ΦΥΣΙΚΗ. μεταξύ των ταλαντώσεων δύο σημείων A40cm ( ) και B( - 40 cm)

Transcript

1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο. Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, το οποίο έχει τη διεύθυνση του άξονα x x, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα, μήκους κύματος λ = 0 cm, προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα. Η απομάκρυνση ενός σημείου Ο, το οποίο θεωρούμε ως αρχή του άξονα, δίνεται από την εξίσωση y= ημ0πt (y σε cm, x σε s). Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; x α) Η εξίσωση του κύματος είναι y ημπ0t (x, y σε cm, t σε s). 0 β) Η διαφορά φάσης φ- φb μεταξύ των ταλαντώσεων δύο σημείων 40cm ( ) και B( - 40 cm), την ίδια χρονική στιγμή, είναι 8π. γ) Η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β τη χρονική στιγμή t= s είναι δ) Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι υ = m/s. cm υ =- 40π. s B. Τρένο κινείται μεταξύ δύο ακίνητων παρατηρητών Α και Α που βρίσκονται στην ευθεία κίνηση του τρένου. Το τρένο απομακρύνεται από τον Α και πλησιάζει τον Α. Η ταχύτητα του τρένου είναι υ S, όπου υ η ταχύτητα του ήχου που εκπέμπει το τρένο. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. fs α) Η συχνότητα του ήχου ως προς τον Α είναι f = fs ενώ ως προς τον Α είναι f. β) Η συχνότητα του ήχου ως προς τον Α είναι ΦΥΣΙΚΗ fs f ενώ ως προς τον Α είναι f = fs. γ) Η επί τοις εκατό μεταβολή του μήκους κύματος που φθάνει στον παρατηρητή Α είναι +50% ενώ στον Α είναι 50 %. δ) Η επί τοις εκατό μεταβολή του μήκους κύματος που φθάνει στον παρατηρητή Α είναι -50% ενώ στον Α είναι +50%. Γ. Στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα ω = f() t για την ω (r/s) περιστροφή ενός στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις με ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ και να δικαιολογήσετε τον χαρακτηρισμό σας. 0 0 α) Τη χρονική στιγμή t= 7,5 s το στερεό επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση α = r/s t (s) β) Τη χρονική στιγμή t= 0 s το στερεό αλλάζει φορά περιστροφής. γ) Η γωνιακή μετατόπιση στα πρώτα πέντε δευτερόλεπτα της περιστροφής του στερεού είναι 50rad. δ) Τις χρονικές στιγμές t = 4 s και t = 4 sτο στερεό έχει επιταχύνσεις και αντίστοιχα για τις οποίες ισχύει:

2 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΜΑ ο Συμπαγής τροχαλία μάζας m και ακτίνας R= 0,5 m στερεώνεται ακλόνητα. Στο αυλάκι της τροχαλίας τυλίγεται αβαρές σχοινί και στα ελεύθερα άκρα του σχοινιού δένονται οι μάζες m και m όπως φαίνεται στο σχήμα με m= m. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί και αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί, οπότε η μάζα m αποκτά επιτάχυνση g/0. α) Να βρεθεί η μάζα m της τροχαλίας. β) Να βρεθεί η ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας όταν ξετυλιχθεί σχοινί μήκους 5m. Δίνονται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας Icm mr, m 0,5kg και g 0m/s. m m ΘΕΜΑ ο Η ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μήκος l και μάζα m και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα κάθετο στο άκρο της Ο χωρίς τριβές. Βλήμα μάζας M m κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ o και 8 υ o διαπερνά ακαριαία τη ράβδο εξερχόμενο με ταχύτητα από το κέντρο μάζας της. Να υπολογιστούν: α) Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση. β) Η ταχύτητα υ ο ώστε η ράβδος να εκτραπεί κατά Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου I Ml o φ = 90 ΘΕΜΑ 4 ο Σώμα μάζας m= 4 Kg είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς K ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς K ταχύτητα υo = 400 N / m και ακουμπά στο = 00 N / m. Δίνουμε στο σώμα οριζόντια = 6m/s προς τα δεξιά. Αν το ελατήριο σταθεράς Κ βρίσκεται δεξιά του σώματος και το ελατήριο Κ βρίσκεται αριστερά του, ζητούνται: α) Να υπολογιστεί η περίοδος Τ της κίνησης του σώματος και η απόσταση L μεταξύ των ακραίων θέσεων της τροχιάς του. β) Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση της ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο στη διάρκεια μιας περιόδου. m υ o. Κ Ο υ ο ΘΕΜΑ 5 ο Σώμα μάζας M 4 0 kg είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς K= 6 N/m και ηρεμεί. Επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά 0,m και το αφήνουμε ελεύθερο τη χρονική στιγμή 4 t= 0. Τη χρονική στιγμή t βλήμα μάζας 90 m 50 kg σφηνώνεται στη μάζα Μ όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν μετά τη κρούση δεν υπάρχει αναπήδηση στον κατακόρυφο άξονα να βρεθούν: α. Η χρονική εξίσωση ταλάντωσης της μάζας Μ πριν τη κρούση. Κ M 60 ο υ m

3 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ β. Το μέτρο της ταχύτητας του βλήματος ώστε το συσσωμάτωμα να εκτελεί ταλάντωση ίδιου πλάτους με τη μάζα Μ. γ. Η χρονική εξίσωση ταχύτητας του συσσωματώματος αν θεωρήσουμε σαν χρονική στιγμή t= 0για το συσσωμάτωμα τη στιγμή της κρούσης. (Η αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου θεωρείται θετική και οι τριβές μεταξύ μάζας Μ και επιπέδου αμελητέες) ΘΕΜΑ 6 ο Με κατάλληλο τρόπο δημιουργούμε στην ήρεμη επιφάνεια υγρού δύο σύγχρονες πηγές παραγωγής κυμάτων Ο και Ο που βρίσκονται μεταξύ τους σε απόσταση 6m. Κάποια χρονική στιγμή to = 0, που θεωρούμε σαν αρχή y (x 0 - m) των χρόνων, οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται, παράγοντας 6 εγκάρσια κύματα που διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού, με ταχύτητα m/sec. Σε σημείο Α,4 t (sec) 0 της επιφάνειας του υγρού, τοποθετείται φελλός, του οποίου η - απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με τον χρόνο περιγράφεται από την -6 γραφική παράσταση που ακολουθεί. α) Να γραφούν οι εξισώσεις των κυμάτων που παράγουν οι πηγές Ο και Ο. β) Να εξετάσετε αν το σημείο Α στο οποίο βρίσκεται ο φελλός είναι σημείο ενίσχυσης, απόσβεσης ή τυχαίο σημείο. γ) Να βρεθεί η απομάκρυνση λόγω ταλάντωσης του φελλού τις χρονικές στιγμές t t =,5 sec και t =, 75 sec. = sec, δ) Να βρεθεί το πλήθος των υπερβολών ενίσχυσης που τέμνουν το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το σημείο Α με την πλησιέστερη πηγή και βρίσκονται μεταξύ του Α και της πηγής. ΘΕΜΑ 7 ο Το κλειστό δοχείο του σχήματος περιέχει νερό μέχρι ύψους H ενώ η πίεση του αέρα πάνω 5 από το νερό είναι PEP,08 0 N/m. Το δοχείο καταλήγει σε πλευρικό σωλήνα μεταβλητής διατομής. Το εμβαδό διατομής στο σημείο Α είναι 6 cm και στο σημείο Γ είναι cm ενώ πάνω από το σημείο Α βρίσκεται ο κατακόρυφος σωλήνας ΑΒ. Γ Α. Αν η στρόφιγγα στο σημείο Γ είναι κλειστή και το ύψος του νερού στη δεξαμενή είναι H m, να βρεθεί το ύψος h του νερού στον σωλήνα ΑΒ. Β. Ανοίγουμε τη στρόφιγγα στο σημείο Γ, οπότε αρχίζει η εκροή του νερού. Τη χρονική στιγμή t0 0 που το ύψος του νερού στο δοχείο είναι H m να υπολογιστούν : Β. Η ταχύτητα ( υ ) του νερού στο σημείο Α Β. Η πίεση του νερού στο σημείο Α P EP H B h

4 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β. Η παροχή του πλευρικού σωλήνα Β4. Το καινούριο ύψος h της στήλης του νερού στον σωλήνα ΑΒ. 5 Δίνονται : ρ 0 kg / m, P 0 Pa, g 0 m/s ΘΕΜΑ ο νερού atm ΛΥΣΕΙΣ Α. α. Η εξίσωση δονήσεως του σημείου Μ(x) του ελαστικού μέσου είναι y ημ0πt φ x πx x φ π. Άρα y ημ0πt ή y ημπ0t (x,y σε cm, t σε s). λ 0 0 Σύμφωνα με τη () η πρόταση (α) είναι σωστή. όπου Υ Β(-40) Ο (40) M(x) x x x x β. Από την () για τα σημεία Α, Β του ελαστικού μέσου θα έχουμε: x x y ημπ0t και yb ημπ0t 0 0 Η διαφορά φάσης μεταξύ των ταλαντώσεων των σημείων Α και Β, την ίδια χρονική στιγμή είναι x x x x 40cm - (-40cm) φφ φ π0t π0t φ π φπ φ8π cm Η πρόταση (β) είναι σωστή. γ. Η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης V του σημείου Β του ελαστικού μέσου είναι x V 40πσυνπ0t 0 40 cm Για t= s και x =- 40 cm έχουμε: V40πσυνπ0 V 40π. 0 s Η πρόταση (γ) είναι λανθασμένη. δ. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι Η πρόταση (δ) είναι σωστή. λ λω 0cm 0πs m υ υ π π s - Β. Αφού το τρένο απομακρύνεται από τον Α, αυτός θα αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας υ υ υ f fs f fs fs f fs υ υs υ υ υ υ υ Όμως fs και f λ λ Τότε () υ υ λ λ λλ λ 00% 00% 00% 00% 0,500% 50% λ λ λ λ λ λ 4

5 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Αντίστοιχα αφού το τρένο πλησιάζει τον Α, αυτός θα αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας υ υ f fs fs f fs υ υ υ s υ υ υ Όμως fs f λ λ Τότε () λ Δλ λ 00% λ λ Σωστές προτάσεις η α και δ λ 00% λ υ 00% 00% 0,500% 50% Γ. α) Σωστή Από t 5 s έως t 0 s η ευθεία έχει σταθερή κλίση, οπότε το στερεό στρέφεται με σταθερή επιτάχυνση d 00 0 r / s dt β) Λάθος Τη χρονική στιγμή t 0 s το στερεό στρέφεται με ταχύτητα ω 0 r / s και αρχίζει να επιβραδύνεται μέχρι να σταματήσει τη χρονική στιγμή t 0 s, χωρίς να αλλάξει τη φορά περιστροφής. γ) Σωστή Η γωνιακή μετατόπιση βρίσκεται από το εμβαδόν του σχήματος. Οπότε στα πρώτα πέντε δευτερόλεπτα θα είναι: θ Eορθ 50 rad. δ) Λάθος Τη χρονική στιγμή t 4 s το στερεό εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση, άρα α 0. ΘΕΜΑ ο α) Τοποθετούμε δυνάμεις στα σώματα και αναγνωρίζουμε της κινήσεις του κάθε σώματος. Η m θα κινηθεί μεταφορικά προς τα κάτω. Fmcm W T mcm T mgm cm () Η m θα κινηθεί μεταφορικά της τα πάνω. T F W T Fmcm T W mcm T mgm cm () T T g cm 7m 0 g () () T T 0 m m Η τροχαλία εκτελεί περιστροφική κίνηση με φορά της φαίνεται στο σχήμα. W cm W R cm cm TR TR mr T mr T R g m cm cm mg 0 T 0 4 mg 7mg Από (),(4) m 7kg 0 0 β) Όταν ξετυλίγεται σχοινί μήκους η m κινείται της τα κάτω κατά h 5m. h cmt t s 5

6 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ cm r / s οπότε t 4r/s R ΘΕΜΑ ο α) Ισχύει ΑΔ στροφορμής: Lαρχ L l mυ0l L L L mυ0 0 υ0 l υ0 l l L L L m ωm Ml M ω 4, mυ0l mυ0l mυ0l mυ0l mυ0 M/8υ0 υ0 Ml ω l ωω ω 6 l l M 8l β)λόγω διατήρησης της ενέργειας και ορίζοντας ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο μάζας, για εκτροπή ράβδου κατά γωνία φ=90 ο έχουμε: l æ Ml ö υ0 l Καρχ + Uαρχ = Κ τελ + Uτελ Ιω + 0 = Μg Ml + = Μg ç çè 4 ø 64l υ0 l Ml = Mg υ 0 = 64gl υ0 = 8gl 64l ΘΕΜΑ 4 ο α. Αρχικά για όσο χρόνο το σώμα κινείται δεξιά από τη θέση της ισορροπίας του εκτελεί Α.Α.Τ. με την επίδραση του ελατηρίου Κ. Άρα η περίοδος αυτής της ταλάντωσης θα είναι: m D κ m π T π T π T sec D κ 0 όμως το σώμα εκτελεί τη μισή Α.Α.Τ. σε χρόνο T π Δt Δt sec. 0 Επίσης ω 0rad / s. Άρα η προς τα δεξιά κίνηση θα έχει μέγιστη απομάκρυνση: o o ωx 0 x 0 x 0 0,6m (). ω υ 0 K K Στη συνέχεια το σώμα επιστρέφει στη θέση ισορροπίας του με την ίδια ταχύτητα υ o και αρχίζει να ταλαντώνεται της τα αριστερά με την επίδραση και των δύο ελατηρίων. Η περίοδος της ταλάντωσης θα είναι : m D κκ m π T π T π T sec D κ κ 0 και ο χρόνος κίνησης του σώματος υπό την επίδραση και των δύο ελατηρίων θα είναι: x0 FΕΛ υ 0 x0 FΕΛ FΕΛ 6

7 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ T π Δt Δt sec. Της ω 0rad / s. 0 Άρα η της τα αριστερά κίνηση θα έχει μέγιστη απομάκρυνση o o ωx 0 x 0 x 0 0,m (). ω π Οπότε η περίοδος της κίνησης του σώματος θα είναι: T = Δt+ Δt T= sec 0 και η απόσταση d μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων: d= x0 + x0 d= 0,9m. β. Γραφική παράσταση x=f(t). Θεωρώντας τα θετικά δεξιά: π x x 0ημωt 0,6ημ0t 0 t 0 x =-x ημω t x =- 0,ημ 0t 0 x 0, 6 0 t éπ πù t êë0 0úû -0, 0 0 ΘΕΜΑ 5 ο α. Για τη μάζα Μ: x ( t 0) Στη χρονική στιγμή : t= 0 έχω x= = 0, m υ x m κ 60 ω 0r / s k M ο Μ υ υ y και εφόσον σε t 0: x, η rad x V Άρα x 0,0t 4 β. Βρίσκουμε την απομάκρυνση της μάζας Μ σε t 90 4 t 90 x 0,0t x 0,m και την ταχύτητα της την ίδια χρονική στιγμή 4 t 90 max0t m / s Από ΑΔΕ ταλάντωσης αμέσως μετά την κρούση βρίσκουμε την ταχύτητα V του συσσωματώματος. E U κ M mv κx V m/s Από ΑΔΟ στην κρούση κατά τον άξονα x, υπολογίζουμε την υ x του βλήματος πριν την κρούση. P P mx M mv () 6 Αν V m / s x m / s [ ί ί x 0] 5 () Αν V m / s 6 m / s [ ύ] x 7

8 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ οπότε τελικά από την ανάλυση της ταχύτητας στο βλήμα: x x V o m / s γ. Εξίσωση ταχύτητας για το συσσωμάτωμα V ( t ) όπου ω 4m / s Βρίσκω αρχική φάση φ ο: (0t ) σε t=0 και m / s έχουμε: Άρα είτε Για έχω x> 0. Άρα απορρίπτεται. 6 7 Για έχω x< 0. Δεκτή λύση. 6 7 Οπότε η εξίσωση γράφεται: V 40t. 6 κ m 0r / s ΘΕΜΑ 6 ο α) Οι πηγές είναι σύγχρονες και παράγουν όμοια κύματα. Η εξίσωση κάθε τρέχοντος κύματος που παράγει η κάθε πηγή είναι: y t x της T 0, sec και f Άρα από () y 0 υ λ 0, 4m f 5 T t x y 0 0, 0,4 (5t,5x) S.I. β) Αφού 60 m ενίσχυσης. τότε ταλαντώνεται με το μέγιστο δυνατό πλάτος άρα είναι σημείο γ) Από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι ο φελλός: i) από 0 μέχρι sec παραμένει ακίνητος, άρα στο χρονικό αυτό διάστημα, στο Α δεν έχει φθάσει ούτε το κύμα από την πηγή Ο, ούτε το κύμα από την Ο. Άρα για t sec, y 0 ii) από t μέχρι, sec ο φελλός ταλαντώνεται με πλάτος 0 mάρα στο Α έχει φθάσει μόνο το ένα κύμα που προέρχεται από τη την μία πηγή Ο. Συνεπώς η Ο θα απέχει d υt 4m. Η ταλάντωση του Α θα περιγράφεται από την εξίσωση: - t=,5sec, x= d y= 0 ημπ(5t -,5x) ¾¾¾¾¾¾ - y= 0 ημπ(5,5-,5 4) - - æ ö y= 0 ημ, 5π y= 0 ημ ç π + çè 4 ø π 8

9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ æ ö = ç - =- çè ø - - y 0 y 0 m iii) από t, μέχρι,4 sec ο φελλός ταλαντώνεται με πλάτος 60 m άρα έχει φθάσει στο Α και το δεύτερο κύμα από την πηγή Ο που θα απέχει από το Α d υt, 4,4m. Η ταλάντωση του Α θα περιγράφεται από την εξίσωση dd t dd y yy yσυνπ ημπ λ λ 44,4 t 44,4 y0 συνπ ημπ 0, 4 0, 0, 4 t y60 συνπ ημπ 0,5 στο S.I. 0, t,75 y 60 ημπ,75 0,5 y60 ημ, 75π y60 ημ 4 7π y 6 0 y 0 m δ) Τα σημεία ενίσχυσης που βρίσκονται μεταξύ της πηγής Ο και του μέσου Μ της Ο Ο πληρούν την συνθήκη: d- d = Nλ και d+ d = l N Από την επίλυση του συστήματος προκύπτει d () l () l lλ Της d l l Για το Α ισχύει: d d N 4 4,4 0,4 Άρα το Α βρίσκεται στην ενισχυτική υπερβολή N=-, επομένως μεταξύ του Α της πηγής Ο βρίσκονται υπερβολές ενίσχυσης. ΘΕΜΑ 7 ο Α. Εφόσον η στρόφιγγα είναι κλειστή, το υγρό ισορροπεί οπότε τα σημεία Ο και Α έχουν την ίδια πίεση. P EP B H Z O h Γ 9

10 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ P P ρ gh EP atm ν P0 P PEP ρνgh Patm ρνgh h h,8 m ρν g Β. Ανοίγοντας την στρόφιγγα τη χρονική στιγμή t0 0 εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli στα σημεία Ζ και Γ της ίδιας ρευματική γραμμής : PZ ρυz ρνgh PΓ ρυγ 0 PP ρ gh PZ P υz 0 atm ν P ρνgh P P atm ρυγ υγ Γ Patm ρν υγ 6m/s Επειδή η παροχή στα σημεία Α και Γ είναι σταθερή, ισχύει : υγ Π ΠΓ υ υγ υ υ m/s ΠΡΟΣΟΧΗ : Δεν χρησιμοποιώ διατήρηση της παροχής στα σημεία Α και Ζ γιατί το ύψος του νερού στη στήλη ΑΒ αλλάζει. Β. Χρησιμοποιούμε την εξίσωση Bernoulli στα σημεία Α και Γ οπότε : PΓ P atm P ρυ ν 0PΓ ρυ ν Γ 0P Patm ρνυγ υ 5 5 P 0 60 P,6 0 Pa Β. 4 4 Π υγ 0 6 Π 0 m / s Β4. Για την πίεση P ισχύει : 5 P Patm 0,60 P Patm ρν ghh h h,6 m ρν g 0 0 Παρατηρούμε ότι η στήλη του νερού στον σωλήνα ΑΒ έχει ύψος h h. ΘΕΜΑ ο ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. Ένα κυλινδρικό δοχείο περιέχει νερό μέχρι το ύψος h από τον πυθμένα του. Στον πυθμένα του δοχείου ανοίγουμε μία μικρή οπή με εμβαδόν διατομής από όπου μπορεί να εξέρχεται κατακόρυφα το νερό ώστε η στάθμη του στο δοχείο να παραμένει σταθερή. Σε απόσταση 8h κάτω από τον πυθμένα το εμβαδόν διατομής της φλέβας του νερού είναι : α. β. γ. 4 Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογείστε την απάντησή σας. Β. Το δοχείο του σχήματος περιέχει νερό και ισορροπεί στο κεκλιμένο επίπεδο όπως φαίνεται στο σχήμα. Για τις πιέσεις στα σημεία Α και Γ ισχύει ότι : α. P PΓ β. PΓ P γ. P PΓ Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογείστε την απάντησή σας. φ Γ 0

11 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ. Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης αρμονικού ταλαντωτή μειώνεται εκθετικά με το χρόνο, Λt σύμφωνα με τη εξίσωση 0e. Τη χρονική στιγμή t0 = 0 η ολική ενέργεια του ταλαντωτή είναι Ε 0. E0 α. μετά πόσο χρόνο t η ενέργεια του ταλαντωτή θα γίνει E ; β. πόση είναι η ενέργεια του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή t = t; Δ. Ποιο από τα παρακάτω αρμονικά κύματα διαδίδεται με μεγαλύτερη ταχύτητα στο ίδιο ελαστικό μέσο t x x α. y ημπ S.I. β. y ημπ t S.I. 4 t x γ. y ημπt x S.I. δ. y ημ S.I. 6 ΘΕΜΑ ο Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς K = 00 N / m στερεώνεται στο κάτω άκρο, ενώ στο ελεύθερο πάνω άκρο του ισορροπεί μάζα m= 0, kg. Ασκώντας στο σώμα κατακόρυφη δύναμη F με φορά προς τα πάνω το σώμα αποκτά ταχύτητα υ = 5m/s όταν έχει μετατοπιστεί Δ x=- 0,m από τη θέση της ισορροπίας του. Θεωρώντας αυτή σαν χρονική στιγμή t= 0, αφαιρούμε τη δύναμη F που ασκείται στο σώμα, οπότε αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με τα θετικά του άξονα προς τα κάτω. α. Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα. β. Να γραφούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο για την απλή αρμονική ταλάντωση που εκτελεί το σώμα. γ. Να βρεθεί το ποσό της προσφερόμενης ενέργειας στο σώμα Umax dk δ. Να βρεθούν: i) ο λόγος ii) ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας Umax dt τη χρονική στιγμή t= 0. Δίνεται g= 0 m/s Θεωρήστε σαν αρχή του άξονα της ταλάντωσης τη θέση της ισορροπίας του σώματος. ΘΕΜΑ ο Το άκρο Ο γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου αρχίζει, τη στιγμή t= 0, να εκτελεί αμείωτη αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y= 0ημ0πt (t σε s, y σε cm), οπότε διαδίδεται, κατά μήκος m του ημιάξονα Οx, κύμα με ταχύτητα υ =. s α. Πόσο είναι το μήκος κύματος; β. Πότε αρχίζει να ταλαντώνεται ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου το οποίο απέχει από την πηγή Ο απόσταση x= m γ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ και να υπολογίσετε την τιμή της τη χρονική στιγμή t= 5,65s. Ποια είναι η τιμή της φάσης του σημείου Μ την παραπάνω χρονική στιγμή;

12 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ δ. Πόσο απέχει από το σημείο Μ, ένα σημείο Ν το οποίο την ίδια χρονική στιγμή t 5,65 s έχει φάση 7 ; Κατά ποια φορά διαδίδεται το κύμα; ε. Να παραστήσετε γραφικά τη μεταβολή της φάσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με το χρόνο. ΘΕΜΑ 4 ο Μια ομογενής συμπαγής σφαίρα Κ μάζας m και ακτίνας R και μια δεύτερη ομογενής συμπαγής σφαίρα L, μάζας m και ακτίνας R τοποθετούνται στο άνω άκρο κεκλιμένου επιπέδου. Αν οι δύο σφαίρες αφεθούν ταυτόχρονα ελεύθερες από την ηρεμία και το ίδιο ύψος να κυλίσουν χωρίς ολίσθηση πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, τότε: (Δίνεται: η ροπή αδράνειας ομογενούς συμπαγούς σφαίρας I= /5mR. Αντίσταση του αέρα αμελητέα). α. Λόγω διατήρησης της στροφορμής, και οι δύο σφαίρες φθάνουν στο κάτω άκρο του κεκλιμένου επιπέδου με την ίδια γωνιακή επιτάχυνση β. Η σφαίρα Κ θα έχει την ίδια κινητική ενέργεια με τη σφαίρα L, όταν οι δύο φθάνουν στο κάτω άκρο του κεκλιμένου επιπέδου γ. Η σφαίρα Κ, με τη μικρότερη ροπή αδράνειας, θα φθάσει πρώτη στο κάτω άκρο του κεκλιμένου επιπέδου δ. Η σφαίρα L, με τη μεγαλύτερη ροπή αδράνειας θα φθάσει πρώτη στο κάτω άκρο του κεκλιμένου επιπέδου ε. Οι δύο σφαίρες Κ και L φθάνουν ταυτόχρονα στο κάτω άκρο του κεκλιμένου επιπέδου