α) Θα χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο του Bohr καθώς για την ενέργεια δίνει καλά αποτελέσματα:

Transcript

1 Ιατρική Φυσική ΑΡΝΟΣ-2257 Δ1 α) Θα χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο του Bohr καθώς για την ενέργεια δίνει καλά αποτελέσματα: E 3 E 2 =h f E n =E 1 /n 2 E 1 = 13.6eV c=λf hc λ= = nm Εξαιρετικά καλή τιμή β) Από τη σχέση για το φαινόμενο Doppler ως προς τα μήκη κύματος έχουμε ότι (μη σχετικιστικό) Δ λ λ = u c u=c Δ λ λ =0.158c Η απόσταση μας από αυτό το γαλαξία είναι: u=h 0 r r= u H 0 = km/ s = Mpc 1 km/ s Mpc [Παρατηρήσεις: α) Οι μονάδες της Hο είναι λάθος στο βιβλίο. Οι σωστές είναι (km/s)/mpc. β) Το σφάλμα που υπάρχει στην τιμή της Ηο μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε μια πιο χονδρική τιμή για το c. Δ2 Θα χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο του Bohr : E 3 E 2 =h f E 1 E n =E 1 /n 2 E 1 = 13.6eV = me f = E E n+1 n n E 1 2 (n+1) 2 = 4 h h 2ħ 2 H κλασική συχνότητα περιφοράς (για την ίδια ακτίνα ) είναι: = E 1 h (n+1) 2 n 2 (n+1) 2 n = 2E 1 2 hn 3 = 2me4 2ħ 2 hn 3 F κ =F C F κ =mω 2 r F c = 1 4π ε 0 e 2 ω=2π f r=r 1 n 2 r 1 = ħ2 e 2 m r 2 f = 2me 4 2 ħ 2 hn 3

2 Δ3 Για ένα δορυφόρο έχουμε ω= 2π T nh= m 4π2 r 2 n= m 4π2 L=mωr 2 T 2 h T 2 r2 = =nh Δ4 Η αρχή της απροσδιοριστίας για το χρόνο και την ενέργεια μας δίνει: ΔE Δt ħ ΔE ħ Δt τ τ = J Οι ενεργειακές καταστάσεις είναι εκφυλισμένες, δηλαδή όλες οι καταστάσεις με το ίδιο n έχουν την ίδια ενέργεια. Επομένως θα έχουμε ότι E 2 E 1 =Ε E n =E 1 /n 2 Ε =10.2 ev E 1 = 13.6eV Δ5 α) Η τιμή της μαγνητόνης του Bohr είναι: μ Β = e ħ 2m e = J /T = ev /T όπου 1 ev = J β) Οι ενέργειες των φωτονίων είναι τρεις (έχουμε μεταπτώσεις από την πάνω ενεργειακή κατάσταση όπως διαχώρησε το μαγνητικό πεδίο την 2p στη θεμελιώδη, από την κεντρική ενεργειακή κατάσταση όπως διαχώρησε το μαγνητικό πεδίο την 2p στη θεμελιώδη και από την κάτω ενεργειακή κατάσταση όπως διαχώρησε το μαγνητικό πεδίο την 2p στη θεμελιώδη). Σε αυτό έχουμε λάβει υπόψιν μας το γεγονός πως η s κατάσταση δεν διαχωρίζεται από το μαγνητικό πεδίο. Συνεπώς

3 E 2,1,1 E 1 =Ε α E 2,1,0 E 1 =E β E 2,1, 1 E 1 =E γ E 2,1,1 =E 2 + μ B B E 2,1, 1 =E 2 μ B B E 2,1,0 =E 2 = E 1 4 E 1 = 13.6 ev E α =( )ev E β =10.2eV E γ =( )ev Στο συμβολισμό στους δείκτες ο πρώτος αριθμός είναι ο κύριος κβαντικός αριθμός, ο δεύτερος ο κβαντικός αριθμός της στροφορμής και ο τρίτος ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός. Δ6 ΔΕ=Ε 2 +μ Β Β ΕΣ ( Ε 2 μ Β Β ΕΣ )=2 μ Β Β ΕΣ Β ΕΣ = ΔΕ = =0.392 T 5 2 μ Β Ε1. α) Ο φασματοσκοπικός συμβολισμός για το Νάτριο στην θεμελιώδη του κατάσταση είναι DE = mbgb = ev 1s 2 2s 2 2p 6 3s 1 Οι εκθέτες που χαρακτηρίζουν τα ηλεκτρόνια έχουν άθροισμα 11. Η χαμηλότερη στάθμη χωράει μόνο ένα ζεύγος καθώς ο αριθμός της στροφορμής παίρνει μόνο την τιμή 0 ενώ στη δεύτερη κατάσταση ο αριθμός της στροφορμής παίρνει τις τιμές 0 και 1 άρα έχουμε δυο ομάδες καταστάσεων. Η p (l=1) σπάει σε 3 ζεύγη εξαιτίας της τιμής του μαγνητικού αριθμού. Η χαμηλότερη κατάσταση αμέσως μετά είναι η 3s. Η πρώτη του διεγερμένη κατάσταση έχει συμβολισμό: 1s 2 2s 2 2p 6 3p 1 Μετά την 3s η χαμηλότερη κατάσταση είναι η 3p. β) Στην περίπτωση του Νατρίου οι δύο διεγερμένες p καταστάσεις είναι οι 3p 3/2 και 3p 1/2. Η διαφορά αυτών των καταστάσεων είναι μια μόνο μονάδα του σπιν που αλλάζει προσανατοσλιμός καθώς θεωρούμε ότι η τροχιακή στροφορμή παραμένει η ίδια. Η μεταβολή της ενέργειας των δύο δίδυμων γραμμών είναι

4 Ε 1 = hc λ 1 Ε 2 = hc λ 2 ΔΕ=Ε 2 Ε 1 σχέση ΔΕ=0.0021eV Η ενέργεια αυτή σχετίζεται με το μαγνητικό πεδίο μέσα από τη ΔΕ=0.0021eV = μ Β g B B=18T όπου g=2 (electron spin g- factor). Ε2 Από το σχήμα βλέπουμε ότι το ελάχιστο μήκος κύματος στο φάσμα των ακτίνων Χ είναι περίπου 33 pm. Αυτό σημαίνει ότι σε αυτή την περίπτωση όλη η ενέργεια του ηλεκτρονίου έγινε ένα φωτόνιο. Ε Kα = hc λ Kα =19700eV Ε Kβ = hc =17750eV λ Kβ Ε 2= 300eV E Ε Kα =Ε 2 Ε 3 = 250eV 1 Ε Kβ =Ε 3 Ε 1 E 1 = 20000eV Επομένως Ε = hc λ V = hc eλ =37600V E=eV Το φάσμα των ακτίνων Χ είναι συνεχές και διακριτό. Το διακριτό τμήμα που είναι οι γραμμές Κα και Κβ οφείλεται στις αποδιεγέρσεις των ηλεκτρονίων προς τις εσωτερικές στάθμες. H γραμμή Κα οφείλεται στη μετάβαση των ηλεκτρονίων από τη στάθμη με n=2 στη n=1 ενώ η γραμμή Κβ από τη στάθμη με n=3 στη n=1. Από τη γραφική παράσταση έχουμε ότι λ Κα =63 pm, λ Κβ =70 pm. Επομένως: Ε Kα = hc λ Kα =19700eV Ε Kβ = hc =17750eV λ Kβ Ε 2= 300eV E Ε Kα =Ε 2 Ε 3 = 250eV 1 Ε Kβ =Ε 3 Ε 1 E 1 = 20000eV

5 E3 Για μικρά Α η ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο αυξάνει αρκετά γρήγορα. Παρατηρείται μια κορυφή κοντά στο Fe όπου υπάρχει μέγιστη σταθερότητα. Για μεγάλα Α η ενέργεια σύνδεσης είναι σχεδόν ανεξάρτητη του Α επομένως μπορούμε να πούμε ότι στους μεγάλους πυρήνες το κάθε νουκλεόνιο αλληλεπιδρά με συγκεκριμένο και σταθερό αριθμό νουκλεονίων γύρω του και όχι με όλα τα νουκλεόνια. Αυτό προκύπτει από το γεγονός πως οι πυρηνικές δυνάμεις δεν έχουν άπειρη εμβέλεια σε αντίθεση με την ηλεκτρική δύναμη Coulomb η οποία δεν παρουσιαζει κορεσμό. β) Η ατομική μονάδα μάζας (amu) ορίζεται12 cdot 1.66 times 10^{-27} σαν το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα mole άνθρακα 12 έχει άτομα και μάζα kg. Επομένως ( 1 amu = g/ ( ) 1/12 = kg. Όμως αν θελήσουμε να μετατρέψουμε τα kg σε MeV/c 2 θα έχουμε: 1 MeV= 10 6 ev = J = J Όμως 1 kg αντιστοιχεί σε c 2 J σε ενέργεια. Αρα 1J= 1 kg/ c 2 Επομένως

6 1 amu = ( )/( )MeV kg/j=931 MeV/c 2 Δεχόμαστε ότι η ακτίνα ενός ατόμου δίνεται από τη σχέση: r=1.2 A 1/3 fm (όπου Α ο μαζικός αριθμός του πυρήνα). Επομένως για την περίπτωση του άνθρακα 12 V =4π r 3 /3 r= / m m= kg ρ=m/v E3 (Δεύτερη) r= π = kg/m 3 α) Το άτομο του υδρογόνου είναι αποτέλεσμα της ηλεκτροστατικής έλξης ανάμεσα στο πρωτόνιο και στο ηλεκτρόνιο. Επομένως υπεύθυνη είναι η ηλεκτρομαγνητική δύναμη. Το άτομο του δευτερίου είναι αποτέλεσμα την ισχυρής πυρηνικής δύναμης η οποία δρα ανάμεσα (στα κουάρκς) και στα νουκλεόνια. Η ισχυρή πυρηνική δύναμη είναι πολύ πιο ισχυρή από την ηλεκτρομαγνητική αλλά έχει πολύ μικρότερη εμβέλεια. Το γεγονός πως είναι πολύ ισχυρότερη έχει σαν αποτέλεσμα τις πολύ μεγάλες τιμές της ενέργειας σύνδεσης που εμφανίζονται στα πυρηνικά συστήματα σε σχέση με τα ατομικά συστήματα. β) Η μάζα του ατόμου του υδρογόνου είναι πρακτικά ίση με τη μάζα του πρωτονίου καθώς η ενέργεια σύνδεσης του συστήματος είναι πρακτικά αμελητέα σε σχέση με την ενέργεια ηρεμίας του πρωτονίου. Επομένως η μάζα του ατόμου του υδρογόνου είναι 938 MeV/c 2. Η amu δεν είναι ίση με τη μάζα ενός πρωτονίου καθώς στον πυρήνα του άνθρακα 12 υπάρχει και ένα έλλειμμα μάζας (Δm) που αντιστοιχεί στην ενέργεια σύνδεσης. Το δευτέριο αποτελείται από ένα πρωτόνιο και ένα νετρόνιο. Η μάζα του πυρήνα του είναι: M=m p +m n -Δm= = MeV/c 2 Εδώ το ΔM είναι αυτό του δευτερίου. Για να βρω τις αντίστοιχες ενέργειες θα πρέπει να πολλαπλασιάσω αυτές τις τιμές με το c 2. Αυτό θα έχει σαν αποτέλεσμα να φύγει από τις μονάδες και τελικά να πάρω τις ίδιες αριθμητικές τιμές. E4 α) Στην πρώτη αντίδραση υπεύθυνη είναι η ηλεκτρομαγνητική δύναμη καθώς είναι μια χημική αντίδραση. Στη δεύτερη αντίδραση υπεύθυνη είναι η ισχυρή πυρηνική αντίδραση καθώς έχουμε μια σύλληψη ενός σωματίου α από έναν πυρήνα. Στην αντίδραση αυτή θα πρέπει να διατηρούνται ο μαζικός αριθμός και ο ατομικός αριθμός. Συνεπώς θα έχουμε ότι Ατομικός αριθμός:

7 2+6= χ+8 Αρα χ=0. Μαζικός αριθμός: 4+13=υ+16 Αρα υ=1 Αρα το άγνωστο σωματίδιο έχει μηδενικό ατομικό αριθμό και μοναδιαίο μαζικό, συνεπώς είναι νετρόνιο. β) Προφανώς περισσότερη ενέργεια απελευθερώνεται στη δεύτερη αντίδραση καθώς είναι πυρηνική. Οι τιμές που μας δίνει η άσκηση μας ξεγελούν να θεωρήσουμε ότι περισσότερη ενέργεια απελευθερώνεται στην χημική αντίδραση. Θα πρέπει όμως να προσέξουμε ότι οι θερμότητες που δίνονται στις χημικές αντιδράσεις αναφέρονται σε 1 mole αντιδρώντων δηλαδή σε άτομα. γ) Στη χημική αντίδραση απαιτείται ενέργεια για να σπάσει ο δεσμός των οξυγόνων και στη συνέχεια απελευθερώνεται ενέργεια όταν τα ελεύθερα πια οξυγόνα συνδέονται με τον άνθρακα. Στην πυρηνική αντίδραση απαιτείται ενέργεια για να πλησιάσει το σωμάτιο α πολύ κοντά στον πυρήνα καθώς και αυτό αλλά και ο πυρήνας είναι θετικά φορτισμένα με αποτέλεσμα να απωθούνται ηλεκτροστατικά. Όταν το σωμάτιο α ενσωματωθεί στον πυρήνα αυξάνει η ενέργεια σύνδεσης του με αποτέλεσμα να αποβάλλει την περισσευούμενη ενέργεια. E5 Σχήμα σελ 53 σημειώσεων. Οι σταθεροί πυρήνες για μικρούς ατομικούς αριθμούς (μικρότερους από 20 ) έχουν ίσο αριθμό νετρονίων και πρωτονίων. Για μεγάλους ατομικούς αριθμούς ο αριθμός των νετρονίων ξεπερνά σημαντικά τον αριθμό των πρωτονίων. Οι δυνάμεις που λαμβάνουν μέρος είναι η απωστική ηλεκτρομαγνητική δύναμη (δύναμη Coulomb) η οποία τείνει να διαλύσει τους πυρήνες και η ελκτική ισχυρή πυρηνική δύναμη η οποία τους κρατά ενωμένους. Η ηλεκτρομαγνητική δύναμη είναι πιο ασθενής από τον ισχυρή πυρηνική αλλά έχει άπειρη εμβέλεια σε αντίθεση με την ισχυρή πυρηνική που η εμβέλεια της δεν καλύπτει καν τους μεγάλους πυρήνες. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να απαιτείται μεγαλύτερος αριθμός νετρονίων στους μεγάλους πυρήνες για να επέλθει σταθερότητα. Η κοιλάδα σταθερότητας είναι η περιοχή στην οποία βρίσκονται οι σταθεροί πυρήνες. Οι ραδιενεργοί πυρήνες με τις διασπάσεις προσπαθούν να βρεθούν μέσα σε αυτή την περιοχή σταθερότητας. Οι διαδικασίες είναι η διάσπαση α, η διασπαση β, η διάσπαση γ καθώς και κάποιες πολύ πιο σπάνιες όπως η σύλληψη ηλεκτρονίου η εσωτερική μετατροπή. E6 Οι αντιδράσεις του κύκλου πρωτονίου -πρωτονίου είναι

8 1 1 Η + 11 Η Η + + e + ν e ev (Ισχυρή πυρηνική αλλά και Παραγωγή νετρίνων Ασθενής πυρηνική) Από τις διατηρήσεις μαζικού και ατομικού αριθμού έχουμε ότι: 1+1=2+χ Αρα χ=0 1+1=1+υ Αρα υ=1 Επομένως έχουμε ένα θετικά φορτισμένο σωματίδιο με φορτίο ίσο με του πρωτονίου το οποίο έχει μαζικό αριθμό μηδέν άρα δεν είναι νουκλεόνιο άρα είναι ποζιτρόνιο. Στη συνέχει παίρνουμε τη διατήρηση του λεπτονικού αριθμού του ηλεκτρονιου. Επειδή αυτό είναι ένα σωματίδιο αντιύλης και στα αντιδρώντα δεν έχουμε αντιύλη θα πρέπει να παραχθεί και ένα νετρίνο ύλης που θα ανήκει στην ομάδα των νετρίνων του ηλεκτρονίου. 1 1 Η + 12 Η Ηe + γ Μ ev (ισχυρή πυρηνική) Πάλι από τη διατήρηση του ατομικού και του μαζικού αριθμού βλέπουμε ότι το σωματίδιο που λείπει έχει και τους δύο αυτούς αριθμού μηδενικούς. Από τη διατήρηση του λεπτονικού αριθμού του ηλεκτρονίου βλέπουμε ότι δεν είναι ούτε λεπτόνιο. Αρα αν υπάρχει θα είναι φωτόνιο. 2 3 Ηe + 23 Ηe Ηe + + e + ν e ev (Ισχυρή πυρηνική αλλά και Παραγωγή νετρίνων Ασθενής πυρηνική) Από τις διατηρήσεις μαζικού και ατομικού αριθμού έχουμε ότι: 1+1=2+χ Αρα χ=0 1+1=1+υ Αρα υ=1 Επομένως έχουμε ένα θετικά φορτισμένο σωματίδιο με φορτίο ίσο με του πρωτονίου το οποίο έχει μαζικό αριθμό μηδέν άρα δεν είναι νουκλεόνιο άρα είναι ποζιτρόνιο. Στη συνέχει παίρνουμε τη διατήρηση του λεπτονικού αριθμού του ηλεκτρονιου. Επειδή αυτό είναι ένα σωματίδιο αντιύλης και στα αντιδρώντα δεν έχουμε αντιύλη θα πρέπει να παραχθεί και ένα νετρίνο ύλης που θα ανήκει στην ομάδα των νετρίνων του ηλεκτρονίου. E7 Η αντίδραση που παράγει το ραδιοισότοπο αυτό είναι η σύλληψη νετρονίου. y x Χ + 01 n= Xe +Q Η διατήρηση του ατομικού και μαζικού αριθμού μας δίνει: x+1=125 x=124 y+0=54 y=0. Επομένως το νουκλίδιο που ψάχνουμε είναι το Xe Από τη σχέση 3.56 των σημειώσεων έχουμε ότι:

9 S= dr dt (1 e λt ) dr dt =1010 S=10 10 (1 e 100 ln 2 ) bq Το αποτέλεσμα αυτό είναι απόλυτα λογικό καθώς t= s λ= ln 2 T 1/ 2 Τ 1 / 2 = s μετά από τόσο χρόνο το σύστημα έχει φτάσει σε ισορροπία έτσι ώστε κάθε δευτερόλεπτο να διασπώνται τόσοι πυρήνες όσοι προστίθενται. E8 Ο φραγμός δυναμικού σε έναν πυρήνα (Α,Ζ) (εξίσωση 3.31 των σημειώσεων ) είναι: Z (Z 1) Z (Z 1) Ε C =a C =0.6 MeV Ανάλογα για ποιο πυρήνα θέλουμε βάζουμε τα κατάλληλα Ζ A 1 /3 A 1/ 3 και Α. Πιστεύω ότι αναφέρεται στον μητρικό πυρήνα οπότε Α=211, Ζ=83. Από τη σχέση 3.67 των σημειώσεων έχουμε για την κινητική ενέργεια του σωματιδίου α: Κ α =Q (1 4 )=6.75(1 4/211)=6.62 MeV A E9 α) Η αντίδραση είναι: e^{-λ_1t} 210 Po Pb+ 24 He + Q όπου Q=5.407 MeV, T 1/2 =138.4 d Σε 1gr Po έχουμε Ν=Ν Α /Μr όπου Μr η μοριακή του μάζα: Ν=Ν Α /210= άτομα Η ειδική ενεργότητα είναι: S A = dn = λ N dt 0 ln 2 λ= ln2 S A = $ N T 0 = / 2 Η ισχύς που παράγεται είναι ο αριθμός των διασπάσεων ανά γραμμάριο (δηλαδή η ειδική ενεργότητα) επί την ενέργεια που απελευθερώνει η κάθε διάσπαση (αφού μετατρέψουμε τα MeV σε J).. 13 ln 2 P=Q S A = Τ_{1,1/2} =66 cdot 3600 s

10 β) Η ενέργεια που πρέπει να απορροφήσει ο άνθρωπος για να πεθάνει είναι Ε= 5 Gy 70 kg = 350 J H άσκηση δεν μας αναφέρει ρυθμό με τον οποίο το σώμα αποβάλλει το Po επομένως θεωρούμε ότι δεν αποβάλλεται. Θα βρούμε τον αριθμό των διασπάσεων που αe^{-λ_1t} παιτούνται για να απορροφήσει ο οργανισμός αυτή τη δόση: Ν = Ε Q = = Πυρήνες. E10 Από την εξίσωση 3.45 (σελ. 63) των σημειώσεων για μια αλυσίδα διασπάσεων έχουμε (μην ξεχνάμε ότι μόνο το 87% των αρχικών πυρήνων ακολουθεί αυτή τη διάσπαση) για τον αριθμό των πυρήνων του μετασταθούς μετά πό 5 ημέρες χωρίς να έχουμε αφαιρέσει ενδιάμεσα οτιδήποτε ότι: Ν 2 = λ 1 λ 2 λ 1 Ν 1,0 (e λ 1t e λ 2t ) Ν 1,0 =0.87 λ t= s λ 1 = ln 2 T 1,1/ 2 λ 2 = ln 2 T 2,1/2 Τ 1,1/ 2 = s Τ 1,1/ 2 = s Ν 2 = λ 1 λ 2 λ 1 Ν 1,0 (e λ 1 t e λ 2 t ) β) Αν στο τέλος της τρίτης ημέρας αφαιρέσουμε το μετασταθές νουκλίδιο τότε η σχέση θα είναι ακριβώς η ίδια με τις εξής διαφορές: ι) Ο χρόνος δεν θα αναφέρεται σε 5 μέρες αλλά μόνο σε δύο και ιι) ο αρχικός αριθμός των πυρήνων δεν θα είναι ο αρχικός αλλά αυτός που θα έχει μείνει μετά το τέλος της τρίτης μέρας. Δηλαδή:

11 Ν 2 = λ 1 λ 2 λ 1 Ν 1,0 (e λ 1 t e λ 2t ) E11 Ν 1,0 =0.87 λ e λ 1t t= s λ 1 = ln 2 T 1,1/ 2 λ 2 = ln 2 T 2,1/2 Τ 1,1/ 2 = s Τ 1,1/ 2 = s Η αντίδραση είναι: Ν 2 = λ 1 λ 2 λ 1 Ν 1,0 (e λ 1t e λ 2t ) I Te+ + e + ν e (διάσπαση β + ) Από τη διατήρηση των ατομικών και μαζικών αριθμών. Η ενέργεια της αντίδρασης είναι Ε=Δm c 2 = ( ) 931 MeV/c 2 c 2 = MeV E12 Οι αντιδράσεις είναι: Ra Rn + 24 Ηe (διάσπαση α) (Διακριτό φάσμα καθώς εκπέμπεται ένα μόνο σωματίδιο) Νa Ne + + e + ν e (διάσπαση β + ) Ir Pt + - e + ν e (διάσπαση β - ) (εδω είναι αντινετρίνο του ηλεκτρονίου) Ir Οs+ + e + ν e (διάσπαση β + ) Στις διασπάσεις β έχουμε συνεχές φάσμα καθώς η εκπομπή περισσοτέρων του ενός σωματιδίου άρει όλους τους περιορισμούς στην ενέργεια. E13 Ο εναλλακτικός μηχανισμός αποδιέγερσης είναι ο εξής: Στο 9.5 % των περιπτώσεων αυτών ο πυρήνας μεταφέρει αυθόρμητα όλη την περισσευούμενη ενέργεια του σε ενα ηλεκτρόνιο της Κ στάθμης με αποτέλεσμα αυτό το ηλεκτρόνιο να διαφύγει από το άτομο. Η διαδικασία αυτή έχει σαν αποτέλεσμα την παραγωγή ακτίνων Χ.

12 Η πιθανότητα που συμβαίνει είναι Π= (αριθμός συμβάντων εσωτερικής μετατροπής / αριθμό διεγερμένων πυρήνων )100= (9.5/94.4) = 10.06%