µετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο

Transcript

1

2 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές... µετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο στο ορθογώνιο (Α 90 ο ) τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος Α είναι: Α 90 ο - Β Γ και Α 90 ο - Γ Β συνεπώς: Α Β Α Γ ΑΒΓ (γιατί έχουν ίσες γωνίες) Θ. Α Β ΑΒΓ ΑΒ ΒΓ Β ΑΒ ΑΒ Β. ΒΓ (οµοίως: ΑΓ Γ. ΒΓ) (Θ. Ευκλείδη) Π. ΑΒ Β. ΒΓ ΑΓ Γ. ΒΓ ΑΒ ΑΓ Β Γ Θ. ΑΒ Β. ΒΓ ΑΓ Γ. ΒΓ ΑΒ + ΑΓ ΒΓ(Β + Γ ) ΑΒ + ΑΓ ΒΓ (Πυθαγόρειο Θεώρηµα) Θ3. σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ΑΒ + ΑΓ ΒΓ Α (αντίστροφο Πυθαγορείου) απόδειξη: στις πλευρές ορθής γωνίας xoy παίρνουµε Ο ΑΒ και ΟΕ ΑΓ τότε: Ε Ο + ΟΕ ΑΒ + ΑΓ ΒΓ δηλ. Ε ΒΓ συνεπώς: ΟΕ ΒΑΓ (αφού έχουν ίσες πλευρές) άρα: Α Θ4. Α Β Α Γ Β Α Α Γ Α Β. Γ Εφ. + ΑΒ ΑΓ ΑΒ + ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΒΓ (ΑΒΑΓ) ΒΓ (ΒΓΑ ) δηλ. + A ΑΒ ΑΓ Α

3 δηµήτρη ποιµενίδη γενίκευση του πυθαγορείου θεωρήµατος Θ. αν Α < και Α η προβολή της γ πάνω στη β, τότε: α β + γ - βα (Θ. οξείας) (αν ΑΕ η προβολή της β πάνω στη γ, οµοίως: α β + γ - γαε) απόδειξη: αν Γ < α Β + Γ ( Π.Θ. στο Β Γ ) γ - Α + (β - Α ) ( Π.Θ. στο Α Β ) β + γ - βα αν Γ > α Β + Γ ( Π.Θ. στο Β Γ ) γ - Α + (Α - β) ( Π.Θ. στο Α Β ) β + γ - βα αν Γ α γ β ( Π.Θ. στο ΑΓΒ ) β + γ - β β + γ - βα ( αφού αν Γ είναι βα ) Θ. αν Α > και Α η προβολή της γ πάνω στη β, τότε: α β + γ + βα (Θ. αµβλείας) (αν ΑΕ η προβολή της β πάνω στη γ, οµοίως: α β + γ + γαε) απόδειξη: α Β + Γ ( Π.Θ. στο Β Γ ) γ - Α + (β + Α ) ( Π.Θ. στο Α Β ) β + γ + βα Π. σε τρίγωνο ΑΒΓ: α > < β + γ Α > < (κριτήριο για το είδος των γωνιών του ΑΒΓ) Π. σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α β + γ - βγσυνα (ν. συνηµιτόνων) (!) οι προηγούµενες σχέσεις ισχύουν µε κυκλική εναλλαγή και για τα υπόλοιπα κύρια στοιχεία του ΑΒΓ

4 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές θεωρήµατα διαµέσων Θ. σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: β + γ α µ α + ( ο Θ. διαµέσων) απόδειξη: έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ και ύψος Α αν ΑΓ > ΑΒ (οµοίως αν ΑΒ > ΑΓ) τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ έχουν ΒΜ ΓΜ, ΑΜ ΑΜ και ΑΒ < ΑΓ συνεπώς: Α Μˆ Β <ΑΜˆ Γ κι επειδή ΑΜˆ Β +ΑΜˆ Γ είναι Α Μˆ Β< και Α Μˆ Γ> Θ. οξείας στο τρίγωνο ΑΜΒ: ΑΒ ΑΜ + ΜΒ - ΜΒΜ () Θ. αµβλείας στο τρίγωνο ΑΜΓ: ΑΓ ΑΜ + ΜΓ + ΜΓΜ () () + () ΑΒ + ΑΓ ΑΜ ΒΓ ΒΓ + ( ) (αφού ΜΒ ΜΓ ) δηλ. β + γ α µ α + (*) αν ΑΓ ΑΒ (οπότε ΑΜ Α ) η (*) γράφεται: β α µ α + δηλ. β α µ α + 4 και ισχύει και πάλι λόγω του Π.Θ. στο τρίγωνο ΑΜΓ σχόλιο: αν Α, τότε η (*) γίνεται: β + γ α (αφού µ α α ) δηλ. η σχέση του Π.Θ. Π. (*) β +γ -α µ α (υπολογισµός διαµέσων) 4 Θ. σε τρίγωνο ΑΒΓ µε β > γ, διάµεσο ΑΜ και ύψος Α ισχύει: β - γ αμ ( ο Θ. διαµέσων) απόδειξη: τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ έχουν ΒΜ ΓΜ, ΑΜ ΑΜ και ΑΒ < ΑΓ συνεπώς: Α Μˆ Β <ΑΜˆ Γ κι επειδή ΑΜˆ Β +ΑΜˆ Γ είναι Α Μˆ Β< και Α Μˆ Γ> Θ. οξείας στο τρίγωνο ΑΜΒ: ΑΒ ΑΜ + ΜΒ - ΜΒΜ () Θ. αµβλείας στο τρίγωνο ΑΜΓ: ΑΓ ΑΜ + ΜΓ + ΜΓΜ () () - () ΑΓ - ΑΒ ΒΓ 4ΜΒΜ (αφού ΜΒ ΜΓ ) δηλ. β - γ αμ (**) σχόλιο: αν β γ, τότε η (**) γίνεται: 0 0 (αφού τότε Μ ) δηλ. ισχύει και πάλι (!) οι προηγούµενες σχέσεις ισχύουν µε κυκλική εναλλαγή και για τα υπόλοιπα κύρια στοιχεία του ΑΒΓ

5 4 δηµήτρη ποιµενίδη µετρικές σχέσεις σε κύκλο Θ. αν δύο χορδές ΑΒ, Γ ενός κύκλου ή οι προεκτάσεις τους τέµνονται σε σηµείο Ρ, τότε ισχύει: ΡΑ ΡΒ ΡΓ Ρ (δηλ. αν Ρ είναι ένα σηµείο και ΑΡΒ µία τέµνουσα του κύκλου τότε το γινόµενο ΡΑ. ΡΒ είναι σταθερό!) απόδειξη: αν τέµνονται οι χορδές αν τέµνονται οι προεκτάσεις τους Β (εγγεγραµµένες που βαίνουν στο Ρ Ρ (κατακορυφήν) ΑΡ ΒΡΓ Α Γ ) Β (εγγεγραµµένες που βαίνουν στο Α Γ ) Ρ Ρ (κοινή) ΑΡ ΒΡΓ συνεπώς: ΡΑ Ρ ΡΓ ΡΒ δηλ. ΡΑ. ΡΒ ΡΓ. Ρ συνεπώς: ΡΑ Ρ ΡΓ ΡΒ δηλ. ΡΑ. ΡΒ ΡΓ. Ρ Θ. αν από ένα σηµείο Ρ εξωτερικό κύκλου (O,R) φέρουµε το εφαπτόµενο τµήµα ΡΕ και µία τέµνουσα ΡΑΒ του κύκλου, τότε ισχύει: ΡΕ ΡΑ ΡΒ απόδειξη: αν από το Ρ φέρουµε την ΡΟ που τέµνει τον κύκλο στα Γ, την ΟΕ που είναι βέβαια κάθετη στο ΡΕ και θέσουµε ΡΟδ, τότε: ΡΑ. ΡΒ ΡΓ. Ρ (δ - R)(δ + R) δ - R ΡΕ (σύµφωνα µε το Π.Θ. στο ΡΕΟ) Ορ. δύναµη του σηµείου Ρ ως προς τον κύκλο (O,R): P (O,R) δ - R ΡΑ. ΡΒ > 0, αν ΡΑΒ τέµνουσα από εξωτερικό σηµείο Ρ κριτήριο: Ρ (O,R) - ΡΑ. ΡΒ < 0, αν ΑΡΒ τέµνουσα από εσωτερικό σηµείο Ρ (*) 0, αν Ρ είναι σηµείο του κύκλου (*) πραγµατικά αν Ρ εσωτερικό σηµείο, ΑΡΒ µία τέµνουσα και ΓΡ διάµετρος του κύκλου, τότε: ΡΑ. ΡΒ ΡΓ. Ρ (R - δ)(r + δ) R - δ - Ρ (O,R)

6 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές εµβαδά πολυγώνων (α + β) α + β + αβ α + β + Ε α + β + αβ Ε αβ τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΖΒ και ΗΓ έχουν ίσες υποτείνουσες και µια κάθετη πλευρά άρα είναι ίσα Ε (ΑΖΒ) + (ΑΖΓ ) ( ΗΓ) + (ΑΖΓ ) (ΑΖΗ ) Ε αυ α (οµοίως: Ε βυ β ) κι αφού τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Γ είναι ίσα (ΑΒΓ) Ε αυα (και κυκλικά) Ε (Α Γ) + (ΑΒΓ) Βυ + βυ Β +β Ε υ Ε βγ Ε α 3 4 ΑΓ. Β Ε

7 6 δηµήτρη ποιµενίδη κι άλλο εµβαδόν τριγώνου µε τη γενίκευση του π.θ. και κάµποση άλγεβρα υ α τ(τ - α)(τ -β)(τ - γ), οπότε Ε α τ(τ - α)(τ -β)(τ - γ) α α Ε τ (τ - α)(τ -β)(τ - γ) (όπου τ η ηµιπερίµετρος του ΑΒΓ) Ε (ΒΙΓ) + (ΓΙΑ) + (ΑΙΒ) αρ + βρ + γρ ρ(α + β + γ) Ε τρ (όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραµµένου κύκλου) αν ΑΗ ύψος του ΑΒΓ και Α διάµετρος του περιγεγραµµένου του κύκλου (Ο, R) τότε Βˆ Α90 ο (αφού βλέπει διάµετρο) και ˆ Γˆ (εγγεγραµµένες που βαίνουν στο Α Β ), συνεπώς γ R βγ ΑΒ ΑΗΓ βγ Rυ α υ α, άρα: υα β R αβγ Ε (όπου R η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου) 4R αν Α < 90 ο : υ β γ ηµα αν Α > 90 ο : υ β γ ηµα εξ γ ηµα (αφού Α + Α εξ 80 ο ) αν Α 90 ο : ηµα Ε βγηµ Α (και κυκλικά) να κι ο νόµος των ηµιτόνων από τη µια Ε β γ ηµα γ α ηµβ α β ηµγ, από την άλλη Ε α ηµα β γ R ηµβ ηµγ αβγ, συνεπώς: 4R

8 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές σύγκριση εµβαδών αν ΑΒΓ Α Β Γ : αυ Ε α α υα λλ λ Ε α υα α υα (µε γενίκευση σε όλα τα όµοια πολύγωνα) κι αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες ή παραπληρωµατικές: (Α Ε) (ΑΒΓ) Α. ΑΕηµΑ ΑΒ. ΑΓηµΑ Α. ΑΕ ΑΒ. ΑΓ ΑΖ. ΑΓηµΑ (ΑΖΓ) ΑΖ. ΑΓ (Α Ε). Α. Α ΑΕηµΑ ΑΕ (αφού Α +Α 80 ο ) ο λόγος των εµβαδών ισούται µε τον λόγο των γινοµένων των πλευρών που τις περιέχουν µε µια µατιά (ΑΒΓ) ( ΒΓ) (ΕΒΓ) (ΑΜΒ) (ΑΜΓ) Ε Ε Ε Ε + Ε 3 Ε Ε (ΑΒΓ ) (ΑΕΖ )

9 8 δηµήτρη ποιµενίδη ένα κανονικό ν-γωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο στον κύκλο (Ο, R) ο εγγεγραµµένος του κύκλος (O, ρ) και το περιγεγραµµένο στον (Ο,R) ν-γωνο Α Β Γ (το σχηµατάκι που δε γίνεται εύκολα στο word και λείπει από το σχολικό βιβλίο) 360 o (ν -)ΑΒ ω ν ( ω ν ) φ ν ν ναβ o - Α Β ων 80 ο 360 o - ν κάθε ν-γωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο στον (Ο, R) που έχει ίσες πλευρές είναι κανονικό γιατί έχει και ίσες γωνίες (αφού κάθε µια είναι εγγεγραµµένη που βαίνει σε τόξο (ν-) A B λν ν α ν + R Ε ν ν(αοβ) λν α ν Pν α ν 4 λ ν Rηµ ω ν αν Rσυν ω ν φ ν φ ν, αφού προφανώς ΑΒΓ Α Β Γ δύο κανονικά ν-γωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι πάντα όµοια αφού έχουν ίσες γωνίες και πλευρές προφανώς ανάλογες και επειδή αυτά έχουν όµοια κεντρικά τρίγωνα λ R αν ο λόγος οµοιότητάς τους είναι: λ R α ν

10 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές εγγραφή µερικών κανονικών ν-γώνων σε κύκλο, λ ν και α ν _ έστω ΑΓ, Β δύο κάθετες διάµετροι κύκλου (Ο, R), τότε: ΑΒ ΒΓ Γ Α (χορδές ίσων τόξων), συνεπώς το ΑΒΓ είναι τετράγωνο εγγεγραµµένο στον (Ο, R) µε π.θ. στο ορθογώνιο και ισοσκελές ΑΟ : λ 4 R Α στο ΑΟ το απόστηµα του ΑΒΓ είναι διάµεσος: ΟΕ, άρα: R λ 4 R α 4 _ η κεντρική γωνία του εξαγώνου που θέλουµε να εγγράψουµε στον ο 360 ο κύκλο (Ο, R) οφείλει να είναι 60 6 συνεπώς το κεντρικό τρίγωνο ΑΟΒ οφείλει να είναι ισόπλευρο µε χορδές ΑΒ, ΒΓ, Γ, Ε, ΕΖ ίσες µε R χωρίζουµε τον κύκλο σε έξη ίσα τόξα, συνεπώς το ΑΒΓ ΕΖ είναι κανονικό εξάγωνο εγγεγραµµένο στον (Ο, R) και το απόστηµά του ύψος του ισοπλεύρου ΑΟΒ, άρα: R 3 λ 6 R α 6 _ οι πλευρές του ΑΓΕ είναι ίσες (ως χορδές ίσων τόξων), συνεπώς το ΑΓΕ είναι ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραµµένο στον (Ο, R) ο Α Γˆ 90 (εγγεγραµµένη που βλέπει διάµετρο) µε π.θ. στο ορθογώνιο ΑΓ : λ 3 (R) R αν ΟΛ απόστηµα του ΑΓΕ, στο ορθογώνιο ΑΛΟ είναι Α 30 ο ΟΑ (αφού η ΑΟ είναι διχοτόµος του ΑΓΕ): ΟΛ, συνεπώς R λ 3 R 3 α 3 από το ν-γωνο στο ν-γωνο προεκτείνοντας τα αποστήµατα των πλευρών του εγγεγραµµένου στον (Ο, R) ν-γώνου ΑΒΓ,βρίσκουµε τα µέσα των τόξων ΑΒ,ΒΓ, συνεπώς τις κορυφές ν-γώνου ΑΜΒ εγγεγραµµένου στον (Ο, R) αν Μ το διαµετρικό του Μ το ΜΑΜ είναι ορθογώνιο και το ΑΗ ύψος του: λ ν ΜΗΜΜ R(R - α ν ) και βέβαια: λ ν R(R + αν ) α ν R -..., συνεπώς 4 λ R(R - α ) ν ν α R(R + α κάτι που δε διέφυγε από αυτόν που µόνος πάλεψε µια αυτοκρατορία ν ν )

11 0 δηµήτρη ποιµενίδη µέτρηση κύκλου µήκος του κύκλου (Ο,R): L πr κι επειδή ο κύκλος είναι τόξο 360 ο, τόξο ο πr έχει µήκος, συνεπώς 360 µήκος του τόξου AB γωνίας θ µ ο : πrµ l AB 80 ενώ τόξο rad ορίζουµε το τόξο µήκους R, συνεπώς µήκος του τόξου A B γωνίας θ α rad : l αr AB από τις προηγούµενες ισότητες προκύπτει αµέσως η σχέση µ ο α µ και α rad: π 80 εµβαδόν του κυκλικού δίσκου (Ο,R): Ε πr κι επειδή ο κύκλος είναι κυκλικός τοµέας 360 ο, τοµέας ο πr έχει εµβαδόν, συνεπώς 360 εµβαδόν του κυκλικού τοµέα Ο. A B γωνίας θ µ ο πr µ αr (ή α rad): (O.AB) 360 εµβαδόν του κυκλικού τµήµατος ε: ε (Ο. A B ) - (ΑΟΒ) η απόπειρα να µπουν κάποια πράγµατα στη θέση τους είναι αφιερωµένη στα «παιδιά» που το ήταν στη β ενός λυκείου ξέρουν αυτά

12 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές... µερικές λυµένες ασκήσεις.... Αν Α, ΒΕ και ΓΖ είναι τα ύψη και Η το ορθόκεντρο τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξεις ότι: ΗΑ Η ΗΒ ΗΕ ΗΓ ΗΖ Ηˆ (ως κατακορυφήν) και Εˆ ˆ ( ) Ηˆ άρα τα τρίγωνα ΑΗΕ και ΒΗ είναι όµοια, συνεπώς: δηλαδή: ΗΑ Η ΗΒ ΗΕ οµοίως: ΗΒ ΗΕ ΗΓ ΗΖ άρα: ΗΑ Η ΗΒ ΗΕ ΗΓ ΗΖ ΗΑ ΗΕ ΗΒ Η. Αν Ε είναι το σηµείο τοµής της διχοτόµου Α τριγώνου ΑΒΓ µε τον περιγεγραµµένο του κύκλο, να αποδείξεις ότι: i. AB AΓ Α ΑΕ ii. EB EA E i. Αˆ Αˆ (υπόθεση) και Βˆ Εˆ (εγγεγραµµένες που βαίνουν στο τόξο ΑΓ) AΒ Α άρα τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓΕ είναι όµοια, συνεπώς: ΑΕ ΑΓ δηλαδή: ΑΒ ΑΓ Α ΑΕ ii. Βˆ Αˆ (εγγεγραµµένες που βαίνουν στο τόξο ΕΓ) εποµένως Βˆ Αˆ τα τρίγωνα ΑΒΕ και Β Ε (που έχουν επιπλέον κοινή την Εˆ ) είναι όµοια, ΕΒ ΕΑ συνεπώς: δηλαδή: EB EA E Ε ΕΒ

13 δηµήτρη ποιµενίδη 3. Αν ΑΕ, ΑΖ είναι αντίστοιχα οι προβολές δύο χορδών ΑΓ και Α ενός κύκλου σε µια διάµετρό του ΑΒ, να αποδείξεις ότι: ΑΖ ΑΓ ΑΕ Α φέρνουµε τις ΒΓ και Β, οπότε: Β ΓˆΑ Β ˆΑ (ως εγγεγραµµένες που βαίνουν σε ηµικύκλιο) στα ορθογώνια τρίγωνα ΑΓΒ και Α Β έχουµε αντιστοίχως: ΑΓ ΑΕΑΒ ΑΖΑΓ ΑΖΑΕΑΒ Α ΑΖΑΒ ΑΕΑ ΑΕΑΖΑΒ άρα: ΑΖΑΓ ΑΕΑ 4. Να αποδείξεις ότι σε κάθε τραπέζιο ΑΒΓ µε βάσεις ΑΒ και Γ ισχύει: ΑΓ + Β Α + ΒΓ + ΑΒ Γ (έστω ότι οι προσκείµενες σε κάθε βάση γωνίες είναι και οι δύο οξείες ή αµβλείες) φέρνουµε τα ύψη ΑΕ και ΒΖ ΑΕ ΒΖ γιατί είναι παράλληλα (ως κάθετα στη Γ ) τµήµατα µεταξύ των παραλλήλων ΑΒ και Γ το ΑΒΖΕ είναι λοιπόν ορθογώνιο οπότε: ΑΒ ΕΖ σύµφωνα µε το θ. οξείας στα τρίγωνα Α Γ και ΒΓ ισχύουν: ΑΓ Α + Γ - Γ Ε Β ΒΓ + Γ - Γ ΓΖ + ΑΓ + Β Α + ΒΓ + Γ (Γ - Ε - ΓΖ) Α + ΒΓ + Γ ΕΖ Α + ΒΓ + Γ ΑΒ

14 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των διαγωνίων τετραπλεύρου ΑΒΓ, να αποδείξεις ότι: ΑΒ + ΒΓ + Γ + Α ΑΓ + Β + 4ΜΝ (Θ. Euler) φέρνουµε τα ΒΜ και Μ οπότε: σύµφωνα µε το ο θ. διαµέσου στα τρίγωνα ΑΒΓ, Α Γ και ΒΜ έχουµε: ΑΒ + ΒΓ + Γ + Α ΒΜ ΑΓ + + Μ ΑΓ + ΑΓ + (ΒΜ + Μ ) ΑΓ + (ΜΝ Β + ) ΑΓ + Β + 4ΜΝ 6. Στην υποτείνουσα ΒΓ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ θεωρούµε τα σηµεία και Ε ώστε: Β Ε ΕΓ. Να αποδείξεις ότι: Α + ΑΕ 9 5 ΒΓ το µέσο Μ του ΒΓ είναι και µέσο του Ε ΒΓ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΜ σύµφωνα µε το ο θ. διαµέσου στο τρίγωνο Α Ε έχουµε: ΒΓ Α + ΑΕ ΑΜ Ε ( ) ΒΓ + ( ) 3 ΒΓ ΒΓ 0ΒΓ ΒΓ 9

15 4 δηµήτρη ποιµενίδη 7. ίνεται ρόµβος ΑΒΓ και σηµείο Μ στην προέκταση της µεγαλύτερης διαγωνίου ΑΓ προς το µέρος του Α. Να αποδείξεις ότι: Μ - Α ΜΑ ΜΓ φέρνουµε τη διαγώνιο Β του ρόµβου κι έστω Ο το κέντρο του τότε είναι Β ΑΓ, ΑΟ ΟΓ κι αν Ν το µέσο του ΜΑ, σύµφωνα µε το ο θ. διαµέσου στο τρίγωνο Α Μ έχουµε: Μ Α ΜΑΝΟ ΜΑ(ΝΑ + ΑΟ) ΜΑ(ΝΑ + ΑΟ) ΜΑ(ΜΑ + ΑΓ) ΜΑΜΓ 8. Αν η διάµεσος ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγραµµένο του κύκλο στο Ε, να αποδείξεις ότι: i. ΑΜ ΜΕ ΒΓ και ii. ΑΒ + ΑΓ ΑΜ ΑΕ 4 i. σύµφωνα µε το θ. τεµνοµένων χορδών: ΒΓ ΒΓ ΒΓ ΑΜΜΕ ΜΒΜΓ 4 ii. σύµφωνα µε το ο θ. διαµέσου στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε: ΑΒ +ΑΓ ΑΜ ΒΓ + ΑΜ + ΑΜΜΕ (λόγω i.) ΑΜ(ΑΜ + ΜΕ) ΑΜΑΕ

16 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος του Α και ο περιγεγραµµένος του κύκλος. Αν µία ευθεία που διέρχεται από το Γ τέµνει το Α στο Μ και τον κύκλο στο Η, να αποδείξεις ότι: ΓΜ ΓΗ ΓΑ φέρνουµε το ΒΗ οπότε: Β Ηˆ Μ 90 ο (εγγεγραµµένη που βαίνει σε ηµικύκλιο) ο Β ΗˆΜ + Β ˆΜ 80 άρα το ΒΗΜ είναι εγγράψιµο, συνεπώς: ΓΜΓΗ Γ ΓΒ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Γ ΓΒ ΓΑ άρα: ΓΜΓΗ ΓΑ 0. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόµος του Α και η διάµεσός του ΑΜ. Αν Ε και Ζ είναι τα σηµεία στα οποία ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου Α Μ τέµνει τις ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: ΒΕ ΓΖ σύµφωνα µε το θ. τεµνοµένων χορδών: ΒΕΒΑ Β ΒΜ : ΒΕ ΑΒ Β (αφού ΒΜ ΓΜ) ΓΖ ΑΓ Γ ΓΖΓΑ ΓΜΓ αλλά σύµφωνα µε το θ. εσωτερικής διχοτόµου ΑΒ Β ΒΕ στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι: άρα: δηλ. ΒΕ ΓΖ ΑΓ Γ ΓΖ

17 6 δηµήτρη ποιµενίδη. Αν Η είναι το ορθόκεντρο οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ µε ύψη Α, ΒΕ και ΓΖ, δείξε ότι: i. AH υ α ΑΖ γ ΑΕ β ii. ΒΗ υ β + ΓΗ υ γ α i. Β ΖˆΗ + Β ˆ Η οπότε το Β ΗΖ είναι εγγράψιµο συνεπώς: ΑΗΑ ΑΖΑΒ οµοίως: ΑΗΑ ΑΕΑΓ άρα: ΑΗυ α ΑΖγ ΑΕβ ii. οµοίως: ΒΗυ β Β α και ΓΗυ γ Γ α άρα: ΒΗυ β + ΓΗυ γ (Β + Γ )α α. ίνεται κύκλος (Ο, R) και σηµεία Α και Β µιας διαµέτρου του τέτοια ώστε: ΟΑΟΒκ. Αν Μ είναι τυχαίο σηµείο του κύκλου και οι ΜΑ και ΜΒ τέµνουν τον κύκλο στα σηµεία ΑΜ ΒΜ και αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: + (R + κ ) / R - κ ΑΓ Β Γ σύµφωνα µε το θ. τεµνοµένων χορδών είναι: ΑΓΑΜ R κ και Β ΒΜ R κ σύµφωνα µε το ο θ. διαµέσου στο τρίγωνο ΑΜΒ είναι: ΑΜ + ΒΜ ΜΟ ΑΒ + (R + κ ) ΑΜ ΒΜ ΑΜ ΒΜ (R + κ ) συνεπώς: + + ΑΓ Β ΑΓΑΜ Β ΒΜ R -κ

18 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές Αν οι διάµεσοι Α και ΒΕ τριγώνου ΑΒΓ τέµνονται στο σηµείο Θ, να αποδείξεις ότι: i. (ΑΒΕ) (Α Γ) (ΒΕΓ) ii. (ΑΘΒ) ( ΓΕΘ) και iii. (ΒΘ ) (ΑΘΕ) i. αφού οι Α, ΒΕ είναι διάµεσοι του τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν: (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) (ΑΒΕ), (Α Γ) συνεπώς: (ΑΒΕ) (Α Γ) (ΒΕΓ) και (ΒΕΓ) ii. (ΑΘΒ) (ΑΒΕ) - (ΑΘΕ) (Α Γ) - (ΑΘΕ) ( ΓΕΘ) iii. (ΒΘ )(ΒΕΓ)-( ΓΕΘ)(Α Γ)-( ΓΕΘ)(ΑΘΕ) αλλιώς: (ΑΒΓ) επειδή το Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και Θˆ Θˆ ισχύουν: (ΒΘ ) ΘΒΘ ΘΒ Θ άρα: (ΒΘ ) (ΑΘΕ) (ΑΘΕ) ΘΑΘΕ ΘΕ ΘΑ 4. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΒΓ // Α ). Αν Μ είναι το µέσο της ΑΒ, να αποδείξεις ότι: (ΑΒΓ ) (ΜΓ ) αν Ε είναι το σηµείο τοµής της Μ µε τη ΒΓ τότε: Mˆ (ως κατακορυφήν) Mˆ ΜΒ ΜΑ (υπόθεση) Â (εντός εναλλάξ των παραλλήλων Α, ΒΓ Bˆ που τέµνονται από την ΑΒ) συνεπώς (Γ-Π-Γ): τα τρίγωνα ΑΜ και ΒΜΕ είναι ίσα άρα: (ΑΜ ) (ΒΜΕ) και Μ ΜΕ (ΑΒΓ ) (ΑΜ )+( ΜΒΓ) (ΒΜΕ)+( ΜΒΓ) ( ΕΓ) (ΜΓ ) (αφού η ΓΜ είναι διάµεσος του ΕΓ)

19 8 δηµήτρη ποιµενίδη 5. Αν ΑΒΓ είναι τετράγωνο πλευράς α και ΚΛΜΝ ρόµβος πλευράς α, να αποδείξεις ότι: (ΚΛΜΝ) (ΑΒΓ ) έστω δ,δ τα µήκη των διαγωνίων του ρόµβου επειδή αυτές διχοτοµούνται κάθετα, σύµφωνα µε το πυθαγόρειο στο ορθογώνιο τρίγωνο ΜΟΝ δ δ είναι: + α, συνεπώς: 4 4 δ δ (ΚΛΜΝ) (ΑΒΓ ) α δ δ δ δ δ δ 0 ( - ) που ισχύει (η ισότητα ισχύει όταν δ δ δηλ. όταν ο ρόµβος είναι τετράγωνο) 6. ίνεται κύκλος κέντρου Ο και δύο κάθετες χορδές του ΑΒ και Γ. Να αποδείξεις ότι: (ΒΟ ) (ΑΟΓ) η Bˆ είναι εγγεγραµµένη που βαίνει στο τόξο ΑΓ και η Ô είναι επίκεντρη που βαίνει στο τόξο ΑΓ, συνεπώς: Ô Bˆ οµοίως: Ô Γˆ Οˆ + Οˆ (Βˆ +Γˆ) 80 ο (αφού στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΓ είναι: Βˆ + Γˆ 90 ο ) τα τρίγωνα ΒΟ και ΑΟΓ έχουν δύο γωνίες παραπληρωµατικές, άρα: (ΒΟ ) ΟΒΟ (ΑΟΓ) ΟΑΟΓ δηλ. (ΒΟ ) (ΑΟΓ)

20 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές Ευθεία παράλληλη προς τη βάση ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τις ΑΒ, ΑΓ στα σηµεία και Ε αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: (ΑΒΕ) (Α Ε)(ΑΒΓ) τα τρίγωνα ΑΒΕ, Α Ε και ΑΒΓ έχουν κοινή την Â, συνεπώς: (ΑΒΕ) ΑΒΑΕ ΑΒ (Α Ε) Α ΑΕ Α και (ΑΒΓ) ΑΒΑΓ ΑΓ (ΑΒΕ) ΑΒΑΕ ΑΕ σύµφωνα µε το θ. θαλή στο τρίγωνο ΑΒΓ όπου Ε // ΒΓ έχουµε: άρα: (ΑΒΕ) (ΑΒΓ) (Α Ε) (ΑΒΕ) δηλ. (ΑΒΕ) (Α Ε)(ΑΒΓ) ΑΒ ΑΓ Α ΑΕ 8. Από τυχαίο εσωτερικό σηµείο Σ τριγώνου ΑΒΓ µε εµβαδό Ε, φέρνουµε παράλληλες προς τις πλευρές σχηµατίζοντας έτσι τρία τρίγωνα µε εµβαδά Ε, Ε και Ε 3. Να αποδείξεις ότι: i. τα τρίγωνα είναι όµοια µε το ΑΒΓ ii. + E + E E E 3 i. Σ ΘˆΖ Βˆ (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΒ και ΘΙ που τέµνονται από τη ΒΓ) οµοίωςσ ΖˆΘ Γˆ, άρα το τρίγωνο ΘΣΖ είναι όµοιο µε το ΑΒΓ οµοίως τα τρίγωνα ΕΣΙ και ΣΗ είναι όµοια µε το ΑΒΓ ii. στα παραλληλόγραµµα ΒΘΣ και ΓΖΣΕ είναι: Σ ΒΘ και ΣΕ ΖΓ Ε Ε δηλ. + Ε Ε + Ε Ε E + E + E3 3 ΘΖ ( ) ΒΓ E + ΣΕ ( ) ΒΓ + Σ ( ) ΒΓ ΘΖ + ΖΓ + ΒΘ ΒΓ

21 0 δηµήτρη ποιµενίδη 9. Αν Ε ν είναι το εµβαδόν κανονικού ν-γώνου (ν>4) εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R), να αποδείξεις ότι: Ε ν Ρν R έστω ΑΓΕ... το ν-γωνο και ΑΒΓ Ε... το ν-γωνο η κορυφή Β του ν-γώνου είναι το µέσο του τόξου ΑΓ, ΑΓ λν συνεπώς: ΟΒ ΑΓ και ΑΜ λν Ε ν(αοβ) ν ΟΒΑΜ νr Ρ R ν ν 0. ίνεται κύκλος (Ο,R) και µία χορδή του Γ λ 6. Σε µία διάµετρο του κύκλου και εκατέρωθεν του Ο παίρνουµε τα σηµεία Α και Β έτσι ώστε ΟΑ ΟΒ α 3. Αν Μ είναι το µέσο της Γ, να αποδείξεις ότι: ΜΑ + ΜΒ λ 4 σύµφωνα µε το ο θ. διαµέσου στο τρίγωνο ΑΜΒ ισχύει: ΜΑ + ΜΒ ΟΜ ΑΒ + α 6 + α 3 R ( 3 ) R + ( ) R (R ) λ 4

22 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές... Με διάµετρο µια ακτίνα ΟΑ κύκλου (O, R) γράφουµε κύκλο (Κ) και από το Ο φέρνουµε ηµιευθεία που τέµνει τον (Ο) στο Β και τον (Κ) στο Γ. Να αποδείξεις ότι τα τόξα Α Β και Α Γ έχουν ίσα µήκη στον κύκλο (Κ) η εγγεγραµµένη Ô και η επίκεντρη Kˆ βαίνουν στο ίδιο τόξο συνεπώς: Kˆ Ô οπότε αν Ô α rad θα είναι Kˆ α rad είναι λοιπόν: l ΑΓ ακα α R αr l ΑΒ. ίνεται κύκλος (O, R) και ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραµµένο σε αυτόν. Να βρεις το εµβαδόν του εγγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ο εγγεγραµµένος κύκλος έχει κέντρο το κέντρο Ο του ισοπλεύρου τριγώνου και εµβαδόν: Ε π(ο ) π(ο ) Α π( ) 3 λ3 3 π( ) 6 R π( ) πr 4

23 δηµήτρη ποιµενίδη 3. Ένα τεταρτοκύκλιο µε κέντρο Α και χορδή ΒΓ µαζί µε το ηµικύκλιο διαµέτρου ΒΓ σχηµατίζουν ένα µηνίσκο µε εµβαδό µ. Να αποδείξεις ότι: µ (ΑΒΓ) σύµφωνα µε το πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ΒΓ ΑΒ µ Ε ηµικυκλ τ π(βγ/) - [Ε τεταρτοκ (ΑΒΓ)] πβγ παβ - + (ΑΒΓ) 8 4 παβ παβ - + (ΑΒΓ) 8 4 (ΑΒΓ) 4. Έστω τετράγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (O,R) και τα ηµικύκλια µε διαµέτρους τις πλευρές του που βρίσκονται εκτός αυτού. Να αποδείξεις ότι το άθροισµα των εµβαδών των τεσσάρων σχηµατιζόµενων µηνίσκων είναι ίσο µε το εµβαδόν του ΑΒΓ αν Ε είναι το εµβαδόν του κύκλου και ε,ε,ε 3,ε 4 τα εµβαδά των ηµικυκλίων λ R τα οποία έχουν ακτίνες ίσες µε 4 δηλ., είναι: µ + µ + µ 3 + µ 4 ε + ε + ε 3 + ε 4 (τ + τ + τ 3 + τ 4 ) R 4 π( ) - [Ε- (ΑΒΓ )] πr πr + (ΑΒΓ ) (ΑΒΓ )

24 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές ίνεται ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηµικύκλια διαµέτρων ΑΓ και ΓΒ, όπου Γ σηµείο της ΑΒ. Η κάθετος της ΑΒ στο Γ τέµνει το αρχικό ηµικύκλιο στο. Να αποδείξεις ότι το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται µεταξύ των τριών ηµικυκλίων είναι ίσο µε το εµβαδόν του κύκλου διαµέτρου Γ ˆΒ 90ο (εγγεγραµµένη που βαίνει σε ηµικύκλιο) Α στο ορθογώνιο τρίγωνο Α Β ισχύει: Γ ΑΓΒΓ αν Ε είναι το εµβαδόν του ηµικυκλίου διαµέτρου ΑΒ και α το ζητούµενο, τότε: α Ε - Ε Ε π(αβ / ) π(αγ/) π(βγ/) π [ΑΒ (ΑΓ + ΒΓ )] 8 π [ΑΒ ((ΑΓ+ ΒΓ) - ΑΓΒΓ)] 8 π (ΑΒ ΑΒ + ΑΓΒΓ) 8 πγ 4 Γ ) π( δηλ. είναι ίσο µε το εµβαδόν του κύκλου διαµέτρου Γ εκτός ύλης... Pierre-Auguste Renoir (84-99) le dejeuner des canotiers (88)

25 4 δηµήτρη ποιµενίδη σειρά σου τώρα... ο 5. Aν Α είναι ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( Â 90 ), ΑΒ 5 και Β, να διατάξεις 3 κατά σειρά µήκους τα ευθύγραµµα τµήµατα: ΑΓ, ΒΓ, Γ και Α. Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο µε πλευρές α κ + λ, β κλ και γ κ λ, όπου κ, λ είναι θετικοί ακέραιοι, είναι ορθογώνιο 3. Αν ΑΕ, ΑΖ είναι αντίστοιχα οι προβολές δύο χορδών ΑΓ και Α ενός κύκλου σε µια διάµετρό του ΑΒ, να αποδείξεις ότι: ΑΖ ΑΓ ΑΕ Α ο 4. Αν είναι το µέσο της πλευράς ΑΓ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( Â 90 ) και Ε η προβολή του στη ΒΓ, να αποδείξεις ότι: ΕΓ + ΑΒ ΕΒ και να διατάξεις κατά σειρά µήκους τα ευθύγραµµα τµήµατα: Β, ΕΒ και ΕΓ 5. Να αποδείξεις ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε ο Â 90, ισχύει: µ α βγ ο 6. Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν: Â Â 90, Βˆ Βˆ και Γˆ Γˆ, να αποδείξεις ότι: i. ββ + γγ αα και ii. + ββ γγ υ υ 7. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε ΑΒ ΑΓ και το ΓΕ είναι ύψος του, να αποδείξεις ότι: ΒΓ ΑΒ ΒΕ α α 8. ίνονται δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο Α και ΒΓ ένα κοινό εξωτερικά εφαπτόµενο τµήµα τους. Αν (Ο, σ) είναι ο κύκλος που εφάπτεται στο ΒΓ και στους προηγούµενους κύκλους, να αποδείξεις ότι: i. ΒΓ Rρ και ii. + R ρ σ 9. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε Â και το ύψος του Α. Να αποδείξεις ότι αν x, y, ω είναι αντίστοιχα τα µήκη οποιωνδήποτε οµόλογων γραµµικών στοιχείων των τριγώνων ΑΒ, ΑΓ και ΑΒΓ(π.χ. διαµέσων, υψών, ακτίνων εγγεγραµµένων κύκλων), ισχύει: x + y ω 0. ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ και Ε σηµείο της Β. Να αποδείξεις ότι: i. ΑΒ - ΑΕ ΕΒ Ε και ii. ΒΕ + Ε ΑΕ. Αν οι πλευρές τριγώνου ΑΒΓ έχουν µήκη α 7, β και γ 9, να υπολογίσεις το µήκος της προβολής της ΒΓ πάνω στην ΑΒ

26 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε Â, προεκτείνουµε την πλευρά ΑΓ κατά Γ ΒΓ. Να αποδείξεις ότι: Β ΒΓ Α 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ ΑΓ φέρνουµε παράλληλη στη ΒΓ που τέµνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξεις ότι: ΒΕ ΕΓ +ΒΓ Ε 4. Να βρεις το είδος των γωνιών τριγώνου ΑΒΓ όταν για τις πλευρές του ισχύει η σχέση: i. β 3α + γ ii. γ α β iii. α β γ 5. Αφού αποδείξεις ότι υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ µε α 6µ, β 5µ και γ 4µ (όπου µ θετικός), να εξετάσεις το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του 6. Να υπολογίσεις τη γωνία Α τριγώνου ΑΒΓ µε α, β + 3 και γ 7. Να υπολογίσεις την πλευρά ΒΓ οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ µε ύψος Β που έχει: ΑΒ 4, ΑΓ 3 και ο ΑΒˆ Να αποδείξεις ότι σε κάθε τραπέζιο ΑΒΓ µε βάσεις ΑΒ και Γ ισχύει: ΑΓ + Β Α + ΒΓ + ΑΒ Γ 9. Αν ΒΒ και ΓΓ είναι ύψη οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξεις ότι: α β ΓΒ + γ ΒΓ 0. Να αποδείξεις ότι ένα τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει: α 3 β 3 + γ 3, είναι οξυγώνιο. Στην υποτείνουσα ΒΓ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ θεωρούµε τα σηµεία και Ε ώστε: Β Ε ΕΓ. Να αποδείξεις ότι: Α + ΑΕ 9 5 ΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των διαγωνίων τετραπλεύρου ΑΒΓ, να αποδείξεις ότι: ΑΒ + ΒΓ + Γ + Α ΑΓ + Β + 4ΜΝ (Θ. Euler) 3. i. Αν ΑΒΓ ορθογώνιο και Μ τυχαίο σηµείο, να αποδείξεις ότι: ΜΑ + ΜΓ ΜΒ + Μ ii. Αν ΑΒΓ τετράγωνο και Μ σηµείο στο εσωτερικό του ώστε ΜΑ, ΜΒ και ΜΓ 3, να βρεις την πλευρά του τετραγώνου 4. Σε ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ α θεωρούµε τυχαίο σηµείο Μ και χωρίζουµε την ΑΒ σε τρία ίσα τµήµατα ΑΓ, Γ και Β. Να αποδείξεις ότι το άθροισµα: ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ + Μ είναι σταθερό 5. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε ευθεία ε // ΒΓ η οποία διέρχεται από το κέντρο του τριγώνου. Αν Ρ είναι τυχαίο σηµείο της ε, να αποδείξεις ότι: ΡΒ + ΡΓ ΡΑ 6. Να αποδείξεις ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: µ α + βγ > α 4

27 6 δηµήτρη ποιµενίδη 7. Να υπολογίσεις τη γωνία Â τριγώνου ΑΒΓ στο οποίο ισχύει: β + γ αµ α 8. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: µ β + µ γ 5µ α, να αποδείξεις ότι αυτό είναι ορθογώνιο 9. Να αποδείξεις ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: µ β < µ γ γ < β 30. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε βαρύκεντρο Θ. Να αποδείξεις ότι: 3 i. µ α + µ β + µ γ (α +β + γ ) και ii. ΘΑ + ΘΒ + ΘΓ (α +β + γ ) Να προσδιορίσεις το είδος του τριγώνου ΑΒΓ όταν είναι: µ α 3, µ β 4 και µ γ 5 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε β 7, γ 6 και µ α 7. Να υπολογίσεις: i. την πλευρά α και ii. την προβολή της διαµέσου µ α στη ΒΓ 33. Σε ορθογώνιο (Â ) τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Βˆ 3Γˆ. Να αποδείξεις ότι: i. η προβολή της διαµέσου ΑΜ πάνω στη ΒΓ έχει µήκος ίσο µε υ α ii. ισχύει : β - γ βγ 34. Αν,Ε αντιστοίχως είναι τα µέσα των πλευρών ΑΒ,ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ, να δείξεις ότι: i. το Ε διέρχεται από το µέσο Ν της διαµέσου ΑΜ ii. ΑΓ - ΑΒ (ΝΓ -ΝΒ ) 35. ίνεται ρόµβος ΑΒΓ και σηµείο Μ στην προέκταση της µεγαλύτερης διαγωνίου ΑΓ προς το µέρος του Α. Να αποδείξεις ότι: Μ - Α ΜΑ ΜΓ 36. Βρες το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος x στα ακόλουθα σχήµατα: 37. Αν στο διπλανό σχήµα είναι -3 M ( Ο,R), να υπολογίσεις την ακτίνα του κύκλου

28 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές ίνεται κύκλος (Κ, 6) και σηµείο Α ώστε ΑΚ4. Αν από το Α φέρουµε τέµνουσα ΑΒΓ του κύκλου µε ΒΓ6, να υπολογίσεις το ΑΒ 39. Αν ΑΒ, Γ είναι χορδές κύκλου (Ο, R) που τέµνονται στο σηµείο Ρ και να αποδείξεις ότι: ΑΒ Γ ΡΑ Ρ, ΡΒ ΡΓ 40. Να αποδείξεις ότι η προέκταση της κοινής χορδής δύο τεµνόµενων κύκλων διχοτοµεί κάθε κοινό εξωτερικό εφαπτόµενο τµήµα τους 4. ίνεται κύκλος (Ο,R), µία διάµετρός του ΑΒ και µία χορδή του Γ ΑΒ. Να αποδείξεις ότι για κάθε χορδή ΑΕ η οποία τέµνει τη Γ στο Σ, το γινόµενο ΑΕ ΑΣ είναι σταθερό 4. Αν Ρ είναι σηµείο εξωτερικό του κύκλου (Ο, R) µε ΟΡ R, Ρ (Ο,R) και ΡΑΒ είναι µία τέµνουσα του κύκλου µε ΡΑ ΑΒ, να βρεις: i. την ακτίνα R του κύκλου ii. το µήκος της χορδής ΑΒ iii. το είδος του τριγώνου ΟΒΡ iv. το µήκος της προβολής του ΟΒ πάνω στο ΟΡ 43. Να αποδείξεις ότι η δύναµη του κέντρου βάρους τριγώνου ΑΒΓ ως προς τον περιγεγραµµένο του κύκλο είναι: - 9 (α +β +γ ) 44. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόµος του Α και η διάµεσός του ΑΜ. Αν Ε και Ζ είναι τα σηµεία στα οποία ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου Α Μ τέµνει τις ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: ΒΕ ΓΖ 45. Αν Α είναι διχοτόµος σε τρίγωνο ΑΒΓ και Ε και Ζ τα σηµεία στα οποία τέµνουν τις ΑΒ και ΑΓ οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Α Γ και Α Β αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: ΒΕ ΓΖ 46. Ο κύκλος που διέρχεται απ την κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ και τα µέσα Μ, Ν των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, εφάπτεται της ΒΓ στο σηµείο. Να αποδείξεις ότι: Α Β Γ 47. Τετράγωνο ΑΒΓ πλευράς α είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R). Αν Ε είναι το µέσο της Α και η ΒΕ προεκτεινόµενη τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ζ, να αποδείξεις ότι: α 5 i. ΒΕ και ii. ΒΕ 5ΕΖ 48. Από σηµείο Α εκτός κύκλου (Ο, R) φέρνουµε τέµνουσα ΑΒΓ και εφαπτόµενο τµήµα Α. Αν η διχοτόµος της γωνίας Α τέµνει τις Β, Γ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξεις ότι: ΕΒ ΖΓ Ε Ζ

29 8 δηµήτρη ποιµενίδη 49. Αν η διάµεσος ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγραµµένο του κύκλο στο Ε, ΒΓ να αποδείξεις ότι: i. ΑΜ ΜΕ και ii. ΑΒ + ΑΓ ΑΜ ΑΕ ίνεται κύκλος (Ο, R), µία διάµετρός του ΑΒ, Γ ένα σηµείο του κύκλου και η προβολή του στην ΑΒ. Αν Ε, Ζ είναι τα σηµεία τοµής των κύκλων (Ο, R) και (Γ, Γ ) ενώ Ρ είναι το σηµείο τοµής των ΕΖ και Γ, να αποδείξεις ότι: i. Ρ (Ο,R) Ρ (Γ,Γ ) ii. το Ρ είναι µέσο του Γ 5. Αν Η είναι το ορθόκεντρο οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ µε ύψη Α, ΒΕ και ΓΖ, δείξε ότι: i. AH υ α ΑΖ γ ΑΕ β ii. ΒΗ υ β + ΓΗ υ γ α iii. ΑΗ υ α + ΒΗ υ β + ΓΗ υ γ (α +β +γ ) 5. ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ που είναι εγγράψιµο σε κύκλο. Αν το σηµείο τοµής των διαγωνίων του ΑΓ και Β είναι µέσο της Β, να αποδείξεις ότι: ΑΒ + ΒΓ + Γ + Α ΑΓ 53. ίνεται κύκλος (Ο, R) και σηµεία Α και Β µιας διαµέτρου του τέτοια ώστε: ΟΑ ΟΒ κ. Αν Μ είναι τυχαίο σηµείο του κύκλου και οι ΜΑ και ΜΒ τέµνουν τον κύκλο στα σηµεία ΑΜ ΒΜ Γ και αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι το άθροισµα + είναι σταθερό. ΑΓ Β ( (R + κ )/R - κ ) 54. Σε κυκλικό δίσκο (Ο, R) παίρνουµε δύο σηµεία Α, Β συµµετρικά ως προς Ο και έστω: ΟΑ ΟΒ α. Αν ΚΛ είναι µία χορδή που διέρχεται από το Α, να αποδείξεις ότι: ΚΒ + ΒΛ + ΛΚ 6R + α 55. Στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓ πλευράς α 4 κατασκευάζουµε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΖ. Να υπολογίσεις το εµβαδόν των ΑΒΓ, ΑΖ, ΑΒΖ και ΒΖΓ 56. Να υπολογίσεις το εµβαδόν του ορθογωνίου που έχει περίµετρο 4 και διαγώνιο Να υπολογίσεις το εµβαδόν του ρόµβου µε πλευρά και άθροισµα διαγωνίων Τρία τετράγωνα µε µήκη πλευρών ακέραιους αριθµούς, και κοινή κορυφή Α είναι τοποθετηµένα όπως στο σχήµα. Αν ΒΓ Γ και η σκιασµένη περιοχή έχει εµβαδόν 7, να βρεις το εµβαδό κάθε τετραγώνου

30 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές ο 59. Ένα οικόπεδο έχει σχήµα τραπεζίου ΑΒΓ µε Αˆ ˆ 90, Α 5m, ΒΓ 0m και ΑΒ m. Ένας καινούργιος δρόµος πλάτους 3m περνάει παράλληλα προς τη Γ. Ποιο είναι το εµβαδόν του οικοπέδου που αποµένει; 60. Αν Σ είναι σηµείο µιας πλευράς παραλληλογράµµου ΑΒΓ, να αποδείξεις ότι: (ΣΑΓ) + (ΣΒ ) (ΑΒΓ) 6. Αν οι διάµεσοι Α και ΒΕ τριγώνου ΑΒΓ τέµνονται στο σηµείο Θ, να αποδείξεις ότι: i. (ΑΒΕ) (Α Γ) ii. (ΑΘΒ) ΓΕΘ) και iii. (ΒΘ ) (ΑΘΕ) 6. Αν Θ είναι σηµείο της διαµέσου Α τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξεις ότι: i. (ΘΑΒ) (ΘΑΓ) ii. αν Θ είναι το βαρύκεντρο του ΑΒΓ τότε: (ΘΑΒ) (ΘΑΓ) (ΘΒΓ) 3 (ΑΒΓ) 63. Σε τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουµε το µέσο Μ της διαµέσου Α, το µέσο Ν του ΓΜ και το µέσο Ρ του ΒΝ. Να αποδείξεις ότι: (ΜΝΡ) 8 (ΑΒΓ) 64. Αν x, y, z είναι οι αποστάσεις τυχαίου σηµείου Κ,που βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ, από τις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: x y z i. αx + βy + γz (ΑΒΓ) και ii. + + υ υ υ α β γ 65. Αν Ε, Ζ, Η, Θ είναι τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α αντιστοίχως, τετραπλεύρου ΑΒΓ και Ο είναι το σηµείο τοµής των ΕΗ και ΖΘ, να αποδείξεις ότι: (ΟΕΒΖ) + (ΟΗ Θ) (ΟΘΑΕ) + (ΟΖΓΗ) 66. Αν είναι τυχαίο σηµείο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και Ε, Ζ τα σηµεία στα οποία τέµνουν τις προεκτάσεις των ΑΒ, ΑΓ αντιστοίχως, οι παράλληλες από τα Β, Γ προς την Α, να αποδείξεις ότι: ( ΕΖ) (ΑΒΓ) 67.Αν ΑΒΓ είναι τετράγωνο πλευράς α και ΚΛΜΝ ρόµβος πλευράς α, να αποδείξεις ότι: (ΚΛΜΝ) (ΑΒΓ ) 68. Αν ω είναι η γωνία των διαγωνίων ΑΓ και Β κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ, να αποδείξεις ότι: (ΑΒΓ ) ΑΓ Β ηµω 69. Να αποδείξεις ότι το εµβαδόν ενός τραπεζίου ισούται µε το γινόµενο της µιας από τις µη παράλληλες πλευρές του επί την απόσταση του µέσου της άλλης από αυτή 70. Αν Ε είναι το εµβαδόν τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξεις ότι: Ε βγ

31 30 δηµήτρη ποιµενίδη 7. Να βρεις το εµβαδόν παραλληλογράµµου ΑΒΓ µε ΑΒ 8, ΒΓ 0 και ΓΑ Να βρεις το εµβαδόν και το ύψος τραπεζίου ΑΒΓ (Α // ΒΓ) µε πλευρές ΑΒ 3, ΒΓ 5, Γ 5 και Α 73. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Â, ΑΒ 6 και ΑΓ 8. Να βρεις: i. το εµβαδόν του ii. το ύψος του υ α iii. την ακτίνα ρ του εγγεγραµµένου του κύκλου 74. Να αποδείξεις ότι σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: βγ αυ α Â 75. Αν Ε είναι το εµβαδόν τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξεις ότι: Ε ή > τ(τ - α) A ή > 76. Να αποδείξεις ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: υ α + υ β + υ γ ρ 77. Αν ρ α, ρ β, ρ γ είναι οι ακτίνες των παρεγγεγραµµένων κύκλων τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξεις ότι: (ΑΒΓ) (τ - α)ρ α (τ - β)ρ β (τ - γ)ρ γ 78. Αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι εγγεγραµµένα στον ίδιο κύκλο, να αποδείξεις ότι: (ΑΒΓ) αβγ (Α Β Γ ) α β γ 79. Αν Σ είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων ενός εγγράψιµου τετραπλεύρου ΑΒΓ,. ΑΒΑ ΣΑ να αποδείξεις ότι:. ΓΒΓ ΣΓ 80. Έστω τετράπλευρο ΑΒΓ εγγράψιµο σε κύκλο. Αν ΑΒ α, ΒΓ β, Γ γ και Α δ, ΑΓ αδ +βγ να αποδείξεις ότι: Β αβ + γδ 8. Τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ ΑΓ είναι ισοδύναµο µε τρίγωνο Α Β Γ, Â + Â και ισχύει Α Β.Α Γ 36. Ποιο είναι το µήκος των ίσων πλευρών του ΑΒΓ; 8. ίνεται παραλληλόγραµµο µε εµβαδόν 0. Αν Μ σηµείο στην προέκταση της ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΒ ΒΜ, να βρεις το εµβαδόν του ΜΒΓ 83. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε εµβαδόν 30 και τα σηµεία και Ζ των προεκτάσεων των ΒΑ και ΓΑ αντιστοίχως, τέτοια ώστε Α 3 ΑΒ και ΑΖ ΑΓ. Να βρεις το (Α Ζ) 84. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν Â Â και Βˆ + Βˆ. Να δείξεις ότι: αβ α β

32 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει εµβαδόν 75. Έστω σηµείο της ΒΓ και Μ σηµείο του Α τέτοιο ώστε ΑΜ 3Μ. Από το Μ φέρνουµε παράλληλη προς τη ΒΓ που τέµνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Ε και Ζ αντιστοίχως. Να βρεις το εµβαδόν του τραπεζίου ΒΕΖΓ 86. Έστω Ρ εσωτερικό σηµείο τριγώνου ΑΒΓ. Αν οι ΑΡ, ΒΡ και ΓΡ τέµνουν τις ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ στα, Ε και Ζ αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: Ρ (ΒΡΓ) Ρ ΡΕ ΡΖ ΡΑ ΡΒ ΡΓ i., ii. + + και iii. + + Α (ΑΒΓ) Α ΒΕ ΓΖ Α ΒΕ ΓΖ 87. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Βˆ, Γˆ < και το ύψος του Α. Στο ηµιεπίπεδο (ΒΓ, Α) φέρνουµε Βx ΒΓ και Γy ΒΓ. Πάνω στις Βx, Γy παίρνουµε αντιστοίχως τα σηµεία Ε και Ζ, ώστε να είναι ΒΕ ΓΖ Α. Αν Μ, Ν είναι τα µέσα των ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: (ΕΒΜ) + (ΖΓΝ) (ΑΒΓ) 88. ίνεται κύκλος κέντρου Ο και δύο κάθετες χορδές του ΑΒ και Γ. Να αποδείξεις ότι: (ΒΟ ) (ΑΟΓ) 89. Ευθεία παράλληλη προς τη βάση ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τις ΑΒ, ΑΓ στα σηµεία και Ε αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: (ΑΒΕ) (Α Ε)(ΑΒΓ) 90. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε Â και τρία πολύγωνα Ρ,Ρ και Ρ 3 όµοια µεταξύ τους που έχουν ως οµόλογες πλευρές τις ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ αντιστοίχως. είξε ότι: (Ρ ) + (Ρ 3 ) (Ρ ) 9. Έστω Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων τετραπλεύρου ΑΒΓ. Αν Ε,Ε,Ε 3 και Ε 4 είναι τα εµβαδά των ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟ και ΟΑ αντιστοίχως, να αποδείξεις ότι: Ε Ε 3 Ε Ε 4 Αν το ΑΒΓ είναι τραπέζιο (Α // ΒΓ) µε εµβαδό Ε, να αποδείξεις ότι: i. E E 3 ii. E E E 4 iii. E 4 E iv. E + E4 E 9. Από τυχαίο εσωτερικό σηµείο τριγώνου ΑΒΓ µε εµβαδό Ε, φέρνουµε παράλληλες προς τις πλευρές σχηµατίζοντας έτσι τρία τρίγωνα µε εµβαδά Ε, Ε και Ε 3. Να αποδείξεις ότι: i. τα τρίγωνα είναι όµοια µε το ΑΒΓ ii. E + E + E3 E 93. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ΚΛ // ΑΒ,ΚΜ // ΑΓ και (ΑΒΓ) Ε, να αποδείξεις ότι: i. Ε Ε + Ε3 ii. E E4 iii. Ε ΕΕ 3

33 3 δηµήτρη ποιµενίδη 94. Να βρεις το πλήθος των πλευρών κανονικού πολυγώνου που έχει γωνία 08 ο 95. Ο λόγος των πλευρών δύο κανονικών πολυγώνων είναι. Ποιος είναι ο λόγος των ακτίνων τους, των αποστηµάτων τους, των περιµέτρων τους και των εµβαδών τους; 96. Να αποδείξεις ότι το µόνο κανονικό πολύγωνο µε οξεία γωνία είναι το ισόπλευρο τρίγωνο 97. Αν ένα κανονικό ν-γωνο και ένα κανονικό µ-γωνο είναι εγγεγραµµένα στον ίδιο κύκλο, να αποδείξεις ότι: λ ν > λ µ α ν < α µ 98. Έστω κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓ Ε εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R). Να αποδείξεις ότι: i. κάθε διαγώνιός του το χωρίζει σε ένα ισοσκελές τραπέζιο και ένα ισοσκελές τρίγωνο ii. η διχοτόµος της γωνίας ΒΑΓ είναι κάθετη στην πλευρά ΑΕ iii. δύο διαγώνιοί του χωρίς κοινό άκρο σχηµατίζουν µε δύο πλευρές του ρόµβο iv. αν Η είναι το σηµείο τοµής της ΑΓ µε τη Β τότε ισχύει: ΑΗ ΑΓ ΗΓ 99. Να αποδείξεις ότι αν ένα πολύγωνο είναι εγγεγραµµένο και περιγεγραµµένο σε δύο οµόκεντρους κύκλους τότε είναι κανονικό 00. Αν λ ν είναι η πλευρά κανονικού ν-γώνου περιγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας R και λ ν, α ν η πλευρά και το απόστηµα αντιστοίχως κανονικού ν-γώνου εγγεγραµµένου στον ίδιο κύκλο, να αποδείξεις ότι: R λ ν α ν λ ν 0. Να αποδείξεις ότι το εµβαδόν κανονικού ν-γώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (O, R) είναι µέσο ανάλογο των εµβαδών του εγγεγραµµένου και του περιγεγραµµένου στον (O, R) κανονικών πολυγώνων 0. Αν Α, Β, Γ και είναι διαδοχικές κορυφές κανονικού ν-γώνου µε ν 4, να αποδείξεις ότι: ΑΓ - ΑΒ ΑΒ Α 03. Αν Ε ν είναι το εµβαδόν κανονικού ν-γώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R), να αποδείξεις ότι: Ε ν Ρν R 04. Αν Ε α, Ε β και Ε γ είναι τα εµβαδά κανονικών ν-γώνων µε πλευρές ίσες αντιστοίχως προς τις πλευρές α, β και γ τριγώνου ΑΒΓ µε Â, να αποδείξεις ότι: Ε β + Ε γ Ε α 05. Αν d, d,, d ν είναι οι αποστάσεις ενός εσωτερικού σηµείου κανονικού ν-γώνου από τις πλευρές του, να αποδείξεις ότι: d + d + + d ν ν α ν 06. Aν Α, Β, Γ και είναι διαδοχικά σηµεία κύκλου (Ο,R) τέτοια ώστε: ΑΒ R, ΒΓ λ και Γ R, να αποδείξεις ότι η Α είναι διάµετρος του κύκλου

34 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές Στο διπλανό σχήµα ο κύκλος έχει ακτίνα R και ΟΕ R. Υπολόγισε όλες τις γωνίες που βλέπεις 08. Να υπολογίσεις ως συνάρτηση του R το εµβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου, ενός τετραγώνου και ενός κανονικού εξαγώνου που είναι εγγεγραµµένα σε κύκλο (O, R) 09. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R 0 και απόστηµα α ν 5 3. Να βρεις την πλευρά του και το εµβαδόν του ο 0. Έστω τα τόξα ΑΒ ο 60, ΒΓ ο 90 και Γ 0 κύκλου (O, R). Να υπολογίσεις ως συνάρτηση του R τις πλευρές και το εµβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓ. Να βρεις την ακτίνα κανονικού πολυγώνου που έχει άθροισµα γωνιών 8 ορθές και εµβαδόν 6 3. Σε κύκλο (O, R) και εκατέρωθεν του κέντρου του θεωρούµε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ R και Γ R 3. Να υπολογίσεις ως συνάρτηση του R τις µη παράλληλες πλευρές ΒΓ και Α, το ύψος και το εµβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓ 3. Να υπολογίσεις ως συνάρτηση του R την πλευρά, το απόστηµα και το εµβαδόν κανονικού -γώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (O, R) 4. ίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ εγγεγραµµένο σε κύκλο (O, R). Αν Μ είναι το µέσο της Γ, να αποδείξεις ότι: i. το τρίγωνο ΑΓ είναι ορθογώνιο ii. (ΑΜ ΕΖ) (ΑΜΓΒ) 5. Σε κύκλο (O, R) είναι εγγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Αν είναι το µέσο του κυρτογώνιου τόξου ΑΓ, Μ το µέσο της ΒΓ και Ε το σηµείο στο οποίο η Μ τέµνει τον κύκλο, να υπολογίσεις τα Μ και ΜΕ ως συνάρτηση του R 6. Έστω τα διαδοχικά συνευθειακά σηµεία Α, Β, Γ και. Αν L, L, L 3 και L είναι τα µήκη των κύκλων µε διαµέτρους ΑΒ, ΒΓ, Γ και Α, να αποδείξεις ότι: L + L + L 3 L 7. Να βρεις το µήκος του εγγεγραµµένου κύκλου σε κανονικό εξάγωνο πλευράς 0 8. Να βρεις το µήκος του κυρτογωνίου τόξου κύκλου µε ακτίνα 5 που έχει χορδή την πλευρά κανονικού 0-γώνου εγγεγραµµένου στον κύκλο 9. Όταν ένα ποδήλατο διανύει µια απόσταση, ο ένας τροχός του που έχει ακτίνα R κάνει ν στροφές, ενώ ο άλλος που έχει ακτίνα ρ κάνει ν στροφές. είξε ότι: R ρ

35 34 δηµήτρη ποιµενίδη 0. Έστω οι χορδές ΑΒ R και ΒΓ R 3 κύκλου (O, R). Να υπολογίσεις ως συνάρτηση του R τα µήκη των τόξων Α Β, Β Γ και Γ Α. Με διάµετρο µια ακτίνα ΟΑ κύκλου (O, R) γράφουµε κύκλο (Κ) και από το Ο φέρνουµε ηµιευθεία που τέµνει τον (Ο) στο Β και τον (Κ) στο Γ. Να αποδείξεις ότι τα τόξα Α Β και Α Γ έχουν ίσα µήκη. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε α 3, β 4 και γ 5. Να βρεις το µήκος του εγγεγραµµένου και του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου 3. Έστω τετράγωνο πλευράς α. Με κέντρα τις κορυφές του και ακτίνες ίσες µε το µισό της διαγωνίου του γράφουµε τόξα στο εσωτερικό του που τέµνουν τις πλευρές του σε οκτώ σηµεία. Να αποδείξεις ότι το οκτάγωνο που σχηµατίζεται είναι κανονικό και να υπολογίσεις το εµβαδόν του 4. ίνεται κύκλος (O, R) και ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραµµένο σε αυτόν. Να βρεις το εµβαδόν του εγγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου 5. Ένα τόξο 60 ο έχει µήκος 4π. Ποιο είναι το εµβαδόν του κύκλου του; 6. Στο εσωτερικό ισόπλευρου τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α γράφουµε τα τόξα των κύκλων (Α, α), (Β, α) και (Γ, α). Να υπολογίσεις ως συνάρτηση του α την περίµετρο και το εµβαδόν του καµπυλόγραµµου τριγώνου ΑΒΓ 7. Στο διπλανό σχήµα βλέπεις ένα ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒR και εξωτερικά του τα ίσα ηµικύκλια διαµέτρων ΟΑ, Α, Γ και ΓΒ αντιστοίχως. Να αποδείξεις ότι: (κ)+(µ )+(µ )+(µ 3 )(ΑΒΓ ) 8. Τρεις ίσοι κύκλοι ακτίνας R εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο στα σηµεία Α, Β και Γ. Να βρεις ως συνάρτηση του R την περίµετρο και το εµβαδόν του καµπυλόγραµµου τριγώνου ΑΒΓ 9. ύο ίσοι κύκλοι ακτίνας R έχουν διάκεντρο ίση µε R. Να βρεις ως συνάρτηση του R το εµβαδόν του κοινού τους µέρους 30. Στο διπλανό σχήµα το τεταρτοκύκλιο κέντρου Α και το ηµικύκλιο διαµέτρου ΒΓ σχηµατίζουν ένα µηνίσκο µ. Να αποδείξεις ότι: (µ) (ΑΒΓ)

36 γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές Με κέντρο τυχαίο σηµείο ενός κύκλου (O, R) και ακτίνα ίση µε την πλευρά τετραγώνου εγγεγραµµένου σε αυτόν, γράφουµε κύκλο. Να βρεις το εµβαδόν του κοινού µέρους των δύο κυκλικών δίσκων 3. Στο διπλανό σχήµα όπου Γ είναι τυχαίο σηµείο του ΑΒ βλέπεις τα ηµικύκλια διαµέτρων ΑΓ, ΓΒ και ΑΒ και το σηµείο στο οποίο τέµνει το ηµικύκλιο ΑΒ η κάθετος στο ΑΒ στο σηµείο Γ. Να αποδείξεις ότι το εµβαδόν του χωρίου α που σχηµατίζεται από τα τρία ηµικύκλια ισούται µε το εµβαδόν του κύκλου µε διάµετρο Γ 33. Έστω τετράγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (O,R). Να βρείς το εµβαδόν του κοινού µέρους των κυκλικών δίσκων (Β, ΒΑ) και (, Α) ως συνάρτηση του R 34. Έστω τετράγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (O,R) και τα ηµικύκλια µε διαµέτρους τις πλευρές του που βρίσκονται εκτός αυτού. Να αποδείξεις ότι το άθροισµα των εµβαδών των τεσσάρων σχηµατιζοµένων µηνίσκων είναι ίσο µε το εµβαδόν του ΑΒΓ 35. Αν Γ είναι σηµείο της διαµέτρου ΑΒ κύκλου (O,R) ΓΑ µ τέτοιο ώστε: και τα ηµικύκλια διαµέτρων ΓΒ ν ΓΑ και ΓΒ που γράφονται εκατέρωθεν της ΑΒ χωρίζουν τον κυκλικό δίσκο (O, R) σε δύο χωρία E µ µε εµβαδά Ε και Ε, να αποδείξεις ότι: E ν καλή επιτυχία στις εξετάσεις και όχι µόνο