Red-Black Δέντρα. Red-Black Δέντρα

Transcript

1 Red-Black Δέντρα v z Red-Black Δέντρα

2 Περίληψη Από τα (2,4) δέντρα στα red-black δέντρα Red-black δέντρο Ορισμός Ύψος Εισαγωγή αναδόμηση επαναχρωματισμός Διαγραφή αναδόμηση επαναχρωματισμός προσαρμογή Red-Black Δέντρα

3 Κόκκινα Μαύρα Δένδρα Τα κόκκινα μαύρα δένδρα είναι δυαδικά δένδρα αναζήτησης για τα οποία ισχύουν κανόνες που έχουν να κάνουν με μια επιπλέον ιδιότητα χρώματος η οποία προσαρτάται σε κάθε κόμβο. Προτάθηκαν από τον R. Bayer το 1972 και τους L. Guibas και R. Sedgewick το Κάθε κόμβος μπορεί να είναι κόκκινος ή μαύρος. Η ρίζα είναι μαύρη. Δεν μπορεί να υπάρχουν δύο συνεχόμενοι κόκκινοι κόμβοι σε οποιαδήποτε διαδρομή από την κορυφή προς ένα φύλλο του δένδρου (δλδ κάθε κόκκινος κόμβος επιτρέπεται να έχει μόνο μαύρα παιδιά). Κάθε διαδρομή από τη ρίζα προς τα φύλλα έχει τον ίδιο αριθμό από μαύρους κόμβους. 3/ 42

4 Ύψος κόκκινων μαύρων δένδρων Το ύψος ενός κόκκινου μαύρου δένδρου με n κόμβους είναι μικρότερο ή ίσο του 2 log 2 (n + 1). Κατά την εισαγωγή νέων κόμβων ή τη διαγραφή υπαρχόντων κόμβων θα πρέπει να διασφαλιστεί ότι το δένδρο εξακολουθεί να έχει τις ιδιότητες που πρέπει να ισχύουν για τα κόκκινα μαύρα δένδρα. Για να επιτευχθεί αυτό πραγματοποιούνται περιστροφές (rotations) τμημάτων του δένδρου και επαναχρωματισμοί κόμβων. Τα κόκκινα μαύρα δένδρα χρησιμοποιούνται σε διάφορες βιβλιοθήκες καθώς και στην STL της C++ για να υλοποιήσουν τα std::set και std::map. #include <set> #include <map>... set<int> a_set; a_set. insert (5) ; a_set. insert (7) ; a_set. insert (5) ; // already exists a_set. insert (3) ; a_set. insert (10) ; for ( int x : a_set) cout << x << ; cout << endl; // outputs: map<string, string> agenta; agenta[ Christos ] = ; agenta[ Maria ] = ; agenta[ Petros ] = ; for ( pair<string, string > k_v : agenta) cout << k_v. first << > << k_v.second << endl; // outputs // Christos >12345 // Maria >23456 // Petros >34567

5 Από τα (2,4) στα Red-Black Δέντρα Ένα red-black δέντρο είναι η απεικόνιση ενός (2,4) δέντρο με τρόπο δυαδικού δέντρου του οποίου οι κόμβοι είναι χρωματισμένοι κόκκινοι ή μαύροι Σε σύγκριση με το (2,4) δέντρο, ένα red-black δέντρο έχει ίδια λογαριθμική απόδοση χρόνου απλούστερη υλοποίηση με ένα τύπο κόμβων ή Red-Black Δέντρα

6 Red-Black Δέντρο Ένα red-black δέντρο μπορεί να οριστεί σαν ένα δυαδικό δέντρο που ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες: Ιδιότητα Ρίζας: η ρίζα είναι μαύρη Εξωτερική Ιδιότητα: κάθε φύλλο είναι μαύρο Εσωτερική Ιδιότητα: τα παιδιά ενός κόκκινου κόμβου είναι μαύρα Ιδιότητα Βάθους: όλα τα φύλλα έχουν το ίδιο μαύρο βάθος Red-Black Δέντρα

7 Ύψος Red-Black Δέντρου Θεώρημα: Ένα red-black δέντρο που περιέχει n στοιχεία έχει ύψος O(log n) Απόδειξη: Το ύψος ενός red-black δέντρου είναι το πολύ δύο φορές το ύψος του αντίστοιχου (2,4) δέντρου, που είναι O(log n) Ο αλγόριθμος αναζήτησης για ένα red-black δέντρο είναι ίδιος με αυτόν για ένα δυαδικό δέντρο αναζήτησης Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η αναζήτηση σε ένα red-black δέντρο παίρνει O(log n) χρόνο Red-Black Δέντρα

8 Εισαγωγή Για την εκτέλεση της διεργασίας insertitem(k, o), εκτελούμε τον αλγόριθμο εισαγωγής για δυαδικά δέντρα αναζήτησης και χρωματίζουμε κόκκινο το νεοεισαγμένο κόμβο z εκτός και αν είναι η ρίζα Διατηρούμε τις ιδιότητες ρίζας, βάθους και την εξωτερική Αν ο γονέας v του z είναι μαύρος, διατηρούμε και την εσωτερική ιδιότητα και η διαδικασία έχει ολοκληρωθεί Αλλιώς (v είναι κόκκινο) έχουμε ένα διπλό κόκκινο (π.χ., παραβίαση της εσωτερικής ιδιότητας), που απαιτεί αναδόμηση του δέντρου Παράδειγμα όπου η εισαγωγή του 4 προκαλεί διπλό κόκκινο: 6 6 v 3 8 z v z Red-Black Δέντρα

9 Αποκατάσταση Διπλού Κόκκινου Έστω ένα διπλό κόκκινο με παιδί z και γονέα v, και w γείτονας του v Περίπτωση 1: το w είναι μαύρο Το διπλό κόκκινο είναι μια λανθασμένη αντικατάσταση ενός 4-node Αναδόμηση: αλλάζουμε την αντικατάσταση του 4-node 4 w v 2 7 z 6 Περίπτωση 2: το w είναι κόκκινο Το διπλό κόκκινο αντιστοιχεί σε overflow Επαναχρωματισμός: εκτελούμε το αντίστοιχο του split 4 w v 2 7 z Red-Black Δέντρα

10 Αναδόμηση Μια αναδόμηση αποκαθιστά το διπλό κόκκινο ενός παιδιούγονέα όταν ο κόκκινος γονέας έχει μαύρο γείτονα Είναι αντίστοιχο με την ανάκτηση της σωστής αντικατάστασης ενός 4-node Η εσωτερική ιδιότητα επανακτάται και διατηρούνται οι υπόλοιπες ιδιότητες z 4 6 w v v z w Red-Black Δέντρα

11 Αναδόμηση (συνέχεια) Υπάρχουν τέσσερις ρυθμίσεις αναδόμησης ανάλογα με το αν όι διπλοί κόκκινοι κόμβοι είναι αριστερά ή δεξιά παιδιά Red-Black Δέντρα

12 Επαναχρωματισμός Ο επαναχρωματισμός αποκαθιστά το διπλό κόκκινο ενός παιδιούγονέα όταν ο κόκκινος γονέας έχει κόκκινο γείτονα Ο γονέας v και ο γείτονας w γίνονται μαύροι και ο παππούς u γίνεται κόκκινος, εκτός αν είναι η ρίζα Είναι αντίστοιχο με την εκτέλεση split σε ένα 5-node Η παραβίαση του διπλού κόκκινου μπορεί να μεταφερθεί στον παππού u w 2 4 z 6 7 v w 2 4 z 6 7 v Red-Black Δέντρα

13 Ανάλυση της Εισαγωγής Algorithm insertitem(k, o) 1. Αναζητούμε το κλειδί k για να εντοπίσουμε τον κόμβο εισαγωγής z 2. Προσθέτουμε το νέο αντικείμενο (k, o) στον κόμβο z και χρωματίζουμε το z κόκκινο 3. while doublered(z) if isblack(sibling(parent(z))) z restructure(z) return else { sibling(parent(z) is red } z recolor(z) Ένα red-black δέντρο έχει ύψος O(log n) Το Βήμα 1 παίρνει O(log n) χρόνο γιατί επισκεπτόμαστε O(log n) κόμβους Το Βήμα 2 παίρνει O(1) χρόνο Το Βήμα 3 παίρνει O(log n) χρόνο γιατί εκτελούμε O(log n) επαναχρωματισμούς, ο καθένας σε O(1) χρόνο, και το πολύ μια αναδόμηση σε O(1) χρόνο Άρα, μια εισαγωγή σε ένα red-black δέντρο παίρνει O(log n) χρόνο Red-Black Δέντρα

14 Διαγραφή Για την εκτέλεση της διεργασίας remove(k), πρώτα εκτελούμε τον αλγόριθμο διαγραφής για δυαδικά δέντρα αναζήτησης Έστω v ο εσωτερικός κόμβος που θα διαγραφεί, w ο εξωτερικός κόμβος που θα διαγραφεί, και r ο γείτονας του w Αν είτε ο v ή ο r ήταν κόκκινοι, χρωματίζουμε τον r μαύρο Αλλιώς (οι v και r ήταν και οι δύο μαύροι) χρωματίζουμε τον r διπλό μαύρο, που είναι παραβίαση της εσωτερικής ιδιότητας και απαιτεί αναοργάνωση του δέντρου Παράδειγμα όπου η διαγραφή του 8 προκαλεί διπλό μαύρο: r v w r Red-Black Δέντρα

15 Αποκατάσταση Διπλού Μαύρου Ο αλγόριθμος για την αποκατάσταση ενός διπλά μαύρου κόμβου w με γείτονα y θεωρεί τρεις περιπτώσεις Περίπτωση 1: ο y είναι μαύρος και έχει ένα κόκκινο παιδί Εκτελούμε μία αναδόμηση, αντίστοιχα με μία transfer, και τερματίζουμε Περίπτωση 2: ο y είναι μαύρος και το παιδιά του είναι και τα δύο μαύρα Εκτελούμε επαναχρωματισμό, αντίστοιχα με μία fusion, που μπορεί να μεταφέρει προς τα πάνω την παραβίαση του διπλού μαύρου Περίπτωση 3: ο y είναι κόκκινος Εκτελούμε adjustment, αντίστοιχα της επιλογής διαφορετικής αναπαράστασης ενός 3-node, και μετά καταλήγουμε είτε στην Περίπτωση 1 είτε στην Περίπτωση 2 Η διαγραφή σε ένα red-black δέντρο παίρνει χρόνο O(log n) Red-Black Δέντρα

16 Αναδιατάξεις (1) Απλή ή διπλή περιστροφή Red-Black Δέντρα

17 Αναδιατάξεις (2) Αντιστροφή χρωμάτων Red-Black Δέντρα

18 Παράδειγμα Εισάγονται τα επόμενα κλειδιά διαδοχικά το ένα μετά το άλλο, σε ένα μαύροκόκκινο δέντρο: 6, 9, 14, 17, 5, 7, 16, 20, 18, 19, 4,11 Να δείχνετε το αποτέλεσμα μετά από κάθε εισαγωγή. Στην συνέχεια διαγράφονται τα επόμενα κλειδιά 6, 9, 14, 4, 5, 20 Red-Black Δέντρα

19 Εισαγωγή 6, 9, 14, 17

20 Εισαγωγή 17, 5

21 Εισαγωγή 5, 7, 16

22 Εισαγωγή 16, 20

23 Εισαγωγή 20, 18

24 Εισαγωγή 18, 19

25 Εισαγωγή 19

26 Εισαγωγή 4, 11

27 Εισαγωγή 11

28 Επαναζυγιστικές πράξεις αποσβέσεις ερυθρόμαυρου δέντρου. Η διπλή μαύρη γραμμή δείχνει απώλεια μαύρου δέντρου. α) Απλή ή διπλή περιστροφή C1

29 β) Τερματικός αναχρωματισμός C2a

30 γ) Μη τερματικός αναχρωματισμός C2b

31 Περιστροφή C3, που οδηγεί σε C1 ή C2a

32 Διαγραφή του 6, στη συνέχεια του 9

33 Διαγραφή του 9

34 Διαγραφή του 14

35 Διαγραφή του 4

36 Διαγραφή του 5

37 Διαγραφή του 20

38 Ισοδυναμία ερυθρόμαυρων δέντρων με δέντρα (2-4)

39