Red- black δέντρα Εκτενείς Δομές Δεδομένων (Κεφ. 5)

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Red- black δέντρα Εκτενείς Δομές Δεδομένων (Κεφ. ) Δομές Δεδομένων Μπαλτάς Αλέξανδρος 4 Μαρτίου 0 ampaltas@ceid.upatras.gr

2 Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Ορισμός red- black δέντρων 3. Αναζήτηση σε red- black δέντρα 4. Ένθεση σε red- black δέντρα. Απόσβεση σε red- black δέντρα 6. Απόδοση red- black δέντρων 7. Ισοδυναμία red- black δέντρων και (,4) δέντρων 4 Μαρτίου 0

3 Εισαγωγή Η δομή που θα παρουσιαστεί έχει τις εξής ιδιότητες: Είναι πλήρες δυαδικό δέντρο Υψοζυγισμένο δέντρο ( & η ζύγιση επιτυγχάνεται με τη χρήση ενός μόνο bit) Αποθηκεύει δεδομένα μόνο στους εσωτερικούς κόμβους και όχι στα φύλλα 4 Μαρτίου 0 3

4 Ορισμός red- black tree Ένα πλήρες δυαδικό δέντρο είναι red- black δέντρο όταν κάθε κόμβος είναι είτε κόκκινος είτε μαύρος και ικανοποιούνται οι εξής περιορισμοί: Π. Η ρίζα είναι μαύρη Π. Τα φύλλα είναι μαύρα Π3. Κάθε μονοπάτι από τη ρίζα ως τα φύλλα έχει τον ίδιο αριθμό μαύρων κόμβων Π4. Κάθε κόκκινος κόμβος έχει μαύρο πατέρα Μαρτίου 0 4

5 Αναζήτηση (Access) Για την αναζήτηση του στοιχείου x σε ένα red- black tree ακολουθούνται τα εξής βήματα:. Ξεκίνα από τη ρίζα.. Για κάθε κόμβο v:. Αν x<v επισκέψου το αριστερό παιδί του v. Αν x>v επισκέψου το δεξιό παιδί του v 3. Aν x=v επέστρεψε 4 Μαρτίου 0

6 Ένθεση (Inser{on) Για την εισαγωγή του στοιχείου x σε ένα red- black tree ακολουθούνται τα εξής βήματα:. Εύρεση του κατάλληλου φύλλου y στο δέντρο για την εισαγωγή της τιμής x (Κλήση της Access(x)).. Αντικατάσταση του y με έναν κόκκινο κόμβο με τιμή x και μαύρα παιδιά- φύλλα. 3. Εφαρμογή διάφορων μετασχηματισμών αναδρομικά από την ρίζα στον κόμβο x έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισμοί. 4 Μαρτίου 0 6

7 Ένθεση (Inser{on) Περίπτωση : Το x είναι η ρίζα. [Καταπάτηση Π] Λύση: Χρωματισμός της ρίζας. [Τερματική περίπτωση] x x 4 Μαρτίου 0 7

8 Ένθεση (Inser{on) Περίπτωση : Ο πατέρας του x, p(x) είναι μαύρος. [Καμμία Καταπάτηση] p(x) x 4 Μαρτίου 0 8

9 Ένθεση (Inser{on) Περίπτωση 3: Ο πατέρας του x, p(x) και ο αδερφός του p(x) είναι και οι κόκκινοι. [Καταπάτηση Π4] Λύση: Εναλλαγή χρωμάτων. [Μη τερματική περίπτωση] p(x) p(x) x x 4 Μαρτίου 0 9

10 Ένθεση (Inser{on) Περίπτωση 4: Ο πατέρας του x, p(x) είναι κόκκινος, ο αδερφός του p(x) είναι μαύρος και οι x και p(x) είναι και οι παιδιά του ίδιου είδους (δηλαδή είναι και τα αριστερά ή και τα δεξιά παιδιά του πατέρα τους). [Καταπάτηση Π4] Λύση: Απλή περιστροφή. [Τερματική περίπτωση] p(p(x)) p(x) p(p(x)) p(x) p(p(x)) p(x) x x x 4 Μαρτίου 0 0

11 Ένθεση (Inser{on) Περίπτωση : Ο πατέρας του x, p(x) είναι κόκκινος, ο αδερφός του p(x) είναι μαύρος και οι x και p(x) είναι και οι παιδιά διαφορετικού είδους (δηλαδή ο ένας είναι αριστερό και ο άλλος δεξιό παιδί του πατέρα τους). [Καταπάτηση Π4] Λύση: Διπλή περιστροφή. [Τερματική περίπτωση] p(p(x)) p(p(x)) x p(p(x)) p(x) x p(x) x p(x) 4 Μαρτίου 0

12 Άσκηση (Inser{on) Να αποθηκευτούν οι τιμές,,,3,4 σε ένα red- black tree.. Insert(). Insert() 3. Insert() 4. Insert(3). Insert(4) 4 Μαρτίου 0

13 Άσκηση (Inser{on) ) Insert() 4 Μαρτίου 0 3

14 Άσκηση (Inser{on) ) Insert() 4 Μαρτίου 0 4

15 Άσκηση (Inser{on) ) Insert() 4 Μαρτίου 0

16 Άσκηση (Inser{on) ) Insert() 4 Μαρτίου 0 6

17 Άσκηση (Inser{on) ) Insert() 4 Μαρτίου 0 7

18 Άσκηση (Inser{on) 3) Insert() 4 Μαρτίου 0 8

19 Άσκηση (Inser{on) 3) Insert() 4 Μαρτίου 0 9

20 Άσκηση (Inser{on) 3) Insert() 4 Μαρτίου 0 0

21 Άσκηση (Inser{on) 3) Insert() 4 Μαρτίου 0

22 Άσκηση (Inser{on) 4) Insert(3) 4 Μαρτίου 0

23 Άσκηση (Inser{on) 4) Insert(3) 3 4 Μαρτίου 0 3

24 Άσκηση (Inser{on) 4) Insert(3) Μαρτίου 0 4

25 Άσκηση (Inser{on) 4) Insert(3) Μαρτίου 0

26 Άσκηση (Inser{on) ) Insert(4) 3 4 Μαρτίου 0 6

27 Άσκηση (Inser{on) ) Insert(4) Μαρτίου 0 7

28 Άσκηση (Inser{on) ) Insert(4) Μαρτίου 0 8

29 Άσκηση (Inser{on) ) Insert(4) Μαρτίου 0 9

30 Απόσβεση (Dele{on) Η διαγραφή είναι μια πολύπλοκη διαδικασία από την ένθεση. Για την διαγραφή του στοιχείου x από ένα red- black tree ακολουθούνται τα εξής βήματα:. Εύρεση της κατάλληλης θέσης στο δέντρο για την απόσβεση της τιμής x (Κλήση της Access(x)).. Έστω v ο πατέρας του x και y ο αδερφός του. Αντικατάσταση του v με τον y και απόσβεση του v και του x από το δέντρο. 3. Εφαρμογή διάφορων μετασχηματισμών αναδρομικά από την ρίζα στον κόμβο x έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισμοί. 4 Μαρτίου 0 30

31 Απόσβεση (Dele{on) Οι πιθανοί μετασχηματισμοί που μπορούν να γίνουν είναι:. Εναλλαγές χρώματος. Μη τερματική. Τερματική. Περιστροφές. Μη τερματική απλή περιστροφή. Τερματική διπλή περιστροφή 3. Τερματική απλή περιστροφή Αρχικά εφαρμόζονται οι μη τερματικοί μετασχηματισμοί επαναληπτικά, μέχρι να μπορεί να εφαρμοστεί κάποιος τερματικός μετασχηματισμός. 4 Μαρτίου 0 3

32 Απόδοση Red- Black tree Ύψος red- black δέντρου: Θ(logn) Για κάθε ένθεση ή απόσβεση απατούνται: Πράξεις εναλλαγής χρωμάτων: Ο(logn) Περιστροφές: Ο() Κόστος για Access, Insert, Delete: O(logn) 4 Μαρτίου 0 3

33 Ισοδυναμία red- black δέντων και (,4) δέντρων Από οποιοδήποτε (,4) δέντρο μπορεί να προκύψει ένα ισοδύναμο red- black δέντρο (και αντίστροφα) εφαρμόζοντας κάποιους απλούς μετασχηματισμούς. 4 Μαρτίου 0 33

34 Ισοδυναμία red- black δέντων και (,4) δέντρων Μετασχηματισμός κόμβου με 3 παιδιά Α Α Β C Β C 4 Μαρτίου 0 34

35 Ισοδυναμία red- black δέντων και (,4) δέντρων Μετασχηματισμός κόμβου με 3 παιδιά Α Β B A A E C B C D E C D D E 4 Μαρτίου 0 3

36 Ισοδυναμία red- black δέντρων και (,4) δέντρων Μετασχηματισμός κόμβου με 4 παιδιά Α Β C A B C D E F G D E F G 4 Μαρτίου 0 36

37 References hžp://en.wikipedia.org/wiki/red%e%80%93black_tree hžps:// 4 Μαρτίου 0 37

38 Ευχαριστώ!? 4 Μαρτίου 0 38