ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΣΗΜΟ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

2

3 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 1

4 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 2

5 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 3

6 ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 4

7 Για να περιγράψουμε τις σύνθετες κινήσεις χρησιμοποιούμε την αρχή ανεξαρτησίας (ή αρχή της επαλληλίας)των κινήσεων, που διατυπώνεται ως εξής: Όταν ένακινητό εκτελείταυτόχροναδύο ήπερισσότερες κινήσεις,κάθε μία απ αυτές εκτελείται εντελώς ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες και η θέση στην οποίαφτάνειτο κινητό μετάαπό χρόνο t, είναι η ίδια είτε οι κινήσεις εκτελούνταιταυτόχρονα, είτε εκτελούνταιδιαδοχικά, σε χρόνο t κάθε μία. Για τον υπολογισμό της ταχύτητας και της μετατόπισης, μετά από χρόνο t, γράφουμε το διανυσματικό άθροισμα των ταχυτήτων ή των μετατοπίσεων αντίστοιχα, που θα είχε το κινητό, αν εκτελούσε κάθε μία κίνηση ανεξάρτητα και επί χρόνο t. Δηλαδή: 1. Η οριζόντια βολή Ερωτήσεις 1 Στην οριζόντια βολή στο ομογενές πεδίο βαρύτητας από ύψος h, η τροχιά του σώματος είναι: α. Οριζόντια και ευθύγραμμη. β. Κατακόρυφη και ευθύγραμμη. γ. Τυχαία καμπύλη. δ. Παραβολική. 2 Η οριζόντια βολή στο ομογενές πεδίο βαρύτητας είναι κίνηση που πραγματοποιείται: α. Σε οριζόντιο άξονα. β. Σε κατακόρυφο άξονα. γ. Σε κατακόρυφο επίπεδο. δ. Σε οριζόντιο επίπεδο. 3 Η οριζόντια βολή στο ομογενές πεδίο βαρύτητας είναι σύνθετη κίνηση που μπορεί να αναλυθεί σε δύο κινήσεις οι οποίες είναι: α. Ομαλά επιταχυνόμενες σε κάθε άξονα. β. Ομαλή στο άξονα Οx και ελεύθερη πτώση στον άξονα Οy. γ. Ομαλή και στους δύο άξονες. δ. Ομαλή στον άξονα Οx, ομαλά επιταχυνόμενη στον Οy με αρχική ταχύτητα υ 0 και επιτάχυνση g. 4 Σώμα βάλλεται οριζόντια από ύψος h με αρχική ταχύτητα υ 0. Ο χρόνος που χρειάζεται μέχρι να φτάσεις στο έδαφος είναι: α. Ανάλογος του ύψους h. γ. Ανεξάρτητος της τιμής του g. β. Ανάλογος της υ 0 δ. Ανεξάρτητος της υ 0. 5 Σώμα βάλλεται οριζόντια από ύψος h με αρχική ταχύτητα υ 0. Το βεληνεκές, s, είναι: α. Ανάλογο της υ 0. γ. Ανεξάρτητο της υ 0. β. Ανεξάρτητο του ύψους h. δ. Ανεξάρτητο του g. 6 Σώμα βάλλεται οριζόντια από ύψος h με αρχική ταχύτητα υ 0 και προσγειώνεται μετά από χρόνο t. Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία προσγειώνεται στο έδαφος είναι: α. υ= υ 0 2 +gt β. υ= υ 0 2 +g 2 t 2 γ. υ=υ 0, δ. υ=0 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 5

8 7 Από σημείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h πάνω από το οριζόντιο έδαφος αφήνουμε μια μικρή σφαίρα σ 1 και ταυτόχρονα βάλλουμε από το ίδιο σημείο οριζόντια μια άλλη σφαίρα σ 2 με αρχική ταχύτητα υ 0. Οι σφαίρες πέφτουν στο έδαφος: α. Ταυτόχρονα. β. Πρώτη πέφτει η σ 1. γ. Πρώτη πέφτει η σ 2. Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 8 Από σημείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h πάνω από το οριζόντιο έδαφος αφήνουμε μια μικρή σφαίρα σ 1 και ταυτόχρονα βάλλουμε οριζόντια μια άλλη σφαίρα σ 2 με αρχική ταχύτητα υ 0. Με μεγαλύτερη ταχύτητα στο έδαφος φτάνει: α. Η σ 1 β. Η σ 2 γ. Καμία από τις δύο. Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 9 «Σε μια οριζόντια βολή με αρχική ταχύτητα υ 0, χωρίς αντιστάσεις από τον αέρα, η ταχύτητα, υ με την οποία το σώμα προσγειώνεται είναι αδύνατον να είναι μικρότερη ή ίση με τη υ 0.» Να δικαιολογήσετε την αλήθεια ή το ψεύδος της προηγούμενης πρότασης. 10 Από το ίδιο ύψος h και στον ίδιο τόπο βάλλονται ταυτόχρονα δύο σώματα σ 1 και σ 2, οριζόντια με ταχύτητες υ 0 και 2υ 0 αντίστοιχα. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Φτάνουν ταυτόχρονα στο έδαφος. β. Το σ 2 έχει διπλάσιο βεληνεκές από το σ Δύο σώματα σ 1 και σ 2 βάλλονται οριζόντια με την ίδια αρχική ταχύτητα υ 0 από σημεία που απέχουν από το έδαφος ύψη h και 4h αντιστοίχως. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Το σ 2 θέλει διπλάσιο χρόνο από το σ 1 για να φτάσει στο έδαφος. β. Το σ 2 έχει το ίδιο βεληνεκές με το σ 1. γ. Και τα δύο προσγειώνονται με την ίδια οριζόντια συνιστώσα ταχύτητας. 12 Σώμα βάλλεται οριζόντια από ύψος h με αρχική ταχύτητα υ 0. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση που δίνει την τεταγμένη y σε σχέση με την τετμημένη x, δηλαδή την εξίσωση της τροχιάς είναι 13. Σώμα βάλλεται οριζόντια από σημείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h με αρχική ταχύτητα υ 0 μέσα στο ομογενές πεδίο βαρύτητας στο οποίο η επιτάχυνση είναι g. Θεωρούμε ότι η κίνηση γίνεται σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων (xοy). Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας είναι συνεχώς ίση με υ 0. β. Η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας είναι ανάλογη του χρόνου πτήσης t. γ. Η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει κατεύθυνση εφαπτομένη της τροχιάς του σώματος. δ. Η ταχύτητα αυξάνεται μόνο κατά το άξονα Οy. 14 Σώμα βάλλεται οριζόντια από σημείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h με αρχική ταχύτητα υ 0 μέσα στο πεδίο βαρύτητας στο οποίο η επιτάχυνση είναι g. Θεωρούμε ότι η κίνηση γίνεται σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων (xοy). Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Η οριζόντια απομάκρυνση x είναι ανάλογη του χρόνου t. β. Η κατακόρυφη απομάκρυνση y είναι ανάλογη του χρόνου t. γ. Το βεληνεκές είναι ανάλογο της υ 0. δ. Η κατεύθυνση της ταχύτητα υ είναι συνεχώς σταθερή. 15 Σώμα βάλλεται οριζόντια από ύψος h με αρχική ταχύτητα υ 0 και προσγειώνεται μετά από χρόνο t. Το διάνυσμα της ταχύτητας με την οποία προσγειώνεται σχηματίζει γωνία θ με το οριζόντιο έδαφος. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 6

9 Για τη γωνία θ, ισχύει ότι: α. Είναι ορθή σε κάθε οριζόντια βολή. β. Έχει τιμή ανεξάρτητη της αρχικής ταχύτητας υ 0. γ. Δίνεται από τη σχέση: εφθ = g 2h/g υ 0 δ. Αν είναι 45 0 τότε ισχύει ότι, υ y =υ x =υ 0. Να δικαιολογήσετε την αλήθεια ή το ψεύδος των προτάσεων. Ασκήσεις 16 Σώμα βάλλεται από ύψος h=20m με οριζόντια αρχική ταχύτητα υ 0 = 20m/s. Να υπολογιστούν: α. Η χρονική στιγμή που το σώμα φτάνει στο έδαφος. β. Το βεληνεκές. γ. Η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας όταν φτάνει στο έδαφος. δ. Το μέτρο της ταχύτητας όταν φτάνει στο έδαφος. Δίνεται g=10m/s 2. α. 2s, β. 40m, γ. 20m/s, 20m/s, δ. 20 2m/s 17 Πέτρα βάλλεται από ύψος h με οριζόντια αρχική ταχύτητα υ 0 = 10m/s. Να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t=1s: α. Οι συντεταγμένες (x,y). β. Το μέτρο της ταχύτητας. γ. Η κατεύθυνση της ταχύτητας ως προς τον ορίζοντα. Δίνεται g=10m/s 2. α. x=10m, y=5m, β. 10 2m/s, γ. θ= Βλήμα βάλλεται από ύψος h με οριζόντια αρχική ταχύτητα υ ο. Κάποια χρονική στιγμή t 1 περνάει από το σημείο Α με συντεταγμένες x Α =100m και y Α =125m. Να βρεθούν: α. Η χρονική στιγμή t 1. β. Η αρχική ταχύτητα υ 0. γ. Η ταχύτητα του σώματος όταν περνάει από το Α. Δίνεται g=10m/s 2. α. t=5s, β. 20m/s, γ. υ=10 29m/s, εφθ=2,5 19 Μπαλάκι του τένις βάλλεται στο κενό οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ 0 =30m/s και προσγειώνεται σε οριζόντια απόσταση s=20m από τα πόδια του τενίστα που το εκτόξευσε. Δίνεται g=10m/s 2. Να βρεθούν: α. Το ύψος h από το οποίο βλήθηκε. β. Το μέτρο της ταχύτητας που προσγειώνεται. α. 20/9m, β. 30,7m/s 20 Μπάλα βάλλεται από ύψος h με οριζόντια αρχική ταχύτητα υο= 10 3m/s και προσγειώνεται με ταχύτητα μέτρου υ=20m/s. Δίνεται g=10m/s 2. Να βρεθούν: α. Ο χρόνος πτήσης. β. Το βεληνεκές. γ. Το ύψος h. α. 1s, β. s10 3m, γ. h=5m 21 Βέλος βάλλεται από σημείο Ο που θεωρείται αρχή του ορθογωνίου συστήματος αξόνων xοy, με αρχική ταχύτητα υ 0 =20m/s. Σε κάποιο σημείο Α της τροχιάς του η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας υ x γίνεται ίση με την κατακόρυφη συνιστώσα, υ y. Δίνεται g=10m/s 2. Να βρεθούν: α. Η χρονική στιγμή που περνάει από το Α. β. Οι συντεταγμένες του σημείου Α. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 7

10 γ. Η ταχύτητα υ στο σημείο Α. α. 2s, β. x=40m, y=20m, γ. 20 2m/s, θ= Πέτρα βάλλεται από σημείο Ο οριζόντια με ταχύτητα υ0=5m/s και μετά από χρόνο Δt=2s περνάει από ένα σημείο Ρ της τροχιάς της. α. Πόση είναι η απόσταση ΟΡ; β. Ποιο είναι το μέτρο και η διεύθυνση της ταχύτητας στο σημείο Ρ. Δίνεται g=10m/s2. α. ΟΡ=10 2m, β.20,6m/s, εφθ=4 23 Σώμα βάλλεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ0 από την αρχή Ο ορθογωνίου συστήματος αξόνων xοy. Μετά χρόνο t=1s η ταχύτητά του υ σχηματίζει γωνία 600 με την κατακόρυφο που διέρχεται από τη θέση, Α, του σώματος εκείνη τη στιγμή. Να υπολογιστούν: α. Η αρχική ταχύτητα υ0. β. Οι συντεταγμένες x,y του σημείου Α. Δίνεται g=10m/s m/s, β. (x,y)=(10 3m, 5m) 24 Από την ταράτσα κτιρίου ύψους h βάλλεται οριζόντια μια πέτρα με ταχύτητα υ0. Μετά πόσο χρόνο το μέτρο της ταχύτητας του σώματος θα γίνει ίσο με 2υ0. Δίνεται το g. Δt=υ0 3/g 25 Με πόσο αρχική ταχύτητα υ0 πρέπει να φύγει από την οριζόντια εξέδρα ένα σκιέρ ώστε να προσγειωθεί σε απόσταση 24m, αν το ύψος της εξέδρας είναι h=2m. Δίνεται g=10m/s2. υ0=38m/s 26 Ένα παιδί που βρίσκεται στην ταράτσα ενός κτιρίου ύψους h=48m εκτοξεύει οριζόντια μια μπάλα με στόχο να ευστοχήσει σε ένα καλάθι που βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση 24m από το κτίριο και σε ύψος 3m από το έδαφος. Με ποια ταχύτητα πρέπει να εκτοξεύσει τη μπάλα ώστε να πετύχει το καλάθι; Δίνεται g=10m/s2. υ0=8m/s 27 Αεροπλάνο πετάει σε οριζόντιο ύψος h=1445m από το έδαφος με σταθερή ταχύτητα υ0, όταν ο πιλότο αφήνει να πέσει μια βόμβα. Πόσος χρόνος περνάει από τη στιγμή που ο πιλότος αφήνει τη βόμβα μέχρι να φτάσει ο ήχος της έκρηξης στα αυτιά του. Δίνεται g=10m/s2 και ταχύτητα ήχου στον αέρα υη=340m/s. t=21,25s 28 Από σημείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h=125m από το οριζόντιο έδαφος εκτοξεύονται ταυτόχρονα οριζόντια δύο σώματα με ταχύτητες υ1=6m/s και υ2=10m/s σε αντίθετες κατευθύνσεις. Πόσο θα απέχουν μεταξύ τους όταν θα φτάσουν στο έδαφος; d=80m 29.Ένα σώµ α εκτοξεύεται οριζόντια µ ε αρχική ταχύτητα υ0, από ορισµ ένο ύψος και µ ετά από λίγο βρίσκεται σε σηµ είο Α, έχοντας µετακινηθεί κατά 20m οριζόντια και κατά 5m κατακόρυφα. i) Ποια η αρχική ταχύτητα εκτόξευσης υ0; ii) Βρείτε την ταχύτητα του σώµ ατος στο σηµ είο Α. iii) Ποια γωνία µεταξύ επιτάχυνσης και ταχύτητας στο Α; iv) Τη στιγµ ή που το σώµα φτάνει στο έδαφος η ταχύτητά του σχηµ ατίζει γωνία 45 µ ε τον ορίζοντα. Από ποιο ύψος έγινε η εκτόξευση του σώµ ατος; δίνεται g=10m/s2 i) 20m/s iv) 20m ii)10 𝟓 m/s εφθ=1,2 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ iii) 90-θ 8

11 30 Ελικόπτερο κινείται οριζόντια σε ύψος h με σταθερή ταχύτητα υ 0 =100m/s. Όχημα κινείται στο έδαφος αντίθετα από το ελικόπτερο και με σταθερή ταχύτητα υ =20m/s. Δίνεται g=10m/s 2. 1 α. Σε ποιο ύψος, h, πρέπει να βρίσκεται το ελικόπτερο, ώστε αν αφήσει τη βόμβα του τη στιγμή που η οριζόντια απόστασή του από το όχημα είναι s=1200m, να είναι δυνατόν να το χτυπήσει. β. Αν το ελικόπτερο συνεχίσει την κίνησή του με την ίδια ταχύτητα που θα βρίσκεται σε σχέση με το όχημα όταν το βλήμα πέφτει πάνω του; α. h=500m, β. από πάνω του 31 Δύο σώματα βρίσκονται στο ίδιο ύψος h=10m και απέχουν μεταξύ τους οριζόντια απόσταση d=30m. Τα δύο σώματα εκτοξεύονται ταυτόχρονα με οριζόντιες αρχικές ταχύτητες υ 0 =10m/s και υ 0 =20m/s σε αντίθετη κατεύθυνση. Να βρεθούν μετά πόσο χρόνο και σε ποιο ύψος από το έδαφος τα δύο σώματα θα συναντηθούν. Δίνεται g=10m/s 2. t=1s, d=5m 32 ύο κτήρια απέχουν 30m. Από το ψηλότερο Α, που έχει ύψος Η=60m, Α εκτοξεύεται οριζόντια µια µπάλα µε αρχική ταχύτητα υ0=10m/s, µε σκοπό να φτάσει στην ταράτσα του χαµηλότερου κτηρίου Β, που έχει ύψος h=40m και πλάτος α=10m. i) Θα φτάσει η µπάλα στην ταράτσα του Β κτηρίου; ii) Για ποιες τιµές της ταχύτητας η µπάλα θα πέσει στην ταράτσα του Β κτηρίου; iii) Εκτοξεύουµε οριζόντια την µπάλα µε ταχύτητα υ01=22m/s. Θα µπορέσει να την πιάσει ένα παιδί, που βρίσκεται στην ταράτσα του Β κτηρίου, αν έχει την ικανότητα πηδώντας, να την σταµατήσει ακόµη και σε ύψος 2,8m; Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αµελητέα ενώ g=10m/s 2. i)45m,15m ii)2s,15m/s iii )16,5m 33 Τα σημεία Κ και Λ βρίσκόνται στις άκρες των ταρατσών δύο κτιρίων και απέχουν οριζόντια απόσταση d=90m. Το σημείο Κ βρίσκεται όμως Δy=30m ψηλότερα από το Λ. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 από το Κ εκτοξεύεται οριζόντια ένα μήλο με αρχική ταχύτητα υ 0 =10m/s. Μετά από χρόνο, Δt=2s από την εκτόξευση του μήλου εκτοξεύεται από το σημείο Λ, μια σφαίρα έτσι ώστε να κινούνται και τα δύο στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο χωρίς τριβές με τον αέρα. Να βρεθούν: α. Η χρονική στιγμή που το βλήμα καρφώνεται στο μήλο. β. Η αρχική ταχύτητα υ 0 του βλήματος. γ. Η κατακόρυφη απόσταση του σημείου σύγκρουσης από το σημείο Κ. Δίνεται g=10m/s 2. α. t=3s, β. 20m/s, γ. 45m 34.Από ένα σηµείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h=80m από το έδαφος, εκτοξεύεται οριζόντια ένα σώµα Α, µε αρχική ταχύτητα υ0=30m/s, ενώ ταυτόχρονα αφή νεται να πέσει (από το Ο) ένα δεύτερο σώµα Β. i) Πού βρίσκονται τα δύο σώµατα µετά από 2s; ii) Σε πόσο χρόνο κάθε σώµα θα φτάσει στο έδαφος; iii) Σε ποιο σηµείο το σώµα Α θα πέσει στο έδαφος και ποια η ταχύτητά του, την στιγµή εκείνη; iv) Να βρεθεί η µετατόπιση του σώµατος Α, µέχρι να φτάσει στο έδαφος. B ίνεται g=10m/s 2, ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αµελητέα.. i) 60m ii)4s iv)144m εφφ=2/3 iii) 50m/s εφθ=4/3 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 9

12 35.Μεταλλική σφαίρα µάζας m = 0,4kg εκτοξεύεται οριζόντια από την άκρη Α της ταράτσας κτιρίου ύψους Η = 20m, µε ταχύτητα µέτρου υο = 20m/s και πέφτει στο έδαφος στο σηµείο Λ. i) Ο συνολικός χρόνος κίνησης της σφαίρας είναι: 1s 2s 4s Λ. ii) Στο σύστηµα αξόνων του πιο πάνω σχήµατος, να προσδιορίσετε τις συντεταγµένες των σηµείων Ζ και iii) Να βρεθεί το µέτρο της τελικής ταχύτητας και η ωνία που σχηµατίζει µε το οριζόντιο επίπεδο. iv) Κάποια στιγµή η σφαίρα περνάει από το σηµείο Ν που απέχει οριζόντια απόσταση 20m από το σηµείο βολής. Οι συντεταγµένες του σηµείου Ν (στο S.I.) είναι: (20, 5) (20, 10) (20, 15) v) Το σηµείο Ν απέχει από το έδαφος: 5m 10m 15m vi) Η εφαπτοµένη της γωνίας θ στο σηµείο Ν είναι: vii) Το µέτρο της επιτάχυνσης της σφαίρας στο ίδιο σηµείο είναι: g g ηµθ g συνθ viii) * Πόσο γρήγορα µεταβάλλεται το µέτρο της ταχύτητας στο σηµείο Ν; ix) Να προσδιορίσετε την εξίσωση της τροχιάς της σφαίρας στο σύστηµα αξόνων του αρχικού σχήµατος. x) Θεωρώντας τώρα ως νέο σύστηµα αξόνων αυτό που φαίνεται στο δεύτερο σχήµα, να βρείτε τις νέες συντεταγµένες των σηµείων Α, Λ, Ν και να τροποποιήσετε κατάλληλα την εξίσωση τροχιάς της σφαί- ρας. xi) Το µήκος της τροχιάς της σφαίρας είναι: 40m 44m 46m xii) Αν η µηχανική ενέργεια της σφαίρας είναι Ε = 80J, τότε η δυναµική της ενέργεια στο σηµείο Ν είναι: 60J 80J 20J ( ίνεται g = 10m/s². Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αµελητέα.) * Για το ερώτηµα 8 απαιτείται γνώση της κεντροµόλου επιτάχυνσης. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 10

13 36. Στόχος, σ, και βλήμα, β, βρίσκονται στο ίδιο ύψος h=100m και απέχουν μεταξύ τους οριζόντια απόσταση d=60m. Ο στόχος αφήνεται ελεύθερος να πέσει ελεύθερα στο κενό, ενώ την ίδια στιγμή το βλήμα εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα και υ0=20m/s. Να βρεθούν: α. Το ύψος d από το έδαφος στο οποίο το βλήμα θα συναντήσει το στόχο. β. Τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο σωμάτων τη στιγμή της συνάντησης. Δίνεται g=10m/s2. α. 55m, β. υσ=30m/s, υβ=10 13 m/s 37.Από την ταράτσα ενός ψηλού κτηρίου σε ύψος Η=60m εκτοξεύεται οριζό- ντια µια µπάλα µε ταχύτητα υ1=5m/s, τη στιγµή t=0. t1=2s, εκτοξεύεται επίσης οριζόντια µια δεύτερη µπάλα Β, από ένα Μετά από λίγο, τη στιγµή µπαλκόνι σε ύψος h=20m, µε αποτέλεσµα οι δυο µπάλες να συγκρούονται, πριν φτάσουν στο έδαφος. i) Να βρεθεί ποια χρονική στιγµή και σε ποια θέση τα δύο σώµατα συ- γκρούονται. ii) Ποια η αρχική ταχύτητα υ2 της Β µπάλας; Οι απαντήσεις να δοθούν θεωρώντας αρχή των αξόνων: Α) Την αρχική θέση της µπάλας Α. Β) Την αρχική θέση της µπάλας Β. Γ) Το σηµείο του εδάφους, που βρίσκεται στην κατακόρυφο που περνά από την αρχική θέση της Α µπά- λας. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αµελητέα ενώ g=10m/s 2. A)ι)3s, 15m,45m ii,15m/s B) ι)3s, 5m,15m ii,15m/s Γ) ι)3s, 15m,15m ii,15m/s 38 Ελικόπτερο κινείται οριζόντια σε ύψος h=125m με σταθερή ταχύτητα υ 0 =100m/s. Όχημα κινείται στο έδαφος στην ίδια κατεύθυνση με το ελικόπτερο και με ταχύτητα υ 1.Τη χρονική στιγμή t 0 =0 που το ελικόπτερο βρίσκεται πάνω από το όχημα, αφήνει μια βόμβα. Με πόση ταχύτητα πρέπει να κινείται το όχημα ώστε το βλήμα να πέσει στο έδαφος σε απόσταση s=400m μπροστά του. Δίνεται g=10m/s 2. υ 1 =20m/s 39.Πάνω σε ένα τραπέζι έχουµε τοποθετήσει ένα κεκλιµένο επίπεδο. Στο έδαφος και σε οριζόντια απόσταση d=40cm, από την άκρη του τραπεζιού, τοποθετούµε ένα µικρό πλαστικό ποτήρι. Αφήνουµε µια µικρή µπίλια σε ένα σηµείο Α του κεκλιµένου επιπέδου, το οποίο απέχει s1=9cm από την κορυφή Ο του επιπέδου, η οποία Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 11

14 αφού κινηθεί χωρίς τριβές φτάνει στην άκρη του τραπεζιού και πέφτει σε απόσταση 10cm πριν το ποτήρι, όπως στο σχήµα. Σε πόση απόσταση από το σηµείο Α, θα πρέπει να αφήσουµε την µπίλια, επαναλαµβάνοντας το πείραµα, ώστε η µπίλια να πέσει µέσα στο ποτήρι; Οι τριβές και η αντίσταση του αέρα θεωρούνται αµελητέες. S2=S1=16cm ΤΟ Β ψηλοτερα τουα 7cm 40. Τη χρονική στιγµή t=0 τα σηµειακά αντικείµενα Α και Β εκτοξεύονται από ένα σηµείο που απέχει κατα- κόρυφη απόσταση h=80m από το έδαφος, µε οριζόντιες ταχύτητες µέτρου υ1=10m/s και υ2=30m/s αντίστοιχα. α) Να συγκρίνεται τους χρόνους πτώσης των δύο σωµάτων. β) Να υπολογίσετε την µεταξύ τους απόσταση τη χρονική στιγµή t=2s. γ) Να υπολογίσετε τη µέγιστη απόσταση που µπορούν να βρεθούν τα δύο σωµατίδια µέχρι τη στιγµή που θα ακουµπήσουν στο έδαφος. ίνεται g=10m/s 2. Η αντίσταση του αέρα να θεωρηθεί αµελητέα. 41Οριζόντιες ταχύτητες µέτρου υο=10m/s από σηµεία που απέχουν από το έδαφος κατακόρυφη απόσταση h1=90m και h2=45m. α) Να βρεθεί η απόσταση των δύο σωµάτων τη χρονική στιγµή t=2s. β) Να βρεθεί η απόσταση του σωµατιδίου Α από το σηµείο πτώσης του σωµατιδίου Β τη χρονική στιγµή 4s. ίνεται g=10m/s 2. Η αντίσταση του αέρα να θεωρηθεί αµελητέα. 42 Τη χρονική στιγµή t=0 τα αµελητέων διαστάσεων σώµατα Α και Β εκτοξεύονται από σηµεία που απέχουν από το έδαφος κατακόρυφες αποστάσεις h1=220m και h2=180m µε οριζόντιες ταχύτητες µέτρου υ1=15m και υ2=10m αντίστοιχα. Να βρεθεί η απόσταση των δύο σωµατιδίων τη στιγµή που το σώµα Β ακουµπά στο έδαφος. ίνεται g=10m/s 2. Η αντίσταση του αέρα να θεωρηθεί αµελητέα. 43. υο φίλοι, ο Αντώνης και ο Κωστής κρατούν στα χέρια τους δυο όµοιες µικρές µπάλες. Ο Αντώνης βρίσκεται στην ταράτσα ενός κτηρίου ύψους Η=30m, ενώ ο Κωστής στο έδαφος, σε α- πόσταση s, από το κτήριο. H Σε µια στιγµή πετάνε ταυτόχρονα τις µπάλες, ο Αντώνης οριζό- ντια και ο Κωστής κατακόρυφα προς τα πάνω, µε την ίδια (κατά µέτρο) ταχύτητα υ0=20m/s. Οι δυο µπάλες συγκρούονται πριν Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 12

15 προλάβουν να φτάσουν στο έδαφος. Η αντίσταση του αέρα θε- ωρείται αµελητέα, η αρχική κατακόρυφη απόσταση των θέσεων εκτόξευσης θεωρείται ίση µε το ύψος Η του κτιρίου, ενώ g=10m/s 2. i) Να βρεθεί η θέση της µπάλας που πέταξε κάθε παιδί τη στιγµή t1=1s. ii) Ποια χρονική στιγµή συγκρούονται οι δυο µπάλες; iii) Να βρεθεί η απόσταση των δύο παιδιών. iv) Αν κατά την εκτόξευση, ο Αντώνης καθυστερούσε να πετάξει την δική του µπάλα, αλλά και πάλι οι µπάλες συγκρουόταν, να βρεθεί το χρονικό διάστηµα καθυστέρησης. i) 15cm ii) 1,5s, iii) 30 2 m iv)1,5s ή2,5 s 44.Το παιδί εκτοξεύει τη µπάλα µε οριζόντια ταχύτητα V. Για να την πετύχει η κοπέλα πρέπει να αφήσει το βέλος: 1. Τη στιγµή που η µπάλα βρίσκεται µπροστά της. 2. Πριν τη στιγµή αυτήν. 3. Μετά τη στιγµή αυτήν. Επιλέξατε και αιτιολογήσατε την απάντησή σας. Θεωρήσατε αµελητέα την αντίσταση του αέρα. 45.Οι µπάλες βάλλονται ταυτόχρονα. Είναι δυνατόν µε κατάλληλες οριζόντιες ταχύτητες να συναντηθούν; 46.Τα σώµατα του σχήµατος βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο και οριζόντιο επίπεδο Οριζόντια απέχουν από- σταση d, ενώ από το έδαφος απέχουν κατακόρυφη απόσταση h. Τη χρονική στιγµή t=0 εκτοξεύουµε οριζό- ντια το σώµα Α µε αρχική ταχύτητα υ ο, ενώ ταυτόχρονα αφήνουµε το σώµα Β ελεύθερο να κινηθεί. Τα δύο σώµατα: α) Θα συγκρουστούν οπωσδήποτε. β) Αποκλείεται να συγκρουστούν. γ) Θα συγκρουστούν υπό προϋποθέσεις. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 13

16 ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ένα σώμα κάνει κυκλικη κίνηση όταν η ΣF είναι κάθετη στην ταχύτητά του Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 14

17 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 15

18 ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ένα σώμα κάνει κυκλικη κίνηση όταν η ΣF είναι κάθετη στην ταχύτητά του Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 16

19 2. Η δυναμική της κυκλικής κίνησης Ερωτήσεις 1 Στην ομαλή κυκλική κίνηση, α. Το μέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό. β. Η ταχύτητα διατηρείται σταθερή. γ. Το διάνυσμα της ταχύτητας υ έχει την κατεύθυνση της ακτίνας της τροχιάς. δ. Το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται. 2 Η περίοδος Τ στην ομαλή κυκλική κίνηση εκφράζει: α. Το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας. β. Τον αριθμό των περιστροφών που κάνει σε 1s. γ. Το χρονικό διάστημα που χρειάζεται το κινητό για να κάνει ένα κύκλο. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. 3 Η συχνότητα f στην ομαλή κυκλική κίνηση είναι: α. Το αντίστροφο της περιόδου. β. Το πλήθος των κύκλων που κάνει σε 1s. γ. Το χρονικό διάστημα που χρειάζεται το κινητό για να κάνει ένα κύκλο. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. 4 Η συχνότητα 1Ηz σημαίνει ότι το κινητό χρειάζεται: α. 1s για να κάνει 1 κύκλο ακτίνας 1m. β. 1s για να κάνει 1 κύκλο. γ. 1s για να κάνει 10 κύκλους. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. 5 H γραμμική ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση εκφράζει: α. Το πόσο γρήγορα διαγράφει το κινητό τα τόξα. β. Το πόσο γρήγορα διαγράφει η επιβατική ακτίνα του κινητού τις επίκεντρες γωνίες. γ. Το τόξο που διαγράφει το κινητό. 6 H γραμμική ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση εκφράζει: α. Το πόσο γρήγορα διαγράφει το κινητό τα τόξα. β. Το πόσο γρήγορα διαγράφει η επιβατική ακτίνα του κινητού τις επίκεντρες γωνίες. γ. Τις επίκεντρες γωνίες που διαγράφει η επιβατική ακτίνα του κινητού. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 17

20 7 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις που αναφέρονται στη γραμμική ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση είναι σωστές; α. Είναι εφαπτομένη της τροχιάς. β. Διατηρείται σταθερή κατά μέτρο. γ. Έχει ως μονάδα μέτρησης το 1rad/s. δ. Ισούται με το πηλίκο του μήκους του τόξου που διαγράφει το κινητό σε χρόνο Δt προς το χρόνο αυτό. 8 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις που αναφέρονται στη γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση είναι σωστές; α. Είναι εφαπτομένη της τροχιάς. β. Διατηρείται σταθερή κατά μέτρο. γ. Έχει ως μονάδα μέτρησης το 1rad/s. δ. Ισούται με το πηλίκο της μεταβολής της επίκεντρης γωνίας Δθ που διαγράφει η επιβατική ακτίνα του κινητό σε χρόνο Δt προς το χρόνο αυτό. ε. Έχει διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς. 9 Η κεντρομόλος επιτάχυνση στην ομαλή κυκλική κίνηση εκφράζει: α. Πόσο γρήγορα διαγράφει το κινητό τα τόξα. β. Πόσο γρήγορα μεταβάλλεται το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας. γ. Πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η διεύθυνση της γραμμικής ταχύτητας δ. Πόσες περιστροφές κάνει στη μονάδα του χρόνου. 10 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις που αναφέρονται στην κεντρομόλο επιτάχυνση στην ομαλή κυκλική κίνηση είναι σωστές; α. Έχει σταθερή διεύθυνση. β. Είναι πάντοτε κάθετη στην ταχύτητα υ. γ. Ισούται με υ 2 /R, όπου R η ακτίνα της τροχιάς. δ. Έχει κατεύθυνση προς το κέντρο της τροχιάς. ε. Οφείλεται στη συνεχή μεταβολή της διεύθυνσης της γωνιακής ταχύτητας. 11 Ένα υλικό σημείο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. Να σχεδιάσετε τα διανύσματα της γραμμικής ταχύτητας, της γωνιακής ταχύτητας και της κεντρομόλου επιτάχυνσης του υλικού σημείου σε ένα τυχαίο σημείο της τροχιάς. 12 Ο δευτερολεπτοδείκτης του ρολογιού έχει περίοδο: α. 1s β. 60s γ. 1h Ποια είναι η σωστή απάντηση; 13 Ο λεπτοδείκτης του ρολογιού έχει περίοδο: α. 1s β. 60s γ. 1h Ποια είναι η σωστή απάντηση; 14 Ο ωροδείκτης του ρολογιού έχει περίοδο: α. 24h β. 1h γ. 12h Ποια είναι η σωστή απάντηση; 15 Σε μια ομαλή κυκλική κίνηση η συχνότητα είναι 10Ηz. Αυτό σημαίνει ότι το κινητό κάνει: α. 1 κύκλο κάθε 10s. γ. 20 κύκλους κάθε 2s β. 10 κύκλους κάθε 10s δ. 10m κάθε 1s. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 18

21 16 Σε μια ομαλή κυκλική κίνηση η συχνότητα είναι 2Ηz. Αυτό σημαίνει ότι το κινητό κάνει σε χρόνο 1min: α. 1 κύκλο γ. 120 κύκλους β. 60 κύκλους δ. Το 1/30 του κύκλου 17 Δίσκος του πικάπ διαγράφει ομαλή κυκλική κίνηση. Όλα του τα σημεία έχουν την ίδια: α. Περίοδο, Τ. γ. Γραμμική ταχύτητα, υ. ε. Κεντρομόλο επιτάχυνση, α κ. β. Συχνότητα, f. δ. Γωνιακή ταχύτητα, ω. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 18 Υλικό σημείο κάνει ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R. Να αποδειχθούν οι εκφράσεις που συνδέουν: α. Συχνότητα με περίοδο. β. Γραμμική ταχύτητα με περίοδο. γ. Γωνιακή ταχύτητα με περίοδο. δ. Γραμμική ταχύτητα με συχνότητα. ε. Γωνιακή ταχύτητα με συχνότητα. στ. Γραμμική με γωνιακή ταχύτητα. 19 Στο σύστημα των δύο τροχών με ακτίνες R 1 και R 2 που συνδέονται με ιμάντα, ο λόγος των γωνιακών ταχυτήτων ω 1 /ω 2 είναι ίσος με: α. 1 β. R 1 /R 2 γ. R 2 /R 1 Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 20 Δίσκος του πικάπ κάνει ομαλή κυκλική κίνηση. Δύο σημεία Α και Β του δίσκου απέχουν από το κέντρο αποστάσεις r 1, r 2 με r 1 >r 2. Ποιες από τις σχέσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. ω 1 =ω 2 β. υ 1 >υ 2 γ. Τ 1 =Τ 2 δ. α κ1 <α κ2 21 Αυτοκίνητο κινείται προς το βορρά. Η γωνιακή ταχύτητα των τροχών του έχει κατεύθυνση προς: α. Τη δύση β. Την ανατολή γ. Το βορρά δ. Το νότο. 22 Μικρή σφαίρα κάνει ομαλή κυκλική κίνηση. Η κεντρομόλος δύναμη είναι: α. Μια εκ των δυνάμεων που ασκούνται στη σφαίρα, με κατεύθυνση προς το κέντρο της τροχιάς. β. Η συνολική συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στη σφαίρα. γ. Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στη σφαίρα στη διεύθυνση της ακτίνας της τροχιάς. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. 23 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις που αναφέρονται στην κεντρομόλο δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που κάνει ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας, R, είναι σωστές; α. Έχει σταθερή διεύθυνση. β. Είναι πάντοτε κάθετη στην ταχύτητα υ. γ. Ισούται με mυ 2 /R 2. δ. Έχει κατεύθυνση προς το κέντρο της τροχιάς. ε. Έχει σημείο εφαρμογής το κέντρο της τροχιάς. 24 Όταν ένα υλικό σημείο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση: α. Μεταβάλλεται το μέτρο της ταχύτητας του. β. Δεν έχει επιτάχυνση. γ. Διαγράφει κάθε μια πλήρη περιστροφή στον ίδιο χρόνο. δ. Ασκούνται σ αυτό δυνάμεις μηδενικής συνισταμένης. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 19

22 ε. Ο ρυθμός της γωνιακής μετατόπισης είναι σταθερός. στ. Δεν ισχύει ο 2 ος νόμος του Νewton. ζ. Ισχύει ο 1 ος νόμος του Newton. Ποιες από τις προτάσεις αυτές είναι σωστές; 25 Χαρακτηρίστε ως σωστές ή ως λανθασμένες τις μαθηματικές εκφράσεις που ακολουθούν και δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας. α. υ=2πf β. α κ =ω 2 R γ. ω=2π/τ δ. F k =mω 2 R ε. f=1/τα στ. α κ =4π 2 R/T 2 ε. F K =4mπ 2 Rf 2 26 Σφαίρα είναι δεμένη σε νήμα και εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Αν κοπεί το νήμα η σφαίρα θα: α. Κινηθεί προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς λόγω αδράνειας, β. Διαγράψει καμπύλη τροχιά, όχι κυκλική, γ. Κινηθεί στη διεύθυνση της εφαπτομένης της κυκλικής τροχιάς, στο σημείο που κόπηκε το νήμα, δ. Σταματήσει να κινείται ακαριαία. Ποια από τις εκδοχές αυτές είναι η σωστή; 27 Το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης που ασκείται σε υλικό σημείο σταθερής μάζας m που διαγράφει ομαλή κυκλική κίνηση σταθερής ακτίνας R είναι: α. Ανάλογο της μάζας, β. Αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της γωνιακής ταχύτητας, γ. Ανάλογο του τετραγώνου της συχνότητας f, δ. Ανάλογο του τετραγώνου της περιόδου Τ, ε. Ανεξάρτητο της ακτίνας της τροχιάς R. Ποιες από τις προτάσεις αυτές είναι σωστές; 28 «Σφαίρα δεμένη από νήμα διαγράφει κατακόρυφο κύκλο με ταχύτητα σταθερού μέτρου και πάνω της ασκούνται, η δύναμη του νήματος, το βάρος και η κεντρομόλος δύναμη.» Είναι η πρόταση αυτή σωστή; Αν υπάρχει λάθος που βρίσκεται; 29 Για να μπορέσει αυτοκίνητο να πάρει στροφή σε οριζόντιο οδόστρωμα θα πρέπει: α. Το οδόστρωμα να είναι τελείως λείο. β. Το βάρος του να λειτουργεί ως κεντρομόλος. γ. Η στατική τριβή που αναπτύσσεται ανάμεσα στα ελαστικά και το οδόστρωμα να δρα ως κεντρομόλος. δ. Η συνισταμένη του βάρους και της κάθετης δύναμης να δρα ως κεντρομόλος. 30 Το σώμα μάζας m κάνει ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R με σταθερή κατά μέτρο ταχύτητα, υ σε κατακόρυφο επίπεδο. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Σε κάθε σημείο της τροχιάς του το βάρος δρα ως κεντρομόλος. β. Στην κατώτερο σημείο της τροχιάς ισχύει: F K =mg T. γ. Στο ανώτερο σημείο της τροχιάς ισχύει: F K =mg+t δ. Στο σημείο Β η κεντρομόλος ισούται με την τάση του νήματος. ε. Η κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας είναι κάθετη στη σελίδα με φορά από αυτή προς τον αναγνώστη. στ. Σε κάθε θέση της τροχιάς η τάση του νήματος είναι η ίδια κατά μέτρο. Ασκήσεις Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 20

23 31 Υλικό σημείο διαγράφει κύκλο ακτίνας R=10m με ταχύτητα μέτρου υ=3,14m/s. α. Πόση είναι η περίοδος και η συχνότητα; β. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα; α. Τ=20s, f=0,05ηz, β. ω=π/10rad/s 32 α. Πόση συχνότητα f έχει ένα κινητό που κάνει ομαλή κυκλική κίνηση με ω=628rad/s; β. Πόσους κύκλους διαγράφει σε 10s; α. f=100ηz, β. Ν= α. Πόσο χρόνο θέλει μια σφαίρα για να διαγράψει κύκλο ακτίνας R=5m με ταχύτητα υ=62,8m/s; β. Πόσους κύκλους θα κάνει σε 100s; α. Τ=0,5s. β. Ν= Με πόση ταχύτητα κινείται ένα σωματίδιο που διαγράφει κύκλο ακτίνας R=2m με συχνότητα f=10ηz, και πόση είναι η γωνιακή του ταχύτητα; υ=125,6m/s, ω=62,8rad/s 35 Τροχός με ακτίνα R=1m περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του και κάνει Ν=600 περιστροφές κάθε 1min. α. Πόση είναι η συχνότητα και η περίοδος του τροχού. β. Πόσο είναι το μέτρο της γραμμικής και της γωνιακή ταχύτητας όλων των σημείων του τροχού που βρίσκονται στην περιφέρεια του. γ. Πόσο είναι το μέτρο της γραμμικής και της γωνιακής ταχύτητας σημείων του τροχού που απέχουν r=0,5m από τον άξονα περιστροφής. α. 10Ηz, 1/10s, β. 20π m/s, 20πrad/s, γ. 10π m/s, 20π rad/s 36 Δίσκος κοπής έχει ακτίνα R=10cm και περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του έτσι ώστε το σημείο Μ της περιφέρειας του δίσκου να κινείται με ταχύτητα 10cm/s. Σημείο Λ απέχει απόσταση r=4cm από τον άξονα περιστροφής του δίσκου. Να βρεθούν: α. Συχνότητα και περίοδος. β. Η γραμμική ταχύτητα του σημείου Λ. γ. Η κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου Λ. α. f= 1/2πHz, Τ=2π s, β. υ=4cm/s, γ. 4cm/s 2 37 Μονοθέσιο, F1 εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με συχνότητα f=1κύκλο/min, σε κυκλική πίστα ακτίνας R=600m. α. Πόσους κύκλους κάνει σε μια ώρα; β. Πόση είναι η γραμμική του ταχύτητα; γ. Πόσα km έχει διανύσει σε μια ώρα. α. 60κύκλους, β. 62,8m/s γ. 226,08km 38 Η ακτίνα των τροχών ενός ποδηλάτου είναι r=0,5m και η ακτίνα κυκλικού στίβου R=50m. Ο ποδηλάτης διανύει ομαλά κυκλικά όλο το στίβο και η συχνότητα περιστροφής των τροχών είναι 5Hz. Σε πόσο χρόνο διανύει το στίβο;t= 20s 39 Αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά και διανύει διάστημα s=7000m σε χρόνο t=35min. Ο κάθε τροχός του κάνει συνολικά 3500 στροφές. Να βρεθούν: α. Η γωνιακή ταχύτητα του κάθε τροχού. β. Η ακτίνα R. γ. Η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 21

24 α. ω=10,46rad/s, β. 0,32m, γ. 34,9m/s 40 Μοτοσικλέτα κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητας σε κυκλικό στίβο ακτίνας R=96m και διαγράφει το στίβο σε χρόνο t=20s. H διάμετρος των τροχών της μοτοσικλέτας είναι d=0,6m. Ποια είναι η συχνότητα περιστροφής των τροχών; f=16ηz 41 Kινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R και σε χρόνο t=1min, εκτελεί 18 στροφές. Πόσες περιστροφές θα κάνει το κινητό σε χρόνο t'=2min, αν κινείται σε κύκλο τριπλάσιας ακτίνας με την ίδια γραμμική ταχύτητα; Ν=12 42 Δύο τροχοί με λόγο ακτίνων R 1 /R 2 =3/4 συνδέονται με ιμάντα και περιστρέφονται με συχνότητες f 1 =200Hz και f 2. α. Να βρεθεί η συχνότητα f 2. β. Να βρεθεί ο λόγος των κεντρομόλων επιταχύνσεων των σημείων της περιφέρειας των τροχών, α κ1 /α κ2. α. f 2 =150Ηz, β. 4/3 43 Δίσκος περιστρέφεται με σταθερή συχνότητα f. Δύο σημεία Α και Β απέχουν από το κέντρο του αποστάσεις r 1 =2cm και r 2 =8cm αντιστοίχως. Να βρεθούν οι λόγοι: α. Των γραμμικών ταχυτήτων, υ 1 /υ 2 των δύο σημείων. β. Των κεντρομόλων επιταχύνσεων, α 1 /α 2 των δύο σημείων. α. ¼, β. ¼ 44 Δύο σωματίδια κινούνται ομαλά πάνω στην ίδια περιφέρεια κύκλου με συχνότητες f 1 =200Ηz και f 2 =300Hz. Κάποια στιγμή τα δύο σωματίδια περνάνε από το ίδιο σημείο της περιφέρειας. Μετά πόσο χρόνο θα συναντηθούν και πάλι, αν κινούνται: α) ομόρροπα, β) αντίρροπα. α s, β s 45 Δύο δρομείς κινούνται ομαλά στην ίδια περιφέρεια κύκλου ακτίνας R=300m με γραμμικές ταχύτητες μέτρων υ 1 =2π m/s και υ 2 =π m/s αντιστοίχως. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 οι δύο δρομείς περνάνε από το ίδιο σημείο Α. Μετά πόσο χρόνο θα συναντηθούν και πάλι αν κινούνται: α) ομόρροπα, β) αντίρροπα. α. 600s, β. 200s 46 Δύο κινητά Α και Β κινούνται ομαλά και αντίρροπα πάνω σε μια περιφέρεια κύκλου. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του κινητού Α είναι ω 1 =π/8 rad/s και του κινητού Β, ω 2 =π/12 rad/s. Κάποια χρονική στιγμή τα δύο κινητά διέρχονται από αντιδιαμετρικά σημεία. Βρείτε μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν, (α) για πρώτη φορά (β) για τρίτη φορά. α. 4,8s β. 24s 47 Δύο κινητά τρέχουν σε δύο περιφέρειες κύκλων που έχουν ακτίνες R 1 =8cm και R 2 =4cm αντιστοίχως και εφάπτονται εξωτερικά. Οι γραμμικές ταχύτητες των κινητών είναι υ 1 =9cm/s και υ 2 =2cm/s. Πόσες περιστροφές κάνει κάθε κινητό μεταξύ δύο διαδοχικών συναντήσεων; 4 και 9 48 Από ένα σηµείο Α ενός κύκλου ξεκινούν ταυτόχρονα δύο κινητά που κινούνται διαγράφοντας το πρώτο 45 το δευτερόλεπτο και το δεύτερο 30 το δευτερόλεπτο, µε την ίδια κατεύθυνση. i) Ποιες οι γωνιακές ταχύτητες των κινητών; Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 22

25 ii) Πότε θα ξανασυναντηθούν τα δύο σώµατα; iii) Πόση γωνία θα έχει διαγράψει στο µεταξύ, κάθε κινητό; 49 Σ ένα τρακτέρ οι μπροστινοί τροχοί έχουν ακτίνα 0,4m ενώ οι πίσω 0,8m. Πόσες στροφές θα έχουν κάνει οι πίσω τροχοί, όταν οι μπροστινοί έχουν κάνει 500 στροφές και πόση απόσταση θα έχει διανύσει το τρακτέρ; 250 στροφές, 400π m 50 Να βρείτε το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών συμπτώσεων του ωροδείκτη και του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού. (12/11)h 51 Σε μια ομαλή κυκλική κίνηση σώματος μάζας m=2kg ακτίνας R=0,5m η κεντρομόλος δύναμη έχει μέτρο 100Ν. Να βρεθούν γωνιακή ταχύτητα, συχνότητα και γραμμική ταχύτητα του σώματος. υ=5m/s, ω=10rad/s, f=1,592ηz 52 Σφύρα μάζας m=2,5kg περιστρέφεται με ω=40rad/s δεμένη με νήμα ακτίνας R=2m. Nα βρεθούν, γραμμική ταχύτητα, περίοδος, κεντρομόλος δύναμη. υ=80m/s, Τ=π/20s, F=8000N 53 Όχημα μάζας m=1kg διαγράφει κυκλική τροχιά με σταθερή περίοδο Τ=2s και υ=100πm/s. Να βρεθούν η ακτίνα της τροχιάς και η κεντρομόλος δύναμη. Δίνεται π 2 =10. R=100m, F=10 3 N 54 Μικρή μπάλα διαγράφει κύκλο ακτίνας R=2,5m με συχνότητα f=10/πηz ενώ δέχεται κεντρομόλο δύναμη F=100N. Να βρεθούν η γωνιακή και γραμμική ταχύτητα περιστροφής και η μάζα της μπάλας. ω=20rad/s, υ=50m/s, m=0,1kg 55 Σφαίρα μάζας m=1kg διαγράφει οριζόντιο κύκλο ακτίνας r=1m, δεμένη με νήμα. Η τάση του νήματος είναι 16Ν. Να βρεθούν η γραμμική ταχύτητα η κεντρομόλος επιτάχυνση και η συχνότητα. υ=4m/s, α=16m/s 2, f=2/πηz 56 Ένας δίσκος περιστρέφεται κάνοντας 2 στροφές το δευτερόλεπτο. Έστω Α ένα σημείο του δίσκου που α- πέχει απόσταση r από το κέντρο του. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις: i) Της γωνιακής ταχύτητας, της γραμμικής ταχύτητας, του μήκους του τόξου και της γωνίας που διαγράφει, σε συνάρτηση με το χρόνο, αν η ακτίνα r παραμένει σταθερή και ii) Της γωνιακής ταχύτητας και της γραμμικής ταχύτητας σε συνάρτηση με την ακτίνα περιστροφής r. 57 Σφαίρα μάζας m=0,2kg είναι δεμένη στο ένα άκρο νήματος μήκους λ=1,5m το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σημείο λείου οριζόντιου δαπέδου. Το νήμα σπάει αν η δύναμη που το τεντώνει ξεπεράσει την τιμή των 30Ν, (όριο θραύσης). Η σφαίρα κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός στροφών που μπορεί να διαγράψει η σφαίρα σε Δt=60π s ώστε το νήμα να μη σπάσει; Ν=300 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 23

26 58 Μικρό σώμα μάζας m=1kg διαγράφει κύκλο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο από το ελεύθερο άκρο ελατηρίου σταθεράς k=100ν/m και φυσικού μήκους λ 0 =0,3m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι συνδεδεμένο με ακλόνητο σημείο του επιπέδου που λειτουργεί και ως κέντρο της κυκλική τροχιάς. Κατά την περιστροφή το ελατήριο επιμηκύνεται έτσι ώστε να έχει τώρα σταθερό μήκος λ 1 =0,4m. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σώματος; ω=5rad/s 59 Πάνω σε δίσκο πικάπ που περιστρέφεται με σταθερή συχνότητα f=1ηz τοποθετείται μια γομολάστιχα σε απόσταση r=0,1m από τον άξονα περιστροφής. Μεταξύ της επιφάνειας του δίσκου και της γόμας ο μέγιστος συντελεστής στατικής τριβής είναι μ. Για ποιες τιμές του μ, η γόμα δεν γλιστράει πάνω στο δίσκο. Δίνεται g=10m/s 2. μ>0,4 60 Οριζόντια κυκλική στροφή δρόμου έχει ακτίνα καμπυλότητας R=200m. α. Ποιος πρέπει να είναι ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ οδοστρώματος και ελαστικών ώστε ένα αυτοκίνητο να διαγράφει τη στροφή με ταχύτητα 72km/h; β. Πόση γωνία κλίσεως, φ, ως προς το οριζόντιο επίπεδο έπρεπε να είχε ο δρόμος, ώστε το αυτοκίνητο να διέγραφε τη στροφή με ασφάλεια και με την ίδια ταχύτητα, ακόμα κι αν ο συντελεστής στατικής τριβής ήταν μηδέν (παγωμένο οδόστρωμα). Δίνεται g=10m/s 2. α. μ=0,2, β. εφφ=0,2 61 Κατακόρυφος κύλινδρος ακτίνας R=1m περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του yy ώστε μια σταγόνα λαδιού που εφάπτεται πάνω στο κυλινδρικό τοίχωμα αυτού να κρατιέται πάνω σ αυτό, χωρίς να γλιστράει προς τα κάτω. Μεταξύ σταγόνας και επιφανείας του κυλίνδρου ο συντελεστής μέγιστης στατικής τριβής είναι μ σ =0,4. Ποια είναι η μέγιστη περίοδος περιστροφής, ώστε η σταγόνα να μη γλιστράει από το τοίχωμα; Δίνεται το g=10m/s 2. Τ=0,4πs 62 Μοτοσικλέτα αγώνων κινείται σε οριζόντιο δρόμο με ταχύτητα 288km/h και εισέρχεται σε στροφή ακτίνας καμπυλότητας R=200m. Πόση κλίση φ, πρέπει να δώσει ο οδηγός στη μοτοσικλέτα ως προς τον κατακόρυφο άξονα ώστε να μη φύγει από το δρόμο. Τριβές δεν υπάρχουν και δίνεται το g=10m/s 2. εφφ=3,2 63 Σφαίρα μάζας m=1kg δεμένη από το άκρο νήματος μήκους λ διαγράφει κατακόρυφο κύκλο ακτίνας λ=1m με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ=6m/s. Να υπολογιστεί η τάση του νήματος: α. Στο κατώτερο σημείο της τροχιάς, Α. β. Στο ανώτερο, Γ. γ. Όταν το νήμα είναι οριζόντιο (θέση Β). Δίνεται g=10m/s 2. α. 46Ν, β. 26Ν, 36Ν 64 Ένα σώμα μάζας 4kg διαγράφει κατακόρυφο κύκλο δεμένο στο άκρο νήματος μήκους 2m. Τη στιγμή που περνάει από το χαμηλότερο σημείο της τροχιάς του, έχει ταχύτητα μέτρου 5m/s. Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα στη θέση αυτή και να υπολογίστε τα μέτρα τους. Δίνεται g=10m/s Αεροπλάνο διαγράφει κατακόρυφη κυκλική τροχιά ακτίνας R=800m Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 24

27 (ανακύκλωση) με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ=720km/h. Πόση είναι η δύναμη που δέχεται ο πιλότος από το κάθισμα τη στιγμή που το αεροπλάνο βρίσκεται στο κατώτερο, (Α) και στο ανώτερο, (Γ), σημείο της τροχιάς του. Δίνεται η μάζα του πιλότου m=70kg και το g=10m/s 2. F A =4200N, F Γ =175Ν 66 Όχημα κινείται σε γέφυρα ακτίνας καμπυλότητας R. Για να μη χάνουν οι τροχοί του την επαφή τους με το έδαφος θα πρέπει η ταχύτητα του οχήματος να μην υπερβαίνει κάποιο όριο που σχετίζεται τόσο με την ακτίνα καμπυλότητας, R, όσο και με τη γωνία φ που σχηματίζει η επιβατική ακτίνα του κινητού με την κατακόρυφο. Ποια είναι η σχέση που δίνει τη μέγιστη ταχύτητα που μπορεί να έχει το όχημα; Δίνεται το g. υ< Rgσυν φ 67 Στο σχήμα φαίνεται πώς μπορεί, μια μικρή σφαίρα Α m=0,1kg που στρέφεται διαγράφοντας οριζόντιο κύκλο ακτίνας R=0,4m, να ισορροπεί μια μάζα Μ=0,4kg, που κρέμεται δεμένη μέσω νήματος, από την μικρή σφαίρα Α. i) Μπορεί το νήμα που συγκρατεί την σφαίρα Α να είναι οριζόντιο; ii) Με δεδομένο ότι το σφάλμα που κάνουμε, θεωρώντας οριζόντιο το νήμα, είναι ασήμαντο, να υπολογίσετε την ταχύτητα περιστροφής της σφαίρας Α. iii) Αν αυξήσουμε την ταχύτητα περιστροφής της μικρής σφαίρας Α, για να εξασφαλιστεί σταθερή λειτουργία, η μεγάλη σφαίρα θα κινηθεί προς τα πάνω ή προς τα κάτω; Δίνεται g=10m/s 2. I) οχι ii) 4m/s iii)προς τα πανω 68 Ο ακροβάτης του "γύρου του θανάτου" εκτελεί το νούμερό του μπροστά στα έκπληκτα μάτια των θεατών του. Με τη μοτοσικλέτα του διαγράφει κατακόρυφο κύκλο ακτίνας R=40m στο εσωτερικό μιας σφαίρας που είναι φτιαγμένη από μεταλλικό πλέγμα. Όλοι απορούν πως δεν πέφτει όταν φτάνει στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς του. Υπολογίστε την ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει ο ακροβάτης στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς του ώστε η μοτοσικλέτα να μη χάνει την επαφή της με την επιφάνεια της σφαίρας. Δίνεται g = 10m/s 2. υ min =20m/s Α υ 69 Κινητό κινείται σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας 40m με ταχύτητα μέτρου 4m/s. iποια είναι η περίοδος και ποια η συχνότητά του; ii)πόσο είναι το μήκος του τόξου που διαγράφει σε 20s και πόση είναι η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία σε rad και σε μοίρες; i) 6 2, 8 s i i ) 2 r Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 25

28 70 Δυο σώματα Α και Β ξεκινούν ταυτόχρονα όπως στο σχήμα, να κινούνται ομαλά σε κυκλικές τροχιές με ακτίνες 1m και 2,5m, με το ίδιο κέντρο Ο και με ταχύτητες ίσων μέτρων υ1=υ2=υ=3m/s. i) Σε πόσο χρόνο για πρώτη φορά, οι επιβατικές του ακτίνες σχηματίζουν γωνία 90 ; υ Ο υ B Α ii)σε πόσο χρόνο οι επιβατικές τους ακτίνες θα συμπέσουν για πρώτη φορά; Iii)Σε πόσο χρόνο, επίσης για πρώτη φορά, τα δυο σώματα θα βρεθούν ταυτόχρονα στις αρχικές τους θέσεις; i) 0,87s ii)3,49s iii)10π/3 71 Η σφαίρα μάζας m=1kg είναι δεμένη από αβαρές νήμα μήκους λ=1m και διαγράφει κατακόρυφο κύκλο όπως φαίνεται στο σχήμα. 2 α. Αν η σφαίρα έχει στο σημείο Α κεντρομόλο επιτάχυνση α =10m/s Α πόση είναι η τάση του νήματος στο σημείο αυτό; β. Με πόση ελάχιστη ταχύτητα μπορεί να φτάσει η σφαίρα στο σημείο Γ στο οποίο η γωνία θ είναι θ=600, χωρίς το νήμα να τσαλακώσει, δηλαδή 2 χωρίς να χαλάσει η κυκλική κίνηση. Δίνεται g=10m/s. α. Τ=20N, β. υmin.γ= Rgσυνθ= 5m 72. Σφαίρα μάζας m=0,2 kg δένεται από το άκρο νήματος μήκους L=2,4m το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο, το σώμα διαγράφει οριζόντιο κύκλο με σταθερή ταχύτητα έτσι ώστε το νήμα να σχηματίζει γωνία φ = 600 με την κατακόρυφο που περνάει από το σημείο εξαρτήσεως. Να υπολογιστεί η γραμμική ταχύτητα περιστροφής του σφαίρας και η τάση του νήματος F. Δίνεται g=10m/s2. υ= Lgημ2φ/συνφ =3m/s, F=mg/συνφ=4Ν 73.Ένα σώμα μάζας 2kg κινείται με ταχύτητα σταθερού μέτρου, οπότε μέσα σε χρόνο 2s, διαγράφει γωνία 45, σε κυκλική τροχιά ακτίνας R=2m. Ζητούνται: 2) Η γωνιακή ταχύτητα. 3) Η γραμμική ταχύτητα περιστροφής. 4) Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα. 5) Η μεταβολή της ταχύτητας σε χρονικό διάστημα 8s. 74. Αυτοκίνητο μάζας m μπαίνει σε οριζόντια κυκλική στροφή ακτίνας R=100m. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του δρόμου και των ελαστικών του είναι μ=0,4. Πόση πρέπει να είναι η μέγιστη επιτρεπόμενη ταχύτητα ώστε το αυτοκίνητο να διατηρηθεί σε κυκλική τροχιά σε όλη τη διάρκεια της στροφής; Δίνεται g=10m/s2. 20m/s 75. Σφαίρα μάζας m=1kg διαγράφει κατακόρυφο κύκλο ακτίνας R=1m δεμένη από ανθεκτικό και αβαρές νήμα. Το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό και ίσο με υ=10m/s. Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα στη σφαίρα, όταν η σφαίρα περνάει: α. Από το σημείο Ρ στο οποίο η επιβατική ακτίνα σχηματίζει με την ατακόρυφο γωνία θ=450. β. Από το σημείο Σ στο οποίο η επιβατική ακτίνα σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία φ=600. Δίνονται το g=10m/s2, 2=1,4. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 26

29 76.Ένα σώμα μάζας 2kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους =2m και διαγράφει κατακόρυφο κύκλο. i) Αν στο χαμηλότερο σημείο της τροχιάς η ταχύτητα του σώματος είναι 4m/s, ποια η τάση του νήματος, στην θέση αυτή; ii) Ποια είναι η ελάχιστη ταχύτητα, την οποία πρέπει να έχει το σώμα στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς του, ώστε να μπορεί να διαγράφει με ασφάλεια τον κύκλο; g=10m/s 2. iii) 77. Η μοτοσικλέτα του ακροβάτη κάνει το γύρο του θανάτου με ταχύτητα που μπορεί να μεταβάλλεται. Η ακτίνα της τροχιάς είναι R=40m και το σύστημα αναβάτης μοτοσικλέτα έχει μάζα Μ=200kg α. Αν από το σημείο Α περνάει με ταχύτητα υ 1 =10m/s πόση δύναμη δέχεται η μοτοσικλέτα από τη μεταλλική σφαίρα μέσα στην οποία κινείται; β. Αν τη στιγμή που περνάει από το σημείο Β ασκεί στη μεταλλική σφαίρα δύναμη 2000Ν πόση είναι η γωνιακή του ταχύτητα της μοτοσικλέτας εκείνη τη στιγμή; γ. Αν η μοτοσικλέτα δεν μπορεί να αναπτύξει ταχύτητα μεγαλύτερη από 18m/s, είναι δυνατόν να φτάσει στο σημείο Γ χωρίς να χάσει την επαφή με τη μεταλλική σφαίρα; Δίνεται g=10m/s 2. α. 2500Ν, β. 0,5rad/s, γ. όχι, υ min =20m/s 78. Σε ποδήλατο η αλυσίδα γυρίζει γύρω από δύο δίσκους. Ο μπροστινός δίσκος είναι ακτίνας R 1 =9cm ενώ ο πίσω δίσκος ακτίνας R 2 =3cm. Οι ρόδες έχουν ακτίνας R=20cm και το πεντάλ περιστρέφεται με συχνότητα 3Hz. Να βρεθούν α. Η περίοδος περιστροφής των τροχών. β. Η ταχύτητα του ποδηλάτου. α. 1/9s β. 3,6π m/s 79.Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί στο κάτω άκρο νήματος μήκους l=45cm. Φέρνουμε το σώμα στη θέση Α, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο και το αφήνουμε να κινηθεί. Α) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος: i) Η αρχική επιτάχυνση του σώματος είναι ίση με g. ii) Η τάση του νήματος στο Α είναι μηδέν. iii) Το έργο της τάσης από το Α στο Γ είναι μηδέν. iv) Το έργο του βάρους από το Α στο Γ είναι ίσο με μηδέν. v) Το έργο της κεντρομόλου δύναμης είναι ίσο με μηδέν. Β) Η τάση του νήματος στην θέση Γ είναι: α) ίση με το βάρος. β) μηδέν γ) Μεγαλύτερη του βάρους. δ) μικρότερη του βάρους Γ) Αυξήθηκε ή μειώθηκε η δυναμική ενέργεια του σώματος κατά την κίνησή του από το Α στο Γ και κατά Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 27

30 πόσο; Δ) Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος και την τάση του νήματος στο σημείο Γ. g=10m/s2. 1)ΣΣΣΛΣ 2)γ 3)9J 4)60N 80. Κουβάς με νερό περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο δεμένος μ ένα αβαρές αλλά ανθεκτικό σχοινί. Μέσα στον κουβά υπάρχει μικρή ποσότητα νερού μάζας m=1kg η οποία συμπεριφέρεται σαν υλικό σημείο. Θεωρούμε ότι η κυκλική κίνηση της μάζας νερού γίνεται με ακτίνα r=0,9m Αν η ακτίνα του κύκλου που διαγράφει είναι 0,9m. α. Πόση πρέπει να είναι η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας, υ, στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς, ώστε να μη χυθεί το νερό; β. Αν ο κουβάς περνάει με την ταχύτητα του (α) ερωτήματος από το κατώτερο σημείο της τροχιάς του, πόση δύναμη θα δέχεται η μάζα του νερού από τον πάτο του κουβά; Δίνεται g=10m/s2. α. 3m/s, β. 20Ν 81.Ένα σώμα μάζας 2kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l=1m και διαγράφει κατακόρυφο κύκλο. Όταν το νήμα σχηματίζει γωνία θ=60 με την κατακόρυφο, το σώμα έχει ταχύτητα 2m/s. Για την θέση αυτή: i) Ποια η κεντρομόλος επιτάχυνση; ii) Ποιο το μέτρο της τάσης του νήματος; iii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας; g=10m/s2. ι) 4 m/s2 ιι) 18N ιιι)5 𝟑 m/s2 82.Μια μικρή σφαίρα μάζας m=200g κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους L=1m. Θέτουμε σε περιστροφή τη σφαίρα, ώστε να διαγράφει οριζόντιο κύκλο κέντρου Κ, σε απόσταση (ΑΚ)=0,2m από το σημείο πρόσδεσης του νήματος A. Εξαιτίας όμως της αντίστασης του αέρα, η ταχύτητα της σφαίρας μειώνεται, με αποτέλεσμα αυτή, να πέφτει σιγά-σιγά και μετά από λίγο, στρέφεται σε κύκλο κέντρου Ο, όπου η αντίστοιχη απόσταση είναι (ΑΟ)=0,9m. Να υπολογιστεί η απώλεια της μηχανικής ενέργειας, εξαιτίας της αντίστασης του αέρα, μεταξύ αρχικής και τελικής θέσης. Δίνεται g=10m/s2. ΔΕ=6J 83.Ένας οριζόντιος δίσκος στρέφεται γύρω από το κέντρο του με συχνότητα f=0,2ηz. Ένα σώμα Α μάζας 0,5kg παρουσιάζει με την επιφάνεια του δίσκου συντελεστή Ο οριακής στατικής τριβής μs=0,4. iv) Τοποθετούμε το σώμα Α σε απόσταση R=1m από το κέντρο του δίσκου. Πόση είναι η τριβή που δέχεται; v) Έχοντας τοποθετήσει πάνω στο δίσκο το σώμα Α, αυξάνουμε πολύ αργά την συχνότητα περιστροφής του δίσκου. Ποια η μέγιστη συχνότητα περιστροφής που μπορεί να αποκτήσει ο δίσκος, χωρίς να ολισθήσει το σώμα Α; Δίνονται: g=10m/s2 ενώ π2=10. ι)τα=0,8ν<τορ=2ν ιι)f=0,32hz Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 28

31 84) Στο διπλανό σχήμα, φαίνεται η Γη και ένα σώμα σε διάφορες θέσεις. Γ i) Να σχεδιάστε τη δύναμη που δέχεται το σώμα από τη Γη (το βάρος), στις διάφορες θέσεις. ii) Μπορείτε να προβλέψετε την κίνηση του σώματος αν αφεθεί ελεύθερο στη θέση Α; Δ Α 85. Ένας δορυφόρος στρέφεται σε κυκλική τροχιά, με κέντρο το κέντρο της Γης, σε ύψος h από την επιφάνειά της, όπως στο σχήμα. i) Ο δορυφόρος δεν πέφτει στη Γη γιατί: α) Δεν δέχεται έλξη από τη Γη. β) Δέχεται δύναμη από τη Γη, αλλά και αυτός της ασκεί μια αντίθετη δύναμη. γ) Είναι έξω από την ατμόσφαιρα της Γης. δ) Τίποτα από όλα αυτά. ii) Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στο δορυφόρο στις θέσει (1) και (2) και εξηγείστε γιατί ο δορυφόρος δεν πέφτει στην επιφάνεια της Γης. iii) Αν μετά από σύγκρουση του δορυφόρου με ένα μετεωρίτη, η ταχύτητά του μηδενιστεί, τότε αυτός: α) Θα πέσει στη Γη. β) Θα παραμείνει ακίνητος στη θέση του. γ) Θα απομακρυνθεί από τη Γη κινούμενος στη διεύθυνση της εφαπτομένης. δ) Δεν θα ασκεί πλέον ο δορυφόρος δύναμη στη Γη. iv) Αν ένας «μάγος» εξαφάνιζε σε μια στιγμή τη Γη, τότε ο δορυφόρος: α) Θα εξαφανιζόταν και αυτός. β) Θα συνέχιζε την κίνησή του στην ίδια κυκλική τροχιά. γ) Θα κινείτο προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. δ) Θα εκτελούσε ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. 86.Ένας δίσκος περιστρέφεται κάνοντας 2 στροφές το δευτερόλεπτο. Έστω Α ένα σημείο του δίσκου που απέχει απόσταση r από το κέντρο του. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις: i) Της γωνιακής ταχύτητας, της γραμμικής ταχύτητας, του μήκους του τόξου και της γωνίας που διαγράφει, σε συνάρτηση με το χρόνο, αν η ακτίνα r παραμένει σταθερή και ii) Της γωνιακής ταχύτητας και της γραμμικής ταχύτητας σε συνάρτηση με την ακτίνα περιστροφής r. 87.Ένα σώµα µάζας 2kg κινείται µε ταχύτητα σταθερού µέτρου, οπότε µέσα σε χρόνο 2s, διαγράφει γωνία 45,σε κυκλική τροχιά ακτίνας R=2m. Ζητούνται: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 29

32 i) Η γωνιακή ταχύτητα. ii) Η γραµµική ταχύτητα περιστροφής. iii) Η συνισταµένη δύναµη που ασκείται στο σώµα. iv) Η µεταβολή της ταχύτητας σε χρονικό διάστηµα 8s. i)π/4,ω=0,39r/s ii) υ=0,79m/s iii) F=0,62N iv)δυ=-1,58 m/s 88. Μια μικρή σφαίρα, μάζας 2kg, εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 0,5m, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 η σφαίρα περνά από τη θέση Α, ενώ φτάνει για πρώτη φορά στη θέση Β τη χρονική στιγμή t 1=0,35s, όπου οι σημειωμένες γωνίες είναι φ 1=φ 2= 30. vi) Ποια η γωνιακή ταχύτητα και ποια η περίοδος περιστροφής του σώματος; vii) Ποια χρονική στιγμή η σφαίρα περνά από το σημείο Γ για τέταρτη φορά; viii) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη σφαίρα, καθώς και το έργο της στο χρονικό διάστημα 0-t 1. i)τ=0,6s ii)δt=2,05s iii)σf=329n,w=0 89.Ένα σώµα µάζας 4kg διαγράφει κατακόρυφο κύκλο δεµένο στο άκρο νήµατος µήκους 2m. Τη στιγµή που περνάει από το χαµηλότερο σηµείο της τροχιάς του, έχει ταχύτητα µέτρου 5m/s. Ο υ Να σχεδιάστε τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα στη θέση αυτή και να υπολογίστε τα µέτρα τους. ίνε- ται g=10m/s 2. B=40N,T=90N 90.Από ένα σηµ είο Α ενός κύκλου ξεκινούν ταυτόχρονα δύο κινητά που κινούνται διαγράφοντας το πρώτο 45 το δευτερόλεπτο και το δεύτερο 30 το δευτερόλεπτο, µ ε την ίδια κατεύθυνση. i)ποιες οι γωνιακές ταχύτητες των κινητών; ii) Πότε θα ξανασυναντηθούν τα δύο σώµ ατα; iii)πόση γωνία θα έχει διαγράψει στο µ εταξύ, κάθε κινητό; I) π/6 ιι)24s ιιι)6π,4π. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 30

33 91.Ένας τεχνητός δορυφόρος της Γης, µάζας m=1tn, κινείται διαγράφοντας κυκλική τροχιά, µε κέντρο το κέντρο της Γης Κ, στο επίπεδο του µεσηµβρινού που περνά από την Αθήνα, σε ύψος h=r Γ, από την επιφάνειά της, όπου R Γ η ακτίνα της Γης ίση µε 6400km. Το χρονικό διάστηµα για δυο διαδοχι- κές διαβάσεις του δορυφόρου πάνω από την κατακόρυφο που περνά από τον βόρειο πόλο, (σηµείο Α) είναι 4h. i) Με ποια ταχύτητα στρέφεται ο δορυφόρος σε m/s και σε km/h; ii) Πόση δύναµη δέχεται ο δορυφόρος από τη Γη (το βάρος του δορυφό- ρου); iii) Να βρεθεί το βάρος του δορυφόρου, αν κάποια στιγµή προσγειωθεί στην επι- φάνεια της Γης, όπου g=9,8m/s 2. iv) Προτείνεται ο δορυφόρος να τεθεί σε κυκλική τροχιά της ίδιας ακτίνας, µε κέντρο τον βόρειο πόλο Ο, µε επίπεδο παράλληλο προς τον Ισηµερινό. Να εξετάσετε αν αυτό µπορεί να γίνει ή όχι. i) 5600m/s ii) 2450N iii)9800n iv)οχι 92.Μια µικρή σφαίρα µάζας 0,2kg ηρεµεί στο κάτω άκρο νήµα- τος µήκους l=1,25m (θέση Α), το άλλο άκρο του οποίου είναι δεµένο σε σταθερό σηµείο Κ, το οποίο βρίσκεται σε ύψους Η=2,5m από το έδαφος. Φέρνουµε τη σφαίρα στη θέση Β, ώστε το νήµα να γίνει οριζόντιο και την αφήνουµε να κινηθεί. Τη στιγµή που το νήµα γίνεται kατακόρυφο κόβεται, οπότε τελικά η σφαίρα φτάνει στο έδαφος στο σηµείο. i) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση της σφαίρας και η τάση του νήµατος αµέσως µόλις αφεθεί να κινηθεί (θέση Β). ii) Σε µια στιγµή το νήµα σχηµατίζει γωνία φ=30 µε την οριζόντια διεύθυνση. Πόση είναι η τάση του νήµατος στην θέση αυτή; iii) Να βρεθεί η απόσταση (Κ ) του σηµείου πρόσδεσης του νήµατος και του σηµείου πρόσπτωσης της σφαίρας στο έδαφος. ίνεται g=10m/s 2, ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αµελητέα. ι) α=g ιι) 3N ιιι)2,5 3 m/s 93.Στο άκρο ενός νήµατος µήκους 1m, έχουµε δέσει ένα µικρό σώµα. Εκτρέπουµε το σώµα ώστε το νήµα να σχηµατίσει γωνία θ=30 µε την κατακόρυφο και το αφήνουµε να κινηθεί. Το σώµα εκτελεί 5 πλήρεις αιω- ρήσεις σε χρονικό διάστηµα 10s. i) Να βρεθεί η συχνότητα της κίνησης, καθώς και ο µέγιστος ρυθµός αύξησης του µέτρου της ταχύτητας του σώµατος. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 31

34 ii) Επαναλαµβάνουµε την εκτροπή του σώµατος, αλλά τώρα θέλουµε το σώµα να διαγράφει οριζόντιο κύκλο ενώ το νήµα να σχηµατίζει ξανά γωνία θ, µε την κατακόρυφο. Ποια οριζόντια ταχύτητα πρέπει να προσδώσουµε στο σώµα, για να συµβεί αυτό; i) 5m/s 2 Ii) 1,7m/s iii) 0,54Hz,5,8m/s 2 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 32

35 ΟΡΜΗ - ΚΡΟΥΣΗ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 33

36 η κινητική ενέργεια του συστήματος μειώνεται κατά την κρούση. Δηλαδή η κινητική ενέργεια του συστήματος δεν διατηρείται(στη γενικη περίπτωση) 3. Η ορμή και η διατήρηση της ορμής Ερωτήσεις 1 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στο μέγεθος της ορμής υλικού σημείου, είναι σωστές; α. Είναι διανυσματικό μέγεθος. β. Εξαρτάται από τη μάζα και την ταχύτητα του υλικού σημείου. γ. Εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς που ορίζουμε για να μελετήσουμε την κίνηση. δ. Έχει μονάδα μέτρησης το 1kgm/s. 2 Για ένα υλικό σημείο μάζας m χρησιμοποιώντας τη σχέση ΣF=m α, να αποδείξετε τη σχέση: ΣF=Δ p/δt. Ποια από τις δύο εκφράσεις ισχύει ακόμα και όταν μεταβάλλεται η μάζα του υλικού σημείου; 4 Η μονάδα μέτρησης της ορμής 1kgm/s είναι ισοδύναμη με την μονάδα μέτρησης: α. 1Ν β. 1Νm γ. 1Νs δ. 1Νm/s 5 Για ένα σύστημα σωμάτων η συνισταμένη των εσωτερικών δυνάμεων είναι: α. Πάντοτε μηδέν. β. Μηδέν μόνο αν το σύστημα είναι απομονωμένο. γ. Διάφορη του μηδενός για κάθε σύστημα. δ. ηδέν αν δεν υπάρχουν εσωτερικές τριβές. 6 Υλικό σημείο κάνει ομαλή κυκλική κίνηση. Η ορμή του: α. Διατηρείται σταθερή. β. Συνεχώς μεταβάλλεται. Ποια είναι η σωστή απάντηση και γιατί; Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 34

37 7 Μια μπάλα μάζας m και ταχύτητας υ χτυπάει κάθετα σε ένα τοίχο και ανακλάται κάθετα με ταχύτητα ίσου μέτρου, υ. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής της μπάλας είναι: α. Δp=0 β. Δp=mυ γ. Δp=2mυ Ποια είναι η σωστή απάντηση και γιατί; 8 Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα υλικό σημείο ισούται με: α. Την ορμή του. β. Τη μεταβολή της ορμής του. γ. Το ρυθμό μεταβολής της ορμής του. δ. Τη μεταβολή της ορμής επί το χρόνο μεταβολής. Ποια είναι η σωστή απάντηση και γιατί; 9 Σε ένα απομονωμένο σύστημα σωμάτων: α. Δεν ασκούνται εσωτερικές δυνάμεις. β. Δεν ασκούνται καθόλου εξωτερικές δυνάμεις. γ. Η ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή. δ. Η ορμή του συστήματος είναι μηδέν. 10 Οι δύο σφαίρες που φαίνονται στο σχήμα συγκρούονται χωρίς να δέχονται τριβές από το περιβάλλον. α. Να σχεδιάσετε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στις σφαίρες. β. Ποιες από τις δυνάμεις που ασκούνται στις σφαίρες είναι εσωτερικές και ποιες εξωτερικές για το σύστημα των δύο σφαιρών. γ. Η ορμή του συστήματος διατηρείται ή όχι; δ. Αν m Α =m Β =1kg και υ 1 =10m/s, υ 2 = 2m/s πόση η p ολ του συστήματος; 11 Δύο σφαίρες με ίσες μάζες m κινούνται με ταχύτητες υ σε αντίθετες κατευθύνσεις. Η ορμή του συστήματος είναι: α. 2mυ β. 0 γ. mυ 12 Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί η αρχή διατήρησης της ορμής (ΑΔΟ). 13 Μπάλα μάζας m συγκρούεται κάθετα με κατακόρυφο τοίχο με ταχύτητα μέτρου υ και ανακλάται κάθετα με ταχύτητα ίσου μέτρου υ. Ισχύει η διατήρηση της ορμής για τη μπάλα; 14 Δύο ίδιες μπάλες μάζας m χτυπάνε με την ίδια ταχύτητα σε κατακόρυφο τοίχο και ανακλώνται με ταχύτητα ίδιου μέτρου υ σε αντίθετη κατεύθυνση. Η μια μπάλα είναι μεταλλική, ενώ η άλλη από μαλακό ελαστικό υλικό. Μεγαλύτερη δύναμη στον τοίχο ασκεί: α. Η μεταλλική.β. ελαστική. γ. Καμία από τις δύο. Ποια είναι η σωστή απάντηση και γιατί; 15 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες και γιατί; α. Δύο υλικά σημεία με ίσες ταχύτητες έχουν και ίσες ορμές. β. Όσο πιο γρήγορα μεταβάλλεται η ορμή ενός υλικού σημείου τόσο μεγαλύτερη δύναμη δέχεται. γ. Η διατήρηση της ορμής ισχύει σε κάθε φαινόμενο που συμμετέχει ένα σύστημα σωμάτων. δ. Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση η ορμή του σώματος είναι σταθερή. ε. Ένα σύστημα δύο σωμάτων μπορεί να έχει ορμή μηδέν, ενώ τα μέλη του κινούνται. 16 Βρισκόμαστε μέσα σε ένα αυτοκίνητο με λυμένο το χειρόφρενο που βρίσκεται σε οριζόντιο δρόμο. Σπρώχνουμε τα καθίσματα αλλά το αυτοκίνητο δεν κινείται. Αν ήμασταν έξω από αυτό και ασκούσαμε την ίδια οριζόντια δύναμη το αυτοκίνητο θα μετατοπιζότανε. Γιατί υπάρχει αυτή η διαφορά; 17 Ποια από τα παρακάτω φαινόμενα μπορούν να ερμηνευθούν με την διατήρηση της ορμής; α. Η ελεύθερη πτώση μιας πέτρας. β. Η ανάκρουση του πυροβόλου. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 35

38 γ. Η κίνηση μιας βάρκας στο νερό. δ. Η προώθηση του πυραύλου. ε. Η περιστροφή ενός δορυφόρου. στ. Η έκρηξη μιας βόμβας. ζ. Η σύγκρουση ανάμεσα στις μπίλιες του μπιλιάρδου. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 18 Δύο φίλοι με μάζες m 1 και m 2 αντιστοίχως τραβάνε τα άκρα ενός σχοινιού παίζοντας διελκυστίνδα πάνω σε μια τελείως λεία επιφάνεια πάγου. Είναι δυνατόν να κινηθούν και οι δύο προς την ίδια κατεύθυνση; 19 Μέσα σε βαγόνι που μπορεί να κινείται χωρίς τριβή ολίσθησης πάνω σε οριζόντιες ράγες βρίσκεται ένας άντρας και κρατάει μια βαριά σφήνα. Ο άντρας εκτοξεύει τη σφήνα οριζόντια προς τον τοίχο του βαγονιού, με ταχύτητα υ, και αυτή καρφώνεται στον τοίχο. Αν Μ η συνολική μάζα 0 βαγονιού και άντρα και m η μάζα της σφήνας, εξηγήστε αναλυτικά πως θα κινηθεί το βαγόνι, σε όλη τη διάρκεια του φαινομένου. Για να είναι πιο απλό το πρόβλημα, η τροχιά της σφήνας να θεωρηθεί ευθύγραμμη και οι τριβές με τον αέρα αμελητέες. 20 Μια μπάλα που πέφτει κατακόρυφα συναντάει το οριζόντιο έδαφος με ταχύτητα μέτρου υ και ανακλάται κατακόρυφα με ταχύτητα ίσου μέτρου, υ. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Η μπάλα δέχτηκε από το έδαφος, δύναμη αντίθετη από αυτή που άσκησε σ' αυτό. β. Η μπάλα δέχτηκε από το έδαφος μέση δύναμη μεγαλύτερη από το βάρος της. γ. Το μέτρο μεταβολής της ορμής της μπάλας είναι 2mυ. 21 Μια σφαίρα μάζας m πέφτει ελεύθερα με επιτάχυνση g. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της ορμής p και του ρυθμού μεταβολής της ορμής σε συνάρτηση με το χρόνο, t. 22 Κυνηγός στηρίζεται καλά πάνω σε έλκηθρο που βρίσκεται πάνω στο τελείως λείο πάγο και πυροβολεί οριζόντια με όπλο που στηρίζει στον ώμο του. Τίνος συστήματος διατηρείται η ορμή; α. όπλου βλήματος. β. όπλου βλήματος κυνηγού. γ. όπλου βλήματος κυνηγού ελκήθρου. δ. Κυνηγού ελκήθρου. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 23 Παρατηρούμε δύο σωματίδια τα οποία κινούνται με αντίθετες ορμές ξεκινώντας από το σημείο στο οποίο διασπάστηκε ένα ακίνητο ασταθές σωματίδιο. Αποδεικνύει αυτό ότι δεν δημιουργήθηκε και τρίτο σωματίδιο κατά τη διάσπαση; 24 Άντρας βρίσκεται μέσα σε ελαφρύ βαγόνι που δεν παρουσιάζει καθόλου τριβές με τις ράγες. Θέλει να το μετακινήσει, αλλά χωρίς να κατέβει από αυτό. Πως θα το πετύχει καλύτερα; α. Αν σπρώχνει με δύναμη τον τοίχο του βαγονιού; β. Αν εκτοξεύει αντικείμενα που βρίσκει μέσα στο βαγόνι σε διεύθυνση παράλληλη προς τις ράγες και σε αντίθετη κατεύθυνση από εκεί που θέλει να πάει; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 25 Δύο σώματα κινούνται χωρίς τριβές με την ίδια ταχύτητα αλλά κατά αντίθετη φορά πάνω σε μια ευθεία, συγκρούονται και μετατρέπονται σ' ένα νέο σώμα. Μετά την κρούση αυτό μένει ακίνητο. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές: α. Έχουν μάζες ίσες. β. Η ορμή του συστήματος είναι μηδέν. γ. Δέχτηκαν το ένα από το άλλο δυνάμεις ίσου μέτρου αντίθετης κατεύθυνσης. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 36

39 Ασκήσεις 26 Δύο αυτοκίνητα με μάζες m 1 =1500kg και m 2 =1800kg, κινούνται με ταχύτητες μέτρου υ 1 =12m/s και υ 2 =10m/s. Να βρείτε την ορμή του συστήματος των δύο αυτοκινήτων αν αυτά κινούνται: (α) ομόρροπα, (β) αντίρροπα. α. p ολ = 36000kgm/s, β. p ολ =0 27 Σώμα μάζας m=1kg κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα μέτρου υ 1 =10m/s. Στο σώμα ασκείται δύναμη σταθερού μέτρου για χρονικό διάστημα Δt=0,1s οπότε το σώμα αποκτά ταχύτητα τελικού μέτρου υ 2 =40m/s, ομόρροπη της αρχικής ταχύτητας. Να προσδιορίσετε τη δύναμη F. F=300N 28 Βλήμα μάζας m=0,5kg κινείται οριζόντια προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Οx με ταχύτητα μέτρου υ 1 =20m/s οπότε και συναντά ξύλινη σανίδα. Αφού τη διαπεράσει το βλήμα κινείται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ 2 =5m/s. Αν το βλήμα έμεινε μέσα στη σανίδα για χρονικό διάστημα 0,01s, να βρείτε τη μέση δύναμη που δέχτηκε από τη σανίδα. F= 750N 29 Σε ένα λείο οριζόντιο τραπέζι, σχήµατος ορθογωνίου, κινούνται ευθύγραµµα δυο µικρές µπίλιες µε µάζες m1=0,1kg και m2=0,3kg µε ταχύτητες υ1=0,4m/s και υ2=0,1m/s αντίστοιχα, όπως στο σχήµα. i) Να υπολογιστεί η ολική κινητική ενέργεια του συστήµατος. ii) Να βρεθεί η ολική ορµή του συστήµατος.. i)9, J ii)0,05j εφθ=4/3 30 Μπίλια μάζας m=0,5kg κινείται ευθύγραμμα σε τραπέζι μπιλιάρδου με ταχύτητα υ 1 =10m/s. Στη μπίλια ασκείται σταθερή δύναμη μέτρου F=10N, ομόρροπη της ταχύτητάς της. Αν η δύναμη ασκείται για χρονικό διάστημα Δt=1s, να υπολογίσετε την τελική ταχύτητα της μπίλιας.υ 2 =30m/s 31 Ένα μπαλάκι του τένις έχει μάζα m=0,1kg και οριζόντια ταχύτητα υ 1 =10m/s. Κατά την επαφή του με τη ρακέτα, αντιστρέφεται η κατεύθυνση κίνησής του αλλά το μέτρο της ταχύτητάς του παραμένει σταθερό. Αν η επαφή του με τη ρακέτα διαρκεί Δt=0,5s, να υπολογίσετε τη μέση δύναμη που δέχτηκε από τη ρακέτα και που άσκησε σε αυτήν. F=4N 32 Μια εξωλέμβια μηχανή ασκεί μέγιστη προωθητική δύναμη 2000Ν. Αν η μηχανή αυτή δουλέψει για χρονικό διάστημα Δt=10s κινώντας μια βάρκα συνολικής μάζας m=500kg, να βρείτε την τελική ταχύτητα της βάρκας. Η βάρκα ήταν αρχικά ακίνητη και οι αντιστάσεις του νερού να μη ληφθούν υπ όψη. υ=40m/s 33 Ένα αεροσκάφος τύπου Jumbo 737 έχει μάζα 40ton και προκειμένου να απογειωθεί χρειάζεται ταχύτητα 60m/s. Αν η μέση δύναμη που του ασκούν οι κινητήρες του είναι F=4,10 4 N, να βρεθεί ο χρόνος απογείωσης. Οι αντιστάσεις του αέρα να μη ληφθούν υπ όψη. Δt=1min 34 Μια μπάλα μάζας m=1kg πέφτει κατακόρυφα στο πάτωμα με ταχύτητα μέτρου υ 1 =20m/s και ανακλάται κατακόρυφα με ταχύτητα μέτρου υ 2 =18m/s. Αν η κρούση διαρκεί Δt=0,2s και το g=10m/s 2 να υπολογιστεί το μέτρο της μέσης δύναμης που δέχτηκε η μπάλα από το πάτωμα. F=200N 35 Μια μπάλα μάζας m=1kg που αρχικά είναι ακίνητη δέχεται για χρόνο Δt=0,01s κατακόρυφη δύναμη Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 37

40 F και αποκτά ταχύτητα μέτρου υ=20m/s. Αν δίνεται g=10m/s 2, να βρεθεί το μέτρο της δύναμης F. F=2010N 36Σε οριζόντιο δρόµο κινούνται δύο σφαίρες, η µια προς την άλλη, µε ταχύτητες υ1=4m/s και υ2 = 6m/s. Οι σφαίρες έχουν µάζες m1=5kg και m2=4kg αντίστοιχα. i) Πόση ορµή έχει κάθε σφαίρα;ii) Ποια η συνολική ορµή του συστήµατος των δύο σφαιρών;iii) Αν οι δύο σφαίρες συγκρουστούν πλαστικά πόση θα είναι η ταχύτητα του συσσωµατώµατος; ι)20 kg m/s,24 kg m/s ιι)-4 kg m/s ιιι)-0,4 m/s 37 Δέμα μάζας m=80kg αφήνεται από ύψος h=1,8m και πέφτει στο έδαφος και ακινητοποιείται. Η μέση δύναμη που δέχτηκε από το πάτωμα είναι F=5600N. Να βρείτε το χρόνο που χρειάστηκε από τη στιγμή που ήρθε σε επαφή με το πάτωμα μέχρι να σταματήσει. Δίνεται g=10m/s 2. Δt=0,1s 38 Ένα σώµα µάζας m=2kg εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση µε ταχύτητα υ=5m/s σε κύκλο κέντρου Ο και ακτί νας R=10m. i) Υπολογίστε την ορµή του σώµατος στη θέση Α. ii)η ορµή του σώµατος παραµένει σταθερή ή όχι;iii) Βρείτε την µεταβολή της ορµής του σώµατος µεταξύ των ντιδιαµετρικών θέσεων Α και Γ. iv) Ποιος ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σώµατος στη θέση Α; ix) 10kg m/s ii)δ P = 0, ΔP 0 iii)-20 kg m/s,5n 39 Βαγόνι μάζας m 2 =20kg ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και έχει πάνω του παιδί μάζας m 1 =30kg. Αν το παιδί πηδήξει από το βαγόνι με ταχύτητα μέτρου υ 1 =2m/s σε οριζόντια θετική κατεύθυνση, πόση είναι η ταχύτητα που θα αποκτήσει το βαγόνι και σε ποια κατεύθυνση; 3m/s 40 Ένα ξύλινο σώµα Σ µάζας Μ=950g κρέµεται από νήµα µήκους 2,5m. Ένα βήµα µάζας m=50g που κινείται οριζόντια µε ταχύτητα υ1= 100m/s σφηνώνεται στο Σ. i)να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωµατώµατος µετά την κρούση.ii) Ποια η ελάχιστη τιµή του ορίου θραύσης του νήµατος, ώστε αυτό να µην σπάσει;iii) Ποια η ελάχιστη τιµή της τάσης του νήµατος; ίνεται g=10m/s 2.. i)5 ii)20 N iii) 5N 41 Βλήμα μάζας m 1 =0,2kg σφηνώνεται με οριζόντια ταχύτητα υ 0 σ' ένα ξύλινο κύβο μάζας m 2 =3,8kg που ήταν ακίνητος πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Αν η ταχύτητα του ενιαίου σώματος που προκύπτει είναι 10m/s, πόσο είναι το μέτρο της υ 0. υ 0 =200m/s 42 Βαγόνι το οποίο κινείται σε λείες οριζόντιες ράγες συγκρούεται με ταχύτητα υ 1 =4m/s με άλλο προπορευόμενο όμοιο βαγόνι που κινείται με ταχύτητα υ 2 =2m/s και ενώνεται μ' αυτό. Πόση είναι η ταχύτητα των βαγονιών μετά την κρούση; V=3m/s 43 Πάνω σε μια βάρκα μάζας m 2 =100kg βρίσκεται μια κοπέλα μάζας m 1 =50kg και το σύστημα κινείται ευθύγραμμα χωρίς τριβές με ταχύτητα υ 0 =2m/s. Η κοπέλα πηδάει από τη βάρκα σε αντίθετη κατεύθυνση από τη υ υ 0 και με ταχύτητα μέτρου υ 1 =4m/s. Υπολογίστε το μέτρο της Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 38

41 ταχύτητας της βάρκας μετά την αποχώρηση της κοπέλας.v=5m/s 0 44 Διαστημικό όχημα μάζας m=100kg κινείται χωρίς την επίδραση καμιάς δύναμης με ταχύτητα υ 0 =300m/s. Ξαφνικά εκτοξεύει θαλαμίσκο μάζας ίσης με το 1/4 της μάζας του σε κατεύθυνση αντίθετη από την κατεύθυνση της υ 0 και με ταχύτητα μέτρου ίσου με υ 0. Πόση είναι η ταχύτητα του υπολοίπου τμήματος; 500m/s 45 Μικρό κανόνι μάζας m 2 =200kg φέρει βλήμα μάζας m 1 =1kg και ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Εκτοξεύει το βλήμα οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ 1 =200m/s και το χρονικό διάστημα που χρειάζεται για να φύγει το βλήμα από την κάνη είναι Δt=0,01s. Να υπολογίσετε: α. Την ταχύτητα του κανονιού μετά την εκτόξευση του βλήματος (ταχύτητα ανάκρουσης). β. Τη μέση δύναμη που δέχτηκε το βλήμα από τα αέρια κατά την εκπυρσοκρότηση. α. 1m/s, β Ν 46 ύο σώµατα Α και Β µε µάζες m1=4kg και m2=1kg αντίστοιχα, βρίσκονται στις άκρες συσπειρωµένου ιδανικού ελατηρίου, αµελητέας µάζας, δεµένες µε νήµα, σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κόβουµε το νήµα και τα σώµατα αρχίζουν να κινούνται. Σε µια στιγµή t1 το ελατήριο έχει συσπείρωση 4cm και το σώµα Α έχει ταχύτητα µέτρου υ1=0,5m/s. Αν η σταθερά του ελατηρίου είναι k=100ν/m, να βρεθούν για την στιγµή t1:i)η ταχύτητα του σώµατος Β. ii) Η επιτάχυνση κάθε σώµατος.iii) Η συνολική ενέργεια που έχει προσφέρει το ελατήριο στα σώµατα, µέχρι τη στιγµή t1.. i)2 m/s ii)-1 m/s 2 4 m/s 2 iii) 2.5J 47 Κιβώτιο μάζας m 1 =6kg ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σφαίρα μάζας m 2 =2kg που κινείται πάνω στο ίδιο επίπεδο συγκρούεται με αυτόν με ταχύτητα μέτρου υ 2 =10m/s και ανακλάται σε αντίθετη κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου V 2 =2m/s. Αν το κιβώτιο δέχτηκε από τη σφαίρα μέση δύναμη F=120N, να βρεθούν: α. Η ταχύτητα, V 1 του κιβωτίου μετά την κρούση. β. Η χρονική διάρκεια επαφής της σφαίρας με το κιβώτιο. α. 4m/s, β. Δt=0,2s 48 Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινούνται δύο σώµατα Α και Β µε µάζες m1=1kg και m2=3kg και µε ταχύτητες υ1=4m/s και υ2=1m/s, όπως στο σχήµα. Στο πίσω µέρος του σώµατος Β έχει στερεωθεί ένα ιδανικό ελατήριο µε µήκος 20cm σταθεράς k=1200ν/m. i) Να υπολογιστεί η ορµή του συστήµατος. ii) Το Α σώµα πέφτει στο ελατήριο και αρχίζει να το συσπειρώνει. Στη διάρκεια της συσπείρωσης: α) Η ταχύτητα του σώµατος Α: 1) µειώνεται 2) παραµένει σταθερή 3) αυξάνεται. β) Η ταχύτητα του σώµατος Β: 1) µειώνεται 2) παραµένει σταθερή 3) αυξάνεται. iii) Σε µια στιγµή t1 το ελατήριο έχει το ελάχιστο µήκος του =5cm. Τη στιγµή αυτή: α) Το σώµα Α έχει µεγαλύτερη ταχύτητα από το Β.β) Το σώµα Α έχει µικρότερη ταχύτητα από το Β. γ) Τα δύο σώµατα έχουν ίσες ταχύτητες.iv) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των δύο σωµάτων την παραπάνω χρονική στιγµή. v) Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της ορµής κάθε σώµατος τη στιγµή t1. vi) Μετά από λίγο το σώµα Α εγκαταλείπει το ελατήριο. Μετράµε την ταχύτητα του σώµατος Β και βρί- σκουµε ότι υβ=2,5m/s. Ποια είναι τελικά η ταχύτητα του σώµατος Α;. i)7 kg m/s ii) iii) -180 kg m/s +180 kg m/s iv ) 1,75 m/s v)-0-5 m/s Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 39

42 49 Δύο σφαίρες μάζας m 1 =m και m 2 =5m, συγκρατούνται στα άκρα ενός συσπειρωμένου ελατηρίου με τη βοήθεια ενός νήματος. Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται, οπότε, μετά από την πλήρη αποσυσπείρωση του ελατηρίου, η σφαίρα m 1 αποκτά ταχύτητα μέτρου 10m/s. Να βρείτε την ταχύτητα της άλλης σφαίρας. 5m/s 50 Μια σφαίρα Α, µ άζας 2kg κινείται σε λείο ορι όντιο επίπεδο µ ε ταχύτητα υ1=4m/s και σε µ ια στιγµ ή συ- γκρούεται µ ε µ ια σφαίρα Β µ ε αποτέλεσµ α µ ετά την κρούση να κινείται µ ε ταχύτητα υ2=3m/s σε διεύθυνση κάθετη στην αρχική, όπως στο σχήµ α. i)να βρεθεί η µ εταβολή της ορµ ής της σφαίρας Α. ii)ποια είναι η διεύθυνση της δύναµ ης που δέχτηκε η Α σφαίρα κατά την κρούση, θεωρώ ντας την σταθερή;iii) Σε ποια διεύθυνση θα κινηθεί η Β σφαίρα;. i) εφθ=4/3 10 kg m/s ii) FA iii)fβ=-fα 51 Κανόνι μάζας m 2 =500kg φέρει βλήμα μάζας m 1 =10kg και το σύστημα ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Μεταξύ κανονιού και επιπέδου ο συντελεστής τριβής είναι μ=0,5. α. Με πόση ταχύτητα πρέπει να εκτοξεύσει το βλήμα, ώστε το κανόνι να διανύσει μετά την εκπυρσοκρότηση διάστημα s=3,6m μέχρι να σταματήσει. β. Σε πόσο χρόνο διανύει το διάστημα αυτό; α. 300m/s, β. t=1,2s 52 Ένα βλήµα µάζας m=0,1kg κινείται µε ταχύτητα υ=100m/s και σφηνώνεται σε ακίνητο σώµα Α µάζας Μ=1,9kg. Το συσσωµάτωµα κινείται στο οριζόντιο επίπεδο και σταµατά αφού µετατοπισθεί κατά x=10m. i) Ποια η κοινή ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση; ii) Βρείτε την τριβή που ασκήθηκε στο συσσωµάτωµα. ii) Πόσο χρόνο διαρκεί η κίνηση µετά την κρούση; ίνεται g=10m/s 2.. i)5 m/s ii) 2,5N iii) 4s 53 Κύβος από μαλακό υλικό μάζας m 1 =0,2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υ 1 =10m/s κατά τη θετική φορά του άξονα x Οx. Βλήμα μάζας m 2 =0,1kg κινείται σε αντίθετη κατεύθυνση και συναντά τον κύβο με ταχύτητα υ 2 =10m/s και τον διαπερνάει. Το βλήμα βγαίνει από τον κύβο με ταχύτητα μέτρου V 2 =5m/s χωρίς να αλλάξει κατεύθυνση. α. Πόση είναι η νέα ταχύτητα του κύβου. β. Πόσο είναι το μέτρο μεταβολής της ορμής του βλήματος, του κύβου και του συστήματός τους; α. V 1 =7,5m/s, β. 0,5kgm/s, 0,5kgm/s, 0 54 Ένα σώµα Σ µάζας Μ=2kg ηρεµεί στο κάτω άκρο ενός νήµατος µή κους l=2,5m. Σε µια στιγµή στο σώµα Σ προσπίπτει ένα βλήµα µάζας m1=0,1kg µε ταχύτητα υ1=200m/s, το διαπερνά και εξέρχεται µε ταχύτητα υ2=100m/s.α) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λαθεµένες: i)κατά τη διάρκεια της κρούσης διατηρείται η ορµή του βλήµατος. ii)η ορµή του συστήµατος σώµα Σ-βλήµα, διατηρείται κατά την κρούση. iii) Η Μηχανική ενέργεια διατηρείται κατά την κρούση.v)μετά την κρούση το σώµα Σ κινείται µέχρι να ανέβει σε ύψος h. Κατά τη διάρκεια της κίνησης αυτής η Μηχανική ενέργεια παραµένει σταθερή.β) Ποια ταχύτητα αποκτά το σώµα Σ µετά την κρούση; Γ) Να υπολογίσετε το ύψος h. ίνεται g=10m/s 2.. i)λσλσ ii)5 m/s iii) 1,25 m Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 40

43 55 O ναύτης μάζας m 1 στέκεται στην πρύμνη της βάρκας μάζας m 2 και μήκους d, που ηρεμεί στην ήρεμη επιφάνεια του νερού. Αν ο ναύτης μετατοπιστεί από την πρύμνη στην πλώρη, πόση είναι η αντίστοιχη μετατόπιση της βάρκας ως προς ακίνητο παρατηρητή που κάθεται στην προκυμαία; Οι τριβές μεταξύ νερού και βάρκας να θεωρηθούν αμελητέες. Δx=m 1 d/(m 1 +m 2 ) 56.Σε ένα αµαξίδιο Α έχει προσδεθεί ένα αβαρές ελατήριο και ένα σώµα µάζας Μ=1kg. Συµπιέζουµε το ελατή- ριο µε ένα δεύτερο όµοιο ελατήριο και φέρνουµε τα αµαξίδια σε οριζόντιο επίπεδο έτσι ώστε να ισαπέχουν από δύο εµπόδια Κ και Λ, όπως στο σχήµα. Σε µια στιγµή αφήνουµε ελεύθερα τα αµαξίδια. 1) Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λαθεµένες i)θα κινηθεί το αµαξίδιο Β αλλά όχι το Α που είναι βαρύτερο.ii)μεγαλύτερη ορµή θα αποκτήσει το Β αµαξίδιο.iii) Το ελατήριο θα ασκήσει ίσες κατά µέτρο δυνάµεις στα δύο αµαξίδια. iv) Το αµαξίδιο Β θα φτάσει συντοµότερα στο άκρο Κ από ότι το Α στο Λ.2) Αν το Β αµαξίδιο φτάσει στο άκρο Κ σε χρόνο 1s, ενώ το Α στο άκρο Λ σε χρόνο 2s να υπολογιστεί η µάζα κάθε αµαξιδίου.1)λλσλ 2) 1 kg 57 Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε τον ξύλινο στόχο μάζας Μ=3,8kg που βρίσκεται σε ύψος h=5m πάνω από το οριζόντιο επίπεδο Αx. Βλήμα μάζας m=0,2kg κινείται οριζόντια και σφηνώνεται στο στόχο με ταχύτητα μέτρου υ=100m/s. Το συσσωμάτωμα που σχηματίζεται εκτελεί οριζόντια βολή στο κενό και συναντά το οριζόντιο επίπεδο Αx στο σημείο Σ. Να υπολογιστεί η απόσταση ΑΣ. Δίνεται g=10m/s 2. ΑΣ=5m 5 8 Κιβώτιο μάζας m=10kg ανεβαίνει λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 ο. Τη χρονική στιγμή t o =0 έχει ταχύτητα υ o =5m/s και δέχεται σταθερή δύναμη F=80N στην κατεύθυνση της ταχύτητάς του. α. Πόση είναι η μεταβολή της ορμής του κιβωτίου μετά από 10s; β. Πόση θα είναι η ταχύτητα του κιβωτίου τη χρονική στιγμή t 1 =10s; γ. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του; δ. Πόσο διάστημα έχει διανύσει το κιβώτιο στο χρονικό διάστημα από t o έως t 1 ; α. 300kgm/s, β. 35m/s, γ. 30Ν, δ. Δx=200m 59.Σε ένα τζάµι, ρίχνουµε µια ξεφούσκωτη µπάλα Α µε ταχύτητα υ0. Μετά την κρούση η µπάλα πέφτει κατακόρυφα, χωρίς αρχική ταχύτητα. Στο ίδιο τζάµι ρίχνουµε µια δεύτερη όµοια µπάλα Β, η οποία είναι όµως φουσκωµένη. Μετά την κρούση ηµπάλα επιστρέφει µε ταχύτητα υ1, όπως στο σχήµα.αν το χρονικό διάστηµα που οι µπάλες είναι σε επαφή µε το τζάµι είναι το ίδιο, σε ποια περίπτωση κινδυνεύει να σπάσει το τζάµι; F1/F2=υο/υο+υ1 60. Υποτίθεται ότι ένα παιδί μάζας m=40kg κάνει ελεύθερη πτώση από ύψος h=1,8m πάνω από ακλόνητη επιφάνεια, συγκρούεται με αυτήν και σταματάει. Αν η επιφάνεια είναι από τσιμέντο, ο χρόνος που περνάει από τη στιγμή που τα πέλματά του θα έρθουν σε επαφή με αυτή μέχρι να ακινητοποιηθεί (χρόνος σύγκρουσης) είναι Δt 1 =0,1s. Αν, όμως, η επιφάνεια είναι από αφρολέξ ο αντίστοιχος χρόνος είναι Δt 2 =0,8s. Να υπολογιστεί σε κάθε περίπτωση, η μέση δύναμη που δέχεται το παιδί από την επιφάνεια κατά τη διάρκεια της σύγκρουσης. Δίνεται g=10m/s 2. F 1 =2800Ν, F 2 =700Ν Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 41

44 61.Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεµεί ένα σώµα Α µάζας Μ=2kg. Ένα βλήµα µάζας m=0,1kg που κινείται οριζόντια µε ταχύτητα υ0= 100m/s, συγκρούεται µε το σώµα Α, το διαπερνά σε χρόνο t=0,2s και εξέρχεται µε ταχύτητα υ1=20m/s. i)βρείτε την αρχική ορµή του βλήµατος.ii) Υπολογίστε την ταχύτητα του σώµατος Α µετά την κρούση. iii)ποια η µεταβολή της ορµής του βλήµατος;iv) Βρείτε την µέση δύναµη που δέχτηκε το βλήµα κατά το πέρασµά του µέσα από το σώµα Α.v) Σε µια στιγµή ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σώµατος Αν είναι 50kgm/s 2, ποιος ο αντίστοιχος ρυθµός µεταβολής της ορµής του βλήµατος την ίδια χρονική στιγµή;vi) Αν το σώµα Α παρουσιάζει µε το έδαφος συντελεστή τριβής ολίσθησης µ=0,2, πόση απόσταση θα διανύσει το σώµα Α, µετά την κρούση, µέχρι να σταµατήσει; ίνεται g=10m/s 2. ι)10 kg m/s ιι)4 m/s ιιι)-8 kg m/s iv)-40n v) -50N 62 Βλήμα μάζας m=10kg βάλλεται από σημείο του εδάφους κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα 20m/s. Όταν φτάνει στο μέγιστο ύψος h διασπάται σε δύο τμήματα με μάζες m 1 και m 2. Αμέσως μετά τη διάσπαση τα δύο τμήματα αποκτούν οριζόντιες ταχύτητες ίσου μέτρου υ 1 =υ 2 =20m/s, αντίθετης φοράς. Να υπολογιστούν: α. Οι μάζες των δύο τμημάτων. β. Το ύψος που έγινε η διάσπαση. γ. Η απόσταση μεταξύ των σημείων στα οποία τα δύο τμήματα συνάντησαν το έδαφος. Δίνεται g=10m/s 2. Οι τριβές με τον αέρα να θεωρηθούν αμελητέες. α. m 1 =m 2 =5kg, β. h=20m, γ. 80m 62Ένα ξύλινο κιβώτιο µάζας Μ=950g ηρεµεί σε κεκλιµένο επίπεδο κλίσεως θ=30 σε ύψος h=2,5m από το οριζόντιο επίπεδο. Σε µια στιγµή ένα βλήµα µάζας m=50g το οποίο κινείται παράλληλα µε το κεκλιµένο επίπεδο µε ταχύ- τητα υ0=100m/s σφηνώνεται στο κιβώτιο. Το συσσωµάτωµα µετά από 1s φτά- νει στην βάση του επιπέδου.i) Ποια η κοινή ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση;ii) Να βρεθεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ κιβωτίου και κεκλιµένου επιπέδου. ίνεται g=10m/s 2. i)5 ii) μ= 3 /3 63.Πάνω σε όχηµ α µ ε µ άζα 800kg υπάρχει πυροβόλο που εκτοξεύει βλήµ α μάζας 10kg, οριζόντια,µ ε ταχύτητα 200m/s, προς τα δεξιά. Ποια είναι η ταχύτητα του οχήµ ατος µ ετά την εκτόξευση αν:i)το όχηµ α ήταν ακίνητο και ii) αν είχε ταχύτητα 4m/s αντίθετης κατεύθυνσης από αυτήν του βλήµ ατος.. i) 2,5 m/s ii)6,5 m/s 63Ένα σώµα Α µάζας 2kg κινείται µε ταχύτητα 5m/s, προς τα δεξιά και συγκρούεται µετωπικά και πλαστικά µε σώµα Β. Μετά την κρούση το συσσωµάτωµα κινείται προς τ αριστερά µε ταχύτητα 2m/s. i) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος: α) Το σώµα Β ήταν αρχικά ακίνητο. β) Η µεταβολή της ορµής του Α σώµατος έχει φορά προς τ αριστερά και µέτρο 14 kg m/s. γ) Το σώµα Β δεν άλλαξε κατεύθυνση κίνησης κατά την κρούση. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 42

45 ii) Ποια ήταν η αρχική ταχύτητα του σώµατος Β, αν η µάζα του είναι 5kg;. i) Λ,Σ,Σ ii) -4,8 m/s 64. Σχεδία μήκους λ=3m, μάζας Μ=120kg επιπλέει στην επιφάνεια της θάλασσας. Ο ναυαγός μάζας m=60kg που βρίσκεται στη μια της άκρη, διανύει το μήκος της βάρκας με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ 1 =0,2m/s, ως προς την ακίνητη θάλασσα. Να υπολογιστούν: α. Η μετατόπισή της σχεδίας ως προς την ακίνητη θάλασσα, τη στιγμή που ο ναυαγός φτάνει στην άλλη άκρη. β. Το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να φτάσει στην άλλη άκρη και η ταχύτητα της σχεδίας. α. 1m/s, β.10s, 0,1m/s 65.Ένα σώµα Σ1 µάζας m1=4kg είναι δεµένο στο άκρο νήµατος και αφήνεται να κινηθεί από ύψος h=0,2m, ό- πως στο σχήµα, από τη θέση Α. Μόλις το νήµα γίνεται κατακόρυφο, το Σ1 συγκρούεται µετωπικά µε ένα δεύτερο ακίνητο σώµα Σ2 µάζας m2=1kg. Αν g=10m/s 2 : i) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος Σ1 πριν την κρούση.αν µετά την κρούση το σώµα Σ1 έχει ταχύτητα ίδιας κατεύθυνσης και µέτρου υ1=1,2m/s, να βρεθούν:ii) Το έργο της δύναµης που ασκήθηκε στο Σ2 κατά τη διάρκεια της κρούσης.iii) Η µέση δύναµη που ασκήθηκε στο σώµα Σ1 στη διάρκεια της κρούσης, αν η διάρκειά της είναι t=0,2s.. i)2 m/s ii) 3,2 m/s iii)5,12j iv ) -16N 66. Δύο μπίλιες με μάζες m 1 =0,8kg και m 2 =2kg κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο η μία προς την άλλη με αντίθετες κατευθύνσεις και με ταχύτητες που έχουν μέτρα υ 1 =4m/s και υ 2 =2m/s αντιστοίχως. Οι μπίλιες συγκρούονται και μετά τη σύγκρουση η m 1 συνεχίζει στην αντίθετη κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου, V 1 =1m/s. α. Να βρεθεί η ταχύτητα της μπίλιας m 2 μετά την κρούση. β. Μετά την κρούση η μπίλια m 1 ανεβαίνει σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 0.Πόσο διάστημα διανύει πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο; α. V 2 =0, β. s=0,1m 67.Ένα σώµα µάζας m=2kg εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση µε ταχύτητα υ=10m/s σε κύκλο ακτίνας R.i) Υπολογίστε την ορµή του σώµατος στη θέση Α. ii) Να βρείτε την µεταβολή της ορµής του σώµατος µεταξύ των θέσεων Α και Β, όπου οι ακτίνες ΟΑ και ΟΒ είναι κάθετες. i) 20 kg m/s ii)20 2kg m/s 68. Ξύλινος κύβος μάζας Μ=1,8kg ηρεμεί αρχικά πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα μάζας m=0,2kg κινείται οριζόντια και σφηνώνεται σ αυτόν με ταχύτητα μέτρου υ=20m/s. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα ολισθαίνει στο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει τριβές με συντελεστή τριβής μ=0,2. α. Πόση είναι η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β. Πόσο χρόνο χρειάζεται το συσσωμάτωμα για να σταματήσει και πόσο διάστημα θα έχει διανύσει μέχρι τότε; Δίνεται g=10m/s 2. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 43

46 α. 2m/s, β. 1s, 1m 69.Ένα σώµα Α µάζας 1kg κινείται µε ταχύτητα υ0=10m/s σε λείο οριζόντιο επίπεδο και για t=0 συγκρούεται µε ακίνητο σώµα Β µάζας 4kg. Τη χρονική στιγµή t1= 2s το σώµα Α περνά από ένα σηµείο Κ, το οποίο α- πέχει 12m από το σηµείο Ο της σύγκρουσης κινούµενο προς τ αριστερά. Η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αµελητέα. i) Πόσο απέχουν τα δύο σώµατα τη στιγµή t1;ii) Ποιος ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του Β τη στιγµή αυτή;iii) Αν η διάρκεια της κρούσης ήταν t=0,01s, πόση είναι η µέση δύναµη που ασκήθηκε στο Α σώµα στη διάρκεια της κρούσης;. i)18m ii)0 N iii) -1600N 70. Παγοδρόμος μάζας m 1 =40kg στέκεται στην λεία επιφάνεια πάγου. Μπάλα μάζας m 2 =10kg φτάνει σ αυτόν με ταχύτητα οριζόντιας κατεύθυνσης και μέτρο υ 0 =10m/s. α. Αν για να την μπλοκάρει χρειάζεται χρόνος Δt=0,5s, πόση δύναμη δέχτηκε ο παγοδρόμος από τη μπάλα και πόση η μπάλα από τα χέρια του παγοδρόμου; β. Σε μια ίδια ακριβώς φάση ο παγοδρόμος αποκρούει τη μπάλα με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 2m/s, μέσα σε χρόνο 0,5s και πάλι. Πόση μέση δύναμη δέχεται τώρα ο παγοδρόμος από τη μπάλα και πόση η μπάλα από τα χέρια του παγοδρόμου; α. 160Ν, β. 240Ν 71.Ένα σώµα Α µάζα m1=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο µε ταχύτητα υ1=14m/s και προσπίπτει στο ε- λεύθερο άκρο ενός ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωµένο σε δεύτερο σώµα Β m2=5kg, το οποίο είναι ακίνητο. Σε µια στιγµή µετά από ελάχιστο χρόνο το σώµα Β έχει ταχύτητα υ2 =6m/s και επιτάχυνση α2=4m/s 2. Ζητούνται για τη στιγµή αυτή:i)η ταχύτητα του σώµατος Α καιii) Η επιτάχυνση του Α σώµατος.. i)-1 m/s ii) -28 m/s Ένα παιδί μάζας m 1 =50kg βρίσκεται πάνω σ ένα skateboard, μάζας m 2 =2kg και ισορροπεί πάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Το παιδί τινάζεται απότομα και πηδάει από το skate με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ 1 =1m/s. Η χρονική διάρκεια της αποχώρησης του παιδιού από το skate είναι Δt=0,5s. α. Πόση είναι η ταχύτητα υ 2 που αποκτά το skate αμέσως μετά την αποχώρηση του παιδιού; β. Πόση μέση δύναμη άσκησε το παιδί στο skate κατά την αποχώρηση; α. 25m/s, β. 100Ν 73. ύο σώµατα Α και Β µε µάζες m1=0,3kg και m2=0,5kg αντίστοιχα, είναι δεµένα στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=40ν/m και φυσικού µήκους l0=0,4m. Συγκρατούµε µε το χέρι µας το Α σώµα, ενώ το Β ταλαντώνεται σε κατακόρυφη διεύθυν- ση. Κάποια στιγµή αφήνουµε ελεύθερο και το σώµα Α, οπότε το σύστηµα των σωµάτων πέφτει. i)σε µια στιγµή t1 που το µήκος του ελατηρίου είναι l1=0,6m να βρεθούν: α) Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σώµατος Αβ) Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του Β σώµατος.ii) ιατηρείται η συνολική ορµή του συστήµατος των σωµάτων;να δικαιολογήστε την απάντησή σας. ίνεται g=10m/s 2.. i) 8N 11 kg m/s 74. Βλήμα μάζας m=0,1kg σφηνώνεται με ταχύτητα υ=200m/s σε ξύλινο κύβο μάζας Μ=1,9kg που ηρεμεί αρχικά σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Πόση είναι η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση; Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 44

47 V=10m/s 75.Ένα σώµα µάζας m=1kg ηρεµεί πάνω σε αµαξίδιο µάζας Μ=3kg, συµπιέζοντας ένα ιδανικό ελατήριο κατά =0,2m, µε τη βοήθεια νήµατος, όπως στο σχήµα. Το σώµα Σ δεν είναι δε- µένο στο ελατήριο, ενώ δεν αναπτύσσονται τριβές µεταξύ αµαξιδίου και εδάφους, αλλά ούτε και µεταξύ σώµατος Σ και αµαξιδίου. Σε µια στιγµή κόβουµε το νήµα και το σώµα Σ εγκαταλείπει το ελατήριο έχοντας αποκτήσει ταχύτητα υ1=1,8m/s προς τα δεξιάi) Να εξηγείστε γιατί θα κινηθεί και το αµαξίδιο, βρίσκοντας και την ταχύτητα που αποκτά.ii) Μόλις το σώµα Σ φτάσει στην απέναντι πλευρά του αµαξιδίου, προσκολλάται σε αυτήν. Να βρεθεί η απώλεια της µηχανικής ενέργειας κατά την πρόσκρουση αυτή.iii) Να υπολογιστεί η σταθερά του ελατηρίου.. i)-0,6 m/s ii)2,16j iii) 108N/m 76. υο σώµατα Α και Β µε µάζες m1=2kg και m2=1kg αντίστοιχα, ηρεµούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, έχοντας συµπιέσει ένα ιδανικό ελατήριο κατά =0,2m, µε τη βοήθεια νήµατος. Σε µια στιγµή τραβάµε το Α σώµα ασκώντας του µια σταθερή οριζόντια δύναµη F=6Ν, όπως στο σχήµα, για χρονικό διάστηµα t=2s. i) Να βρεθεί η ορµή που αποκτά το σύστηµα των σωµάτων.μετά από την κατάργηση της δύναµης, κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα που συνδέει τα δυο σώµατα. Παρα- τηρούµε ότι το σώµα Β επιβραδύνεται και τελικά ακινητοποιείται µετά την απελευθέρωση του ελατηρίου. Να βρεθούν:ii) Η τελική ταχύτητα του Α σώµατος. iii) Η σταθερά του ελατηρίου.iv) Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σώµατος Β αµέσως µετά το κόψιµο του νήµατος.. i)12 kg m/s ii)6 m/s iii) 600N/m iv ) -120 kg m/s 77.Ένα παιδί µάζας 50kg είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο, κρατώντας στο χέρι του µια σφαίρα µάζας 1kg. Σε µια στιγµή εκτοξεύει τη σφαίρα οριζόντια µε αρχική ταχύτητα υ0=10m/s, από ύψος h=1,8m.i) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας τη στιγµή που φτάνει στο έδαφος.ii) Πόσο απέχει η σφαίρα από το παιδί, τη στιγµή που αγγίζει το έδαφος;iii) Να υπολογιστεί το έργο της δύναµης F1 που άσκησε το παιδί στην µπάλα κατά την εκτόξευσή της και το έργο της αντίδρασής της F2. ίνεται g=10m/s Μία μπάλα μπάσκετ με μάζα m=0,8kg, κινείται με ταχύτητα υ 1 =15m/s προς το έδαφος κατά τη θετική φορά του άξονα Οy και επιστρέφει στον παίκτη με ταχύτητα μέτρου υ 2 =10m/s. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της ορμής της μπάλας, λόγω κρούσης. Δp= -20kgm/s 79.Ένα σώµα µάζας 2kg ηρεµεί στο άκρο νήµατος µήκους 45cm, όπως στο σχήµα (θέση Α). Εκτρέπουµε το σώµα φέρνοντάς το στη θέση Β, ώστε το νήµα να είναι τεντωµένο και οριζόντιο και το αφήνουµε να κινηθεί. Να βρεθούν η ορµή και ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σώµατος: i) Μόλις αφεθεί να κινηθεί στη θέση Β. ii) Τη στιγµή που το νήµα θα γίνει κατακόρυφο (θέση Α). ίνεται g=10m/s 2. i)20 kg m/s 2 ii) 40 kg m/s 2 80.Μια µικρή σφαίρα µάζας 0,5kg αφήνεται να πέσει ελεύθερα Από σηµείο Α και αφού διανύσει απόσταση Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 45

48 h=3,2m κτυπά σε κεκλιµένο επίπεδο, µε αποτέλεσµα µετά να κινηθεί µε οριζόντια ταχύτητα υ2=6m/s, όπως στο σχήµα. i) Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια και την ορµή της σφαίρας ελάχιστα πριν και ελάχιστα µετά την κρούση.ii) Να υπολογιστούν η µεταβολή της ορµής και της κινητικής ενέργειας της σφαίρας, που οφείλονται στην κρούση.iii) Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της ορµής της σφαίρας ελάχιστα πριν και ελάχιστα µετά την κρούση. εν υπάρχει αντίσταση από τον αέρα, ενώ g=10m/s 2.. i)16j,4 kg m/s,3 kg m/s ii)5 kg m/s,εφθ=4/3,δκ=-7j iii) 5 kg m/s 82.Σε λείο οριζόντιο επίπεδο σύρεται ένα αµαξίδιο µάζας 1kg, µε την επίδραση µιας σταθερής οριζόντιας δύναµης F=12Ν. Πάνω στο αµα ξίδιο, έχει προσδεθεί µε νήµα ένα σώµα Σ, µάζας 0,2kg. Ο συντελε- στής τριβής µεταξύ των δύο σωµάτων είναι µ=0,5. Κάποια στιγµή t0=0, το καροτσάκι έχει ταχύτητα 2m/s. i) Να βρεθεί η ορµή και ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του συστήµατος τη στιγµή αυτή. ii) Αν την παραπάνω χρονική στιγµή, κοπεί το νήµα: α) Να σχεδιάστε τις δυνάµεις που ασκούνται σε κάθε σώµα και να τις διακρίνετε σε εσωτερικές και εξωτερικές για το σύστηµα αµαξίδιο-σώµα Σ. β) Να υπολογιστεί η ορµή και ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του αµαξιδίου 1s, µετά το κόψιµο του νήµατος. Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις για το σώµα Σ;γ) Να βρεθεί η ορµή και ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του συστήµατος τη στιγµή αυτή. ίνεται g=10m/s 2. i) 2,4 kg m/s, 12 kg m/s i)2n,13 kg m/s,11 kg m/s 2, 1,4 kg m/s,1 kg m/s 2 iii) 14,4 kg m/s 12 kg m/s 2 83Μια µπάλα µάζας 0,5kg αφήνεται να πέσει από σηµείο Α, σε ύψος 1,25m και αφού ανα- κλαστεί στο έδαφος, κινείται προς τα πάνω και φτάνει µέχρι ένα σηµείο Β, όπου (ΑΒ)=0,45m. Κατά την κίνηση της µπάλας, η αντίσταση του αέρα θεωρείται αµελητέα, h ενώ g=10m/s 2.i) Να βρείτε την ορµή της µπάλας, ελάχιστα πριν την κρούση της µπάλας µε το έδαφος.ii) Ποια η αντίστοιχη ορµής της, αµέσως µετά την κρούση;iii) Αν η διάρκεια της κρούσης είναι 0,4s, να υπολογίστε τη µέση δύναµη F, που δέχτηκε η µπάλα από το έδαφος, στη διάρκεια της κρούσης.iv) Να υπολογιστεί το έργο της παραπάνω δύναµης F, στη διάρκεια της κρούσης.v) Η παραπάνω δύναµη F είναι ή όχι συντηρητική; Να δικαιολογήστε την απάντησή σας. i)2 kg m/s ii) 4 m/s iii)14n iv )-2.25J 84Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµούν δυο σώµατα Α και Β, µε µάζες Μ=2kg και m=1kg, δεµένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου µε φυσικό µήκος 0=0,5m. Πιάνοντας τα δυο σώµατα συµπιέζουµε το ελατήριο, µέχρι το ελατήριο να αποκτήσει µήκος 1=0,2m και τα αφήνουµε ελεύ- θερα να κινηθούν. Τη στιγµή t1 που το ελατήριο αποκτά µήκος 2=0,6m για πρώτη φορά, το σώµα Α έχει ταχύτητα µέτρου υ1=1m/s. Τη στιγµή αυτή πιάνουµε και ακινητοποιούµε ακαριαία το σώµα Α.i) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος Β τη στιγµή t1. ii) Να υπολογιστεί η σταθερά του ελατηρίου.iii) Ποιο είναι το µέγιστο µήκος που θα αποκτήσει το ελατήριο;iv) Πόση είναι η µέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει το σώµα Β;. i)υ2=υ1=1 m/s ii) 75N/m iii) 0,75m iv ) 2,2 m/s Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 46

49 85Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµεί µια σανίδα µάζας Μ=4kg και πάνω της ένα σώµα Σ µάζας m=1kg. Ο συντελεστής τριβής µεταξύ του σώ µατος Σ και της σανίδας είναι µ=0,2. Σε µια στιγµή t0=0, το σώµα Σ δέχεται ένα κτύπηµα, µε αποτέλεσµα να αποκτήσει ταχύτητα υ0=5m/s και να κινηθεί κατά µήκος της σανίδας, όπως στο σχήµα.i) Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής του σώµατος Σ τη στιγµή t1=1s, καθώς και η ορµή του τη στιγµή αυτή. ii) Ποιος ο αντίστοιχος ρυθµός µεταβολής της ορµής της σανίδας την παραπάνω στιγµή;iii) Να υπολογιστεί η συνολική µηχανική ενέργεια που θα µετατραπεί σε θερµική εξαιτίας της τριβής, µέχρι να πάψει να ολισθαίνει το σώµα Σ πάνω στη σανίδα. ίνεται g=10m/s 2.. i) 3kg ii) 2 kg m/s 2 iii) 10J Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 47

50 ΕΡΓΟ ΑΕΡΙΟΥ μπορούμε ναεκφράσουμε το έργο που παράγει το αέριο Κατά την εκτόνωση (αυξάνει ο όγκος του) ενός αερίου, το έργο του είναι θετικό ( δηλαδή παραγόμενο). Κατά την συμπίεση ενός αερίου, το έργο του είναι αρνητικό ( δηλαδή καταναλισκόμενο). Κατά την ισόχωρη μεταβολή ενός αερίου, το έργο του είναι μηδέν. Το εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης σε διάγραμμα p-v, και του άξονα V είναι αριθμητικά ίσο με το έργο ενός αερίου σε μια αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒ. Δηλαδή : W = Εμβαδόν Το θετικό έργο εκφράζει την μεταφορά ενέργειας από το αέριο στο περιβάλλον. Το αρνητικό έργο εκφράζει την μεταφορά ενέργειας από το περιβάλλον στο αέριο. ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ Θερμότητα είναι η ενέργεια η οποία μεταφέρεται από ένα θερμό σώμα προς ένα ψυχρό, όταν τα σώματα αυτά έλθουν σε επαφή. Η θερμότητα δεν είναι μια νέα ή διαφορετική μορφή ενέργειας, απλά είναι ένα όνομα που δίνεται στην ενέργεια η οποία μεταφέρεται λόγω διαφοράς θερμοκρασίας. Προσοχή!!! Η θερμότητα δεν είναι η ενεργεία που μπορεί να έχει ένα σύστημα. Είναι λάθος να πούμε ότι ένα σύστημα έχει θερμότητα. Η θερμότητα είναι η ενέργεια που μεταφέρεται από ένα θερμό σώμα προς ένα ψυχρό, όταν τα σώματα αυτά έλθουν σε επαφή. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Κάθε σώμα εμπεριέχει ενέργεια, που είναι το άθροισμα τωνενεργειών των σωματιδίων που το απαρτίζουν, ως αποτέλεσμα τηςσχετικής τους κίνησης ως προς το κέντρο μάζας του σώματος και των αλληλεπιδράσεων μεταξύ τους. Αυτή την ενέργεια τηνονομάζουμε εσωτερική ενέργεια. Η εσωτερική ενέργεια U ενός ιδανικού αερίου οφείλεται αποκλειστικά στις κινητικές ενέργειες που έχουν τα μόρια του και είναι ίση με το άθροισμα των ενεργειών αυτών. U = 3 nrt 2 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 48

51 Η εσωτερική ενέργεια ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου εξαρτάται μόνο από την θερμοκρασία του και είναι ανάλογη αυτής. Όταν ένα σύστημα μεταβαίνει από μια κατάσταση Α σε μια κατάσταση Β, η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας ΔU είναι ανεξάρτητη του τρόπου με τον οποίο πήγε το σύστημα από την κατάσταση Α στη Β και εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική του κατάσταση. ΔU = 3 nrδt 2 Ο 1 ΟΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ Πρώτος θερμοδυναμικός νόμος : To ποσό της θερμότητας Q που απορροφά ή αποβάλλει ένα θερμοδυναμικό σύστημα, ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα της μεταβολής της εσωτερικής του ενέργειας ΔU, και του μηχανικού έργου W που παράγει ή καταναλώνει το σύστημα. Q= ΔU + W Ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος ουσιαστικά είναι η αρχή διατήρησης της ενέργειας σε ένα θερμοδυναμικό σύστημα. Τα πρόσημα των Q,ΔU,W. Η θερμότητα Q είναι θετική (Q>0) όταν το σύστημα απορροφά θερμότητα. Η θερμότητα είναι αρνητική (Q<0) όταν το σύστημα αποβάλλει θερμότητα στο περιβάλλον. Η εσωτερική ενέργεια ενός αερίου είναι U =3 nrt/2. Άρα θα ισχύει :ΔU = 3nRΔT/2 Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ενός αερίου είναι θετική (ΔU>0) όταν ΔΤ>0, δηλαδή όταν αυξάνεται η θερμοκρασία του (θέρμανση). Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ενός αερίου είναι αρνητική (ΔU<0) όταν ΔΤ<0, δηλαδή όταν μειώνεται η θερμοκρασία του (ψύξη). Το έργο ενός αερίου είναι ΔW=P ΔV. Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι το έργο είναι θετικό όταν ΔV>0, δηλαδή όταν αυξάνεται ο όγκος του αερίου (εκτόνωση). Το έργο είναι αρνητικό όταν ΔV<0, δηλαδή όταν μειώνεται ο όγκος του αερίου (συμπίεση). ΚΥΚΛΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ Το ολικό έργο σε μια κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή είναι ίσο με το εμβαδόν που περικλείεται Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 49

52 από τη γραμμή που περιγράφει τη μεταβολή, στο διάγραμμα p-v. Το ολικό έργο σε μια κυκλική μεταβολή: α) Είναι θετικό (W>0), όταν η γραφική παράσταση της μεταβολής διαγράφεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. β) Είναι αρνητικό (W<0), όταν η γραφική παράσταση της μεταβολής διαγράφεται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Σε μια κυκλική μεταβολή έχουμε : ΔU = 0 Στην κυκλική μεταβολή, το ποσό θερμότητας Q που απορροφά ή αποδίδει το αέριο είναι ίσο με το έργο που αυτό παράγει ή δαπανά, αντίστοιχα. Δηλαδή : Q ολ = W ολ ΓΡΑΜΜΟΜΟΡΙΑΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΕΣ Η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα C, στο SI, μετριέται σε J/(mol K) και εκφράζει το ποσό θερμότητας που πρέπει να προσφερθεί σε 1 mol του σώματος για να αυξηθεί η θερμοκρασία του κατά ένα βαθμό. Ενώ η ειδική θερμότητα στα υγρά και στα στερεά εξαρτάται μόνο από το υλικό, στα αέρια η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα εξαρτάται και από τον τρόπο με τον οποίο θερμαίνεται το αέριο. Αν συμβολίσουμε με QV το ποσό θερμότητας που απορροφά το αέριο και με CV τη γραμμομοριακή ειδική θερμότητα κατά την ισόχωρη αυτή θέρμανση έχουμε Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ΔU ενός αερίου εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική του κατάσταση (και συγκεκριμένα από την αρχική και την τελική θερμοκρασία), και είναι ανεξάρτητη από την αντιστρεπτή μεταβολή που ακολούθησε το αέριο για να μεταβεί από την αρχική στην τελική του κατάσταση. Η σχέση ΔU=nC V ΔΤ ισχύει για κάθε αντιστρεπτή μεταβολή. Ανσυμβολίσουμε με Qp και Cp τη θερμότητα και τη γραμμομοριακή ειδικήθερμότητα του αερίου στην ισοβαρή θέρμανση, μπορούμε να γράψουμε Υπολογισμός των,c. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 50

53 Υπολογισμός της σταθεράς γ. Η σταθερά γ της αδιαβατικής μεταβολής δίνεται από την σχέση :. 5 R Άρα : γ 2 3 R 2 γ = 5. Η τιμή 3 γ = 5 3 ισχύει για όλα τα ιδανικά μονοατομικά αέρια. Παρατηρούμε ότι η θεωρητική πρόβλεψη για τα CV και Cp με βάση το ιδανικό αέριο, συμφωνεί απόλυτα με τα πειραματικά δεδομένα αν πρόκειται γιαμονοατομικό αέριο, ενώ αποκλίνει αισθητά για τα διατομικά και πολυατομικάαέρια. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ενώ τα μόρια των μονοατομικών αερίωνπροσεγγίζουν το μοντέλο του ιδανικού αερίου τα μόρια που αποτελούνται απόπερισσότερα άτομα εμφανίζουν δομή που δεν γίνεται να αγνοηθεί. Πιο συγκεκριμένα, στο ιδανικό αέριο θεωρήσαμε τα μόρια υλικά σημεία, οπότε η μόνη δυνατότητα κίνησης είναι η μεταφορική κίνηση και υπολογίσαμε την εσωτερική του ενέργεια ως το άθροισμα των μεταφορικών κινητικών ενεργειών των μορίων του. Τα διατομικά μόρια, όπως τα μόρια του Ν2 και του Ο2πρέπει να θεωρηθούν ότι αποτελούνται από δύο σωματίδια συνδεδεμένα μεταξύ τους. Εκτός από τη δυνατότητα που έχει ένα τέτοιο μόριο να κάνει μεταφορική κίνηση, τα σωματίδια που το αποτελούν έχουν τη δυνατότητα να περιστρέφονται γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους και, κάτω από ορισμένες συνθήκες (υψηλή θερμοκρασία), να ταλαντώνονται. Όλες αυτές οι κινήσεις συνεισφέρουν στην εσωτερική ενέργεια. Έτσι, αν θέλαμε να κάνουμε πιο ακριβείς υπολογισμούς όταν υπολογίζουμε την εσωτερική ενέργεια θα πρέπει για τέτοια αέρια (διατομικά τριατομικά) να λάβουμε υπόψη όλες τις κινήσεις. ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ θερμικές μηχανές ονομάζονται οι διατάξεις που μετατρέπουν τη θερμότητα σε μηχανικό έργο. Γενικά μια θερμική μηχανή υποβάλλει το αέριο σε μια κυκλική μεταβολή. Το αέριο της θερμικής μηχανής, κατά τη διάρκεια μιας κυκλικής μεταβολής, απορροφά θερμότητα Q h από μια θερμή δεξαμενή θερμοκρασίας Τ h, μετατρέπει ένα μέρος της σε μηχανικό έργο W και το υπόλοιπο το απορρίπτει ως «άχρηστη» θερμότητα Q C σε μια ψυχρή δεξαμενή θερμοκρασίας Τ C <Τ h Συντελεστής απόδοσης (e) οποιασδήποτε μηχανής είναι ο λόγος του ωφέλιμου έργου που μας δίνει η μηχανή προς την ενέργεια που δαπανούμε για να λειτουργήσει αυτή. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 51

54 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 52

55 Ο 2 ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ Είναι αδύνατο να κατασκευαστεί θερμική μηχανή που να μετατρέπει εξ ολοκλήρου τη θερμότητα σε ωφέλιμο έργο. Είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μηχανή που να μεταφέρει θερμότητα από ένα ψυχρό σώμα σ' ένα θερμότερο χωρίς να δαπανάται ενέργεια για τη λειτουργία της. Η ΜΗΧΑΝΗ ΤΟΥ CARNOT 1.Κατά τη μεταβολή Α Β, το αέριο βρίσκεται σε επαφή με τη θερμή δεξαμενή και εκτονώνεται ισόθερμα σε θερμοκρασία Th,απορροφώντας θερμότητα Qh. 2. Κατά τη μεταβολή Β Γ, το αέριο είναι θερμικά μονωμένο και εκτονώνεται αδιαβατικά μέχρι η θερμοκρασία του να πάρει τηντιμή Τc. 3. Κατά τη μεταβολή Γ Δ, το αέριο βρίσκεται σε επαφή με τη δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας Τc και συμπιέζεται ισόθερμα σε θερμοκρασία Τc, αποβάλλοντας θερμότητα Qc. 4. Κατά τη μεταβολή Δ Α, το αέριο είναι θερμικά μονωμένο και συμπιέζεται αδιαβατικά ώστε να επανέλθει στην αρχική του κατάσταση. Θεώρημα Carnot : Δεν μπορεί να υπάρξει θερμική μηχανή η οποία να έχει μεγαλύτερη απόδοση από μια μηχανή Carnot που λειτουργεί ανάμεσα στις ίδιες θερμοκρασίες. Q c T = c = Q h T h Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 53

56 " ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΑΕΡΙΩΝ" 1 ΝΟΜΟΙ TΩN AEPΙΩN Γ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ 1. Για τις καμπύλες 1 και 2 του διπλανού διαγράμματος να δείξετε ότι: α. Για συγκεκριμένη ποσότητα αερίου είναι Τι> Τ 2 β. Αν αναφέρονται στην ίδια θερμοκρασία τότε: η1> n 2 γ. Αν αναφέρονται στην ίδια θερμοκρασία και για την ίδια μάζα δύο διαφορετικών αερίων τότε για τις γραμμομοριακές τους μάζες θα ισχύει: Μι< Μ 2 δ. Αν αναφέρονται στην ίδια θερμοκρασία και σε διαφορετικές ποσότητες, του ίδιου αερίου τότε: m1> m2 2. Για τις ισόχωρες μεταβολές 1 και 2 του διπλανού σχήματος να αποδείξετε ότι: α. Αν έχουμε την ίδια ποσότητα ενός αερίου τότε: V1>V 2. β. Αν αναφέρονται στον ίδιο όγκο τότε n1<n 2. γ. Αν αναφέρονται στον ίδιο όγκο ενός αερίου τότε: m1<m2. δ. Αν αναφέρονται στον ίδιο όγκο και για την ίδια μάζα δύο αερίων τότε για τις γραμμομοριακές τους μάζες θα ισχύει: Μι>M Για τις ισόβαρης μεταβολές 1 και 2 του διπλανού σχήματος να αποδείξετε ότι: α. Αν έχουμε την ίδια ποσότητα ενός αερίου τότε: Ρι>Ρ 2. β. Αν αναφέρονται στην ίδια πίεση τότε: η1<η 2. y. Αν αναφέρονται στην ίδια πίεση ενός αερίου τότε: m1 <m2. δ. Αν αναφέρονται στην ίδια πίεση και για την ίδια μάζα δύο αερίων τότε: Μι >Μ2. 4 Πως παριστάνεται η καταστατική εξίσωση ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου σε άξονεςp.v-t; Πως μπορεί να προσδιοριστεί ο αριθμός των mole του αερίου από την παραπάνω γραφική παράσταση; 5.ΤΟ διάγραμμα pv-t του σχήματος δίνεται η γραφική παράσταση του γινομένου της πίεσης ρ επί τον όγκο V σε συνάρτηση με την απόλυτη θερμοκρασία Τ για δύο ιδανικά αέρια Α και Β, που έχουν ίσες μάζες. Ποιο από τα δύο αέρια έχει μεγαλύτερη γραμμομοριακή μάζα; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας Δ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 54

57 6. Όταν ο όγκος ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου διπλασιάζεται ισόθερμα, τότε η πίεση του α. διπλασιάζεται. β. υποδιπλασιάζεται. γ. παραμένει αμετάβλητη. δ. τετραπλασιάζεται. 7. Όταν ο όγκος ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου διπλασιάζεται υπό σταθερή πίεση, τότε η θερμοκρασία του αερίου α. παραμένει αμετάβλητη. β. υποδιπλασιάζεται. γ. διπλασιάζεται δ. τετραπλασιάζεται. 8. Ο νόμος του Gay-Lussac, που ισχύει για μια ισοβαρή μεταβολή, αποδίδεται με τη σχέση: α. Ρ/Τ= σταθερό β. V/T= σταθερό γ. P.V= σταθερό δ. P/V= σταθερό 9. Όταν ο όγκος ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου παραμένει σταθερός τότε τετραπλασιασμός της πίεσης σημαίνει ότι n θερμοκρασία του: α. παραμένει αμετάβλητη, β. υποδιπλασιάζεται. γ. τετραπλασιάζεται. δ. μειώνεται 16. Δύο ποσότητες ιδανικών αερίων με αριθμό γραμμομορίων ηι και η 2 εκτελούν ισόχωρη μεταβολή στον ίδιο όγκο. Αν είναι n1>n2 το διάγραμμα που παριστάνει τις μεταβολές είναι: 10. Όταν η πίεση ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου διπλασιάζεται υπό σταθερό όγκο, τότε η πυκνότητα του αερίου α. παραμένει αμετάβλητη. β. διπλασιάζεται γ. μεταβάλλεται. δ. τετραπλασιάζεται Ο όγκος ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου διπλασιάζεται υπό σταθερή πίεση και στη συνέχεια ο όγκος μειώνεται υπό σταθερή θερμοκρασία στην αρχική του τιμή. Η τελική πίεση του αερίου είναι α. ίση με την αρχική β. διπλάσια της αρχικής,γ. η μισή της αρχικής.δ. τετραπλάσια της αρχικής. 12. Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται υπό πίεση ρ.αν τριπλασιαστούν ταυτόχρονα ο όγκος και η απόλυτη θερμοκρασία του αερίου, τότε η τελική του πίεση είναι: α. ρ β. 3ρ γ. 6ρ δ. 9ρ 13. Σε δοχείο σταθερού όγκου περιέχεται αέριο. Για να διπλασιαστεί η πίεση και ταυτόχρονα να τετραπλασιαστεί η απόλυτη θερμοκρασία του, πρέπει με κάποιο τρόπο η μάζα του αερίου α. να παραμείνει ίδια. β. να υποδιπλασιαστεί. γ. να διπλασιαστεί. δ. να τετραπλασιαστεί. 14. Σε δοχείο που φράσσεται με έμβολο περιέχεται ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου. Υποδιπλασιάζουμε τον όγκο του αερίου, ενώ ταυτόχρονα με θέρμανση διπλασιάζουμε την Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 55

58 απόλυτη θερμοκρασία του. Η πίεση του αερίου α. παρέμεινε αμετάβλητη. β. διπλασιάστηκε γ. υποδιπλασιάστηκε. δ, τετραπλασιάστηκε 15.ΣΤΟ διάγραμμα ρ - Τ του διπλανού σχήματος δίνονται οι μεταβολές ΑΒ και ΓΔ ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου. Οι ίδιες μεταβολές σε άξονες ρ - V παριστάνονται με το διάγραμμα 16. Η μεταβολή ΑΒΓΔΑ ενός ιδανικού αερίου που παριστάνεται στο διάγραμμα V-T του διπλανούσχήματος, σε άξονες p-v παριστάνεται με το διάγραμμα: 17...Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι λανθασμένη; α. Διπλασιάζοντας τον όγκο ενός ιδανικού αερίου, υπό σταθερή πίεση, διπλασιάζεται και η απόλυτη θερμοκρασία του. β. Διπλασιάζοντας τον όγκο ενός ιδανικού αερίου, υπό σταθερή θερμοκρασία, διπλασιάζεται και η πίεση του. γ. Διπλασιάζοντας την πίεση ενός ιδανικού αερίου, υπό σταθερό όγκο, διπλασιάζεται και η απόλυτη θερμοκρασία του. δ. Διπλασιάζοντας το γινόμενο pv μιας ποσότητας ιδανικού αερίου, διπλασιάζεται και η απόλυτη θερμοκρασία του 18. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα δεν αποδίδει την ισόχωρη αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒ ορισμένης μάζας ιδανικού αερίου; Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 56

59 19. Η αντιστρεπτή μεταβολή ορισμένης ποσότητας ενός ιδανικού αερίου που περιγράφεται από το διάγραμμα PV-t (πίεση επί όγκος -χρόνος) του σχήματος είναι: α. ισόχωρη β. ισοβαρής γ. ισόθερμη δ. καμιά από αυτές. 20. Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου υφίσταται την αντιστρεπτή μεταβολή Α->Β->Γ που απεικονίζεται στο διάγραμμα P-V (πίεσης -όγκου ) του σχήματος. Αν η μεταβολή ΑΒ είναι ισόθερμη και η μεταβολή ΒΓ είναι ισόχωρη, ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα αποδίδει την ίδια μεταβολή; Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 57

60 Ε. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ "ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ" 21. Μία ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου υφίσταται μεταβολή κατά την οποία είναι δυνατόν να: α. αυξάνεται η πίεση, ενώ ο όγκος και η θερμοκρασία του αερίου να παραμένουν σταθερά. β. παραμένει σταθερή η πίεση, ενώ ο όγκος και η θερμοκρασία να αυξάνονται. γ. παραμένει σταθερός ο όγκος, ενώ η πίεση θα ελαττώνεται με ταυτόχρονη αύξηση της θερμοκρασίας δ. να αυξάνεται η πίεση καθώς και ο όγκος, ενώ η θερμοκρασία να παραμένει σταθερή. 22 Όταν δεδομένη ποσότητα ιδανικού αερίου α. αυξήσει τον όγκο ισόθερμα, τότε η πίεση της μειώνεται. β. μειώσει τον όγκο της, πρέπει υποχρεωτικά να μεταβληθεί η θερμοκρασία της. γ. ψυχθεί ισόχωρα, τότε μειώνεται η πίεση της. δ. ελαττώσει τη θερμοκρασία της με σταθερή πίεση, τότε αυξάνεται ο όγκος της 3 1. Μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων παριστάνει: α. σε διάγραμμα V-T μια ισοβαρή μεταβολή β. σε διάγραμμα Ρ-Τ μια ισόθερμη μεταβολή γ. σε διάγραμμα V-T μια ισόθερμη μεταβολή δ. σε διάγραμμα Ρ-Τ μια ισόχωρη μεταβολή 23. Η κλίση της ευθείας που αποδίδει μια ισοβαρή αύξηση του όγκου ενός ιδανικού αερίου σε διάγραμμα V-T αυξάνεται όταν αναφέρεται σε μεγαλύτερο αριθμό mol του αερίου. 24. Η καταστατική εξίσωση ισχύει για οποιαδήποτε περιοχή τιμών πίεσης και θερμοκρασίας του αερίου. 25,. Όταν ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου υφίσταται μια μεταβολή, τότε α. το γινόμενο της πίεσης επί τον όγκο παραμένει σταθερό β. το πηλίκο της πίεσης προς την πυκνότητα είναι ανάλογο προς την απόλυτη θερμοκρασία. γ. το πηλίκο της πίεσης προς την απόλυτη θερμοκρασία παραμένει σταθερό, δ. το πηλίκο του όγκου προς την απόλυτη θερμοκρασία είναι ανάλογο της πίεσης. ζ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 26. Ποσότητα καθαρού αερίου στους 27 C και πίεση 0,380Atm καταλαμβάνει όγκο 492cm 3. α) Να μετατραπούν, στο διεθνές σύστημα, η Θερμοκρασια η πίεση και ο όγκος του αερίου, β) Να υπολογίσετε τον αριθμό των μορίων του αερίου γ) Αν η πυκνότητα του αερίου είναι p=l,2kg/m 3 να βρεθεί η μάζα του. Δίνονται: latm=10 5 Pa, Ν Λ=6, μόρια/ηιοι και R=8,314 J/mol.K [α.τ=300κ,ρ-=0, Ρα, V= m 3, β. N=4,5L10 21, γ. m=590, kg ] 27. Ο όγκος ορισμένης μάζας ενός ιδανικού αερίου, σε ορισμένη πίεση είναι 27 L. α) Πόσο όγκο θα έχει το αέριο στην ίδια θερμοκρασία αν η πίεση του τριπλασιαστεί; β) Πόσο όγκο θα έχει το αέριο στην ίδια πίεση αν η θερμοκρασία του τριπλασιαστεί; γ) Πόσο όγκο θα έχει το αέριο αν τριπλασιάσουμε Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 58

61 ταυτόχρονα και την πίεση και την θερμοκρασία του; [a. V=9L, β V=81L, γ. V=27L 28. Η θερμοκρασία ορισμένης μάζας ενός ιδανικού αερίου σε ορισμένη πίεση είναι θ=27 C α) Να υπολογίσετε την νέα θερμοκρασία αν με σταθερή πίεση διπλασιάσουμε τον όγκο του. β) Να υπολογίσετε την νέα θερμοκρασία αν με σταθερό τον όγκο υποτριπλασιασουμε την πίεση. γ) Να υπολογίσετε την νέα θερμοκρασία αν με σταθερό τον όγκο και την πίεση τριπλασιάσουμε την μάζα του αερίου. /α. Τ=600Κ, β. Τ=100Κ, γ. Τ=100Κ] 29. Πόση πίεση πρέπει να ασκηθεί σε lit αερίου που μετρήθηκε σε πίεση latm και θερμοκρασία -27 C, ώστε σε θερμοκρασία 177 C να καταλαμβάνει όγκο 0,5Ιτ; 30. Η πυκνότητα ενός αερίου σε θερμοκρασία 27 C και πίεση 1Ο 5 N/m 2 είναι l,2gr/lt. Σε ποια θερμοκρασία η πυκνότητα θα γίνει 0,8gr/lt, αν η πίεση μείνει σταθερή; [Ρ=3Αtm] [θ 2=177C ] 31 Ένα αέριο κατέχει όγκο 1 It υπό πίεση 10-4 N/m 2 και σε θερμοκρασία Τ=3ΟΟΚ. Αν η σταθερή Boltzmarm είναι k=l,38.1o -23 J/K, να βρεθεί ο αριθμός των μορίων του. [Ν= 2, μόρια ] 32. Να βρεθεί η πυκνότητα του υδρογόνου για πίεση 2Atm και θερμοκρασία Τ=400Κ. Το μοριακό ίκαρος του υδρογόνου ισούται με 2. Δίνεται: 1αtm=1, Pa, και R=8,314 J/mol.K [ρ= 0,122 gr/lt Ι 33. Κύλινδρος περιέχει ιδανικό αέριο σε πίεση P1= N/m 2 και θερμοκρασία T1=400K.Tov κύλινδρο τον τοποθετούμε σε χώρο χαμηλής θερμοκρασίας και μετά από μεγάλο χρονικό διάστημα η πίεση του αερίου γίνεται P 2= N/m 2 και η θερμοκρασία αυτού Τ 2=25ΟΚ. Βρείτε το ποσοστο της μάζας που διερευσε από τον κύλινδρο. ( 20%) ΝΟΜΟΙ ΑΕΡΙΩΝ 34 Ο όγκος ορισμένης μάζας ενός αερίου, σε ορισμένη πίεση είναι 27 Lt. Πόσο όγκο θα καταλαμβάνει το αέριο αν η πίεση του τριπλασιαστεί με σταθερή την θερμοκρασία του; (V 2=9lt) 35. Ορισμένη μάζα ενός αερίου σε θερμοκρασία 27 C και πίεση 1lAtm, κατέχει όγκο 10,7 Lt. Πόση πρέπει να γίνει η θερμοκρασία του, ώστε το αέριο να καταλαμβάνει όγκο 29,2 Lt; Η πίεση του αερίου κατά την διάρκεια της μεταβολής διατηρείται σταθερή. [Τ 2=818,7Κ] 36. Μια τυπική τιμή για την πίεση του αέρα στο λάστιχο του αυτοκινήτου είναι 25Αtm».Ύστερα από ένα ταξίδι μετράμε την πίεση του και βρίσκουμε 30Atm. Αν θεωρήσουμε τον όγκο του λάστιχου σταθερό, να βρείτε: α) Την τελική θερμοκρασία του αέρα στα λάστιχα αν η αρχική είναι 300 Κ. β) Πού οφείλεται η αύξηση της πίεσης; [Τ 2=360Κ] Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 59

62 37. Σε δύο δοχεία Α και Β ίσου όγκου περιέχονται ΝΑ=Ν και NΒ=2N μόρια του ίδιου ιδανικού αερίου. Τα δύο δοχεία έχουν την ίδια θερμοκρασία. Οι δύο ποσότητες του αερίου εκτονώνονται ισόθερμα μέχρι διπλασιασμού του όγκου τους. α) Να βρεθεί η σχέση των τελικών πιέσεων των δύο αερίων. β) Να παρασταθούν οι δύο ισόθερμες μεταβολές στο ίδιο διάγραμμα P-V και να σημειωθούν οι αρχικές και τελικές τιμές των πιέσεων. 38. Το δοχείο του διπλανού σχήματος κλείνεται με έμβολο αμελητέου βάρους το οποίο μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές. Η θερμοκρασία του αερίου είναι 127 C και ο όγκος του 100L Αν υποδιπλασιάσουμε την θερμοκρασία να βρείτε: α) Το είδος της μεταβολής που θα εκτελέσει το αέριο. β) Την αρχική και την τελική πίεση του αερίου αν η ατμοσφαιρική πίεση είναι 1Ο 5 Ρα. γ) Τον τελικό όγκο που καταλαμβάνει το αέριο. δ) Να σχεδιάσετε την -παραπάνω μεταβολή σε βαθμολογημένους άξονες P-V, P-T, V-T. [α. ισοβαρή μεταβολή, β. Ρ Α=Ρ Β=10 5 Ρα, γ. V B=50L] ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ 39. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου καταλαμβάνει όγκο V Α σε θερμοκρασία Τ Α και πίεση ΡΑ- ΤΟ αέριο υφίσταται την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ, η οποία αποτελείται από τις ακόλουθες διαδοχικές μεταβολές: ισόχωρη Θέρμανση ΑΒ, ισοβαρής εκτόνωση ΒΓ, ισόθερμη εκτόνωση ΓΔ και ισοβαρής συμπίεση ΔΑ. α) Να γράψετε τους νόμους που ισχύουν σε κάθε μεταβολή, και να σχεδιάσετε ποιοτικά την κυκλική μεταβολή σε διαγράμματα P-V, P-T και V-T. β) Να αποδείξετε τη σχέση PA V Δ=PB V Γ 40. Μια ποσότητα n=2/r mol ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α με πίεση Ρ Α=2 1Ο 5 Ν/M 2 και όγκο V A = m 3. To αέριο εκτελεί την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΑ όπου: ΑΒ: ισόχωρη ψύξη, ΒΓ: ισοβαρής εκτόνωση μέχρις όγκου W = 8 1Ο -3 m 3 και ΓΑ: ισόθερμη συμπίεση α) Να βρείτε την θερμοκρασία Τ A β) Να βρείτε την πίεση, τον όγκο και τη θερμοκρασία του αερίου στην κατάσταση Β. γ) Να απεικονίσετε τη μεταβολή σε βαθμολογημένους άξονες P-V, V-T και Ρ-Τ. [α. Τ Α=400Κ, β. P B=10 5 Ρα,V B=4. 1Ο -3 m 3, T B=200K] 50. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου που βρίσκεται σε πίεση Ρ Α = N/m 2, θερμοκρασία Τ Α = 200 Κ και όγκο V A - 21Ο -3 m 3, υφίσταται τις ακόλουθες διαδοχικές μεταβολές: ΑΒ: ισοβαρής εκτόνωση μέχρι ο όγκος του να γίνει V B = 4 1Ο -3 m 3. ΒΓ: ισόθερμη εκτόνωση μέχρι ο όγκος του να γίνει Vr = 81Ο -3 m 3. ΓΔ: ισόχωρη ψύξη μέχρι η πίεση του να γίνει ΡΔ = 1Ο 5 N/m 2. ΔΕ: ισόθερμη συμπίεση μέχρι ο όγκος του να γίνει V Ε= m 3. α) Να υπολογίσετε τις θερμοκρασίες στις καταστάσεις Β και Δ του αερίου. β) Να αποδείξετε ότι η κατάσταση Ε συμπίπτει με την Α. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 60

63 γ) Να απεικονίσετε τις μεταβολές του αερίου σε βαθμολογημένους άξονες Ρ-V, V-T και Ρ-Τ. [α. Τ Β=400Κ, Τ A=200Κ] 60. Ποσότητα ιδανικού αερίου καταλαμβάνει όγκο V A=10-3 m 3 σε θερμοκρασία Τ Λ=300Κ και πίεση P= N/m 2. Θερμαίνουμε το αέριο με σταθερή πίεση, μέχρι ο όγκος του να γίνει V Β= m 3 και στην συνέχεια το ψύχουμε με σταθερό όγκο μέχρι P r= N/m 2. Από την κατάσταση αυτή το συμπιέζουμε ισόθερμα μέχρι η πίεση του να γίνει ίση με την αρχική. α) Να γράψετε τους νόμους που ισχύουν για τις παραπάνω μεταβολές β) Να βρείτε τις θερμοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις Β και Γ. γ) Να κάνετε τα διαγράμματα P-V, V-T, Ρ-Τ σε βαθμολογημένους άξονες. [β Τ Β=600Κ, Τ Γ=300Κ] 61. Ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α, με πίεση P 0= N/m 2, όγκο Vo=1L και θερμοκρασία Τ 0=300Κ και εκτελεί την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ όπου ΑΒ: ισοβαρής εκτόνωση μέχρι όγκου VB=2Vo ΒΓ: ισόθερμη εκτόνωση μέχρι Ρ Γ=Ρο/2 ΓΔ: ισοβαρής συμπίεση και ΔΑ: ισόχωρη θερμανση α) Βρείτε τα Ρ β, V Γ, ΡΔ β) Σχεδιάστε τα διαγράμματα P-V, V-T, Ρ-Τ σε βαθμολογημένους άξονες. [Ρ Β= Ρα, V r= m 3, P=2, Pa ] 62. Ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α όπου P A= N/m 2, VA=2L, Τ Α=200Κ. Το αέριο εκτελεί την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ που αποτελείται από: ΑΒ: ισοβαρής εκτόνωση μέχρι Τ Β=600Κ ΒΓ: ισόθερμη εκτόνωση μέχρι P r= N/m 2 ΓΔ: ισοβαρής συμπίεση μέχρι ΤΛ=200Κ ΔΑ: ισόθερμη συμπίεση α) Να βρείτε την πίεση, τον όγκο και την θερμοκρασία του αερίου σε όλες τις καταστάσεις. β) Να κάνετε τα διαγράμματα P-V, V-T, Ρ-Τ σε βαθμολογημένους άξονες. [P B= Pa,V B= m 3, T Γ=600K, V Γ=24.10' 3 m 3,Ρ Δ= Ρα,ν Α= m 3 ] 63. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α(Ρ 0, V o, T o) και εκτελεί την μεταβολή ΑΒΓΔΕ, όπου: ΑΒ: ισόχωρη ψύξη μέχρι Τ β=τ 0/2 ΒΓ: ισοβαρής εκτόνωση μέχρι την Τ Γ=Τ 0 ΓΔ: ισόχωρη θέρμανση μέχρι Τ Δ=3Τ 0/2 ΔΕ: ισοβαρής συμπίεση μέχρι Τ Ε=Τ 0 α) Να βρείτε την πίεση και τον όγκο του αερίου σε κάθε κατάσταση σε συνάρτηση με τα Ρο, Vo. β) Σχεδιάστε ποιοτικά τα διαγράμματα P-V, V-T, Ρ-Τ. [ΡΒ=ΡΓ=ΡΟ/2, VB=V 0, Ρ Β=ΡΓ=ΡΟ/2, VΓ=V Δ=2Vo, Ρ Δ=Ρ Ε=3Ρο/4, V E=4Vo/3 ] 64. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α όπου ΡΑ= ΡΟ / ΤΑ=500Κ, VA=lm 3. To αέριο εκτελεί τις εξής μεταβολές ΑΒ: ισόθερμη εκτόνωση μέχρι VB=4m 3 ΒΓ: ισοβαρής συμπίεση μέχρι VΓ=2m 3 ΓΔ: ισόθερμη συμπίεση μέχρι VΔ=lm 3 ΔΑ: ισόχωρη θέρμανση α) Βρείτε την πίεση και τη θερμοκρασία του αερίου σε κάθε κατάσταση. β) Να κάνετε τα διαγράμματα P-V, V-T, Ρ-Τ σε βαθμολογημένους άξονες. [P B=PΓ=10 5 Pa, Τ Β=500Κ, Τ Γ=Τ Δ=250Κ, Ρ Δ= Ρα ] 65. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α όπου Ρ Α=81Ο 5 Ρα, Τ Α=600Κ και VΑ=2L. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 61

64 Το αέριο εκτελεί τις εξής διαδοχικές μεταβολές: ΑΒ: ισόθερμη εκτόνωση μέχρι VΒ=8L ΒΓ: ισόχωρη ψύξη μέχρι Τ Γ=3ΟΟΚ ΓΔ: ισόθερμη συμπίεση μέχρι VA=2L ΔΑ: ισόχωρη θέρμανση α) Βρείτε την πίεση και τον όγκο του αερίου σε κάθε κατάσταση. β) Να κάνετε τα διαγράμματα P-V, V-T, Ρ-Τ σε βαθμολογημένους άξονες. [ ΡΒ= Ρα, Τ Β=600Κ, Ρ Γ= Ρα, Vr= m 3, Ρ Δ= Ρα,Τ Δ=300Κ] 66. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α όπου Ρ Λ= Ρα, Τ Λ=300Κ,VA=2L TO αέριο εκτελεί τις εξής μεταβολές ΑΒ: ισοβαρής εκτόνωση μέχρι VΒ=6L ΒΓ: ισόχωρη ψύξη μέχρι P Γ= N/m 2 ΓΔ: ισοβαρής ψύξη μέχρι VΔ=2L ΔΑ: ισόχωρη θέρμανση α) Βρείτε την πίεση και τον όγκο του αερίου σε κάθε κατάσταση. β) Να κάνετε τα διαγράμματα P-V, V-T, Ρ-Τ σε βαθμολογημένους άξονες. [ Ρ Β= Ρα, Τ Β=900Κ, V r= m 3, Τ Γ=450Κ, Ρ Δ= Ρα, Τ Δ=150Κ] 67. Μια ποσότητα n=2/r mol με Ρ Α= 4 1Ο 5 N/m 2 και VΑ = m 3, ιδανικού αερίου εκτελεί μια κυκλική μεταβολή ΑΒΓΑ όπου ΑΒ: ισοβαρής θέρμανση με V B= m 3 m 3 ΒΓ: ισόχωρη συμπίεση με Τ Γ=400Κ και ΓΑ: ισόθερμη συμπίεση. α) Να βρείτε την πίεση Ρβ, τον όγκο W και τη θερμοκρασία Τ Β. β) Να απεικονίσετε τη μεταβολή σε διαγράμματα P-V, V-T και Ρ-Τ με βαθμολογημένους άξονες. [P B= Ρα, V B=VΓ= m 3, Τ Β=800Κ, Ρ Γ= Ρα] 68. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου ξεκινάει από την κατάσταση ισορροπίας Α με πίεση P A= N/m 2, όγκο V A= 2m 3, θερμοκρασία Τ Α =2ΟΟΚ και εκτελεί την εξής κυκλική μεταβολή: ΑΒ: Ισόχωρη θερμανση μέχρι τη θερμοκρασία Τ Β=3ΟΟΚ ΒΓ: Ισόθερμη εκτόνωση ΓΑ: Ισοβαρή ψύξη α) Να υπολογίσετε την πίεση τον όγκο και τη θερμοκρασία για κάθε κατάσταση β) Να παραστήσετε την κυκλική μεταβολή σε βαθμολογημένους άξονες P-V, Ρ-Τ, V-T. [ Ρβ=6.1Ο 5 Ρα,V B=2m 3, P Γ= Ρα,V Γ=3m 3, T Γ=300K] 69.. Ποσότητα ίση με n=2/r mol ιδανικού αερίου εκτελεί τις εξής διαδοχικές αντιστρεπτές μεταβολές. ΐ. θερμαίνεται ισόχωρα από την κατάσταση Α, όπου η πίεση του αερίου είναι Ρ Α= Ρα και η θερμοκρασία του είναι Τ Α=250 Κ, μέχρι την κατάσταση Β, όπου η πίεση του είναι Ρ Β =2Ρ Α. Ν. Εκτονώνεται ισόθερμα μέχρι την κατάσταση Γ, στην οποία ο όγκος του είναι V Γ=2VB α) Να υπολογίσετε την πίεση τον όγκο και τη θερμοκρασία για κάθε κατάσταση, β) Να παραστήσετε τις μεταβολές σε βαθμολογημένους άξονες P-V, Ρ-Τ, V-T. [ VA= V B=2,510-3 m 3,Ρ Β= Ρα Τ Β= T Γ=500K, Ρ Γ= Ρα, V Γ= m 3 ] ΔΟΧΕΙΑ ΜΕ ΕΜΒΟΛΑ ΚΑΙ ΣΩΛΗΝΑΚΙ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 62

65 70 Ένα οριζόντιο κλειστό κυλινδρικό δοχείο, εσωτερικής διατομής S=1Οο m 2,περιέχει ιδανικό αέριο θερμοκρασίας Τ=300Κ. Στο μέσο του δοχείου βρίσκεται έμβολο που χωρίζει τον κύλινδρο σε δύο ίσα διαμερίσματα Α και Β όγκου V=70cm 3 το καθένα. Θερμαίνουμε το ένα διαμέρισμα σε θερμοκρασία Τι=400Κ, ενώ διατηρούμε σταθερή τη θερμοκρασια του άλλου διαμερίσματος. α) Να βρείτε τη σχέση μεταξύ του αριθμού των μορίων του αερίου Ν Α και ΝΒ στα δύο διαμερίσματα. β) Να βρεθεί ο λόγος των τελικών όγκων VA/VB για τα δύο μέρη του δοχείου, γ) Να βρεθεί κατά πόσο θα μετακινηθεί το έμβολο. Δίνεται ότι τι έμβολο είναι από θερμομονωτικό υλικό και ότι η διαστολή του όγκου είναι αμελητέα. [α. Ν Α=Ν Β, β. V A/V B=4/3, γ. Δl= 1cm] Δύο δοχεία ίσου όγκου συνδέονται με σωλήνα αμελητέου όγκου και περιέχουν ιδανικό αέριο θερμοκρασίας θ1=27 C. Θερμαίνουμε το ένα δοχείο σε θερμοκρασία Θ2=127 C. Σε ποια θερμοκρασία πρέπει να ψυχθεί το άλλο δοχείο, ώστε η πίεση στο σύστημα να παραμένει αμετάβλητη; Η διαστολή των δοχείων θεωρείται αμελητέα. [240Κ] Οριζόντιο κυλινδρικό δοχείο, σταθερής διατομής, κλείνεται με δύο έμβολα Ει και Ε2 που εχουν απόσταση α=14 cm.ta έμβολα είναι από θερμομονωτικό υλικό και μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές. Μεταξύ του κλειστού άκρου του δοχείου και του εμβόλου Ει περιέχεται αέρας όγκου V1 και μεταξύ των δύο εμβόλων αέρας όγκου V 2 της ίδιας θερμοκρασίας θ=27 C.Θερμαίνουμε τον αέρα όγκου V1 σε θερμοκρασία θ1=77 C,ενώ διατηρούμε σταθερή τη θερμοκρασία του αέρα όγκου V 2. Μετακινούμε το έμβολο Ε2, ώστε το έμβολο Ει να παραμείνει ακίνητο. α) Να χαρακτηρίσετε τις μεταβολές των δύο αερίων και να γράψετε τους νόμους (μαθηματικές σχέσεις) που τις διέπουν, αν ο αέρας θεωρείται ιδανικό αέριο. β) Να υπολογιστεί ο λόγος των όγκων V' 2 /V 2 όπου V' 2 ο τελικός όγκος του αέρα μεταξύ των δύο εμβόλων. γ) Πόση θα πρέπει να είναι η μετατόπιση Δα του εμβόλου Ε2; [α. ισόχωρη θέρμανση, ισόθερμη συμπίεση, β. V' 2/ V 2 =30/35, y.δα=2cm] 73. Δύο δοχεία Α και Β έχουν τον ίδιο όγκο V=4lt το καθένα και συνδέονται μεταξύ τους με λεπτό σωλήνα αμελητέου όγκου. Τα δύο δοχεία περιέχουν ιδανικό αέριο υπό πίεση P=3atm και θερμοκρασία θ=27 C. Αυξάνουμε την θερμοκρασία του δοχείου Α στους 127 C και ελαττώνουμε την θερμοκρασία του δοχείου Β στους -73 C. Να βρεθούν: α) Η τελική πίεση του αερίου. β) Ο αριθμός των mole του αερίου που θα μετακινηθεί από το ένα δοχείο στο άλλο. Η διαστολή των δύο δοχείων θεωρείται αμελητέα. Δίνεται η σταθερά R=0,082 L atm/mole K [a)p'=8/3atm, β) Δn=0,16mol] 74. Οριζόντιος κυλινδρικός σωλήνας είναι κλειστός στα δύο άκρα του και χωρίζεται σε δύο μέρη με στεγανό έμβολο. Στο ένα μέρος περιέχει αέριο ήλιο και στο άλλο υδρογόνο. Η συνολική ποσότητα των δύο αερίων είναι n=2mole. Όταν η θερμοκρασία του συστήματος είναι θ=0 C,το έμβολο ισορροπεί και διαχωρίζει το σωλήνα σε δύο μήκη που έχουν λόγο L He/L H2=2/3 βρεθεί ο αριθμός των mols κάθε αερίου. Τα δύο αέρια να θεωρηθούν ιδανικά. [η1=0,8 mol, n2=l,2 mol] ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙA ΤΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Γ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 63

66 75. Έστω μίγμα δύο αεριων Α και Β που βρίσκονται στην ίδια θερμοκρασία. Αν η σχέση των γραμμομοριακών τους μαζών είναι MB Α>MΒ Β τότε να δείξετε ότι: α) Τα μόρια τους έχουν ίσες μέσες κινητικές ενέργειες. β) Για τις ενεργές ταχύτητες των μορίων τους ισχύει η σχέση: u εν(α)< UEN(B). 76. Να υπολογίσετε τη μεταβολή που υφίσταται η μέση κινητική ενέργεια των μορίων ενός ιδανικού αερίου, καθώς και η ενεργός του ταχύτητα, αν διπλασιάσουμε τον όγκο του. α. ισόθερμα β. ισοβαρώς. Ομοίως αν τετραπλασιάσουμε ισόχωρα την πίεση. 77. Σε δύο δοχεία Α και Β, ίδιου όγκου, περιέχονται Ν και 2Ν μόρια αντίστοιχα από το ίδιο ιδανικό αέριο. Αν η θερμοκρασία στα δύο δοχεία είναι ίδια, να βρείτε με την βοήθεια της κινητικής θεωρίας το λόγο των πιέσεων Ρ Α/Ρ Β. Δ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 78. Η κινητική θεωρία α. μελετά τις κινήσεις των μορίων της ύλης. β. αναζητά τις σχέσεις ανάμεσα στα μακροσκοπικά μεγέθη πίεση και θερμοκρασία και τις κινήσεις των μικροσκοπικών σωματιδίων. γ. αναζητά τη σχέση ανάδεσα στα μεγέθη πίεση και θερμοκρασία. δ. συσχετίζει τα διάφορα είδη κίνησης των μορίων με τις αιτίες που τις προκαλούν. 79. Σύμφωνα με τα συμπεράσματα της κινητικής θεωρίας η πίεση ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου είναι α. ανάλογη του τετραγώνου της μέσης τιμής των ταχυτήτων των μορίων του. β. ανάλογη της μέσης τιμής των τετραγώνων των ταχυτήτων των μορίων του. γ. ανάλογη της μέσης τιμής των ταχυτήτων των μορίων του. δ. ανάλογη της κινητικής ενέργειας των μορίων του αερίου. 80. Σύμφωνα με τα συμπεράσματα της κινητικής θεωρίας των αερίων η θερμοκρασία ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου α. είναι ανάλογη της μέσης κινητικής ενέργειας των μορίων του αερίου εξαιτίας τηςμεταφορικής τους κίνησης. β. είναι ανάλογη της μέσης κινητικής ενέργειας των μορίων του αερίου ανεξάρτητα του τρόπου κίνησης τους. γ. είναι ανάλογη του τετραγώνου της μέσης κινητικής ενέργειας των μορίων εξαιτίας της μεταφορικής τους κίνησης. δ. είναι ανάλογη του τετραγώνου της μέσης κινητικής ενέργειας των μορίων ανεξάρτητα του τρόπου κίνησης τους Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται σε δοχείο καθορισμένου όγκου. Αν διπλασιαστεί η μέση τιμή των τετραγώνων των ταχυτήτων των μορίων του αερίου τότε η πίεση που ασκείται στα τοιχώματα του δοχείου θα. α. διπλασιαστεί β. υποδιπλασιαστεί γ. παραμένει αμετάβλητη. δ. τετραπλασιαστεί Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 64

67 82. Σε ποσότητα ιδανικού αερίου αυξάνεται η πίεση με σταθερό όγκο μέχρι διπλασιασμού της,οπότε η μέση μεταφορική κινητική ενέργεια των μορίων του αερίου α. διπλασιάζεται. β. υποδιπλασιάζεται. γ. παραμένει αμετάβλητη. δ. αυξάνεται κατά 2 φορές. 83. Δυο δοχεία Α και Β έχουν όγκους V και 2V αντίστοιχα. Σε κάθε ένα από τα δύο δοχεία τοποθετούνται Ν μόρια υδρογόνου. Η θερμοκρασία του υδρογόνου στα δύο δοχεία είναι n ίδια. Η μέση κινητική ενέργεια των μορίων του υδρογόνου στο Α δοχείο σε σύγκριση με αυτή των μορίων στο δοχείο Β είναι: α. ίδια. β. διπλάσια, γ. n μισή. δ. τετραπλάσια. 84. Όταν ορισμένη ποσότητα αέρα, n οποία περιέχεται σε κύλινδρο όγκου V, συμπιέζεται στο μισό του αρχικού της όγκου V/2 υπό σταθερή θερμοκρασία, τότε: α. η πίεση ρ υποδιπλασιάζεται, ενώ η u 2 παραμένει ίδια. β. η πίεση ρ υποδιπλασιάζεται, ενώ η Κ παραμένει ίδια. γ. n πίεση ρ διπλασιάζεται, ενώ η u 2 παραμένει ίδια. δ. η πίεση ρ διπλασιάζεται, ενώ η Κ παραμένει ίδια. 85. ΣΤΟ απόλυτο μηδέν α. τα μόρια ενός ιδανικού αερίου δεν είναι ακίνητα. β. ο όγκος του ιδανικού αερίου μηδενίζεται. γ. η πίεση ενός πραγματικού αερίου μηδενίζεται. δ. η θερμοκρασία παρουσιάζει το κατώτερο όριο της. 86. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου περιέχεται σε δοχείο. α. Η κινητική ενέργεια των μορίων του δεν μεταβάλλεται κατά τη σύγκρουση τους με τα τοιχώματα του δοχείου. β. Η ταχύτητα των μορίων του δεν μεταβάλλεται κατά την σύγκρουση τους με τα τοιχώματα του δοχείου. γ. Το μέτρο της ταχύτητας των μορίων του δεν μεταβάλλεται κατά τη σύγκρουση μεταξύ τους. δ. Η μέση δύναμη που ασκείται κατά τη σύγκρουση των μορίων του αερίου σ ένα τοίχωμα του δοχείου μεταβάλλεται, γιατί αλλάζει συνεχώς ο αριθμός των μορίων που προσκρούουν στο τοίχωμα αυτό. 87. Η πίεση που ασκούν Ν μόρια ιδανικού αερίου στα τοιχώματα δοχείου όγκου V είναι ίση με την πίεση που ασκούν 2Ν μόρια του αερίου αυτού, στην ίδια θερμοκρασία, στα τοιχώματα δοχείου όγκου 2V. ζ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 88. Μια ποσότητα αερίου αργού βρίσκεται σε θερμοκρασία Τ1=300 Κ. Ζητείται: α) Η ενεργός τιμή της ταχύτητας των μορίων. β) Σε ποια θερμοκρασία θα διπλασιαστεί η προηγούμενη τιμή. Δίνονται η γραμμομοριακή μάζα του αργού Μ=40 gr/mole και R=8,31J/mole.K. [a. U1= 432m/s, β Τ 2 =1200 Κ] 89. Ένα δοχείο έχει όγκο V=lm 3 και περιέχει υδρογόνο. Η ολική κινητική ενέργεια των μορίων είναι Κ ΟΛ = J, (θεωρείστε ότι όλα τα μόρια έχουν κινητική ενέργεια ίση με την μέση κινητική ενέργεια Κ ). Να βρεθούν: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 65

68 α) Η πίεση που ασκείται στα τοιχώματα του δοχείου. β) Η θερμοκρασία του υδρογόνου. Δίνεται ο αριθμός των mol του υδρογόνου 37,5 και R=8,31J/mole.K. [a. P=10 5 N/m 2, β Τ= 320,9Κ] 90. Ένα δοχείο έχει όγκο V=5lt και περιέχει αέριο ήλιο υπό πίεση 2, N/m 2. Η τετραγωνική ρίζα της μέσης τιμής των τετραγώνων των ταχυτήτων των μορίων του ηλίου είναι 500m/s. Να υπολογιστούν: α) Η πυκνότητα του αερίου. β) Ο αριθμός γραμμομορίων του ηλίου. Δίνεται η γραμμομοριακή μάζα του ηλίου M=4gr/mol. [a. p=0,32 kg/m 3, β. η= 0,4 mol] 91. Σε ένα δοχείο όγκου V=3m 3 περιέχεται υδρογόνο σε θερμοκρασία 6000/R Κ (όπου R: η παγκόσμια σταθερά των αερίων ) και πίεση Nt/m 2. Να υπολογίσετε: α) Τον αριθμό των μορίων μέσα στο δοχείο. β) Την ενεργό ταχύτητα των μορίων του υδρογόνου. Δίνονται το μοριακό βάρος του υδρογόνου ίσο με 2 και ΝΑ=6,Ο23.1Ο 23 μόρια/mol. [a. N= , β.υ ΕΝ= 3000m/s] 92. Για μια ποσότητα ιδανικού αερίου σε θερμοκρασία 300Κ και πίεση Nt/m 2 η πυκνότητα του είναι 0,3 Kgr/m 3. Να βρείτε την ενεργό ταχύτητα των μορίων του αερίου σε θερμοκρασία 1200 Κ. [UEN= 4000m/s] 93. Μέσα σε ένα δοχείο βρίσκεται αέριο μίγμα ηλίου (He) και αζώτου (Ν 2). Αν η ενεργός ταχύτητα των μορίων του ηλίου μέσα στο δοχείο είναι m/s, να βρείτε την ενεργό ταχύτητα των μορίων του αζώτου. Δίνονται τα μοριακά βάρη ηλίου και αζώτου 4 και 28 αντίστοιχα. [UΕΝ(Ν)=100 3 m/s] 94. Ιδανικό αέριο βρίσκεται σε θερμοκρασία T1=300K, πίεση P1=10 5 Nt/m 2 και έχει πυκνότητα 15/8 Kgr/m 3. Να βρείτε την ενεργό ταχύτητα των μορίων του αερίου σε θερμοκρασίες Τ1=300Κ και Τ 2=400Κ. Η. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ [UEN1=400m/s, UEN.2=800 3/3 m/s] 95. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου που έχει όγκο ν1=2l υπό πίεση P1=1Atm αυξάνει ισοβαρώς τον όγκο της σε V 2 με σταθερή πίεση, έτσι ώστε η τετραγωνική ρίζα της μέσης τιμής των τετραγώνων των ταχυτήτων των μορίων του αερίου να διπλασιάζεται. Στη συνέχεια μειώνει την πίεση του υπό σταθερή θερμοκρασία, μέχρι να αποκτήσει τον αρχικό του όγκο. Να βρεθεί: α) Η σχέση της τελικής και αρχικής θερμοκρασίας. β) Ο όγκος V 2 γ) Η μεταβολή Δυ ΕΝ της ενεργού ταχύτητας των μορίων του αερίου κατά την ισόθερμη μεταβολή. [α. Τ 2=4Τ Ι, β. V 2=8lt, γ.δϋ ΕΝ=0] 96. Ποσότητα n=l/4r mole ιδανικού αερίου που βρίσκεται στην κατάσταση Α, με πίεση Ρο = Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 66

69 N/m 2, όγκο Vo =1L και θερμοκρασία Τ 0/ εκτελεί την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ,όπου: ΑΒ: ισοβαρής εκτόνωση μέχρι όγκο είναι VB=2V 0 ΒΓ: ισόθερμη εκτόνωση μέχρι πίεση Ρ Γ=Ρο/2 ΓΔ: ισοβαρής συμπίεση και ΔΑ: ισόχωρη θέρμανση α) Να υπολογίσετε την πίεση τον όγκο και τη θερμοκρασία για κάθε κατάσταση β) Να παραστήσετε την κυκλική μεταβολή σε βαθμολογημένους άξονες P-V, Ρ-Τ, V-T. γ) Να υπολογίσετε τους λόγους των ενεργών ταχυτήτων U Β/υ Δ και U B/U Γ [α.τ 0=200Κ, Ρ Β= Ρα, Τ Β= Τ Γ=400Κ,Ρ Γ= Ρ Α=2, Ρα, VΓ=410-3 m 3,ΤΔ=1ΟΟΚ γ. 2,1 ] 97. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α(Ρ ο,v Ό,Το) και εκτελεί τη μεταβολή ΑΒΓΔΕ, όπου: ΑΒ: ισόχωρη ψύξη μέχρι τη θερμοκρασία Τ Β =Τ 0/2 ΒΓ: ισοβαρής εκτόνωση μέχρι η μέση κινητική ενέργεια των μορίων να γίνει ίση με την αρχική. ΓΔ: ισόχωρη θέρμανση μέχρι τη θερμοκρασία Τ Δ= 3Τ 0/2 και ΔΕ: ισοβαρής συμπίεση μέχρι τη θερμοκρασία Τ Ε = Τ ο α) Να υπολογίσετε την πίεση τον όγκο και τη θερμοκρασία για κάθε κατάσταση, σαν συνάρτηση των Ρ 0/ Vo, Τ ο β) Να παραστήσετε ποιοτικά τις μεταβολές σε άξονες Ρ-V, Ρ-Τ, V-T. γ) Να υπολογίσετε τους λόγους των μέσων κινητικών ενεργειών ΚΟ/ΚΒ, και ΚΕ/ΚΟ /α. Ρ Β= Ρ Γ=Ρ 0/2, V B=VO, VΓ= V A=2V 0, ΡΛ= Ρ ε=3ρο/4, V E=4Vo/3, γ. Κ 0/Κ Β =2, ΚΕ/Κ 0=1] 98. Μια ποσότητα η = 1/R mol ιδανικού αερίου ( η R μετριέται σε J/mol.K ) έχει όγκο VA = 3L σε πίεση ΡΑ =10 5 N/m 2. To αέριο εκτελεί την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ, n οποία αποτελείται από τις εξής διαδοχικές μεταβολές: ΑΒ: ισοβαρής εκτόνωση μέχρι η ενεργός ταχύτητα των μορίων να γίνει UB=/2U A ΒΓ; ισόχωρη ψύξη με Τ Γ =400Κ ΓΔ: ισοβαρής συμπίεση μέχρι n θερμοκρασία του να μειωθεί κατά 50%, και ΔΑ: ισόχωρη θέρμανση. α) Να υπολογίσετε την πίεση τον όγκο και τη θερμοκρασία για κάθε κατάσταση. 5) Να παραστήσετε την κυκλική μεταβολή σε βαθμολογημένους άξονες P-V, Ρ-Τ, V-T. γ) Ποια η επί τοις εκατό μεταβολή της μέσης κινητικής ενέργειας των μορίων του αερίου κατά την μεταβολή Α Β; Τ Α=300Κ,Ρ Β=10 5 Ρα, V B=V Γ=6.10' 3 m 3, Τ Β=600Κ, Ρ Γ= Ρ Δ=2/310 5 Ρα, Vr= m 3, VΔ= m 3, γ.π=100%] 99. Ιδανικό αέριο βρίσκετε στην κατάσταση A(P A,V,A,TA) ενώ η μέση κινητική ενέργεια των μορίων του είναι Κ Α. Το αέριο παθαίνει τις εξής αντιστρεπτές μεταβολές: ί. Θερμαίνεται υπό σταθερό όγκο, μέχρι να διπλασιαστεί η πίεση του ϋ. Εκτονώνεται ισόθερμα μέχρι να αποκτήσει την αρχική του πίεση. iii. Συμπιέζεται υπό σταθερή πίεση, μεχρι να επανέλθει στην αρχική του κατάσταση. α) Να υπολογίσετε την πίεση, τον όγκο, τη θερμοκρασία και τη μέση κινητική ενέργεια των Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 67

70 μορίων για κάθε κατάσταση, σαν συνάρτηση των Ρ Α V A T A, Κ Α. β) Να παραστήσετε ποιοτικά τις μεταβολές σε άξονες P-V, Ρ-Τ, V-T. [α. Ρ Β=2Ρ Α, V B=V A T B=T r=2t A, Κ Β=Κ Γ=2Κ Α, Ρ Γ=Ρ Α, V Γ=2V A] 100. Ποσότητα ιδανικού αερίου καταλαμβάνει όγκο VΑ=2L σε θερμοκρασία Τ Α=200Κ και πίεση P Α= Ρα. Το αέριο εκτελεί κυκλική μεταβολή, η οποία αποτελείται από τις ακόλουθες διαδοχικές μεταβολές: ΑΒ: ισοβαρής εκτόνωση μέχρι η μέση κινητική ενέργεια των μορίων του να τριπλασιαστεί ΒΓ: ισόθερμη εκτόνωση μέχρι η πίεση του να γίνει Ρ Γ= Ρα. ΓΔ: ισοβαρής συμπίεση μέχρι η ενεργός ταχύτητα των μορίων να γίνει ίση με την αρχική. ΔΑ; όπου το αέριο συμπιέζεται στον αρχικό του όγκο. α) Να χαρακτηρίσετε ως ισόθερμη, ισόχωρη ή ισοβαρής την μεταβολή ΔΑ β) Να υπολογίσετε την πίεση τον όγκο και τη θερμοκρασία για κάθε κατάσταση. γ) Να παραστήσετε την κυκλική μεταβολή σε βαθμολογημένους άξονες P-V, Ρ-Τ, V-T. [α. ισόθερμη β P B= Ρα, V B== m 3, VΓ= m 3, TΓ=600K,P A=10 5 Ρα, V A= m 3 ] 101. Το κυλινδρικό δοχείο του σχήματος έχει θερμικά αγώγιμα τοιχώματα και βρίσκεται μέσα σε λουτρό νερού σταθερής θερμοκρασίας Γ Από τη μία πλευρά του το κυλινδρικό δοχείο φράσσεται με έμβολο (Δ) το οποίο μπορεί να μετακινείται χωρίς τριβές. Το δοχείο χωρίζεται σε δύο χώρους, με κινητό τοίχωμα (Γ) στους οποίους περιέχεται He. Αρχικά το έμβολο και το τοίχωμα ισορροπούν ακίνητα έτσι, ώστε L1=20cm και L.2=10 cm. α) Να υπολογίσετε την πίεση των δύο αερίων, αν δίνεται ότι η ατμοσφαιρική πίεση είναι P atm=l atm. β) Μετακινούμε αργά το έμβολο (Δ) κατά Δχ = 3 cm, προς το τοίχωμα (Γ) και το διατηρούμε ακίνητο στη νέα θέση. Πόσο θα έχει μετακινηθεί το τοίχωμα (Γ) όταν θα ισορροπήσει και αυτό σε νέα θέση; γ) Να υπολογίσετε τη νέα πίεση του He στους χώρους (Ι) και (II). [a.p1,=p 2=1Atm, β. x=2cm, γ. P 1=P' 2=I0/9Atm] 102 Σε δοχείο σταθερού όγκου V, βρίσκονται n=3/r mol ιδανικού αερίου (όπου ft η παγκόσμια σταθερά των ιδανικών αερίων σε J/mol.K). Η θερμοκρασία του αερίου είναι Τ = 300 Κ και η πίεση του είναι Ρ = 2 atm. To αέριο υπόκειται σε ισόχωρη μεταβολή μέχρι να διπλασιαστεί η ενεργός ταχύτητα των μορίων του. σ) Να υπολογίσετε τον όγκο του αερίου. β) Να υπολογίσετε την τελική πίεση του αερίου. γ) Πόση είναι n μέση μεταφορική κινητική ενέργεια των μορίων του αερίου στην αρχική και τελική κατάσταση; δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της πίεσης του αερίου σε συνάρτηση με την μέση μεταφορική κινητική ενέργεια των μορίων του σε βαθμολογημένους άξονες, για την παραπάνω μεταβολή. Δίνονται : η σταθερά ΒοΙtzman : k= 1,38.1O -23 J/K, 1 atm = 10 5 Pa. [a. V=4,510-3 m 3, β.ρ'= Ρα, γ. K=6, l J, Κ'=24, J] 103. Ποσότητα n=2/r mol ιδανικού αερίου (όπου R η παγκόσμια σταθερά των ιδανικών αερίων σε Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 68

71 J/mol.K), βρίσκονται σε θερμοκρασία θι = 27 C καi πίεση Ρ 1 = 1Ο 5 Ρα, (κατάσταση Α).Το αέριο υπόκειται στις παρακάτω διαδοχικές μεταβολές : Α-»Β: Γσόχωρη θέρμανση μέχρι η θερμοκρασία του να γίνει ίση με 177 C. Β Γ: Ισόθερμη εκτόνωση μέχρι υποδιπλασιασμού της πίεσης. Γ-»Δ: Ισοβαρή συμπίεση μέχρι να αποκτήσει την αρχική του θερμοκρασία. Δ->Α: Ισόθερμη συμπίεση μέχρι την αρχική του κατάσταση, α) Να υπολογίσετε τις τιμές του όγκου, της πίεσης και της θερμοκρασίας για κάθε κατάσταση Α,Β,Γ,Δ. β) Να αποδώσετε σε διαγράμματα P-V, Ρ-Τ, V-T με βαθμολογημένους άξονες την παραπάνω διαδικασία. γ) Αν η πυκνότητα του αερίου οτην κατάσταση Α ισούται με 1,5 Kg/m 3, να υπολογίσετε την μορίων του αερίου στην κατάσταση αυτή. δ) Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης του συνόλου των μορίων του αερίου στην κατάσταση Δ; [α.ρ Α=10 5 Ρα, V A= m 3, Τ Α=300Κ, Ρ Β=1, Ρα, V B=610-3 m 3, Τ Β=450Κ PB=10 5 Ρα, Γ= m 3, Τ Γ=450Κ, P A=0, Ρα, V Δ= m 3, Τ Δ=300Κ,γ. UEN,A=200 5 m/s, δ.κολ,δ=900j] 104 Δύο δοχεία (Α) και (Β) με όγκους VA=1OL και V B=10L συνδέονται με σωλήνα αμελητέου όγκου ο οποίος φέρει στρόφιγγα. Αρχικά η στρόφιγγα είναι κλειστή, το δοχείο (Α) περιέχει He σε θερμοκρασία Θ Α = -23 C και πίεση Ρ Α = 2 1Ο 5 Ρα ενώ το δοχείο (Β) περιέχει He σε θερμοκρασία θ Β= 227 C και πίεση Ρ Β = 8 1Ο 5 Ρα. Το σύστημα των δυο δοχείων δεν ανταλλάσσει ενέργεια με το περιβάλλον. α) Να υπολογίσετε την ποσότητα του He σε mol (σε συνάρτηση με το R) στο δοχείο (Α) και τη μεταφορική κινητική ενέργεια του συνόλου των μορίων του He σε κάθε δοχείο ξεχωριστά. Β) Να υπολογίσετε το πηλίκο των ενεργών ταχυτήτων των μορίων του He στα δύο δοχεια, U ENA/ U ENB γ) Ανοίγουμε την στρόφιγγα και μετά από λίγο η πίεση και η θερμοκρασία στα δύο δοχεία γίνεται Ρ και Τ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε την πίεση Ρ αν η θερμοκρασία είναι Τ=450Κ. [a.n A=8/Rmole, KoA.A= J, Koλ lb= , β. U ENA/'U ENB= 2/2, γ, P=5, Ρα] Β. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 105. Μία μεταβολή ενός αερίου θεωρείται ως αντιστρεπτή, όταν α. είναι δυνατό να διαγραφεί και προς την αντίθετη κατεύθυνση β. πραγματοποιείται πολύ γρήγορα γ. συνοδεύεται από απώλεια ενέργειας λόγω τριβών δ. το αέριο μεταβαίνει από μία αρχική κατάσταση ισορροπίας σε μία τελική μέσω διαδοχικών καταστάσεων ισορροπίας και μπορεί να διαγραφεί και προς την αντίθετη κατεύθυνση Όταν μία μεταβολή δεν μπορεί να παρασταθεί γραφικά σε διάγραμμα P-V με μία συνεχή γραμμή, αυτό σημαίνει ότι: α. η μεταβολή αυτή δεν είναι αντιστρεπτή β. η μεταβολή αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως μία συνεχή διαδοχή καταστάσεων ισορροπίας γ. μια τέτοια γραμμή υπάρχει απλά εμείς δεν γνωρίζουμε ποια είναι λόγω έλλειψης στοιχείων Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 69

72 δ. αποδίδεται γραφικά μόνο στα διαγράμματα Ρ-Τ και V-T Η θερμοκρασία ενός αερίου είναι 27 C. Διπλασιάζουμε την απόλυτη θερμοκρασία του. Τότε η νέα θερμοκρασία θα είναι : α. 54 C β. 127 C γ. 227 C δ. 327 C 108. Μια ποσότητα αερίου βρίσκεται σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας, όταν: α. η πίεση του αερίου, έχει την ίδια τιμή σε όλα τα σημεία του χώρου που καταλαμβάνει το αέριο. β. η πίεση και η πυκνότητα του αερίου έχουν την ίδια τιμή σε όλα τα σημεία του χώρου που καταλαμβάνει το αέριο. γ. η πίεση, η θερμοκρασία και η πυκνότητα, του αερίου έχουν την ίδια τιμή, σε όλα τα σημεία του χώρου που καταλαμβάνει το αέριο. δ. η θερμοκρασία, η πυκνότητα και ο όγκος διατηρούν πάντα την ίδια σταθερή τιμή. 1 ΟΣ ΘΕΡΑΛΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ Γ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ 109 Δύο ισομοριακές ποσότητες ηλίου (He) και υδρογόνου ( Η 2) έχουν χαμηλές πυκνότητες και βρίσκονται στην ίδια θερμοκρασία. Ποιο από τα δύο αέρια έχει μεγαλύτερη εσωτερική ενέργεια; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. 110 Σε ένα δοχείο σταθερού όγκου περιέχονται Ν μόρια ιδανικού αερίου, τα οποία έχουν μέση μεταφορική ενέργεια Κ. Εισάγουμε στο δοχείο άλλα Ν μόρια του ίδιου αερίου και της ίδιας μέσης κινητικής ενέργειας. Ποια θα είναι σε σχέση με την αρχική, n τελική εσωτερική ενέργεια του αερίου; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας Ορισμένη μάζα ιδανικού αερίου συμπιέζεται από την κατάσταση Α(Ρ, V) στην κατάσταση B(2P,V/2) α. Ποια είναι η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου; β. Εξαρτάται η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας από το αν η μεταβολή του αερίου είναι αντιστρεπτή ή όχι; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου που βρίσκεται στην κατάσταση A(Pi,Vi,Ti) εκτονώνεται μέχρι να διπλασιαστεί ο όγκος του αερίου: α) ισοβαρώς και β) Ισόθερμα. Σε ποια περίπτωση το ποσό της θερμότητας που προσφέρεται στο αέριο είναι μεγαλύτερο; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 70

73 113. Για τις μεταβολές (1) και (2) του διαγράμματος, που αναφέρονται σε μια ποσότητα ιδανικού αερίου, ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες ; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. α. ΔV1i>ΔV 2 β. ΔΤ1< ΔΤ 2 γ. W1 = W 2 δ. ΔUι> ΔU 2 ε. Q1 > Q ΣΤΟ διάγραμμα P-V του σχήματος αποδίδεται μια αντιστρεπτή μεταβολή ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου. Να υπολογίσετε το ποσό της θερμότητας που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον σε συνάρτηση με τα Ρ ο και V o Μια ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί την κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒΓΑ που αποδίδεται στο διπλανό διάγραμμα U-P (εσωτερικής ενέργειας - πίεσης) του σχήματος. Να αναγνωρίσετε τις επιμέρους μεταβολές του κύκλου. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Δ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 116. Ιδανικό αέριο εκτελεί τρεις αντιστρεπτές μεταβολές από την κατάσταση Α στην κατάσταση Β όπως δείχνει το διάγραμμα του διπλανού σχήματος. Το έργο που παράγεται από το αέριο: α. Είναι μεγαλύτερο για τη διαδρομή (1) β. Είναι μικρότερο για τπ διαδρομή (2) γ. Είναι το ίδιο για τις διαδρομές (1) και ( 3 ) δ. Είναι το ίδιο για τις τρεις διαδρομές Το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των μορίων μιας ποσότητας ιδανικού αερίου ονομάζεται α. θερμοκρασία β. θερμότητα γ. έργο δ. εσωτερική ενέργεια Όταν η απόλυτη θερμοκρασία μιας ποσότητας ιδανικού αερίου αυξάνεται κατά ΔΤ, η εσωτερική ενέργεια του αερίου α. Αυξάνεται β. Μειώνεται γ.- Παραμένει αμετάβλητη δ. Αυξάνεται και η αύξηση της εξαρτάται από το είδος της μεταβολής του αερίου. 119.Ένας αριθμός μορίων ηλίου (He) και ένας ίσος αριθμός μορίων νέου (Ne) έχουν την ίδια εσωτερική ενέργεια. Για την απόλυτη θερμοκρασία Ύ\ του Ηλίου και την απόλυτη θερμοκρασία Τ 2 του νέου ισχύει η σχέση: α. Τι> Τ 2 β. Τι< Τ 2 γ. Τι=Τ 2 δ. Οι δύο θερμοκρασίες δεν μπορούν να συγκριθούν Δύο διαφορετικές ποσότητες ενός ιδανικού αερίου έχουν την ίδια θερμοκρασία. Μεγαλύτερη εσωτερική ενέργεια έχει η ποσότητα που: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 71

74 α. καταλαμβάνει μεγαλύτερο όγκο β. ασκεί μεγαλύτερη πίεση γ. περιέχει μεγαλύτερο αριθμό μορίων δ. περιέχει μικρότερο αριθμό γραμμομορίων Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου μεταβαίνει από την κατάσταση Α στην κατάσταση Β με δύο τρόπους: α) αντιστρεπτά και β) μη αντιστρεπτά. Αν η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά την αντιστρεπτή μεταβολή είναι ΔΙΛ και κατά την μη αντιστρεπτή μεταβολή είναι Δϋ 2 τότε ισχύει η σχέση: α. ΔU1= ΔU 2 β. ΔUι> ΔU 2 γ. ΔUι < ΔU 2 δ. ΔU1=-ΔU Ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος εκφράζει την αρχή διατήρησης : α. του ηλεκτρικού φορτίου β. της ορμής γ. της μηχανικής ενέργειας δ. της ενέργειας Ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος ισχύει: Κ. α Μόνο για ποσότητες αερίων β. μόνο για αντιστρεπτές μεταβολές γ. μόνο για μη αντιστρεπτές μεταβολές δ. για οποιοδήποτε θερμοδυναμικό σύστημα. Ι 124. Στην εξίσωση Q=ΔU+W, όταν ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος εφαρμόζεται σε μία αντιστρεπτή μεταβολή ορισμένης ποσότητας αερίου, το μέγεθος που δεν εξαρτάται από τη διαδρομή είναι: α. π θερμότητα Q β. το έργο W V. n διαφορά Q- W δ. όλα τα παραπάνω Σε μία αντιστρεπτή μεταβολή ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου, προσφέρεται στο αέριο ενέργεια μέσω μηχανικού έργου ίση με 200J και ταυτόχρονα το αέριο αποδίδει στο περιβάλλον θερμότητα 300J. Η εσωτερική ενέργεια του αερίου κατά την μεταβολή αυτή: α. αυξάνεται κατά 100 J β. μειώνεται κατά 100 J γ. αυξάνεται κατά 500 J δ. μειώνεται κατά 500 J Όταν σε ένα ιδανικό αέριο προσφέρεται θερμότητα, αλλά το έργο του αερίου είναι μηδέν, τότε ποια από τις ακόλουθες προτάσεις είναι λανθασμένη; α. η θερμοκρασία του αερίου θα αυξηθεί β. ο όγκος του αερίου θα αυξηθεί γ. η μέση μεταφορική κινητική ενέργεια των μορίων του αερίου θα αυξηθεί δ. η εσωτερική ενέργεια του αερίου θα αυξηθεί Μια ποσότητα ιδανικού αερίου, για να έχει μεγαλύτερη θερμοκρασία από μία άλλη ποσότητα του ιδίου αερίου, πρέπει η ποσότητα αυτή να έχει α. μεγαλύτερη εσωτερική ενέργεια β. μεγαλύτερη μέση μεταφορική κινητική ενέργεια μορίων γ. μεγαλύτερο αριθμό γραμμομορίων δ. μεγαλύτερη γραμμομοριακή ειδική θερμότητα υπό σταθερό όγκο. Ε. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ "ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ" 128. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις που αναφέρονται στην εσωτερική ενέργεια ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου, είναι σωστές; Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 72

75 α. Είναι συνάρτηση του όγκου και της θερμοκρασίας του αερίου. β. Είναι συνάρτηση μόνο της θερμοκρασίας του αερίου. γ. Η μεταβολή εσωτερικής ενέργειας εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο το αέριο μεταβαίνει από την αρχική κατάσταση στην τελική. δ. Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι συνάρτηση μόνο της αρχικής και τελικής κατάστασης του αερίου και δεν εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο πραγματοποιείται η μεταβολή. ε. Είναι το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών όλων των μορίων του συστήματος Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; α. n1 mol Ηλίου (He) και n 2 mol αργού (Ar) (ιδανικά αέρια με ηι n2) έχουν, στην ίδια θερμοκρασία, διαφορετικές εσωτερικές ενέργειες. β. Υπάρχει περίπτωση δύο ποσότητες από το ίδιο ιδανικό αέριο να έχουν την ίδια εσωτερική ενέργεια. γ. Ισομοριακές ποσότητες δύο ιδανικών αερίων έχουν, στην ίδια θερμοκρασία, την ίδια εσωτερική ενέργεια. δ. n mol ενός ιδανικού αερίου βρίσκονται σε πίεση Ρι και θερμοκρασία Τι, ενώ η mol του ίδιου αερίου βρίσκονται σε πίεση Ρ2 και θερμοκρασία Τ 2= Τι. Αν Ρ1>Ρ2, τότε U1 >U Ποιες από τις επόμενες προτάσεις που αναφέρονται στο έργο ενός αερίου είναι σωστές; α. Όταν το αέριο εκτονώνεται το έργο του είναι θετικό. β. Όταν ο όγκος του αερίου δεν μεταβάλλεται, τότε το έργο του είναι μηδέν. γ. Τα αέρια παράγουν έργο μόνο στις αντιστρεπτές μεταβολές. δ. Σε μια αντιστρεπτή μεταβολή το έργο του αερίου μπορεί να υπολογιστεί από το διάγραμμα P-V Για κάθε αέριο η εσωτερική ενέργεια υπολογίζεται από τη σχέση : U =3nRT/ Ενα ιδανικό αέριο μεταβαίνει από την κατάσταση Α στην κατάσταση Β, εκτελώντας την αντιστρεπτή μεταβολή (1) ή (2) που φαίνεται στο διάγραμμα P-V του σχήματος. Για τα έργα W1 και W 2 και τις θερμότητες Q1ικαι Q2 ισχύουν: 133. Η θερμοκρασία ενός ιδανικού αερίου μεταβάλλεται αντιστρεπτά από Τι σε Τ 2. Η μεταβολή στην εσωτερική του ενεργεία είναι; α. μεγαλύτερη, όταν η μεταβολή είναι ισοβαρής από ότι, όταν είναι ισόχωρη. β. μηδέν, όταν δεν ανταλλάσσεται θερμότητα. γ. ανεξάρτητη του τρόπου μετάβασης του αερίου από την αρχική κατάσταση στην τελική. δ. ανάλογη της διαφοράς Τ 2- Τι. ΣΤ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 73

76 134. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α με πίεση Ρι=2.1Ο 5 N/m 2 και καταλαμβάνει όγκο V1=20L Να βρείτε το έργο που παράγει το αέριο όταν με σταθερή πίεση: α) εκτονώνεται σε όγκο V 2=5OL β) συμπιέζεται σε όγκο V3=1OL [a. W1= J, β. W 2= J] 135. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου ίση με n=5/r mol βρίσκεται σε θερμοκρασία Τι=300Κ. Το αέριο εκτονώνεται με σταθερή πίεση μέχρι διπλασιασμού της θερμοκρασίας του. α) Να παραστήσετε την μεταβολή του αερίου σε διάγραμμα P-V. β) Να υπολογίσετε το έργο που παράγει το αέριο κατά την μεταβολή αυτή Μια ποσότητα ιδανικού αερίου υφίσταται την μεταβολή που φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Να υπολογίσετε: α) Το μηχανικό έργο που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον του. β) Ποιο το μηχανικό έργο του αερίου αν η μεταβολή του αέριου ήταν η ΒΑ; ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ 137. Σε μια ποσότητα ιδανικού αερίου προσφέρεται θερμότητα Q=2000J και το αέριο εκτονώνεται με σταθερή πίεση Ρι= Ρα. Να βρείτε: α) Την μεταβολή του όγκου ΔV του αερίου. β) Το έργο που ανταλλάσει το αέριο με το περιβάλλον. Δίνεται: C P =5R/2. [a.δv=4l, β. W=800J] 138. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου που αποτελείται από Ν=1, μόρια, βρίσκεται σε θερμοκρασία Θ1=27 C. Θερμαίνουμε το αέριο μέχρι η θερμοκρασία του να γίνει θ 2=127 C με δύο τρόπους: i. με σταθερό όγκο και ii. με σταθερή πίεση Να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση το έργο και την θερμότητα που ανταλλάσει το αέριο με το περιβάλλον. Δίνονται: Ν Α= μόρια/mol, C v=3r/2, C P =5R/2 και R=8,31J/mol.K [ W1=0, Q=3116J, W 2=2077J, Q 2=5193J] 139. Μια ποσότητα n=l/r mol ιδανικού αερίου έχει όγκο V A=3.1O -3 m 3 σε πίεση Ρ Α=10 5 Ρα. Το αέριο εκτελεί την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ, n οποία αποτελείται από τις εξής διαδοχικές μεταβολές: ΑΒ: ισοβαρή εκτόνωση μέχρι Τ Β=6ΟΟΚ ΒΓ: ισόχωρη ψύξη μέχρι Τ Γ=400Κ ΓΔ: ισοβαρής συμπίεση με ΤΛ=200Κ ΔΑ: ισόχωρη θέρμανση. α) Να απεικονίσετε τις μεταβολές σε διάγραμμα P-V με βαθμολογημένους άξονες. β) Να υπολογίσετε το έργο και τη θερμότητα που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον του σε κάθε μία από τις επιμέρους μεταβολές. Δίνονται: C v=3r/2, C P =5R/2 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 74

77 [β W AB=300J, W nr=0, W ra=-200j, W ΔA=0, QA B=750J, Q BΓ=-300J, Q ΓΑ=-500J QΔΑ=150J ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ 140. Η εσωτερική ενέργεια μιας ποσότητας ιδανικού αερίου το οποίο βρίσκεται υπό πίεση P=10 5 N/m 2 είναι ίση με U=6OOJ. Να υπολογίσετε τον όγκο που καταλαμβάνει το αέριο. [V=4L] 141. Να βρείτε την εσωτερική ενέργεια μιας ποσότητας ιδανικού αερίου που καταλαμβάνει όγκο V=lm 3 σε πίεση P=10 5 N/m 2. / U= J] 142. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου μεταβαίνει από την κατάσταση Α με πίεση Ρ Α =10 5 N/m 2 και όγκο \/ Λ =4.10' 3 m 3 στην κατάσταση Β με πίεση ΡΒ =3. 1O 5 N/m 2 και όγκο Ve =10 3 m 3, ακολουθώντας την τυχαία μεταβολή του σχήματος. Να υπολογίσετε την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου Μια ποσότητα ιδανικού αερίου πραγματοποιεί τη μη αντιστρεπτή μεταβολή που φαίνεται στο σχήμα. Αν είναι γνωστό ότι Ρ Λ=ΡΒ=2.1Ο 5 Ν/M 2 V A =2L και V B =6L, να υπολογίσετε: α) Την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου β) το έργο που παράγει το αέριο.(a AU=1200J, β. Δεν υπολογίζεται ) 1 0 ς Θ.Δ.Ν Ένα θερμοδυναμικό σύστημα απορροφά ενέργεια 100J με την μορφή μηχανικού έργου και αποδίδει στο περιβάλλον του θερμότητα ίση με 90J. Να υπολογίσετε την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου Μια ποσότητα αερίου δαττανά έργο 50J, με αποτέλεσμα να έχουμε αύξηση στην εσωτερική του ενέργεια κατά 30J. Πόση θερμότητα αποδίδει το αέριο στο περιβάλλον; [20J] 146. Να βρείτε την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας μιας ποσότητας ιδανικού αερίου στις παρακάτω περιπτώσεις: α) Το αέριο απορροφά θερμότητα 1000J και παράγει έργο 300J. β) Το αέριο απορροφά θερμότητα 1500J και του προσφέρεται έργο 500J. γ) Αφαιρούμε από το αέριο θερμότητα 4000J με σταθερό όγκο. [a. ΔU=700J, β. ΔU=20003, γ. ΔU=-4000J] Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 75

78 147. Ένα ιδανικό αέριο διπλασιάζει την θερμοκρασία του με την τυχαία αντιστρεπτή μεταβολή (Α^Β) του διαγράμματος P-V του σχήματος και στη συνέχεια ψύχεται ισόχωρα (Β >Γ) στην αρχική του θερμοκρασία. Αν τα ο αέριο απορρόφησε συνολικά θερμότητα,q ΑΒΓ=1200J και κατά την ισόχωρη ψύξη του η εσωτερική του ενέργεια ελαττώθηκε κατά 400J, να υπολογίσετε: α) Την θερμότητα QΑΒ που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον στην μεταβολή ΒΓ β) Τη θερμότητα QAB που απορρόφησε το αέριο κατά την μεταβολή ΑΒ καθώς και την μεταβολή στην εσωτερική του ενέργεια στη μεταβολή αυτή. γ) Το έργο WΑΒ ττου παρήγαγε το αέριο κατά την μεταβολή ΑΒ. [ QΒΓ=-400J, β. QAB=1600J, ΔU AB=400J, γ. WAB=12OOJ] 148. Ιδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις αντιστρεπτές μεταβολές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ που παριστάνονται στο διάγραμμα Ρ- /του σχήματος, α) Αν δίνονται Q ΑΒΓ = 30 J και WΒΓ = 20 J, να βρεθεί η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά τη μετάβαση του από την κατάσταση Α στην κατάσταση Γ, ΔU ΆΓ β) Αν κατά τη μεταβολή ΓΑ μεταφέρεται θερμότητα 22 J από το αέριο στο περιβάλλον, να βρεθεί το έργο W ΓA. [a. ΔUAΓ=IOJ, β, WΓ A=-12J] 149, Ιδανικό αέριο υποβάλλεται στην κυκλική μεταβολή του σχήματος. Αν δίνονται Q ΑΒΓ=100J, W ΑΒΓ=60J, Q ΔΑ=-80J, και οι εσωτερικές ενέργειες στις καταστάσεις Α και Δ είναι UΑ=10J, και UΔ=30J αντίστοιχα, να υπολογίσετε: α) την εσωτερική ενέργεια στην κατάσταση Γ β) το ολικό έργο WOΛ) το έργο WΔA) Το ποσό της θερμότητας QΔA. [a. U r=50j, β. W OΛ=20J, γ. W ΔA=-40J, 0. Q ΔA=-60J] ΕΦΑΡΜΟΓΗ TOY 1 ΟΥ Θ.Δ.Ν. ΣΕ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΑΕΡΙΩΝ Γ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ 150. Να γράψετε και να διατυπώσετε τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο για τις παρακάτω αντιστρεπτές μεταβολές: α. ισόθερμη β. ισόχωρη γ. ισοβαρή δ. αδιαβατική ε. κυκλική Να αιτιολογήσετε την μορφή που παίρνει. 151.Να δείξετε ότι το έργο σε μία ισόθερμη μεταβολή ΑΒ μίας ποσότητας αερίου δίνεται απότην σχέση: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 76

79 Γνωρίζοντας τις σχέσεις Cp= Cv+R και γ= Cp/C v αποδείξτε τις σχέσεις που παρέχουν τα Cpκαι Cv συνάρτηση με τα R 152. Έστω αέριο που εκτελεί ισοβαρή μεταβολή στην οποία παράγει έργο W, ανταλλάσσει με το περιβάλλον θερμότητα Q και μεταβάλλει την εσωτερική του ενέργεια κατά ΔΙΛ Γνωρίζοντας τις σχέσειςκαι ινα δείξετε ότι οι παραπάνω ενέργειες συνδέονται με τις σχέσεις 153.Γνωρίζοντας την σχέση και με την χρήση του 1 ου Θ.Δ.Ν. να αποδείξετε ότι στην διαβατική μεταβολή μιας ποσότητας αερίου από την πηνική κατάσταση Α στην τελική κατάσταση Β το έργο δίνεται από τη σχέση 154.Με βάση την σχέση που διέπει μια αδιαβατική μεταβολή να δείξετε τις σχέσεις: 1 55.Σε ορισμένη μάζα ενός ιδανικού αερίου προσφέρεται το ίδιο ποσό θερμότητας Q: α)υπό σταθερό όγκο και β) Υπό σταθερή πίεση. Σε ποια περίπτωση θα αυξηθεί περισσότερο η θερμοκρασία του αερίου; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. 156.Να αποδείξετε ότι σε όλες τις αδιαβατικές εκτονώσεις ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου που πραγματοποιούνται μεταξύ των θερμοκρασιών Τι και Τ 2 (Τ 2<Τι) τα έργα είναι ίσα. 157.Να αποδείξετε ότι κατά την αδιαβατική συμπίεση ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου η ενεργός ταχύτητα των μορίων του αερίου αυξάνεται. 158.Σε ποια από τις γνωστές σας αντιστρεπτές μεταβολές ενός ιδανικού αερίου αυξάνεται η θερμοκρασια του αερίου χωρίς να προσφέρεται στο αέριο θερμότητα; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 77

80 159.Σε ποια αντιστρεπτή μεταβολή ορισμένης ποσότητας ενός ιδανικού αερίου, όλο το ποσό της θερμότητας που προσφέρεται στο αέριο 1. α. μετατρέπεται σε έργο; β. μετατρέπεται σε αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του αερίου; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. 160.Για την αδιαβατική αντιστρεπτή μεταβολή ενός αερίου δίνεται ότι PV v = 16ONm 3. Να υπολογίσετε την τιμή του λόγου γ. 161.ΣΤΟ διπλανό διάγραμμα,η μεταβολή (1) είναι ισοβαρής η (2) ισόθερμη και η (3) αδιαβατική. Να συγκρίνετε και να δικαιολογήσετε. α. τα έργα β. τις θερμότητες γ. τις μεταβολές στην εσωτερική ενέργεια του αερίου. Δ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 162.Κατά την ισόθερμη αντιστρεπτή συμπίεση ενός ιδανικού αερίου α. η θερμοκρασία του αερίου αυξάνεται β. η εσωτερική ενέργεια του αερίου αυξάνεται γ. η πίεση του αερίου αυξάνεται δ. η ενεργός ταχύτητα των μορίων του αεριου αυξάνεται. 163.Κατά την ισόθερμη αντιστρεπτή εκτόνωση ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου α. το αέριο παράγει έργο β. η θερμοκρασία του αερίου αυξάνεται I γ. το αέριο παράγει έργο και αλλάζει η θερμοκρασία του δ. η εσωτερική ενέργεια του αερίου αυξάνεται. 164.Κατά την ισοβαρή αντιστρεπτή εκτόνωση ορισμένης μάζας ιδανικού αερίου α. π θερμότητα που προσφέρεται στο αέριο είναι Q=O β. η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου είναι ΔU=Ο γ. το έργο που παράγεται από το αέριο είναι W=O δ. οι ποσότητες Q, ΔU και W είναι όλες διαφορετικές από το μηδέν Κατά τις ισοβαρείς αντιστρεπτές εκτονώσεις ορισμένης μάζας ιδανικού αερίου υπό πίεση P1 και υπό πίεση Ρ 2 =2.Ρι, το αέριο παράγει έργα W1 και W 2, αντίστοιχα. Αν στις δύο περιπτώσεις η αύξηση της θερμοκρασίας είναι η ίδια, τότε ισχύει η σχέση α. W1=W 2 B.W1=2.W 2 γ. W 1= W 2 /2 δ. W1=4.W Κατά την αδιαβατική αντιστρεπτή εκτόνωση ενός ιδανικού αερίου α. η τιμή της ποσότητας PV/T ελαττώνεται β. το έργο που παράγεται είναι ίσο με τη μείωση της εσωτερικής ενέργειας του αερίου γ. η πίεση του αερίου αυξάνεται Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 78

81 δ. η εσωτερική ενέργεια του αερίου αυξάνεται. 167.Μια ποσότητα ιδανικού αερίου συμπιέζεται αδιαβατικά. Αν το + αντιστοιχεί σε αύξηση, το - σε μείωση και το μηδέν σε μη μεταβολή ( δηλαδή η ποσότητα παραμένει σταθερή) τότε η μεταβολή του όγκου ΔV η μεταβολή της θερμοκρασίας ΔΤ και η μεταβολή της πίεσης ΔΡ του αερίου θα είναι: 168.Ο όγκος ενός ιδανικού αερίου, το οποίο περιέχεται σε κύλινδρο που κλείνεται με έμβολο, διπλασιάζεται με δύο τρόπους. Με μια ισόθερμη και με μια αδιαβατική μεταβολή. Το έργο που παράγεται από το αέριο θα είναι: α. μεγαλύτερο κατά την ισόθερμη εκτόνωση β. μεγαλύτερο κατά την αδιαβατική εκτόνωση γ. το ίδιο και στις δύο μεταβολές δ. ίσο με την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου και στις δύο μεταβολές. 169.Κατά την αντιστρεπτή εκτόνωση ενός ιδανικού αερίου, η μέση μεταφορική κινητική ενέργεια των μορίων του αερίου ελαττώνεται, όταν η μεταβολή είναι: α. ισόθερμη β. ισοβαρής γ. αδιαβατική δ. οποιαδήποτε από τις παραπάνω Η αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒ ενός ιδανικού αερίου, η οποία παριστάνεται στο διάγραμμα P-U (πίεσης - εσωτερικής ενέργειας) του σχήματος, μπορεί να είναι: α. ισόθερμη εκτόνωση β. ισόχωρη θέρμανση γ. ισοβαρής συμπίεση δ. αδιαβατική εκτόνωση 171. Το διάγραμμα P-V του σχήματος αποδίδει μία κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή ορισμένης μάζας ιδανικού αερίου. Το έργο που εκτελεί το αέριο όταν διαγράφει ένα πλήρη κύκλο, α. θετικό β. αρνητικό γ. μηδέν δ. ίσο με τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 79

82 172.Μια κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή ενός ιδανικού αερίου αποτελείται από τρεις διαδοχικές μεταβολές: Την ισόθερμη συμπίεση ΑΒ, την ισοβαρή εκτόνωση ΒΓ και την ισόχωρη ψύξη ΓΑ. Κατά την διάρκεια ενός κύκλου, ποιο από τα παρακάτω είναι σωστό; 173.Η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα ενός αερίου, υπό σταθερό όγκο: α. ορίζεται απο τη σχέση β. ορίζεται από τη σχέση μόνο αν το αέριο είναι ιδανικό γ. είναι ιση με 5R/2 δ. είναι πάντοτε μεγαλύτερη από τη γραμμομοριακή ειδική θερμότητα του αερίου υπό σταθερή πίεση Οι ειδικές γραμμομοριακές θερμότητες ενός αερίου υπό σταθερή πίεση και υπό σταθερό όγκο είναι αντίστοιχα C P και C v. Για τα διάφορα αέρια α. Cp < C v β. ο λόγος C P / C v έχει την ίδια τιμή γ. το άθροισμα C P + Cv έχει την ίδια τιμή δ. n διαφορά Cp - C v έχει την ίδια τιμή Οι θεωρητικές τιμές των ειδικών γραμμομοριακών θερμοτήτων συμπίπτουν με τις πειραματικές τιμές τους: α. μονό στα μονοατομικα αέρια β. στα μονοατομικα και στα διατομικά αέρια γ. σε όλα τα αέρια δ. μόνο στις κανονικές συνθήκες Σχετικά με τις ειδικές γραμμσμοριακές θερμότητες ισχύει: α. C P > C V, μόνο αν το αέριο είναι μονοατομικό β. Cp - C V, σταθερό, μόνο αν το αέριο είναι μονοατομικό γ. η C P ενός διατομικού αερίου είναι μεγαλύτερη της C v ενός μονοατομικού σε όλες τις περιπτώσεις δ. ο λόγος C P / C v έχει σταθερή τιμή για ένα ιδανικό αέριο Οι τιμές των ειδικών γραμμομοριακών θερμοτήτων ενός αερίου εξαρτώνται α. μόνο από την ατομικότητα των μορίων του αερίου β. μόνο από τον τρόπο σύνδεσης των ατόμων στα μόρια γ. από τη θερμοκρασία δ. από το α και το β Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 80

83 ε. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ "ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ" 178.Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις που αναφέρονται σε μια ποσότητα ιδανικού αερίου είναι σωστές; α. Στην ισόθερμη εκτόνωση ένα μέρος της θερμότητας που απορροφά το αέριο εμφανίζεται ως αύξηση της εσωτερικής του ενέργειας β. Στην ισοβαρή εκτόνωση το έργο του αερίου είναι ίσο με το ποσό της θερμότητας που απορροφά το αέρι ο γ. Στην ισόχωρη θέρμανση το ποσό της θερμότητας που απορροφά το αέριο είναι ίσο με την αύξηση της εσωτερικής του ενέργειας δ. Στην κυκλική μεταβολή το έργο του αερίου είναι ίσο με το συνολικό ποσό της θερμότητας που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον. 179.Για τις μεταβολές (1): ισόχωρη θέρμανση και (2): ισοβαρής εκτόνωση μιας ποσότητας ιδανικού αερίου από μια κατάσταση Α θερμοκρασίας Τι, στις καταστάσεις Β και Γ αντίστοιχα, ίδιας θερμοκρασίας Τ 2, ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος α. ΔU1 > ΔU 2 β. Q1 > Q 2 γ. W1 = W 2 δ. Q1= ΔU1 ε. Q,= ΔU ΣΤΟ διπλανό διάγραμμα απεικονίζονται οι αντιστρεπτές μεταβολές ΑΒ και ΓΔ ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές; α. ΔU ΑΒ > Δυ ΓΔ β- WAB > W ΓΔ γ. WAB = W rδ δ. QΑΒ = Q ΓΔ ε. Αν Ρ Α = 2 Ρ Γ τότε W AB=2 W rδ Για τις μεταβολές ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ του διαγράμματος που αναφέρονται σε μια ποσότητα ενός ιδανικού αερίου ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; α. Δυ ΑΒ > 0 β. Δυ βγ= Δυ ΑΒ γ. U r - U A = Δυ ΒΓ+ ΔU Aβ δ. W Ar= W Αβ + W ΒΓ ε. Q Ar=Q AB +QBΓ 182.Μια ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί την κυκλική μεταβολή απεικονίζεται στο διπλανό διάγραμμα. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες ; που ΙΣΟΧΩΡΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ 183. n=4/r mol ιδανικού αερίου, βρίσκεται σε δοχείο Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 81

84 σταθερού όγκου V=4L σε θερμοκρασία Τι=800Κ. Θερμαίνουμε αντιστρεπτά το αέριο με αποτέλεσμα η πίεση του να τριπλασιαστεί. Να υπολογίσετε: α) Την απόλυτη θερμοκρασία του αερίου στην τελική κατάσταση. β) Το ποσό της θερμότητας που αντάλλαξε το αέριο με το περβάλλον του κατά την διάρκεια της μεταβολής αυτής γ) Την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. Δίνεται: C v=3r/2. [α. Τ 2=2400Κ, β Q AB=9600J, γ. ΔU AB=9600J] 184. n=3mol ιδανικού αερίου υπόκεινται σε ισόχωρη μεταβολή από αρχική πίεση P1=4Atm σε πίεση p2=3atm. Κατά τη διάρκεια της μεταβολής αυτής, το αέριο αντάλλαξε με το περιβάλλον του θερμότητα Q=-3750J. α) Να υπολογίσετε την αρχική και την τελική απόλυτη θερμοκρασία του αερίου β) Να υπολογίσετε τον όγκο του αερίου γ) Να σχεδιάσετε τα διαγράμματα P-V, V-T, Ρ-Τ,U-V και U-P για την παραπάνω μεταβολή σε βαθμολογημένους άξονες. Δίνονται: 3R=25J/mol.K, C v=3r/2 και latm=10 5 N/m 2. [a. T1=400K f T 2=300K, β, V1=25.10~ 3 m 3 ] 185. ΣΤΟ διπλανό διάγραμμα παριστάνεται μια αντιστρεπτή μεταβολή στην οποια υπόκεινται ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου, από πίεση P1=lAtm και όγκο Vi=4L, σε πίεση Ρ 2=2Ρι. Κατά την διάρκεια αυτής της μεταβολής, n θερμοκρασία του αερίου αυξήθηκε κατά ΔΤ=400Κ. α) Να χαρακτηρίσετε το είδος της μεταβολής και να υπολογίσετε την αρχική απόλυτη θερμοκρασία του αερίου. β) Να υπολογίσετε τη θερμότητα, το έργο και την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά την διάρκεια της διεργασίας αυτής. γ) Να σχεδιάσετε τα διαγράμματα P-V, V-T και U-P για την παραπάνω μεταβολή σε Ι; βαθμολογημένους άξονες. Δίνονται: C v=3r/2 και 1Atm=10 5 N/m 2. [α. Τ1=400Κ, β. Q=600J, W=0,ΔU=600J] 186, n=1mol ιδανικού αερίου υπόκεινται σε δύο διαφορετικές ισόχωρες μεταβολές: Ισόχωρη 1 ΑΒ: από πίεση Ρ Α =2Atm σε πίεση P Β=2,1Atm. Ισόχωρη 2 ΓΔ: από θερμοκρασία Τ Γ=300Κ σε θερμοκρασία Τ Δ=324Κ. Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στη μεταβολή ΑΒ είναι ίση με τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στη μεταβολή ΓΔ (ΔUΑΒ= ΔUΓΔ)- Να υπολογίσετε: α) Την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου στις δύο μεταβολές β) Τον όγκο του αερίου κατά την διάρκεια της ισόχωρης 1 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 82

85 γ) Την απόλυτη θερμοκρασία Τ Α του αερίου στην κατάσταση Α και την απόλυτη θερμοκρασία Τ β του αερίου στην κατάσταση Β. Δίνονται: 3R=25J/mol.K, C v=3r/2 και latm=10 5 N/m 2 [a. ΔU=300J, β. V A= m 3, γ. Τ Α=48ΌΚ,Τ Β=504Κ] ΙΣΟΘΕΡΜΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ 187. Έστω ιδανικό αέριο το οποίο βρίσκεται στην κατάσταση Α με πίεση ΡΑ=10 5 ΡΟ και καταλαμβάνει όγκο V A= m 3. Το αέριο μεταβαίνει ισόθερμα στην κατάσταση Β στην οποία η πίεση του έχει γίνει τετραπλάσια της αρχικής. Να υπολογιστούν: α) Ο τελικός όγκος του αερίου. β) Το έργο του αερίου για την παραπάνω ισόθερμη μεταβολή γ) Η θερμότητα που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον του καθώς και η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας δ) Να παραστήσετε τη μεταβολή σε βαθμολογημένους άξονες P-V. Δίνεται Ιη2=0,7 [a. V B=10-3 m 3, β W AB=-560J, γ. Q AB=-560J, ΔU ΑΒ= Ποσότητα n=2/r mol ιδανικού αερίου βρίσκονται στην κατάσταση Α σε θερμοκρασία Τ Α=300Κ. Αν το αέριο μεταβεί ισόθερμα στην κατάσταση Β με όγκο VB=8 ν A να υπολογιστούν; α) Ο λόγος της τελικής προς την αρχική πίεση Ρβ/ Ρ Α. β) Το έργο που παράγει το αέριο. γ) Η θερμότητα που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον του καθώς και η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας δ) Να παραστήσετε ποιοτικά τη μεταβολή σε άξονες P-V. Δίνεται Ιη2=0,7 [α. ΡΒ/Ρ Α =1/8, β W AB=1260J, γ. Q AB=1260J, Δυ ΑΒ= Μία ποσότητα αερίου εκτονώνεται ισόθερμα από την αρχική κατάσταση Α (6 ΙΟ 5 N/m 2,2m 3 ), στην τελική κατάσταση Β (3 ΙΟ 5 N/m 2, Vg). Να βρείτε τη θερμότητα Q που απορρόφησε το αέριο. [Q= J 190. Ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται μέσα σε κυλινδρικό μεταλλικό δοχείο, που φράσσεται αεροστεγώς με έμβολο. Το δοχείο είναι τοποθετημένο μέσα στο νερό μεγάλης δεξαμενής σταθερής θερμοκρασίας. Αρχικά το αέριο καταλαμβάνει όγκο V1=O,3L και με απορρόφηση θερμότητας, πολύ αργά, διπλασιάζει τον όγκο του. Αν η θερμότητα που απορρόφησε το αέριο είναι ίση με 21J, να υπολογίσετε την αρχική και την τελική πίεση του αερίου. Δίνεται lη2=ο,7. [Ρ1=1Ο 5 Ρα,Ρ 2=5.1Ο 5 Ρα] 191. n=4/r mol ιδανικού αερίου, βρίσκονται σε κατάσταση Α, πίεσης P A=2Atm, όγκου ν A και θερμοκρασίας Τ A=400Κ. Το αέριο υπόκειται σε ισόθερμη αντιστρεπτή μεταβολή με αποτέλεσμα η πίεση του να διπλασιαστεί. α) Να υπολογίσετε την πίεση τον όγκο και την απόλυτη θερμοκρασία του αερίου στην τελική κατάσταση. β) Να σχεδιάσετε για τη μεταβολή τα διαγράμματα Ρ-V, Ρ-Τ και V-T, σε βαθμολογημένους άξονες. γ) Να υπολογίσετε την θερμότητα και το έργο που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον του και να βρείτε Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 83

86 την μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας. Δίνονται: 1Atm=10 5 N/m 2 και Ιη2=Ο,7 [α.ρ Β=4. 1Ο 5 Ρα, Τ Α=400Κ, V B= m 3, γ. Q AB=W AB=-1120J, ΔU AB=0] 192. Ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται σε κατάσταση Α με πίεση PΑ=2Atm, όγκο ν A και θερμοκρασία Τ A. Το αέριο αναγκάζεται να υποστεί ισόθερμη μεταβολή με αποτέλεσμα να διπλασιάσει την πίεση του. Το ποσό της θερμότητας που αποβάλλει το αέριο κατά τη μεταβολή αυτή είναι 800ln2 J. α) Να χαρακτηρίσετε την ισόθερμη μεταβολή ως "εκτόνωση" ή "συμπίεση" και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας β) Να υπολογίσετε τον αρχικό και τον τελικό όγκο του αερίου. γ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της παραπάνω μεταβολής σε βαθμολογημένους άξονες P-V. Δίνεται: latm=10 5 N/m 2 [β V A= m 3, V B= m 3 ] ΙΣΟΒΑΡΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗ 193. Ποσότητα ύλης η= 10 mol ιδανικού αερίου, που βρίσκεται σε θερμοκρασία 27 C, εκτονώνεται ισοβαρώς μέχρι το διπλάσιο όγκο. Να βρεθούν: α) Η τελική θερμοκρασία του αερίου. β) Το ποσό θερμότητας που προσφέρθηκε στο αέριο, γ) Το έργο που παρήγαγε το αέριο, δ) Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. Δίνονται: R= 8,31 J/mol Κ, C p = 20,8 J/mol Κ [α. Τ=600Κ, β. Q=62400J, γ. W=24942 J, δ. ΔU=37458J] 194 Κατά την ισοβαρή αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒ μιας ποσότητας ιδανικού αερίου έχουμε αύξηση της εσωτερικής του ενέργειας κατά Δυ=6000J Για τη μεταβολή ΑΒ να βρείτε το έργο W που παράγει το αέριο και τη θερμότητα Q που αυτό απορροφά. [W=4000J,Q=10000J] 195. Ιδανικό αέριο εκτονώνεται ισοβαρώς, απορροφώντας θερμότητα Q = 1500 Joule. Να βρείτε: α) την ενέργεια W που αποδίδει το αέριο στο περιβάλλον. Ρ) αν αυξήθηκε ή ελαττώθηκε η εσωτερική ενέργεια του αερίου και πόσο; Δίνονται: C v=3r/2 [a. W=600J, β.δu=900j] 30. Ποσότητα n=1/r mol ιδανικού αερίου βρίσκονται στην κατάσταση Α σε θερμοκρασία Τ Λ=300Κ και καταλαμβάνουν όγκον Α=10-3 m 3. Το αέριο εκτονώνεται ισοβαρώς διπλασιάζοντας την θερμοκρασία του μεταβαίνοντας στην κατάσταση Β. Να υπολογίσετε: α) Την αρχική και την τελική πίεση του αερίου. β) Τον τελικό όγκο του αερίου. : γ) Το έργο που παράγεται κατά την εκτόνωση του. δ) Την εσωτερική ενέργεια του αερίου στις καταστάσεις Α και Β καθώς και την μεταβολή της. ε) Την θερμότητα που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον του. [α.ρ Α=Ρ Β= Ρα, β V B=210-3 m 3, y.w AB=300J, 6.V A=450J, U B=900J, ΔU AB=450J, ε. QAB=750J] 196. Ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται υπό πίεση P1=2Atm και καταλαμβάνει όγκο V1=2L Υποβάλλουμε το αέριο σε ισοβαρή αντιστρεπτή μεταβολή μέχρι διπλασιασμού του όγκου του. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 84

87 α) Να χαρακτηρίσετε την ισοβαρή μεταβολή ως "ψύξη" ή "θέρμανση" και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. β) Να υπολογίσετε την θερμότητα και το έργο που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον κατά την διάρκεια της μεταβολής αυτής. γ) Να υπολογίσετε το πηλίκο της θερμότητας που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον του προς τη μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας (Q/ΔU). δ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα U-V για τη διεργασία σε βαθμολογημένους άξονες. Δίνονται: C v=3r/2 και latm=10 5 N/m 2 [β Q=IOOOJ, W=400J, γ. Q/ΔU=5/3] 197. Ποσότητα n=4/rmol ιδανικού αερίου, βρίσκεται σε αρχική κατάσταση Α θερμοκρασίας Τ Α=400Κ και μεταβαίνει σε κατάσταση Β θερμοκρασίας Τ Β=600Κ με ισοβαρή αντιστρεπτή μεταβολή α) Να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον του. β) Να υπολογίσετε την εσωτερική ενέργεια του αερίου στις καταστάσεις Α και Β γ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα U-T για την παραπάνω μεταβολή σε βαθμολογημένους άξονες δ) Να αποδείξετε ότι αν η ίδια ποσότητα αερίου υποστεί οποιαδήποτε ισοβαρή αντιστρεπτή μεταβολή μεταξύ των ίδιων θερμοκρασιών Τ A και Τ Β, τότε : ι) Η εσωτερική ενέργεια του αερίου μεταβάλλεται κατά το ίδιο ποσό. ιι) Το αέριο ανταλλάσσει με το περιβάλλον το ίδιο ποσό θερμότητας και το ίδιο ποσό έργου. [a. W=800J, β. U A=2400J, U B=3600J ] 198. Ιδανικό αέριο υπόκειται σε αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒ που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΛΚ είναι loon.m. α) Να υπολογίσετε το έργο του αερίου κατά την μεταβολή ΑΒ. β) Να υπολογίσετε τη θερμότητα που αντάλλαξε το αερίο κατά την μεταβολή ΑΒ. γ) Αν ο αριθμός των mol του αερίου είναι η=1/r και η αρχική θερμοκρασία ισούται με Τ A=1ΟΟΟΚ, να υπολογίσετε την απόλυτη θερμοκρασία του αερίου στην τελική κατάσταση. Δίνεται: C P=5R/2 [. W AB=-100J, β QAB=-250J, γ. Τ Β=900Κ] 199. Ένα κυλινδρικό δοχείο είναι τοποθετημένο κατακόρυφα και το πάνω μέρος του κλείνεται με έμβολο εμβαδού Α = 0,25m 2, το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Στο δοχείο περιέχονται 0,020kg αερίου σε θερμοκρασία θ=0 C και σε πίεση ρ = 2, ΝI m 2.Θερμαίνουμε το αέριο διατηρώντας σταθερή την πίεση του. Αν το ποσό ερμότητας που του προσφέρουμε είναι Q= J, να βρείτε: α) τη μεταβολή της θερμοκρασίας του αερίου, β) το έργο που παράγει το αέριο, γ) τη μετατόπιση του εμβόλου. Δίνονται: για το αέριο: [a.δt=60k, β. W=4986J, y.δx=0,08mj Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 85

88 ΑΔΙΑΒΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ 200. Έστω ιδανικό αέριο με γ=5/3 το οποίο βρίσκεται στην κατάσταση Α με πίεση Ρ Α=1Ο 5 Ρα,θερμοκρασία Τ Α=3ΟΟΚ και καταλαμβάνει όγκο ν Α= m 3. Συμπιέζουμε αδιαβατικά το αέριο μέχρι η πίεση του να γίνει Ρβ=32.1Ο 5 Ρα. Να υπολογίσετε: ' α) Τον τελικό όγκο του αερίου. β) Την τελική του θερμοκρασία. γ) Το μηχανικό έργο που απαιτήθηκε για τη συμπίεση του αερίου. δ) Την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. [α. ν Β=10-3 m 3, β Τ Β=1200Κ, γ.v AB=-3600J, δ. ΔU AB=3600J] 201. Μία ποσότητα ηλίου συμπιέζεται αδιαβατικά από μία κατάσταση A (latm, 16L) σε μία νέα κατάσταση Β (Ρ 2, 2L). Αν για τη συμπίεση του ηλίου απαιτήθηκε έργο Joule, να βρείτε: α) Την τελική πίεση Ρ 2. β) Αν αυξήθηκε ή ελαττώθηκε n εσωτερική ενέργεια του ηλίου και πόσο; Δίνονται: γ = 5/3 και 1Atm=10 5 N/m 2 [a. P 3=32Atm β ΔU=7200J] 202. Αέριο εκτονώνεται αδιαβατικά από όγκο V1=lm 3 σε όγκο V2=8m 3. Αν για το αέριο αυτό,στην παραπάνω μεταβολή ισχύει PV γ = 16ONm 3 να υπολογίσετε: α) Τη σταθερά γ του αερίου β) Το έργο που παράγει το αέριο γ) Τη μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας. [a. γ=5/3, β. W=180J, γ.δu=-180j] 203, Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται σε κατάσταση Α, πίεσης ρ Α = 16 atm, όγκου V A = 2L,και θερμοκρασίας Τ A = 400K. Το αέριο υπόκειται σε αδιαβατική αντιστρεπτή μεταβολή με αποτέλεσμα ο όγκος του να γίνει 8 φορές μεγαλύτερος του αρχικού. α) Nα υπολογίσετε την τελική πίεση του αερίου. β) Να υπολογίσετε το έργο που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον του. γ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα Ρ-V για τη μεταβολή αυτή σε βαθμολογημένους άξονες. Δίνονται: C v=3r/2 και latm=10 5 N/m 2 [a.p B=0, N/m 2,β..W=3600J] 204. Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου υπόκειται σε αδιαβατική αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒ. Στην κατάσταση Β το αέριο καταλαμβάνει όγκο V B = 8L και ασκεί πίεση ρ Β =1latm. Κατά τη διάρκεια της μεταβολής αυτής το αέριο απορροφά από το περιβάλλον ενέργεια 2000 J, με τη μορφή έργου. α) Να υπολογίσετε τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου και τη θερμότητα που αντάλλαξε με το περιβάλλον του. β) Αν το αέριο υποστεί αδιαβατική αντιστρεπτη μεταβολή μέχρι κατάσταση Γ, με όγκο V Γ=V B/8 ξεκινώντας Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 86

89 από την ίδια αρχική κατάσταση Α, να υπολογίσετε το έργο που αντάλλαξε με το περιβάλλον του κατά τη μεταβολή αυτή. Δίνονται: 1Atm=10 5 N/m 2 και γ=5/3. [a. ΔU=2000J, Q1=O, β W 2=-9200J] ΤΥΧΑΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ 205 Ιδανικό αέριο υποβάλλεται στην τυχαία γραμμική μεταβολή του σχήματος. Αν η ποσότητα του αερίου είναι n=2/r mol και Ρ Α=2.1Ο 5 Ρα και V A= m 3, να υπολογιστούν: α) Η αρχική και η τελική του θερμοκρασία. β) Η αρχική και η τελική εσωτερική του ενέργεια γ) Το έργο που παρήγαγε το αέριο κατά την εκτόνωση του. δ) Η θερμότητα που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον του. [α.τ Α=200Κ, Τ Β=800Κ, β. U A=600J, U B=2400J, γ. W AB=600J, δ. Q AB=2400j] Ιδανικό αέριο βρίσκεται στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α (ρ Αι V Α, Τ Α) με V A=0,2 m 3 και TA=320 Κ. Το αέριο εκτονώνεται αντιστρεπτά μέχρι την κατάσταση Β (P B, V B. Τ Β) με V B = 0,5 m 3. Αν η αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒ περιγράφεται απ' τον εμπειρικό νόμο P= (-5V + 3,5) ΙΟ 5 (Το Vείναι σε m 3 και το P σε Ρα) να βρεθούν: α) Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου, β) Η θερμότητα που απορρόφησε το αέριο. [α.δu ΑB=0, β.q AΒ=52500J] 206. Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου, n=2/r mol βρίσκεται αρχικά σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α, με όγκο V A = M 3 και πίεση ρ Α =ΙΟ 5 N/m 2. To αέριο υφίσταται την αντιστρεπτή μεταβολή του σχήματος, απορροφώντας ποσό θερμότητας Q = 1200 J, μέχρι να βρεθεί στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Β με όγκο V B = 2V A και πίεση ρ Β = 2ρ Α. Να βρεθούν: α) η θερμοκρασία Τ Α του αερίου στην κατάσταση Α, β) η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας ΔU =U B -U A, γ) το έργο WAB που παράγεται κατά τη μεταβολή ΑΒ. [α. Τ Α=100Κ, β.δu AB=900J, γ. W AB=300J] 207. Μία ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί τη μεταβολή ΑΒ, που το διάγραμμα της σε άξονες ρ-v είναι ευθεία γραμμή. Αν ρ Α= ΝI m 2,p B = ΝI m 2,V A =10-3 m 3 και V B = m 3 να βρείτε: α) Την πίεση του αερίου σε συνάρτηση με τον όγκο του. β) Την θερμότητα Q AB που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον του. [α,ρ= ν , β. Q AB=450J] Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 87

90 208. Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου υποβάλλεται σε αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒ κατά τη διάρκεια της οποίας η πίεση μεταβάλλεται ανάλογα με τον όγκο, σύμφωνα με τον τύπο :ρ = 10 8 V (S.I.). Στην αρχική κατάσταση Α το αέριο έχει όγκο V A = 2L, ενώ στην τελική κατάσταση Β έχει όγκο V B= 8L.Av γνωρίζουμε ότι C v=3r/2,vα υπολογίσετε: α) Την πίεση του αερίου στην αρχική και τελική κατάσταση. β) Το έργο που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον του. γ) Το πηλίκο της μεταβολής της εσωτερικής ενέργειας του αερίου προς τη θερμότητα που αντάλλαξε με το περιβάλλον του. [a. P A = ΝI m 2, Ρ Β= ΝI m 2, β W AB=3000J, γ. ΔU/Q=3/4] Δ Ι Α Δ Ο Χ Ι Κ Ε Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Ε Σ 209. Ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται αρχικά στην κατάσταση ισορροπίας A (po, V Οι Τ ο) και ψύχεται ισόχωρα μέχρι θερμοκρασία Τ ο/2 Κατόπιν εκτονώνεται ισοβαρώς μέχρι τη θερμοκρασία T ο. Στη συνέχεια, θερμαίνεται ισόχωρα μέχρι τη θερμοκρασία 3 Τ ο/2 και τέλος συμπιέζεται ισοβαρώς, μέχρι την αρχική θερμοκρασία T ο. α) Να παρασταθούν σε διάγραμμα ρ V oι μεταβολές που εκτέλεσε το αέριο. β) Να αποδειχθεί ότι για την συνολική μεταβολή είναι Wολικο = Ο. γ) Να υπολογίσετε την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου καθώς και τη θερμότητα που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον για την συνολική μεταβολή. [γ.δv ολικο=0,q ολικο=0] 210. Ιδανικό αέριο μεταβαίνει από την κατάσταση A (Po,V o Τ ο ) σε κατάσταση Γ όπου ο όγκος είναι διπλάσιος με δύο τρόπους: ι) με μια διαδρομή ΑΒΓ, η οποία αποτελείται από μια ισοβαρή εκτόνωση ΑΒ και μια ισόχωρη ψύξη ΒΓ. ιι) με διαδρομή ΑΓ, η οποία είναι μια ισόθερμη μεταβολή α) Να παραστήσετε τις μεταβολές σε διάγραμμα P-V, με κοινούς άξονες. β) Να υπολογίσετε τους λόγους: Q AΓ<Q ΑΒΓ και W AΒΓ/W AΓ [β. QΑΓ/QΑΒΓ, W ABT/W Ar=1/ln2] 211.Ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται σε κατάσταση Α πίεσης ρ Α = 8atm, όγκου V A = 2L και θερμοκρασίας θ A=1327 C. Το αέριο υπόκειται στις παρακάτω διαδοχικές αντιστρεπτές μεταβολές:ισόθερμη μεταβολή μέχρι την κατάσταση Β, όγκου V B = 4L και στη συνέχεια ισόχωρη μεταβολή μέχρι την κατάσταση Γ, πίεσης p r = latm. α) Να υπολογίσετε την απόλυτη θερμοκρασία του αερίου στην κατάσταση Γ. β) Να σχεδιάσετε τα διαγράμματα p-v, ρ-τ και V-T σε βαθμολογημένους άξονες για τη διεργασία ΑΒΓ γ) Να υπολογίσετε το ολικό έργο και την ολική θερμότητα που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον του. δ) Να υπολογίσετε τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά τη μετάβαση του από την κατάσταση Α στην τελική κατάσταση Γ. Δίνονται: και latm=10 5 N/m 2 και lη2=0,7 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 88

91 [α. Τ Γ=800Κ, γ. Q OΛΙΚΟ=-80J, W OΛΙΚΟ=1120J, δ. ΔU OA=-1200J] 212. ΣΤΟ διπλανό διάγραμμα παριστάνονται δύο διαδοχικές αντιστρεπτές μεταβολές στις οποίες υπόκεινται n=4/r mol ιδανικού αερίου (όπου R η παγκόσμια σταθερά των ιδανικών αερίων σε J/mol.K). Αν κατά την μεταβολή ΑΒ ισχύει Ρ.ν=σταθερό, να υπολογίσετε: α) Την πίεση και την απόλυτη θερμοκρασία του αερίου στην κατασταση Γ.β) Τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά τη μεταβολή ΒΓ. γ) Τη συνολική θερμότητα και το συνολικό έργο που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον. Δίνονται : C v=3r/2, Ιη2=0,7 [a. P Γ= N/m 2, T Γ=16Q0K, β. ΔU Br=7200J, γ. Q OΛΙΚΟ=9760J, W OΛΙΚΟ=2560] 213. Αέριο από την κατάσταση ισορροπίας A (2N/m 2, 2m 3, Τ Α), εκτονώνεται ισοβαρώς μέχρι vα αποκτήσει όγκο VB = 3m 3 και στη συνέχεια επαναφέρεται αδιαβατικά στην αρχική θερμοκρασία Τ Α. Αν κατά την ισοβαρή μεταβολή, το αέριο απορρόφησε θερμότητα Q1 = 50 Joule, να βρείτε την ενέργεια W2 που απέδωσε το αέριο στο περιβάλλον κατά την αδιαβατική μεταβολή. [W 2=48J] 214. Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου καταλαμβάνει όγκο V Α, υπό πίεση ΡΑ και θερμοκρασία Τ Α. Το αέριο αυτό εξαναγκάζεται να εκτελέσει τις παρακάτω διαδοχικές αντιστρεπτές μεταβολές: ΑΒ: Ισόθερμη μεταβολή, κατά την οποία διπλασιάζεται ο όγκος του και αποδίδει στο περιβάλλον του έργο 2OOIn2 J. ΒΓ: Ισόχωρη μεταβολή, όγκου 4L, μέχρι υποδιπλασιασμού της απόλυτης θερμοκρασίας του. α) Να υπολογίσετε τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου για τις μεταβολές ΑΒ και ΒΓ ξεχωριστά καθώς και για το σύνολο της μεταβολής ΑΒΓ. β) Να υπολογίσετε την πίεση του αερίου στην κατάσταση Β. γ) Να σχεδιάσετε τη μεταβολή ΑΒΓ σε διάγραμμα p-v με βαθμολογημένους άξονες. Δίνεται: C v=3r/2. [a. ΔU AB=0,ΔU Br=-150J ΔU OΛΙΚΟ=-I50J, β. P B=0, Νt/ m Ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται σε κατάσταση Α, πίεση Ρ Α=8 atm, όγκου VΑ=2L και θερμοκρασίας Τ Α = 300Κ. Το αέριο, ξεκινώντας από την κατάσταση Α μεταβαίνει στην κατάσταση Γ με δύο τρόπους, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. 1 ος τρόπος: ΑΒΓ και 2 ος τρόπος: ΑΔΓ. α) Να υπολογίσετε την πίεση τον όγκο και την απόλυτη θερμοκρασία του αερίου στις καταστάσεις Β,Γ,Δ. β) Να αποδείξετε ότι στις δύο ισοβαρείς μεταβολές ΑΒ και ΔΓ, το αέριο ανταλλάσσει με το περιβάλλον του το ίδιο ποσό θερμότητας καθώς και το ίδιο ποσό έργου. Να αποδείξετε επίσης ότι η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου στις δύο αυτές μεταβολές είναι η ίδια. γ) Σε ποιον από τους δύο τρόπους, το αέριο παράγει μεγαλύτερο ποσό έργου; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. δ) Σε ποιον από τους δύο τρόπους το αέριο απορροφά από το περιβάλλον μεγαλύτερο ποσό Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 89

92 θερμότητας; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. [a. P B=8Atm, Τ Β=600Κ, V B=4L, P r=4atm, Tr=600K, V Γ=8L, P Δ=4Atm, Τ Δ=300Κ V Δ=4 L, γ. στον 1, δ. στον Ορισμένη μάζα ιδανικού αερίου εκτελεί τις αντιστρεπτές μεταβολές που φαίνονται στο διπλανό διάγραμμα. Το συνολικό έργο που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον του ισούται με W oa=2000j. α) Να σχεδιάσετε ποιοτικά τις μεταβολές αυτές σε διάγραμμα p-v. β) Να υπολογίσετε τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας Δυ ΒΓ. γ) Στη μεταβολή ΑΒ η απόλυτη θερμοκρασία του αερίου αυξήθηκε κατά 400Κ. Να υπολογίσετε τη μάζα του αερίου. [β. ΔU BΓ =-3000J, γ. m=2,4gr] 217. Ποσότητα n=4/r mol ιδανικού αερίου (όπου R η παγκόσμια σταθερά των ιδανικών αερίων σε J/mol.K), βρίσκονται σε κατάσταση Α πίεσης Ρ Α=2 atm, όγκου V A=6L και θερμοκρασίας Τ Α. Από την κατάσταση αυτή το αέριο μεταβαίνει σόθερμα και αντιστρεπτά σε κατάσταση Β, όγκου V Β=2V Α Στη συνέχεια ερμαίνεται ισόχωρα και αντιστρεπτά μέχρι την κατάσταση Γ, θερμοκρασίας Τ Γ=3Τ Α. Τέλος με ισοβαρή αντιστρεπτή συμπίεση το αέριο μεταβαίνει σε κατάσταση Δ στην οποια T Δ=2T A. α) Να υπολογίσετε την πίεση τον όγκο και τη θερμοκρασία στις καταστάσεις Β,Γ,Δ. β) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα ρ-v για το σύνολο της μεταβολής σε βαθμολογημένες άξονες, γ) Να υπολογίσετε το συνολικό έργο και τη συνολική θερμότητα που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον του. δ) Να υπολογίσετε την εσωτερική ενέργεια του αερίου στην κατάσταση Δ. Δίνονται: C v=3r/2, latm=10 5 N/m 2 και Ιη2=0,7 [a. P B=1Atm, Τ Β=300Κ, V B=12L, P r=3atm, Τ Γ=900Κ, V r=12l, P Δ=3Atm, Τ Δ=600Κ,V A=8L, γ. W OΛ=360J, Q OΛ=l440J, δ. U Δ=3600J] 218, Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται σε κατάσταση Α, πίεσης PA=16atm, όγκου V A=1L και θερμοκρασίας Θ Α = 27 C. Το αέριο υπόκειται στις παρακάτω αντιστρεπτές διαδοχικές μεταβολές: ΑΒ: Ισοβαρή εκτόνωση μέχρι τετραπλασιασμού της εσωτερικής του ενέργειας. ΒΓ: Ισόθερμη εκτόνωση μέχρι διπλασιασμού του όγκου. ΓΔ: Αδιαβατική εκτόνωση μέχρι να αποκτήσει την αρχική εσωτερική του ενέργεια, α) Να υπολογίσετε την πίεση, τον όγκο και την απόλυτη θερμοκρασία του αερίου σε κάθε κατάσταση Β,Γ,Δ. β) Να σχεδιάσετε τα διαγράμματα P-V, σε βαθμολογημένους άξονες για το σύνολο της μεταβολής. γ) Να υπολογίσετε την ολική θερμότητα και το ολικό έργο που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον του. Δίνονται: γ=5/3, latm=10 5 N/m 2 και Ιη2=Ο,7 [a.p B=16Atm, Τ Β=1200Κ, V B=4L, P r=8atm, T r=1200k, V r=8l, P Δ=0,25Atm, Τ Δ=300Κ, ν Δ=64L, γ. WOΛ=16480J, Q OΛ=16480J ] ΚΥΚΛΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 90

93 219. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου υφίσταται την αντιστρεπτή κυκλική μεταβολή του σχήματος.av P A=210 5 N/m 2, V A =1L, V r = 5L και Ρ Β =410 5 N/m 2 να βρείτε : α) το έργο του αερίου σε κάθε επιμέρους μεταβολή, β) τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου σε κάθε επιμέρους μεταβολή, γ) το συνολικό ποσό θερμότητας που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον. [a. W AB=1200J, W BΓ=O, W ra=-800j, β ΔU AB=2700J, ΔU BΓ=-1500J, ΔU ra=-1200j y. Q OΛ= W OΛ=400J) 220. Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒΓΔΑ, όπου: ΑΒ: ισόθερμη εκτόνωση. ΒΓ: ισόχωρη ψύξη. ΓΔ: ισοβαρής ψύξη ΔΑ: ισόχωρη θέρμανση Αν είναι γνωστό ότι: Τ Α=500Κ, Τ Γ=400Κ, V A = 1L, V B=3L ΚΑΙ P A = N/m 2 α) Να σχεδιάσετε την κυκλική μεταβολή σε διάγραμμα Ρ- V β) Να βρείτε το έργο του αερίου σε κάθε επιμέρους μεταβολή, γ) Να βρείτε τη θερμότητα που ανταλλάσσεται σε κάθε επιμέρους μεταβολή. [β. W AB=600ln3J, W Br=W AA=0, W rδ=-320j, γ. Q AB=600ln3 J, Q Br=-180J, QΓA=-800J,QΔA=660J] 221. Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται αρχικά σε κατάσταση Α πίεσης ΡΑ = 3 atm, όγκου VΑ = 4L και θερμοκρασίας Τ Α = 300Κ και υποβάλλεται στις παρακάτω διαδοχικές αντιστρεπτές μεταβολές: ΑΒ: Ισοβαρή εκτόνωση μέχρι διπλασιασμού του όγκου. ΒΓ: Ισόχωρη μεταβολή μέχρι την αρχική θερμοκρασία. ΓΑ: Ισόθερμη μεταβολή μέχρι την αρχική κατάσταση. α) Να σχεδιάσετε την κυκλική μεταβολή που εκτελεί το αέριο σε διαγράμματα P-V και V-T με βαθμολογημένους άξονες. β) Να υπολογίσετε τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου σε κάθε επιμέρους μεταβολή. γ) Να υπολογίσετε το έργο και τη θερμότητα που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον του σε κάθε μεταβολή ξεχωριστά. Δίνονται : C v=3r/2, latm=10 5 N/m 2 και lη2=0,7 [βδuab=1800j, ΔU Br=-1800J, ΔU ra=0, γ. W AB=1200J, W Br=0, W ra=-840j, γ.qab=3000j, Q Br=-1800J, Q ra=-840j} 222. Αέριο εκτελεί κυκλική μεταβολή, η οποία αποτελείται από τρεις επιμέρους αντιστρεπτές μεταβολές. 0 ισόχωρη θέρμανση ΑΒ ii) ισόθερμη εκτόνωση ΒΓ iii) ισοβαρή συμπίεση ΓΑ α) Να παρασταθεί ο κύκλος (ποιοτικά) σε διαγράμματα Ρ - V, Ρ - Τ, V - Τ. β) Να βρεθεί η θερμότητα Q BΓ, αν δίνονται W ολ = 250 J, Q AB = 300 J, γ= 1,4. [β. QBΓ=-370J) 223 Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α, πίεσης Ρ Α = 2 atm, όγκου VΆ και Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 91

94 θερμοκρασίας Τ A. Το αέριο υπόκειται στις παρακάτω διαδοχικές αντιστρεπτές μεταβολές ΑΒ: Ισόχωρη θέρμανση μέχρι διπλασιασμού της απόλυτης θερμοκρασίας, ΒΓ : Ισόθερμη εκτόνωση κατά την οποία το αέριο απορροφά από το περιβάλλον θερμότητα Q ΒΓ = 800 In2 J. ΓΑ: Ισόβαρης μεταβολή μέχρι την αρχική κατάσταση. α) Να αποδείξετε ότι στην κατάσταση Γ το αέριο αποκτά το μέγιστο όγκο του. Ποια η σχέση του όγκου αυτού με τον όγκο V Ά; β) Να υπολογίσετε τον ελάχιστο όγκο του αερίου. γ) Να υπολογίσετε το πηλίκο της θερμότητας που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον του κατά την ισοβαρή μεταβολή, προς τη θερμότητα που αντάλλαξε στην ισόχωρη μεταβολή, δ) Να υπολογίσετε το συνολικό έργο που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον του κατά την κυκλική μεταβολή. Δίνονται : γ=5/3, latm=10 5 N/m 2 και Ιη2=0,7 [a. V r=2v A, β. V A= m 3, y. Q ΓA/'QAB=-5/3, δ. W OΛ=160J] 224 Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται σε αρχική κατάσταση Α, πίεσης Ρ A = 1 atm, όγκου V A = 4L και θερμοκρασίας Τ A = 200Κ και εκτελεί κυκλική μεταβολή που απαρτίζεται από τις εξής διαδοχικές αντιστρεπτές μεταβολές ; ΑΒ: Κατά τη διάρκεια της οποίας η πίεση είναι ανάλογη του όγκου, μέχρι να τετραπλασιαοτεί n πίεση του αερίου. ΒΓ : Ισόχωρη ψύξη μέχρι την αρχική πίεση. ΓΑ: Ισοβαρή μεταβολή μέχρι την αρχική κατάσταση. α) Να υπολογίσετε την πίεση, τον όγκο και την απόλυτη θερμοκρασία του αερίου στις καταστάσεις Β και Γ β) Να σχεδιάσετε την κυκλική μεταβολή σε διάγραμμα Ρ - V με βαθμολογημένους άξονες, γ) Να υπολογίσετε το συνολικό έργο WOΛ που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον του. δ) Να υπολογίσετε το πηλίκο WOΛ / Q ΠΡΟΣόπου Q ΠΡΟΣ η θερμότητα που πρόσφερε το περιβάλλον στο αέριο. Δίνονται C v=3r/2, latm=10 5 N/m 2 [a. P B=4Atm, V B=16L, Τ Β=3200Κ, P Γ=lAtm, V Γ=l6L, Τ Γ=800Κ, γ. W OΛ=l800J, δ. 0,15] ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ 2 ΟΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ Γ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ 22S. Για μία θερμική μηχανή Carnot που εκτελεί την κυκλική μεταβολή Α >Β >Γ >Δ >Α με Αβ ισόθερμη εκτόνωση, να δείξετε τις παρακάτω σχέσεις: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 92

95 226 Όπως είναι γνωστό, όταν το αραιό αέριο μιας θερμικής μηχανής εκτελεί μια κυκλική μεταβολή, ισχύει Q OΛ = WOΛ δηλαδή το συνολικό ποσό της θερμότητας που προσφέρεται στο αέριο μεταφέρεται με μορφή μηχανικού έργου στο περιβάλλον. Μήπως αυτό έρχεται σε αντίθεση με τον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. 227Δύο θερμικές μηχανές Carnot λειτουργούν μεταξύ των ίδιων θερμοκρασιών Τι και Τ 2. Η μια μηχανή χρησιμοποιεί ως μέσο ένα αραιό μονοατομικό αέριο και η άλλη ένα αραιό διατομικό αέριο. Ποια από τις δύο μηχανές θα έχει μεγαλύτερο συντελεστή απόδοσης; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. 80. Ο συντελεστής απόδοσης μίας μηχανής Carnot είναι e r=o,5. Ποιος θα είναι ο νέος συντελεστής απόδοσης της μηχανής, αν η θερμοκρασία της θερμής δεξαμενής αυξηθεί κατά 20% και η θερμοκρασία της ψυχρής δεξαμενής μειωθεί κατά 20%. 228, Δύο μηχανές Carnot (1 και 2) αποβάλλουν ποσά θερμότητας στο περιβάλλον που βρίσκεται σε θερμοκρασία T c. Οι θερμές δεξαμενές βρίσκονται σε θερμοκρασίες T h1 και T h2 με Th 1 > Th2. Αν οι μηχανές απορροφούν ίσα ποσά θερμότητας ανά κύκλο ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; Αιτιολογήστε. a. e 1> e 2 β. W 1 > W 2 γ. Q c1=q C ΣΤΟ διπλανό διάγραμμα απεικονίζεται η kυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ που εκτελεί το ιδανικό αέριο μιας θερμικής μηχανής. Οι μεταβολές ΑΒ και ΓΔ είναι ισοβαρείς, ενώ οι ΒΓ και ΔΑ είναι ισόθερμες. Αν Q1 = 50 J, Q 2= 100J και Q 4= - 70 J, τότε: Β α. το έργο στη μεταβολή ΒΓ είναι W ΒΓ =100J β. το ποσό της θερμότητας στη μεταβολή ΓΔ είναι Q3=- 50J γ. το συνολικό έργο στην κυκλική μεταβολή είναι W=30J δ. ο συντελεστής απόδοσης της θερμικής μηχανής είναι e = W/Q όπου Q το συνολικό ποσό της θερμότητας που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον ε. η απόδοση της θερμικής μηχανής είναι α = 20% Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας Το αέριο μιας θερμικής μηχανής εκτελεί τον κύκλο που Β απεικονίζεται στο διπλανό διάγραμμα. Αν QΑΒ= 500J Q Br = 2000J και QΓA = J, τότε: α. το συνολικό ποσό της θερμότητας που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον σε έναν κύκλο είναι Q = 1500J β. το συνολικό μηχανικό έργο σε 10 κύκλους είναι 15000J γ. ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής δίνεται από τη σχέση e =0,75 Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 93

96 232, Υποθέτουμε ότι μια ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί την κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒΓΑ που απεικονίζεται στο διάγραμμα P-V (πίεσης- όγκου) του σχήματος. Αν οι μεταβολές Α Β και ΓΑ είναι αδιαβατικές και η μεταβολή ΒΓ είναι ισόχωρη: α. Να αποδείξετε ότι η μεταβολή ΑΒΓΑ δεν είναι δυνατή γιατί παραβιάζεται ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος β. Ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τις δύο αδιαβατικές καμπύλες; 233, ΣΤΟ διάγραμμα P-V του σχήματος που ακολουθεί η μεταβολή ΑΒ είναι ισόθερμη, ενώ οι μεταβολές ΒΓ και ΓΑ είναι αδιαβατικές. Ζητείται: α) Να αποδείξτε ότι η μεταβολή ΑΒΓΑ δεν είναι δυνατή, γιατί παραβιάζεται ο δεύτερος θερμοδυναμικός νόμος β) Ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τις δύο αδιαβατικές καμπύλες; Δ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 234 Θερμική μηχανή είναι α. το ηλεκτρικό σίδερο β. ο φούρνος γ. το ποδήλατο δ. η μηχανή του αυτοκινήτου ΣΤΟ διάγραμμα P-V ( πίεσης - όγκου) το εμβαδόν που περικλείεται από τον κύκλο μιας θερμικής μηχανής είναι αριθμητικά ίσο με : α. τη θερμότητα που απορροφά η μηχανή από τη θερμή δεξαμενή σε ένα κύκλο β. τη θερμότητα που αποδίδει η μηχανή στην ψυχρή δεξαμενή σε ένα κύκλο γ. τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του μέσου που χρησιμοποιεί η μηχανή σε ένα κύκλο δ. το έργο που αποδίδει η μηχανή σε έναν κύκλο. 236, Μία θερμική μηχανή, σε κάθε κύκλο λειτουργίας της, απορροφά ένα ποσό θερμότητας από μία δεξαμενή θερμοκρασίας Τ1 α. και το μετατρέπει εξολοκλήρου σε έργο β. μετατρέπει ένα μέρος του σε έργο και αποδίδει το υπόλοιπο ποσό θερμότητας σε μία δεξαμενή θερμοκρασίας Τ 2, όπου Τ 2<Τι γ. μετατρέπει ένα μέρος του σε έργο και αποδίδει το υπόλοιπο ποσό θερμότητας στο περιβάλλον δ. μετατρέπει ένα μέρος του σε έργο και αποδίδει το υπόλοιπο ποσό θερμότητας σε μία δεξαμενή θερμοκρασίας Τ 2, όπου Τ 2>Τι 237, Η απόδοση μίας μηχανής Carnot εξαρτάται α. μόνο από τη θερμοκρασία Τ1 της θερμής δεξαμενής β. μόνο από τη θερμοκρασία Τ 2 της ψυχρής δεξαμενής γ. μόνο από τις θερμοκρασίες Τ1 και Τ 2 των δεξαμενών υψηλής και χαμηλής θερμοκρασίας αντίστοιχα δ. από το αέριο που χρησιμοποιεί ως μέσο. 238, Μία θερμική μηχανή, σε κάθε κύκλο λειτουργίας της, απορροφά ένα ποσό θερμότητας Q1 από μία δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας Τ1 παράγει έργο W και αποδίδει ένα ποσό θερμότητας Q 2 σε μία δεξαμενή Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 94

97 χαμηλής θερμοκρασίας Τ 2. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις δεν ισχύει; ι 239 Mια μηχανή Carnot και μία άλλη θερμική μηχανή χρησιμοποιούν τις ίδιες δεξαμενές υψηλής και χαμηλής θερμοκρασίας. Αν e c είναι ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής Carnot και e ο συντελεστής απόδοσης της άλλης θερμικής μηχανής, ποια από τις ακόλουθες σχέσεις δεν ισχύει 240 Μία μηχανή Carnot λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών Τι=500Κ και Τ 2=300Κ. Αν σε κάθε κύκλο λειτουργίας της, η μηχανή απορροφά από τη δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας θερμότητα Q1=100J, ποια από τις ακόλουθες προτάσεις είναι λανθασμένη; α. ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής είναι 0,4 β. n απόδοση της μηχανής είναι 60% γ. το ωφέλιμο έργο της μηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι 40J δ. η θερμότητα Q 2 που αποδίδει η μηχανή στη δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι 60J. ; 241. Μία μηχανή Carnot που λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών Τι και Τ 2, όπου T 2<T 1 α. έχει απόδοση 100% β. έχει το μεγαλύτερο συντελεστή απόδοσης από όλες τις θερμικές μηχανές, όταν λειτουργούν μεταξύ των θερμοκρασιών Τι και Τ 2 γ. έχει συντελεστή απόδοσης Τ2/Τ1 δ. έχει τον ίδιο συντελεστή απόδοσης με μία θερμική μηχανή που χρησιμοποιεί ως μέσο ένα πραγματικό αέριο και λειτουργεί μεταξύ των ίδιων θερμοκρασιών Τι και Τ Ποια από τις ακόλουθες μηχανές έχει το μεγαλύτερο συντελεστή απόδοσης όταν λειτουργούν μεταξύ των ίδιων θερμοκρασιών; α. η μηχανή Carnot β. η μηχανή ντίζελ γ. ο βενζινοκινητήρας δ. ο ατμοστρόβιλος Ο κύκλος Carnot έχει πολύ μεγάλη σημασία, διότι α. ικανοποιεί τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο β. ικανοποιεί τον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο γ. δίνει το μέγιστο συντελεστή απόδοσης που μπορεί να επιτύχει μία θερμική μηχανή με τις ίδιες δεξαμενές θερμότητας υψηλής και χαμηλής θερμοκρασίας δ. είναι ο μόνος κύκλος που δεν εξαρτάται από το αέριο που χρησιμοποιείται ως μέσον Ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής Carnot δεν μπορεί να γίνει ίσος με τη μονάδα, γιατί σύμφωνα με το δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο δεν επιτρέπεται η θερμοκρασία της ψυχρής δεξαμενής να γίνει: α. ίση με τη θερμοκρασία της θερμής δεξαμενής β.ίσημε273κ γ. ίση με 0 C δ. ίση με ΟΚ. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 95

98 245. Το μέγιστο ποσοστό θερμότητας που μπορεί να μετατρέψει σε ωφέλιμο έργο μία θερμική μηχανή Carnot, σε κάθε κύκλο λειτουργίας της α. είναι 100% β. εξαρτάται από τις θερμοκρασίες της θερμής και ψυχρής δεξαμενής γ. εξαρτάται από το αέριο που χρησιμοποιεί ως μέσον η μηχανή δ. εξαρτάται από τις τριβές που εμφανίζονται κατά την λειτουργία της μηχανής. 246.Κατά την αδιαβατική αντιστρεπτή εκτόνωση ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου α. η πίεση του αερίου αυξάνεται β. η εσωτερική ενέργεια του αερίου αυξάνεται γ. η ενεργός ταχύτητα των μορίων του αερίου αυξάνεται δ. η ενεργός ταχύτητα των μορίων του αερίου μειώνεται. ε. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ" 247. Η μεταφορά θερμότητας από ένα ψυχρό σε ένα θερμό σώμα χωρίς δαπάνη ενέργειας αντιβαίνει: α. στην αρχή διατήρησης της ενέργειας β. στον 1 o θερμοδυναμικό νόμο γ. στον 2 θερμοδυναμικό νόμο κατά τη διατύπωση Kelvin- Planck δ. στον 2 θερμοδυναμικό νόμο κατά τη διατύπωση Clausious 248. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; α. Εάν ήταν δυνατό να εξαλειφθούν οι τριβές, ο συντελεστής απόδοσης των θερμικών μηχανών θα ήταν ίσος με 1 β. Ο 2 ος Θ.Δ.Ν. αποκλείει την ύπαρξη μιας θερμικής μηχανής που να έχει συντελεστή απόδοσης ίσο με 1 γ. Η θερμότητα μεταφέρεται αυθόρμητα από τα θερμότερα προς τα ψυχρότερα σώματα. Για το αντίστροφο απαιτείται δαπάνη ενέργειας δ. οι θερμικές μηχανές χρειάζονται δύο δεξαμενές θερμότητας διαφορετικής θερμοκρασίας για να λειτουργήσουν ε. οι θερμικές μηχανές δεν μετατρέπουν όλο το ποσό θερμότητας που απορροφούν από τη θερμή δεξαμενή σε μηχανικό έργο κατά τη λειτουργία τους Η απόδοση μιας μηχανής Carnot εξαρτάται: α. Από τη θερμότητα Q1που λαμβάνει η μηχανή από τη θερμή δεξαμενή σε ένα κύκλο β. Από τη θερμότητα Q2 που αποβάλλει η μηχανή στη ψυχρη δεξαμενή σε έναν κύκλο γ. από το έργο που παράγει η μηχανή σε ένα κύκλο δ. μόνο από τις θερμοκρασίες Τι και Τ2 της θερμής και ψυχρής δεξαμενής αντίστοιχα 250. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες ; α. κατά την ισόθερμη εκτόνωση μιας ποσότητας αερίου παραβιάζεται ο δεύτερος θερμοδυναμικός νόμος, διότι όλο το ποσό της θερμότητας μετατρέπεται σε έργο β. αν δύο δεξαμενές θερμότητας βρίσκονται σε θερμοκρασίες Τι και Τ 2, τότε η θερμική μηχανή που λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών Τι και Τ 2 έχει το μέγιστο συντελεστή απόδοσης μόνο αν είναι Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 96

99 μηχανή Carnot γ. ο συντελεστής απόδοσης μιας μηχανής Carnot είναι μικρότερος της μονάδας, γιατί είναι αδύνατο η δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας να έχει θερμοκρασία Τ 2=Ο δ. σε μία κυκλική μεταβολή, που αποτελείται από αντιστρεπτές μεταβολές, το εμβαδόν του κύκλου είναι ίσο με το ολικό έργο W ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ 252, Το αέριο μιας θερμικής μηχανής σε κάθε κύκλο απορροφά θερμότητα 1500 J και αποβάλλει στο περιβάλλον θερμότητα 800 J. Να βρείτε: α) το καθαρό ποσό θερμότητας που απορροφά το αέριο, β) το έργο που παράγει το αέριο, γ) τον συντελεστή απόδοσης της θερμικής μηχανής. [a. QOΛ=700J, β. W OΛ=700J, γ. E=7/15] 253, Μια θερμική μηχανή έχει απόδοση 40% και σε κάθε κύκλο παράγει ωφέλιμο μηχανικό έργο W= 1000 J. Να βρείτε: α) τη θερμότητα που απορροφά το αέριο από τη θερμή δεξαμενή β) τη θερμότητα που αποβάλλει το αέριο στην ψυχρή δεξαμενή σε κάθε κυκλική μεταβολή. [a.q h=2500j,q c=-l500j] 254. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί την κυκλική μεταβολή που παριστάνεται στο διπλανό διάγραμμα. Στην ισόχωρη ΑΒ προσφέρουμε στο αέριο θερμότητα 120J, στην ισόθερμη ΒΓ το aέριο παράγει έργο 150J, ενώ κατά την ισοβαρή μεταβολή ΓΑ το αέριο αποδίδει στο περιβάλλον θερμότητα 200J. Να βρείτε για κάθε κύκλο του ιδανικού αερίου: α) το ωφέλιμο μηχανικό έργο που δίνει το αέριο, β) τη θερμότητα που απορροφά το αέριο, γ) τη θερμότητα που αποβάλλει το αέριο στο περιβάλλον δ) το καθαρό ποσό θερμότητας που απορροφά το αέριο, ε) τον συντελεστή απόδοσης. [a. WOΛ = 70J, β. Q h=270j, γ. Q c=-200j, δ. QOΛ=7QJ, ε. e=7/27], Το αέριο μιας θερμικής μηχανής εκτελεί την κυκλική μεταβολή του σχήματος (διάγραμμα P-V) με τη ΒΓ να είναι αδιαβατική. α) Για τη συγκεκριμένη μηχανή ποια είναι τα Qh και Q c β) Αν Q AB = 100J και Q ΓA = -70J,να βρείτε το ωφέλιμο έργο που παράγει το αέριο της μηχανής σε κάθε κύκλο και τον συντελεστή απόδοσης της μηχανής Θερμική μηχανή χρησιμοποιεί ιδανικό αέριο το οποίο εκτελεί την παρακάτω αντιστρεπτή κυκλική διαδικασία: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 97

100 ΑΒ: Ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία το αέριο απορροφά ποσό θερμότητας Q AΒ= J. ΒΓ: Αδιαβατική εκτόνωση. ΓΔ: Ισόθερμη συμπίεση κατά την οποία αποβάλλει θερμότητα Q ΓΔ = J. ΔΑ: Ισόχωρη θέρμανση κατά την οποία απορροφά ποσό θερμότητας Q ΔA=+1800 J. Να υπολογίσετε: α) Τη θερμότητα που απορροφά και τη θερμότητα που αποδίδει το αέριο στο περιβάλλον του σε ένα κύκλο. β) Το συντελεστή απόδοσης της θερμικής μηχανής. γ) Το έργο που αποδίδει η μηχανή στο περιβάλλον στη διάρκεια ενός κύκλου. [a. Q h=4800j, Q e=-1600j. β. e=2/3, γ. W OΛ=3200J] Το αέριο μιας θερμικής μηχανής εκτελεί κυκλική μεταβολή που αποτελείται από τις παρακάτω επιμέρους αντιστρεπτές μεταβολές. ί) Ισοβαρής εκτόνωση από την κατάσταση Α (Ρ ο, V o, Τ ο) σε κατάσταση Β (VB = 3V 0). ii) Ισόχωρη ψύξη από την κατάσταση Β στην κατάσταση Γ (Τ Γ = Το). iii) Ισοβαρής συμπίεση ΓΔ. iν) Ισόχωρη θέρμανση ΔΑ. Αν γ = 7/5 να βρεθεί ο συντελεστής απόδοσης του κύκλου. [e=2/13] 258 Το ιδανικό αέριο μιας θερμικής μηχανής εκτελεί κυκλική μεταβολή ΑΒΓΑ, όπου: ΑΒ: ισόχωρη ψύξη με V A=2m 3, ΒΓ: ισοβαρής ψύξη με VΓ=1m 3 και ΓΑ: μεταβολή κατά την οποία ισχύει η σχέση P= V (S.I.). Να βρείτε: α) το έργο που παράγεται στην κυκλική μεταβολή, β) τον συντελεστή απόδοσης της μηχανής. Δίνεται: C v=3r/2 [a. W OA=200J, β.e=2/39] To ιδανικό αέριο μίας θερμικής μηχανής υφίσταται την κυκλική μεταβολή που φαίνεται στην εικόνα. Να υπολογίσετε την απόδοση του κύκλου. [A=15,4%j 260. Το ιδανικό αέριο μιας θερμικής μηχανής βρίσκεται αρχικά στην κατάσταση Α, πίεσηςρ Α =2atm, όγκου V A=2L και θερμοκρασίας Τ A=400 Κ. Το αέριο εξαναγκάζεται στην παρακάτω αντιστρεπτή κυκλική διαδικασία; ΑΒ: Ισοβαρή μεταβολή μέχρι τετραπλασιασμού του όγκου. ΒΓ: Ισόχωρη μεταβολή μέχρι την αρχική θερμοκρασία Τ A. ΓΑ: Ισόθερμη μεταβολή μέχρι την αρχική κατάσταση. Να υπολογίσετε: α) Τη θερμότητα που αποβάλλει καθώς και τη θερμότητα που απορροφά το αέριο σε ένα κύκλο. β) Το συντελεστή απόδοσης της θερμικής μηχανής. γ) Την ισχύ της μηχανής αν η χρονική διάρκεια εκτέλεσης ενός κύκλου είναι 10s. Δίνονται: C v=3r/2,1atm=10 5 N/m 2 και Ιη2=0,7 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 98

101 [a. Q h=3000j, Q c=-2360j, β e=0,213, γ. P=64W] 261. Ένα αέριο από την κατάσταση Α (8 ΙΟ 5 N/m 2, m 3,600 Κ) υφίσταται την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ που αποτελείται: ι) Από ισόθερμη εκτόνωση ΑΒ, ώστε ο όγκος του να γίνει V Β = 8.1O' 3 m 3. ii) Από ισόχωρη ψύξη ΒΓ μέχρι τη θερμοκρασία Τ Γ = 300 Κ. iii)από ισόθερμη συμπίεση ΓΔ με VA = V*. iv) Από ισόχωρη θέρμανση ΔΑ. α) Να παρασταθεί η μεταβολή σε άξονες Ρ - V. β) Να υπολογιστεί το ολικό έργο W OA και να βρεθεί η απόδοση του κύκλου, αν n θερμότητα κατά τη μεταβολή ΔΑ είναι QAA = 400.Ιη4 J. γ) Να υπολογιστεί ο λόγος των θερμοτήτων Q AB / Q ΓA. [β. W OΛ=1600ln2, α=40%, γ. Q AB/QΓΔ=-2] 262. Μια ποσότητα αερίου υφίσταται την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΑ, όπου: ΑΒ: ισοβαρής εκτόνωση με P A=16ON/m 2 και V B=8m 3, ΒΓ: ισόχωρη ψύξη και ΓΑ: αδιαβατική συμπίεση. Αν στην αδιαβατική συμπίεση ΓΑ ισχύει η σχέση PV γ = 160 N^nr 1, να απεικονίσετε την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΑ σε διάγραμμα P-V και να υπολογίσετε: α) Τις γραμμομοριακές ειδικές θερμότητες C P και C v β) το έργο και τη θερμότητα για κάθε μεταβολή καθώς και το ολικό έργο W OΛ, y) τον συντελεστή απόδοσης της θερμικής μηχανής της οποίας το ιδανικό αέριο εκτελεί την παραπάνω κυκλική μεταβολή. [a. C P=5R/2,CV=3R/2, β. W AB=1120J,Q AB=2800J, W Br=0,Q Br=-1860J, W ra=-l80j,qγa=o, WOΛ=940J, γ.e=0,336} 263. Αέριο που αρχικά καταλαμβάνει όγκο Vo σε θερμοκρασία Τ ο και πίεση Ρο εκτελεί κυκλική μεταβολή ΑΒΓΑ, η οποία αποτελείται από τις παρακάτω επιμέρους αντιστρεπτές μεταβολές: ΑΒ: Ισοβαρή εκτόνωση μέχρι να τετραπλασιαστεί η αρχική του θερμοκρασία Τ ο. ΒΓ; Αδιαβατική εκτόνωση μέχρι την αρχική του θερμοκρασία. Στο τέλος της μεταβολής αυτής ο όγκος του αερίου είναι 32 φορές μεγαλύτερος του αρχικού όγκου Vo. ΓΑ: Ισόθερμη συμπίεση μέχρι την αρχική του κατάσταση Ρο, Vo, T o. α) Να σχεδιαστεί ο κύκλος ΑΒΓΑ σε διάγραμμα Ρ - V και να βρεθεί ο λόγος Cp /Cv β) Να υπολογιστεί ο συντελεστής απόδοσης θερμικής μηχανής που λειτουργεί με τον παραπάνω κύκλο ΑΒΓΑ. Δίνεται: Ιη2 = 0,7. [α. γ=5/3, β. e=8/15] 264 Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται σε κατάσταση Α, πίεσης P A=16atm όγκου VA=1L και θερμοκρασίας ΤΑ. ΤΟ αέριο εκτονώνεται ισόθερμα αντιστρεπτά μέχρι ο όγκος του να γίνει VB = 8V A, στη συνέχεια ψύχεται ισόχωρα και αντιστρεπτά ώσπου να αποκτήσει θερμοκρασία Τ Γ και τέλος επιστρέφει στην αρχική κατάσταση με μία αδιαβατική αντιστρεπτή μεταβολή. Να υπολογίσετε: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 99

102 α) Το ολικό έργο που ανταλλάσσει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκλική μεταβολή. β) Το συντελεστή απόδοσης μιας θερμικής μηχανής που λειτουργεί με βάση τον παραπάνω κύκλο. Δίνονται : γ=5/3,latm=10 5 N/m 2 και lη2 = 0,7. [a. WOΛ=I560J, β. e=0,464] 265. Το αέριο μηχανής εκτελεί κυκλική μεταβολή που αποτελείται από τις παρακάτω αντιστρεπτές μεταβολές. ι) Ισοβαρή εκτόνωση από την κατάσταση Α (Ρ Α = 160 Ρα) σε κατάσταση Β (V B = 8m 3 ). ii) Ισόχωρη ψύξη Β -> Γ. iii) Αδιαβατική συμπίεση Γ -> Α. Για τη μεταβολή ΓΑ δίνεται ΡV γ = 160 Ν m 3. α) Να βρεθεί ο λόγος γ των ειδικών θερμοχωρητικοτήτων του αερίου. β) Να υπολογισθεί το έργο και η θερμότητα για κάθε επιμέρους μεταβολή. γ) Να βρεθεί η απόδοση της μηχανής. [α. γ=5/3,β W AB=1120J, Q AB=2800J, W ΒΓ=0, Q Br=-1860J, W ΓA=-180J, Q ΓA=0, γ. 33,6% 266. Θερμική μηχανή χρησιμοποιεί 0,500 mol αερίου με γ= 1,40. Το αέριο εκτελεί κύκλο που αποτελείται από τις παρακάτω αντιστρεπτές μεταβολές: i) Ισοβαρή εκτόνωση ΑΒ από 300 Κ σε 1200 Κ. ii) Αδιαβατική εκτόνωση ΒΓ μέχρι να επανέλθει σε θερμοκρασία 300 Κ. ίii)ισόθερμη συμπίεση ΓΑ Να βρεθούν α) Η θερμότητα σε κάθε μεταβολή. β) Η απόδοση της μηχανής. γ) Η ισχύς της μηχανής αν εκτελεί 10 κύκλους/s. R = 8,31 J/mol K, ln2 = 0,693 [a. Q AB=l3088J,Q BΓ=O, Q ra=-6047j, β. Α=53,8%, γ. P=70,5KW] 267. Αέριο εκτελεί κυκλική μεταβολή, που αποτελείται από τις παρακάτω αντιστρεπτές μεταβολές: ι) Ισόθερμη εκτόνωση από την κατάσταση Α (Ρ ο, Vo, Τ ο), ως την κατάσταση Β (VB = 4V 0). ιι) Ισόχωρη ψύξη Β -> Γ. ιιι)αδιαβατική συμπίεση Γ -> Α. Να βρεθούν: α) Το συνολικό έργο που παράγει το αέριο κατά την κυκλική μεταβολή. β) Να υπολογιστεί n απόδοση του κύκλου. Δίνονται: Ρ ο = 8 Χ ΙΟ 4 Ρα, V o = 2 m 3, T o = 300 Κ, γ = 1,5 και Ιη2 = 0,69. [a. W=60800J β.α=27,5%] 268. Το ιδανικό αέριο μιας θερμικής μηχανής εκτελεί αντιστρεπτή κυκλική μεταβολή, που αποτελείται από τις παρακάτω επιμέρους μεταβολές. ί) Ισόχωρη θέρμανση από την κατάσταση A (po, Vo, To) μέχρι την κατάσταση Β, όπου η θερμοκρασία είναι 2 To. ιι) Αδιαβατική εκτόνωση Β -> Γιιι) Ισόθερμη Γ -> Α Αν lη2 = 0,7, γ=5/3 και C v=3r/2 να βρεθεί η απόδοση της μηχανής. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 100

103 [Α=30%] 269. Το αέριο μιας θερμικής μηχανής εκτελεί κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔ που αποτελείται από δύο ισοβαρείς και δύο αδιαβατικές μεταβολές με Ρ Α=Ρ Β=Ρ οκαι Ρ Γ=ΡΔ=8Ρ 0 Να υπολογισθεί ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής αφού παρασταθεί ποιοτικά σε άξονες P-V. Δίνεται γ= 1,5 [e=0,5] 270. Δύο μηχανές συνδέονται έτσι ώστε, το ποσό θερμότητας που αποδίδει η πρώτη να χρησιμοποιείται για τη λειτουργία της δεύτερης. Ο συντελεστής απόδοσης της πρώτης μηχανής είναι e1 = 0,40 και της δεύτερης e 2 = 0,20. Να βρεθεί ο συντελεστής απόδοσης του συστήματος των μηχανών. [e=0,52] ΜΗΧΑΝΗ "CARNOT" 271. n=2/r mols αερίου υποβάλλονται στην κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ που φαίνεται στην εικόνα. α) Πόση θερμότητα προσφέρεται στο αέριο και πόση αποβάλλει αυτό στο περιβάλλον κατά τη διάρκεια του κύκλου; β) Ποιος είναι ο συντελεστής απόδοσης του κύκλου αυτού; Ποιος είναι ο συντελεστής απόδοσης ενός κύκλου Carnot που, θα λειτουργούσε ανάμεσα στις ίδιες θερμοκρασίες; Να σχολιάσετε τις δύο αποδόσεις. Δίνονται: C v = 3/2 R, lη2=0,7. [a Q h=1740j, Q c=-1320j β. e=0,24, e c=0,5] 272. Θέλουμε να κατασκευάσουμε θερμική μηχανή n οποία να λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών T c=400 Κ και T h = 800 Κ και n οποία να απορροφά θερμότητα 800 J από τη θερμή δεξαμενή και να αποβάλλει θερμότητα 100 J στη ψυχρή δεξαμενή. Με βάση το θεώρημα του Carnot, να αποδείξετε ότι είναι αδύνατον να κατασκευαστεί τέτοια θερμική μηχανή Θερμική μηχανή Carnot Λειτουργεί με ιδανικό αέριο μεταξύ των θερμοκρασιών T c =1200k και T h = 1600 Κ. Να υπολογίσετε: α) Το συντελεστή απόδοσης της θερμικής μηχανής. β) Τη θερμότητα που πρέπει να απορροφά η θερμική μηχανή σε κάθε κύκλο ώστε να αποδίδει ωφέλιμο έργο W = 400 J. γ) Κατά πόσο πρέπει να μεταβάλλουμε την απόλυτη θερμοκρασία της θερμής δεξαμενής αν θέλουμε να διπλασιάσουμε την απόδοση της μηχανής. [a. ec=0,25, β. Q h=1600j, γ. ΔΤ=800K 274 Η θερμοκρασία της θερμής δεξαμενής μιας μηχανής Carnot είναι 500 Κ και της ψυχρής δεξαμενής 300 Κ. Το αέριο σε κάθε κύκλο απορροφά από την θερμή δεξαμενή 6000 J. Να βρεθούν α) Η θερμότητα που αποβάλλει το αέριο σε κάθε κύκλο στην ψυχρή δεξαμενή, β) Ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής, γ) Η ισχύς της μηχανής σε KW, αν εκτελεί 10 κύκλους/s. [a. Q c=-3600j, β. Ec=0,4, γ.p=24kw] Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 101

104 275. Μία θερμική μηχανή Car-not λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών T c=400k και T h=800k. Το έργο που παράγει το αέριο κατά την αδιαβατική εκτόνωση ισούται με W =3000 J, ενώ η θερμότητα που απορροφά κατά την ισόθερμη εκτόνωση ισούται με Q=2800.J. Να υπολογίσετε: α) Το συντελεστή απόδοσης της μηχανής β) Το έργο του αερίου στην αδιαβατική συμπίεση. γ) Τη θερμότητα που αποβάλλει η μηχανή Carnot στη ψυχρή δεξαμενή σε ένα κύκλο. [a ec=0,5, β. W DA=-3000J, γ. Q c=-1400j] 276. Θερμική μηχανη Carnot χρησιμοποιεί η=4/r mol ιδανικού αερίου (όπου k η παγκόσμιασταθερά των ιδανικών αερίων σε J/mol.K) και αποδίδει στη διάρκεια ενός κύκλου έργο WOL = 6720J. Κατά την ισόθερμη συμπίεση η πίεση του αερίου τετραπλασιάζεται υπό σταθερή θερμοκρασία Τ=400 Κ. Να υπολογίσετε: α) Τη θερμότητα που αποβάλλεται από τη μηχανή κατά την ισόθερμη συμπίεση, β) Το συντελεστή απόδοσης της θερμικής μηχανής. γ) Την απόλυτη θερμοκρασία της θερμής δεξαμενής. Δίνεται: Ιη2=0,7. l [a. Q c=-2240j, β. e c=0,75, γ. T h=1600k] 278 Δύο θερμικές μηχανές Carnot έχουν κοινή θερμή δεξαμενή, θερμοκρασίας T h = 800K και διαφορετικές ψυχρές δεξαμενές. Η μηχανή (1) απορροφά θερμότητα 400J και αποδίδει έργο 200 J, ενώ η μηχανή (2) απορροφά θερμότητα 800 J και αποβάλει θερμότητα 600 J α) Να διερευνήσετε ποια από τις δύο μηχανές έχει μεγαλύτερο συντελεστή απόδοσης β) Να υπολογίσετε την απόλυτη θερμοκρασία της ψυχρής δεξαμενής κάθε μηχανής. γ) Θέλουμε να εξισώσουμε τις αποδόσεις των δύο μηχανών και μπορούμε να ελαττώσουμε μόνο την απόλυτη θερμοκρασία μιας από τις δύο ψυχρές δεξαμενές. Για ποια μηχανή πρέπει να συμβεί αυτό και κατά πόσο πρέπει να ελαττώσουμε τη θερμοκρασία της ψυχρής δεξαμενής της; [a. e c1> e C2, β. T C1=400K, T C2=600K, γ. ΔT C2=200K] 279. Θερμική μηχανή Carnot λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών T c = 200 Κ και T h = 800 Κ. Στην αρχική κατάσταση Α (αρχή της ισόθερμης εκτόνωσης), το ιδανικό αέριο καταλαμβάνει όγκο VΑ = 1 L, ενώ ο μέγιστος όγκος που αποκτά το αέριο κατά τη διάρκεια του κύκλου ισούται με 16L. Να υπολογίσετε: α) Το συντελεστή απόδοσης της μηχανής. β) Τον όγκο του αερίου στην κατάσταση Β. γ) Το έργο που καταναλώνει το αέριο κατά την αδιαβατική συμπίεση αν ο αριθμό των mole του αερίου είναι η=4/r mol (όπου R η παγκόσμια σταθερά των ιδανικών αερίων σε J/mol.K). Δίνεται: C v=3r/2 και γ=5/3 [a. ec=0,75, β. V B=2L, γ. W ΔA=-3600J] Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 102

105 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ΔΥΝΑΜΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Δυναμικό σε τυχαίο σημείο Α (V A ) ονομάζεται το μονόμετρο μέγεθος το οποίο ορίζεται ως το σταθερό πηλίκο του έργου της δύναμης του ηλεκτρικού πεδίου κατά την μετακίνηση του σημειακού φορτίου q από το σημείο Α στο άπειρο, προς το φορτίο που μετακινείται. Το δυναμικό σε τυχαίο σημείο Α δεν εξαρτάται από το φορτίο q που τοποθετείται στο σημείο 1 = αυτό. Μονάδα μέτρησης του δυναμικού είναι το 1 V (Volt) και ισχύει : 1V= Διαφορά δυναμικού V A -V B μεταξύ δύο σημείων Α και Β ορίζεται ως το σταθερό πηλίκο του έργου της δύναμης του ηλεκτρικού πεδίου κατά την μετακίνηση του σημειακού φορτίου q από το σημείο Α στο σημείο Β, προς το φορτίο που μετακινείται. ΠΡΟΣΟΧΗ!! Σε κάθε ηλεκτρικό πεδίο τα θετικά φορτία κινούνται προς τα εκεί που το δυναμικό μειώνεται. Δυναμικό που οφείλεται σε σημειακό φορτίο Q : V = k Q r Το ηλεκτρικό πεδίο αναγκάζει τα θετικά φορτία που αφήνονται (υ0=0)σε ένα σημείο του να κινούνται στην κατεύθυνση στην οποία τα δυναμικά μικραίνουν. Αντίθετα, τα αρνητικά φορτία κινούνται προς την κατεύθυνση την οποία τα δυναμικά αυξάνονται. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια (U) του συστήματος των δύο φορτίων ισούται με συνολικό έργο της δύναμης Coulomb για την μεταφορά των δύο φορτίων σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 103

106 Έστω ότι έχουμε σύστημα τριών οι περισσοτέρων φορτίων. Η δυναμική ενέργεια του συστήματος ισούται με συνολικό έργο της δύναμης Coulomb για την μεταφορά των όλων των φορτίων σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους. Θετική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια ενός συστήματος δύο φορτίων σημαίνει ότι τα φορτία μετακινούνται μόνα τους (αυθόρμητα), χωρίς δαπάνη ενέργειας στο άπειρο. Αρνητική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια ενός συστήματος δύο φορτίων σημαίνει ότι για να μετακινηθούν τα φορτία σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους, πρέπει να δαπανήσουμε εμείς ενέργεια. ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΣΤΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Έστω ένα ηλεκτρόνιο μάζας m e και φορτίου e (παίρνουμε την απόλυτη τιμή του φορτίου) το οποίο φήνεται να κινηθεί από σημείο πολύ κοντά στην αρνητική πλάκα. Το ηλεκτρόνιο υπό την επίδραση της δύναμης Fe (θεωρούμε το βάρος του αμελητέο) κάνει ευθύγραμμη ομαλή επιταχυνόμενη κίνηση, 1. Κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα Εξίσωση F ee a επιτάχυνσης me me Εξίσωση θέσης Εξίσωση Ταχύτητας 1 x at 2 at 2 Χρόνος κίνησης t1 2 d / a Τελική Ταχύτητα 1 2da Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 104

107 2. Κίνηση με αρχική ταχύτητα Εξίσωση F ee a επιτάχυνσης me me Εξίσωση θέσης 1 x 0t at 2 2 Εξίσωση Ταχύτητας 0 at Ολικός Χρόνος κίνησης Είδος Κίνησης t 0 (θέτω υ=0) στην εξ. ταχύτητας Ε.Ο.Μ.Κ. ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΑΘΕΤΗ ΣΤΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Άξονας x: Το ηλεκτρόνιο δεν δέχεται δύναμη, οπότε θα κινηθεί ευθύγραμμα ομαλά με ταχύτητα υ 0. Το διάστημα που διανύει το ηλεκτρόνιο στον άξονα x θα είναι κάθε χρονική στιγμή : x = υ 0 t Άξονας y : Το ηλεκτρόνιο δέχεται σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του μέσα στο ηλεκτρικό πεδίο Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 105