ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

Transcript

1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου (ΘΕΩΡΙΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ) και των χρόνων των επαναληπτικών του Ιουλίου (ΘΕΩΡΙΑ) σε συνδιασμό με την εξεταστέα ύλη με μια διαφορετική παρουσίαση. Περιέχει Μόνο την εξεταστέα ύλη από το σχολικό βιβλίο έκδοσης 3-4 πάνω στην οποία έχουμε τονίσει με χρώμα τα τμήματα που ζητήθηκαν στις Πανελλήνιες εξετασεις ( αναγράφοντας τις χρονιές) οπότε με ένα ξεφύλισμα έχετε πλήρη εικόνα για τις απαιτήσεις των εξετάσεων όσον αφορά την θεωρία. Επίσης Έχει δοθεί όλη η θεωρία κανονικών και επαναληπτικων εξετασεων καθώς και όλες οι ερωτήσεις σωστό- λάθος ανα κεφάλαιο (με τις σωστες απαντήσεις) για να είναι πιο εύκολος ο ελεγχος και η αξιολόγηση της προσπάθειας του μαθητή από τον ίδιο ή τον καθηγητή του ή και τρίτων προσώπων (που συμπάσχουν και συμπαρίστανται στον αγώνα του). Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Πρώτα εμπεδώνουμε πλήρως τα θέματα των προηγούμενων χρόνων (ΜΑΙΟΥ) γιατί για προφανείς λόγους εδώ περιέχονται τα πλέον ουσιοδέστερα της εξεταστέας ύλης.στη συνέχεια για όσους έχουν χρόνο τα θεματα των ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ (όσον αφορά τις ΑΣΚΗΣΕΙΣ) τα οπoία μπορείτε να τα βρείτε στην διεύθυνση Kandylas.eu και αν πάλι υπάρχει χρόνος κλείνουμε με τα θέματα της Ο.Ε.Φ.Ε.

2 ΜΕΡΟΣ Α ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ o Μιγαδικοί Αριθμοί. Η Εννοια του Μιγαδικού Αριθμού. Πράξεις στο Σύνολο των Μιγαδικών.3 Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού Β' ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ o Όριο-συνέχεια συνάρτησης. Πραγματικοί Αριθμοί. Συναρτήσεις.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση.4 Όριο συνάρτησης στο.5 Ιδιότητες των ορίων, χωρίς τις αποδείξεις της υποπαραγράφου "Τριγωνομετρικά όρια".6 Μη πεπερασμένο όριο στο.7 Όριο συνάρτησης στο άπειρο.8 Συνέχεια συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ o Διαφορικός Λογισμός. Η έννοια της παραγώγου.. Παραγωγίσιμες συναρτήσεις- Παράγωγος συνάρτηση..3 Κανόνες παραγώγισης..4 Ρυθμός μεταβολής..5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού..6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής..7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης..8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης. (Θα μελετηθούν μόνο οι συναρτήσεις που είναι δύο, τουλάχιστον, φορές παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους)..9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De l Hospital.. Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3o Oλοκληρωτικός Λογισμός 3. Αόριστο ολοκλήρωμα. 3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμα

3 3.5. Η συνάρτηση F() f ( t) dt α 3.7 Εμβαδόν επιπέδου χωρίου, χωρίς την εφαρμ.3 της σελ = ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ -3 ΚΛΙΜΑΚΩΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ 9 εως 3 ΒΑΘΜΟΣ 9 3 ΘΕΤΙΚΗ8- ΤΕΧN 8- ΘΕΤΙΚΗ5-7,9 ΤΕΧN 5-7,9 ΘΕΤΙΚΗ-4,9 ΤΕΧN -4,9 ΘΕΤΙΚΗ-,9 ΤΕΧN -,9 ΘΕΤΙΚΗ5-9,9 ΤΕΧΝ 5-9,9 ΘΕΤΙΚΗ-4,9 ΤΕΧΝ -4,9 6,5 7,8,46 8,9 4,6 9,44 7,37 6,7 6,44, 4,6 45,7 4,3 6,6 5,8,36 7,93,53 7,35 8,3,9,3,48 4,,9 3,4 7,98 6,6,4 9,89,55 8,5,4 4,6 7,8 48,37 9,79,47 8,5 6, 9,3 9,3,79 8,6 4,4 8,5 6,44 45,56,47,65 4,6 4,55,4 8,88 3,65 7,86 7,59 6,68,3 5,35 Παρατηρήσεις - Τα θεωρήματα, οι προτάσεις, οι αποδείξεις και οι ασκήσεις που φέρουν αστερίσκο δε διδάσκονται και δεν εξετάζονται. - Οι εφαρμογές και τα παραδείγματα των βιβλίων δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία ούτε ως ασκήσεις. Μπορούν, όμως, να χρησιμοποιηθούν ως προτάσεις για τη λύση ασκήσεων ή την απόδειξη άλλων προτάσεων. - Εξαιρούνται από την εξεταστέα-διδακτέα ύλη οι εφαρμογές και οι ασκήσεις που αναφέρονται σε λογαρίθμους με βάση διαφορετική του e και του.

4 5 o ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών C R R, i i =, z C z = α + βi α, β R. Ισότητα Μιγαδικών Αριθμών z α + βi, α + βi γ + δi α = γ β = δ. α + βi = γ + δi = + i α = γ β = δ. α + βi = α = β =. Σ-Λ ΕΠ.8. ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ πρόσθεση ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) i. αφαίρεση α + βi γ + δi γ + δi α + βi γ + δi γ δi,,

5 Δ < β i z + = α αδ z, 9 Δ ( )( Δ) i ( Δ) 4 4 ( ) ι Δ = = = α α α α. β ± i Δ = Σ-Λ 8 α ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ z + z = z z =..3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ M (, y) z = + yi μέτρο z M O y β z 5 M(,y) Ο a z = OM = + y z = + yi z = yi z = yi. z = z = z Σ-Λ-3-ΕΠ.3 z = z z Σ-Λ -ΕΠ. z, z -7και Σ-Λ 9 z z = z z

6 o ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Α R. πραγματική συνάρτηση πεδίο ορισμού το Α f, A y y τιμή της f στο f (). Ισότητα συναρτήσεων OΡΙΣΜΟΣ f g ίσες ίδιο Α A f() = g(). 7 - ΕΠ. Σύνθεση συναρτήσεων ΟΡΙΣΜΟΣ f, g Α, Β σύνθεση της f με την g gof (gof)() = g(f()). A f f(a) f() B g(b) 4 g f g g( f()) A

7 3 f γνησίως αύξουσα γνησίως φθίνουσα διάστημα Δ f γνησίως μονότονη στο Δ. f Δ f f Ακρότατα συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΠ. f Α A μέγιστο f ( ) f() f( ) A Σ-Λ ΕΠ. A ελάχιστο f ( ) Συνάρτηση f() f( ) A Σ-Λ 9 ΟΡΙΣΜΟΣ EΠ. 5 f : A R συνάρτηση, A f( ) f( ). Σ-Λ f : A R συνάρτηση, A ΣΧΟΛΙΑ f ) = f =. Σ-Λ ΕΠ. 3 ( f κάθε στοιχείο y f = y ακριβώς μια λύση ως προς. Σ-Λ -ΕΠ.6 Δεν υπάρχουν ίδια τεταγμένη. οριζόντια ευθεία f πολύ σε ένα σημείο.

8 4 Σ-Λ ΕΠ.9-ΕΠ.3 γνησίως μονότονη " - " δεν είναι γνησίως μονότονες.σ-λ -ΕΠ.- ΕΠ.8 Αντίστροφη συνάρτηση f ( f ) =, A f = y f ( y) = f ( f ( y)) = y, y f ( A).Σ-Λ 8 C C f συμμετρικές y= Oy Oy. Σ-Λ 5- -ΕΠ.4 f.4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ R Η έννοια του ορίου ΣΧΟΛΙΟ f f κοντά στο, f ( α, ) (, β) ή ( α, ) ή (, β). μπορεί να ανήκει μην ανήκει f ίση διαφορετική lim f = lim f = lim+ f = Σ-Λ 4 Ορισμός του ορίου στο o R lim f = lim( f ) = Σ-Λ ΕΠ.8

9 8 lim f ( g( )) = lim f ( u). u u.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R α, ) (, ) ( β lim f = + lim f = lim + f = + lim f = lim f = lim f =. + lim f = + f >, Σ-Λ lim f = f <. lim f = + lim ( f ) =, Σ-Λ ΕΠ.3 lim f = lim ( f ) = +. lim f () = + lim =. Σ-Λ ΕΠ. f lim f = f > lim = +, f Σ-Λ 5-ΕΠ. lim f = f < lim f =. Σ-Λ ΕΠ.9

10 Όρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης α> lim α =, Σ-Λ 7 lim α = + + lim log α =, lim log = + + α <α<, lim α = +, lim α = Σ-Λ ΕΠ. + lim log = +, lim log = Πεπερασμένο όριο ακολουθίας α + Ακολουθία α : * R. ( α ν ) R * lim αν = ε > ν ν ν > ν α ν < ε.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Oρισμός της συνέχειας ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΠ. 9 f f συνεχής στο lim f() = f f συνεχής συνάρτηση. Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ f g α

11 f + g, c f R c, g f, f, f ν f g. ΘΕΩΡΗΜΑ f συνεχής g συνεχής f( ), gof συνεχής Σ-Λ 7 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα και βασικά θεωρήματα ΟΡΙΣΜΟΣ 8--ΕΠ.4 f συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) ( α, β). f συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [, ] ( α, β) lim f() = f(α) α + Θεώρημα του Bolzano lim f() = f(β) β ΘΕΩΡΗΜΑ Σ-Λ 5-ΕΠ.- f [ α, β]. f συνεχής [α,β] f(α) f(β) <, ένα, τουλάχιστον, (α, β) f( ) =. μια, τουλάχιστον, ρίζα f() = (α, β). ΣΧΟΛΙΟ Bolzano

12 3 f συνεχής Δ δε μηδενίζεται ή θετική Δ ή αρνητική Δ, διατηρεί πρόσημο Δ. Σ-Λ 5-ΕΠ.3 συνεχής f διατηρεί πρόσημο διαδοχικές ρίζες f πεδίο ορισμού της. Σ-Λ 8-3 y f α) f. β) f f Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Bolzano θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. ΘΕΩΡΗΜΑ 5 f [ α, β] f [ α, β] f ( α) f ( β) f (α) f (β) ( α, ) β f ) = η (

13 4 ΑΠΟΔΕΙΞΗ f ( α) < f ( β) f ( α) < η < f ( β) g = f η, [ α, β] f( ) g [ α, β] g ( α) g( β) <, g ( α) = f ( α) η < g ( β) = f ( β) η >. Bolzano ( α, ) g ) = f ( ) η f ( ) = η. ΣΧΟΛΙΟ ( = f [ α, β], β Σ-Λ 6-ΕΠ.-ΕΠ.7 εικόνα f ( ) Δ μιας συνεχούς και μη σταθερής f διάστημα. Δ [ α, β ], ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής) Σ-Λ f [ α, β ] f [ α, β ] Μ m. [ α, ] m = f ), β M = f ) m f M, για κάθε [, ]. ( y f(a) O a y f( ) f(a) O (,f( )) a ( 67 B(,f( )) y= 68 y=

14 5 ΣΧΟΛΙΟ σύνολο τιμών f [ α, β] [ m, M], m Μ A f γνησίως αύξουσα συνεχής ( α, β ) ( Α, Β) Α = lim f α + B = lim f. Σ-Λ ΕΠ.7 β f γνησίως φθίνουσα συνεχής ( α, β ), ( B, A) Σ-Λ y y 7 B A O a ( ) O a ( ) o ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πρόβλημα εφαπτομένης ΟΡΙΣΜΟΣ f A (, f ( )) C f lim f f ( ) λ C Α ε Α λ. f

15 A, f ) 6 y f ( ) = ( ), Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο λ ( f f ( = lim. ΟΡΙΣΜΟΣ 4-9 f παραγωγίσιμη σ ένα σημείο f f ( lim ) παράγωγος της f στο f ) ( f ( f f ( ) ) = lim. f f R ) lim f f ( ), lim + f f ( ) t = S(t) t t ) = S ( ). ( t ε C f f A, f ) f = f ( ), ( ε φ α π τ ο μ έ ν η ς ε y f ( ) = f ( )( ) f ) ε A, f ) κλίση ( της C f στο Α κλίση της f στο. (

16 7 Παράγωγος και συνέχεια ΘΕΩΡΗΜΑ -3-ΕΠ. 7- ΕΠ. 3 f παραγωγίσιμη συνεχής αυτό Σ-Λ-9-ΕΠ.4-ΕΠ.-ΕΠ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ f f ( ) f f ( ) = ( ), f f ( ) lim[ f f ( )] = lim ( ) f f ( ) = lim lim ( ) = f ( ) =, f. lim f = f ( ) ΣΧΟΛΙΟ f. f.. Η ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f Α H f Α παραγωγίσιμη A. f παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) ( α, ). β 3-ΕΠ. f παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] ( α, β) f f ( α) f f ( β ) lim R lim R. + α α β β

17 34 (ln ) =. u = f () α α ( u ) = α u u ( u ) = u u ( u ) = u ( u ) = u u u ( u ) = u u u u ( e ) = e u ( u ) = u u u u ( α ) = α lnα u (ln u ) = u u ΟΡΙΣΜΟΣ.4 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ, y y = f () f ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο f ( )..5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle) ΕΠΑΝ. f συνεχής κλειστό διάστημα [ α, β ] παραγωγίσιμη ανοικτό διάστημα ( α, β ) f(α) = f(β) ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β ) f(ξ) =

18 35 ΕΠ. 7 Γεωμετρικά ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β ) εφαπτομένη C f M ( ξ, f ( ξ )) παράλληλη. y O Μ(ξ,f(ξ)) Α(α,f(α)) α ξ ξ 8 Β(β,f(β)) β ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ.) 3 f [ α, β ] ( α, β ) ξ ( α, β ) f ( ξ ) = f ( β ) f ( α) β α 3-ΕΠ.8 ξ ( α, β ) f M ( ξ, f ( ξ )) ΑΒ. y Ο M(ξ,f(ξ)) A(a,f(a)) a ξ ξ Β(β,f(β)) β.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤHΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ 9 - ΕΠ. 4 f Δ f Δ f = ε σ ω τ ε ρ ι κ ό Δ, f σταθερή Δ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ, f ) = f (

19 36 = f ( ) = f ( ). < [, ] f ξ, ) ( f ( ) f ( ) f ( ξ ) =. () ξ Δ f ( ξ ) = f ) = f. ( < f ( ) = f ( ). f ) = f. ΠΟΡΙΣΜΑ ( f, g Δ Σ-Λ ΕΠ.7 f, g Δ f = g ε σ ω τ ε ρ ι κ ό Δ, c f = g( ) + c ΑΠΟΔΕΙΞΗ f g Δ ( f g) ( ) = f ( ) g =. f g Δ C f g( ) = c f = g( ) + c. ΣΧΟΛΙΟ, < f =., > f = (, ) (, + ), f (,) (, + ). Μονοτονία συνάρτησης ΘΕΩΡΗΜΑ 6-7- ΕΠ. f σ υ ν ε χ ή ς Δ.

20 37 f > ε σ ω τ ε ρ ι κ ό Δ f Δ. f < ε σ ω τ ε ρ ι κ ό Δ f Δ. Σ-Λ 4 ΑΠΟΔΕΙΞΗ f >., < f ( ) < f ( )., ] f [ ξ, ) ( f ( ) f ( ) = f ( ξ )( ) f ( ξ ) > > f ) f ( ) f ) < f. ( > f ( ) f ( ) f ( ξ ) =, ( f < ΣΧΟΛΙΟ Σ-Λ 7- αντίστροφο δεν ισχύει f Δ δεν είναι υποχρεωτικά Δ..7 TOΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ f Α, A τοπικό μέγιστο δ > f ) f ( ) A δ, + ). ( ( δ θέση σημείο τοπικού μεγίστου f ( ) τοπικό μέγιστο της f.

21 ΟΡΙΣΜΟΣ 38 f Α A τοπικό ελάχιστο, δ > f ) f ( ) A δ, + ). ( ( δ θέση σημείο τοπικού ελαχίστου f ( ) τοπικό ελάχιστο της f. f τοπικά ακρότατα f θέσεις τοπικών ακροτάτων. f ολικά ακρότατα ακρότατα ΣΧΟΛΙΑ i y y O (a) ma min a O 3 4 ( ) ii f Προσδιορισμός των τοπικών ακροτάτων ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat) 4- - ΕΠ. 3 ΕΚΦ f Δ εσωτερικό Δ f τοπικό ακρότατο παραγωγίσιμη f ( ) = Σ-Λ ΕΠ.

22 39 ΑΠΟΔΕΙΞΗ f Δ f δ > δ, + ) f ) f ( ) ( δ δ, + ). () ( δ ( y f( ) O 33 + f f f ( ) f f ( ) f ( ) = lim = lim. + f f ( ) ( δ, ) f f ( ) f ( ) = lim () f f ( ) (, + δ ) f f ( ) f ( ) = lim. (3) + f ( ) =. ΣΧΟΛΙΟ π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν f Δ. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται.. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. 3. Τα άκρα του Δ ΕΠΑΝ. 3 ε σ ω τ ε ρ ι κ ά Δ f κρίσιμα σημεία f Δ. Σ-Λ 5

23 4 ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΠΑΝ. f ( α, β ) f συνεχής. i f > ( α, ) f < (, β ) f ( ) f. Σ-Λ ΕΠ.3 ii f < ( α, ) f > (, β ) f ( ) f. iii) A f () ( α, ) (, β ) f ( ) f ( α, β ). ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) E f > ( α, ) f f α, ] ( f ) f ( ) α, ]. () ( ( f < (, β) f f [, β) f ) f ( ) [, β). () ( y f > f < y f > f < 35a f( ) f( ) O a O a f f ( ) ( α, β), f ( ) f ( α, β) ii) iii f > α, ) (, ). ( β

24 43 f ( α, β ) ( α, ). f C A, f ), A, f ) ( f ( β.9 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΟΡΙΣΜΟΣ - ΕΠ. 3 lim f, lim f + +, = κατακόρυφη ασύμπτωτη f. ΟΡΙΣΜΟΣ 7 lim f = + lim f = ) οριζόντια ασύμπτωτη f + ). ΟΡΙΣΜΟΣ 5- y = λ + β ασύμπτωτη f + y = lim[f() (λ + β)] =, + lim[f() (λ + β)] =. ΘΕΩΡΗΜΑ y = λ + β f + f lim = λ R lim[ f λ ] = β R, + + f lim = λ R lim [ f λ ] = β R. ΣΧΟΛΙΑ.

25 45 μελέτη της συνάρτησης ο το πεδίο ορισμού της f. o συνέχεια της f στο πεδίο ορισμού της. 3ο τις παραγώγους f και f πίνακες των προσήμων f τα διαστήματα μονοτονίας f, f f κυρτή ή κοίλη τα σημεία καμπής. 4ο οριακές τιμές, ασύμπτωτες, κτλ.) 5ο πίνακας μεταβολών της f f C f. ΣΧΟΛΙΟ ) f Α ά ρ τ ι α, C άξονα συμμετρίας y y f π ε ρ ι τ τ ή, C f κέντρο συμμετρίας αρχή των αξόνων Ο. A. ) f π ε ρ ι ο δ ι κ ή Τ C πλάτους Τ. f 3o ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3. ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΠ. 6 ΕΠ. f Δ. Αρχική συνάρτηση παράγουσα της f στο Δ F Δ F () = f(). f

26 46 ΘΕΩΡΗΜΑ - ΕΠ. - ΕΠ. 3 f Δ. F f Δ G = F + c, c R, f Δ G f Δ ΑΠΟΔΕΙΞΗ f Δ G() = F() + c, c R. G = F + c c R, G = ( F + c) = F ( ) = f. G f Δ. F = f G = f G = F ( ). c G = F + c. 3.4 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ α ν β f d = lim f ( ξ κ ) d = α β ν κ = α α f f d f d = α β f [ α, β ] β f d α E (Ω) Ω f y y=f() Ω O α β

27 47 = α = β f d = E( ). Σ-Λ ΕΠ. f d β α f. Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος ΘΕΩΡΗΜΑ ο ΕΠ. f, g σ υ ν ε χ ε ί ς [ α, β ] λ, µ R β α λf d = λ f d β + g( )] d = f d+ α β β α β [ f g( ) d [ λ + µ g( )] d = λ f d + µ α α β f g( ) d ΘΕΩΡΗΜΑ ο S- Σ-Λ 8 f σ υ ν ε χ ή ς Δ α, β, γ α β γ β f()d = f()d + f()d α α γ ΘΕΩΡΗΜΑ 3 ο Σ-Λ 7-ΕΠ. f σ υ ν ε χ ή ς [ α, β ]. f [ α, β ] f β β α β α f()d >. α 3.5 H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() f ( t) dt = ΘΕΩΡΗΜΑ Σ-Λ 5-ΕΠ.75 f συνεχής Δ α Δ F = f ( t) dt,, παράγουσα f Δ α

28 ΣΧΟΛΙA ( α ) 48 f(t)dt = f(). + h F ( + h) F = f ( t) dt = Ω. f h, h >. h > F ( + h) F F ( + h) F f F ( ) = lim = f h h h g() f ( t) dt = f ( g( )) g, Σ-Λ 7 ΘΕΩΡΗΜΑ(Θεμ. θεώρ. του ολοκληρ.λογ) -3-ΕΠ.8 f συνεχής [ α, β ] G παράγουσα f [ α, β ] ΑΠΟΔΕΙΞΗ β f(t)dt = G(β) G(α) Σ-Λ 4-ΕΠ.6-ΕΠ. α f [ α, β ]. F = f ( t) dt G f [ α, β ] c R G = F + c. () = α α G ( α) = F ( α) + c = f ( t) dt + c = c c = G(α ). α G = F + G( α), = β G ( β ) = F ( β ) + G( α) = f ( t) dt + G( α) y O β α F() f() y=f() α 4

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41 8 π o 4 f (t)dt = f ( π 4 ) εφ Μονάδες 8 4. Έστω f : (, + ) R ΘΕΜΑ Δ 3 μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) f () = f (+ 5h) f ( h) lim = h h Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g () = Να αποδείξετε ότι: α f(t) dt t, (, + ) και α > Δ. f () = (μονάδες 4), καθώς επίσης ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο = (μονάδες ). Μονάδες 6 Δ. η g είναι γνησίως αύξουσα (μονάδες 3), και στη συνέχεια, να λύσετε την ανίσωση στο R g(u)du > g(u)du (μονάδες 6) Μονάδες 9 Δ3. η g είναι κυρτή, καθώς επίσης ότι η εξίσωση f(t) ( α ) dt = (f( α) ) ( α), > α t έχει ακριβώς μια λύση. Μονάδες

42

43

44

45 9 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β. Α τρόπος 3i= 3i z 3i + z + 3i = z 3i + z 3i = z 3i + z 3i = z 3i = z 3i z 3i = z 3i =, οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z είναι κύκλος με κέντρο K (,3 ) και ακτίνα ρ=. Β. Β τρόπος Έστω z= + yi,,y R. Τότε : z= + yi z 3i + z + 3i = + yi 3i + yi + 3i = + y 3 i + y 3 i = + y 3 = + y 3 = + y 3 = οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z είναι κύκλος με κέντρο K (,3 ) και ακτίνα ρ=. Β. Υψώνοντας στο τετράγωνο τη σχέση z 3i = που προέκυψε από το προηγούμενο ερώτημα Β. και χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα έχουμε: z 3i = z 3i z 3i z 3i z 3i = z 3i= z+ 3i z 3i = z 3i = z 3i z 3i = z 3i z 3i = z 3i z 3i ( z 3i)( z 3i) z 3i + = + = z 3i

46 Β3. Η σχέση w= z 3i+ λόγω της σχέσης () που αποδείχθηκε στο προη- z 3i γούμενο ερώτημα Β. γίνεται: w = z 3i + w z 3i z 3i z 3i = + +, οπότε z= + yi w = z+ z w =. Επειδή όμως η εικόνα του z κινείται στον κύκλο του Β ερωτήματος ισχύει: ( ) y 3 + y 3 = w= w Β4. Α τρόπος Είναι: w= z= + i y z w= + i yz w z w= + i y z= z z w= + i y z w= i y z w= z z w = z Β4. Β τρόπος w= z+ z Είναι : ΘΕΜΑ Γ Γ. Α τρόπος z w = z z w = z z+ z = z z z = z = z = z, ( ) = + ( ) + = + = e f f f f e f e f e f e f c Για = στη σχέση () έχουμε : οπότε η σχέση () γράφεται: f = f = e f e = f + c c =

47 Θα δείξουμε ότι e f e = f e f f = e f e = e e > για κάθε πραγματική τιμή του. Θεωρούμε τη συνάρτηση h = e η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R με h e e h = e = e = = = = και t e Για > e > e e > e > h > και ομοίως t e e e e e h < < < < <, οπότε η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο h = e =, = το άρα είναι h e > για κάθε R. Άρα από τη σχέση () έχουμε: ( e ) e e > f = f = f = ln e f = ln e + c 3 e e ( ) Για = στη σχέση (3) έχουμε : f = f = ln e + c = ln+ c = + c c =, οπότε η σχέση (3) γράφεται : f = ln ( e ) = e Γ. Η συνάρτηση f( ) είναι παραγωγίσιμη στο R με f Μελετάμε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f( ), οπότε έχουμε: e e e > f = = e = = e

48 Για e > e > e e > e > > f > e t e e > και επειδή η f είναι συνεχής στο [, + ) R η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). Για t e e >, R e < e < e e < e < < f < και επειδή η f είναι συνεχής στο (,] R e f = ln e =. η f θα είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και παρουσιάζει ολικό ελάχι- στο το Γ3. Είναι : Θεωρούμε τη συνάρτηση g = e e η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R με Για g = e e = e e e = e e = e. Άρα e > g = e = = = e > < είναι > e ( ) >, άρα g > και επειδή η g είναι συνεχής στο (,], η g είναι γνησίως αύξουσα στο (,] Για ( e ) ( e ) ( e )( e e ) e ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) f = = e e e e e e e + e + e e e = = = = e > > είναι < e ( ) <, άρα g < και.

49 3 επειδή η g είναι συνεχής στο [, + ), η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ). Οπότε η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο το g = e e = e >. Είναι: lim g = lim e e = =, γιατί ( ) + lim e = lim = lim = e ( e ) και lim e = και lim g = lim ( e e ) = lim e = ( + ) ( ) = e γιατί = + = e lim e, lim + + Έτσι για την g στο (,] ισχύει: g ((,]) = ( lim g( ),g = (,e ] διάστημα στο οποίο ανήκει το,οπότε υπάρχει (,) τέτοιο ώστε g = το οποίο είναι και μοναδικό λόγω της μονοτονίας της g στο (,].Στη συνέχεια μελετάμε το πρόσημο της f, λαμβάνοντας υπόψη την μονοτονία της g στο (,], δηλαδή : για g στο (,] g = ( e ) > > g > g g > f > και για g στο (,] g = ( e ) > < g < g g < f < Οπότε η f παρουσιάζει ένα μόνο σημείο καμπής το M(,f ( ) ) στο διάστημα (,] Ομοίως για την g στο [, + ) ισχύει ([ + )) = ( = ( ] g, lim g,g,e +

50 4 διάστημα στο οποίο ανήκει το,οπότε υπάρχει (, + ) τέτοιο ώστε g( ) = το οποίο είναι και μοναδικό λόγω της μονοτονίας της g στο [, + ). Στη συνέχεια μελετάμε το πρόσημο της f, λαμβάνοντας υπόψη την μονοτονία της g στο [, + ), δηλαδή : g στο [, + ) g = ( e ) > > g > g g > f > και για g στο [, + ) g = ( e ) > < g < g g < f < Οπότε η f παρουσιάζει ένα μόνο σημείο καμπής το M(,f ( ) ) στο διάστημα [ ), +. Επομένως η f παρουσιάζει δυο μοναδικά σημεία καμπής. Γ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση στο π, και k = f συν η οποία είναι συνεχής k = f συν = = και π π π π π k = f συν = ln e >, αφού η f είναι συνεχής και έχει ολικό ελάχιστο το f =, οπότε από το θεώρημα του Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον π, k =. ώστε Επειδή προφανώς η k είναι παραγωγίσιμη στο (διαφορά παραγωγισίμων) με π, k = f + ημ > αφού

51 f > για > και 5 π ημ > για, π η συνάρτηση k είναι γνησίως φθίνουσα στο, και : k = ln e = συν είναι μοναδικό. άρα το ( ) ΘΕΜΑ Δ Δ. Είναι : u= + t du= dt,t= u t f t= u=,t= u= e ( + ) e g t ( ) = dt u u u f e e e e = du du e du e = g u = g u g u f e e e g u g u u u e e = e = = e du f = e e du u u e e f = du f = du g u g u u e f = + du g u Ομοίως λόγω συμμετρικής σχέσης βρίσκουμε: Επειδή η g είναι συνεχής στο R, θα είναι και η u e g u u e g = + du g u συνεχής στο R (πηλίκο συνεχών) και u e επειδή R θα είναι η du παραγωγίσιμη στο R οπότε και g u

52 η 6 u e f = + du παραγωγίσιμη με : g u u e e f = du άρα f + = g( u) g Για τον ίδιο λόγo (λόγω συμμετρικών σχέσεων) βρίσκουμε ότι και η g είναι παραγωγίσιμη στο R με Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι: u e e g = du g + ( ) = g( u) f f g f g = f g = ( ln ( f )) = ( ln ( g )) f g Για = είναι c Δ. Με g f ( ) ln f = ln g + c, c R. =, οπότε f = g = έχουμε: f f e f f e f e = = = f = e = c = f > f = e + c f = e f = e, R Δ3. u= lim u =,= ln f u u ln e lim = lim = lim = lim u = e f e e u u lim ue u u u u DeL ' Hsop u lim ue = lim = lim =,ue < u u u u u e e =

53 7 Αρα ln f lim f = Δ4. Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο F = f t dt = f = e >, για κάθε R. Άρα η συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα, επομένως για F F. θα είναι Επειδή F στο, το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι: E = F t dt = F d = F d = F + F d e = F + e d = F + F + d e e = + =, Β. Α τρόπος Έστω z= + yi,,y R.Τότε : ΛΥΣΕΙΣ z= + yi z + z + = + yi + + yi + = + yi yi = + y y = + y +. Οπότε η σχέση () γίνεται : + y + = 4 + y =. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z στο επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων O(,) και ακτίνα ρ =. Β. Β τρόπος

54 8 z + z+ = 4 z z + z+ z+ = 4 zz z z + + zz + z + z + = 4 zz + = 4 zz = z = z = Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z στο επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων O(,) και ακτίνα ρ =. Β. Εχουμε z z. = = Οπότε : z z z z ( ) = = z + z Re z z = Re z z = z = z =,Re( zz ) = z + z = z + z + Re z z = Άρα : ( ) Επομένως z+ z =. Β3. Έστω w = + yi,,y R, τότε η δοθείσα σχέση () γίνεται : w= + yi w 5w = + yi 5 yi = + yi 5 + 5yi = y y y 4+ 6yi = + i = + = + = (4) Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι η έλλει- A 3,,A 3,,B,,B,, ψη με κορυφές τα σημεία μεγάλο άξονα ( ΑΑ ) = α = 6 και μικρό άξονα ΒΒ = β = 4. Είναι γνωστό από Β Λυκείου ότι για οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης ι- σχύει ότι β ( ΜΟ) α, οπότε w 3. Επομένως για w w = 3 έχουμε = i ή w = i έχουμε ότι w = 3. ma w = και για w = 3και min

55 9 Β4. Θέτουμε, στην τριγωνική ανισότητα z w z+ w z + w, όπου w το w οπότε έχουμε z w z w z + w. Άρα Επομένως z w 4. ΘΕΜΑ Γ Γ. Α τρόπος z w z + w + 3= 4 και z w z w w z = Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη για κάθε > (προκύπτει από πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων). ln+ Είναι : f = ln + = και f =. Αν < <, τότε ln < ln < και <, επομένως ln f < για < <. + < και έτσι Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ] ( ] Δ =,, οπότε ) [ ) f Δ = f, = f, lim f =, + + lim f = lim ln = + διότι + + Αν >, τότε ln > ln > και >, επομένως ln f > για >. + > και έτσι Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ ) [ ) Δ =, +, οπότε ) [ ) f Δ = f, + = f, lim f =, + + lim f = lim ln = + διότι + + Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι το [, + ). Γ. Β τρόπος για την μονοτονία της συνάρτησης f,,

56 3 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη για κάθε > (προκύπτει από πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων). = + = + +. Είναι : f ln ln, (, ) Η συνάρτηση f είναι και αυτή παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο f = + >, για κάθε >. (, + ) με Άρα η συνάρτηση f είναι κυρτή στο (, + ), δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). Παρατηρούμε ότι f = και για < < είναι f < f f <, οπότε,λόγω συνέχειας, η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο = ( ] Ομοίως προκύπτει ότι για > είναι f > f f >, Δ,. οπότε,λόγω συνέχειας, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο = [ + ) Γ. Είναι : Δ,. 3 = e ln = 3 ln = f = Αλλά ( ] [ ) f Δ = f, =, +, η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (,] (, + ) και [, ) άρα σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει (,) τέτοιο ώστε Επειδή δε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ], f =. +, το είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης f = στο (, ).

57 3 Ομοίως f ( Δ ) f ([, )) [, ) = + = +, η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, + ) (, + ) και [, ) άρα σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει (, + ) τέτοιο ώστε f =. +, Επειδή δε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), το είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης f = στο (, + ). Άρα τελικά η αρχική εξίσωση έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες και. Γ3. ( Εφαρμογή θεωρήματος Rolle) Θεωρούμε τη συνάρτηση H f e e, [, ] =, η οποία είναι συνεχής στο [, ] διότι προκύπτει από πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμη στο (, ) διότι προκύπτει από πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με H = f e + f e e. Επίσης H( ) = H( ) =, διότι από Γ είναι f = f =. Άρα ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την Η στο [, ], οπότε υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε : H f e f e e e = + = f + f =. Γ4. Από το ερώτημα Γ έχουμε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το [, + ),άρα για κάθε > ισχύει f f + g. Επίσης η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f =, άρα και της εξίσωσης g = είναι η =. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι :

58 3 e e e E = g d = ln d = ln d e ( ) ( ) ( e ) e e + = ln d = d ( e ) ( e ) e = + d = + ln e e + e e 3 = e τ.μ. + + = 4 ΘΕΜΑ Δ Δ. Πρόσημο της συνάρτησης f (Α τρόπος) +, e Θεωρούμε τη συνάρτηση g = f ( t) dt, (, + ) για την οποία γνωρίζουμε από την εκφώνηση ότι g, άρα g g για κάθε (, ) ολικό (άρα και τοπικό ) ελάχιστο για =. +, οπότε η συνάρτηση g παρουσιάζει Η συνάρτηση g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, + ), ως διαφορά συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων, παρουσιάζει και τοπικό ελάχιστο για = που είναι εσωτερικό σημείο του το θεώρημα Fermat έχουμε g = (). e, +, οπότε σύμφωνα με = + (). e Αλλά g = f( + )( ), οπότε g f + e = = e (3). Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι f f e

59 33 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, + ) και είναι γνωστό από την εκφώνηση ότι f για κάθε (, ) +, άρα η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο και λόγω της σχέσης (3) προκύπτει ότι f <. Εύρεση τύπου Άρα f f = και κατά συνέπεια η τρίτη σχέση της εκφώνησης γίνεται: f ( ) > ln t t ln ln t t (4) f( t) f f( t) ln = dt + e f = dt + e Θέτουμε F ln t t = dt, η οποία είναι παραγωγίσιμη γιατί : f t Η συνάρτηση ln t t είναι συνεχής στο (, + ), ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και επειδή και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, + ) με f( t) για κάθε t (, ) +, τότε και η συνάρτηση ln t t f t είναι συνεχής στο (, + ), ως πηλίκο των δυο προηγούμενων συνεχών συναρτήσεων. Η παράγωγος της F είναι F ln t t =, οπότε η σχέση (4) γίνεται : f t F F e e F e F e e e F e + = + = = Άρα Για + e F = e + c, c R (5). = η (5) γίνεται οπότε από την σχέση (5) έχουμε : + e F = e + c c=, ln t t (6). f( t) + e F = e + F = e + e dt = e + e

60 Οι συναρτήσεις ln t t dt και f( t) 34 e + e είναι παραγωγίσιμες, άρα παραγωγίζοντας την σχέση (6) βρίσκουμε τον τύπο της συνάρτησης f : ln f = = e f e ln e Τελικά η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως γινόμενο των παραγωγίσιμων συναρτήσεων (σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων) και ln ( διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων). ln lim f = lim =, e Δ. Για (,) έχουμε + + οπότε για τον υπολογισμό του ζητούμενου ορίου θέτουμε u = με u. f Άρα έχουμε: u = f ημu u lim f ημ f lim ημu lim + f = = = u u u u u συνu = lim =. u u Δ3. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, + ), οπότε ορίζεται η συνάρτηση F α = f t dt η οποία είναι παραγωγίσιμη με F = f = e ln. Επίσης η F είναι παραγωγίσιμη, εφόσον η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), με παράγωγο : DLH

61 35 F = e ( ln ) + e = αφού ln +, (, + ). = e ln + + e, Επιπλέον επειδή e >, για κάθε >, έχουμε ότι F >, για κάθε (, ) +, άρα η συνάρτηση F είναι κυρτή στο (, + ) και η F είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). Η F είναι συνεχής στα [, ],[,3] (, + ) με >, ως παραγωγίσιμη στο (, + ). Η F είναι παραγωγίσιμη στα (, ),(,3) (, + ) με >, ως παραγωγίσιμη στο (, + ). Άρα από το Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισμού υπάρχουν Όμως (,) και (,3) F( ) F F( ) F ώστε : F = = (7) και F( 3) F( ) F( 3) F( ) F ( ) = = (8) 3 < και η F είναι γνησίως αύξουσα στο F ( ), +, οπότε F < και από τις σχέσεις (7) και (8) προκύπτει ότι : F F F 3 F < F( ) F < F( 3) F( ) F + F( 3) > F( ), αφού >. Δ4. Από ερώτημα Δ3 έχουμε ότι F = f = e ln <, >, άρα η συνάρτηση F είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ). Θεωρούμε τη συνάρτηση:

62 36 h = F F( β) F( 3β ), [ β, β] (, + ) H h είναι συνεχής στο [ β, β] ως άθροισμα της συνεχούς συνάρτησης F και της σταθεράς F( β) F( 3β ) +. h ( β) = Fβ Fβ F3β = Fβ F3β >, αφού η συνάρτηση F είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ) και β < 3β h( β) = F( β) F( β) F( 3β) <, από το ερώτημα Δ3, οπότε h ( β) h ( β) <. Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ξ ( β, β) ΘEMA B h ( ξ) = F( ξ) = F( β) + F( 3β ). ΛΥΣΕΙΣ 3 Β. Η σχέση που μας δίνεται γράφεται ισοδύναμα: έτσι ώστε z z + z = z z + z = z + z =. Η τελευταία σχέση είναι τριώνυμο ως προς z απορρίπτεται και. Επομένως είναι z =., με ρίζες, η οποία Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ (,) και ακτίνα ρ=. Β. Η ανισότητα z 3 που ζητείται να δειχθεί, μπορεί να αποδειχθεί με πολλούς τρόπους : Εφαρμόζοντας τριγωνική ανισότητα έχουμε : z = ( z ) + z + = + = 3 Επειδή το z είναι η απόσταση της εικόνας M( z) από το O(, ), ζητείται να δειχθεί ότι η μέγιστη απόσταση είναι ίση με 3. Πράγματι

63 37 η μέγιστη απόσταση ισούται με το άθροισμα OK + ρ= + = 3 όπου K (, ) το κέντρο του κύκλου και ρ= η ακτίνα του. Το πιο απομακρυσμένο σημείο αυτού του κύκλου από την αρχή των αξόνων είναι το σημείο Μ ( 3,), άρα z ΟΜ z 3. Β. Επειδή το τριώνυμο w +β w+γ= έχει πραγματικούς συντελεστές, οι ρίζες του z και z είναι μιγαδικοί συζυγείς, άρα z = z. Δηλαδή αν z = + yi, τότε z = yi. Επομένως Im(z ) Im(z ) = y+ y = y = y =±, οπότε από την εξίσωση του κύκλου προκύπτει Άρα τελικά έχουμε z = + i και z = i. Από τους τύπους Vieta έχουμε τώρα ότι z z 4 + = =. zz =γ γ= + i i = i = 5. + = β β= και Β3. Η δοσμένη σχέση γράφεται: v +α v +α v+α = v = α v +α v+α 3 3 v = α v +α v+α α v + α v + α 3 Όμως οι μιγαδικοί α, α και α ανήκουν στον παραπάνω κύκλο, άρα το μέτρο τους δεν υπερβαίνει τον αριθμό 3. Συνεπώς έχουμε: v α v +α v+α 3v + 3v+ 3 v 3v 3v 3 v 3v 3v 3 < v 3v 3v 4< v 4 v + v + < v < 4, αφού η παράσταση v + v + είναι θετική. ΘEMA Γ f() + f () + = f() + f() + = Γ. Έχουμε ( )

64 38 ( ) f() + = f() + = + c Για = προκύπτει c f() + = +, για κάθε R. =, άρα Θέτουμε h() = f() + και παρατηρούμε ότι άρα h(), για κάθε R, αφού h () = +, +, για κάθε R. Επομένως η συνάρτηση h δεν έχει ρίζες και επειδή είναι συνεχής διατηρεί πρόσημο για κάθε R. Επειδή όμως είναι h() = >, θα είναι h() >, για κάθε R. Άρα επομένως h() = +, για κάθε R, f() + = + f() = +, R. Γ. Η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R και είναι παραγωγίσιμη με + f() f () = + = = = <, αφού είναι f >.Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, άρα -. Συνεπώς f (g()) = f (g()) = f () g() =. Αρκεί λοιπόν να βρούμε τις ρίζες της συνάρτησης g. Έχουμε της g : g () = = 3( + ) και τον παρακάτω πίνακα μονοτονίας Βρίσκουμε τα επί μέρους σύνολα τιμών: (η g είναι συνεχής σε κάθε ένα από αυτά). g ((, ] ) = ( lim g(), g ( ) =,.

65 39 Το μηδέν δεν ανήκει σε αυτό το διάστημα, άρα δεν έχει ρίζα σε αυτό. g( [, ] ) = [ g(), g( ) ] =,, οπότε ούτε σε αυτό το διάστημα έχει ρίζα. g( [, + )) = g(), lim g() ) = [, + ) + Εδώ το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών, άρα η g έχει μία τουλάχιστον ρίζα και επειδή είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό το διάστημα η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Γ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση π p() = f(t)dt f εφ 4. π 4 Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής, η συνάρτηση F() = f(t)dt είναι παραγωγίσιμη, άρα συνεχής. π 4 Συνεπώς και η συνάρτηση p είναι συνεχής στο διάστημα π, 4. Επιπλέον είναι p() = f (t)dt >, π 4 π π π αφού είναι < και f(t) > και p = f () εφ = < Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει π, 4, τέτοιο, ώστε π p( ) = π f(t)dt = f εφ 4. ΘEMA Δ Δ. Είναι Συνεπώς f (+ h) f () f (+ h) f () = lim f () = lim. h h h h f ( h) f ( h) f (+ t) lim = lim = lim = f () και h h h h t t 4

66 4 f (+ 5h) f (+ 5h) lim = 5lim = 5f (). h h h 5h Από το όριο που μας δίνεται έχουμε τώρα: f (+ 5h) f ( h) f (+ 5h) f ( h) lim = lim = h h h h h 5f () + f () = f () =. Επίσης έχουμε για > f() > f() f() > και για < f() < f() f() <. Επειδή η f είναι συνεχής, παρουσιάζει ελάχιστο στο =. Δ. Η συνάρτηση f(t) p(t) =, t > είναι συνεχής, t f() άρα η g είναι παραγωγίσιμη, με g () = >, διότι είναι για > f() > f() f() >. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα. Για τη λύση της ανίσωσης, θεωρούμε τη συνάρτηση + h() = g(u)du. Με τη βοήθεια αυτής της συνάρτησης, η ανίσωση γράφεται: g(u)du > g(u)du h(8 + 5) > h( + 5) Χρειαζόμαστε τη μονοτονία της συνάρτησης h. Είναι + και είναι παραγωγίσιμη με h() = g(u)du + g(u)du α α h () = g() + g( + ) >, αφού η g είναι γνησίως αύξουσα και < +. Επομένως η h είναι γνησίως αύξουσα, άρα η ανίσωση ισοδυναμεί με την: h(8 + 5) > h( + 5) 8 + 5> > 4 > < < ή < <

67 4 Δ3. Έχουμε δει παραπάνω ότι f() g () = >, άρα f() ( )f() (f() g () ) f () f() f() = = = ( ) Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. για την f στο [, ], έχουμε ότι υπάρχει ξ (,), τέτοιο, ώστε g () = f () f ( ξ ) > Έτσι ( ) f() f() f( ξ ) =., αφού <ξ< και η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα η συνάρτηση g είναι κυρτή στο Η εξίσωση τώρα γράφεται:,+. f( α) α g() = (f() )( α) g() = ( α) g() = g ( α)( α) α Και έχει ρίζα τον αριθμό α, αφού είναι g(α) =. Για να αποδείξουμε τη μοναδικότητα της ρίζας, θεωρούμε τη συνάρτηση φ () = g() g ( α)( α ), για την οποία ισχύει φ () = g () g ( α ) και φ () = g () >. Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα, συνεπώς, για >α φ () >φ ( α ) = και για. <α φ () <φ ( α ) =. Άρα φ παρουσιάζει ελάχιστο στο = α, επομένως φ () >φα =, για κάθε α. Επομένως η φ, άρα και η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα το α.