55/377. 2E A 2E 1 (2π) 3 d 3 p n. p f

Transcript

1 55/377 Ο ρυθμός διάσπασης ως συνάρτηση του M Για διασπάσεις της μορφής A n ακολουθούμε την ίδια μέθοδο dγ = 1 M 2 d 3 p 1 2E A 2E 1 (2π) 3 d 3 p n 2E n (2π) 3 (2π)4 δ 4 (p A p 1 p 2... p n ) Το dγ ονομάζεται διαφορικός ρυθμός (differential rate). Άσκηση 11 Δείξτε ότι για τη διάσπαση A 1 + 2, και για το σύστημα ηρεμίας του σωματιδίου A, παίρνουμε p f Γ = 32π 2 ma 2 M 2 dω Ο ολικός ρυθμός διάσπασης είναι το άθροισμα των Γ για όλες τις δυνατές διασπάσεις του συγκεκριμένου σωματιδίου. Βέβαια, το Γ δίνεται από τη σχέση

2 56/377 Γ = dn A dt 1 N A N A (t) = N A e Γt Χρόνος ζωής ονομάζεται η ποσότητα Γ 1. Σκέδαση ηλεκτρονίου - ηλεκτρονίου Η διαφορά με την αντίστοιχη σκέδαση ηλεκτρονίου - μιονίου είναι ότι τώρα έχουμε όμοια σωματίδια. Επομένως, θα πρέπει το πλάτος M για A + B C + D να παραμένει αναλλοίωτο στην αλλαγή A B και C D. Ετσι, εκτός από το διάγραμμα (α) του Σχ.57, θα πρέπει να πάρουμε υπ όψη μας και το διάγραμμα (β) του ιδίου σχήματος. Ο λόγος είναι ότι έχοντας όμοια σωματίδια, δεν μπορούμε να ξεχωρίσουμε αν το ηλεκτρόνιο C έρχεται από την κορυφή με το ηλεκτρόνιο A ή από την κορυφή με το ηλεκτρόνιο B.

3 57/377 Επομένως, θα πρέπει να αθροίσουμε τα πλάτη και όχι τις πιθανότητες, μιας και οι δύο περιπτώσεις έχουν τις ίδιες αρχικές και τελικές καταστάσεις. Για το (α) έχουμε ήδη γράψει ότι δίνει πλάτος im = i( e 2 ) (p A + p C ) µ (p B + p D ) µ (p D p B ) 2

4 58/377 Τώρα λοιπόν το πλάτος M θα περιέχει και τη συνεισφορά από το διάγραμμα (β) [ im = i( e 2 (pa + p C ) µ (p B + p D ) µ ) (p D p B ) 2 + (p A + p D ) µ ] (p B + p C ) µ (p C p B ) 2 Βλέπουμε ότι η αλλαγή p C p D μετατρέπει τον ένα όρο του αθροίσματος στον άλλο. Σημειώστε ότι η αναλλοιώτητα του M στην αλλαγή p c p D είναι αρκετή για την αναλλοιώτητα και ως προς p A p B Σκέδαση ηλεκτρονίου - ποζιτρονίου (crossing) Στο σχήμα βλέπουμε τα δύο πιθανά διαγράμματα στην σκέδαση ηλεκτρονίου - ποζιτρονίου καθώς και τα αντίστοιχα όπου τα ποζιτρόνια έχουν αντικατασταθεί από ηλεκτρόνια με αντίθετη ορμή (πηγαίνουν πίσω στο χρόνο και έχουν αρνητική ενέργεια).

5 59/377 Το αναλλοίωτο πλάτος θα δίνεται από τη σχέση [ M = ( e 2 (pa + p C ) µ ( p B p D ) µ ) ( p B ( p D )) 2 + (p A p B ) µ ] (p C p D ) µ (p C ( p D )) 2 (11)

6 60/377 Υπενθυμίζεται ότι η διατήρηση ενέγειας-ορμής p A + p B = p C + p D p A + ( p D ) = p C + ( p B ). Προσέξτε ότι η κορυφή +ie(p B + p D ) στην σκέδαση e e γίνεται ie(p B + p D ) για την περίπτωση e e + (το φορτίο του ποζιτρονίου είναι +e). Τέλος, το πλάτος είνα αναλλοίωτο στην αλλαγή p C p B που αντιστοιχεί σε ανταλλαγή δύο εξερχόμενων ηλεκτρονίων. Θα μπορούσαμε να πάρουμε το M e e + e e + από το M e e e e απλά μέσω της σχέσης M e e + e e +(p A, p B, p C, p D ) = M e e e e (p A, p D, p C, p B ) (12) Άσκηση 12 Γράψτε το αναλλοίωτο πλάτος για τις σκεδάσεις e µ + e µ + και e e + µ µ + και ελέγξτε το crossing με την e µ e µ.

7 Αναλλοίωτες μεταβλητές Για την σκέδαση AB CD έχουμε δύο ανεξάρτητες μεταβλητές (π.χ., στο Κ.Μ. έχουμε την ορμή και τη γωνία σκέδασης). Αλλά είναι χρήσιμο να εκφράσουμε το M ως συνάρτηση ποσοτήτων αναλλοίωτων σε μετασχηματισμούς Lorentz. Από τις τέσσερις ορμές μπορούμε να φτιάξουμε 3 αναλλοίωτες ποσότητες: p A p C, p A p D και p D p B, από τις οποίες βέβαια μόνο οι δύο είναι ανεξάρτητες. Χρησιμοποιούμε συνήθως τις σταθερές του Mandelstam s = (p A + p B ) 2, t = (p A p C ) 2, u = (p A p D ) 2 Άσκηση 13 Δείξτε ότι s + t + u = m 2 i Για να αναπαραστήσουμε τις επιτρεπτές (φυσικές) περιοχές των s, t και u χρησιμοποιούμε ένα διάγραμμα δύο διαστάσεων (βλ. σχήμα). Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει ύψος ισο με i m2 i. Υπενθυμίζουμε το θεώρημα της γεωμετρίας ότι το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου στο εσωτερικό ενός ισόπλευρου τριγώνου από τις πλευρές του είναι σταθερό και ίσο με το ύψος του τριγώνου. 61/377

8 62/377 Για την σκέδαση e + e e + e, στο Κ.Μ., έχουμε s = (p 1 + p 2 ) 2 = (E + E, p i p i ) 2 = 4E 2 = 4(m 2 + k 2 ) t = (p 1 p 3 ) 2 = (E E, p i p f ) 2 = (2k 2 2k 2 cos θ) u = (p 1 p 4 ) 2 = (E E, p i + p f ) 2 = (2k 2 + 2k 2 cos θ)

9 Τα σωματίδια έχουν στο Κ.Μ. έχουν ίδιο μέτρο ορμής, p i = p f = k και επειδή έχουν ίδια μάζα έχουν και ίδια ενέργεια. Άρα, s 0 και t, u 0. Αλλά επειδή s + t + u = 4m 2 συμπεραίνουμε ότι s 4m 2. Βλέπουμε από το Σχήμα ότι για την e + e e + e, η μεταβλητή u = (p A p d ) 2 αποτελεί την s μεταβλητή της e e e e s e + e e + e = u e e e e οπότε, για την e e e e, η φυσική περιοχή είναι t, s 0 και u 4m 2

10 64/377 Άσκηση 14 Δείξτε ότι για την σκέδαση e µ e µ, η φυσική περιοχή των μεταβλητών είναι t = 0 και su = (M 2 m 2 ) όπου M και m είναι οι μάζες του μιονίου και του ηλεκτρονίου. Σχεδιάστε το διάγραμμα Mandelstam. Άσκηση 15 Ελέγξτε ότι η Εξ.12 είναι της μορφής M e e +(s, t, u) = M e e (u, t, s) Ας υπολογίσουμε το αναλλοίωτο πλάτος της σκέδασης ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου ως συνάρτηση των σταθερών s, t και u. Από τη Εξ.11 έχουμε (p A + p C )(p B + p D ) = (2p A p A + p C )(p B + p D ) = = (2p A + p B p D )(p B + p D ) = 2p A (p B + p D ) + p 2 B p2 D = 2p A (p B + p D )

11 και s u = (p A +p B ) 2 (p A p D ) 2 = 2p A p B +2p A p d = 2p A (p B +p D ) Ομοια, t u = (p A p C ) 2 (p A p D ) 2 = 2p A p C + 2p A p d = 2p A ( p C + p D ), και 65/377 (p A p B )(p C p D ) = (2p A p A p B )(p C p D ) = = (2p A p C p D )(p C p D ) = 2p A ( p C + p d ) p 2 C + p2 B = = 2p A ( p C + p D ) και βέβαια t = (p D p B ) 2 και s = (p A + p B ) 2 = (p C + p D ) 2. Οπότε η Εξ.11 παίρνει τη μορφή ( s u M e + e = e2 + t u ) (13) t s Γιατί το πλάτος παρουσιάζει συμμετρία στην εναλλαγή s t; AB CD e + e e + e A C BD e + e e + e

12 66/377 Δηλαδή, στην περίπτωσή μας, η AB CD και η A C BD είναι η ίδια σκέδαση. Οι σκεδάσεις AB CD και A C BD έχουν συσχέτιση s t. Αντίστοιχα, η σκέδαση A D BC (δηλαδή e + e + e + e + ) και η CB ĀD (δηλαδή e e e e ) έχουν σχέση με την αρχική s u. Δηλαδή το αναλλοίωτο πλάτος για την e e e e γράφεται αμέσως, χρησιμοποιώντας την Εξ(13), M e e = e2 ( u s t + t s ) u (14) Βλέπουμε ότι το αναλλοίωτο πλάτος, άρα και η ενεργός διατομή, απειρίζονται για t 0 και u 0. Σ αυτές τις περιπτώσεις το τεράγωνο της τετρορμής του εικονικού φωτονίου τείνει στο μηδέν και ουσιαστικά δεν έχουμε αλληλεπίδραση.