Απόκριση του ΜJ, Στερεών σε Ηλεκτρικό Πεδίο

Transcript

1 4 Απόκριση του ΜJ, Στερεών σε Ηλεκτρικό Πεδίο 4.1 Διηλεκτρική συνάρτηση και αγωγιμότητα 3 t 3 i 1 i, D (,) r t dt d r ( r r, t t ) E ( r, t ), i, 1,,3, (4.1) 1 3 i( kr t) Di(,) r t d d kd (, )e 4 i ( ) k, (4.) με αντίστοιχες εκφράσεις για τα, ( r r, t t), E ( r, t), βρίσκουμε τότε i D (, k ) (, k ) E (, k ), i, 1,, 3. (4.3) 3 i 1 i, Σε ό,τι ακολουθεί θα γράφουμε για απλότητα i, (, k) αντί για i, (, k). Eαν, (, k) (, k) i D(, k) (, k) E(, k). (4.4) Σημασία της διηλεκτρικής συνάρτησης 1. Συνδέεται με το δείκτη διάθλασης n ni 1i. Συνδέεται με το συντελεστή απορροφησης Ex ( ) exp( x). cn (4.5α). (4.5β) c Το α συνδέεται με τον συντελεστή διέλευσης Τ ΗΜ κύματος το λεπτό φιλμ πάχους d:

2 ΦΥΣΙΚΗ ΣΤΕΡEΑΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ T 1 d ( d ). (Βλ. σελ. 69). 3. Η διηλεκτρική συνάρτηση καθορίζει τις ενεργειακές απώλειες ενός φορτισμένου σωματίου που διασχίζει την ύλη με μεγάλη ταχύτητα καθώς και τη διαφορική ενεργό διατομή μη ελαστικής σκέδασης δέσμης φορτισμένων σωματίων λόγω πρόσκρουσής της στο υπό μελέτη υλικό. (Βλ. σελ. 146 του βιβλίου ΦΣΚ Ι) 4. Στα πλαίσια του ΜJ η δυναμική ενέργεια μπορεί να εκφρασθεί ακριβώς συναρτήσει της (, k) (Βλ. σελ.147 του βιβλίου ΦΣΚ Ι). 5. Οι μηδενισμοί της (, k) δίνουν τις ιδιοσυχνότητες των διαμήκων συλλογικών ταλαντώσεων των ηλεκτρονίων ή/και των ιόντων. 6. Από τη σχέση για την ιδιοσυχνότητα του ΗΜ κύματος ck, c k (, k), (4.6) που στο ηλεκτροστατικό όριο, c, δίνει (, k). 7. Εάν στο εσωτερικό ενός μέσου κινείται ένα εξωτερικό φορτισμένο σωμάτιο σταθερής ταχύτητας c τότε αυτό δημιουργεί H κυμα k cos c k ή cos c /. (4.7) Αυτό είναι το λεγόμενο φαινόμενο Cherenkov Υπολογισμός της διηλεκτρικής συνάρτησης (, k) ( ) / k c, ( k) / k, To (, k) είναι διαφορετικό όχι μονο αναλογα του λόγου / k c ή / k c αλλα και το ειδος του στερεου. Βλεπε και το σχετικο σχημα στην ασκηση του έτους Για ηλεκτρονια ελευθερα και δεσμια σε ιοντα εχουμε c (4.8) ie nf ie n e f e 0, e, F k (4.9) m { i( / )} m { i( / )} Διηλεκτρική συναρτηση = ( ) ( ) 1 i 0 0 = 1 e,si =1+4π, eg CGS κατά συνέπεια η συμβολή τους στην διηλεκτρική συνάρτηση, 58

3 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΟΥ ΜJ/ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ p, f p, i f 0, i e 1, Fk, (4.10) ( / ) ( / ) όπου ορίσαμε pi, 4 nie / me, i f, (το 1/ 0 του συστηματος SI αντικαθισταται με το 4 στο σύστημα G-GGS). f e F F 4 ne 4 1 pf,, G-CGS (Στο SI 4 0 ). (4.11) m 3 V Στην περίπτωση όπου και το 0,, e και το / είναι πολύ μικρότερα από τα p, f e 1 b, Fk 0, i( / f ), (4.1) p 47,13 ev (1 ) r. (4.13) b Για ελεύθερα ηλεκτρόνια και F k ktf (, k) = 1+, F k. (4.14) k Aς έλθουμε τώρα στη συμβολή της ταλαντωτικής κίνησης των ιόντων. στην αγωγιμότητα (λόγω της ταλάντωσής τους ως ενιαία σωμάτια) κατ αναλογία με τον τύπο (4.1) έναν όρο της μορφής 3 a i ( e) n m { i( / )} Ηλεκτρονια και ιοντα σε μεταλλο υπό την προϋπόθεση ότι k k, δ ci F TF p, t k (, k) 1 b. (4.15) k c k i( / ) Η (4.3) μηδενίζεται απουσία τριβών και για μικρό k όταν k p, p, ck t p, c ( ) t k c t k k k TF k k TF ktf. (4.16) 59

4 c B 4 3 s ΦΥΣΙΚΗ ΣΤΕΡEΑΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ s B ( Aρα, συγκρίνοντας την παρένθεση στην (4.4) με την (4.5), προσδιορί- ζουμε τη σταθερά θωράκισης 1 B 1 s 3 s ) ct. 3 (4.17) 1 p, B 3 k TF s 1,17B TF p, k, 1,17 B k TF 3, 4 a ar B a (4.18) 5 Το a στη σχέση (4.6) ορίζεται στην (3.17β). Το απλό ΜJ με B 3 P (βλ. (3.1)) θα έδινε για την k TF (4 kf / ab) 1/ 1/6 1, 56 6 /( a r ). Περίπτωση μονωτικών ή ημιαγώγιμων ν στερεών ιοντικού χαρακτήρα όπου έχουμε συνύπαρξη ιόντων αρνητικούύ φορτίου και ιόντων θετικού φορτίου. ( 1 b ) B a (1 L T T L i( / ) ). i( / ) i( / ) T (4.19) Από τη σχέση (4.30) έπεται ότι (0) L T (0) L. Η τελευταία αυτή ισότητα είναι γνωστή ως σχέση των Lyddane-Sachs-Teller T (4.0) 60

5 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΟΥ ΜJ/ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Σχ.4.1: Σχηματική απεικόνιση του πραγματικού μέρους της διηλεκτρικής συνάρτησης για μη μέταλλα. Εμφανίζονται όλες οι συμβολές διαφορετικών βαθμών ελευθερίας φορτισμένων σωματίων ή διπόλων (εκτός αυτής των ελεύθερων ηλεκτρονίων που θα έδινε μια συμβολή της μορφής / ), έστω και εάν δεν συνυπάρχουν όλες στο ίδιο υλικό. Σε πολύ χαμηλές p συχνότητες του εξωτερικού πεδίου όλοι αυτοί οι βαθμοί ελευθερίας, όσο και αργοκίνητοι κι αν είναι, αποκρίνονται και άρα συμβάλλουν στη διηλεκτρική συνάρτηση. Καθώς η συχνότητα ανεβαίνει οι πιο αργοκίνητοι βαθμοί ελευθερίας (οι περιστροφικοί ηλεκτρικών διπόλων, αν υπάρχουν) δεν μπορούν πια να ανταποκριθούν στο γρήγορο ρυθμό, «παγώνουν» και παύουν να συμβάλλουν. Όταν η συχνότητα ξεπεράσει κάποια επόμενα όρια ούτε οι βαθμοί ελευθερίας που αντιστοιχούν στις οπτικές ταλαντώσεις ιοντικών στερεών (αν υπάρχουν) μπορούν να παρακολουθήσουν την πολύ γρήγορη μεταβολή του εξωτερικού πεδίου και «παγώνουν» και αυτοί.. Μένουν τελικά οι βαθμοί ελευθερίας των δέσμιων στα ιόντα ή τα άτομα ηλεκτρονίων. Όταν η συχνότητα ξεπεράσει το /, όπου είναι max max η μέγιστη δέσμια ενέργεια ηλεκτρονίων, τότε κανένα ηλεκτρόνιο δεν μπορεί να ανταποκριθεί και η διηλεκτρική συνάρτηση γίνεται τελικά μονάδα 4. Απορρόφηση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων η απορρόφηση ΗΜ α ή κυμάτων σε ένα υλικό εξαρτάται κυρίως (ή αποκλειστικά) από το φανταστικό μέρος της διηλεκτρικής συνάρτησης p, f( / f) p, ( / ) e 4 ( / ) f 0, ( / ) k. (4.1) Ο καθένας από τους όρους εντός του αθροίσματος στην (4.34) δίνει μια πολύ μεγάλη συμβολή στην e όταν 0, που στο όριο f έχει τη μορφή: e p, 0,. (4.) Η ισότητα 0, σημαίνει από φυσική άποψη ότι το προσπίπτον φωτόνιο απορροφάται και η ενέργειά του,, καταναλώνεται στο να διεγείρει ένα ηλεκτρόνιο από την αρχική του ενεργειακή στάθμη στην τελική όπου εξ ορισμού 0,. Φυσικά για να υπάρξει η απορρόφηση του φωτονίου θα πρέπει να διατηρηθεί όχι μόνο η ενέργεια αλλά και η ορμή, πράγμα που σημαίνει ότι k k k. (4.3) photon el, el, Η ισότητα (4.36) οφείλει να ικανοποιείται μόνο εφόσον η αρχική και η τελική κατάσταση του ηλεκτρονίου χαρακτηρίζεται από την ορμή του. F 61

6 Το k του φωτονίου είναι σχεδόνν μηδέν σε σύγκριση με το χαρακτηριστικό k k F του ηλεκτρονίου λόγω της σχέσης k photon ΦΥΣΙΚΗ ΣΤΕΡEΑΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ / c EF ( / ck ) / c k F /mc e (0,007 / r ) k k F F Αυτό σημαίνει ότι η σχέση (4.36), όπου ισχύει, θα πάρει τη μορφή kel e, kel,. a F F / 500. (4.4) Στο σχήμα 4. φαίνονταιι σχηματικάά κάποιοι ηλεκτρονίων ικανώνν να απορροφήσουν φωτόνια. τύποι διεγέρσεων Σχ. 4.: Απορρόφηση προσπίπτοντος φωτονίου με ταυτόχρονη διέγερση ηλεκτρονίου από μια αρχική σε μια τελική στάθμη: (α) Η αρχική στάθμη είναι μια ισχυρά δέσμια στο σ ιόν ή στο άτομοο κατάσταση και η τελική μιαα κατάσταση λίγο πιο πάνω από την ενέργεια Fermi. Τυπική ενέργεια του φωτονίου στην περιοχή των ακτίνων Χ. (β) Διέγερση από κατειλημένη κατάσταση δεδομένου k, σε άδεια κατάσταση δεδομένου k. Το περιοδικό δυναμικό του στερεού προσφέρει την αναγκαία ορμή. (γ) Το ίδιο με το (β) μόνο που την αναγκαία ορμή προσφέρει ένα φωνόνιο που δημιουργείται κατά τη διαδικασία της απορρόφησης. (δ) Διαδικασία φωτοεκπομπής, όπου η τελική κατάστασηη του ηλεκτρονίου είναι εκτός στερεού. Η ενέργεια του φωτονίου είναι στην περίπτωση (δ) είτε στην περιοχή του υπεριώδους είτε στην περιοχή των ακτίνων Χ. Οι εικονιζόμενες διαδικασίες αποτελούν πολύτιμα εργαλεία μελέτης των στερεών 6

7 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΟΥ ΜJ/ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Τα ιόντα με τις συλλογικές τουςς κυματικής φύσεως ταλαντώσεις παρέχουν επίσης τη δυνατότητα απορρόφησης ΗΜ κυμάτων Σχ. 4.3: Aπορρόφηση ενός φωτονίου με ταυτόχρονη δημιουργία ενός κβάντου συλλογικής εγκάρσιας ταλάντωσης των ιόντων (οπτικού φωνονίου) ) σε ιοντικού χαρακτήρα στερεά θα πρέπει το φωνόνιο να είναιι εγκάρσιο (αλλιώς δεν αλληλεπιδράά με το φωτόνιο που από τη φύση του είναι εγκάρσιο) και φυσικά θα πρέπειι επίσης να διατηρείται και η ενέργεια και η ορμή: photon και phonon k phonon. k photon q ( T ). cm m a1 a (4.5) Για την απόδειξη του τύπου (4.38) λάβετε υπόψη ότι για z το 1 ) lim z[( T ) z ] ( T ( T ) ( T ). 4.3 Σκέδαση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων 1 0 Σχ. 4.4: Απεικόνιση μη ελαστικής σκέδασης. Ένα σωμάτιο εξωτερικής δέσμης με ορμή p k και ενέργεια προσπίπτει στο υπό μελέτη στερεό και εξέρχεται εν γένει με i i i διαφορετική ορμή p k f f και ενέργεια f. (α) Η απώλεια της ενέργειας και της ορμής του μεταφέρεται σε μια διέγερση του στερεού την οποία δημιουργεί η πρόσκρουση του εξωτερικού σωματίου. (β) Το εξωτερικό σωμάτιο απορροφά μια ήδη προϋπάρχουσα στο στερεό διέγερση και εξέρχεται με αυξημένη ενέργεια.. Kαι στις δύο περιπτώσεις η διέγερση στο στερεό αναφέρεται, είτε σε μετάβαση ηλεκτρονίουυ του από μια κατάσταση σε μια μ άλλη, είτε σε κβάντο (φωνόνιο, πλασμόνιο, κλπ) μιας συλλογικής διαμήκους ταλάντωσης. d s / dd f 1 Im, (, k) (4.6) 63

8 ΦΥΣΙΚΗ ΣΤΕΡEΑΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Πιν. 4.1 Όνομα και χαρακτηριστικά συνήθων διαδικασιών σκέδασης εξωτερικής δέσμης Όνομα Περίθλαση ακτίνων Χ Περίθλαση νετρονίων Σκέδαση Compton Σκέδαση Brillouin Σκέδαση Raman Σκέδαση ηλεκτρονίων Σκέδαση νετρονίων Περίθλαση ηλεκτρονίων χαμηλής ενέργειας (LEED) Ανάκλαση- Περίθλαση ηλεκτρονίων υψηλής ενέργειας (RHEED) Είδος σωματίου Ακτίνες Χ (φωτόνιο) Στοιχειώδης διέγερση Τυπική αρχική ενέργεια - 10 kev Νετρόνιο - 0,1 ev Ακτίνες Χ (φωτόνιο) Φωτόνιο Φωτόνιο Δ & Δk ελεύθερου ηλεκτρονίου Ακουστικό φωνόνιο Οπτικό φωνόνιο 10 kev ev ev Ηλεκτρόνιο Πλασμόνιο 1-10 kev Νετρόνιο Φωνόνιο, μαγνόνιο Ηλεκτρόνιο - 0,05 ev ev Ηλεκτρόνιο kev Κύρια χρήση της κρυσταλλικής δομής της κρυσταλλικής δομής. της μαγνητικής δομής της κατανομής των ηλεκτρονίων στο χώρο των ορμών της σχέσης διασποράς για k 0 της σχέσης διασποράς φωνονίων για k 0 της συχνότητας πλάσματος της πλήρους σχέσης διασποράς των φωνονίων και μαγνονίων (Βλέπε Kittel (005), σελ ) της κρυσταλλικής δομής επιφανειών της κρυσταλλικής δομής επιφανειών 64

9 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΟΥ ΜJ/ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ όπου ο συντελεστής αναλογίας εξαρτάται από τον τρόπο που κάθε εξωτερικό σωμάτιο αλληλεπιδρά με τα σωμάτια του στερεού. Εάν θέσουμε s και k k s στη σχέση (4.39) η διηλεκτρική συνάρτηση θα τείνει να μηδενισθεί (λόγω της παραγράφου 4 του εδαφίου 1.1.4) και επομένως η ενεργός διατομή σκέδασης θα εμφανίσει ένα απότομο μεγιστο. Αλλά από τη διατήρηση της ενέργειας και της ορμής και έχοντας υπόψη το Σχ. 4.4 συμπεραίνουμε ότι s i f και k k k s i f 4.4 Στατική (ω=0) αγωγιμότητητα Παίρνοντας το όριο 0 στον τύπο (4.1) βρίσκουμε f pf en (0), (για το τ, βλ. (4.45)). (4.7) m 4 e Η τελευταία ισότητα, που προκύπτει από την (4.14), ισχύει στο σύστημα G- CGS. Στο SI αντικαταστήστε το 1/4π με το 0. Το n f είναι η συγκέντρωση των ελευθέρων ηλεκτρονίων. f F 3 kf 3 1 en ek 1 e 1 1 S F,, (4.8α) e F F 1 1, 3 V. (4.4β) 1 ns1s1nss... (4.9) Ενόψει των τύπων (4.4α) και (4.4β), η σχέση (4.43) σημαίνει ότι οι διάφορες συμβολές στην ειδική ηλεκτρική αντίσταση είναι αθροιστικές, πράγμα που είναι γνωστό ως κανόνας του athiessen. H συμβολή των θερμικά διεγερμένων φωνονίων στην ειδική ηλεκτρική 1 αντίσταση ρ, όπου 1, είναι p 8 tkt B T D (1 ) b (4.30α) 65

10 ΦΥΣΙΚΗ ΣΤΕΡEΑΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ T C kbt, T D (1 ) D p b 4 (4.44β) To είναι ένα αδιάστατο μέτρο της αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίου-διαμήκους φωνονίου που στα πλαίσια του απλού ΜJ προκύπτει 0,5 και στα 5/3 πλαίσια του τροποποιημένου ΜJ προκύπτει ίσο με 0, 098 a /, όπου το a ορίζεται στη σχέση (3.17β). Σημειώστε ότι συνδυάζοντας τις F, (3.11) και (4.41) με την (4.44α) πρoκύπτουν οι βασικές σχέσεις 1 kt t B, 1/3 0,3 e, G-CGS, D (4.31) r k T a t B 66