ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σημείο Ρ εκτός αυτού. Φέρουμε την εφαπτομένη ΡΑ ώστε

Transcript

1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β

2 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 93 Α. Να αποδείξετε ότι: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. Μονάδες 13 Β. Να χαρακτηρίσετε σαν σωστές (Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Αν α, β, γ πλευρές τριγώνου με α < β + γ τότε Α <90º β. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒ ισχύει η σχέση β = α + γ αγ συνβ γ. Σε κάθε τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και ημιπερίμετρο τ ισχύει Ε = (τ α)(τ β)(τ γ) δ. Αν φ ν η γωνία κανονικού πολυγώνου και ω ν η κεντρική γωνία του τότε ισχύει: φ = 180º ω ν Μονάδες 1 ν Θέμα ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με Α = 60º, β = 5, γ = 3. Να δειχθεί ότι: Α. α = 19 Μονάδες 8 Β. μ α = 7 Μονάδες ΜΔ =, όπου ΜΔ η προβολή της διαμέσου μ α στην πλευρά α 19 Μονάδες 9 Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒ με Α >90º με ΑΒ = 5, Α = 3 και (ΑΒ) = Να 4 δειχθούν: Α. Α = 10º Μονάδες Β. α = 7 και υ α = 14 Μονάδες 8. Να βρεθεί το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒ Μονάδες 9 Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σημείο Ρ εκτός αυτού. Φέρουμε την εφαπτομένη ΡΑ ώστε ώστε (ΡΑ) = R 3. Επίσης φέρουμε την ΡΟ και έστω το σημείο τομής της με τον κύκλο. Να υπολογιστούν: Α. το Ρ Μονάδες 8 Β. το Α Μονάδες 8. το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου (ΑΡ) Μονάδες 9

3 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 94 Α. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) σωστό ή (Λ) λάθος τις προτάσεις: α. ια ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με Β = 90º ισχύει β = α + γ β. Το απόστημα τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R δίνεται από τον τύπο α 4 = R γ. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒ δίνεται από τη σχέση Ε = αβγ, όπου R η ακτίνα 4R του περιγεγραμμένου κύκλου δ. Το εμβαδόν κύκλου ακτίνας ρ, δίνεται από τον τύπο Ε = π ρ Μονάδες 10 Β. Αν ΑΒ ορθογώνιο τρίγωνο με Α = 90º και ΑΔ το ύψος προς την υποτείνουσα, να δειχθεί ότι: ΑΔ = ΒΔ Δ Μονάδες 15 Θέμα ο Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90º), φέρουμε το ύψος ΑΔ. Αν ΑΒ = 3 και Α = 4, να δείξετε ότι: Α. Β = 5 Μονάδες 6 Β. ΒΔ = 9 5 Μονάδες 6. Δ = 16 5 Μονάδες 6 Δ. ΑΔ = 1 5 Μονάδες 7 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90º), με ΑΒ = 6 και Α = 8. Να δείξετε ότι: Α. (ΑΒ) = 4 Μονάδες 6 Β. Β = 10 Μονάδες 6. ΑΔ = 4 5, όπου ΑΔ ύψος Μονάδες 6 Δ. ρ =, όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου Μονάδες 7 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) με πλευρά λ 3 = 8 βρείτε: 3cm. Να Α. Το μήκος του κύκλου Μονάδες 1 Β. Το εμβαδόν των τριών κυκλικών τμημάτων που βρίσκονται μεταξύ του κύκλου και του τριγώνου Μονάδες 13

4 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 95 Α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των (Β + β)υ βάσεών του επί το ύψος, δηλαδή Ε = Β. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒ ισχύει β < α + γ, τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο β. ια ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ (Α = 90º) με ύψος ΑΔ, ισχύει: ΑΒ = Β ΒΔ Μονάδες 9 γ. Αν δύο τρίγωνα ΑΒ και Α Β έχουν υ α = υ α και (ΑΒ) (Α Β ) = 3 τότε α α = 3 δ. Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒ δίνεται πάντα από τον τύπο (ΑΒ) = (τ α) (τ β) (τ γ), όπου τ η ημιπερίμετρός του. ε. Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο ομοιότητας. Μονάδες 10. Σε τρίγωνο ΑΒ με β >γ να συμπληρώσετε τις ισότητες: α. β + γ = β. β γ = ώστε να εκφράζουν το 1 ο και το ο θεώρημα των διαμέσων αντίστοιχα. Στην απάντηση παραπάνω είναι απαραίτητη η κατασκευή σχήματος. Μονάδες 6 Θέμα ο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α = 1και Β = 3 Α. Να δείξετε ότι Α = 10º Μονάδες 8 Β. Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της πλευράς ΑΒ πάνω στην Α Μονάδες 9. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ Μονάδες 8 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90º) με ΑΒ = 6 και Α = 8. Να βρείτε: Α. Το εμβαδόν του Μονάδες 5 Β. Το ύψος υ α Μονάδες 7. Την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου Μονάδες 5 Δ. Τη διάμεσο ΑΜ = μ α Μονάδες 4 Ε. Την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου Μονάδες 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = 1, Α = και Α = 10º. Με πλευρές τις ΑΒ και Α κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου ΑΒ τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΖΘ αντίστοιχα. Τότε: Α. Να υπολογιστεί το τμήμα ΕΘ Μονάδες 5 Β. Να αποδείξετε ότι ΑΕΘ = 90º Μονάδες 5. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της πολυγωνικής επιφάνειας ΒΖΘΕΔ είναι 5+ 3 Μονάδες 15

5 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 96 Α. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διαμέσου που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς. Β. Χαρακτηρίστε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90º) και ΑΔ ύψος ισχύει ΑΔ = ΒΔ Δ β. Σε κύκλο (Ο, 4) προεκτείνουμε μια ακτίνα του ΟΑ κατά τμήμα ΑΜ = 1. Μ Τότε Δ (0, 4) = 8 Μονάδες 15 γ. Σε τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και εμβαδόν Ε, η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι R = α β γ 4 Ε δ. Η γωνία ενός κανονικού δεκαοκταγώνου είναι φ = 160º φ ε. Το μήκος τόξου μº σε κύκλο ακτίνας R, είναι 1 = π R μ Θέμα ο 360 Μονάδες 10 Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = 5cm, Α = 7cm και Β = 6cm. Αν το ΑΔ είναι ύψος και ΑΜ διάμεσος να βρεθεί: α. το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του Μονάδες 7 β. να δειχτεί ότι το μήκος της διαμέσου ΑΜ είναι 7 γ. να δειχθεί ότι το μήκος της προβολής της διαμέσου ΑΜ πάνω στη Β είναι Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = 3, Α = 5 και Α = 60º Μονάδες 6 Μονάδες 6 δ. το μήκος του ύψους ΑΔ Μονάδες 6 α. να βρεθεί το μήκος της πλευράς Β Μονάδες 8 β. να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ Μονάδες 8 γ. αν προεκτείνουμε τη ΒΑ κατά τμήμα ΑΕ = και την Α κατά τμήμα Δ = 4 να βρεθεί ο λόγος (ΑΕΔ) (ΑΒ) Σε κύκλο (Κ, R) είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ με πλευρά α = 1. Να υπολογίσετε: Μονάδες 9 α. την ακτίνα R του κύκλου Μονάδες 6 β. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ Μονάδες 6 γ. το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου (Κ, R) Μονάδες 6 δ. το εμβαδόν της περιοχής που περικλείεται από τη χορδή Β, το τόξο Β και δεν έχει κοινά σημεία με το τρίγωνο ΑΒ. Μονάδες 7

6 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 97 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή αυτής της καθέτου πάνω στην υποτείνουσα. Μονάδες 10 Β. Στις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε στην κόλλα σας το γράμμα Σ αν είναι σωστές και το γράμμα Λ αν είναι λανθασμένες : α. Το εμβαδόν ενός τριγώνου με πλευρές α,β,γ δίνεται από τον τύπο α β γ E=, όπου ρ η 4 ρ ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου. β. Το εμβαδόν ενός ρόμβου ισούται με το ημιγινόμενο των διαγωνίων του. γ. Η πλευρά κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R, ισούται με λ = R 3 6 δ. Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας R δίνεται από τον τύπο E=π R ε. Το απόστημα ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R, ισούται με R 3 α = 3 Θέμα ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ =, Α = 3 και Α = 30 º. Μονάδες 15 Α. Να αποδείξετε ότι Β=1. Μονάδες 5 Β. Να βρείτε το είδος του τριγώνου. Μονάδες 5. Να βρείτε το εμβαδόν του. Μονάδες 5 13 Δ. Να αποδείξετε ότι μ α =. Μονάδες 5 Ε. Να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒ. Μονάδες 5 Δίνεται κύκλος (Ο, R) και στην προέκταση μιας ακτίνας του ΟΑ προς το μέρος του Α, παίρνουμε τμήμα ΑΡ = ΟΑ. Από το Ρ φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΚ προς τον κύκλο. Α. Να υπολογίσετε το μήκος του εφαπτόμενου τμήματος ΡΚ συναρτήσει του R. Μονάδες 10 Β. Να βρείτε το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΡΑΚ συναρτήσει του R. Μονάδες 15 Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΔ Α = Δ = 90º και ΑΒ// Δ με ΑΒ = 0, ΑΔ = 10 3 και Β = 10º. Α. Να αποδείξετε ότι Β = 0 και Δ = 30 Μονάδες 9 Β. Αν Μ και Ν τα μέσα των ΑΒ και Δ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι η ΜΝ χωρίζει το τραπέζιο σε δύο ισεμβαδικά τραπέζια. Μονάδες 8. Να υπολογίσετε το μήκος της ΜΝ. Μονάδες 8

7 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 98 Α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν (ε) ενός τραπεζίου δίνεται από τη σχέση Ε = Β + β υ, όπου Β, β βάσεις και υ ύψος. Μονάδες 15 Β. Να απαντήσετε με Σωστό ή Λάθος στις παρακάτω προτάσεις: R δ α. Δ ρ (Ο, R) =, R ακτίνα και δ η απόσταση από το κέντρο του κύκλου του σημείου ρ β. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ( Α = 90º) ισχύει:β πλευρές, α υποτείνουσα και υ α το ύψος από το σημείο Α γ= α υ, όπου β, γ κάθετες α γ. Αν δύο τρίγωνα έχουν Α = Α τότε (ΑΒ) (Α Β ) = β γ β γ δ. Σε ένα κανονικό ν γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R ισχύει: α λ + 4 ν ν = R, όπου λ ν πλευρά και α ν απόστημα του ν γώνου ε. Αν δύο χορδές ΑΒ, Δ τέμνονται εσωτερικά στο σημείο Ρ ισχύει: ΡΑ ΡΒ= Ρ ΡΔ Μονάδες 10 Θέμα ο Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ( Α = 90º), Β = 10 και Α = 8. Αν ΑΔ το ύψος από την κορυφή Α α. Να βρεθεί η ΑΒ Μονάδες 10 β. Να υπολογιστεί το ύψος του τριγώνου ΑΔ Μονάδες 15 Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒ ισχύει μ + μ = μ β γ α α α. Να αποδείξετε ότι ισχύει: β + γ = Μονάδες 15 β. Να βρεθεί το είδος της Α Μονάδες 10 Δίνεται ημικύκλιο (Ο, R) διαμέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ημικύκλια με διαμέτρους ΑΟ και ΟΒ. Αν ο κύκλος (Κ, ρ) εφάπτεται στα τρία ημικύκλια, α. να υπολογίσετε την ακτίνα ρ Μονάδες 1 β. να υπολογίσετε το άθροισμα S των εμβαδών των καμπυλόγραμμων τριγώνων που περικλείονται μεταξύ των τριών ημικυκλίων και του κύκλου (Κ, ρ) Μονάδες 13

8 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 99 Α. Να αποδείξετε ότι, αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε το τετράγωνο της Β. υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών. Μονάδες 10 α. Σε τρίγωνο ΑΒ δίνονται: β = 8, γ = 6 και μ α = 5. Η πλευρά α είναι ίση με: i. 4 ii. 8 iii. 9 iv. 10 v. 11 β. Αν σε τρίγωνο α = 6, β = 4, γ = 8 το τρίγωνο είναι: i. αμβλυγώνιο στο ii. ορθογώνιο στο Α iii. αμβλυγώνιο στο Β iv. αμβλυγώνιο στο v. ορθογώνιο στο Β. γ. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά 4. Το εμβαδόν του είναι : i. 3 ii. 8 iii. 4 3 iv. 6 v. 3 Θέμα ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με α = 7, β = 8, γ = 13 α. Nα βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. Μονάδες 15 β. Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς Α πάνω στην πλευρά ΑΒ. γ. Να υπολογίσετε τη γωνία. Μονάδες Δίνεται ημικύκλιο με διάμετρο ΑΒ = R και Ο μέσον της ΑΒ. Η κάθετη στο μέσο Μ του ΟΑ τέμνει το ημικύκλιο στο. Να υπολογίσετε: α. τη γωνία ΒΑ. Μονάδες 10 β. το μήκος των Β, Μ ως συνάρτηση του R. Μονάδες 15 Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με α = 7, β = 6 και γ = 5. α. Nα αποδείξετε ότι E = 6 6. Μονάδες 6 υ β. β. Να βρείτε το ύψος του Μονάδες 5 γ. Να βρείτε τις ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου. Μονάδες 8 δ. Να βρείτε την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου που είναι ισοδύναμο με το ΑΒ. Μονάδες 6

9 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 300 Α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου είναι ίσο με το ημιγινόμενο μιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος. Μονάδες 15 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. P β. Το P είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου (Ο, R) αν και μόνο αν Δ (O, R) <0 γ. Το εμβαδόν ενός τριγώνου δίνεται και από τον τύπο 1 E = β γ ημ δ. Η γωνία ϕ ν ενός κανονικού πολυγώνου με ν το πλήθος πλευρές, δίνεται από τον τύπο φ = ν. ν ε. Σε κάθε κανονικό πολύγωνο, με ν το πλήθος πλευρές, ακτίνας R, πλευράς και αποστήματος α, ισχύει: 4 α +λ = 4R Μονάδες 5 =10 ν ν ν Θέμα ο Σε ένα τρίγωνο ΑΒ είναι ΑΒ = 6, Α = 1 και Β = 8 α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒ είναι αμβλυγώνιο. Μονάδες 8 β. Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΒΜ. Μονάδες 9 γ. Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της διαμέσου ΒΜ στην πλευρά Α Μονάδες 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = 1, Β = 16 και Β = 30º. α. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. Μονάδες 8 1 β. Αν Δ σημείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΔ = ΑΒ και Ε σημείο της πλευράς Α 3 1 τέτοιο ώστε Ε = Α, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΕ. 4 Μονάδες 10 γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετράπλευρου ΔΕΒ. Μονάδες 7 Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας R = ΟΑ. Στην προέκταση της ΟΑ προς το μέρος του Α παίρνουμε R σημείο Β, τέτοιο ώστε ΟΑ = ΑΒ. Αν Β είναι το εφαπτόμενο τμήμα που άγεται από το Β προς τον κύκλο O R Α. Να δείξετε ότι Β = R 3. Μονάδες 5 Β. Να υπολογίσετε, ως συναρτήση της ακτίνας R: α. Την περίμετρο του μικτόγραμου τριγώνου ΑΒ. Μονάδες 8 β. Το εμβαδόν του μικτόγραμου τριγώνου ΑΒ. Μονάδες 1 λ ν

10 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 301 Α. Σε κύκλο (Ο, R) να εγγράψετε τετράγωνο και να αποδείξετε ότι η πλευρά του είναι λ 4 = R και το απόστημά του α 4 = R Μονάδες 15 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α. Σε τρίγωνο ΑΒ με Α >90º α > β + γ β. Η πλευρά κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο, R) είναι λ 6 = R γ. Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο ομοιότητας Ρ Δ (Ο, R) δ. Το Ρ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου (Ο,R) αν και μόνο αν >0 ε. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90º) για το ύψος ΑΔ ισχύει: ΑΔ = ΔΒ Δ Μονάδες 10 Θέμα ο Έστω τρίγωνο ΑΒ και έστω Θ το βαρύκεντρό του. Να αποδείξετε ότι: 3 α. μ + μ + μ = α β γ 4 ( α + β + γ ) Μονάδες 13 β. ΘΑ + ΘΒ + Θ = 1 3 (α + β + γ ) Μονάδες 1 Σε κύκλο (Ο, R) προεκτείνουμε την ακτίνα ΟΑ κατά τμήμα ΑΒ = R. Αν Β εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου, να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΟΒ είναι ορθογώνιο β. Β = R 3 γ. Η γωνία Β = 30º δ. Η περίμετρος του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΒ είναι R 3 (π ) ε. Το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΒ είναι Σε τρίγωνο ΑΒ είναι: α = 7, β = 5, γ = 4 α. Το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του β. Την προβολή της πλευράς β στην πλευρά γ R 6 (3 3 π) Μονάδες 5 γ. Την προβολή της διαμέσου μ α στην πλευρά α δ. Το εμβαδόν (ΑΒ) ε. Την ακτίνα R του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου Μονάδες 5

11 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 30. Σε κύκλο (Ο,R) να εγγράψετε τετράγωνο και να αποδείξετε ότι η πλευρά του είναι R λ = R ενώ το απόστημα. 4 α = 4. Αν σε κύκλο (Ο,R) είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο ή κανονικό εξάγωνο, τότε η πλευρά και το απόστημά του είναι αντίστοιχα λ 3 =., α 3 =, λ 6 =.., α 6 =.., δώστε τα αποτελέσματα συναρτήσει του. Θέμα ο Δίδεται παραλληλόγραμμο ΑΒΔ με Β = 45, ΑΒ = Δ = α, Β = ΑΔ = β. α. Να υπολογίσετε τις διαγώνιους Α, ΒΔ ως συνάρτηση των πλευρών α, β. β α β 45º β. Να αποδείξετε ότι Α + ΒΔ = α +β 4 4 γ. Να αποδείξετε ότι Α ΒΔ = α + β α Δίνεται τρίγωνο ΑΒ και ευθεία (ε) που περνά M από την κορυφή Α. Αν Κ σημείο της Β ώστε Λ ΚΑ (ε) και ΒΛ (ε) και Μ (ε). Να δείξετε ότι τα τρίγωνα α. (ΑΒΚ) = (ΑΛΚ) β. (ΑΜΚ) = (ΑΚ) γ. (ΑΒ ) = ΛΜ ΚΑ Οικόπεδο σχήματος τραπεζίου έχει ΑΒ = ΑΔ = 30m, Δ = 70m, Α=Δ= 90 α. Να βρείτε το εμβαδόν του ΑΒΔ β. Αν το κόστος για την περίφραξή του είναι 10 το μέτρο, πόσο στοιχίζει η περίφραξη του ΑΒΔ. γ. Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΚ του Α από τη Β. Ε 30m K 30m K 70m

12 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 303. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του, δηλαδή: Ε =. Να υπολογιστούν: α. η περίμετρος 1cm ( Β + β) υ Μονάδες 1 β. το εμβαδόν του τραπεζίου Μονάδες 13 Θέμα ο 15cm Σε τρίγωνο ΑΒ είναι ΑΒ= 6cm, Α = 9cm, Β = 7cm α. Να βρεθεί το είδος του τριγώνου Μονάδες 7 K 13cm β. Να βρεθεί η διάμεσος από τη γωνία Α Μονάδες 8 γ. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ Μονάδες 10 α. Να συμπληρωθεί ο πίνακας ΠΟΛΥΩΝΟ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΩΝΙΑ (ω) ΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΟΥ (φ) ΠΛΕΥΡΑ ΠΟΛΥΩΝΟΥ (λ ν ) ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΩΝΟ ΤΕΤΡΑΩΝΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΕΞΑΩΝΟ Μονάδες 15 β. Να βρεθεί το εμβαδόν τετραγώνου που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R = 6cm Μονάδες 10 Σε κύκλο (Ο, R) είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ με πλευρά ΑΒ = 1. Να υπολογίσετε: α. την ακτίνα R του κύκλου Μονάδες 6 β. το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου (Ο, R) Μονάδες 6 γ. το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒ Μονάδες 6 δ. το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον κύκλο και το ισόπλευρο τρίγωνο Μονάδες 7

13 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 304 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας (Πυθαγόρειο Θεώρημα) Μονάδες 10 Β. Να γράψετε τον ορισμό του κανονικού πολυγώνου Μονάδες 6. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα από το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: α. Σε τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ αν α >β + γ τότε η γωνία Α είναι οξεία. Μονάδες 3 β. Αν α, β οι πλευρές ενός παραλληλογράμμου τότε το εμβαδόν του Ε δίνεται από την ισότητα: Ε = αβ Μονάδες 3 γ. Σε κάθε κανονικό πολύγωνο με πλήθος πλευρών ν ισχύει η σχέση: λ + 4α ν ν = 4R Θέμα ο Στο σχήμα δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με Μονάδες 3 γωνία Α = 90º, ΑΒ = 5 και ΔΒ = 3. Όπου ΑΔ το ύψος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα Β. Να υπολογίσετε: Α. το ύψος ΑΔ Μονάδες 1 Β. την υποτείνουσα Β Μονάδες 13 Δίνονται δύο τεμνόμενοι κύκλοι (Κ, R), (Λ, ρ) και ΑΒ η κοινή τους χορδή. Στην προέκταση της ΒΑ (προς το Α) παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ και φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΔ και ΜΕ προς τους κύκλους (Κ, R), (Λ, ρ) αντίστοιχα. Να αποδειχτεί ότι ΜΔ = ΜΕ. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ, πλευράς 3.Στις πλευρές ΑΒ, Β, Α παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Δ, Ε, Ζ τέτοια ώστε ΑΔ = ΒΕ = Ζ = 1 όπως στο σχήμα. Να υπολογίσετε: Z E Μονάδες 5 Α. το εμβαδόν του τριγώνου ΒΔΕ Μονάδες 8 Β. το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕΖ Μονάδες 8. το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒ Μονάδες 9

14 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 305 α. Αν μία γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματική με μία γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές Μονάδες 15 Β. Να χαρακτηρίσετε Σωστές ή Λάθος τις προτάσεις: α. Ρόμβος με διαγωνίους δ 1, δ είναι ισεμβαδικός με ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές δ 1, δ β. Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒ εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο, R) είναι Ε = α β γ γ. Σε τρίγωνο ΑΒ η διάμεσός του μ α = β + γ α δ. Το εμβαδόν κυκλικού τομέα κυκλικού δίσκου (Ο, R) με επίκεντρη γωνία μº είναι (Ο, ΑΒ ) = αr μ 360 ε. Το απόστημα ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο, R) είναι α 3 = R 3 Θέμα ο Δίνεται τραπέζιο ΑΒΔ ( ΑΒ // Δ) Α = Δ = 90º με ΑΒ = 4, ΑΔ = 3 και Β = 5. Να βρείτε 4R Μονάδες 10 α. την προβολή της Β στη Δ Μονάδες 10 β. το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΔ Μονάδες 15 Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με α = γ και β = 7γ α. Να προσδιορίσετε το είδος της γωνίας Β Μονάδες 7 β. Δείξτε ότι μ α = 3γ Μονάδες 10 γ. Αν ΑΕ το ύψος του ΑΒ από την κορυφή Α, δείξτε ότι ΒΕ = 1 γ Μονάδες 8 Δίνεται κύκλος (Ο, ) και εγγεγραμμένο τετράγωνο ΑΒΔ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά τμήμα ΒΗ = ΑΒ. Δείξτε ότι: Α. η Α είναι κάθετη στην Η Μονάδες 7 Β. Υπολογίστε: α. το μήκος του τόξου Β Μονάδες 6 β. το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που ορίζεται από τη χορδή Β και το τόξο Β Μονάδες 6 γ. το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΒΗ που ορίζεται από τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΗ, Η και το τόξο Β. Μονάδες 6

15 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 306 Α. Να αποδείξετε ότι ημ(α + β) = ημα συνβ + συνα ημβ Μονάδες 8 Β. Να αποδείξετε ότι: συνα = συν α 1 Μονάδες 8. Να απαντήσετε αν είναι σωστό ή λάθος κάθε ένα από τα παρακάτω α. log α α = 0, 0<α 1 β. log α θ κ = κlog α θ, 0 < α 1, θ >0, κ γ. συν α = ημ α + συνα Μονάδες 9 Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: ημ(α + β) ημ(α β) = συν β συν α Μονάδες 7 Β. Να δειχθεί ότι: εφ π α 4 = συνα Μονάδες 8 1+ ημα. Να λυθεί η εξίσωση: ημx + ημ x = συν x Μονάδες 10 Α. Να λυθεί η εξίσωση: x 4 x 3 4x x 1 = 0 Μονάδες 13 Β. Να λυθεί η εξίσωση: x x + 6 = x 3 Μονάδες 1 x + x. Να λυθεί η εξίσωση: 9 + = 0 Μονάδες 1 Β. Να λυθεί η ανίσωση: log(x + ) > logx + log3 Μονάδες 13

16 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 307 Α. Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x ρ αν και μόνο αν το p είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή αν και μόνο αν P(p) = 0 Μονάδες 10 Β. Τι ονομάζεται μηδενικό πολυώνυμο και τι πολυώνυμο μηδενικού βαθμού Μονάδες 6. Να απαντήσετε αν είναι σωστή ή λάθος κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις: α. ια οποιεσδήποτε γωνίες α, β ισχύει ότι: συν ( α β) = συνα συνβ ημα ημβ β. Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών γ. Η συνάρτηση f(x) = α x με 0 <α 1 έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, + ). Μονάδες 9 Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι ημ(α + β) + ημ(α β) = ημα συνβ Μονάδες 7 Β. Να αποδείξετε ότι ημ6x + ημ4x = ημ5x συνx Μονάδες 8. Να λύσετε την εξίσωση ημ6x + ημ4x + ημ5x = 0 Μονάδες 10 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 (α + 3)x + (β + 1)x α όπου α, β Α. Αν ο αριθμός είναι ρίζα του πολυωνύμου και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) δια του x +1 είναι 18 να βρεθούν τα α και β Μονάδες 8 Β. ια α = και β = 7 α. Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) = 0 Μονάδες 6 β. Να γίνει η διαίρεση του πολυωνύμου Ρ(x) δια του x +1 και να γραφεί το Ρ(x) με την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης Μονάδες 5 γ. Να λυθεί η ανίσωση P(x) > 7x + 1 Μονάδες 6 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α(logx) 4 + 8(logx) log(100x) x >0 και α Α. Αν είναι f(10) = 5, να δειχθεί ότι α = 1 Μονάδες 7 Β. ια την τιμή α = 1: α. Να δείξετε ότι η f(x) έχει τη μορφή: f(x) = (log x + 4logx) Μονάδες 9 γ. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0 Μονάδες 9

17 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 308 Α. Να αποδείξετε ότι: αν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο, R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μία ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α, Β, τότε ισχύει ότι ΡΕ = ΡΑ ΡΒ Β. Συμπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων: α. Α >90º α β + γ β. Το εμβαδόν τριγώνου περιγεγραμμένου σε κύκλο (Ο, ρ) είναι Ε = γ. Αν η πλευρά κανονικού πολυγώνου είναι: λ ν = R 3, τότε υ = δ. Το μήκος τόξου μº, κύκλου ακτίνας R είναι : l = Μονάδες 10 ε. Σε τρίγωνο ΑΒ η διάμεσος... μ = Μονάδες 15 α 4 Θέμα ο Σε τρίγωνο ΑΒ είναι Α = 10º, β = 5, γ = 3. Να υπολογιστούν: α. Το μήκος της πλευράς α Μονάδες 1 β. Το μήκος της προβολής της διαμέσου μ α πάνω στην πλευρά Β Μονάδες 13 Δίνεται τρίγωνο ΑΒ και ο εγγεγραμμένος σ αυτό κύκλος (Ο, ρ), ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές Β, Α, ΑΒ στα σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα. Αν είναι = 4, = 16, Δ = 36, Α Δ ( Ο,ρ) Β Δ (Ο,ρ) να υπολογιστούν: α. Τα τμήματα ΑΖ, ΒΔ και Ε Μονάδες 10 β. Την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου Μονάδες 15 Σε κύκλο (Ο,R) θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, ώστε ΑΒ = λ 6 και Β = λ 3. Αν το Μ είναι μέσον του Β και Δ το σημείο που τέμνει η προέκταση της ΑΜ τον κύκλο: Α. Αποδείξτε ότι: η Α = R Μονάδες 9 Β. Να υπολογίσετε: α. Το τμήμα ΜΔ συναρτήσει του R Μονάδες 9 β. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜ Μονάδες 7 (Ο,ρ)

18 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 309 Α. Να αποδείξετε ότι: Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω στην πλευρά αυτή.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα από το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει α < β +γ αν και μόνον αν Â > 90 β. Το εμβαδόν ενός τραπεζίου ισούται με το γινόμενο της διαμέσου επί το ύψος του. γ. Σε κανονικό πολύγωνο ισχύει φ ν + ω ν =180 ο.. Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης Α σε ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α 1. μήκος τόξου μ σε κύκλο ακτίνας R. εμβαδόν κυκλικού τομέα μ σε κύκλο ακτίνας R 3. εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας R α. πr μ 360 β. πr γ. πrμ 180 δ. πr ε. πrμ 360 ΣΤΗΛΗ Β Θέμα ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο ακτίνας R, με πλευρές ΑΒ =, Β = 7 και Α = 4. Αν η προέκταση της διαμέσου ΑΜ τέμνει τον περιγεγραμμένο περί το ΑΒ κύκλο στο Ζ να δείξετε ότι: α. η γωνία είναι 10 ο. β. η προβολή της ΑΒ πάνω στην Α είναι ΑΔ = 1. γ. ΑΜ= Μονάδες δ. ΜΖ= Μονάδες Σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R θεωρούμε παράλληλες χορδές ΑΒ = λ 6 Δ = λ 3 εκατέρωθεν του κέντρου Ο. Να υπολογιστούν : α. Το ύψος του τραπεζίου ΑΒΔ. β. Το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΔ. γ. Το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος (Ο. Δ ) Μονάδες ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται ένα ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ = 6R και στο εσωτε ρικό του τα ημικύκλια διαμέτρων Α = R και Β = 4R, όπου σημείο της διαμέτρου ΑΒ. Η κάθετος της ΑΒ στο τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στο Δ. Να δείξετε ότι: α. Δ = λ 4, ΑΔ = λ 3 O Λ β. το άθροισμα του μήκους των ημικυκλίων Α, Β K ισούται με το μήκος του ημικυκλίου ΑΒ γ) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των τριών ημικυκλίων π Δ είναι ίσο με (όπου λ 3, λ 4 οι πλευρές κανονικών πολυγώνων ισοπλεύρου τριγώνου και 4 τετραγώνου εγγεγραμμένων σε κύκλο ακτίνας R ). Μονάδες M O 7 Z

19 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 310 Α. Αν δύο χορδές ΑΒ, Δ προεκτεινόμενες τέμνονται σε ένα σημείο Ρ, εκτός του κύκλου, τότε ισχύει ΡΑ ΡΒ = Ρ ΡΔ. Μονάδες 15 Β. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒ στο οποίο είναι ˆΑ = 60º, γ = 4 και β = 9. Η πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου ΔΕΖ που είναι ισοδύναμο με το ΑΒ ισούται με : Α: 6, Β: 13, : 4 3, Δ: 9 3, Ε: 5 Επιλέξτε τη σωστή τιμή Μονάδες 5. Αν ο λόγος των εμβαδών δύο κυκλικών δίσκων ( Ο, R ) και ( Ο, R ) είναι 9 8, ο λόγος των περιμέτρων των κύκλων αυτών είναι: Α: 3 9, Β: 4 64, : 3, Δ: 3 3 3, Ε: 4 Επιλέξτε τη σωστή τιμή Μονάδες 5 Θέμα ο Δίνεται το τρίγωνο ΑΒ που έχει πλευρά ΑΒ = 8, πλευρά Α = 1, διάμεσο ΑΜ = 8. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ από την κορυφή στη πλευρά Β. Να υπολογισθούν: Α. Η πλευρά Β. Μονάδες 13 Β. Το ευθύγραμμο τμήμα ΔΜ ( Μ το μέσον της Β ). Μονάδες 1 Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΔ. Λ το μέσον της πλευράς Β και Κ το μέσον της πλευράς Δ. Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις : Α. (ΑΚΛ) = (ΑΔΚ) + (ΑΒΛ) και Μονάδες 15 Β. (ΑΚΛ) = 1 (ΑΒΔ) Μονάδες 10 Σε κύκλο με κέντρο το σημείο Ο και ακτίνα R τοποθετούμε τα σημεία Α,Β, και Δ διαδοχικά, έτσι ώστε να είναι η χορδή ΑΒ = λ 6, Β = λ 3 και Δ = λ 4. Με τη χρήση της ακτίνας R να υπολογισθούν: Α. Το μήκος της χορδής ΑΔ. Μονάδες 10 Β. Το άθροισμα των τεσσάρων κυκλικών τμημάτων που ορίζονται από τις τέσσερεις χορδές ΑΒ, Β, Δ, ΑΔ και τον κύκλο (Ο, R). Μονάδες 15

20 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 311. Να αποδείξετε ότι: Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών του ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διαμέσου που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών, αυξημένο κα τα το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς Μονάδες 15 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: α. Αν το τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ είναι αμβλυγώνιο, ισχύει α > β + γ β. Αν σε τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ ισχύει α < β + γ, τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο γ. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: Μονάδες 4 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΑ λ ν ΠΛΕΥΡΑ α ν ΑΠΟΣΤΗΜΑ ισόπλευρο τρίγωνο τετράγωνο κανονικό εξάγωνο Θέμα ο Μονάδες 6 Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με α = 5, γ = 3, Β = 10º α. Να υπολογιστεί η πλευρά β Μονάδες 9 β. Να υπολογιστεί η διάμεσός του μ α Μονάδες 8 γ. Να υπολογιστεί η προβολή της διαμέσου μ α στην πλευρά α Μονάδες 8 Στο σχήμα είναι Δ = ΟΑ = R, ΟΜ = 7 και Δ Μ (Ο, R) = 40 α. Να αποδείξετε ότι R = 3 Μονάδες 9 β. Να υπολογιστεί το Μ = x Μονάδες 8 γ. Να υπολογίσετε τα εμβαδά (ΟΜ) και (ΑΜ) Μονάδες 8 Δίνεται κύκλος (Ο,R) και εξωτερικό του σημείο Μ από το οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ και ΜΒ. Αν (ΜΑΒ) (ΟΑΒ) = 3 α. Να αποδείξετε ότι ΟΜ = R Μονάδες 9 β. Να αποδείξετε ότι ΑΒ = λ 3 Μονάδες 8 γ. Να υπολογιστεί ως συνάρτηση του R το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΜ που ορίζεται από τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ, ΜΒ και του κυρτού τόξου ΑΒ

21 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 31 Μονάδες 8 Α. Να δείξετε ότι το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του. Δηλαδή Ε = Β + β υ όπου Β, β οι βάσεις του τραπεζίου και υ το ύψος του. Μονάδες 13 Β. Να μεταφέρετε στο γραπτό σας τον παρακάτω πίνακα και να τον συμπληρώσετε συναρτήσει της ακτίνας R του περιγεγραμμένου κύκλου των αντίστοιχων κανονικών πολυγώνων: Θέμα ο Πλευρά λ ν Απόστημα α ν Κανονικό Εξάγωνο Τετράγωνο Ισόπλευρο Τρίγωνο Σε τρίγωνο ΑΒ οι πλευρές του είναι ΑΒ = 6, Β = 1, Α = 8. Μονάδες 1 Α. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒ είναι αμβλυγώνιο Μονάδες 5 Β. Να υπολογίσετε τη διάμεσο ΑΜ Μονάδες 10. Να υπολογίσετε την προβολή της διαμέσου ΑΜ στην πλευρά Β. Μονάδες 10 Τετράγωνο ΑΒΔ πλευράς α είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). Αν Ε είναι το μέσο της ΑΔ και η ΒΕ προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ζ να δείξετε ότι: α 5 Α. ΒΕ = Μονάδες 13 Β. ΒΕ = 5ΕΖ Μονάδες 1 Τρεις ίσοι κύκλοι (Κ, R), (Λ, R), (Μ, R) ε- φάπτονται εξωτερικά ανά δύο στα σημεία Α, Β,, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε συναρτήσει της ακτίνας R: Α. Το εμβαδόν του τριγώνου ΚΛΜ Β. Το μήκος του τόξου ΑΒ. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΚΑΒ Δ. Την περίμετρο του καμπυλόγραμμου χωρίου ΑΒ Ε. Το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου χωρίου ΑΒ. Μονάδες 5 K M Λ

22 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 313 Α. Να αποδείξετε ότι: Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του. Δηλαδή: Ε = (Β + β) υ Όπου Β, β οι βάσεις του τραπεζίου και υ το ύψος του. Μονάδες 13 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: α. Το εμβαδόν τριγώνου με πλευρές α, β, γ δίνεται από τον τύπο: Ε = 1 α β ημβ β. Το απόστημα κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο,R) είναι: α 6 = γ. Το μήκος l ενός τόξου μº σε κύκλο (Ο, R) δίνεται από τον τύπο: l = πrμ. 180 δ. Το εμβαδόν Ε κυκλικού δίσκου ακτίνας R δίνεται από τον τύπο Ε = πr Θέμα ο Τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒ είναι α = 10, β = 13 και γ = 9 Α = 90º) και το ύψος ΑΔ R 3 Μονάδες 1 Α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο Μονάδες 7 Β. Να υπολογίσετε τη διάμεσο ΑΜ του τριγώνου Μονάδες 9. Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της διαμέσου ΑΜ στην πλευρά Β Μονάδες 9 Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( που αντιστοιχεί στην πλευρά Β. Αν είναι ΒΔ = 10 και Δ = 8 να υπολογίσετε: Α. Το τμήμα ΑΔ Μονάδες Β. Το τμήμα ΑΒ Μονάδες 5. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΒ Μονάδες 5 Δ. Το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΔ Μονάδες 10 Στο διπλανό σχήμα έχουμε δύο ίσους κύκλους (Κ, R) και (Λ, R) με ακτίνα R, που ο ένας περνάει από το κέντρο του άλλου και οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Α, Β. Α. Να αποδείξετε ότι ΑΒ = λ 3 όπου λ 3 είναι η πλευρά κανονικού τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R Μονάδες 7 Β. Να υπολογίσετε, συναρτήσει της ακτίνας R, το εμβαδόν και την περίμετρο του κοινού μέρους των δύο κυκλικών δίσκων. Μονάδες 18 K Λ

23 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 314 α. Αν στο τρίγωνο ΑΒ είναι Α < 90º και ΒΔ Α, να συμπληρώσετε την ισότητα: α =... (γενίκευση πυθαγορείου για πλευρά τριγώνου απέναντι από οξεία γωνία) β. Αν στο τρίγωνο ΑΒ είναι Α > 90 και ΒΔ Α, να συμπληρώσετε την ισότητα: α =... α γ (γενίκευση πυθαγορείου για πλευρά τριγώνου απέναντι από αμβλεία γωνία) Α β γ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δυο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διάμεσου που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς. (1 ο θεώρημα διαμέσων) δ. Αν μ α η διάμεσος τριγώνου ΑΒ που αντιστοιχεί στην πλευρά α, συμπληρώστε την ισότητα: μ =. με την βοήθεια των πλευρών του τριγώνου. Μονάδες Θέμα ο α Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90 ) με ΑΒ = 9, Β = 15 και το ύψος του ΑΔ. α. Υπολογίστε την πλευρά Α. β. Υπολογίστε το εμβαδόν του τρίγωνου. γ. Υπολογίστε το ύψος ΑΔ. δ. Υπολογίστε την προβολή της ΑΒ στην υποτείνουσα. ε. Υπολογίστε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τρίγωνου. Μονάδες 5 5 Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ. Στις πλευρές του ΑΒ, Β, Α θεωρούμε τα σημεία Ε, Δ, Ζ αντίστοιχα, ώστε να είναι ΑΕ = 1 3 ΑΒ, ΒΔ = Δ και ΑΖ = 3 Α. Β Β Ε γ Α Α α Β Αν είναι (ΑΒ) = 4 3, υπολογίστε: α. την πλευρά του α. β. τον λόγο των εμβαδών: (ΑΕΖ) (ΑΒ). γ. το εμβαδόν του τριγώνου ΒΕΔ, αφού βρείτε τον λόγο (ΕΔ ) (ΑΒ). δ. το εμβαδόν του τριγώνου ΕΔΖ. Μονάδες Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ = 8 και σημείο της ΑΒ ώστε Β =. Υπολογίστε: α. το εμβαδόν του ημικυκλίου με διάμετρο την Α. β. το εμβαδόν του ημικυκλίου με διάμετρο την Β. Α Β γ. την περίμετρο και το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου σχήματος. Μονάδες Β Ζ

24 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 315 Α. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δυο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διαμέσου που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς. Β. Να συμπληρώσετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις: 1. Η διαφορά των τετραγώνων δυο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί.... Αν δυο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με Αν Δ Ρ (Ο, R) 0 >, τότε το Ρ είναι..σημείο του κύκλου (Ο,R) 4. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του ισούται με το γινόμενο Ο λόγος των εμβαδών δυο όμοιων πολυγώνων ισούται με... Θέμα ο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ ΑΒ = Α =6 και Â=10 Α. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ Β. Αν Ε σημείο της Α ώστε α. Να δείξετε ότι Â < 9 0 Μονάδες E = Α και ΑΔ το ύψος του, να υπολογίσετε το εμβαδόν 3 του τριγώνου ΔΕ Μονάδες Θέμα 3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με α = 6, β = 5 και γ = 4 β. Αν ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς ΑΒ πάνω στην πλευρά Α να βρεθεί το τμήμα ΑΔ γ. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ δ. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΒΔ ε. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο ΑΒ κύκλου Δίνεται κύκλος (Κ, R) και τα διαδοχικά τόξα ΑΒ = 90 και Β=30. Nα υπολογίσετε με τη βοήθεια του R α. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ( Κ. ΑΒ ) β. Το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος ΑΔΒ γ. Την περίμετρο του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΒ Μονάδες 5 5 α. Το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΒ Μονάδες K

25 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 316 Α. Από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο, R) φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μια ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α, Β. Να αποδείξετε ότι ισχύει: ΡΕ = ΡΑ ΡΒ Μονάδες 15 Β. Αν ΑΒ είναι ορθογώνιο με Α = 90º, ΑΔ το ύψος του και ΑΜ η διάμεσός του, τότε να συμπληρώσετε τα κενά: α. ΑΔ =. β. ΑΒ Α = γ. ΑΒ Α =.(ΑΒ > Α) δ. Β ΑΒ =.. ε. Α = Μονάδες 10 Θέμα ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με β = 5, γ = 3 και μ α = α. Να υπολογίσετε την πλευρά α Μονάδες 9 β. Να υπολογίσετε τη γωνία Α Μονάδες 8 γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ Μονάδες 8 Στο διπλανό σχήμα το Μ είναι μέσο της ΑΒ, Δ = 1 Β και (ΑΒ) = 36. Να υπολογιστούν 3 τα εμβαδά: α. (ΜΒ) Μονάδες 8 M β. (ΑΔ) Μονάδες 1 γ. (ΑΜΔ) Μονάδες 5 Έστω τρίγωνο ΑΒ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). Αν η πλευρά του Β είναι διάμετρος του κύκλου, ΑΒ = R και η διάμεσος ΒΜ του τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο σημείο Ζ, τότε: α. Να αποδείξετε ότι Α = R 3 Μονάδες 4 β. Να αποδείξετε ότι ΒΜ = R 7 19 M Μονάδες 7 γ. Να αποδείξετε ότι 7ΜΖ = 3ΜΒ Μονάδες 8 δ. Να υπολογίσετε το λόγο (ΑΜ Β) (ΖΜ) O M Z Μονάδες 6

26 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 317 Α. Να αποδείξετε ότι: αν μία γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματική με μία γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές. Μονάδες 15 Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος: α. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒ ισχύει: α = β + γ +βγ συνα β. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒ ισχύει η ισοδυναμία: α < β + γ Α <90º γ. Σε τρίγωνο ΑΒ με διάμεσο ΑΜ ισχύει: ΑΒ + Α = ΑΜ + ΒΜ δ. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒ είναι Ε = α β γ, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου R κύκλου. 360 ε. Η γωνία ενός κανονικού ν γώνου είναι: φ ν = 180º Μονάδες 10 ν Θέμα ο Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΔ και τα Ε, Ζ είναι μέσα των πλευρών Β, Δ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: ΑΕ + ΑΖ = 5 4 Α Μονάδες 5 Στο σχήμα που δίνεται το τρίγωνο ΑΒ έχει Α = 7 και ΑΒ = 5. Αν ΑΔ είναι ύ- ψος, η διάμεσος ΑΜ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε και ΔΜ = 3 τότε: 5 3 O M 7 Α. Να αποδείξετε ότι: Β = 8 Μονάδες 8 Β. Να υπολογίσετε το ΑΜ Μονάδες 8. Να υπολογίσετε το ΜΕ Μονάδες 9 Τρίγωνο ΑΒ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). Η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά λ 4 του εγγεγραμμένου στον κύκλο (Ο, R) τετραγώνου και η πλευρά Α είναι ίση με την πλευρά λ 6 του εγγεγραμμένου στον κύκλο (Ο, R) κανονικού εξαγώνου. Φέρνουμε το ύψος ΑΗ του τριγώνου ΑΒ. Α. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒ Μονάδες 9 E. Να αποδείξετε ότι: ΑΗ = R. Να αποδείξετε ότι: Β = ( 6) R + Μονάδες 6 Μονάδες 10

27 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 318 Α. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ και Δ η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσα Β. Να αποδείξετε ότι: α. ΑΒ = Β ΒΔ και Α = Β Δ Μονάδες 7 β. ΑΒ + Α = Β Μονάδες 7 Β. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές ίσες με 9cm και 1cm. Η πλευρά ισόπλευρου τριγώνου που έχει ίση περίμετρο με το ορθογώνιο τρίγωνο είναι: α. 10cm β. 1cm γ. 13cm δ. 14cm Να γράψτε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 5. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Ποια σχέση συνδέει την πλευρά του, το απόστημά του και την ακτίνα του; Μονάδες 6 Θέμα ο Σε τρίγωνο ΑΒ έχουμε β = 7, γ = 6 και μ α = 7 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά α Μονάδες 10 Β. Να βρείτε το είδος της γωνίας Α Μονάδες 5. Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς α πάνω στην πλευρά γ. Μονάδες 10 Η υποτείνουσα Β ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου είναι 4. Προεκτείνουμε τη Β κατά τμήμα Δ ίσο με το Β. Α. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ Μονάδες 8 Β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ Μονάδες 7. Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΔ είναι ίσοι Μονάδες 10 Σε κύκλο (Ο, R) παίρνουμε τόξο Α = 60º και φέρνουμε τη διάμετρο Α και τη χορδή Β. Α. Του σχηματιζόμενου μικτόγραμμου τριγώνου ΑΒ να υπολογίσετε, ως συνάρτηση της ακτίνας R, α. την περίμετρό του Μονάδες 9 β. το εμβαδόν του Μονάδες 9 Β. Φέρνουμε την ακτίνα του κύκλου την κάθετη στην Α που τέμνει τη Β στο Δ. Να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του R, τα τμήματα ΒΔ και Δ. Μονάδες 7

28 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 319 Α. Δίνεται κύκλος (Ο, R) α. Να εγγράψετε στον κύκλο (Ο, R) τετράγωνο ΑΒΔ (κατασκευή απόδειξη) Μονάδες 7 β. Να αποδείξετε ότι: λ 4 = R, όπου λ 4 η πλευρά του τετραγώνου ΑΒΔ. Μονάδες 6 γ. Να αποδείξετε ότι: α 4 = R, όπου α 4 το απόστημα του τετραγώνου ΑΒΔ. Μονάδες 6 Β. Στον κάθε έναν από τους παρακάτω ισχυρισμούς να αντιστοιχίσετε το γράμμα Σ αν είναι σωστός ή το γράμμα Λ αν είναι λάθος και να μεταφέρετε την απάντησή σας στην κόλλα σας: α. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ ισχύει: α = β + γ βγ β. ια κάθε ζεύγος ομοίων τριγώνων ισχύει ότι: ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο ομοιότητάς τους. γ. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒ με α < β + γ, όπου α, β, γ πλευρές του τριγώνου ΑΒ, ισχύει ότι το τρίγωνο ΑΒ είναι οξυγώνιο. Μονάδες 6 Θέμα ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με β = α και γ = α 7, όπου α, β, γ πλευρές του τριγώνου ΑΒ. Α. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒ είναι αμβλυγώνιο Μονάδες 9 Β. Να υπολογίσετε τη γωνία Μονάδες 8. Να δείξετε ότι μ γ = α 3, όπου α, β, γ οι πλευρές και μ γ η διάμεσος του τριγώνου ΑΒ Μονάδες 8 Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα κύκλο (Ο, R). Z Δύο χορδές του κύκλου Β, ΔΕ τέμνονται στο R Ρ, έτσι ώστε να είναι (ΒΡ) = 3, (Ρ) = και (ΡΔ) O = 1. Έχουμε προεκτείνει τη χορδή Β προς το P μέρος του Β κατά τμήμα ΒΑ με (ΒΑ) = 4 και E από το σημείο Α έχουμε φέρει προς τον κύκλο εφαπτόμενο τμήμα ΑΖ. Α. Να δείξετε ότι (ΕΡ) = 6 Μονάδες 5 Β. Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΑΖ Μονάδες 10. Να υπολογίσετε το λόγο (ΡΒΕ) των εμβαδών των τριγώνων ΡΒΕ και ΡΔ. Μονάδες 10 (ΡΔ) Στο διπλανό σχήμα έχουμε κύκλο (Ο, R) διαμέτρου ΑΒ. Το ευθύγραμμο τμήμα Α είναι εφαπτόμενο στον κύκλο (Ο, R). Το σημείο Δ είναι η προβολή του Α πάνω O R E στην Ο και Ε είναι το δεύτερο σημείο τομής της Β με τον κύκλο (Ο, R). Α. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ο, Δ, Ε, Β είναι ομοκυκλικά. Μονάδες 1 Β. Αν η γωνία ΑΟ είναι 60º, να υπολογίσετε συναρτήσει του R, το εμβαδόν του τριγώνου ΒΟ Μονάδες 13

29 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 30 Α. Να αποδείξετε ότι: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των καθέτων πλευρών του στην υποτείνουσα. Β. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος ; α. Αν σε τρίγωνο ΑΒ έχουμε α > β + γ, τότε Β > Μονάδες 15 β. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒ αν μ α είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά α, τότε: α + β = μ + α α. γ. Ο τύπος που μας δίνει το εμβαδόν τραπεζίου με βάσεις β, Β και ύψος υ είναι : Ε = δ. Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων τριγώνων με λόγο ομοιότητας λ είναι ίσος με λ. Β ε. Η κεντρική γωνία ω ν ενός κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές υπολογίζεται με τον τύπο: ω ν = Θέμα ο 360 ν 0 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( = 90º), αν το ΑΔ είναι ύψος προς την υποτείνουσα, Α = 15 β υ. Μονάδες 10 και Δ = 9, τότε να υπολογίσετε: α. Tα τμήματα ΑΔ, ΒΔ και ΑΒ. Μονάδες 18 β. Την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒ. Μονάδες 7 Σε τρίγωνο ΑΒ έχουμε α = 10, β = 14 και γ = 6. Να υπολογίσετε : α. Τη γωνία Β. Μονάδες 9 γ. Την προβολή της διαμέσου μ γ του τριγώνου στην πλευρά γ. Μονάδες 7 Έστω κύκλος ( Ο, R ), με R = 4 και ΑΒ μια διάμετρός του. Φέρουμε την εφαπτόμενη του κύκλου στο σημείο Β και σε αυτήν παίρνουμε σημείο Ρ τέτοιο ώστε ΒΡ = 6. Αν η ΡΑ τέμνει α. ΟΡ = 13 Μονάδες 9 β. ΑΡ = 10 Μονάδες 9 γ. ΡΕ = 3,6 Μονάδες 7

30 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 31 Α. Να αποδείξετε ότι αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματική με μια γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές Μονάδες 10 Β. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας R. Αν Ρ σημείο του επιπέδου του, τι ονομάζεται δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (Ο, R); Μονάδες 5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντισοιχεί σε κάθε πρόταση: α. Αν για τις πλευρές ενός τριγώνου ισχύει η σχέση α >β + γ τότε αυτό είναι αμβλυγώνιο β. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου με πλευρές α και β, δίνεται από τη σχέση Ε = α β γ. Το απόστημα α 6 ενός κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R είναι: α 6 = R 3 3 δ. Αν α, β, γ οι πλευρές ενός τριγώνου και Α η γωνία που είναι απέναντι από την πλευρά α, τότε ισχύει η σχέση: α = β + γ + βγ συν Α ε. Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα μº και ακτίνας R δίνεται από τη σχέση: ( ΟΑΒ) = Θέμα ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90º) με πr μ 360 Μονάδες 10 β + γ = 0 και εξωτερικά αυτού τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΕ. E Α. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ε, Α, Δ ανήκουν στην ίδια ευθεία. Μονάδες 3 Β. Να αποδείξετε ότι: ΑΔ = ΔΒ = γ Μονάδες 1. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΒΔΕ. Μονάδες 10 Στο παρακάτω σχήμα ισχύει ότι ΑΒ = 3Β και ΑΔ = 6R, όπου R η ακτίνα του κύκλου O και ΑΔ εφαπτόμενο τμήμα. Α. Να δείξετε ότι: Β = R 3 Β. Να δείξετε ότι: (ΟΑΒ) = 3 (ΟΒ) Μονάδες 9 Μονάδες 7. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου κυκλικού τμήματος Μονάδες 9 Σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει α = γ και μ α = γ 3. Α. Να δείξετε ότι β = γ 7 Μονάδες 10 Β. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. Μονάδες 10 γ 7. Αν ΒΔ ύψος του τριγώνου από την κορυφή Β, να δείξετε ότι ΑΔ = Μονάδες 5 7

31 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 3 Α. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ( Α = 90º) και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι είναι ΑΔ = ΔΒ Δ Μονάδες 15 Β. Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις α. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒ ισχύει: α > β + γ Α > 90º. β. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒ ισχύει: α = β + γ + βγσυνα γ. Αν α, β, γ είναι οι πλευρές τριγώνου ΑΒ και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου το εμβαδόν του είναι Ε = 4R αβγ. δ. Η πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R είναι λ 3 =R 3. ε. To μήκος τόξου μº σε κύκλο ακτίνας R είναι: l = Θέμα ο πr μ 360 Σε τρίγωνο ΑΒ είναι β = 6, γ = 8 και μ α = 5. Να βρεθούν: Μονάδες 10 α. Το μήκος της πλευράς α Μονάδες 10 β. Το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας Μονάδες 5 γ. Το μήκος της προβολής της διαμέσου μ α στην πλευρά Β. Μονάδες 10 Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ( Α = 90º) και το σημείο Μ μέσο της ΑΒ. Αν ΜΔ Β να αποδείξετε ότι: Δ ΔΒ = Α. Μονάδες 5 Θεωρούμε κύκλο (Ο, R) με R = και σημείο P έξω απ αυτόν με P Δ (O, R) = 1. Φέρνουμε από το Ρ το εφαπτόμενο τμήμα ΡΑ και την ΡΟ που τέμνει τον κύκλο στο Β. Να βρεθούν: α. Το μήκος του ΡΟ Μονάδες 10 β. Το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΡ. Μονάδες 15

32 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 33 Α. Να αποδείξετε ότι, αν μία γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματική με μία γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές. Μονάδες 10 Β. Να βρεθεί το είδος των γωνιών τριγώνου ΑΒ όταν: α. β = 3 α + γ β. γ = α β γ. α β = γ Μονάδες 9. Να εκφράσετε συναρτήσει της ακτίνας R του περιγεγραμμένου κύκλου την πλευρά και το απόστημα των παρακάτω εγγεγραμμένων σχημάτων: α. του τετραγώνου β. του ισόπλευρου τριγώνου γ. του κανονικού εξαγώνου Μονάδες 6 Θέμα ο Σε τρίγωνο ΑΒ έχουμε β = 7, γ = 6 και μ α = 7. Να υπολογιστούν: α. η πλευρά α του τριγώνου ΑΒ Μονάδες 15 β. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ Μονάδες 10 Από σημείο Α εκτός κύκλου (Ο, R), φέρνουμε τις τέμνουσες ΑΒ, ΑΔΕ και την εφαπτομένη ΑΖ έτσι ώστε: ΑΒ =, Β = 30 κα ΑΔ = 4. Να βρεθούν: α. το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ Μονάδες 8 β. το ευθύγραμμο τμήμα ΑΖ Μονάδες 8 γ. Αν ΟΑ = 17 να αποδείξετε ότι η Β είναι διάμετρος του κύκλου. Μονάδες 9 Σε κύκλο (Ο, R) παίρνουμε διαδοχικές χορδές ΑΒ = R, Β = R και Δ = R 3. α. Να υπολογιστεί το μήκος του κυρτογώνιου τόξου ΑΔ Μονάδες 7 β. Αν Κ εσωτερικό σημείο του κυρτογώνιου τόξου ΑΔ, να βρεθεί το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος ΑΚΔΑ Μονάδες 9 γ. Να αποδείξετε ότι ο λόγος του εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΔ προς το εμβαδόν του κύκλου (Ο,R) ισούται με: + 3 π Μονάδες 9

33 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 34 Α. Σε κύκλο ακτίνας R να εγγράψετε τετράγωνο και να υπολογίσετε την πλευρά του και το β. απόστημά του συναρτήσει της ακτίνας R. Μονάδες 15 Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος). Αν Ε το εμβαδόν τριγώνου ΑΒ τότε: α. Ε = τρ Ε = α β γ R γ. Ε = (r α)(r β)(r γ) δ. Ε = 1 αβη μ 1 ε. Ε = α v Μονάδες 10 α Θέμα ο Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ( Α = 90º) φέρουμε το ύψος ΑΔ. Αν ΑΒ = 3 και Α = 4 να υπολογιστούν τα μήκη των τμημάτων Β, ΒΔ, Δ και ΑΔ. Μονάδες 5 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90º) με ΑΒ = 6 και Α = 8. Να βρείτε: Α. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ Μονάδες 5 Β. το ύψος του υ α Μονάδες 10. την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου Μονάδες 5 Δ. την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου Μονάδες 5 Δίνεται κύκλος (Ο, R) με R = cm και χορδή του ΑΒ = cm. Να υπολογίσετε: Α. το μήκος του κύκλου Β. το μήκος του μικρότερου τόξου ΑΒ. το εμβαδόν του κύκλου Δ. το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟΑΒ Ε. το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που περιέχεται στη γωνία ΑΟΒ Μονάδες 5

34 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 35 Α. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διαμέσου, που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς. Μονάδες 13 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας (Σ) αν η πρόταση είναι σωστή και (Λ) αν η πρόταση είναι λάθος, δίπλα στον αριθμό που αντιστο- ιχεί σε κάθε πρόταση: α. Η πλευρά τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ( Ο,R) είναι λ 4 = R. β. Το απόστημα εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ( Ο,R) είναι α 6 = R 3. γ. α < β + γ αν και μόνο αν Α > 90º. δ. β + γ = μ α + α ( μ α η διάμεσος τριγώνου ΑΒ, που αντιστοιχεί στην πλευρά α). ε. Σε τρίγωνο ΑΒ με μήκη πλευρών α,β,γ ισχύει : Ε = τ(τ α)(τ β)(τ γ), όπου τ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου. στ. Η γωνία φ ν κανονικού ν-γώνου είναι φ ν =180 ο 360 ( ων η κεντρική γωνία κανονικού εγγεγραμμένου σε κύκλο ν-γώνου). Μονάδες 6 Θέμα ο Σε κύκλο ( Ο,R) είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ με πλευρά ΑΒ = 9. Να υπολο- R του κύκλου. Μονάδες 10 γίσετε : α. Την ακτίνα β. Το εμβαδόν που βρίσκεται μεταξύ κύκλου και ισοπλεύρου τριγώνου. Θέμα 3 ο ν Μονάδες 15 Το άθροισμα των διαγωνίων ενός ρόμβου ΑΒΔ είναι 16 και η περίμετρός του είναι 0. Να βρεθούν α. το εμβαδόν του. Μονάδες 13 β. το ύψος του ρόμβου από την κορυφή Α. Μονάδες 1 Στο διπλανό σχήμα δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο Ο, διάμετρο του μεγαλυτέρου ΑΒ = 16, Μ το μέσο της ΑΟ και Δ η χορδή που διέρχεται από το Μ με Μ = 5. α. Να υπολογίσετε το ΜΔ. Μονάδες 1 β. Να υπολογίσετε το ΑΛ (ΑΛ το εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου (Ο, ΟΜ)). Μονάδες 13 ω M O Λ

35 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 36 Α 1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒ με διάμεσο ΑΜ να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών του ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διαμέσου που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς, δηλαδή: Α. Σε τρίγωνο ΑΒ Β + = ΑΜ + με ΑΒ<Α να συμπ εκφράζει το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων. Μονάδες 10 ληρώσετε τη σχέση Α ΑΒ =... ώστε να Μονάδες 3 Β. Να γράψετε στην κόλλα σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση για καθένα από τα ερωτήματα Β 1 και Β Β 1. Σε τρίγωνο ΑΒ δίνονται β = 8, γ = 6 και μ α = 5. Η πλευρά α είναι ίση με: Β. Σε τρίγωνο ΑΒ δίνονται: α = 6, β = 5, γ = 4, ΑΔ το ύψος και ΑΜ η διάμεσος. Θέμα ο Α: 4 Β: 8 Α: 7 Β: 4 : 10 Δ: 9 Ε: 11 Μονάδες 6 Η προβολή ΔΜ της διαμέσου ΑΜ πάνω στην πλευρά α είναι ίση με: : 3 4 Δ: 5 Ε: 3 Μονάδες 6 Σε ένα τρίγωνο ΑΒ είναι α = 6, β = 5, γ = 4 α. Να βρεθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του Μονάδες 1 β. Να βρεθεί η προβολή της πλευράς γ πάνω στην πλευρά β Μονάδες 13 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΔ πλευράς 4cm. Με διαμέτρους ΑΔ και Β γράφουμε Λ M K τους κύκλους που εφάπτονται στο σημείο Μ όπως φαίνεται στο σχήμα: α. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΚΒ, όπου Κ το μέσο της Β β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΚΛ γ. Να υπολογίσετε το εμβαδό του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΜΒ Μονάδες Σε κύκλο (Ο,R) παίρνουμε διαδοχικά τα τόξα ΑΒ = 60º Β = 90º Δ = 10º α. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΔ είναι ισοσκελές τρ απέζιο β. Να υπολογιστούν ως συνάρτηση του R οι πλευρές του τραπεζίου ΑΒΔ γ. Δείξτε ότι το ύψος του τραπεζίου είναι ίσο με δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του R( 3 +1) Μονάδες

36 1 ΕΛ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β 37 Α. Να αποδείξετε ότι: «Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα». Μονάδες 15. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή ως λάθος (Λ) α. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒ ισχύει η ισοδυναμία: «α < β + γ αν και μόνο αν ˆΑ > 90º». β. Δύο σχήματα είναι ισοδύναμα αν έχουν την ίδια περίμετρο. γ. Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του αθροίσματος των βάσεων του επί το ύψος του. δ. To P είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου (O, R) αν και μόνο αν P Δ (O, R) < 0. ε. Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσα ύψη, τότε ο λόγ ος των εμβαδών τους ισούται με τ ο λόγο των αντίστοιχων βάσεων. Μονάδες 10 Θέμα ο νουσα του ΣΑΒ με ΣΑ = 4. Από σημείο Σ εξωτερικό του κύκλου (O, R) φέρνουμε εφαπτόμενο τμήμα Σ = 6 και τέμ- Α. Να υπολογίσετε το μήκος της χορδής ΑΒ. Μονάδες 10 Β. Αν η γωνία Σ είναι ίση με 30º να βρείτε: α. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΣ. Μονάδες 8 β. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. Μονάδες 7 Δίνονται δυο ομόκεντροι κύκλοι (Ο, R) και (O, R). Από τυχαίο σημείο Α του εξωτερικού κύκλου Α φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΑΒ και Α στον εσωτερικό κύκλο. α. Να δείξετε ότι ΑΒ = R 3 Μονάδες 7 β. Να δείξετε ότι η γωνία ΒΑ είναι 60º Μονάδες 7 γ. Με κέντρο Α και ακτίνα ΑΒ γράφουμε το τόξο Β. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του μικτογράμμου τριγώνου ΑΒ είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του εσωτερικού κύκλου. Μονάδες 11 Η διάμεσος ΑΜ τριγώνου ΑΒ προεκτεινόμενη τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τρι- γώνου στο Δ. Αν ισχύει = 3ΒΔ Δ δείξτε ότι: α. (ΑΒ) = 3(ΒΔ) Μονάδες 7 β. ΑΜ=3ΜΔ Μονάδες 8 γ. β + γ = α Μονάδες 10