκλήρωση βρίσκουμε ή dy e c e c + + y e + c + c e + c + c ν

16 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 4 y e + c+ c 4 Ορισμός Κάθε λύση μιας ΔΕ ν-οστης τάξης ( ν) F(, y, y, y,, y ) 0, (8) η οποία εξαρτάται από ν ακριβώς αυθαίρετες σταθερές και η οποία δίνεται σε (λυμένη) μορφή y f(, c, c,, c ν ) (9) ή σε πλεγμένη μορφή gycc (,,,,, c ) 0 (0) λέγεται γενική λύση ή γενικό ολοκλήρωμα της ΔΕ (8) 5 Παρατήρηση Από Γεωμετρική άποψη, μια γενική λύση της ΔΕ (8) είναι η εξίσωση μιας ν-παραμετρικής οικογένειας καμπυλών του επιπέδουoy Οι διάφορες καμπύλες της οικογένειας αντιστοιχούν στις διάφορες τιμές των αυθαιρέτων σταθερών c, c,, c ν 6 Ορισμός Κάθε λύση της ΔΕ (8) που προκύπτει από μια γενική της λύση, αν δοθούν συγκεκριμένες τιμές σε όλες τις αυθαίρετες σταθερές, λέγεται μερική λύση ή ολοκληρωτική καμπύλη της ΔΕ (8) 7 Ορισμός Μια λύση της ΔΕ (8), η οποία δεν εξαρτάται από αυθαίρετες σταθερές και η οποία δεν προκύπτει από κάποια γενική της λύση (εφόσον βέβαια υπάρχει) λέγεται ιδιάζουσα λύση της 8 Ορισμός Για να εκλέξουμε μια μερική λύση της ΔΕ (8), δηλ για να υπολογίσουμε τις τιμές των ν αυθαιρέτων σταθερών που αντιστοιχούν σ αυτήν, πρέπει να μας δοθούν ν ανεξάρτητες μεταξύ τους συνθήκες που ικανοποιεί η ζητούμενη μερική λύση Οι συνθήκες αυτές έχουν συνήθως τη μορφή ( ν ) y( a) β0, y ( a) β, y ( a) β,, y ( a) β ν, (9) ( ν ) δηλ υποχρεώνουν τις συναρτήσεις yy,, y,, y να πάρουν καθορισμένες τιμές β0, β, β,, βν για καθορισμένη τιμή a της ανεξάρτητης μεταβλητής και λέγονται αρχικές συνθήκες της ΔΕ Το πρόβλημα της εύρεσης μιας μερικής λύσης που ικανοποιεί αρχικές συνθήκες λέγεται πρόβλημα αρχικών τιμών 9 Ορισμός Υποθέτουμε ότι ζητούμε μια μερική λύση y y( ) της ΔΕ (8) ορισμένη στο κλειστό διάστημα I [ a, β] Αν οι συνθήκες που ικανοποιεί η ζητούμενη μερική λύση υποχρεώνουν κάποιες από τις συναρτήσεις y, y, y,, y ( ν ), ν

17 4 Κεφάλαιο όπου ν >, να πάρουν καθορισμένες τιμές στο ένα άκρο a του διαστήματος I και οι υπόλοιπες να πάρουν καθορισμένες τιμές στο άλλο άκρο β του I, τότε οι συνθήκες αυτές λέγονται συνοριακές συνθήκες Το πρόβλημα του υπολογισμού μιας μερικής λύσης που ικανοποιεί συνοριακές συνθήκες λέγεται πρόβλημα συνοριακών τιμών 0 Παράδειγμα (Πρόβλημα αρχικών τιμών) Να βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ y +, (0) η οποία επαληθεύει τη συνθήκη y () (Ισοδύναμη διατύπωση: Να βρεθεί η ολοκληρωτική καμπύλη της ΔΕ (0) η οποία περνά από το σημείο P (, ) του επιπέδου Oy ) Μια γενική λύση της ΔΕ (0) είναι ή y ( + ) + c + + c, δηλ η y + + c () Υπολογίζουμε τώρα την τιμή της αυθαίρετης σταθερής c έτσι ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη y( ) Για το σκοπό αυτό, θέτουμε, y στην () και έχουμε + + c ή c 6 Άρα η ζητούμενη μερική λύση είναι η συνάρτηση y Παράδειγμα (Πρόβλημα συνοριακών τιμών) Να βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ d dv r 0, () dr dr η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες V( a) V και V( β ) 0 ( V V() r είναι το δυναμικό σε απόσταση r, a r β, από το κοινό κέντρο δυο σφαιρικών αγωγών με ακτίνες a και β και δυναμικά V και 0, αντίστοιχα ) Βρίσκουμε πρώτα μια γενική λύση της ΔΕ () Με μια ολοκλήρωση (ως προς r ) των μελών της () έχουμε

18 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 5 dv r 0dr c dr + dv ή r c dr ή dv c ( ) dr r Με νέα ολοκλήρωση των μελών της () έχουμε c c V dr + c + c r r ή c V + c (4) r Η συνάρτηση V V() r που ορίζεται από τη (4) είναι γενική λύση της ΔΕ () Υπολογίζουμε τώρα τις αυθαίρετες σταθερές c και c έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες που δίνονται Για το σκοπό αυτό, θέτουμε r α, V V στη (4) και έχουμε c V + c (5) a Θέτουμε, ακόμη, r β, V 0 στη (4) και έχουμε 0 c β + c (6) Λύνοντας το ως προς c και c σύστημα των (5) και (6) βρίσκουμε Vaβ Va c, c a β a β Τέλος, αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές των c, c στη (4) και έχουμε τη ζητούμενη μερική λύση Vaβ Va V() r + a β r a β Ορισμός Μια συνάρτηση ν+ μεταβλητών z f y y y ν (,,,, ), ορισμένη σε μια περιοχή D του χώρου R συνθήκη του Lipschitz στην περιοχή D αν ν+, λέμε ότι ικανοποιεί (ως προς ) τη M > 0 : f(, y, y,, y ) f(, y, y,, y ) ν M y y + y y + + y y, ( ν ν για όλα τα σημεία (, y, y,, y ν ) και (, y, y,, y ν ) της περιοχής D Θεώρημα (Ύπαρξης λύσης) Θεωρούμε μια ΔΕ ν τάξης της μορφής ν

19 6 Κεφάλαιο ν d y ν ( ν ) f(, y, y, y,, y ), (7) όπου f είναι μια συνάρτηση ν+ μεταβλητών ορισμένη σε μια περιοχή D του χώρου R Αν η f είναι συνεχής και ικανοποιεί τη συνθήκη του Lipschitz στην πε- ν + ριοχή D και αν ( a, β0, β, β,, βν ) είναι ένα εσωτερικό σημείο της D, τότε υπάρχει μία, και μόνο μία, λύση y σ( ) της ΔΕ (7), ορισμένη σε μια περιοχή ( a δ, a+ δ) του σημείου a, που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες ( ν ) σ( a) β0, σ ( a) β, σ ( a) β,, σ ( a) β ν 4 Παρατήρηση Όπως είπαμε στην 0, το κύριο πρόβλημα της Θεωρίας των ΔΕ είναι η εύρεση όλων των λύσεων μιας δοσμένης ΔΕ Το πρόβλημα κατά το οποίο μας δίνεται μια συνάρτηση της μορφής y f(, c, c,, c ν ), (8) όπου ν N και c, c,, cν είναι αυθαίρετες σταθερές και ζητείται μια ΔΕ η οποία να έχει γενική λύση τη συνάρτηση (8), λέγεται αντίστροφο του κυρίου προβλήματος 5 Παρατήρηση Για να επιλύσουμε το αντίστροφο του κυρίου προβλήματος ακολουθούμε την εξής διαδικασία : Παραγωγίζουμε ν φορές τα μέλη της (8) ως προς, θεωρώντας τα c, c,, cν σταθερά Έτσι βρίσκουμε τις ν σε πλήθος εξισώσεις y f (, c, c,, cν ) y f (, c, c,, cν ) ( ν) ( ν) y f (, c, c,, cν ) Κατόπιν απαλείφουμε τα c, c,, cν από τις ν+ εξισώσεις (8) και (9) Η εξίσωση ( ν) F(, y, y, y,, y ) 0, (0) την οποία βρίσκουμε με την απαλοιφή αυτή, είναι η ζητούμενη 6 Ορισμός Η ΔΕ (0) λέγεται ΔΕ της ν παραμετρικής οικογένειας καμπυλών του επιπέδου Oy που ορίζεται από τη (8) (9) Υποτίθεται ότι η συνάρτηση αυτή ορίζεται και παραγωγίζεται ν τουλάχιστον φορές σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Ι Βρίσκουμε μια άλλη εξίσωση, που προκύπτει από τις (8) και (9) με αλγεβρικούς μετασχηματισμούς, στην οποία δεν εμφανίζονται τα c, c,, c ν

20 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 7 7 Παρατήρηση Από τις 5 και 6 προκύπτει ότι: Αν η ΔΕ (0) είναι η ΔΕ της ν-παραμετρικής οικογένειας καμπυλών του επιπέδου (8), τότε η συνάρτηση (8) είναι γενική λύση της ΔΕ (0) 8 Παράδειγμα Να βρεθεί η ΔΕ της διπαραμετρικής οικογένειας παραβολών του επιπέδου Oy y a b + () Επειδή η οικογένεια () είναι διπαραμετρική, παραγωγίζουμε δυο φορές τα μέλη της εξίσωσης () ως προς, θεωρώντας τις παραμέτρους a και b σταθερές Έτσι έχουμε y a+ b () και y b () Απαλείφουμε τώρα τις παραμέτρους a και b από τις εξισώσεις (), () και () Θέτουμε την τιμή του b από την () στην () και έχουμε την εξίσωση y a+ y ή a y y Τέλος, θέτοντας b y και a y y στην () παίρνουμε την εξίσωση y ( y y ) + y, η οποία γράφεται y y + y 0 και είναι η ζητούμενη ΔΕ της οικογένειας () 9 Παρατήρηση Σε ότι ακολουθεί, η φράση να λυθεί η Δ Ε θα σημαίνει να βρεθεί μια γενική λύση της ΔΕ

21 8 Κεφάλαιο 4 Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση Να λυθούν οι ΔΕ: (i) dy ημ (ii) t 0 dt + (i) Σύμφωνα με τον τύπο () έχουμε, y ημ + c συν + c, δηλ y συν + c Η συνάρτηση αυτή είναι γενική λύση της ΔΕ που δόθηκε (ii) Άγνωστη συνάρτηση είναι η t () Η ΔΕ (ii) γράφεται t dt και σύμφωνα με τον τύπο () έχουμε t t dt + c t + c t δηλ t + c Η τελευταία συνάρτηση είναι γενική λύση της ΔΕ (ii) Άσκηση ( ), Να λυθούν οι ΔΕ: d y d y (i) 5 (ii) e dt (i) Άγνωστη συνάρτηση είναι η y y() t Σύμφωνα με την Πρόταση 9, μια γενική λύση της ΔΕ (i) βρίσκεται με δυο διαδοχικές ολοκληρώσεις των μελών της Με την πρώτη ολοκλήρωση των μελών της έχουμε dy 5dt c dt + dy ή 5t c dt + και με τη δεύτερη ολοκλήρωση παίρνουμε 5 y (5 t + c) dt + c ή y t + ct + c (ii) Άγνωστη συνάρτηση είναι η y y( ) Ολοκληρώνουμε τρεις φορές τα μέλη της (ii) και έχουμε :

22 Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 d y η d y ολοκλήρωση : e+ c ή e + c dy η dy ολοκλήρωση : ( e + c ) + c ή e + c + c η ολοκλήρωση : y ( e + c + c) + c ή y e + c + c+ c c Τέλος, επειδή όταν η c είναι αυθαίρετη σταθερή, τότε και η c είναι επίσης αυθαίρετη σταθερή, η παραπάνω γενική λύση γράφεται y e + c, + c+ c όπου c, c, cείναι αυθαίρετες σταθερές Άσκηση Να λυθούν οι ΔΕ: 4 5 d y (i) συν 4 (ii) t t e + e 5 dt (i) Ολοκληρώνουμε τέσσερις φορές τα μέλη της (i) η ολοκλήρωση : η ολοκλήρωση: η ολοκλήρωση : d y ( ) + συν c ημ + c d y ημ + c + c συν + c + c dy συν + c + c + c ημ + c + c + c 4 η ολοκλήρωση : ή y ημ c c c c4 4 συν + c + c + c + c4 4 y συν + c + c + c+ c4,

23 0 Κεφάλαιο c c όπου c, c 6 (ii) Μετά από πέντε διαδοχικές ολοκληρώσεις η συνάρτηση e και άρα e t e e e c t c t c t c t c 4 t t t t t + e γίνεται Άσκηση 4 Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών d y ( ), y(0), y (0) 4 Βρίσκουμε πρώτα μια γενική λύση της ΔΕ που δόθηκε Έχουμε dy και ή + c ( ) + c ( ) ( ) + d c ( ) + ( ) + c + c + y + c + c + c + c y τοξημ+ c+ c () Υπολογίζουμε τώρα τις αυθαίρετες σταθερές c, c έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες που δίνονται Θέτουμε στην () 0, y και έχουμε Θέτουμε στην ισότητα τοξημ0+ c 0+ c ή c y + c 0, y 4 και παίρνουμε 4 c Επομένως η ζητούμενη μερική λύση είναι η συνάρτηση y τοξημ+ 4+

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 7. Πρόλογος

Περιεχόμενα 7. Πρόλογος Περιεχόμενα 7 Πρόλογος Πολλά προβλήματα των Φυσικών και γενικότερα των Τεχνικών Επιστημών είναι προβλήματα συμμεταβολής διαφόρων μεγεθών. Η μελέτη αυτών των προβλημάτων αποβλέπει στον προσδιορισμό των

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Σταματόπουλος «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα»

Νίκος Σταματόπουλος «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα» «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα» Ερώτημα 1 ο : Ποιες από αυτές τις «αρχές» είναι όντως αρχές και ποιες δεν είναι; Ερώτημα 2 ο : Ποιο έχει μεγαλύτερη ισχύ; η «αρχή» ή ο «νόμος»; Ερώτημα 3 ο : Ποιο

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργασία ΕΟ 13 2014-2015. Υποδειγματική λύση

1 η Εργασία ΕΟ 13 2014-2015. Υποδειγματική λύση 1 η Εργασία ΕΟ 13 014-015 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) 1

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) = 0, 8 και P (B) =0, 4 να αποδείξετε ότι: Απαντηση

1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) = 0, 8 και P (B) =0, 4 να αποδείξετε ότι: Απαντηση ¾½ Ø Å Ñ Ø Ò È Ø Ì Ü Ã Ø ÆºËº Å ÙÖÓ ÒÒ ¾¼ Å ÓÙ ¾¼¼ 1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) 0, 8 και P (B) 0, 4 να αποδείξετε ότι: (αʹ) 0, P (A B) 0, 4 (βʹ) Τα A και B δεν

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke:

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke: Άσκηση Μ Σπειροειδές ελατήριο Νόμος του Hooe και εξίσωση δυνάμεων Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooe: Οι ελαστικές τάσεις και οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα